Добірка наукової літератури з теми "Задача Коші для диференціальних рівнянь"

УДК 517.957У цій роботі метод оберненої спектральної задачі застосовано до розв'язання задачі Коші для модифікованого рівняння Кортевега–де Фріза (мКдФ) у класі періодичних нескінченнозонних функцій. Запропоновано простий вивід системи диференціальних рівнянь Дубровіна. Доведено розв'язність задачі Коші для нескінченної системи диференціальних рівнянь Дубровіна у класі п'ятикратно неперервно диференційовних періодичних нескінченнозонних функцій. Показано, що сума рівномірно збіжного функціонального ряду, побудованого з розв'язків нескінченної системи рівнянь Дубровіна, і формули для першого сліду задовольняють рівняння мКдФ. І навіть більше, було доведено, що: 1) якщо початкова функція є дійсною -періодичною аналітичною функцією, то розв'язок задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом також є дійсною аналітичною функцією за змінною 2) якщо число є періодом (антиперіодом) вихідної функції, то також є періодом (антиперіодом) за змінною розв'язку задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом.

Наведено результати розробки та дослідження агрегованих математичних моделей ядерних об’єктів зі зсувними аргументами — запізненнями та випередженнями в часі. Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь і поставлена задача Коші. Надано аналіз особливостей математичної моделі потенційно небезпечного об’єкта (ПНО) ядерної енергетики та проведено розрахунки на ЕОМ. Модель рекомендовано для дослідження особливостей поведінки об’єктів та пошуку аварійних режимів, а також для тактичного та стратегічного планування їх розвитку.

УДК 517.98 Встановлено розв’язнiсть нелокальної багатоточкової за часом задачi (яка трактується як певне узагальнення задачi Кошi) для еволюцiйного рiвняння з псевдодиференцiальним оператором (оператором диференцiювання нескiнченного порядку) з початковою умовою у просторi узагальнених функцiй типу ультрарозподiлiв.

В статті наведено короткий огляд історії створення та розробок рятувальних шлюпок вільного падіння (РШВП), призначених для термінової безпечної евакуації людей з морських суден та морських нафтодобувних платформ у випадку аварій за екстремальних погодних умов. Розглядається задача про рух РШВП, яка моделюється однорідним стрижнем, при сходженні з похилої рампи протягом першої фази падіння з наростаючим кутом нахилу (тангажу -tangage)–з моменту, коли центр мас шлюпки опиняється над краєм опори (крайнім роликом рампи) , до моменту сходу з рампи кінця опорних поверхонь шлюпки.Диференціальні рівняння руху в полярних координатах складені за допомогою рівнянь Лагранжа другого роду. Отриманорозв’язувальну систему звичайних диференціальних рівнянь і сформульовано відповідну задачу Коші, яка розв’язується чисельно за допомогою методу Рунге-Кутта четвертого порядку точності. На основі запропонованого підходу проведеночисельні експерименти длявизначення часу скочування РШВП, швидкості її центру мас, кутів повороту та кутової швидкості шлюпки в момент відриву від рампи при значенні кута нахилу рампи та різних значеннях початкової швидкості центру мас в діапазоні від 1 до 10 м/с і довжини шлюпки в діапазоні від 5 до 15 м.За результатами чисельних експериментівздійснено аналіз впливу початкової швидкості і довжини РШВП на параметри її руху при сходженні з похилої рампи. Розрахункові значення часу першої фази падіння, кута тангажу, кутової швидкості тангажу та модуля швидкості центру мас РШВП в ході виконаних чисельних експериментів змінювались в діапазоні 1,424 -0,234 с,, та м/свідповідно. При цьому зі збільшенням довжини шлюпки час першої фази падіння зростає, а зі збільшенням початкової швидкості зменшується. Кути тангажу зі збільшенням швидкості зменшуються, а зі збільшенням довжини шлюпки зростають, в той час як кутові швидкості тангажу зі збільшенням початкової швидкості так само, які зі збільшенням довжини шлюпки спадають. За результатами роботи зроблено висновок про можливість використання запропонованогопідходу і чисельних експериментів для раціонального вибору параметрів руху РШВП та напрямів подальших досліджень.Ключові слова:рятувальна шлюпка вільного падіння, плоско-паралельний рух, стрижень, похила рампа, рівняння Лагранжа другого роду, звичайні диференціальні рівняння, задача Коші, чисельне моделювання, метод Рунге-Кутта.

