Добірка наукової літератури з теми "Лінійні диференційні рівняння"

Застосування комп’ютерних тестів для поточного та підсумкового оцінювання знань студентів дає змогу якісно і об’єктивно оцінити знання студентів за умови наявності великої та добре перевіреної бази тестових завдань. Дієвість тестування істотно залежить від вибраних автором (або авторами) типів завдань [1]:1) завдання з вибором відповіді (правильної або неправильної);2) завдання з встановленням відповідності;3) завдання з вибором кількох правильних відповідей;4) завдання з вводом відповіді (текстової або числової).Завдання перших трьох типів погано захищені від вгадування відповіді студентом, однак вони найбільш широко використовуються у практиці комп’ютерного тестування. Завдання четвертого типу добре захищені від вгадування відповіді, однак текстові відповіді доведеться перевіряти людині. Для перевірки числової відповіді система тестування повинна мати блок перевірки чисел з цілою і дробовою частиною. На факультеті електроніки Львівського національного університету імені Івана Франка створена база тестових завдань з курсів «Обчислювальна техніка і програмування» (для перевірки знань мов програмування Паскаль та Сі) та «Теорія коливань», в яких майже 90 відсотків завдань складають завдання з вводом числової відповіді. База тестових завдань з мови програмування Паскаль розбита на розділи:1. Лінійна програма (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);2. Програма з синтаксичною помилкою (відповідь є цілим числом);3. Програма з розгалуженням (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);4. Встановлення відповідності програма-алгоритм (тип 2);5. Програма з циклом for (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);6. Програма з циклом while (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);7. Програма з циклом repeat-until (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);8. Програма з процедурою-функцією (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);9. Програма з процедурою (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);10. Завдання на написання програми для розв’язання певної задачі (текстова відповідь).Розглянемо приклади тестових завдань деяких розділів.1. Якого числового значення набуде змінна w після виконання цієї програми?Program test1;Varx,q,z,w:real;Beginx:=6;z:=4;w:=x*z;q:=x/z;WriteLn('w=',w);WriteLn('q=',q );end.2. В якому рядку програми є синтаксична помилка?Program test 2;Varx,y,z:real;i,n:integer;Begini:=20;x:=32;y:=34;z:=-9;n:=30*i;WriteLn( ' x=',x );end.6. Якого числового значення набуде змінна s після виконання цієї програми?Program test3;Vars,d,r:real;i:integer;Begins:=100;d:=2;r:=10;i:=0;While s>r doBegins:=s/d;i:=i+1;end;WriteLn('s=',s );WriteLn('i=',i );end.Успішне виконання студентом завдань із перших дев’яти розділів свідчить лише про вміння студента читати чужі програми. Для перевірки здатності студенти писати свої програми введено десятий розділ. Відповіддю студента є текст програми і, за потреби, текстові файли з результатами роботи програми. Очевидно, що під час виконання десятого завдання студент повинен мати можливість скористатись оболонкою для програмування мовою Паскаль (і тільки під час виконання цього завдання!). Якщо на виконання завдань із перших дев’яти розділів можна відводити по кілька хвилин (за умови невеликого обсягу наведених програм), то для написання програми потрібно відвести у кілька раз більше часу (залежить від складності поставленої задачі).База тестових завдань з «Теорії коливань» розбита на розділи:1. Обчислення постійної складової ряду Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);2. Обчислення косинусної гармоніки Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);3. Обчислення синусної гармоніки Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);4. Визначення стійкості стану рівноваги лінійної коливної системи (ручна перевірка – текстова відповідь);5. Вільні коливання лінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);6. Вимушені коливання лінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);7. Стани рівноваги нелінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);8. Особливі точки коливних систем (тип 2);9. Вимушені коливання нелінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);10. Визначення амплітуди коливань автогенератора (числова відповідь з цілою і дробовою частиною).Для виконання завдань з дев’ятого і десятого розділів студент повинен мати можливість скористатись оболонкою для числового інтегрування алгебро-диференційних рівнянь із простою вхідною мовою.Розглянемо шаблони тестових завдань деяких розділів.1. Для заданого сигналу ... обчислити постійну складову ряду Фур’є a0.4. Для лінійної коливної системи ... складіть характеристичне рівняння та визначить його корені (відповідь вводьте за схемою: дійсна частина, уявна частина, дійсна частина, уявна частина).5. Для початкових умов: x(0)=1, dx(0)/dt=0 знайдіть вільні коливання лінійної коливної системи, заданої диференціальним рівнянням ... та вкажіть значення x(t) в момент часу t=5.7. Для коливної системи, диференціальним рівнянням ... , вкажіть координати стійкого стану рівноваги x=..., dx/dt=...9.Користуючись програмою DS0, визначить амплітуду вимушених коливань нелінійної коливної системи, заданої диференціальним рівнянням ...Завдяки уведенню числової відповіді з цілою і дробовою частиною виключається вгадування відповіді студентом, адже множина можливих відповідей практично нескінченна.Такий підхід легко поширити на природничі і технічні науки, в яких для проведення практичних занять використовують задачі з числовими розв’язками.

Встановлено достатні умови існування неперервно-диференційовних і обмежених на додатній півосі розв'язків однієї граничної задачі для систем лінійних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу зі скінченною кількістю постійних відхилень аргументу, запропоновано метод їх побудови та досліджено асимптотичні властивості таких розв'язків.

Розроблений підхід до досліджень багатомірних нелінійних квазіконсерватичних систем під дією стохастичних збурень, у спектрі яких відсутні частоти, що співпадають з власними частотами. Підінтегральні функції рішень таких систем, у яких практично відсутні дисипативні сили (тертя), мають полюси, що визначаються власними частотами і лежать на дійсній осі комплексної змінної. У цих точках підінтегральна функція втрачає аналітичність. Невласні інтеграли від таких функцій мають обмежені величини лише в особливих випадках, які розглядаються у статті. На прикладі нелінійної системи диференційних рівнянь руху чутливого елементу гірокомпасу отримані формули дисперсії вимушених коливань від лінійних стохастичних збурень та математичні очікування девіації від нелінійної правої частини системи.

Мета роботи – запропонувати методи аналізу та прогнозування розповсюдження пандемії COVID-19 в Тернопільській області на основі SIR-моделі. Матеріали і методи. Вхідними даними для аналізу та прогнозування розповсюдження пандемії COVID-19 служили показники Тернопільського обласного лабораторного центру МОЗ України. Аналіз і прогнозування розповсюдження цієї пандемії у Тернопільській області здійснено на основі SIR-моделі в пакеті R. Результати досліджень. Отримано результати експериментальних досліджень кількості прогнозованих випадків інфікування та осіб, які одужали, з використанням SIR-моделі розповсюдження пандемії COVID-19 на основі лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь на 60, 100 та 1000 діб. Висновки. Абсолютна похибка прогнозування піку пандемії COVID-19 у Тернопільській області на основі SIR-моделі з використанням нелінійних диференційних рівнянь становить 10 діб, що пояснюється введенням своєчасних та ефективних заходів Центром громадського здоров’я МОЗ України та ДУ «Тернопільський обласний лабораторний центр МОЗ України».