Добірка наукової літератури з теми "Differential probability"

We compare different notions of differentiability of a measure along a vector field on a locally convex space. We consider in the L2-space of a differentiable measure the analog of the classical concepts of gradient, divergence and Laplacian (which coincides with the Ornstein–Uhlenbeck operator in the Gaussian case). We use these operators for the extension of the basic results of Malliavin and Stroock on the smoothness of finite dimensional image measures under certain nonsmooth mappings to the case of non-Gaussian measures. The proof of this extension is quite straight forward and does not use any Chaos-decomposition. Finally, the role of this Laplacian in the procedure of quantization of anharmonic oscillators is discussed.

By using excursion measure Poisson kernel method, we obtain a second-order differential equation of the intersection probability of Brownian motion andSLEκ. Moreover, we find a transformation such that the second-order differential equation transforms into a hypergeometric differential equation. Then, by solving the hypergeometric differential equation, we obtain the explicit formula of the intersection probability for the trace of the chordalSLEκand planar Brownian motion started from distinct points in an upper half-planeH-.

Two-dimensional diffusion processes are considered between concentric circles and in angular sectors. The aim of the paper is to compute the probability that the process will hit a given part of the boundary of the stopping region first. The appropriate partial differential equations are solved explicitly by using the method of similarity solutions and the method of separation of variables. Some solutions are expressed as generalized Fourier series.

The modified method of estimation of the resistance of block ciphers to truncated byte differential attack is proposed. The previously known method estimate the truncated byte differential probability for Rijndael-like ciphers. In this paper we spread the sphere of application of that method on wider class of ciphers. The proposed method based on searching the most probable truncated byte differential characteristics and verification of sufficient conditions of effective byte differentials absence.

We consider that the surplus of an insurer follows compound Poisson process and the insurer would invest its surplus in risky assets, whose prices satisfy the Black-Scholes model. In the risk process, we decompose the ruin probability into the sum of two ruin probabilities which are caused by the claim and the oscillation, respectively. We derive the integro-differential equations for these ruin probabilities these ruin probabilities. When the claim sizes are exponentially distributed, third-order differential equations of the ruin probabilities are derived from the integro-differential equations and a lower bound is obtained.

Dans ce travail, nous présentons quelques exemples des effets du bruit sur la solution d'une équation aux dérivées partielles (EDP) dans trois contextes différents. Nous exam- inons d'abord deux équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives, l'équation de Schrödinger non linéaire et l'équation de Korteweg - de Vries. Nous allons analyser les effets d'une condition initiale aléatoire sur certaines solutions spéciales, les solitons. Le deuxième cas considéré est une EDP linéaire, l'équation d'onde, avec conditions initiales aléatoires. Nous allons montrer qu'avec des conditions initiales aléatoires particulières c'est possible de réduire considérablement les coûts de stockage des données et de calcul d'un algorithme pour résoudre un problème inverse basé sur les mesures de la solution de cette équation au bord du domaine. Enfin, le troisième exemple considéré est celui de l'équation de transport linéaire avec un terme de dérive singulière. Nous allons montrer que l'ajout d'un terme de bruit multiplicatif interdit l'explosion des solutions, et cela sous des hypothèses très faibles pour lesquelles dans le cas déterministe on peut avoir l'explosion de la solution à temps fini.

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mathematics, 2011.
Cataloged from PDF version of thesis.
Includes bibliographical references (p. 79-80).
This thesis consists of two parts. The first part applies a probabilistic approach to the study of the Wright-Fisher equation, an equation which is used to model demographic evolution in the presence of diffusion. The fundamental solution to the Wright-Fisher equation is carefully analyzed by relating it to the fundamental solution to a model equation which has the same degeneracy at one boundary. Estimates are given for short time behavior of the fundamental solution as well as its derivatives near the boundary. The second part studies the probabilistic extensions of the classical Cauchy functional equation for additive functions both in finite and infinite dimensions. The connection between additivity and linearity is explored under different circumstances, and the techniques developed in the process lead to results about the structure of abstract Wiener spaces. Both parts are joint work with Daniel W. Stroock.
by Linan Chen.
Ph.D.

