Дисертації з теми "Percolation de dernier passage"

Durant cette thèse, on a étudié essentiellement deux modèles aléatoires qui, malgré leur différence apparente, cachent un intérêt commun et mettent en évidence des phénomènes mathématiques et physiques communs. Le modèle de percolation de dernier passage dans le plan (last-passage directed percolation model ou LPP) est un modèle de percolation orientée bidimensionnel. Il fait partie d'une vaste liste de modèles de croissance et sert à modéliser des phénomènes dans des domaines variés. Dans la première partie de cette thèse, on s'est intéressé essentiellement aux propriétés de grandes déviations de ce modèle. On a également examiné les fluctuations transversales du même modèle. Toute cette étude a été faite dans le cadre d'un rectangle fin. Parallèlement aux travaux sur les modèles de croissance, on a étudié un autre sujet qui émerge également du monde de la Physique : celui des matrices aléatoires. Ces matrices se divisent en deux catégories principales introduites à une vingtaine d'années d'intervalle : les matrices de covariance empirique et les matrices de Wigner. L'étendue du champ d'application de ces matrices est tellement vaste qu'on peut les rencontrer presque dans toutes les filières scientifiques : probabilité, combinatoire, physique atomique, statistique multivariée, télécommunication théorie des représentations, etc. Parmi les objets mathématiques les plus étudiés, on cite la loi jointe des valeurs propres, la densité spectrale, l'espacement des valeurs propres, la plus grande valeur propre et les vecteurs propres associés. En mécanique quantique par exemple, les valeurs propres d'une matrice du GUE modélisent les niveaux d'énergie d'un électron autour du noyau tandis que le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre d'une matrice de covariance empirique indique la direction ou l'axe principal en analyse de données. Comme pour le modèle de percolation dirigée, on s'est intéressé en particulier aux propriétés de grandes déviations de la valeur propre maximale d'un certain type de matrices de covariance empirique. Cette étude pourrait avoir des applications en statistique et notamment en analyse en composantes principales. Malgré l'apparente différence, la théorie des matrices aléatoires est strictement liée au modèle de percolation dirigée. Leurs structures de corrélation se ressemblent dans certains cas d'une manière troublante. La convergence des fluctuations, dans les deux cas, vers la célèbre loi de Tracy-Widom en est un bon exemple.

