Добірка наукової літератури з теми "Математичні функції EXCEL"

Однією з особливостей хімії ХХІ століття є її інформатизація та математизація, при цьому хімія виходить на новий рівень розвитку з новими для неї можливостями. Багато авторів приділяють увагу місцю математики та інформатики в сучасній хімії: Н. Д. Вишнивецька, В. С. Вишнивецька, Т. М. Деркач, С. А. Неділько, М. Є. Соловйов, М. М. Соловйов, А. А. Черняк, Ж. А. Черняк, А. А. Якимович та інші.Загальновідомо, що в умовах вищих навчальних закладів та середніх шкіл дуже гостро стоїть питання про роботу на комп’ютерах тільки з ліцензійними програмами, що на даному етапі не завжди можливо. В той же час комп’ютери в навчальних закладах та в домашніх умовах налагоджені, в основному, на операційну систему Windows з пакетом програм Microsoft Office. Табличний процесор Excel входить до цього пакету програм, має великі обчислювальні можливості, зручний та простий в користуванні, має російський інтерфейс, тому раціонально математичні методи в хімії здійснювати в Excel. Ряд авторів присвятили свої роботи математичному моделюванні в Excel [1; 3; 6]. Про популярність цієї програми говорить і той факт, що табличний процесор Excel активно розглядається та використовується в соціальних мережах.Метою даної роботи є подання прикладів хімічних систем та процесів, які описуються за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), і алгоритмів розв’язування СЛАР в Excel.Більшість фізичних, фізико-хімічних, хімічних та технологічних процесів описуються СЛАР. Наведено приклади хімічних систем та хімічних процесів, математичними моделями яких є СЛАР.Неорганічна хімія. Розчини та їх приготування з вихідного розчину та кристалічної речовини. Розрахунок маси вихідних компонентів для приготування розчину певної маси та певної концентрації речовини. При цьому складають систему рівнянь, перше з яких є рівнянням балансу за масою розчину, який треба приготувати, друге є рівнянням матеріального балансу за речовиною в кінцевому розчині.Фізична хімія. Тиск багатокомпонентної хімічної системи. Розрахунок тиску пари чистих компонентів, якщо відомо сумарний тиск суміші цих компонентів в однофазній системі за певної сталої температури та склад суміші. В даному випадку складають систему рівнянь, в кожному з яких підводиться баланс за тиском суміші. Кількість рівнянь повинна бути неменше кількості компонентів у суміші.Аналітична хімія. Спектрофотометричний аналіз багатокомпонентної суміші. Розрахунок кількісного складу багатокомпонентної суміші за результатами вимірювання оптичної густини суміші при різних довжинах хвиль. При цьому складають систему рівнянь, в кожному з яких підводиться баланс за оптичною густиною суміші при певній довжині хвилі. Система рівнянь має розв’язок, якщо кількість довжин хвиль, при яких проводили вимірювання оптичної густини суміші, неменше кількості компонентів цієї суміші.Регресійний аналіз результатів хімічного експерименту. За методом найменших квадратів знаходять рівняння регресії (математична модель експерименту), яке оптимально відповідає залежності функції, яку вивчають, від аргументів в експерименті (наприклад, розчинності речовин від температури).Хімічна технологія. Суміші та їх приготування для проведення певного технологічного процесу з компонентів, в тому числі, відходів виробництва. Розрахунок маси вихідних компонентів для приготування суміші певної маси та певного складу. Для цього складають систему рівнянь, перше з яких є рівнянням балансу за масою суміші, яку треба приготувати, інші є рівняннями матеріального балансу за окремими речовинами в кінцевій суміші.Наступний етап в роботі хіміка – це розв’язання СЛАР, яке іноді є складним та довготривалим процесом. Застосування Excel значно спрощує та прискорює цей процес і дозволяє хіміку більше уваги приділити хімічній суті даного процесу. Тому розглянемо методи розв’язування СЛАР із застосуванням Excel.Існує багато способів розв’язання СЛАР, які поділяють на дві групи:1) точні методи, за допомогою яких знаходимо за певним алгоритмом точні значення коренів системи. До них відносяться метод Крамера, метод Жордана-Гауcса, метод Гаусcа, метод оберненої матриці та інші;2) ітераційні методи, за допомогою яких знаходимо корені системи з заданою заздалегідь точністю шляхом збіжних нескінченних процесів. Це такі методи, як метод простої ітерації, метод Гауcса-Зейделя, метод верхньої та нижньої релаксації та інші.Легко реалізуються в Excel такі методи розв’язування СЛАР, як метод Крамера та матричний метод (або метод оберненої матриці).Розв’язання СЛАР точними методамиМетод КрамераНехай задана система n лінійних рівнянь з n невідомими, (1)тоді їй відповідає матриця:(2)Якщо детермінант det A = Δ ≠ 0, ця система має єдиний розв’язок.Замінимо у визначнику основної матриці Δ i-ий стовпець стовпцем вільних членів, тоді одержимо n інших визначників для знаходження n невідомих Δ1, Δ2, …, Δ n. За формулами Крамера знаходимо невідомі:;; …; . (3)Таким чином, з формули (3) видно, що якщо визначник системи не дорівнює нулю (Δ ≠ 0), то система має лише один розв’язок.