[EN] Mathematical models based on deterministic differential equations do not take into account the inherent uncertainty of the physical phenomenon (in a wide sense) under study. In addition, inaccuracies in the collected data often arise due to errors in the measurements. It thus becomes necessary to treat the input parameters of the model as random quantities, in the form of random variables or stochastic processes. This gives rise to the study of random ordinary and partial differential equations. The computation of the probability density function of the stochastic solution is important for uncertainty quantification of the model output. Although such computation is a difficult objective in general, certain stochastic expansions for the model coefficients allow faithful representations for the stochastic solution, which permits approximating its density function. In this regard, Karhunen-Loève and generalized polynomial chaos expansions become powerful tools for the density approximation. Also, methods based on discretizations from finite difference numerical schemes permit approximating the stochastic solution, therefore its probability density function. The main part of this dissertation aims at approximating the probability density function of important mathematical models with uncertainties in their formulation. Specifically, in this thesis we study, in the stochastic sense, the following models that arise in different scientific areas: in Physics, the model for the damped pendulum; in Biology and Epidemiology, the models for logistic growth and Bertalanffy, as well as epidemiological models; and in Thermodynamics, the heat partial differential equation. We rely on Karhunen-Loève and generalized polynomial chaos expansions and on finite difference schemes for the density approximation of the solution. These techniques are only applicable when we have a forward model in which the input parameters have certain probability distributions already set. When the model coefficients are estimated from collected data, we have an inverse problem. The Bayesian inference approach allows estimating the probability distribution of the model parameters from their prior probability distribution and the likelihood of the data. Uncertainty quantification for the model output is then carried out using the posterior predictive distribution. In this regard, the last part of the thesis shows the estimation of the distributions of the model parameters from experimental data on bacteria growth. To do so, a hybrid method that combines Bayesian parameter estimation and generalized polynomial chaos expansions is used.
[ES] Los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales deterministas no tienen en cuenta la incertidumbre inherente del fenómeno físico (en un sentido amplio) bajo estudio. Además, a menudo se producen inexactitudes en los datos recopilados debido a errores en las mediciones. Por lo tanto, es necesario tratar los parámetros de entrada del modelo como cantidades aleatorias, en forma de variables aleatorias o procesos estocásticos. Esto da lugar al estudio de las ecuaciones diferenciales aleatorias. El cálculo de la función de densidad de probabilidad de la solución estocástica es importante en la cuantificación de la incertidumbre de la respuesta del modelo. Aunque dicho cálculo es un objetivo difícil en general, ciertas expansiones estocásticas para los coeficientes del modelo dan lugar a representaciones fieles de la solución estocástica, lo que permite aproximar su función de densidad. En este sentido, las expansiones de Karhunen-Loève y de caos polinomial generalizado constituyen herramientas para dicha aproximación de la densidad. Además, los métodos basados en discretizaciones de esquemas numéricos de diferencias finitas permiten aproximar la solución estocástica, por lo tanto, su función de densidad de probabilidad. La parte principal de esta disertación tiene como objetivo aproximar la función de densidad de probabilidad de modelos matemáticos importantes con incertidumbre en su formulación. Concretamente, en esta memoria se estudian, en un sentido estocástico, los siguientes modelos que aparecen en diferentes áreas científicas: en Física, el modelo del péndulo amortiguado; en Biología y Epidemiología, los modelos de crecimiento logístico y de Bertalanffy, así como modelos de tipo epidemiológico; y en Termodinámica, la ecuación en derivadas parciales del calor. Utilizamos expansiones de Karhunen-Loève y de caos polinomial generalizado y esquemas de diferencias finitas para la aproximación de la densidad de la solución. Estas técnicas solo son aplicables cuando tenemos un modelo directo en el que los parámetros de entrada ya tienen determinadas distribuciones de probabilidad establecidas. Cuando los coeficientes del modelo se estiman a partir de los datos recopilados, tenemos un problema inverso. El enfoque de inferencia Bayesiana permite estimar la distribución de probabilidad de los parámetros del modelo a partir de su distribución de probabilidad previa y la verosimilitud de los datos. La cuantificación de la incertidumbre para la respuesta del modelo se lleva a cabo utilizando la distribución predictiva a posteriori. En este sentido, la última parte de la tesis muestra la estimación de las distribuciones de los parámetros del modelo a partir de datos experimentales sobre el crecimiento de bacterias. Para hacerlo, se utiliza un método híbrido que combina la estimación de parámetros Bayesianos y los desarrollos de caos polinomial generalizado.
[CAT] Els models matemàtics basats en equacions diferencials deterministes no tenen en compte la incertesa inherent al fenomen físic (en un sentit ampli) sota estudi. A més a més, sovint es produeixen inexactituds en les dades recollides a causa d'errors de mesurament. Es fa així necessari tractar els paràmetres d'entrada del model com a quantitats aleatòries, en forma de variables aleatòries o processos estocàstics. Açò dóna lloc a l'estudi de les equacions diferencials aleatòries. El càlcul de la funció de densitat de probabilitat de la solució estocàstica és important per a quantificar la incertesa de la sortida del model. Tot i que, en general, aquest càlcul és un objectiu difícil d'assolir, certes expansions estocàstiques dels coeficients del model donen lloc a representacions fidels de la solució estocàstica, el que permet aproximar la seua funció de densitat. En aquest sentit, les expansions de Karhunen-Loève i de caos polinomial generalitzat esdevenen eines per a l'esmentada aproximació de la densitat. A més a més, els mètodes basats en discretitzacions mitjançant esquemes numèrics de diferències finites permeten aproximar la solució estocàstica, per tant la seua funció de densitat de probabilitat. La part principal d'aquesta dissertació té com a objectiu aproximar la funció de densitat de probabilitat d'importants models matemàtics amb incerteses en la seua formulació. Concretament, en aquesta memòria s'estudien, en un sentit estocàstic, els següents models que apareixen en diferents àrees científiques: en Física, el model del pèndol amortit; en Biologia i Epidemiologia, els models de creixement logístic i de Bertalanffy, així com models de tipus epidemiològic; i en Termodinàmica, l'equació en derivades parcials de la calor. Per a l'aproximació de la densitat de la solució, ens basem en expansions de Karhunen-Loève i de caos polinomial generalitzat i en esquemes de diferències finites. Aquestes tècniques només són aplicables quan tenim un model cap avant en què els paràmetres d'entrada tenen ja determinades distribucions de probabilitat. Quan els coeficients del model s'estimen a partir de les dades recollides, tenim un problema invers. L'enfocament de la inferència Bayesiana permet estimar la distribució de probabilitat dels paràmetres del model a partir de la seua distribució de probabilitat prèvia i la versemblança de les dades. La quantificació de la incertesa per a la resposta del model es fa mitjançant la distribució predictiva a posteriori. En aquest sentit, l'última part de la tesi mostra l'estimació de les distribucions dels paràmetres del model a partir de dades experimentals sobre el creixement de bacteris. Per a fer-ho, s'utilitza un mètode híbrid que combina l'estimació de paràmetres Bayesiana i els desenvolupaments de caos polinomial generalitzat.
This work has been supported by the Spanish Ministerio de Econom´ıa y Competitividad grant MTM2017–89664–P.
Calatayud Gregori, J. (2020). Computational methods for random differential equations: probability density function and estimation of the parameters [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/138396
TESIS
Premiado