Durant cette thèse, on a étudié essentiellement deux modèles aléatoires qui, malgré leur différence apparente, cachent un intérêt commun et mettent en évidence des phénomènes mathématiques et physiques communs. Le modèle de percolation de dernier passage dans le plan (last-passage directed percolation model ou LPP) est un modèle de percolation orientée bidimensionnel. Il fait partie d'une vaste liste de modèles de croissance et sert à modéliser des phénomènes dans des domaines variés. Dans la première partie de cette thèse, on s'est intéressé essentiellement aux propriétés de grandes déviations de ce modèle. On a également examiné les fluctuations transversales du même modèle. Toute cette étude a été faite dans le cadre d'un rectangle fin. Parallèlement aux travaux sur les modèles de croissance, on a étudié un autre sujet qui émerge également du monde de la Physique: celui des matrices aléatoires. Ces matrices se divisent en deux catégories principales introduites à une vingtaine d'années d'intervalle: les matrices de covariance empirique et les matrices de Wigner. L'étendue du champ d'application de ces matrices est tellement vaste qu'on peut les rencontrer presque dans toutes les filières scientifiques: probabilité, combinatoire, physique atomique, statistique multivariée, télécommunication, théorie des représentations, etc. Parmi les objets mathématiques les plus étudiés, on cite la loi jointe des valeurs propres, la densité spectrale, l'espacement des valeurs propres, la plus grande valeur propre et les vecteurs propres associés. En mécanique quantique par exemple, les valeurs propres d'une matrice du GUE modélisent les niveaux d'énergie d'un électron autour du noyau tandis que le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre d'une matrice de covariance empirique indique la direction ou l'axe principal en analyse de données. Comme pour le modèle de percolation dirigée, on s'est intéressé en particulier aux propriétés de grandes déviations de la valeur propre maximale d'un certain type de matrices de covariance empirique. Cette étude pourrait avoir des applications en statistique et notamment en analyse en composantes principales. Malgré l'apparente différence, la théorie des matrices aléatoires est strictement liée au modèle de percolation dirigée. Leurs structures de corrélation se ressemblent dans certains cas d'une manière troublante. La convergence des fluctuations, dans les deux cas, vers la célèbre loi de Tracy-Widom en est un bon exemple
In this thesis, we study two random models: last-passage percolation and random matrices. Despite the difference between these two models, they highlight common interests and phenomena. The last-passage percolation or LPP is a growth model in the lattice plane. It is part of a wide list of growth models and is used to model phenomena in various fields: tandem queues in series, totally asymmetric simple exclusion process, etc. In the first part of this thesis, we focused on LPP's large deviation properties. Later in this part, we studied the LPP's transversal fluctuations. Alongside the work on growth models, we studied another subject that also emerges in the world of physics: random matrices. These matrices are divided into two main categories introduced twenty years apart: the sample covariance matrices and Wigner's matrices. The extent of the scope of these matrices is so large we can meet almost all the sciences: probability, combinatorics, atomic physics, multivariate statistics, telecommunications, representation theory, etc. Among the most studied mathematical objects, we list the joint distribution of eigenvalues, the empirical spectral density, the eigenvalues spacing, the largest eigenvalue and eigenvectors. For example, in quantum mechanics, the eigenvalues of a GUE matrix model the energy levels of an electron around the nucleus while the eigenvector associated to the largest eigenvalue of a sample covariance matrix indicates the direction or the main axis in data analysis. As with the LPP, we studied large deviation properties of the largest eigenvalue for some sample covariance matrices. This study could have applications in statistics. Despite the apparent difference, the random matrix theory is strictly related to directed percolation model. Correlation structures are similar in some cases. The convergence of fluctuations to the famous Tracy-Widom law in both cases illustrates the connection between these two models

Dans le cadre de cette thèse,trois modèles ont été étudiés indépendamment. Ils ont en commun d’être des modèles aléatoires définis dans le plan et possédant une propriété de stationnarité bidimensionnelle. Le premier est le modèle de Hammersley stationnaire dans le quart de plan, introduit et étudié par Cator et Groeneboom.Nous présentons ici une preuve probabiliste des fluctuations gaussiennes dans le cas non critique. Le deuxième modèle peut être vu comme une version stationnaire du problème d’O’Connell-Yor. La preuve de sa stationnarité est obtenue en introduisant une discrétisation de ce modèle dont nous montrons la stationnarité, puis en observant que cette stationnarité est préservée à la limite. Enfin,le troisième modèle est une classe généralede systèmes aléatoires de lignes brisées dansle quart de plan, dont on montre la réversibilité. Cette classe contient de nombreux processus classiques comme des modèles de percolation de dernier passage. La nouveauté ici est qu’un poids est associé à chaque ligne
In this PhD thesis, three models have been independently studied. They all have in common to be random models defined in the plane and having a two-dimensional stationarity property. The first one is Hammersley’s stationary model in the quarter plane, introduced and studied by Cator and Groeneboom. We present here a probablistic proof the Gaussian fluctuations in the non-critical case. The second model can be seen as a stationary modification ofO’Connell-Yor’s problem. The proof of its stationarity is obtained by introducing a discretisation of this model, by proving its stationairty and then by observing that this stationarity is preserved in the limit. Finally, the third model is a general class of random systems of horizontal and vertical weighted broken lines on the quarter plane whose distribution are proved to be reversible. This class of systems generalizes several classical processes of the same kind. The noveltycomes here from the introduction of a weight associated with each line