Цей метод можна реалізувати в Excel за допомогою математичної функції майстра функцій МОПРЕД (масив матриці), яка знаходить визначник матриці.Метод оберненої матриці1. Записуємо систему в матричній формі:Ах = b,де А – матриця коефіцієнтів; х – вектор невідомих; b – вектор вільних членів.2. Обидві частини матричного рівняння множаться на матрицю, обернену до А:А-1Ах = А-1b. (4)За визначенням, добуток матриці на обернену до неї дає одиничну матрицю, а добуток одиничної матриці на будь-який вектор дорівнює цьому ж вектору, тому рівняння (4) перетворюється до наступного вигляду:х = А-1b.Це і є розв’язок системи рівнянь.Для здійснення цього методу в Excel застосовують математичну функцію МОПРЕД (масив вихідної матриці А), МОБР (масив вихідної матриці А), за допомогою якої знаходять обернену матрицю А-1, та функцію МУМНОЖ (масив матриці А-1; масив вектора b), яка знаходить добуток матриць. Функції подані з указанням їх синтаксису в Excel. Функції «МУМНОЖ» та «МОБР» – функції масивів, які в якості результату повертають масив значень.Розв’язання СЛАР ітераційними методамиМетод простої ітерації1. Нехай маємо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (1), основна матриця А (2) якої має детермінант det A = Δ ≠ 0. Таким чином, система має єдиний розв’язок.2. Перевіримо задану систему на виконання для всіх рівнянь наступної умови, достатньої на цьому етапі для збіжності наступного процесу ітерацій:, і = 1, 2, …, n. (5)Якщо система n лінійних алгебраїчних рівнянь не задовольняє цій умові, то перетворюємо її на еквівалентну систему елементарними перетвореннями так, щоб виконувалась умова (5) для всіх діагональних коефіцієнтів. Вважаємо, що представлена система рівнянь (1) відповідає умові (5).3.Розв’яжемо перше рівняння відносно х1, друге – відносно х2 і так далі. В результаті одержимо таку систему в ітераційній формі:, (6)де ; при i ≠ j та ai,j = 0 при i = j.Тоді одержимо систему в матричному вигляді:х = β + αх, (7)де; ; .4. Розв’яжемо систему методом послідовних наближень (ітерацій). За нульовий розв’язок приймемо або розв’язок якимось прямим методом, або стовпець вільних членів, тобто, х(0) = β, або будь-які довільні числа.5. Підставимо одержані значення х(0) у праві частини рівнянь системи в ітераційній формі (6) і одержимо перше наближення х(1) = β + αх(0). потім друге наближення х(2) = β + αх(1) і так далі. В загальному вигляді маємо, що (k)-е наближення розраховуємо за формулою х(k) = β + αх(k-1).Якщо послідовність наближень х(1), х(2), …, х(k), … має границю, тобто, i = 1,2 … , n ,то ця границя буде розв’язком системи (7) xj*= (x1*, xj*,… , xn* ).Умова закінчення ітераційного процесу для отримання розв’язку наступна:, i = 1,2,…, n, (8)де ε > 0, не більше граничної похибки наближеного розв’язку.Метод Гауcса-ЗейделяЯкщо в методі простої ітерації при обчисленні k-го наближення х(k)=(х1(k), х2(k), х3(k)) використовуємо тільки результати (k-1)-го наближення, то в ітераційному методі Гауcса-Зейделя для обчислення хі(k) використовують вже знайдені значення х1 (k), … , хі-1(k). Умови збіжності методу Гауcса-Зейделя ті ж самі, що і для методу простої ітерації, але ітераційний процес в цьому випадку відбувається швидше, хоч обчислення більш громіздкі.Для здійснення цього методу в Excel треба привести СЛАР до ітераційної форми, налагодити обчислювальний ітераційний процес за допомогою меню «сервіс», ініціалізувати ітераційний процес уведенням початкових наближень та застосуванням логічної функції ЕСЛИ(лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь), при введенні рівнянь використати посилання. Ітераційний процес продовжують до тих пір, поки не досягають задовільної збіжності до розв’язку.Цей метод більш складний для реалізації в Excel, тому покажемо алгоритм на прикладі.Приклад. Нехай треба розв’язати таку систему рівнянь: Перетворимо систему лінійних рівнянь до ітераційної форми Відкриваємо робочий аркуш Excel і налагоджуємо обчислювальний ітераційний процес:- обираємо команду Сервис → Параметры;- відкриваємо вкладку Вычисления;- вмикаємо режим Вручную;- ставимо відмітку на перемикач Итерации;- уводимо в поле Предельное число итераций значення 1;- відмикаємо режим Пересчёт перед сохранением;- тиснемо на кнопку ОК.До комірки А1 вводимо «Розвязок систем рівнянь. Метод Гаусса-Зейделя».До комірки А3 вводимо «Поч. флаг».До комірки В3 вводимо початковий флаг ініціалізації (спочатку ИСТИНА, потім ЛОЖЬ), який би переводив обчислювальний процес в певний початковий стан.При введенні значення ИСТИНА функція ЕСЛИ (лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь) повертає початкові наближення в стовпець розв’язку (0;0;0), тобто, в якості аргументу функції (ЕСЛИ) знач_если_истина використовуємо початкові наближення 0;0;0.При введенні значення ЛОЖЬ функція ЕСЛИ (лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь) повертає наступні наближення в стовпець розв’язку, тобто, в якості аргументу функції (ЕСЛИ) знач_если_ложь використовуємо стовпець приведених рівнянь.До комірки А6 вводимо «Початкові значення».До комірок А7:А9 вводимо стовпець початкових наближень, нехай це будуть нулі (0;0;0).Вводимо стовпець рівнянь в ітераційній формі:До комірки В6 вводимо «Рівняння».