Добірка наукової літератури з теми "Mathématiques – Étude et enseignement – Martinique (France)"

La question des performances des élèves et étudiants français en mathématiques, alimentée par la médiatisation des résultats de certaines enquêtes internationales, est un sujet largement exploré par la recherche en didactique des mathématiques. Dans ce travail, nous portons notre attention sur l’apprentissage des mécanismes de construction d’une preuve à la transition entre l’enseignement secondaire et l’enseignement supérieur. L’apprentissage de la preuve, perçue comme un objet de connaissance transversal aux différents champs mathématiques, a fait l’objet de nombreux travaux dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique dans l’enseignement secondaire. Ces études font état de difficultés des étudiants tant dans l’exploitation des connaissances que dans la mise en œuvre de raisonnement et de procédures syntaxiques afin de produire une preuve conforme aux attentes des enseignants. Les programmes de mathématiques du secondaire précisent ces attentes de l’institution à la fin du lycée, l’élève devant être en mesure de trouver des arguments et mettre en œuvre un raisonnement pour construire une preuve puis de la rédiger. Dans le cas de l’enseignement supérieur, les programmes de formations telles que les Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles soulignent l’importance de l’apprentissage de la preuve. Dans le cas des formations universitaires, cet objet occupe une place variable, certains descriptifs le mentionnant explicitement comme étant enseigné et d’autres n’en faisant pas état. À partir de ces constats, nous nous sommes interrogés sur les capacités d’étudiants à construire une preuve en entrant dans l’enseignement supérieur. Nous investiguons également leurs perceptions relatives à ces capacités et les évolutions dans ce domaine au cours du premier cycle d’études supérieures. À ces fins, nous avons mené une étude longitudinale entre septembre 2019 et mai 2022. Un questionnaire a été administré à deux promotions d’étudiants inscrits en Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles et en licence de mathématiques à l’entrée dans l’enseignement supérieur aux Antilles puis au début et à la fin de la deuxième année. Les perceptions des étudiants sur leur capacité à trouver des arguments, à mettre en œuvre un raisonnement, à rédiger une preuve et leur capacité à analyser une démonstration ont été questionnées. Par des entretiens semi-directifs, nous avons également questionné les perceptions d’enseignants sur les difficultés de leurs étudiants, leurs pratiques d’enseignement déclarées et leurs conceptions sur certains termes.Les résultats obtenus ont révélé que l’apprentissage de la preuve n’est pas achevé à l’entrée dans l’enseignement supérieur et se poursuit au cours du premier cycle. Une évolution non homogène des perceptions et des capacités de ces étudiants au cours de ces deux années est notée. En effet, en entrant dans l’enseignement supérieur, les profils de ces étudiants vis-à-vis de leurs perceptions et de leurs capacités étaient variés et le sont moins au bout de deux ans. Par ailleurs, les conceptions des étudiants vis-à-vis de la signification attribuée aux termes hypothèse, démonstration, justification et conjecture et de leurs difficultés lors de la preuve d’un résultat se rapprochent de celles de leurs enseignants au bout de deux ans. Les pratiques déclarées par les enseignants montrent, dans certains cas, une absence de situations d’enseignement dédiées au raisonnement. Malgré cela, une évolution globale est perçue dans les conceptions des étudiants et dans leurs capacités à prouver un résultat. Enfin, la prééminence, déclarée par les enseignants, du raisonnement déductif dans l’activité mathématique conduit à s’interroger sur la place laissée à d’autres types de raisonnement. Ainsi, notre travail nous semble ouvrir un champ d’études relatif à l’intégration des autres types de raisonnement dans l’enseignement supérieur et à la place et aux fonctions du raisonnement mathématique dans le cycle master
The issue of French students' performance in mathematics, fueled by media coverage of the results of certain international surveys, is a topic extensively explored by research in mathematics education. In connection with this issue, we focus our attention, in this work, on a particular aspect : the learning of the mechanisms for constructing a proof between the end of secondary education and the beginning of higher education. The learning of proof in secondary education, as a transversal object of knowledge across different mathematical fields, has been the subject of numerous studies within the framework of the théorie anthropologique du didactique.These studies report difficulties faced by students both in exploiting knowledge and in implementing reasoning and syntactic procedures to produce a proof in line with the expectations of their teachers. Texts which guide mathematical teaching in secondary education specify the institution's expectations regarding the skills targeted in constructing a proof at the end of high school. In particular, the student