In this study, we aim to develop new likelihood based method for estimating parameters of ordinary differential equations (ODEs) / delay differential equations (DDEs) models. Those models are important for modeling dynamical processes that are described in terms of their derivatives and are widely used in many fields of modern science, such as physics, chemistry, biology and social sciences. We use our new approach to study a distributed delay differential equation model, the statistical inference of which has been unexplored, to our knowledge. Estimating a distributed DDE model or ODE model with time varying coefficients results in a large number of parameters. We also apply regularization for efficient estimation of such models. We assess the performance of our new approaches using simulation and applied them to analyzing data from epidemiology and ecology.

This study was designed to test the effectiveness of 2 different behavioral interventions: a high-probability request sequence and a differential reinforcement of alternative behaviors (DRA) procedure in a classroom setting. The aim of the interventions was to reduce the frequency of task refusal as well as increase the frequency of task compliance in adolescents in a general education setting. The study included 4 adolescents with the same teacher who were reported by their teacher as completing 50% or less of their course work since the beginning of the school year. The teacher implemented the interventions with the participants to test their potential effectiveness. Each student responded differently to the interventions. This was demonstrated using visual analysis of graphs as well as a comparison of descriptive statistics. Some were more compliant when the teacher implemented the high-probability request sequence; others demonstrated greater compliance with the DRA in place. Two participants also demonstrated higher levels of compliance beginning with placement of a camera (and operator) prior to the high-probability request sequence or the DRA implementation. These results indicate that each of these interventions may have the potential to increase compliance with classroom tasks for typically functioning adolescents through the mechanism of increased attention.

