Дисертації з теми "Géométrie p-adique"

Le n-ieme nombre de Bell est le nombre de partitions d'un ensemble a n éléments, ces nombres de Bell ont des propriétés arithmétiques et combinatoires. De nombreux auteurs, par des méthodes différentes, ont étudie des congruences satisfaites par les nombres de Bell; par exemple Touchard, Carlitz, Radoux, Flajolet, Barsky. . . Etc. Ces nombres de Bell ont été généralisés par Carlitz en introduisant un paramètre supplémentaire. Le but de cette thèse est d'obtenir des congruences pour ces nombres de Bell généralisés. Elle comprend donc une introduction à l'étude des nombres de Bell généralisés, leur propriété et leurs congruences fondamentales. Nous généralisons les résultats de Radoux et de Carlitz pour les nombres de Bell ordinaires. Dans le deuxième chapitre nous introduisons le polynôme de Bell généralisés, et nous établissons des congruences entre ces polynômes. Enfin dans les deux derniers chapitres nous appliquons des théorèmes généraux d'analyse p-adique à la fonction génératrice des nombres de Bell généralisés. Nous obtenons ainsi des congruences plus fines entre ces nombres de Bell généralisés.

Soient p un nombre premier et F un corps local complet pour une caluation discrète de corps résiduel fini de caractéristique p. Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique et modulo p, qui a été initié par Breuil. Elle consiste en trois chapitres. Nous supposons F de caractéristique 0 au premier chapitre et F de caractéristique 0 non ramifié au troisième. Au premier chapitre, nous montrons une partie d'une conjecture de Breuil et Schneider sur l'existence de réseaux stables sur des représentations localement algébriques de \GL_n(F). Au deuxième chapitre, à une représentation lisse irréductible de \GL_2(F) sur overline F p avec caractère central, nous associons canoniquement un diagramme qui détermine la classe d'isomorphisme de la représentation de départ. Au troisieme chapitre, nous appliquons la construction du second chapitre aux représentations considérées par Breuil and Paskunas pour construire de nouvelles représentations supersingulières de \GL_2(F)
Let p be a prime and F be a complete discrete valuation field with a finite residual field of characteristic p. This thesis follows the p-adic and modulo p local Langlands programme which is proposed by Breuil. It consists of three chapters. Suppose moreover that F is of characteristic 0 in the first chapter and F unramified in the third. In the first chapter, we prove a part of a conjecture of Breuil and Schneider on the existence of stable lattices inside certain locally algebraic representations of \GL_n(F). In the second chapter, to an irreducible smooth representation of \GL_2(F) over \overline{\F}_p with a central character, we canonically associate a diagram which determines the isomorphism class of the original representation. In the third chapter, we use the construction of the second chapter to construct new supersingular representations in the cases considered by Breuil and Paskunas