The thesis provides the discussion of three last passage percolation models. In particular, we focus on three aspects of probability theory: the law of large numbers, the order of the variance and large deviation estimates. In Chapter 1, we give a brief introduction to the percolation models in general and we present some important results for this topic which are heavily used in the following proofs. In Chapter 2, we prove a strong law of large numbers for directed last passage times in an independent but inhomogeneous exponential environment. Rates for the exponential random variables are obtained from a discretisation of a speed function that may be discontinuous on a locally finite set of discontinuity curves. The limiting shape is cast as a variational formula that maximises a certain functional over a set of weakly increasing curves. Using this result, we present two examples that allow for partial analytical tractability and show that the shape function may not be strictly concave, and it may exhibit points of non-differentiability, at segments, and non-uniqueness of the optimisers of the variational formula. Finally, in a specific example, we analyse further the macroscopic optimisers and uncover a phase transition for their behaviour. In Chapter 3, we discuss the order of the variance on a lattice analogue of the Hammersley process with boundaries, for which the environment on each site has independent, Bernoulli distributed values. The last passage time is the maximum number of Bernoulli points that can be collected on a piecewise linear path, where each segment has strictly positive but finite slope. We show that along characteristic directions the order of the variance of the last passage time is of order N2=3 in the model with boundary. These characteristic directions are restricted in a cone starting at the origin, and along any direction outside the cone, the order of the variance changes to O(N) in the boundary model and to O(1) for the non-boundary model. This behavior is the result of the two at edges of the shape function. In Chapter 4, we prove a large deviation principle and give an expression for the rate function, for the last passage time in a Bernoulli environment. The model is exactly solvable and its invariant version satisfies a Burke-type property. Finally, we compute explicit limiting logarithmic moment generating functions for both the classical and the invariant models. The shape function of this model exhibits a flat edge in certain directions, and we also discuss the rate function and limiting log-moment generating functions in those directions.