[EN] This thesis concerns the analysis of differential equations with uncertain input parameters, in the form of random variables or stochastic processes with any type of probability distributions. In modeling, the input coefficients are set from experimental data, which often involve uncertainties from measurement errors. Moreover, the behavior of the physical phenomenon under study does not follow strict deterministic laws. It is thus more realistic to consider mathematical models with randomness in their formulation. The solution, considered in the sample-path or the mean square sense, is a smooth stochastic process, whose uncertainty has to be quantified. Uncertainty quantification is usually performed by computing the main statistics (expectation and variance) and, if possible, the probability density function. In this dissertation, we study random linear models, based on ordinary differential equations with and without delay and on partial differential equations. The linear structure of the models makes it possible to seek for certain probabilistic solutions and even approximate their probability density functions, which is a difficult goal in general. A very important part of the dissertation is devoted to random second-order linear differential equations, where the coefficients of the equation are stochastic processes and the initial conditions are random variables. The study of this class of differential equations in the random setting is mainly motivated because of their important role in Mathematical Physics. We start by solving the randomized Legendre differential equation in the mean square sense, which allows the approximation of the expectation and the variance of the stochastic solution. The methodology is extended to general random second-order linear differential equations with analytic (expressible as random power series) coefficients, by means of the so-called Fröbenius method. A comparative case study is performed with spectral methods based on polynomial chaos expansions. On the other hand, the Fröbenius method together with Monte Carlo simulation are used to approximate the probability density function of the solution. Several variance reduction methods based on quadrature rules and multilevel strategies are proposed to speed up the Monte Carlo procedure. The last part on random second-order linear differential equations is devoted to a random diffusion-reaction Poisson-type problem, where the probability density function is approximated using a finite difference numerical scheme. The thesis also studies random ordinary differential equations with discrete constant delay. We study the linear autonomous case, when the coefficient of the non-delay component and the parameter of the delay term are both random variables while the initial condition is a stochastic process. It is proved that the deterministic solution constructed with the method of steps that involves the delayed exponential function is a probabilistic solution in the Lebesgue sense. Finally, the last chapter is devoted to the linear advection partial differential equation, subject to stochastic velocity field and initial condition. We solve the equation in the mean square sense and provide new expressions for the probability density function of the solution, even in the non-Gaussian velocity case.
[ES] Esta tesis trata el análisis de ecuaciones diferenciales con parámetros de entrada aleatorios, en la forma de variables aleatorias o procesos estocásticos con cualquier tipo de distribución de probabilidad. En modelización, los coeficientes de entrada se fijan a partir de datos experimentales, los cuales suelen acarrear incertidumbre por los errores de medición. Además, el comportamiento del fenómeno físico bajo estudio no sigue patrones estrictamente deterministas. Es por tanto más realista trabajar con modelos matemáticos con aleatoriedad en su formulación. La solución, considerada en el sentido de caminos aleatorios o en el sentido de media cuadrática, es un proceso estocástico suave, cuya incertidumbre se tiene que cuantificar. La cuantificación de la incertidumbre es a menudo llevada a cabo calculando los principales estadísticos (esperanza y varianza) y, si es posible, la función de densidad de probabilidad. En este trabajo, estudiamos modelos aleatorios lineales, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias con y sin retardo, y en ecuaciones en derivadas parciales. La estructura lineal de los modelos nos permite buscar ciertas soluciones probabilísticas e incluso aproximar su función de densidad de probabilidad, lo cual es un objetivo complicado en general. Una parte muy importante de la disertación se dedica a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias, donde los coeficientes de la ecuación son procesos estocásticos y las condiciones iniciales son variables aleatorias. El estudio de esta clase de ecuaciones diferenciales en el contexto aleatorio está motivado principalmente por su importante papel en la Física Matemática. Empezamos resolviendo la ecuación diferencial de Legendre aleatorizada en el sentido de media cuadrática, lo que permite la aproximación de la esperanza y la varianza de la solución estocástica. La metodología se extiende al caso general de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias con coeficientes analíticos (expresables como series de potencias), mediante el conocido método de Fröbenius. Se lleva a cabo un estudio comparativo con