Багато прикладних задач, наприклад для проектування радіоелектронних схем, автоматичних систем управління, розрахунку динаміки механічних систем, задачі хімічної кінетики загалом зводяться до розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь і їх систем. Точні розв'язки досліджуваних задач можна отримати лише в окремих випадках. Тому потрібно використовувати наближені методи. Під час дослідження математичних моделей виникає потреба знаходити не тільки наближений розв'язок, але й гарантовану оцінку похибки результату. Використання традиційних двосторонніх методів Рунге-Кутта призводить до істотного збільшення обсягу обчислень. Ланцюгові (неперервні) дроби набули широкого застосування у прикладній математиці, оскільки вони за відповідних умов дають високу швидкість збіжності, монотонні та двосторонні наближення, мають слабку чутливість до похибки заокруглення. У роботі виведено методи типу Рунге-Кутта третього порядку точності для розв'язування початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь, що базуються на неперервних дробах. Характерною особливістю таких алгоритмів є те, що за певних значень відповідних параметрів можна отримати як нові, так і традиційні однокрокові методи розв'язання задачі Коші. Запропоновано розрахункові формули другого порядку точності, які на кожному кроці інтегрування дають змогу без додаткових звертань до правої частини диференціального рівняння отримати не тільки верхні та нижні наближення до точного розв'язку, а також дають інформацію про величину головного члена локальної похибки. Для практичної оцінки похибки на кожному кроці інтегрування у разі використання односторонніх формул типу Рунге-Кутта порядку p застосовують двосторонні обчислювальні формули порядку (p–1). Зауважимо, що використовуючи запропоновані розрахункові формули в кожному вузлі сітки будуть отримані декілька наближень до точного розв'язку, порівняння яких дає корисну інформацію, зокрема в питанні вибору кроку інтегрування, або в оцінці точності результату.

У статті отримано залежності для визначення диференціально-тейлорівського спектру складної функції, яка задана у вигляді суперпозиції функцій. А саме, для випадку коли вихідна функція задається рядом Тейлора за степенями деякої змінної – першого аргументу, а кінцева функція задається рядом Тейлора за степенями вихідної функції. Далі вирішується завдання щодо визначення диференціально-тейлорівського спектру – коефіцієнтів ряду Тейлора кінцевої функції за степенями першого аргументу. У класичній літературі з диференціально-тейлорівських перетворень, зазначений диференціально-тейлорівський спектр (окремі члени ряду Тейлора), подається у вигляді нескінченної суми за степенями першого аргументу. Натомість, у статті отримані залежності, які диференціально-тейлорівський спектр суперпозиції функцій визначають як кінцеву суму за степенями першого аргументу. При цьому, наведено залежності у двох різних формах, що дозволяє обирати більш зручну для конкретного практичного використання форму. Особливістю отриманих формул є використання скороченої алгебраїчної згортки при розрахунку диференціально-тейлорівського спектру степеневої функції для першого аргументу – у згортці не враховується нульова дискрета диференціально-тейлорівського спектру вихідної функції за першим аргументом. Отримані співвідношення є суттєвими для завдань аналізу залежності точності подання кінцевої функції від заданої кількості врахованих дискрет диференціально-тейлорівського спектру вихідної функції, а також вирішення завдання оцінки залежності точності рішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь методом диференціально-тейлорівських перетворень при зміні кількості врахованих дискрет диференціально-тейлорівського спектру, що приймають участь у розрахунках. Отримані залежності є подальшим розвитком теоретичних основ вітчизняного математичного апарату диференціально-тейлорівських перетворень Пухова.