Dans cette thèse, nous étudions les modèles de percolation et percolation de premier passage dans le graphe Zd, d≥2. Dans une première partie, nous étudions les propriétés d'isopérimétrie du cluster infini Cp de percolation pour p>pc. Conditionnons par l'événement 0 appartient à Cp, la constante isopérimétrique ancrée φp(n)correspond à l'infimum sur l'ensemble des sous-graphes connectés de Cp, contenant 0 et de volume inférieur à nd, du ratio entre la taille du bord et le volume. Nous montrons la convergence lorsque n tend vers l'infini de nφp(n) vers une constante déterministe φp qui est solution d'un problème isopérimétrique anisotrope continu. Nous étudions également le comportement de la constante isopérimétrique ancrée en pc, ainsi que la régularité de φp en p pour p>pc. Dans une deuxième partie, nous considérons une première interprétation du modèle de percolation de premier passage où chaque arête du graphe est munie indépendamment d'un temps de passage aléatoire distribué selon une loi G. La percolation de premier passage modélise des phénomènes de propagation, par exemple la propagation de l’eau dans une roche poreuse. Une loi des grands nombres est connue : pour chaque direction x, on peut définir une constante de temps µG(x) qui correspond à l'inverse de la vitesse asymptotique de propagation dans la direction x. Nous étudions les propriétés de régularité de µG en G. En particulier, nous étudions comment la distance de graphe dans Cp évolue avec p. Dans une troisième partie, nous considérons une deuxième interprétation du modèle de percolation de premier passage où chaque arête du graphe est muni indépendamment d'une capacité aléatoire distribuée selon une loi G. La capacité d'une arête est la quantité maximale d'eau qui peut circuler dans l'arête par seconde. Pour v un vecteur unitaire, une loi des grands nombres existe : on peut définir la constante de flux dans la direction v comme étant le débit asymptotique maximal d'eau qui peut être envoyé dans la direction v par unité de surface. Nous montrons une loi des grands nombres pour le débit maximal d'eau qu'une source convexe compacte peut envoyer à l'infini. Le problème dual du flux maximal est celui des surfaces de coupures de capacité minimale, il s'agit d'ensembles d'arêtes séparant les sources des puits qui limitent la transmission du flux en agissant comme un goulot d'étranglement ; toutes leurs arêtes sont saturées. Dans le cas particulier où G({0})>1-pc, nous montrons une loi des grands nombres pour la taille des surfaces de coupure minimale liées au flux maximal dans un cylindre plat où le haut et le bas du cylindre correspondent respectivement à la source et au puits
In this thesis, we study the models of percolation and first passage percolation on the graph Zd, d≥2. In a first part, we study isoperimetric properties of the infinite cluster Cp of percolation of parameter p>pc. Conditioning on the event that 0 belongs to Cp, the anchored isoperimetric constant φp(n) corresponds to the infimum over all connected subgraph of Cp containing 0 of size at most nd, of the boundary size to volume ratio. We prove that n φp (n) converges when n goes to infinity towards a deterministic constant φp, which is the solution of an anisotropic isoperimetric problem in the continuous setting. We also study the behavior of the anchored isoperimetric constant at pc, and the regularity of the φp in p for p>pc. In a second part, we study a first interpretation of the first passage percolation model where to each edge of the graph, we assign independently a random passage time distributed according to a given law G. This interpretation of first passage percolation models propagation phenomenon such as the propagation of water in a porous medium. A law of large numbers is known: for any given direction x, we can define a time constant µG(x) that corresponds to the inverse of the asymptotic propagation speed in the direction x. We study the regularity properties of the µG in G. In particular, we study how the graph distance in Cp evolves with p. In a third part, we consider a second interpretation of the first passage percolation model where to each edge we assign independently a random capacity distributed according to a given law G. The capacity of G edge is the maximal amount of water that can cross the edge per second. For a given vector v of unit norm, a law of large numbers is known: we can define the flow constant in the direction v as the asymptotic maximal amount of water that can flow per second in the direction v per unit of surface. We prove a law of large numbers for the maximal flow from a compact convex source to infinity. The problem of maximal flow is dual to the problem of finding minimal cutset. A minimal cutset is a set of edges separating the sinks from the sources that limits the flow propagation by acting as a bottleneck: all its edges are saturated. In the special case where G({0})>1-pc, we prove a law of large numbers for the size of minimal cutsets associated with the maximal flow in a flat cylinder, where its top and bottom correspond respectively to the source and the sink

This PhD thesis consists of a summary and four papers which deal with stochastic approximation algorithms and first-passage percolation. Paper I deals with the a.s. limiting properties of bounded stochastic approximation algorithms in relation to the equilibrium points of the drift function. Applications are given to some generalized Pólya urn processes. Paper II continues the work of Paper I and investigates under what circumstances one gets asymptotic normality from a properly scaled algorithm. The algorithms are shown to converge in some other circumstances, although the limiting distribution is not identified. Paper III deals with the asymptotic speed of first-passage percolation on a graph called the ladder when the times associated to the edges are independent, exponentially distributed with the same intensity. Paper IV generalizes the work of Paper III in allowing more edges in the graph as well as not having all intensities equal.

Dans ce travail, nous nous interessons aux variations de la forme asymptotique du modele de percolation de premier passage avec temps independants et identiquement distribues sur les aretes de z 2, en fonction de la loi du temps de passage d'une arete. Notre principal resultat est une extension d'un theoreme de van den berg et kesten selon lequel la constante de temps decroit strictement quand la fonction de repartition du temps de passage est modifiee selon un ordre convexe qui generalise la domination stochastique. Leur preuve necessite, dans le cas ou le minimum du support de la fonction de repartition est strictement positif, l'hypothese que la masse attribuee a par la fonction de repartition est strictement inferieure au seuil critique d'un modele de percolation orientee de bernoulli sous-jacent. Nous levons cette condition pour la percolation de premier passage sur le graphe z 2, en determinant entierement le bord plat de la forme asymptotique qui apparait alors, en fonction de la vitesse asymptotique du modele de percolation sous-jacent surcritique. Nous donnons aussi une majoration stricte de la constante de temps en fonction de cette vitesse.