Cette thèse est consacrée à deux variantes arithmétiques de la correspondance de Simpson. Dans la première partie, on compare la correspondance de Simpson p-adique à un analogue p-adique de la correspondance de Narasimhan et Seshadri pour les courbes sur les corps p-adiques dû à Deninger et Werner. Narasimhan et Seshadri ont établi une correspondance entre les fibrés vectoriels stables de degré zéro et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, Deninger et Werner ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe p-adique dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0 une représentation p-adique du groupe fondamental de la courbe. Ils se sont posés quelques questions: si leur foncteur est pleinement fidèle ; si la cohomologie des systèmes locaux fournis par leur foncteur admet une filtration de Hodge-Tate ; et si leur construction est compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings. On répond positivement à ces questions. La seconde partie est consacrée à la construction d'un relèvement de la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Soient W l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique p>0, X un schéma formel lisse sur W, X' le changement de base de X par l'endomorphisme de Frobenius de W, X'_2 la réduction modulo p² de X' et Y la fibre spéciale de X. On relève la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky relative à X'_2. Plus précisément, on construit un foncteur de la catégorie des O_{X'}-modules de pⁿ-torsion à p-connexion intégrable dans la catégorie des O_X-modules de pⁿ-torsion à connexion intégrable, chacune étant soumise à des conditions de nilpotence appropriées. S'il existe un relèvement F: X -> X' du morphisme de Frobenius relatif de Y, notre foncteur est compatible avec le foncteur de Shiho induit par F. Comme application de la transformée de Cartier modulo pⁿ, on donne une nouvelle interprétation des modules de Fontaine relatifs introduits par Faltings et du calcul de leur cohomologie
This thesis is devoted to two arithmetic variants of Simpson's correspondence. In the first part, I compare the p-adic Simpson correspondence with a p-adic analogue of the Narasimhan-Seshadri's correspondence for curves over p-adic fields due to Deninger and Werner. Narasimhan and Seshadri established a correspondence between stable bundles of degree zero and unitary representations of the topological fundamental group for a complex smooth proper curve. Using parallel transport, Deninger and Werner associated functorially to every vector bundle on a p-adic curve whose reduction is strongly semi-stable of degree 0 a p-adic representation of the fundamental group of the curve. They asked several questions: whether their functor is fully faithful; whether the cohomology of the local systems produced by this functor admits a Hodge-Tate filtration; and whether their construction is compatible with the p-adic Simpson correspondence developed by Faltings. We answer positively these questions. The second part is devoted to the construction of a lifting of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Let W be the ring of the Witt vectors of a perfect field of characteristic p, X a smooth formal scheme over W, X' the base change of X by the Frobenius morphism of W, X'_2 the reduction modulo p² of X' and Y the special fiber of X. We lift the Cartier transform of Ogus-Vologodsky relative to X'_2 modulo pⁿ. More precisely, we construct a functor from the category of pⁿ-torsion O_{X'}-modules with integrable p-connection to the category of pⁿ-torsion O_X-modules with integrable connection, each subject to a suitable nilpotence condition. Our construction is based on Oyama's reformulation of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky in characteristic p. If there exists a lifting F: X -> X' of the relative Frobenius morphism of Y, our functor is compatible with a functor constructed by Shiho from F. As an application, we give a new interpretation of relative Fontaine modules introduced by Faltings and of the computation of their cohomology

Dans cette thèse nous étudions les propriétés p-adiques des variétés de Shimura de type P.E.L qui ont bonne réduction en p et pour lesquelles le lieu ordinaire est vide. Dans un premier chapitre on construit des invariants qui découpent dans les variétés de Shimura un ouvert dense, le lieu mu-ordinaire, et nous étudions les propriétés géométriques de ces invariants. Dans le second chapitre nous étendons au cas mu-ordinaire la théorie du sous-groupe canonique, et construisons donc pour des familles de groupes p-divisibles “presque” mu-ordinaire une filtration canonique de la p^n-torsion. Cela s’applique en particulier à certains voisinages rigides stricts du lieu mu-ordinaires des variétés de Shimura étudiées. Dans le troisième chapitre, qui est un travail en commun avec Stéphane Bijakowski, nous reconstruisons des invariants dans un cadre plus étendu que dans le premier chapitre sur certains modèles locaux de variétés de Shimura, lorsque l’on autorise le nombre premier p à ramifier dans la donnée de Shimura locale. Enfin, dans le quatrième chapitre on met en application les constructions des deux premiers chapitres pour construire une variété rigide, une variété de Hecke, qui paramètre les familles p-adiques de formes modulaires de Picard de pente finie, lorsque p est inerte dans le corps quadratique imaginaire de la donnée de Picard
In this thesis we study the p-adic properties of P.E.L. type Shimura varieties which have good reduction at p and for which the ordinary locus is empty. In the first chapter, we construct locally some invariants that cuts out inside the Shimura varieties an open and dense locus, the mu-ordinary locus, and study the geometric properties of these invariants. In the second chapter we extend to the unramified mu-ordinary case the theory of the canonical subgroup. Thus, we construct for ’nearly’ mu-ordinary families of p-divisible groups a canonical filtration of the p^n-torsion. This applies in particular to some strict rigid neighbourhoods of the mu-ordinary locus of the Shimura varieties previously studied. In the third chapter, which is a collaboration with Stéphane Bijakowski, we extend the construction of the invariants of the first chapter to some local integral models of Shimura varieties where the prime p can be ramified in the local datum. Finally, in the last chapter, we use the constructions of the first two chapter to construct a rigid variety, the Eigenvariety, which parametrises the finite slope p-adic families of Picard automorphic forms when the prime p is inert in the quadratic imaginary field of the Picard datum