Однією з тем, що вивчається в шкільному курсі математики є теорія границь. В даній статті робиться загальний огляд історії виникнення питань, пов’язаних з теорією границь, та висвітлення цього питання в шкільному курсі математики. Знання історичних відомостей, як відомо, піднімає пізнавальний інтерес учнів в процесі вивчення теми, активізує учнів і, врешті, сприяє покращенню результатів навчання.Історія цього питання поринає корінням в далеке минуле. Ще грецькі натурфілософи і математики починаючи з 7 ст. і аж до 3 ст. до н.е. підходять до ідеї нескінченності і потім до прийомів аналізу нескінченно малих, але це не одержує розвитку і інтерес до цих питань після спроб цілого ряду середньовічних учених відновляється лише в епоху Відродження в кінці 16 ст.Принципово новим кроком уперед з’явилося виникнення в натурфілософських школах 5ст. до н.е. ідеї нескінченності, яка у різних формах застосовується у математиці. На межі 5 і 4 ст. до н.е. Демокріт, виходячи з атомістичних уявлень, створює спосіб визначення об’ємів, що послужило першим варіантом методу неподільних, одного з вихідних пунктів числення нескінченно малих. Однак логічні труднощі, властиві поняттю нескінченності, що знайшли вираження в апоріях Зенона Елейского (5 ст. до н.е.), привели до висновку, що результати, отримані за допомогою методу неподільних, не можна вважати строго доведеними. Стандартним прийомом вимірювання різних площ, об’ємів, що не піддаються визначенню елементарними засобами, став метод вичерпування, що полягає в наближенні шуканої величини, знизу і зверху послідовностями відомих величин. Так, площа круга апроксимувалася послідовностями вписаних і описаних правильних многокутників з необмежено зростаючим числом необмежено зменшуваних сторін. Це дало поштовх у напрямку спроби розв’язувати задачу квадратури круга.З винаходом друкарства, підручники одержують більш широке поширення. Основними центрами теоретичної наукової думки стають університети. Прогрес алгебри як теоретичної дисципліни, а не тільки набору практичних правил для розв’язування задач, позначається в розумінні природи ірраціональних чисел, як відносин несумірних величин (Хома Брадвардін, 14 ст. і Н. Орем, 14 ст.) і особливо у введення дробових (Н. Орем), від’ємних і нульових (Н. Шюке, кін. 15 ст.) показників степенів. Тут же виникають перші, що випереджають наступну епоху ідеї про нескінченно великі і нескінченно малі величини. В Оксфордському і Паризькому університетах (Р. Суайнсхед, сер. 14 ст., Н. Орем і ін.) розвиваються перші елементи теорії зміни величин, як функцій часу і їх графічне уявлення, вперше об’єктом вивчення стає нерівномірний рух і вводяться поняття миттєвої швидкості і прискорення.Однак, щоб охопити кількісні відносини в процесі їхньої зміни, потрібно було самі залежності між величинами зробити самостійним предметом вивчення. Тому на перший план висувається поняття функції, що грає надалі таку ж роль основного і самостійного предмета вивчення, як раніше поняття чи величини числа. Вивчення змінних величин і функціональних залежностей приводить до основних понять математичного аналізу: ідею нескінченного у явному вигляді, до понять границі, похідної, диференціала й інтеграла. Створюється аналіз нескінченно малих, у першу чергу у виді диференціального числення й інтегрального числення. Основні закони механіки і фізики записуються у формі диференціальних рівнянь, і задача інтегрування цих рівнянь висувається, як одна з актуальних задач математики.Створення нової математики змінних величин у 17 ст. було справою учених передових країн Західної Європи, причому найбільше І. Ньютона і Г. Лейбніца. У 18 ст. одним з основних центрів наукових математичних досліджень стає також Петербурзька академія наук, де працює ряд найбільших математиків того часу іноземного походження (Л. Ейлер, Д. Бернуллі) і поступово складається російська математична школа, що блискуче розгорнула свої дослідження в 19 ст.