Le sujet de cette thèse est l'étude du flux maximal en percolation de premier passage dans le graphe Zd pour d ≥ 2. Dans les trois premières parties de la thèse nous nous intéressons au flux maximal Φ entre le sommet et la base d'un cylindre et au flux maximal τ entre le bord du demi-cylindre supérieur et le bord du demi-cylindre inférieur. Une loi des grands nombres est connue pour τ quand les dimensions du cylindre tendent vers l'infini, et elle se généralise facilement à Φ dans le cas des cylindres très plats. Concernant Φ dans des cylindres droits, une loi des grands nombres beaucoup plus difficile à établir a été prouvée par Kesten en 1987, et améliorée par Zhang en 2007. Dans la première partie de cette thèse nous montrons que les grandes déviations par au-dessus de τ et Φ dans les cas cités précédemment sont d'ordre volumique. Nous obtenons de plus le principe de grande déviation correspondant pour Φ dans des cylindres droits. Dans la deuxième partie de la thèse nous prouvons que les grandes déviations par en-dessous de τ et Φ dans les mêmes cas sont d'ordre surfacique, et nous montrons les principes de grande déviation correspondant. Dans la troisième partie nous considérons le cas de la dimension deux, dans lequel nous généralisons la loi des grands nombres, le principe de grande déviation par en-dessous et l'étude de l'ordre des déviations supérieures à la variable Φ dans des cylindres inclinés. La quatrième partie de la thèse est consacrée à l'étude du flux maximal à travers un domaine connexe de Rd dont les dimensions tendent vers l'infini à la même vitesse dans toutes les directions. Nous prouvons une loi des grands nombres pour ce flux, et nous montrons que ses déviations supérieures sont d'ordre volumique tandis que ses déviations inférieures sont d'ordre surfacique. Ce résultat s'applique en particulier aux cylindres penchés dont les dimensions grandissent de manière isotrope, et généralise donc la loi des grands nombres pour Φ prouvée par Kesten dans le cas des cylindres droits
The object of this thesis is the study of the maximal flow in first passage percolation on the graph Zd for d ≥ 2. Ln the first three parts of the thesis, we are interested in the maximal flow Φ between the top and the bottom of a cylinder and in the maximal flow τ between the boundary of the upper half cylinder and the boundary of the lower half cylinder. A law of large numbers is known for τ when the dimensions of the cylinders go to infinity, and it can be easily extended to Φ in very flat cylinders. As concerns Φ in straight cylinders, a law of large numbers much more difficult to establish has been proved by Kesten in 1987, and improved by Zhang in 2007. Ln the first part of this thesis, we prove that the upper large deviations for τ and Φ in the cases cited above are of volume order. Moreover we obtain the corresponding large deviation principle for Φ in straight cylinders. Ln the second part of the thesis, we show that the lower large deviations of τ and Φ in the same cases are of surface order, and we prove the corresponding large deviation principles. Ln the third part, we consider the case of the dimension two, in which we generalize the law of large numbers, the lower large deviation principle and the study of the order of the upper large deviations to the variable Φ in tilted cylinders. The fourth part of the thesis is devoted to the study of the maximal flow through a connected domain of Rd whose dimensions go to infinity at the same speed in every direction. We prove a law of large numbers for this flow, and we show that its upper large deviations are of volume order whereas its lower large deviations are of surface order. Ln particular, this result applies to tilted cylinders whose dimensions grow isotropically, and hence extends the law of large numbers for Φ proved by Kesten in the case of straight cylinders

This thesis studies three models: Multi-type TASEP in discrete time, long-range last- passage percolation on the line and convoy formation in a travelling servers model. All three models are relatively easy to state but they show a very rich and interesting behaviour. The TASEP is a basic model for a one-dimensional interacting particle system with non-reversible dynamics. We study some aspects of the TASEP in discrete time and compare the results to recently obtained results for the TASEP in continuous time. In particular we focus on stationary distributions for multi-type models, speeds of second- class particles, collision probabilities and the speed process. We consider various natural update rules.