До комірки В7 вводимо =(С8+2*С9)/8.До комірки В8 вводимо =(10-5*С7+С9)/7.До комірки В9 вводимо =(2+2*С7+С8)/4.В комірку С6 вводимо «Розв’язки».В комірку С7 вводимо формулу: =ЕСЛИ($B$3; A7; B7) і копіюємо її в комірки С8 та С9.Для проведення розрахунків встановлюємо флаг ініціалізації рівним ИСТИНА і натискаємо клавішу F9. Після ініціалізації листа змінюємо значення флага ініціалізації на ЛОЖЬ і натискаємо клавішу F9. Перехід до наступної ітерації здійснюємо за допомогою клавіші F9. Ітераційний процес продовжуємо доти, поки не буде виконуватись умова (8).ВисновкиБільшість фізичних, фізико-хімічних, хімічних та технологічних процесів описується системами лінійних рівнянь.Наведені приклади хімічних систем та процесів, які описуються за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь.Застосування Excel значно спрощує та прискорює розв’язок систем лінійних рівнянь.Описані алгоритми розв’язання систем лінійних рівнянь в Excel точними методами (метод Крамера та метод оберненої матриці) та ітераційним методом Гауcса-Зейделя.Представлені приклади систем з різних областей хімії та алгоритми розв’язання систем лінійних рівнянь в Excel можуть бути корисними для викладачів вищих навчальних закладів та вчителів шкіл з поглибленим вивченням хімії.ℼ佄呃偙⁅呈䱍倠䉕䥌⁃ⴢ⼯㍗⽃䐯䑔䠠䵔⁌⸴‰牔湡楳楴湯污⼯久㸢㰊呈䱍ਾ䠼䅅㹄ऊ䴼呅⁁呈偔䔭啑噉∽佃呎久ⵔ奔䕐•佃呎久㵔琢硥⽴瑨汭※档牡敳㵴瑵ⵦ∸ਾ㰉䥔䱔㹅⼼䥔䱔㹅ऊ䴼呅⁁䅎䕍∽䕇䕎䅒佔≒䌠乏䕔呎∽楌牢佥晦捩⁥⸴⸱⸳′䰨湩硵∩ਾ㰉䕍䅔丠䵁㵅䌢䕒呁䑅•佃呎久㵔〢〻㸢ऊ䴼呅⁁䅎䕍∽䡃乁䕇≄䌠乏䕔呎∽㬰∰ਾ㰉呓䱙⁅奔䕐∽整瑸振獳㸢ऊℼⴭऊ䀉慰敧笠洠牡楧㩮㈠浣素ऊ倉笠洠牡楧⵮潢瑴浯›⸰ㄲ浣※楤敲瑣潩㩮氠牴※潣潬㩲⌠〰〰〰※整瑸愭楬湧›番瑳晩㭹眠摩睯㩳〠※牯桰湡㩳〠素ऊ倉眮獥整湲笠猠ⵯ慬杮慵敧›歵唭⁁੽उ⹐瑣⁻潳氭湡畧条㩥愠⵲䅓素ऊ䄉氺湩⁻潣潬㩲⌠〰〰晦素ऊⴭਾ㰉匯奔䕌ਾ⼼䕈䑁ਾ䈼䑏⁙䅌䝎∽畲刭≕吠塅㵔⌢〰〰〰•䥌䭎∽〣〰昰≦䐠剉∽呌≒ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ黐듐뷐雑铑軑퀠₷뻐臑뻐뇐믐룐닐뻐臑苑뗐말턠톅킖톼톖ₗꗐꗐ蛐턠톁킂킾톻톖톂톂એ铑턠톗ₗ雑뷐蓑뻐胑볐냐苑룐럐냐蛑雑近턠킂₰볐냐苑뗐볐냐苑룐럐냐蛑雑近ਬ뿐胑룐턠톆킌킾톼₃藑雑볐雑近퀠킲톸킅킾킴톸톂₌뷐냐퀠킽킾킲킸₹胑雑닐뗐뷐賑턊킀킾킷킲톸킂톺₃럐퀠킽킾킲킸킼₸듐믐近퀠킽통ₗ볐뻐뛐믐룐닐뻐臑苑近볐룐ਮ釐냐돐냐苑뻐퀠킰톲킂톾톀킖₲뿐胑룐듐雑믐近軑苑賑턠킃킲킰톳₃볐雑臑蛑軑퀊킼톰킂킵킼톰킂킸킺₸苑냐턠킖톽킄톾킀킼톰킂킸킺₸닐턠톁톃킇톰킁톽킖હ藑雑볐雑韑›鷐☮扮灳퀻⺔渦獢㭰鋐룐裑뷐룐닐뗐蛑賑뫐냐ਬ鋐☮扮灳퀻⺡渦獢㭰鋐룐裑뷐룐닐뗐蛑賑뫐냐‬ꋐ☮扮灳퀻⺜渦獢㭰铐뗐胑뫐냐蟑ਬꇐ☮扮灳퀻⺐渦獢㭰鷐뗐듐雑믐賑뫐뻐‬鳐☮扮灳퀻⺄渦獢㭰ꇐ뻐믐뻐닐말뻐닐ਬ鳐☮扮灳퀻⺜渦獢㭰ꇐ뻐믐뻐닐말뻐닐‬郐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰Ꟑ뗐胑뷐近뫐ਬ雐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰Ꟑ뗐胑뷐近뫐‬郐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰꿐뫐룐볐뻐닐룐蟑턠킂ર雑뷐裑雑㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ韐냐돐냐믐賑뷐뻐닐雑듐뻐볐뻐‬觑뻐퀠₲菑볐뻐닐냐藑퀠킲톸킉톸અ뷐냐닐蟑냐믐賑뷐룐藑퀠킷킰킺킻킰톴킖₲苑냐턠킁통킀킵킴톽톖₅裑뫐雑믐퀊톴킃킶₵돐뻐臑苑胑뻐턠톁킂톾톗톂₌뿐룐苑냐뷐뷐近퀠톿킀₾胑뻐뇐뻐苑菑퀊킽₰뫐뻐볐뿐胢톙톎킂통킀톰₅苑雑믐賑뫐룐퀠₷믐雑蛑뗐뷐럐雑말뷐룐볐룐퀊톿킀킾톳킀킰킼킰킼Ⲹ턠킉₾뷐냐퀠킴킰킽킾톼₃뗐苑냐뿐雑퀠킽₵럐냐닐뛐듐룐퀊킼킾킶킻킸킲⺾퀠ₒ苑뻐말퀠킶₵蟑냐臑퀠킺킾킼馀軑苑뗐胑룐퀠લ뷐냐닐蟑냐믐賑뷐룐藑퀠킷킰킺킻킰킴톰₅苑냐퀠₲듐뻐볐냐裑뷐雑藑턠킃킼킾킲톰અ뷐냐믐냐돐뻐듐뛐뗐뷐雑‬닐퀠톾킁킽킾킲킽킾톼ⲃ퀠킽₰뻐뿐뗐胑냐蛑雑말뷐菑턊킁톸톁킂킵톼₃楗摮睯⁳럐퀠킿킰킺통킂킾₼뿐胑뻐돐胑냐볐䴠捩潲潳瑦伊晦捩⹥퀠킢킰킱킻톸킇킽킸₹뿐胑뻐蛑뗐臑뻐胑䔠捸汥퀠톲킅킾킴톸톂₌듐뻐턊톆킌킾킳₾뿐냐뫐뗐苑菑퀠톿킀킾톳킀킰Ⲽ퀠킼톰ₔ닐뗐믐룐뫐雑퀊킾톱킇톸킁톻킎킲킰톻킌톽ₖ볐뻐뛐믐룐닐뻐臑苑雑‬럐胑菑蟑뷐룐말턠킂ર뿐胑뻐臑苑룐말퀠₲뫐뻐胑룐臑苑菑닐냐뷐뷐雑‬볐냐铑턠킀톾톁킖톹톁킌킺킸હ雑뷐苑뗐胑蓑뗐말臑‬苑뻐볐菑턠킀톰톆킖킾킽킰톻킌킽₾볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐雑퀊킼통킂킾킴₸닐턠톅킖톼톖ₗ럐듐雑말臑뷐軑닐냐苑룐퀠₲硅散⹬퀠토킏઴냐닐苑뻐胑雑닐퀠톿킀톸킁톲톏킂킸킻₸臑닐뻐韑턠킀킾킱톾킂સ볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐뻐볐菑퀠킼킾킴킵톻킎킲킰킽톽ₖ닐䔠捸汥嬠㬱㌠※崶ਮ鿐胑뻐퀠킿킾톿킃톻톏킀톽톖톁톂₌蛑雑铑韑퀠톿킀킾톳킀킰킼₸돐뻐닐뻐胑룐苑賑턊ₖ苑뻐말턠킄킰톺Ⲃ턠킉₾苑냐뇐믐룐蟑뷐룐말퀠톿킀톾킆통킁톾₀硅散੬냐뫐苑룐닐뷐뻐턠킀킾킷킳톻킏킴톰톔톂톌톁₏苑냐퀠킲킸킺톾킀톸톁킂킾톲톃톔톂톌톁એ닐턠킁톾톆킖킰톻킌킽톸₅볐뗐胑뗐뛐냐藑㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ䈼퀾킜통킂톾㲎䈯‾듐냐뷐뻐韑턠킀킾킱톾킂₸铑퀠킿킾킴킰킽톽₏뿐胑룐뫐믐냐듐雑닐턊톅킖톼톖킇킽톸₅臑룐臑苑뗐볐턠킂₰뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐‬近뫐雑퀊킾킿톸톁톃톎톂톌톁₏럐냐퀠킴킾킿킾킼킾킳톾₎臑룐臑苑뗐볐룐퀠톻킖톽킖킹킽톸અ냐믐돐뗐뇐胑냐韑蟑뷐룐藑턠톀킖킲톽킏톽₌퀨킡킛킐⦠‬雑퀠킰킻킳톾킀톸킂톼킖લ胑뻐럐닐胢톙킏톷킃킲킰킽톽₏ꇐ鯐郐ꃐ퀠₲硅散⹬⼼㹐㰊⁐䅌䝎∽歵唭≁䌠䅌卓∽敷瑳牥≮匠奔䕌∽整瑸椭摮湥㩴〠㜮浣※慭杲湩戭瑯潴㩭〠浣㸢퀊톑킖톻톌톈톖톁톂₌蓑雑럐룐蟑뷐룐藑‬蓑雑럐룐뫐뻐턭톅킖톼톖킇킽톸ⲅ턊톅킖톼톖킇킽톸₅苑냐턠킂통킅킽킾킻킾톳톖킇킽톸₅뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐퀊킾킿톸톁톃톎톂톌톁₏ꇐ鯐郐ꃐ‮鷐냐닐뗐듐뗐뷐뻐퀠톿킀킸킺킻킰킴સ藑雑볐雑蟑뷐룐藑턠킁톸톁킂킵₼苑냐턠톅킖톼톖킇킽톸₅뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐ਬ볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐룐볐룐퀠킼킾킴킵톻킏킼₸近뫐룐藑턠ₔꇐ鯐郐ꃐ㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ唼퀾킝킵톾킀킳킰톽톖킇킽₰藑雑볐雑近㰮唯㰾㹉퀠킠킾톷킇킸킽₸苑냐턠톗અ뿐胑룐돐뻐苑菑닐냐뷐뷐近퀠₷닐룐藑雑듐뷐뻐돐뻐턠킀킾톷킇킸톽₃苑냐퀊톺킀톸톁킂킰톻톖

Математична статистика – розділ математики, в якому на основі дослідних даних вивчаються ймовірнісні закономірності масових явищ. Обробки даних, що здійснюється методами математичної статистики, потребують всі галузі досліджень: медицина, біологія, соціологія, математика, фізика, педагогіка тощо. До найважливіших розділів математичної статистики відносять:статистичні ряди розподілу;оцінка параметрів розподілу;закони розподілу вибіркових характеристик;перевірка статистичних гіпотез;дисперсійний, кореляційно-регресійний, коваріаційний аналіз;факторний та кластерний аналіз тощо.Тут розглядається лише один з перелічених розділів математичної статистики – оцінка параметрів розподілу, до яких відносяться такі параметри як математичне сподівання випадкової величини, її дисперсія, середньоквадратичне відхилення, асиметрія, ексцес та гістограма.Статистичні розрахунки без допомоги ЕОМ є складними й потребують використання багатьох таблиць функцій та квантилів стандартних розподілів. Це не сприяє тому, щоб відчути елемент новизни в матеріалі, який вивчається, змінити задовільно умови задач тощо. Використання ж спеціалізованих математичних пакетів під час навчання вимагає досить високого рівня підготовки з математичної статистики.Більшість з існуючих математичних пакетів надають можливість користувачам оперувати з випадковими величинами, в тому числі й пакети, що набули широкої популярності: Excel, Maple, Matlab.