must be able to find arguments and implement reasoning to construct a proof and then write it according to a certain formalism. In the case of higher education, course programs such as the Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles emphasize the importance of learning proof. Likewise, the place of this object varies in the descriptions of university courses, some explicitly mentioning it as a taught object and others not mentioning it.Based on these findings from the scientific literature, we have questioned the abilities of students to construct a proof upon entry into higher education. We also investigate their perceptions of these abilities and their evolution in the first years of higher education studies. We conducted a longitudinal study between September 2019 and May 2022 to this end. The students surveyed follow a course preparing them to entry into engineering school or complete a degree in Mathematics at the French West indies University. We ask them to fill a questionnaire at the beginning of the first year then at the beginning and end of the second year. Students' perceptions of their ability to find arguments, implement reasoning, write a proof, and analyze a demonstration were questioned. This study was complemented by semi-structured interviews with teachers involved in these programs. We questioned their perceptions of their students' difficulties, their declared teaching practices, and their conceptions of the vocabulary surrounding proof.The results obtained showed that proof learning is not completed upon entry into higher education and continues during the first years. A non-homogeneous evolution of the perceptions and abilities of these students during these two years is also noted. Indeed, upon entry into higher education, the profiles of these students in terms of their perceptions and abilities were varied and are less so after two years. Moreover, students' conceptions regarding the meaning attributed to the terms hypothesis, demonstration, justification, and conjecture and their difficulties in proving a result converge with those of their teachers after two years.Furthermore, the declared practices of the teachers show, for some of them, an absence of teaching situations dedicated to reasoning. Despite this, as we indicated earlier, an overall evolution is perceived in the students' conceptions and their abilities to prove a result. Finally, the pre-eminence, declared by the teachers, of deductive reasoning in mathematical activity leads to questioning the place given to other types of reasoning, such as induction, which is commonly used in the mathematician's activity. Thus, our work seems to open up a field of study concerning the integration of other types of reasoning in higher education and the place and functions of mathematical reasoning in the master's cycle

Cette thèse s'inscrit dans le cadre large de la didactique des langues à la Martinique. Comment des enfants étrangers caribéens y apprent-il le français, comment vivent-ils? Lorsqu'ils arrivent avec une ou deux langues initiales (dont une standard et l'autre créole), comment aménagent-ils l'apprentissage d'un troisième idiome, (le français), à partir d'une inscription dans l'école martiniquaise qui n'a pas résolu elle-même la question de cette première cohabitation? Comme les problématiques spécifiques aux situations de langues en contact ne peuvent se traiter en écartant les considérations sur la langue maternelle (LM), notre réflexion se présentera à l'image d'un carrefour disciplinaire, soulevant des problèmes sociologiques de population migrante en contact interculturel, des problèmes sociolinguistiques de contact de langues, de rapport aux normes anciennes, d'adoption de norme nouvelle, des problèmes linguistiques liés à l'oral, des problèmes psychologiques du développement de l'enfant dans des situations difficiles, des problèmes didactiques de formation des maîtres à des situations de classes précises. Se pencher sur l'état linguistique, scolaire et sociale d'une population migrante dans la Caraïbe, c'est tenter de réussir la synthèse de plusieurs disciplines autonomes, c'est risquer de les utiliser dans une interdépendance inhabituelle. Pour poser notre objet, il fallait d'abord rescenser notre population, étudier les représentations martiniquaises à leur égard, et faire une description des structures institutionnelles concernant leur scolarisation. Une étude sociolinguistique de la Martinique et des pays concernés s'avérait nécessaire ensuite pour connaître le statut des différentes langues parlées. Comme un bilan diagnostic nous semblait indispensable avant tout apprentissage, nous avons dû comparer leurs systèmes éducatifs avec le nôtre. Ceci nous a amené à un constat mitigé: insuffisance des structures d'accueil, isolement et formation insuffisante des maîtres, orientation et pédagogie souvent faussées par un manque d'évaluation élargie au pays d'origine, représentations ethnocentriques ambiantes, à côté d'initiatives isolées performantes. L'insertion des enfants émigrés caribéens nous interpelle par sa situation critique