Les travaux présentés relèvent d'une branche des probabilités que l'on appelle la mécanique statistique.
L'idée générale est que l'on étudie des systèmes infinis de particules en essayant d'établir le lien entre les propriétés microscopiques (par exemple l'interaction entre des particules proches) et les propriétés macroscopiques (par exemple
les caractéristiques à grande échelle des mesures d'équilibre.)

Ce mémoire se divise en trois parties:
- Mesures de Gibbs et champs gaussiens
- Percolation et mesures de Gibbs
- Percolation de premier passage et compétition

La première partie
traite des mesure de Gibbs gaussiennes, classiques et quantiques.
On y étudie finement la structure de l'ensemble des mesures de Gibbs
classiques (\resp quantiques) dont le support est raisonnable ainsi que les dynamiques stochastiques de gradient canoniquement associées. Une attention particulière est accordée à l'influence de la transition de phase.

La deuxième partie traite de problèmes associant percolation et mesure de
Gibbs, à savoir l'existence de transition de percolation dans des modèles issus
de perturbations d'interactions quadratiques et des théorèmes de limite centrale pour la répartition des phases dans les modèles d'Ising et de Potts.

La troisième partie étudie des modèles de percolation de premier passage et
des problèmes de compétion associés. On montre en particulier des théorèmes
de forme asymptotique et de grandes déviations pour la percolation de premier
passage sur l'amas de percolation Bernoulli et l'on étudie des problèmes
de coexistence/non-coexistence entre des espèces qui se propagent de manière analogue à ce qui se passe en percolation de premier passage.

We introduce Riemannian First-Passage Percolation (Riemannian FPP) as a new model of random differential geometry, by considering a random, smooth Riemannian metric on R^d . We are motivated in our study by the random geometry of first-passage percolation (FPP), a lattice model which was developed to model fluid flow through porous media. By adapting techniques from standard FPP, we prove a shape theorem for our model, which says that large balls under this metric converge to a deterministic shape under rescaling. As a consequence, we show that smooth random Riemannian metrics are geodesically complete with probability one.In differential geometry, geodesics are curves which locally minimize length. They need not do so globally: consider great circles on a sphere. For lattice models of FPP, there are many open questions related to minimizing geodesics; similarly, it is interesting from a geometric perspective when geodesics are globally minimizing. In the present study, we show that for any fixed starting direction v, the geodesic starting from the origin in the direction v is not minimizing with probability one. This is a new result which uses the infinitesimal structure of the continuum, and for which there is no equivalent in discrete lattice models of FPP.

No presente trabalho provamos resultados sobre as flutuações dos fluxos de partículas e das partículas marcadas no processo de Hammersley multiclasse. Os métodos das demonstrações são robustos, formulados de modo a serem aplicados em outros processos, em particular se aplicam ao processo de exclusão totalmente assimétrico multiclasse (TASEP multiclasse) e à seu respectivo modelo de percolação de última passagem. Os principais teoremas obtidos são um teorema central do limite para o choque, seu coeficiente de difusão e uma fórmula exata para a variância do fluxo de partículas de classe N >1 para o processo em equilíbrio multiclasse.
We prove fluctuations results concerning fluxes of particles and tagged particles on multiclass Hammersley process. The methods used are robust and apply to other processes, in particular all the proofs can be adapted to the Multiclass totally asymmetric simple exclusion process (Multiclass TASEP) and its respective last passage percolation model. The main theorems obtained are a central limit theorem for the shock, its diffusion coefficient and an exact formula for the variance of the $N$-th class particle flux in a stationary version of the multiclass process when N > 1.