Статистика в цих пакетах має свою розвинену систему команд для обслуговування прикладних задач. Команди для статистичних робіт призначені тим категоріям користувачів, котрі потребують середовища, яке дозволяє легко переходити від однієї математичної спеціалізації до іншої, не витрачаючи зайвого часу на трансформацію даних й опанування різноманітних програмних засобів у вигляді набору команд для аналізу даних з обчисленням різноманітних середніх та квантилів, графічного зображення даних у вигляді гістограм та графіків, а також для обробки даних [1].Метою цієї статті є порівняння результатів статистичних обчисленьта побудови гістограми, що здійснено за допомогою згаданих пакетів.Проілюструємо це, здійснивши обробку вибірки, обсяг якої складає 80 значень (табл. 1), за допомогою пакетів Excel, Maple, Matlab. Результати обробки вибірки, наведеної в табл. 1, подано в табл. 2.Таблиця 1Вибірка 13,3913,4613,2613,5913,5413,4213,5313,513,5213,3613,5713,3113,4213,5313,3313,3613,3713,4513,5713,3713,3913,3413,3313,2613,3813,5513,4313,4413,3113,3213,5813,313,6213,3413,6413,5613,5313,2913,513,3413,3713,4413,6613,513,413,2813,4313,413,5113,2413,4413,3313,3313,5813,4313,413,2313,4813,4913,2613,313,3413,5313,2513,5413,513,4213,2813,4513,413,5513,4713,413,5413,4813,2813,3213,3613,3813,31 Таблиця 2Результати обробки вибірки ВручнуExcelMapleMatlabСереднє13,4213,4213.4213.42Дисперсія вибірки0,011362030,01136200,0113620,0114Стандартне відхилення0.106592800,10659280,1065930,1066Асиметричність0,1942020,20170280,1966600,1979Ексцес2,0440198–0,8841312,0698932,0961 Як випливає з результатів обчислень, всі пакети подають однакові результати для математичного сподівання (середнього), дисперсії та середньоквадратичного відхилення.Щодо коефіцієнтів асиметрії та ексцесу, то жоден результат не збігається.Аналіз результатів обчислень показав, що збіг між цими обчисленнями відсутній через різне визначення коефіцієнтів асиметрії та ексцесу в наведених пакетах.Теоретично коефіцієнт асиметрії, який характеризує несиметричність графіка функції розподілу і визначається як , де m3 – центральний емпіричний момент третього порядку, що визначається як;n – обсяг вибірки;xi – елемент вибірки;– вибіркове середнє, яке визначається як;σ – підправлене середнє квадратичне або стандартне відхилення випадкової величини, яке визначається як.В пакеті Excel коефіцієнт асиметрії обчислюється за виразом.В системі комп’ютерної математики Maple коефіцієнт асиметрії обчислюється за виразом .В системі комп’ютерної математики Matlab коефіцієнт асиметрії збігається з теоретичним.Теоретично коефіцієнт ексцесу, який характеризує сплющеність кривої розподілу та протяжність спадів, і визначається як , де m4 – центральний емпіричний момент четвертого порядку, який визначається як ; –3 враховує той факт, що коефіцієнт ексцесу для нормального закону розподілу випадкових величин дорівнює 3.Коефіцієнт ексцесу в пакеті Excel обчислюється за виразом.В системі комп’ютерної математики Maple коефіцієнт ексцесу обчислюється за виразом .В системі комп’ютерної математики Matlab коефіцієнт ексцесу обчислюється як теоретичний без урахування поправки на нормальний закон розподілу .Для візуалізації відмінностей обчислення коефіцієнтів асиметрії та ексцесу їх наведено на рис. 1. а бРис. 1. Відмінності обчислення коефіцієнтіва – коефіцієнт асиметрії; б – коефіцієнт ексцесу Результати побудови гістограми для цієї вибірки наведено на рис. 2.З цього рисунку видно, що гістограми, які побудовані вручну та за допомогою систем комп’ютерної математики Maple та Matlab, є однаковими, а побудована за допомогою пакету Excel, має багато відмінностей.Щоб з’ясувати причини такої розбіжності, проаналізуємо межі інтервалів на які поділено варіаційний ряд, що утворено з вибірки.Результати обчислення меж інтервалів, що виконано за допомогою пакету Excel, наведено в таблиці 3.Таблиця 3Межі інтервалів за пакетом Excel BinFrequency13,23113,28375813,33751213,391251413,4451413,49875713,55251513,606256More3 Результати обчислення меж інтервалів, що здійснено за допомогою інших пакетів, наведено в таблиці 4. а) б) в) г)Рис. 2. Гістограми: а – вручну; б – Excel; в – Maple; г –Matlab Таблиця 4Межі інтервалів за іншими обчисленнями BinFrequency13.23 .. 13.27778613.27778 .. 13.325561113.32556 .. 13.373331413.37333 .. 13.421111213.42111 .. 13.46889913.46889 .. 13.51667913.51667 .. 13.564441113.56444 .. 13.61222513.61222 .. 13.663 З порівняння даних з таблиць 3 та 4 випливає, що в пакеті Excel межі інтервалів обчислюються з похибками, а це призводить до неправильного визначення кількості елементів, які потрапляють в ці інтервали.Отже, для того, щоб правильно побудувати гістограму за допомогою пакету Excel, попередньо необхідно обчислити межі інтервалів.Таким чином, під час обчислення статистичних характеристик за допомогою комп’ютерних пакетів необхідно або здійснити попереднє порівняння результатів обчислень, що не завжди зручно, або з’ясувати за якими формулами відбуваються обчислення необхідних параметрів і вжити відповідних заходів для усунення можливих розбіжностей.

