Добірка наукової літератури з теми "Нелінійні інтегральні рівняння"

Для розв’язання задачі синтезу плоскої прямокутної решітки з хвилеводним збудженням її елементів використано варіаційний підхід. Запропонований функціонал включає три доданки, які дають змогу мінімізувати середньоквадратичне відхилення заданої та синтезованої амплітудних діаграм спрямованості (ДС), значення амплітуди поля в заданих областях ближньої зони, та норму коефіцієнтів збудження елементів решітки. При розв’язанні відповідної електродинамічної задачі аналізу враховується взаємний вплив випромінювачів решітки. Для визначення розподілу струму в випромінювачах решітки використовується інтегральне рівняння типу Халлена. Оптимальні коефіцієнти збудження випромінювачів визначені шляхом мінімізації запропонованого функціоналу, що зводиться до розв’язання системи нелінійних інтегральних рівнянь Ейлера, оскільки вхідними даними задачі є амплітудні характеристики випромінювання. Отримана система нелінійних інтегральних рівнянь розв’язується ефективно методом послідовних наближень, характерною властивістю якого є релаксаційність. Результати обчислень показали, що розроблений підхід може бути використаний для решіток з різною геометрією, зокрема з гексагональним розміщенням випромінювачів.

Розглядається нелінійне інтегральне рівняння (НІР) зі степеневою нелінійністю і ставиться задача побудови ізольованих обмежених за нормою розв’язків, на яких похідна Фреше оператора, визначеного лівою частиною рівняння обмежена зверху і знизу. Для наближеного розв’язування НІР застосовано елементи загальної теорії наближених методів. Для конструювання послідовності наближених рівнянь використано метод механічних квадратур. Сформульовані і доведені пряма та обернена теореми, які відповідно характеризують збіжність апроксимаційного методу переходу до наближених рівнянь і апостеріорну оцінку похибки наближеного розв’язку.

УДК 517.968.4 Досліджується один клас двовимірних інтегральних рівнянь на площині з монотонною нелінійністю. Багато окремих випадків вказаного рівняння мають застосування в різних областях природознавства. Зокрема, такі рівняння виникають у динамічній теорії -адичних відкрито-замкнених струн, у математичній теорії просторово-часового поширення епідемії, в кінетичній теорії газів (кінетичне рівняння Больцмана у рамках різних моделей), у теорії перенесення випромінювання. Доведено конструктивну теорему існування обмеженого нетривіального і знакозмінного розв'язку. Отримані результати застосовуються в теорії -адичних відкрито-замкнених струн і в математичній біології. Методи, використані при доведенні теореми, дають можливість вивчити клас двовимірних інтегральних рівнянь типу Урисона на чверті площини. Отримані результати проілюстровано на конкретних прикладах.

У статті представлено новий підхід до розв’язання квазістатичної просторової контактної задачі про фрикційну взаємодію жорсткого циліндричного штампа із плоскою основою та пружного півпростору, за умови послідовної дії на штамп монотонно зростаючих нормального та дотичного навантажень. Для врахування тертя ми використовували закон Кулона в класичній неспрощеній формі. Зони зчеплення і проковзування вважали заздалегідь невідомими і такими, що потрібно знайти. Процес навантажування моделювався скінченним числом станів рівноваги – кроків навантажування. Контактну задачу зведено до послідовного розв’язання однотипних систем нелінійних граничних інтегральних рівнянь на кожному кроці дискретного процесу навантажування. Отримані інтегральні рівняння характеризуються тим, що їхній вигляд не залежить від конфігурації зон зчеплення і проковзування. Для складання таких рівнянь необхідно лише вказати канонічну обмежену плоску область, яка містить у собі невідомі ділянки контакту на усіх етапах процесу навантажування тіл. Для отримання наближених розв’язків цих систем виконано їх дискретизацію. Побудовано збіжні ітераційні процеси для числового розв’язання отриманих в результаті цієї дискретизації систем нелінійних скалярних рівнянь. За допомогою числових розрахунків, виконаних при різних значеннях дотичного переміщення штампа, дослідили процес зміни розподілів діючих на його основу питомих контактних зусиль. Також досліджено відносні переміщення контактуючих поверхонь та еволюцію форм і розмірів зон зчеплення і проковзування при поступовому збільшенні дотичного навантажування. Встановили, що з появою дотичної сили зона зчеплення втрачає симетрію і зміщується до переднього, відносно напрямку руху, краю штампа. При збільшенні зовнішнього дотичного зусилля площа зони зчеплення зменшується і стає нульовою за умови початку повного проковзування штампа по поверхні півпростору. Найбільші значення питомих дотичних контактних зусиль та відносних переміщень контактуючих поверхонь досягаються біля заднього, відносно напрямку руху, краю штампа.

