Добірка наукової літератури з теми "Noyau algébrique"

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire)
It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

Nous abordons dans cette thèse le problème du calcul de la topologie de courbes algébriques planes. Nous présentons un algorithme qui, grâce à l’application d’outils algébriques comme les bases de Gröbner et les représentations rationnelles univariées, ne nécessite pas de traitement particulier de cas dégénérés. Nous avons implanté cet algorithme et démontré son efficacité par un ensemble de comparaisons avec les logiciels similaires. Nous présentons également une analyse de complexité sensible a la sortie de cet algorithme. Nous discutons ensuite des outils nécessaires pour l’implantation d’algorithmes de géométrie non-linéaire dans CGAL, la bibliothèque de référence de la communauté de géométrie algorithmique. Nous présentons un noyau univarié pour CGAL, un ensemble de fonctions nécessaires pour le traitement d’objets courbes définis par des polynômes univariés. Nous avons validé notre approche en la comparant avec les implantations similaires
We tackle in this thesis the problem of computing the topology of plane algebraic curves. We present an algorithm that avoids special treatment of degenerate cases, based on algebraic tools such as Gröbner bases and rational univariate representations. We implemented this algorithm and showed its performance by comparing to simi- lar existing programs. We also present an output-sensitive complexity analysis of this algorithm. We then discuss the tools that are necessary for the implementation of non- linear geometric algorithms in CGAL, the reference library in the computational geom- etry community. We present an univariate algebraic kernel for CGAL, a set of functions aimed to handle curved objects defined by univariate polynomials. We validated our approach by comparing it to other similar implementations

Ce travail de thèse porte sur deux problèmes distincts, tous deux en lien avec le comportement galoisien de certains noyaux de localisation en cohomologie étale : les noyaux sauvages étales. Fixons un nombre premier p et $F_{\infty}$ une $\Z_p$-extension d'un corps de nombres $F$.
La structure de groupe abélien du p-groupe des classes des étages de $F_{\infty}/F$ est asymptotiquement bien connue : nous montrons, au moyen de la théorie d'Iwasawa des $\Z_p$-extensions, un analogue de ce résultat en $K$-théorie supérieure.
Dans un deuxième temps, nous étudions le groupe de Galois sur $F_{\infty}$ de la pro-p-extension, non ramifiée, p-décomposée maximale de $F_{\infty}$, lorsque $F_{\infty}$ est la $\Z_p$-extension cyclotomique de $F$. Après avoir établi un lien entre la structure de ce groupe et le comportement galoisien des noyaux sauvages étales, nous donnons divers critères effectifs de non pro-p-liberté pour ce groupe.

Pour X une courbe sur un corps global k, lisse, projective et géométriquement connexe, nous déterminons la Q-structure du groupe de Quillen K1(X) : nous démontrons que dimQ K1(X) ? Q =2r, où r désigne le nombre de places archimédiennes de k (y compris le cas r = 0 pour un corps de fonctions). Cela con?rme une conjecture de Bloch annoncée dans les années 1980. Dans le langage de la K-théorie de Milnor, que nous dé?nissons pour les variétés algébriques via les groupes de Somekawa, le premier K-groupe spécial de Milnor SKM1 (X) est de torsion. Pour la preuve, nous développons une théorie des hauteurs applicable aux K-groupes de Milnor, et nous généralisons l’approche de base de facteurs de Bass-Tate. Une structure plus ?ne de SKM 1 (X) émerge en localisant le corps de base k, et une description explicite de la décomposition correspondante est donnée. En particulier, nous identi?ons un sous-groupe WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) pour chaque entier rationnel l, nommé noyau sauvage, dont nous croyons qu’il est ?ni
For a smooth projective geometrically connected curve X over a global ?eld k, we determine the Q-structure of its ?rst Quillen K-group K1(X) by showing that dimQ K1(X) ? Q =2r, where r denotes the number of archimedean places of k (including the case r = 0 for k a function ?eld). This con?rms a conjecture of Bloch. In the language of Milnor K-theory, which we de?ne for varieties via Somekawa groups, the ?rst special Milnor K-group SKM 1 (X) is torsion. For the proof, we develop a theory of heights applicable to Milnor K-groups, and generalize the factor basis approach of Bass-Tate. A ?ner structure of SKM 1 (X) emerges when localizing the ground ?eld k, and we give an explicit description of the resulting decomposition. In particular, we identify a potentially ?nite subgroup WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) for each rational prime l, named wild kernel