Проблема контролю і корекції навчальної діяльності не нова, і педагогічний досвід, накопичений у цій області, багатий і різносторонній. У зв’язку з інтенсивним впровадженням у навчальний процес ІКТ змінюються форми, методи та засоби навчання математики, зокрема контролю навчальних досягнень. Питаннями контролю навчальних досягнень учнів / студентів з математики займалися такі дослідники, як М.І. Бурда [2], Н. В. Вовковінська [3], З. І. Слєпкань [7], Л. П. Черкаська та ін.Можливості використання комп’ютерних технологій під час навчання математики, впровадження дистанційних технологій у навчальний процес висвітлені у роботах таких науковців, як В. Ю. Биков [1], Н. В. Морзе, М. І. Жалдак [4], В. М. Кухаренко, С.О.Семеріков, Є. М. Смирнова-Трибульська [8], Ю. В. Триус та ін.Серед функцій контролю М. М. Фіцула [9], З. І. Слєпкань [7] виділяють навчальну, виховну, розвиваючу, діагностичну, стимулюючу, оцінювальну, управлінську. За місцем у навчальному процесі розрізнять попередній, поточний, періодичний, підсумковий контроль. Перевірка має бути цілеспрямованою, об’єктивною, всебічною, регулярною та індивідуальною. Головна мета перевірки результативності навчання – це забезпечення ефективності шляхом приведення до системи знань, умінь, навичок студентів, самостійного застосування здобутих знань на практиці, стимулювання їх навчальної діяльності, формування в них прагнення до самоосвіти. Оцінювання має ґрунтуватися на позитивному принципі, який передбачає врахування досягнень студента, а не його невдач [9, 221]. Контроль та оцінка в будь-якому виді діяльності завжди суттєво впливають на її якість та ефективність, на ставлення людини до виконання обов’язків, на розвиток почуття відповідальності за стан справ і мотивації цілеспрямованої діяльності.У процесі контролю з використанням засобів ІКТ важливо забезпечити розв’язання низки таких завдань, як виявлення готовності студента до сприйняття, усвідомлення і засвоєння нових знань; отримання відомостей про характер самостійної роботи в процесі навчання; визначення ефективності організаційних форм, методів і засобів навчання; виявлення ступеня правильності, обсягу і глибини засвоєних майбутніми учителями математики знань, умінь та навичок; стимулювання інтересу студентів до предмету та їхньої активності у пізнанні. Важливо забезпечити зворотний зв’язок між викладачем і студентом, між студентом і програмним забезпеченням, отримання викладачем об’єктивних даних про ступінь засвоєння студентами навчального матеріалу, своєчасне виявлення недоліків і прогалин у їх знаннях.На заняттях математики та методики її навчання, і зокрема, в курсі «Інформаційно-комунікаційні засоби навчання математики», застосування самоконтролю розвиває самостійність, швидкість, впевненість у розв’язанні поставленого завдання, логічне мислення студентів. У процесі роботи виділяємо наступні етапи здійснення самоконтролю: усвідомлення студентами мети діяльності; ознайомлення зі зразком кінцевого результату і способами його досягнення; порівняння прийомів розв’язування, кінцевого результату зі зразком; самооцінка виконаної роботи; внесення коректив у власну діяльність.Самоконтроль, зокрема розв’язування тестових завдань, є своєрідним тренуванням, яке дозволяє усунути почуття дискомфорту, підсилити впевненість у своїх діях, підвищити рівень успішності. Тестові завдання найчастіше розміщуємо в електронних навчальних курсах, розроблених на платформі Moodle. Використання тестів як у контрольному, так і у навчальному режимі слугує гуманізації освіти, орієнтації процесу навчання на розвиток особистості студента, реалізації особистісно-орієнтованого навчання, підвищенню якості й об’єктивності оцінювання [6].Варто зазначити обмеженість використання тестів для контролю і корекції навчальних досягнень майбутніх вчителів математики, і особливо умінь, пов’язаних з проектуванням навчальної діяльності учнів. Навчання повинне вести через розуміння до знань, від знань – до умінь по їх застосуванню на практиці. Тому широко використовуємо у роботі такі інструменти, як відповідь текстом, обговорення на форумі, розробка спільних документів. В числі документів, які студенти можуть спільно удосконалювати, є розробки різних уроків, добірки посилань за певними темами тощо.Крім того, залучення студентів до розробки матеріалів для контролю навчальних досягнень учнів таких як тестові завдання, зокрема, кросворди і ребуси для різних програмних засобів навчання математики, сприятиме формуванню уміння володіти методиками використання прикладних програмних продуктів для підтримки навчального процесу.При проектуванні і розробці навчальних тестів, кроків дистанційних уроків математики доцільно дотримуватися певних принципів. Є. М. Смирнова-Трибульска виділяє сім таких принципів [8, 461]. Важливо визначити, як застосовуватимуться засвоєні знання, тобто чітко сформулювати змістовні завдання, які повинен уміти вирішувати майбутній учитель. Для цього слід формувати уміння виділяти ключові терміни і встановлювати їх взаємозв’язки. По-друге, кількість типів завдань в тесті визначається кількістю ключових слів першого рівня. Третій принцип – кількість питань в кожному типі завдань визначається кількістю ключових слів другого рівня. Ключові слова другого рівня також можна розглядати як логічно неподільні одиниці навчального матеріалу, що мають свої властивості і характеристики, виступаючі ключовими поняттями третього рівня занурення, і так далі. Кількість рівнів не повинна перевищувати чотири, а кількість понять одного рівня повинна відповідати кількості окремих одиниць навчального матеріалу, які можна утримати в короткочасній пам’яті, тобто 7±2 логічно неподільних одиниць. Навчальна тема ділиться на порції, кожна з яких направлена на відробіток певних ключових слів або зв’язків між ними. В одному тестовому завданні доцільно «відпрацьовувати» ключові поняття тільки сусідніх рівнів, не допускати логічного стрибка через рівень.Оскільки коректування «неправильної» суб’єктивної моделі знань відбувається в учня/студента в процесі осмислення власних помилок, то необхідно надати їм можливість пропрацювати з тим же тестовим завданням, але на іншому фактичному матеріалі, що зберігається в базі даних і вибираному випадковим чином на наступному занятті після опрацьовування помилок. Отже, доцільна організація циклічної роботи з тестовим завданням. Застосування комп’ютерних навчальних тестів, розроблених на науковій основі, дозволяє організувати ефективну самостійну роботу студентів/учнів по коректуванню власних індивідуальних моделей навчання, зокрема, в дистанційній формі.Проте не можна не звернути увагу на певні труднощі, які виникають у процесі контролю з використанням ІКТ. Рівень інтерактивної взаємодії користувача з програмним забезпеченням ще доволі низький і далекий від рівня спілкування між людьми. Під час індивідуальної роботи учня / студента з програмним забезпеченням, часто «зворотний зв’язок» обмежується контролем відповідей на рівні «правильно-неправильно», хоча деякі автори вже почали враховувати цей недолік.Детальніше зупинимося на реалізації функцій контролю засобами ІКТ. Ці проблеми досліджувалися нами спільно з К. В. Міщенко [6].Діагностична функція. Для реалізації діагностичної функції ми пропонуємо різні шляхи: тестові завдання, контрольні роботи, задачі за готовими малюнками, математичні диктанти. Яскравим прикладом здійснення діагностичної функції контролю є розроблені нами на основі посібників [2; 5] тематичні атестації, диференційовані за рівнями складності. Основа контролю – старанно відпрацьований навчальний матеріал. Контролюється засвоєння матеріалу, який вивчався в класі або вдома. Мета перевірки – визначити рівень засвоєння матеріалу. Перший рівень (початковий) містить тестові завдання, наступні три рівні (середній, достатній і високий) подані у вигляді задач. Запитання в завданнях ми прагнули зробити однозначними, зрозумілими і конкретними. Кожне виконане завдання оцінюється відповідною кількістю балів.Навчальна функція. Навчальна функція полягає в удосконаленні знань і вмінь, їх систематизації; перевірка допомагає учням виділити головне, основне в матеріалі, що вивчається, зробити знання і вміння більш зрозумілими і точними. Щоб реалізувати навчальну функцію контролю, необхідно показати учню, що він зробив правильно, а де є неточності. Учень повинен мати зворотній зв’язок про правильність виконання роботи. Для забезпечення цього зв’язку у процесі навчання з використанням дистанційних технологій потрібно, щоб відразу за запитанням і відповіддю учня давалась правильна відповідь, здійснювалась перевірка, коментувалась відповідь учня. Реалізація таких можливостей може бути забезпечена, якщо для розробки електронного курсу використовувати платформу Moodle. Нами розроблено тестові завдання навчального характеру, за допомогою яких учні мають змогу з’ясувати стан засвоєння навчального матеріалу, причому результати перевірки можна отримати одразу по проходженню тесту; в разі необхідності проаналізувати свої помилки; отримати додаткові пояснення після вибору тієї чи іншої відповіді. Доцільно запропонувати тести з різними типами запитань – питання на вибір правильного твердження, на відповідність, питання з короткою відповіддю, питання з числовою відповіддю, питання на множинний вибір. При цьому основними етапами роботи вчителя є добір завдань для учнів, створення коментарів до можливих варіантів відповідей, розробка алгоритмів розв’язування задач.