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides
This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces

Dans cette thèse, nous construisons une théorie de cohomologie motivique pour les schémas quasi-compacts quasi-séparés, qui généralise la construction d'Elmanto-Morrow dans le cas des schémas au-dessus d'un corps. Notre construction n'est pas A¹-invariante en général, mais elle utilise la cohomologie motivique classique A¹-invariante des schémas lisses sur ℤ. La nouveauté principale de notre construction est la définition et l'étude d'une filtration globale sur l'homologie cyclique topologique, dont les parties graduées unifient la cohomologie syntomique de Bhatt-Morrow-Scholze et la cohomologie de de Rham dérivée. Nous établissons un grand nombre des propriétés attendues de la cohomologie motivique, notamment une suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch vers la K-théorie algébrique non-connective, la formule des fibrés projectifs et la descente pro cdh. Les résultats du Chapitre 11 sont ceux de [Bou23]
In this thesis, we construct a theory of motivic cohomology for quasi-compact quasi-separated schemes, which generalises the construction of Elmanto-Morrow in the case of schemes over a field. Our construction is non-A¹-invariant in general, but it uses the classical A¹-invariant motivic cohomology of smooth ℤ-schemes as an input. The main new input of our construction is a global filtration on topological cyclic homology, whose graded pieces provide a common generalisation of derived de Rham cohomology and Bhatt-Morrow-Scholze's syntomic cohomology. Our theory satisfies various expected properties of motivic cohomology, including a relation to non-connective algebraic K-theory via an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, the projective bundle formula, and pro cdh descent. The results of Chapter 11 have appeared as [Bou23]

Les dernières années ont vu émerger différents points de vue sur les espaces analytiques p-adiques. Ce texte est consacré spécifiquement à celui qu'a introduit Vladimir G. Berkovich à la fin des années quatre-vingt, et qui s'est révélé l'un des plus féconds. Nous en aborderons divers aspects. Dans la première partie du manuscrit, nous dépasserons le cadre p-adique pour nous intéresser aux espaces analytiques globaux : ceux qui sont définis sur Z ou les anneaux d'entiers de corps de nombres. Nous prouverons qu'ils jouissent, au moins localement, de propriétés analogues à celles des espaces analytiques complexes classiques. Par la suite, nous nous tournerons vers les espaces p-adiques pour étudier leur topologie et démontrer plusieurs résultats de modération. Finalement, nous présenterons quelques applications aux équations différentielles p-adiques sur les courbes analytiques et expliquerons notamment pourquoi leur comportement est contrôlé par un graphe localement fini.