métodos espectrales basados en expansiones de caos polinomial. Por otro lado, el método de Fröbenius junto con la simulación de Monte Carlo se utilizan para aproximar la función de densidad de probabilidad de la solución. Para acelerar el procedimiento de Monte Carlo, se proponen varios métodos de reducción de la varianza basados en reglas de cuadratura y estrategias multinivel. La última parte sobre ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias estudia un problema aleatorio de tipo Poisson de difusión-reacción, en el que la función de densidad de probabilidad es aproximada mediante un esquema numérico de diferencias finitas. En la tesis también se tratan ecuaciones diferenciales ordinarias aleatorias con retardo discreto y constante. Estudiamos el caso lineal y autónomo, cuando el coeficiente de la componente no retardada i el parámetro del término retardado son ambos variables aleatorias mientras que la condición inicial es un proceso estocástico. Se demuestra que la solución determinista construida con el método de los pasos y que involucra la función exponencial retardada es una solución probabilística en el sentido de Lebesgue. Finalmente, el último capítulo lo dedicamos a la ecuación en derivadas parciales lineal de advección, sujeta a velocidad y condición inicial estocásticas. Resolvemos la ecuación en el sentido de media cuadrática y damos nuevas expresiones para la función de densidad de probabilidad de la solución, incluso en el caso de velocidad no Gaussiana.
[CAT] Aquesta tesi tracta l'anàlisi d'equacions diferencials amb paràmetres d'entrada aleatoris, en la forma de variables aleatòries o processos estocàstics amb qualsevol mena de distribució de probabilitat. En modelització, els coeficients d'entrada són fixats a partir de dades experimentals, les quals solen comportar incertesa pels errors de mesurament. A més a més, el comportament del fenomen físic sota estudi no segueix patrons estrictament deterministes. És per tant més realista treballar amb models matemàtics amb aleatorietat en la seua formulació. La solució, considerada en el sentit de camins aleatoris o en el sentit de mitjana quadràtica, és un procés estocàstic suau, la incertesa del qual s'ha de quantificar. La quantificació de la incertesa és sovint duta a terme calculant els principals estadístics (esperança i variància) i, si es pot, la funció de densitat de probabilitat. En aquest treball, estudiem models aleatoris lineals, basats en equacions diferencials ordinàries amb retard i sense, i en equacions en derivades parcials. L'estructura lineal dels models ens fa possible cercar certes solucions probabilístiques i inclús aproximar la seua funció de densitat de probabilitat, el qual és un objectiu complicat en general. Una part molt important de la dissertació es dedica a les equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries, on els coeficients de l'equació són processos estocàstics i les condicions inicials són variables aleatòries. L'estudi d'aquesta classe d'equacions diferencials en el context aleatori està motivat principalment pel seu important paper en Física Matemàtica. Comencem resolent l'equació diferencial de Legendre aleatoritzada en el sentit de mitjana quadràtica, el que permet l'aproximació de l'esperança i la variància de la solució estocàstica. La metodologia s'estén al cas general d'equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries amb coeficients analítics (expressables com a sèries de potències), per mitjà del conegut mètode de Fröbenius. Es duu a terme un estudi comparatiu amb mètodes espectrals basats en expansions de caos polinomial. Per altra banda, el mètode de Fröbenius juntament amb la simulació de Monte Carlo són emprats per a aproximar la funció de densitat de probabilitat de la solució. Per a accelerar el procediment de Monte Carlo, es proposen diversos mètodes de reducció de la variància basats en regles de quadratura i estratègies multinivell. L'última part sobre equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries estudia un problema aleatori de tipus Poisson de difusió-reacció, en què la funció de densitat de probabilitat és aproximada mitjançant un esquema numèric de diferències finites. En la tesi també es tracten equacions diferencials ordinàries aleatòries amb retard discret i constant. Estudiem el cas lineal i autònom, quan el coeficient del component no retardat i el paràmetre del terme retardat són ambdós variables aleatòries mentre que la condició inicial és un procés estocàstic. Es prova que la solució determinista construïda amb el mètode dels passos i que involucra la funció exponencial retardada és una solució probabilística en el sentit de Lebesgue. Finalment, el darrer capítol el dediquem a l'equació en derivades parcials lineal d'advecció, subjecta a velocitat i condició inicial estocàstiques. Resolem l'equació en el sentit de mitjana quadràtica i donem noves expressions per a la funció de densitat de probabilitat de la solució, inclús en el cas de velocitat no Gaussiana.
This work has been supported by the Spanish Ministerio de Economía y Competitividad grant MTM2017–89664–P. I acknowledge the doctorate scholarship granted by Programa de Ayudas de Investigación y Desarrollo (PAID), Universitat Politècnica de València.
Jornet Sanz, M. (2020). Mean square solutions of random linear models and computation of their probability density function [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/138394
TESIS