Як зазначалося вище, окрім кінцевої оцінки, учень має змогу отримати коментар, заздалегідь створений вчителем, до кожної своєї відповіді. Особливістю даних коментарів є те, що вони не акцентують увагу на помилках, а прагнуть показати учню, на що потрібно звернути увагу, або вказати шляхи усунення недоліків. Так забезпечується реалізація позитивного принципу оцінювання, тобто фіксація досягнень, а не недоліків учнів. Якщо не буде врахована навчальна функція тестів, вони можуть завдати шкоди учням та реалізації програми навчання загалом. Реалізація навчальної функції контролю виражається ще й у попередженні помилок учнів. Так до того, як учні перейдуть до самостійного розв’язування задач, доцільно представити зразки виконання аналогічних завдань.Розвивальна функція. Під час розв’язування запропонованих нами завдань для контролю, завдань навчального характеру учні мають змогу розвивати пам’ять, мислення: логічне, критичне, креативне, інтуїтивне. Недоліком роботи з комп’ютером є те, що учень не може в повній мірі реалізувати розвиток правильної, точної математичної мови. Але це стосується лише усного викладу думок. Вміння правильно формулювати думку можна формувати шляхом спілкування з учнями за допомогою форумів та чатів, а також створюючи завдання і запитання, на які учні мають надавати відповіді в режимі on-line.Виховна функція. Реалізація виховної функції контролю в значній мірі залежить від вчителя. Адже виховна функція полягає в формуванні в учнів свідомого ставлення до навчання з використанням ІКТ, усвідомлення, що використання Інтернет-ресурсів, перш за все, виконує інформаційну функцію; в формуванні потреби до самоконтролю та самооцінки. Під час організації контролю бажано звертати увагу на розвиток в учнів основних особистісних блоків: законослухняності, старанності, відповідальності, позитивного сприйняття себе як особистості. Наприклад, для формування законослухняності необхідно попередити списування. Завдання в ЕНК «Геометрія, 8 клас» дозволяють забезпечити дану вимогу, принаймні під час роботи учнів на уроці в комп’ютерному класі. Пропонуючи учням тести, вчитель має можливість застосувати певні опції, які дозволять щоразу змінювати порядок висвітлення питань та варіантів відповідей на них. Крім цього, створюючи, наприклад, узагальнюючі тести, можна автоматично обирати випадкові питання певного рівня з декількох раніше створених завдань. Це дає змогу синтезувати різноманітні варіанти завдань для учнів певного рівня складності. Ще одна вимога до контролю, яка полягає у забезпеченні позитивного принципу оцінювання та формуванні в учнів позитивного сприйняття себе як особистості, приводить до думки, що навчання повинно бути під силу кожному учню. Такий підхід дозволяє забезпечити диференціація завдань за рівнями складності (наприклад, тематичні атестації). Обираючи певний рівень складності, учень має можливість будувати індивідуальну траєкторію навчання.Стимулююча функція. Контроль повинен стимулювати бажання дитини займатися математикою. Для цього необхідно довести до розуміння учнів свій підхід до виставлення оцінок. В ЕНК «Геометрія, 8 клас» за кожне правильно виконане завдання виставляється певна кількість балів. Наприкінці проходження тесту або після кожної своєї відповіді в залежності від обраного режиму тесту (контролюючого чи навчального) учень має можливість отримати повну інформацію про максимальну кількість балів та кількість балів, яку він набрав, стосовно кожного завдання окремо. При цьому завдяки платформі Moodle учень має змогу отримати не лише числове вираження оцінки, а і її обґрунтування, побажання щодо наступних дій учня. Ця можливість створюється шляхом спілкування на форумі. Найголовніше в забезпеченні стимулюючої функції є реалізація принципу позитивних досягнень учнів. Велику роль у стимулюванні учнів відіграє вчитель. Адже в силу вікових особливостей учнів та недостатньо сформованої пізнавальної самостійності вони потребують постійного спонукання до навчання.Управлінська функція. Використання платформи Moodle дозволяє вчителю одержати вичерпні відомості про успіхи і недоліки кожного учня, з’ясувати, які знання та уміння були засвоєні, а які потребують уточнення та корекції. Результати кожного пройденого учнями тесту можна переглянути, перейшовши на вкладку «Результати». З’являється таблиця, в якій вказано прізвища тих користувачів, які зареєстровані в Інтернет-ресурсів, номер тесту, який вони пройшли, час проходження тесту, загальна оцінка кожного учня та окремо оцінка по кожному з питань. Окрім цього, існує можливість з’ясувати середній бал серед учасників по даному тесту, а також середній бал по кожному з питань тесту. Задля полегшення сприйняття відомостей можна висвітлювати результати лише окремих груп учнів. Moodle автоматично створює діаграму, яка дозволяє порівняти результати групи з загальними результатами усіх учасників курсу. Отримані учнями результати можна завантажити на персональний комп’ютер у текстовому форматі або у форматі Excel, що надає можливість зручного доступу до таблиці у будь-який час. Володіння даними відомостями створює можливість для вчителя встановити, які питання для учнів виявилися легкими, а які більш складними. Аналіз даних результатів дозволить створювати тести, які відповідатимуть можливостям учнів, не будуть ні надмірно складними, ні надмірно легкими. Таким чином, у вчителя існує можливість скорегувати і спланувати роботу учнів та свою, в чому і полягає управлінська функція контролю.Корекція знань учнів. Розглянемо, як за допомогою ІКТ, зокрема під час виконання завдань з ЕНК «Геометрія, 8 клас», можна забезпечити корекцію знань учнів. Цьому сприяє багато факторів. По-перше, це відомості про кількість балів, яку отримав учень. Це і загальна кількість балів, і максимально можливий результат, і бали окремо із кожного завдання. Це дає змогу учневі проаналізувати свою відповідь та з’ясувати, де були помилки. По-друге, це наявність в тестових завданнях коментарів до відповідей учнів. Вони не просто вказують на помилку, а допомагають знайти шлях розв’язання того чи іншого завдання. По-третє, нами створені спеціальні підказки до завдань, які допомагають учням або побудувати малюнок, або згадати необхідні теоретичні відомості, або усвідомити алгоритм розв’язання тієї чи іншої задачі. По-четверте, швидка перевірка отриманих результатів сприяє аналізу учнями своїх помилок «по гарячих слідах». Адже під час перевірки в учнів з’являється інтерес до результату своєї роботи і їм цікаво, чому і де саме вони помилились. Якщо ж оголошення оцінки віддалене в часі, то цей інтерес поступово зникає.Таким чином, використання ІКТ дозволяє забезпечити всі функції контролю, деякі в більшій, деякі в меншій мірі. В умовах інтеграції очної й дистанційної форм навчання пріоритетним є не лише підсумковий результат перевірки, а забезпечення навчальної функції контролю, самоконтролю та корекції знань учнів.

У статті окреслено особливості використання корпоративної платформи Office 365 в організації навчального процесу студентів економічних спеціальностей, що забезпечує доступ до засобів і освітніх сервісів, відпрацювання технологій використання електронних освітніх ресурсів і проєктування освітнього середовища студентів і викладачів. Досліджуються особливості застосування додатка Excel online хмарного сервісу Office 365 на прикладі вбудованих функцій та проєктування групової робити студентів.Для більш ефективного висвітлення означених вище питань запропоновано методику, що охоплює предметне навчання із дисципліни «Інформаційні технології в професійній діяльності», що охоплює елементи використання студентами хмарних сервісів у навчанні та подальшій професійній діяльності. Методика дослідження включає відпрацювання практичних завдань в Excel online для вирішення математичних, логічних, фінансових функцій, функцій дати та часу, а також роботи з використанням команд «Редагування» та «Спільний доступ», що передбачають перегляд документа в браузері, внесення швидких змін, приміток, друк із браузера, зберігання документа в сховищі файлів OneDrive.