Іншим джерелом аналізу нескінченно малих є розвинутий І. Кеплером (1615) і Б. Кавальєрі (1635) метод неподільних, застосований ними до визначення об’ємів тіл обертання і ряду інших задач. У цьому методі принципова новизна основних понять аналізу нескінченно малих подається у містичній формі протиріччя (між об’ємом тіла і сукупністю, що не мають об’єму плоских перерізів, за допомогою яких цей об’єм повинен бути визначений). В зв’язку з цим протиріччям прийоми І. Кеплера і Б. Кавальєрі зазнавали критики з боку П. Гульдена (1635–41). Однак вільне вживання нескінченне малих здобуває остаточну перемогу в роботах по визначенню площ (“квадратур”) П. Ферма, Б. Паскаля і Дж. Валліса. Так, у геометричній формі були створені початки диференціального і інтегрального числення.Слід зазначити, що автори 17 ст. мали досить ясні уявлення про поняття границі послідовності і збіжності ряду, вважали потрібним доводити збіжність уживаних ними рядів.До останньої третини 17 ст. відноситься відкриття диференціального і інтегрального числення у повному змісті слова. У відношенні публікації пріоритет цього відкриття належить Г. Лейбніцу, що дав розгорнутий виклад основних ідей нового числення в статтях, опублікованих у 1682–86 рр. У відношенні ж часу фактичного одержання основних результатів маються всі підстави вважати пріоритет належить І. Ньютонові, який до основних ідей диференціального та інтегрального числення прийшов протягом 1665–66 рр. “Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів” І. Ньютона в 1669 був переданий ним у рукописі І. Барроу і Дж. Кололінзу й одержав широку популярність серед англійських математиків. “Метод флюксій” – твір, у якому І. Ньютон дав систематичний виклад своєї теорії, – був написаний у 1670–71 рр. (виданий у 1736 р.). Г. Лейбніц ж почав свої дослідження з аналізу нескінченно малих лише в 1673 р. І. Ньютон і Г. Лейбніц вперше в загальному вигляді розглянули основні для нового числення операції диференціювання та інтегрування функцій, встановили зв’язок між цими операціями (формула Ньютона–Лейбніца) і розробили для них загальний однаковий алгоритм. Наукові підходи в І. Ньютона і Г. Лейбніца різні. Для І. Ньютона вихідними поняттями є поняття “флюєнти” (змінної величини) і “флюксій” (швидкості її зміни). Прямій задачі перебування флюксій і співвідношень між флюксіями по заданим флюєнтам (диференціювання і складання диференціальних рівнянь) І. Ньютон протиставляв обернену задачу перебування флюєнт по заданих співвідношеннях між флюксіями, тобто відразу загальну задачу інтегрування диференціальних рівнянь; задача відшукання первісної з’являється тут як окремий випадок інтегрування звичайного диференціального рівняння. Разом з тим ні метод границь і флюксій Ньютона, ні диференціальне числення Лейбніца не знаходили одностайного визнання. Тому математики знову звернулися до дослідження фундаментальних понять і принципів аналізу.У відповідності зі своїм трактуванням процесу прямування до границі, Ейлер вважає нескінченно малу величину рівною нулю. Він відкидає «особливу категорію нескінченно малих величин, що нібито не повністю зникають, але зберігають деяку кількість, що, однак, менше, ніж усяке що може бути заданим» [1], тому що відкидання доданків такого роду порушувало зроблену точність аналізу. Незабаром після виходу «Диференціального числення» Ейлера, Даламбер виступив із пропозицією заснувати аналіз на поняттях границі і похідної, не вживаючи цього останнього терміна. Свої погляди Даламбер розглядав як розвиток ідей числення флюксій Ньютона, але він вніс нове, звільнивши їх від механічних чи квазімеханічних уявлень. Це було пов’язано, як із загальними тенденціями розвитку аналізу на материку Європи, так і з класифікацією наук, прийнятої Даламбером: він виходив з того положення, що достовірним пізнанням ми володіємо лише в області абстрактних понять і чим більше дослідних елементів входить у яку-небудь науку, тим більш складні її поняття.