Cette thèse porte sur l'étude des dynamiques spatiales et évolutives d'une population à l'aide d'outils probabilistes et déterministes. Dans la première partie, nous cherchons à comprendre l'effet de l'hétérogénéité de l'environnement sur l'évolution des espèces. La population considérée est modélisée par un processus individu-centré avec interactions qui décrit les événements de naissances, morts, mutations et diffusions spatiales de chaque individu. Les taux des événements dépendent des caractéristiques des individus : traits phénotypes et positions spatiales. Dans un premier temps, nous étudions le système d'équations aux dérivées partielles qui décrit la dynamique spatiale et démographique d'une population composée de deux traits dans une limite grande population. Nous caractérisons précisément les conditions d'extinction et de survie en temps long de cette population. Dans un deuxième temps, nous étudions le modèle individuel initial sous deux asymptotiques : grande population et mutations rares de telle sorte que les échelles de temps démographiques et mutationnelles sont séparées. Ainsi, lorsqu'un mutant apparaît, la population résidente est à l'équilibre démographique. Nous cherchons alors à caractériser la probabilité de survie de la population issue de ce mutant. Puis, en étudiantle processus dans l'échelle des mutations, nous prouvons que le processus individu-centré converge vers un processus de sauts qui décrit les fixations successives des traits les plus avantagés ainsi que la répartition spatiale des populations portant ces traits. Nous généralisons ensuite le modèle pour introduire des interactions de type mutualiste entre deux espèces. Nous étudions ce modèle dans une limite de grande population. Nous donnons par ailleurs des résultats numériques et une analyse biologique détaillée des comportements obtenus autour de deux problématiques : la coévolution de niches spatiales et phénotypiques d'espèces en interaction mutualiste et les dynamiques d'invasions d'un espace homogène par des espèces mutualistes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous développons un modèle probabiliste pour étudier finement l'effet d'une préférence sexuelle sur la spéciation. La population est ici structurée sur deux patchs et les individus, caractérisés par un trait, sont écologiquement et démographiquement équivalents et se distinguent uniquement par leur préférence sexuelle: deux individus de même trait ont plus de chance de se reproduire que deux individus de traits distincts. Nous montrons qu'en l'absence de toute autre différence écologique, la préférence sexuelle mène à un isolement reproductif entre les deux patchs
We study the spatial and evolutionary dynamics of a population by using probabilistic and deterministic tools. In the first part of this thesis, we are concerned with the influence of a heterogeneous environment on the evolution of species. The population is modeled by an individual-based process with some interactions and which describes the birth, the death, the mutation and the spatial diffusion of each individual. The rates of those events depend on the characteristics of the individuals : their phenotypic trait and their spatial location. First, we study the system of partial differential equations that describes the spatial and demographic dynamics of a population composed of two traits in a large population limit. We characterize precisely the conditions of extinction and long time survival for this population. Secondly, we study the initial individual-based model under two asymptotic: large population and rare mutations such as demographic and mutational timescales are separated. Thus, when a mutant appears, the resident population has reached its demographic balance. We characterize the survival probability of the population descended from this mutant. Then, by studyingthe process in the mutational scale, we prove that the microscopic process converges to a jump process which describes the successive fixations of the most advantaged traits and the spatial distribution of populations carrying these traits. We then extend the model to introduce mutualistic interactions between two species. We study this model in a limit of large population. We also give numerical results and a detailed biological behavior analysis around two issues: the co-evolution of phenotypic and spatial niches of mutualistic species and the invasion dynamics of a homogeneous space by these species. In the second part of this thesis, we develop a probabilistic model to study the effect of the sexual preference on the speciation. Here, the population is structured on two patches and the individuals, characterized by a trait, are ecologically and demographically similar and differ only in their sexual preferences: two individuals of the same trait are more likely to reproduce than two individuals of distinct traits. We show that in the absence of any other ecological differences, the sexual preferences lead to reproductive isolation between the two patches

New technological trends, such as digitization, artificial intelligence and robotics, have the power to drastically increase economic output but may also displace workers. In this paper we assess the risk of automation for female and male workers in four Latin American countries Bolivia, Chile, Colombia and El Salvador. Our study is the first to apply a task-based approach with a gender perspective in this region. Our main findings indicate that men are more likely than women to perform tasks linked to the skills of the future, such as STEM (science, technology, engineering and mathematics), information and communications technology, management and communication, and creative problem-solving tasks. Women thus have a higher average risk of automation, and 21% of women vs. 19% of men are at high risk (probability of automation greater than 70%). The differential impacts of the new technological trends for women and men must be assessed in order to guide the policy-making process to prepare workers for the future. Action should be taken to prevent digital transformation from worsening existing gender inequalities in the labor market.