Актуальність теми дослідження. Застосування вібраційної технології вимагає поглибленого вивчення фізичних явищ, які виникають у різних коливальних системах, з метою визначення оптимальних параметрів вібраційного обладнання для підвищення ефективності технологічних процесів. Постановка проблеми. Дія вібрації в нелінійних механічних системах приводить до появи фізичних явищ, які можуть мати як корисний, так і небезпечний характер. Необхідність пояснення і математичного опису ряду своє-рідних фізичних явищ, пов’язаних із дією вібрацій на механічні системи, дозволяє розробляти перспективні математичні методи розрахунку складних коливальних систем. Аналіз останніх досліджень і публікацій. У більшості праць на базі розроблених окремих математичних моделей було розглянуто вплив вібрацій на механічні системи, які дозволили теоретично дослідити процес синхронізації і області стійкості коливальних систем. Виділення недосліджених частин загальної проблеми. У наукових працях відсутній єдиний універсальний математичний метод, який дозволяє теоретично досліджувати коливальні системи на умову стійкості й рівноваги. Постановка завдання. Метою статті є розробка універсального математичного методу для визначення умови стійкості й положень рівноваги коливальних систем під дією зовнішнього вібраційного навантаження. Виклад основного матеріалу. За інтегральною умовою Пуанкаре-Ляпунова на базі диференціальних рівнянь руху й відомих критеріїв оптимальності квазіконсервативних систем були визначені положення квазірівноговаги коливальних систем. Висновки відповідно до статті. Для коливальної системи у вигляді фізичного маятника з вібруючою віссю, математично описано фізичне явище «відведення», що характеризується зміщенням елементів коливальної системи від аналогічних положень рівноваги без накладання зовнішніх вібрацій. Досліджено ефект самосинхронізації для коливальної системи, що представлена у вигляді незрівноважених роторів на вібруючій основі.

Проблема математичного моделювання багатьох стаціонарних процесів призводить до необхідності розв’язання крайових задач для нелінійного звичайного диференціального рівняння. Точні розв’язки таких крайових задач відомі лише у поодиноких випадках. Крім того, до певних складностей приводить вирішення питання про існування та єдність розв’язку. При використанні двосторонніх ітеративних методів побудовано дві ітеративні послідовності, які з обох сторін збігаються з точним рішенням задачі, що дозволяє на кожному кроці ітеративного процесу мати апостеріорну оцінку похибки. Ефективність розробленого методу продемонстровано обчислювальним експериментом.

The paper deals with the question of the existence, uniqueness and the possibility of constructing successive approximations to the solution of one problem on the choice of population migration model in genetics, the mathematical model of which is the Dirichlet boundary value problem for a nonlinear elliptic equation. To solve this problem, the Green's quasifunction method is used, which allows one to find approximate solutions. Conditions are obtained that must satisfy the parameters included in the statement of the problem so that it is possible to construct successive approximations to a positive solution.

Дмітрова К. М. Наближено аналітичний розв’язок системи інтегральних рівнянь однієї плоскої контактної задачі про нелінійне зношування : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник Н. М. Д’яченко. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 40 с.
UA : Робота викладена на 40 сторінках друкованого тексту, містить 3 рисунки, 17 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження: система інтегральних рівнянь задачі про нелінійне зношування пружного шару при контакті. Мета роботи: знайти аналітичний і наближений розв’язки задачі про нелінійне зношування пружного шару при контакті за допомогою покрокового за часом методу, довести існування і єдиність такого розв’язку на кожному часовому кроці. Методи дослідження: аналітичний: вивчення та аналіз системи інтегральних рівнянь даної задачі, практичний: розв’язання конкретної контактної задачі; порівняльний: порівняння отриманих розв’язків з результатами І.Г. Горячевої. У кваліфікаційній роботі розглянуто задачу про нелінійне зношування пружної тонкої смуги при ковзанні по ній штампа з плоскою основою, що зводиться до розв’язання системи інтегральних рівнянь на кожному часовому кроці. Досліджено питання існування і єдиності розв’язку даної системи. Проведено аналіз розподілу тиску і товщини зношуваної смуги в різні моменти часу, зокрема на стадії припрацювання та на стадії сталого зносу.
EN : The work is presented on 40 pages of printed text,3figures, 17references, 1 supplement. The object of the study isa system of integral equations of the problem of nonlinear attrition of an elastic strip at contact. The aim of the study isto analyze the problem of nonlinear attrition of an elastic layer given contact, to prove the existence of the unique decision of the system of the integral equation, which this problem is reducedto, at each step to time, and to find an analytic and approximate solution in these steps. The methods of research areanalytical: to learn and to analyze the system of the integral equation, practical: to solve the specific flat contact problem, and comparative: to compare the gotten solution to I.H. Goryacheva’s result. In the qualifying paper, the problem of the nonlinear attrition of a thin elastic strip is considered at sliding on it a stamp with a flat basis. The problem is reduced to solving the system of integral equations in each step to time. The existence of the unique decision of the system is proved. The analysis of the distribution of pressure and thickness of a worn outstrip in different time intervals is carried out: at a stage of the run-in and at a stage of the steady-state wear.