This thesis inscribes in the wide field of didactic of languages in Martinique. How do caribean stranger children learn french, how do they live? When they arrive with one or two languages (one official and the other creole), how do they learn a third language in martinican school which hasn't resolved itself the question of bilingualism? Speaking several speeches in a country causes peculiar problems, so I shall deal of maternal tongue, of sociology and immigration, of socio lingualism, of relation with the old norms, of new standard, of linguistical problems linked with oral, of psychological problems due to child development in uneasy situations, of didactical problems of teacher's formation. All these topics are interdependent. It was necessary to take the census of population of strangers, to study what martinican think about them, and to study school official structures. We've got a moderate establishment: there is not enough welcome structures in martinican school, teachers are isolated and insufficiently prepared, there is o lack of information and evaluation about the natives languages and countries of stranger children. Some isolated initiatives and a pedagogy of linguistical variation have been tried successfully. Insertion of caribean stranger children interpellates us by it critical situation

Pour étudier la démonstration nous adaptons le cadre théorique de Toulmin, sur les arguments de plausibilité et de nécessité, à la théorie anthropologique du didactique de Chevallard. Les validations de l'enseignement des mathématiques sont la double transposition des démonstrations de l'institution mathématique (qui produit le savoir) et des validations, argumentations ou preuves, d'autres institutions (comme la "vie quotidienne"). L'étude diachronique des programmes du collège-lycée en France, et du Gymnasium en Bade-Würtemberg, confirmée par l'étude de manuels, montre que la démonstration est devenue explicitement un objet à enseigner, contrairement aux cas des Hauptschule et Realschule. Ces programmes recommandent l'usage de différents types de validation (argumentation, preuve) et d'arguments (pragmatiques, sémantiques, syntaxiques) suivant leurs fonctions et les moments ; on retrouve dans des leçons sur la démonstration l'influence des fonctions de la validation dans les différents genres de tâche (découvrir, contrôler, changer de registres. . . ). Malgré les difficultés linguistiques, institutionnelles et culturelles liées à la comparaison, l'examen des validations de théorèmes de cours dans les manuels et de démonstrations produites par des élèves montre des similitudes quant à la cohabitation des différents types d'arguments et différentes fonctions de la validation. On observe des différences sur les types de technologie ou de technique mis en œuvre et sur le poids donné aux types d'arguments et aux registres utilisés, avec une explication liée aux conditions institutionnelles (moment considéré, contrat, fonction privilégiée, organisation de l'enseignement. . . )
For the study of the proof we adapt Toulmin's theoretical frame on arguments of plausibility and arguments of necessity to Chevallard's anthropological theory of didactics. The validations of mathematic teaching are the double transposition of proofs from the mathematical institution (producing the knowledge) and validations (argumentations and proofs) from other institutions (like the "daily life"). The diachronic study of curricula of French “collège-lycée” and of German Gymnasium (in Baden-Württemberg), confirmed by the study of textbooks shows that proof is explicitly taught as opposed to the cases of Realschule and Hauptschule. These curricula advise the use of different types of validation (argumentation, proof. ) and arguments (pragmatic, semantic, syntactic) depending on the functions and when they are introduced: The influence of the functions of validation on the different types of tasks (discovering, controlling, changing registers. . . ) is also observed in lessons on proof. In spite of linguistic, institutional, and cultural difficulties in comparing France and Germany, the study of validations, of class theorems in textbooks, and of proofs produced by students, shows similarities about combining different types of arguments as well as different types of functions. Differences are observed on the types of technology and technique involved in the validation and on the weight given to different types of arguments and registers used, with an explanation related to the institutional conditions (moment of introduction, didactical contract, function, educational system. . . )

Cette recherche de type curriculaire porte sur la transposition didactique du concept de fonction dans l'enseignement secondaire en France (classes de 2nde et 1ère) et en Palestine (classes de 10ème, 11ème et l2ème). La première partie présente la problématique, les cadres théoriques et la méthodologie. La deuxième partie est consacrée à la détermination du rapport institutionnel aux fonctions dans les deux institutions à travers l'analyse des programmes et manuels. La troisième partie concerne l'étude du rapport personnel des élèves à l'objet fonction, elle correspond à la partie expérimentale de notre recherche et est effectuée à l'aide d'un questionnaire. Cette étude comparative met en évidence le poids de l'organisation institutionnelle sur les connaissances acquises par les élèves. Concernant plus particulièrement le projet curriculaire, elle projette également quelques lumières sur les organisations mathématiques relatives au thème mathématique des fonctions