В першому розділі книги «Елементарного викладу початків вищих числень» Сімон Люільє розвиває метод границь. До двох теорем про границі, наведених Даламбером, Люільє додає теорему про границю відношення двох змінних величин і уперше вводить знак границі у вигляді lim; уперше ж похідна якої-небудь функції у Люільє «диференціальне відношення» (rapport differentiel) – позначається lim і символ розглядається як єдине ціле, а не дріб. Терміном «нескінченно мала величина» Люільє не користується, зберігаючи його для позначення актуально нескінченно малих; немає в нього і поняття про диференціал.У Росії пропагандистом методу границь виступив С.Е. Гур’єв. Головна праця Гур’єва «Досвід про удосконалення елементів геометрії» (1798 р.) була присвячена питанням обґрунтування і викладання математики. Центральне місце в «Досвіді» займає систематичний додаток методу границь у шкільному курсі геометрії.Даламберу і його послідовникам належить заслуга подальшої розробки теорії про граничні переходи в рамках чистого аналізу. Але в тій конкретній формі, що метод границь набув у теперішній час, він ще не мав строгості так, як числення нескінченно малих. Визначення границі монотонних змінних, було недостатньо. Арсенал понять і загальних теорем методу границь залишався дуже невеликий, і його ледь вистачало тільки для пере доведення уже відомих тверджень. Нові широкі перспективи відкрилися, коли Больцано і Коші установили основний критерій збіжності послідовності і застосували його: перший – при дослідженні властивостей неперервних функцій, а другий – при побудові теорії рядів, що збігаються, і в доведенні теореми про існування інтеграла.Але самим уразливим пунктом теорії границь другої половини XVIII в. було відмовлення від вживання алгоритму нескінченно малих Лейбніца. Це відзначив ще Карно у творі, представленому на конкурс Берлінської академії 1786 р., і ту ж думку він підкреслював у своїх «Міркуваннях».З початку 60-х років реформа шкільної програми з математики стає предметом постійної уваги і обговорення.У теперішній час початки математичного аналізу є невід’ємним складовим курсу алгебри старшої школи. В умовах диференційного навчання виділені загальноосвітні та спеціальні обсяги елементів математичного аналізу, що вивчаються в загальноосвітніх та вищих школах і класах з поглибленим вивченням математики. Елементи теорії границь, вивчаються у спеціалізованих математичних школах, ліцеях і гімназіях.У загальноосвітній школі цей матеріал не передбачений для вивчення всіма учнями. У сучасних підручниках для старшої школи питання історії теорії границь висвітлено дуже стисло. На нашу думку, більш детальне ознайомлення учнів з цим питанням розкриє перед учнями складний, непрямий шлях розвитку наукової думки, ознайомлення учнів з історією наукових питань потрібно робити більш детально, ніж запропоновано у підручнику. Розкриття протиріч між різними науковими школами, вченими пожвавить навчальний процес, розкриє перед учнями непрямий і суперечливий шлях становлення сучасних наукових знань.

У статті запропоновано математичні моделі однофазних мостових випрямляча та інвертора, диференціальні рівняння яких записані в нормальній формі Коші. Показано, що такі моделі є найбільш ефективними для аналізу різноманітних режимів роботи. Розв'язок диференціальних рівнянь реалізується із застосуванням числових методів з допомогою комп'ютерної техніки.

Проблема математичного моделювання багатьох стаціонарних процесів призводить до необхідності розв’язання крайових задач для нелінійного звичайного диференціального рівняння. Точні розв’язки таких крайових задач відомі лише у поодиноких випадках. Крім того, до певних складностей приводить вирішення питання про існування та єдність розв’язку. При використанні двосторонніх ітеративних методів побудовано дві ітеративні послідовності, які з обох сторін збігаються з точним рішенням задачі, що дозволяє на кожному кроці ітеративного процесу мати апостеріорну оцінку похибки. Ефективність розробленого методу продемонстровано обчислювальним експериментом.