Dans le cas des mots, un schéma général de calcul des noyaux rationnels a été proposé. Il repose sur un algorithme général de composition des transducteurs pondérés et un algorithme général de calcul de plus petite distances. Notre objectif est de généraliser ce schéma de calcul aux cas des arbres en utilisant les automates d’arbres. Pour ce faire, nous avons fixé les deux objectifs principaux suivants : D’une part, définir les automates d’arbres pour le calcul des noyaux des sousarbres, des sous-séquences d’arbres et des facteurs d’arbres. D’autre part, à partir d’une expression rationnelle d’arbres, construire un automate d’arbres pour le calcul des différents noyaux rationnels décrits par des expressions rationnelles d’arbres en utilisant le schéma suivant sur deux langages d’arbres L1 et L2 : KE (L1;L2) = (AL1 \ AE \ AL2). Nous avons exploré et proposé des algorithmes efficaces pour la conversion d’une expression rationnelle d’arbres en automates d’arbres. Le premier algorithme calcule, à partir d’une expression rationnelle d’arbres E de taille jEj et de largeur alphabétique jjEjj, les ensembles Follow en temps O(jjEjj jEj). Le second algorithme calcule l’automate d’arbres des équations via les k-C-Continuations qui est basé sur la minimisation acyclique de Revuz. Cet algorithme calcule l’automate des équations avec une complexité e temps et en espace en O(jQj jEj) où jQj est le nombre d’états de l’automate produit. Ensuite, nous avons conçu des algorithmes pour le calcul des noyaux des sous-arbres, des sous-séquences d’arbres et des facteurs d’arbres. Notre Approche est basée sur la représentation de l’ensemble d’arbres S = fs1; : : : ; sng (resp. T = ft1; : : : ; tmg) par un automate d’arbres pondéré particulier baptisé Root Automate d’Arbres Pondéré, le RAAP AS (resp. AT ) (équivalent à l’automate des préfixes dans le cas des mots) tel que jASj Pn P i=1 jsij = jSj (resp. JAT j # m j=1 jtj j = jTj) ; puis de calculer les noyaux entre les deux ensembles S et T. Ceci revient au calcul du poids de l’automate intersection AS \ AT. Nous montrons que le calcul du noyau K(S; T) peut se faire en temps et en espace O(jASj jAT j)
In the case of words, a general scheme for computing rational kernels has been proposed. It is based on a general algorithm for composition of weighted transducers and a general algorithm computing smallest distance. Our goal is to generalize this computation scheme to the case of trees using tree automata. To do this we have established the following two main objectives : On the one hand,define tree automata for computing subtree kernel, subsettree kernel and tree factor kernel. On the other hand, from a regular tree expression, build a tree automaton to compute the various rational tree kernels described by regular tree expressions using the following scheme over two tree languages L1 and L2 : KE(L1;L2) = (AL1 \ AE \ AL1). We explored and proposed efficient algorithms for the conversion of a regular tree expression into tree automata. The first algorithm computes the Follow sets for a regular tree expression E of a size jEj and alphabetic width jjEjj in O(jjEjj jEj) time complexity. The second algorithm computes the equation tree automaton via the k-C-Continuations which is based on the acyclic minimization of Revuz. The algorithm is performed in an O(jQj jEj) time and space complexity, where jQj is the number of states of the produced automaton. Then we developed algorithms for the computation of subtree kernel, subsettree kernel and tree factor kernel. Our approach is based on the representation of all trees of the set S = fs1; : : : ; sng (resp. T = ft1; : : : ; tmg) by a particular weighted tree automaton called Root Weighted Tree Automaton the RWTA AS (resp. AT ) (equivalent to the prefix automaton in the case of words) such that jASj #Pn i=1 jsij = jSj (resp. JAT #Pm j=1 jtj j = jTj) ; then we compute the kernels between the two sets S and T. This amounts to compute the weight of the intersection automaton AS \ AT. We show that the computation of the kernel K(S; T) can be done in O(jASj jAT j) time and space complexity. Keywords: Finite Tree Automata, Rationnal Tree Languages, Regular Tree Expressions, Conversion of Regular Tree Expressions, Rational Kernels, Trees, Rational Tree Kernels