Киба В. Г. Чисельне розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь дотичного контакту пружних куль з урахуванням тертя і зчеплення : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник Ю. М. Стрєляєв. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 46 с.
UA : Кваліфікаційна робота магістра «Чисельне розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь дотичного контакту пружних куль з урахуванням тертя і зчеплення»: 46 с., 4 рис., 19 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження – нелінійні інтегральні рівняння квазістатичної контактної задачі теорії пружності з урахуванням тертя. Мета роботи: розробка алгоритму чисельного розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь контактної задачі про фрикційну взаємодію пружних тіл, що перебувають під дією нормальних і дотичних сил. Методи дослідження – аналітичний, числовий. У даній роботі розглянуто математичну модель контактної задачі про взаємодію лінійно-пружних тіл, що перебувають під дією нормального і дотичного навантаження та сили тертя. Задачу зведено до сукупності систем нелінійних інтегральних рівнянь. Викладено алгоритм чисельного розв’язання отриманих систем інтегральних рівнянь. За допомогою цього алгоритму були знайдені наближені розв’язки квазістатичної задачі про фрикційну контактну взаємодію пружних куль, виготовлених з однакових матеріалів. Отримані чисельні результати порівнювалися з відомими розв’язками задач, а також з чисельними розв’язками цих задач в статичній постановці.
EN : Master’s Qualification Thesis «Numerical solution of nonlinear integral equations of the tangential contact of elastic balls taking into account friction and adhesion»: 46 pages, 4 figures, 19 references, 1 supplement. The object of research is nonlinear integral equations of the quasi-static contact problem of the theory of elasticity taking into account friction. Purpose: to develop an algorithm for numerical solution of nonlinear integral equations of the contact problem on the frictional interaction of elastic bodies under the action of normal and tangential forces. Research methods – analytical, numerical. In this paper, we consider a mathematical model of the contact problem on the interaction of linear-elastic bodies under the action of normal and tangential loads and friction forces. The problem is reduced to a set of systems of nonlinear integral equations. An algorithm for numerical solution of the obtained systems of integral equations is presented. Using this algorithm, approximate solutions of the quasi-static problem on the frictional contact interaction of elastic spheres made of the same materials were found. The obtained numerical results were compared with the known solutions of the problems, as well as with the numerical solutions of these problems in the static formulation.

Гудзь І. В. Наближене розв’язання крайових нелінійних інтегральних рівнянь фрикційного контакту з частковим проковзуванням циліндричного штампа та пружного півпростору: кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник Ю. М. Стрєляєв. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 60 с.
UA : Робота викладена на 60 сторінках друкованого тексту, містить 8 рисунків, 1 таблицю, 36 джерел, 1 додатків. Об’єкт дослідження: інтегральні рівняння, що описують напружено-деформований стан пружних тіл, які перебувають в умовах контактної взаємодії. Предмет дослідження: контакт циліндричного штампа та пружного півпростору. Мета роботи: застосувати метод крайових нелінійних інтегральних рівнянь до розв’язання задачі про фрикційний контакт кругового штампа з плоскою підошвою і пружного півпростору при дії на штамп нормального і дотичного навантаження.. Методи дослідження: метод крайових нелінійних інтегральних рівнянь В роботі викладено методику розв’язання квазістатичної контактної задачі теорії пружності за допомогою зведення цієї задачі до системи крайових нелінійних інтегральних рівнянь. Розглянуто алгоритм чисельного розв’язання отриманих інтегральних рівнянь. За допомогою представленого алгоритму отримано новий чисельний розв’язок задачі про контакт зі зчепленням і проковзуванням жорсткого циліндричного штампа з плоскою підошвою і пружного півпростору при нормальному і дотичному навантаженні штампа. Проаналізовано контактні напруження та конфігурацію зон зчеплення при поступовому збільшенні дотичного навантаження, а також умови початку повного проковзування штампа. Отримані результати можуть бути використані в подальших дослідженнях просторових задач контактної механіки.
EN : The work is presented on 60 pages of printed text, 8 figures, 1 table, 36 references, 1 supplements. The object of the study is contact of a cylindrical stamp and elastic half-space. The aim of the study is to apply the method of boundary nonlinear integral equations to solve the problem of frictional contact of a circular stamp with a flat sole and an elastic half-space under the action of a normal and tangential load on the stamp.. The methods of research are the method of boundary nonlinear integral equations. The method of solving the quasi-static contact problem of the theory of elasticity by reducing this problem to a system of boundary nonlinear integral equations is presented in the paper. The algorithm of numerical solution of the obtained integral equations is considered. Using the presented algorithm, a new numerical solution of the problem of contact with the adhesion and slippage of a rigid cylindrical stamp with a flat sole and an elastic half-space at normal and tangential loading of the stamp is obtained. The contact stresses and the configuration of the adhesion zones with a gradual increase in the tangential load, as well as the conditions of the beginning of complete slippage of the stamp are analyzed. The obtained results can be used in further studies of spatial problems of contact mechanics.