This curricular-type research is concerned with the didactical transposition of the concept of function at secondary teaching level in France (corresponding to 10th and 11th grades) and Palestine (10th, 11th and 12th grades). In the first part, we present our problematic, theoretical frames and methodology. The second part handles out the study of the "institutional relation" to the concept of function in each one of the two teaching systems through the analysis of syllabus and textbooks. The third part is concerned by the study of the "personal relation" of students to the same object, it corresponds to the experimental part of our research and relies on a questionnaire. This comparative study reveals the institutional organisation weight on the knowledge acquired by students. Concerning more specifically the curricular project, it brings some light on mathematical organisations relative to the mathematical theme of functions

Les dépendances fonctionnelles sont omniprésentes dans la vie quotidienne, mais les résultats de plusieurs études montrent que les élèves ont des difficultés à traiter des problèmes de ce domaine. Ce travail compare l'approche des dépendances fonctionnelles en France et en Allemagne, à l'exemple de la Bavière. Dans la première partie la pensée fonctionnelle est définie clairement et est relié aux cadres théoriques pertinents utilisés en France et en Allemagne, comme les Grundvorstellungen (vom Hofe), les registres sémiotiques (Duval) ou le concept image (Vinner). Les outils nécessaires pour les analyses de ce travail y sont également développés. Les chapitres suivants sont dédiés à la comparaison des programmes et des livres de classe. Le but est d'éclaircir dans quelle mesure les élèves des deux pays sont aidés dans le développement de la pensée fonctionnelle. Puis il est essayé d'identifier en pratique les points forts et les points faibles reconnus lors des analyses des curriculums. Deux approches différentes ont été choisies pour étudier comment les élèves travaillent avec la pensée fonctionnelle et quels problèmes surgissent lors de ce travail : Des analyses quantitatives des données de PISA et PALMA sont faites et amènent à démontrer certaines relations avec les résultats des analyses précédentes. Les analyses qualitatives d'une étude d'interviews réalisée en France et en Allemagne documentent certains points forts et points faibles identifiés auparavant. Finalement des propositions sont faites sur la base des résultats de ce travail pour essayer d'éviter les points faibles des deux pays d'une part et pour chercher à profiter des points forts d'autre part
Functional dependencies are experienced almost daily by everybody, but the results of many studies show that students have difficulties in dealing with problems from that domain. This thesis compares the approach of functional dependencies in France and Germany (with the example of Bavaria). In the first part functional thinking is defined in a precise way and connected to some important theoretical frameworks used in France and Germany, such as the Grundvorstellungen (vom Hofe), the registres sémiotiques (Duval) and the concept image (Vinner). The instruments necessary for the analyses of this work are also developed. The following chapters compare the programs and the school books of both countries. The goal is to clarify how the students are assisted in the development of functional thinking. After that some strong points and weak points identified in the prior analysis are detected in practice. Two different approaches are chosen to study how students use the functional thinking and which problems occur during this work: Quantitative analyses of the data from PISA and PALMA are made in order to show the relationship with the results of prior chapters. Qualitative analyses of an interview study conducted in France an Germany are made in order to document some strong points and some weak points which have been identified in preceding chapters. Finally some propositions are made on the basis of the results of this work in order to try to avoid weak points of both countries on the one hand and to benefit from the strong points on the other hand