Для досліджень розмірно-якісної структури деревини стовбурів Quercus robur L. використано дослідні дані, зібрані в деревостанах вегетативного походження Лівобережного Лісостепу на тимчасових пробних площах. Проаналізовано розподіл об'єму ділових стовбурів дуба звичайного за розмірно-якісними категоріями деревини залежно від діаметра, висоти та об'єму. Найтіснішу лінійну залежність від об'єму стовбура в корі виявлено для абсолютних значень об’єму ділової деревини. Пошук параметрів рівнянь виконано у MS Excel. Систематична похибка математичних моделей виходу ділової деревини становить 1,0%. Для отримання даних розподілу об'єму ділової деревини за класами товщини, передбачених ДСТУ 1315-1-2001, розроблено алгоритм умовного розкряжування модельних дерев, який базується на апроксимації твірної поверхні стовбура за допомогою математичної моделі функції Riemer–Gadow–Sloboda. Розмірну структуру ділової деревини узагальнено за методикою, що базується на встановленні закономірностей розподілу об'єму за класами товщини у відносних величинах. Виявлено тісну залежність (коефіцієнт детермінації моделей R2 = 0,68-0,82) відносних величин розмірної структури від діаметра модельних дерев на висоті 1,3 м. Порівняння поданих нормативів з даними розробки лісосік рубок головного користування 2019-2020 рр. показало, що характер розподілу деревини за класами товщини є подібним з незначними відхиленнями. Розроблені за новими стандартами таблиці забезпечують прогнозування розподілу об'єму ділової деревини ділових стовбурів дуба звичайного за класами товщини, за серединним діаметром лісоматеріалів без кори залежно від діаметра на висоті 1,3 м.

Постановка проблеми. Нині актуальним є соціальне замовлення суспільства на висококваліфікованих фахівців, що володіють високим рівнем інформаційної культури, розвиненим стохастичним мисленням. Можна констатувати недостатній рівень сформованості стохастичної культури абітурієнтів вищого навчального закладу і як наслідок його випускників. Вирішувати це протиріччя можна через посилення методичної підготовки майбутніх вчителів математики, вчителів у системі післядипломної освіти шляхом ефективного запровадження ІКТ у процесі вивчення стохастики, зокрема використання закритих чи відкритих електронних навчальних курсів.Щодо вчителя математики, затребуваним є високий рівень сформованості методичних та інформатичних компетентностей, тому наші дослідження проводимо в рамках проблеми формування методичних компетентностей вчителя математики до використання ІКТ, зокрема у процесі вивчення майбутніми вчителями математики курсу теорії ймовірностей і математичної статистики.Аналіз досліджень і публікацій. Проблеми інформатизації курсу теорії ймовірностей і математичної статистики досліджували в Україні М. І. Жалдак, Н. М. Кузьміна, Г. О. Михалін. Авторами розроблено підручник для вивчення курсу [1]. До візуалізації абстракцій рекомендується у процесі навчання використовувати програмні засоби навчального призначення, зокрема Gran1. Наводяться приклади такої візуалізації. У підручнику [1] на початку вивчення курсу вводиться поняття відносної частоти або статистичної ймовірності. Властивості ймовірності, основні теореми розглядаються спочатку для відносних частот. Далі відбувається узагальнення – перехід до таких же властивостей і теорем, але вже розглядається аксіоматичне означення ймовірності випадкової події. А так звані «класичне», «геометричне» означення розглядаються як приклади міри. Разом з підручник використовуємо і збірник задач [2].У роботі С. А. Самсонової [3] розглядається методична система навчання стохастики на основі ІКТ.Метою статті є висвітлення можливостей використання у навчальному процесі розроблених навчальних курсів на основі MOODLE, програмних засобів навчання, електронних наочностей.Основний матеріал. У навчанні теорії ймовірностей і математичної статистики використовуємо електронні навчальні курси, розроблені на платформі MOODLE. MOODLE доцільно використовувати не тільки для розробки дистанційних курсів, але й у процесі очного та комбінованого навчання. Перевага використання електронних курсів у тому, що, перш за все, акумулюються навчальні ресурси. Студенти мають змогу самостійно здійснювати тестування власного рівня навчальних досягнень із зазначеного предмету. З цією метою ми розробили тестові завдання і додали їх до тестів навчального і контролюючого типів. Користувачі, які віддають перевагу режиму входу «гість», не матимуть змоги здійснювати тестування, проходження дистанційних уроків. У той же час вони мають змогу користуватися всіма наявними ресурсами, зразками виконання практичних і лабораторних завдань, переглядати демонстрації, дібрані для вивчення тієї чи іншої теми з колекції демонстрацій WolframAlpha. Представлені також мультимедійні презентації, з яких зроблено посилання на відповідні файли програми Gran1, яку використовуємо у навчанні теорії ймовірностей та математичної статистики з метою демонстрації зміни графічних характеристик (графіка функції розподілу, а для неперервних випадкових величин також графіка функції щільності розподілу), для опрацювання варіаційних рядів, побудови їх графічних характеристик, для перевірки статистичної гіпотези про закон розподілу, для встановлення регресійних залежностей. Подаються також завдання і зразки виконання лабораторних робіт з математичної статистики за допомогою Microsoft Excel. Передбачається можливість опрацювання даних з використанням «Пакету аналізу»; через використання вбудованих функцій; як звичайного калькулятора для кращого розуміння алгоритмів виконання вручну.До розробки дидактичних і окремих методичних матеріалів залучаємо і безпосередньо студентів. Зокрема, створено добірку матеріалів для використання на сенсорній дошці з програмним забезпеченням InterWrite. Наші дослідження показали, що для опрацювання даних доцільніше використовувати хмарні сервісм Google Spreadsheets та Wolfram|Alpha. При побудові графіків розподілів статистичних ймовірностей перевагу має Gran1.З метою посилення мотиваційних аспектів учіння в середовищі електронних курсів необхідно розміщувати матеріали прикладного характеру чи посилання на матеріали, розміщені в мережі Інтернет. В основу таких ресурсів мають бути покладені матеріали авторського колективу під керівництвом М. І. Жалдака [1]. Краще, якщо це будуть розроблені веб-сторінки у середовищі MOODLE, що забезпечить інтеграцію з вбудованим словником. При створенні таких сторінок утруднення викликає написання формул.У колекції посилань на джерела Інтернет, зокрема, Вікіпедії, Exponenta.Ru, необхідно робити анотації. Наприклад, означення і запис функції розподілу ймовірностей у цих джерелах такий, що слідує у властивостях неперервність функції справа, тоді як в українських і пострадянських підручниках з означення функції розподілу випливає властивість неперервності зліва. Варто звернути увагу на те, чи в електронних підручниках, інших джерелах з мережі покладене в основу доведення властивостей ймовірностей аксіоматичне означення, як того вимагається у стандарті. У процесі використання колекції демонстрацій Wolfram|Alpha увагу потрібно звернути на розвиток критичного мислення студентів. Наприклад, на коректність поданих графічних характеристик розподілів ймовірностей, на відмінність в означенні геометричного розподілу у вітчизняних та зарубіжних виданнях тощо.Детальніше зупинимося на використанні у навчанні тестових завдань – навчальних та контрольних тестів. Навчальні тести допомагають студенту перевірити та удосконалити власні знання з деякої теми, оскільки такий вид тестування передбачає поточну перевірку результатів та містить пояснення до кожного завдання, які студент може переглянути відразу після того, як отримає відповідь. Контрольні тести призначені для перевірки рівня засвоєних знань з деякої теми. У цьому разі студенти мають змогу побачити усі правильні відповіді лише після закриття тесту, якщо викладач зробив можливим доступ для перевірки відповідей. Це попереджує списування, а також дає об’єктивнішу оцінку знань. Тести можуть бути наступних типів [4]:1) альтернативний тест – найпростіший у розв’язанні. У ньому запропоноване запитання передбачає 3-5 варіантів відповідей, серед яких лише один – правильний. При цьому чим більше варіантів відповідей, тим менша можливість вгадування відповіді. Альтернативний тест необхідно добирати для таких завдань, які виключають варіанти різного тлумачення правильної відповіді;2) вибірковий, або варіативний, тест. Передбачає 10-12 варіантів відповідей на тестове завдання, з яких 5-8 відповідей правильні;3) послідовний або порядковий. У варіантах відповіді на таке тестове завдання відсутні неправильні відповіді, необхідно розташувати у правильній послідовності запропоновані у невпорядкованому вигляді поняття, слова, визначення;4) конструктивний тест (або тест-доповнення).Таке завдання передбачає заповнення учнем у тексті, що описує те чи інше явище, пропущених слів, які мають визначальне значення для даного тексту;5) розподільний тест містить завдання на встановлення відповідності між твердженнями з категорії 1 та твердженнями з категорії А.Усі вище зазначені типи тестів можна комбінувати в одному, внаслідок чого отримується більш об’єктивна та правильна оцінка повноти та глибини знань студента. Тести, які використовуємо у навчанні, створені для поточного контролю знань. На їх виконання відводиться небагато часу, тому вони складаються з невеликої кількості завдань. Питання охоплюють основні теми курсу, що вивчається, але їх результати не можуть бути, давати об’єктивну оцінку за всю тему і підстави для автоматичного оцінювання. Тому паралельно використовуємо і такі форми контролю як опитування, співбесіда, участь у дискусії, виконання лабораторних робіт тощо.Висновки. Використання електронних курсів, програмних засобів навчання математики, участь студентів, майбутніх вчителів математики – у розробці ресурсів для електронних курсів сприяє формуванню у них методичних компетентностей до використання ІКТ у навчанні.