Deligne a défini dans les années 70 le complexe de De Rham-Witt, qui permit à Illusie de prouver un théorème de comparaison avec la cohomologie cristalline. Ce résultat fut ensuite étendu par Etesse aux coefficients. En 2004, Bloch démontra que le théorème de comparaison cohomologique étendu aux coefficients d'Etesse possédait une interprétation plus profonde : sous certaines conditions, on obtient en fait une équivalence de catégories entre des cristaux et des connexions de De Rham Witt.Plus récemment, Davis, Langer et Zink ont introduit un complexe de De Rham-Witt surconvergent et démontré des théorèmes de comparaison avec les cohomologies de Monsky-Washnitzer et rigide. Ces derniers furent ensuite étendus aux coefficients par Ertl, qui démontra notamment un quasi-isomorphisme de cohomologie avec les isocristaux surconvergents.On peut alors légitimement se demander si les résultats de Bloch possèdent une variante surconvergente : c'est-à-dire que l'on aimerait pouvoir obtenir une interprétation des isocristaux surconvergents pour la cohomologie de De Rham-Witt surconvergente. On peut y parvenir en considérant des connexions de De Rham-Witt surconvergentes comme définies par Ertl, pour lesquelles on peut raisonnablement espérer retrouver les mêmes opérations cohomologiques que pour les F-isocristaux.Cette question fut la motivation de cette thèse, et le théorème principal de ce travail y répond en partie positivement. Pour y parvenir, il est nécessaire d'expliciter la structure locale du complexe de De Rham-Witt surconvergent, et de redéfinir la notion de surconvergence afin de pouvoir mieux contrôler la convergence des produits de différentielles de De Rham-Witt
Under a few assumptions, we prove an equivalence of category between a subcategory of F-isocristals on a smooth algebraic variety and overcongergent integrable De Rham-Witt connections. We do so by giving an equivalent definition of overconvergence, and by studying the explicit local structure of the De Rham-Witt complex

Cette thèse est consacrée à la poursuite du programme de géométrisation de la correspondance de Langlands locale p-adique initié par Colmez, Dospinescu et Niziol dans leur article de 2020, sur le modèle de la correspondance classique. Ils démontrent que les représentations galoisiennes de dimension 2 qui sont supercuspidales (sous-entendue de de Rham) et à poids de Hodge-Tate 0 et 1 apparaissent dans la cohomologie étale p-adique de la tour de revêtement du demi-plan de Drinfeld et que leur multiplicité est donnée par la correspondance de Langlands p-adique. Le résultat principal de cette thèse est l'analogue de ce résultat en poids quelconques, en considérant la cohomologie étale p-adique à coefficients dans les puissances symétriques du système local universel sur la tour de Drinfeld. Une différence frappante est que l'on voit aussi apparaitre les représentations spéciales dans la cohomologie de la tour à coefficients, avec les multiplicités attendues. Le point clé est que les systèmes locaux que l'on considère s'avèrent être particulièrement simples : se sont des opers isotriviaux.Ainsi, la première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes locaux p-adiques isotriviaux et au calcul dans le cas des opers isotriviaux sur les courbes d'un diagramme reliant la cohomologie proétale du système local à la cohomologie de Hyodo-Kato et la cohomologie de de Rham de la courbe. La seconde partie de cette thèse est alors l'application de ces résultats au cas de la tour de Drinfeld qui permettent le calcul des multiplicités évoquées
This thesis is devoted to further developing the program of geometrization of the local p-adic Langlands correspondence, which was initiated by Colmez, Dospinescu and Niziol in their 2020 paper. They have shown that 2-dimensional Galois representations that are supercuspidal (implicitly de Rham) and with Hodge-Tate weights 0 and 1, appear in the p-adic étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane and that their multiplicity is given by the p-adic Langlands correspondence. The main result of this thesis is the generalization of this result in arbitrary weights, by considering the p-adic étale cohomology with coefficients in the symmetric powers of the universal local system on Drinfeld's tower. A striking novelty is the appearance of special representations in the cohomology of the tower with coefficients, with expected multiplicity. The key point is that the local systems which we consider turn out to be particularly simple: they are isotrivial opers.The first part of this thesis is devoted to the study of local isotrivial p-adic systems and to the calculation, in the case of isotrivial opers on curves, of a diagram linking the proetale cohomology of the local system to the Hyodo-Kato cohomology and the de Rham cohomology of the curve.The second part of this thesis is the application of these results to the case of the Drinfeld's tower, allowing the computation of the mentioned multiplicities