Cette thèse examine systématiquement les ouvrages d'enseignement de la géométrie élémentain et de la géométrie analytique publiés en France entre 1794 et 1891 pour y repérer la place des problèmes et de méthodes, les enjeux liés à leur introduction, ainsi que les discours des auteurs à ce sujet. Les choix opérés sont mis en relation avec les contextes institutionnels et mathématiques. Ce travail a conduit à repérer des étapes vers une normalisation au cours du siècle de l'organisation des problèmes dans les manuels de géométrie, qui passe par la classification de types différents de problèmes. Nous montrons comment la présence de problèmes est liée à la préparation des examens et concours, aux intentions pédagogiques des auteurs, à l'idée de mettre en application la théorie, et à la conception de ce qu'est l'activité géométrique. Nous mettons par ailleurs en évidence que les méthodes sont l'objet de l'attention non seulement des géomètres, mais aussi, dans une large mesure, des professeurs. Nous analysons comment les méthodes géométriques et analytiques se renouvellent au cours du 1g e siècle dans le même temps qu'elles circulent entre les ouvrages. Différentes conceptions sous-jacentes à l'exposition de ces méthodes sont relevées qui éclairent le rapport des auteurs à la notion de généralité en géométrie. Enfin, nous analysons la nature des rapports qu'entretiennent les problèmes et les méthodes dans nos ouvrages, et les modifications de leurs interactions au cours du siècle
This thesis systematically surveys textbooks of elementary geometry and analytic geometry published in France between 1794 and 1891 in order to identify the place of problems and methods, the challenges in introducing them, as well as the authors' arguments on the subject. The choices made are related to the institutional and mathematical contexts. This work led to identify steps towards normalization along the century of the organization of the problems in geometry textbooks, which involves the classification of different types of problems. We show how the presence of problems is related to the preparation of examinations and competitions, to educational intentions of the authors, to the idea of implementing the theory and to the idea of what is geometric activity. We also show that the methods are the focus of the attention not only of geometers, but also, to a large extent, of the teachers. We analyze how the geometrical and analytical methods are renewed in the 19th century at the same time they circulate between the books. Different underlying conceptions to the exposure of these methods are identified and throw light on the connection the authors have with the notion of generality in geometry. Finally, we analyze the nature of the relations between problems and methods in our textbooks, and the changes in their interactions over the century

Cette étude caractérise l'action conjointe du professeur et des élèves en mathématiques, en contrastant quatre séries d'observations réalisées dans des classes primaires suisses romandes et françaises (grades 4/5). La problématique met en perspective la transposition institutionnelle des savoirs sur la mesure des grandeurs qui sert de référence au travail du professeur, en regard des projets d'enseignement qui se dessinent au cours d'une année scolaire, mais aussi des significations effectivement co-construites dans la classe à l'échelle de quelques séances. Ces différents grains d'analyse mettent en évidence des types d'action professorale contrastés qui peuvent être rapportés aux choix épistémologiques et/ou pédagogiques qui sont cristallisés dans les textes institutionnels, tout en laissant apparaître des formes d'ingéniosité pratiques et didactiques activés par les professeurs, à propos d'un objet d'enseignement "résistant" (mesure des aires) qui est plus spécifiquement analysé.

Notre thèse porte sur l'enseignement des mathématiques dans les Écoles d'ingénieurs dans le cadre d'enseignements sur les fonctions et les distributions. Pour mieux situer notre thèse, nous avons présenté le contexte historique des mathématiques de l'ingénieur et l'invention des distributions, et, partant de là, le positionnement des mathématiciens d'hier et d'aujourd'hui sur la séparation possible des mathématiques en mathématiques appliquées et en mathématiques fondamentales. L'anthropologie du didactique de Chevallard est le cadre théorique de référence qui oriente notre analyse des rapports que les professeurs entretiennent avec leur École et les institutions de tutelle de la formation des ingénieurs. Les conclusions ont été tirées à partir de l'analyse de contenu des entretiens et de la comparaison de leurs cours avec ceux de L. Schwartz. Les mathématiques de l'ingénieur sont des mathématiques mixtes. L'enseignement des distributions est essentiel pour l'ingénieur pour la résolution des EDP. La modélisation est également un outil de l'ingénieur pour appliquer les mathématiques aux phénomènes du réel
Our thesis relates to the teaching of mathematics in the Schools of engineers within the framework of lesson on the functions and the distributions. To support our hypothesis, we present the historical context of mathematics applied to engineering studies and the invention of the distributions. On those premises, we examine the positioning of mathematicians in the course of history on the differentiation between applied and fundamental mathematics. Chevallard's anthropology of didactics serves as a reference point as well as a theoretical framework for our analysis on the relationship between professors and their institutions and / or training centers for engineers. Our conclusions are based on the contents of the interviews with professors from engineering schools and on the comparative studies of their courses with those of Schwartz. For them, the contents of applied and fundamental mathematics overlap to the extent that they sometimes refer to it as "mixed mathematics". The teaching of the distributions is essential for engineers in order to solve EDP equations. Modeling is also a tool allowing engineers to apply mathematics to reality