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude de la trivialité de la 2-partie du noyau sauvage de certaines 2-extensions abéliennes du corps Q des rationnels. Le cas général des extensions multi-quadratiques ayant déjà été résolu, nous traitons ici le cas des 2-extensions cycliques, puis celui des 2-extensions abéliennes totalement réelles. Les résultats que nous obtenons reposent principalement sur une amélioration que nous proposons de la formule de genre démontrée par M. Kolster et A. Movahhedi. En particulier, on retrouve la valeur du 2-rang du noyau sauvage des corps quadratiques. Nous terminons la thèse par quelques exemples illustrant les difficultés rencontrées pour élucider le cas général des 2-extensions abéliennes de Q
In this thesis, we are interested in the study of the triviality of the 2-primary wild kernel of somme abelian 2-extensions of the rationals Q. Since the general case of multi-quadratic extensions has been already solved, we deal with the case of cyclic 2-extensions, and then with that of totally In this thesis, we are interested in the study of the triviality of the 2-primary wild kernel of some real abelian 2-extensions. The results we obtain are based on an improvement we propose of the genus formula proved by M. Kolster and A. Movahhedi. As a consequence, we also retrieve the 2-rank of the wild kernel of quadratic fields. We end the thesis by some examples illustrating the hurdles we have to overcome to determine the general case of abelian 2-extensions of Q

Dans le cadre de l'apprentissage automatique, l'utilisation de représentations alternatives, ou descripteurs, pour les données est un problème fondamental permettant d'améliorer sensiblement les résultats des algorithmes. Parmi eux, les descripteurs topologiques calculent et encodent l'information de nature topologique contenue dans les données géométriques. Ils ont pour avantage de bénéficier de nombreuses bonnes propriétés issues de la topologie, et désirables en pratique, comme par exemple leur invariance aux déformations continues des données. En revanche, la structure et les opérations nécessaires à de nombreuses méthodes d'apprentissage, comme les moyennes ou les produits scalaires, sont souvent absents de l'espace de ces descripteurs. Dans cette thèse, nous étudions en détail les propriétés métriques et statistiques des descripteurs topologiques les plus fréquents, à savoir les diagrammes de persistance et Mapper. En particulier, nous montrons que le Mapper, qui est empiriquement un descripteur instable, peut être stabilisé avec une métrique appropriée, que l'on utilise ensuite pour calculer des régions de confiance et pour régler automatiquement ses paramètres. En ce qui concerne les diagrammes de persistance, nous montrons que des produits scalaires peuvent être utilisés via des méthodes à noyaux, en définissant deux noyaux, ou plongements, dans des espaces de Hilbert en dimension finie et infinie
In the context of supervised Machine Learning, finding alternate representations, or descriptors, for data is of primary interest since it can greatly enhance the performance of algorithms. Among them, topological descriptors focus on and encode the topological information contained in geometric data. One advantage of using these descriptors is that they enjoy many good and desireable properties, due to their topological nature. For instance, they are invariant to continuous deformations of data. However, the main drawback of these descriptors is that they often lack the structure and operations required by most Machine Learning algorithms, such as a means or scalar products. In this thesis, we study the metric and statistical properties of the most common topological descriptors, the persistence diagrams and the Mappers. In particular, we show that the Mapper, which is empirically instable, can be stabilized with an appropriate metric, that we use later on to conpute confidence regions and automatic tuning of its parameters. Concerning persistence diagrams, we show that scalar products can be defined with kernel methods by defining two kernels, or embeddings, into finite and infinite dimensional Hilbert spaces