У середині ХХ сторіччя видатними вченими було розроблено нову на той час теорію інтерпретації результатів педагогічного тестування. В основу цієї теорії покладено ідею моделювання імовірності правильної відповіді на завдання тесту за допомогою функції спеціального виду. Аргументами цієї функції є показник підготовленості тестованого й параметри, що характеризують завдання. В англомовній літературі теорія відома під назвою IRT (Item Response Theory), що може бути дослівно перекладено як теорія відгуку (характеристики) тестового завдання. У вітчизняній тестологічній термінології цю теорію часто називають сучасною або математичною, але частіше за все застосовують абревіатуру IRT. Означена теорія внесла неоцінний внесок у розвиток тестових технологій. Завдяки застосуванню IRT з’явилася можливість порівнювати результати тестування за варіантами тесту з різними завданнями, навіть з різною кількістю завдань. По-перше, це відкрило перспективи для розвитку комп’ютерного адаптивного тестування. По-друге, сприяло розвитку технології психометричного зрівнювання варіантів класичних тестів. Поширене впровадження тестових технологій у систему освіти потребує всебічного ознайомлення майбутніх педагогів із досягненнями світової тестології. Враховуючі значення IRT, її вивчення має бути одним із ключових питань фахової підготовки студентів. Але повноцінне викладення теорії спирається на спеціальні розділи обчислювальної математики, і це стримує впровадження IRT у навчальний процес педагогічних університетів. Безумовно, існує безліч програмних засобів, які реалізують обчислення, пов’язані із застосуванням IRT, але ці засоби – вузько спеціалізовані, їх застосування передбачає ознайомлення з специфічним інтерфейсом і потребує багато навчального часу. Тому ми пропонуємо здійснити навчальне моделювання процедури інтерпретації тестових результатів на основі IRT за допомогою табличного процесора загального призначення Microsoft Excel. Під час виконання обчислень студенти власноруч створюють відповідну модель інтерпретації, що сприяє поглибленому розуміння методології IRT. Застосування вбудованого засобу Microsoft Excel «Пошук розв’язку» звільняє студентів від необхідності будувати й налагоджувати алгоритми обчислювальної математики для визначення параметрів логістичної моделі та показників підготовленості тестованих. Виконання лабораторної роботи сприяє розвитку навичок володіння інформаційними технологіями загального призначення, що також є одним із завдань фахової підготовки майбутніх учителів. Розроблені навчально методичні матеріали впроваджено нами в процес підготовки спеціалістів за спеціальностями 7.04010101 «Хімія» (спеціалізація «Інформатика»), 7.04030201 «Інформатика» (спеціалізація «Англійська мова»), 7.04030201 «Інформатика» (спеціалізація «Математика») і магістрів за спеціальністю 8.04030201 «Інформатика» в Харківському національному педагогічному університеті імені Г. С. Сковороди.

<p class="20">Ґрунтуючись на цифрових комп’ютерно-інформаційних технологіях спостереження, проведено вибіркову оцінку захворюваності на туберкульоз у різних вікових категоріях населення. З цією метою використані щорічні форми звітних матеріалів, передбачених МОЗ України, результати власних спостережень і дані банківського накопичення інформації в системі “MS EXCEL”. Вихідні позиції формувалися з врахуванням епідпоказників по Україні та Львівській області за десятирічний період спостереження (2000–2009 рр.), який у зв’язку з різними висхідними характеристиками був розділений на перший етап (2000–2004 рр.), що засвідчував прогресуюче погіршення епідситуації з туберкульозу, та другий етап (2005–2009 рр.), при якому констатували відносну стабілізацію захворюваності. Результати опрацювали з використанням статистичних і математичних функцій програми “MS EXCEL”, параметричних і непараметричних характеристик для встановлення кореляційного зв’язку при оцінці динаміки епідеміологічних показників. Отримані дані досліджень серед загальної популяції населення дозволили стверджувати, що за рівнем середній показник захворюваності на туберкульоз в Україні значно перевищував такий у Львівській області незалежно від вікового цензу населення. Разом з тим, захворюваність у вогнищах туберкульозної інфекції свідчила про зростання даного показника у Львівській області як у дитячому, підлітковому віці, так і в дорослих, що обґрунтовувало більш якісну реалізацію лікувально-профілактичних заходів. </p>

У статті порушено питання професійної підготовки офіцерських кадрів, яке разом із модернізацією оборонного сектору також зазнає змін. Запропоновано один з перспективних шляхів забезпечення високого рівня такої підготовки – упровадження в освітній процес вищого військового навчального закладу авторської моделі формування готовності майбутніх офіцерів Збройних Сил України до застосування STEM-технологій у професійній діяльності. Акронім STEM (від англ. Science – природничі науки, Technology – технології, Engineering – інженерія, проєктування, дизайн, Mathematics – математика) виявляється в поєднанні міждисциплінарних практикоорієнтованих підходів до вивчення природничо-математичних дисциплін. Представлено результати перевірки відмінностей між даними експериментальної та контрольної груп наприкінці формувального етапу дослідження рівнів сформованості готовності офіцерських кадрів до застосування STEM-технологій («майстер», «виконавець», «початківець»). Наочно відображено позитивну динаміку змін у зазначених рівнях між даними на початку та наприкінці експерименту в обох групах. Окрім цього, при порівнянні кінцевих результатів груп між собою з’ясовано, що спостерігається значна відмінність. При цьому ми вважаємо, що це пов’язано зі впровадженням авторської моделі формування готовності майбутніх офіцерів ЗС України до застосування STEM-технологій у професійній діяльності. Для перевірки ефективності отриманих результатів за допомогою функції надбудови в Microsoft Excel було проведено розрахунки двовибіркового t-тесту з різними дисперсіями. Згідно з критерієм Стьюдента (фактичний показник 9,91 ≥ табличного показника 1,97) було підтверджено вірогідність отриманих результатів, а отже, упровадження авторської моделі формування готовності майбутніх офіцерів Збройних Сил України до застосування STEM-технологій у професійній діяльності є ефективним.

Наведено теоретичні відомості про розв'язування задач аналізу чутливості. Було розроблено економіко-математичну модель, що відображатиме рекомендовані нормативні обсяги теплової енергії для населення та комерційних споживачів, який необхідно виробляти та реалізовувати в межах існуючої собівартості та діючих тарифів з огляду на отримання максимального прибутку. Для розв'язання задачі лінійного програмування використовувалася програма Microsoft Excel. Було проведено аналіз чутливості значень цільової функції до зміни ресурсів та досліджено їх вплив. Результати показали, що збільшення запасів природного газу та електричної енергії практично не впливає на прибуток від реалізації рекомендованих нормативних обсягів теплової енергії для населення та комерційних споживачів, тому для підвищення прибутку потрібно зменшити обсяги теплової енергії для населення та збільшити її для комерційних споживачів.