La théorie des D-modules arithmétiques a été dévéloppée par Pierre Berthelot, sur des idées maîtresses de Mebkhout et Grothendieck qui avaient été les premiers à voir en les D-modules une nouvelle approche cohomologique. Le premier but de ma thèse était de généraliser les descriptions locales des D-modules arithmétiques dans le cas lisse, trouvées par Pierre Berthelot. Nous voulons intégrer des cas récents étudiés en particulier par Richard Crew où il étudie des schémas formellement lisses. Pour cela, nous généralisons la notion de relativement parfait aux cas des schémas formels et obtenons dans ce cadre une description analogue au cas lisse. Dans un second temps, nous donnons un algorithme qui permet de calculer la fonction zêta de certaines variétés qui sont l’extension d’une variété où l’on sait déjà calculer la fonction zêta
The theory of arithmetic D-modules was developed by Pierre Berthelot, based on the main ideas of Grothendieck and Mebkhout, who were the first to see the D-modules as a new cohomological approach. The primary aim of my thesis was to generalize the local descriptions of arithmetic D-modules in the smooth case, found by Pierre Berthelot. We want to integrate recent case studies, in particular from Richard Crew, where he studies formally smooth schemes. For that purpose, we generalize the notion of relatively perfect to the cases of formal schemes and obtain in this context a similar description to the smooth case. In a second step, we give an algorithm which allows calculating the zeta function of certain varieties, which are the extension of a variety that is already known to calculate the zeta function

On s’intéresse dans cette thèse au calcul du nombre de points de courbes algébriques sur des corps finis. En utilisant la stabilité de la cohomologie rigide à support propre par descente finie étale, on montre que l’on peut ramener le calcul des groupes de cohomologie d’une telle courbe à celui des groupes de cohomologie d’un isocristal sur un ouvert de la droite affine, et on construit un algorithme effectuant ce calcul en temps polynomial. On montre alors qu’en utilisant un relevé de Frobenius pour une courbe algébrique sur un corps fini calculé à l’aide d’un algorithme présenté par Gerkmann dans sa thèse, on peut compter le nombre de points de la courbe en appliquant la formule des traces en cohomologie rigide, obtenant finalement un algorithme polynomial fonctionnant pour une large classe de courbes. On détermine de plus des complexités pour nos algorithmes, recourant pour cela à des méthodes dues à Lauder pour contrôler la valeur absolue des éléments de la base de cohomologie que l’on manipule
We deal in this thesis with the computation of the number of points of algebraic curves over finite fields. By use of the stability of the rigid cohomology with compact support by finite etale descent, we show that the computation of the cohomology groups of such a curve can be reduced to the computation of the cohomology groups of an isocrystal over an open subset of the affine line and we build an algorithm achieving this operation in polynomial time. We then show that using a lifting of Frobenius for an algebraic curve over a finite field computed thanks to an algorithm presented by Gerkmann in his thesis, we can count the number of points of the curve by application of the trace formula for rigid cohomology, finally obtaining a polynomial time algorithm working for a large class of curves. We furthermore find complexities for our algorithms, using some technics introduced by Lauder in order to control the absolute value of the elements of the cohomology basis we handle

Orbitales, ont démontré que les multiplicités dans une representation induitetotale sont données par les valeurs en q = 1 des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés aux groupes symétriques. Dans ma thèse, j’ai introduit lanotion de dérivée partielle qui raffine celle de Zelevinksy et s’identifie enq = 1, à l’exponentielle formelle de la q-dérivée de Kashiwara sur l’algèbrequantique. A l’aide de cette notion et en explorant la géométrie des variétésorbitales, je construis une procédure de symétrisation des multisegments mepermettant, en particulier, de prouver une conjecture de Zelevinsky portantsur une propiété d’indépendance de l’induite parabolique totale. Je développepar ailleurs une stratégie afin de calculer les multiplicités dans une induiteparabolique générale en utilisant le produit de faisceaux pervers de Lusztig
Ariki and Ginzburg, after the previous work of Zelevinsky on orbital varieties,proved that multiplicities in a total parabolically induced representations aregiven by the value at q = 1 of Kazhdan-Lusztig Polynomials associated to thesymmetric groups. In my thesis I introduce the notion of partial derivativewhich refines the Zelevinsky derivative and show that it can be identified withthe formal exponential of the q-derivative of Kashiwara with q=1. With thehelp of this notion, I exploit the geometry of the nilpotent orbital varietiesto construct a symmetrization process for the multi-segments, which allowsme to proove a conjecture of Zelevinsky on the property of the independenceof the total parabolic induction. On the other hand, I develop a strategyto calculate the multiplicity in a general parabolic induction by using theLusztig product of perverse sheaves