Le programme actuel de mathématiques de la classe de terminale scientifique incite les professeurs de mathématiques et de physique à mener un travail conjoint sur les équations différentielles. Cela nous a conduit à nous intéresser à l'articulation des enseignements de ce sujet dans les deux disciplines. Pour ce faire, nous avons choisi de caractériser la viabilité de la synergie entre les mathématiques et la physique en termes de continuité didactique. En nous appuyant sur les travaux antérieurs mettant en jeu des interactions entre les mathématiques et la physique, nous avons choisi d'organiser notre recherche autour d'un certain nombre de questions : Comment apparaissent les équations différentielles dans les manuels scolaires de mathématiques et de physique? Une continuité didactique entre ces deux disciplines existe-t-elle, et si oui, sous quelle forme ? La méthode d'Euler constitue-t-elle un champ propice ? Comment les enseignants perçoivent-ils et mettent-ils en œuvre cette continuité didactique ? Notre recherche a montré que la continuité didactique est loin d'être assurée dans les faits et se heurte à de nombreuses difficultés, comme l'analyse des manuels scolaires le met particulièrement en évidence. De plus, la façon dont est traitée la méthode d'Euler permet de constater que les deux enseignements s'ignorent, et vont même jusqu'à donner l'impression qu'il y a en réalité deux méthodes d'Euler différentes, selon la discipline. Enfin, l'analyse des réponses d'enseignants des deux disciplines à un questionnaire confirme les difficultés de mise en œuvre d'une continuité didactique entre les deux disciplines et permet d'en identifier certaines causes
The French mathematics curriculum encourages strongly the mathematics and physics teachers of upper Sixth to cooperate in the teaching of differential equations. This fact has led us to take an interest in the teaching of this theme in both matters. In this aim, we were driven to characterize the viability of a synergy between mathematics and physics in terms of didactical continuity. Taking former researches about interactions between mathematics and physics teaching as a basis, we have organized our research around some specific questions, namely: How do differential equations appear in mathematics and physics textbooks? Does a didactical continuity exist between the two matters and, if yes, in which form? Is the Euler method a theme able to foster this didactical continuity? How do the teachers perceive this didactic continuity and put it into play? Our research showed that the didactical continuity that could be expected from official injunction is far from being assured and encounters many difficulties, as an analysis of textbooks brings it to the fore. Moreover, studying how they deal with the Euler method shows that the two curricula ignore completely each other, to such extent that they give the impression that there are indeed two different methods of Euler, according to the matter. To end with, the study of the answers given by teachers of both matters to a questionnaire confirms the difficulties of implementing a didactical continuity and allows identify some reasons for it

Dans le cadre de la formation initiale et continue des enseignants des écoles, nous nous sommes posés la question d'une ingénierie didactique épistémique. Précisément , pour nous, il s'est agi de définir, à la suite de travaux de Jean Piaget et de Gérard Verganud, un développement structural et épistémique des compétences à l'école primaire, et , ce faisant, d'élaborer une technologie de séquences didactiques ad hoc. Aussi, nous avons dû poser les bases d'une logique du développement des structures des schèmes ; à la condition de considérer que, relativement à une compétence donnée, un sujet élève est une structure cognitive autorégulée qui contraint les liaisons, au sein du couple schème-situation : tout développement d'une compétence mathématique impose, comme concept organisateur, un couple (R, S), où R est un couple de régulations inverses l'une de l'autre et S, un couple de schèmes réciproques. Nous avons dû plonger le concept de compétence dans un cadre linguistique, adaptant en cela les positions de Lev Vygotski qui associe étroitement développement des mots et développement d'une compétence mathématique peut être associé à celui d'une certaine formulation langagière dont le prédicat est un verbe d'action. Enfin, le concept d'obstacle épistémologique devient un cas particulier d'un concept que nous avons qualifié, en toute généralité, de cognitif. Nous avons choisi, comme modèle, la construction de la compétence « catégoriser à l'école maternelle ». Nous avons pu confirmer qu'une médiation didactique, aux contraintes définies par la logique des schèmes, favorise un développement cognitif plus général que l'objectif initialement fixé.