Dans cette thèse, on considère l'arithmétique des groupes linéaires sur les corps de fonctions p-adiques. On divise la thèse en plusieurs parties.Dans la première partie, on rappelle une obstruction cohomologique au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore [HS16] et une obstruction à l'approximation faible pour les tores [HSS15] Par la suite, on compare les obstructions ci-dessus de deux manières différentes. En particulier, on montre que l'obstruction au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore peut être décrite par un groupe de cohomologie non ramifée.Dans la deuxième partie, on établit quelques théorèmes de dualité arithmétique et on déduit une suite exacte de type Poitou-Tate pour les complexes courts de tores. Plus tard, on parvient à trouver un défaut d'approximation faible pour certains groupes réductifs connexes en utilisant un morceau de la suite de Poitou-Tate.Dans la dernière partie, on considère un théorème de Borel-Serre de finitude en cohomologie galoisienne. Le premier ingrédient est que la finitude du noyau de l'application locale-globalepour les groupes linéaires découlera de celle des groupes géométriquement simples simplementconnexes. Par la suite, on montre que ce noyau est un ensemble fini pour une liste de groupes géométriquement simples simplement connexes
This thesis deals with the arithmetic of linear groups over p-adic function fields. We divide the thesis into several parts.In the first part, we recall a cohomological obstruction to the Hasse principle for torsors under tori [HS16] and another obstruction to weak approximation for tori [HSS15] Subsequently we compare the two obstructions in two different manners. In particular, we show that the obstruction to the Hasse principle for torsors under tori can be described by an unramifed cohomology group.In the second part, we establish some arithmetic duality theorems and deduce a Poitou-Tate style exact sequence for a short complex of tori. Later on, we manage to find a defect to weak approximation for certain connected reductive groups using a piece of the Poitou-Tate sequence.In the last part, we consider a Borel-Serre style finiteness theorem in Galois cohomology. The first ingredient is that the finiteness of the kernel of the global-to-local map for linear groups will follow from that of absolutely simple simply connected groups. Subsequently, we show the kernel is a finite set for a list of absolutely simple simply connected groups

Utilisant le point de vue introduit par V.G. Berkovich en géométrie analytique sur un corps non archimédien k, nous montrons dans cette thèse qu'il existe une théorie du potentiel naturelle sur toute courbe k-analytique lisse, tout à fait similaire à la théorie classique sur les surfaces de Riemann (courbes analytiques complexes). La motivation initiale vient des travaux de R. Rumely sur les applications arithmétiques d'une telle théorie. La théorie non archimédienne du potentiel à un aspect fortement combinatoire que l'on exploite initialement pour définir les fonctions harmoniques et établir leurs propriétés fondamentales. Nous introduisons ensuite une notion de fonction lisse ainsi qu'un opérateur linéaire, formellement analogue au laplacien complexe dd^c, que l'on étudie via une théorie des distributions. Le dernier chapitre présente une généralisation de la théorie d'Arakelov en dimension un, fondée sur la théorie non archimédienne du potentiel. Nous l'utilisons pour établir un théorème d'équidistribution des suites de points de petite hauteur, ainsi que pour donner une nouvelle démonstration d'un théorème de Rumely sur les capacités arithmétiques.

Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Dans cette thèse, nous démontrons des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. Ces résultats s'appuient sur des lemmes de Schwarz adaptés, que nous avons établis. En dimension 1, nous démontrons un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, notre théorème s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.

Cette thèse porte sur le groupe fondamental pro-unipotent de la droite projective moins trois points, défini par Deligne en 1989. On considère plus spécifiquement son Frobenius cristallin et sa connexion dite de Knizhnik-Zamolodchikov. L'objectif est de comprendre ses périodes p-adiques, c'est-à-dire les analogues p-adiques des nombres multizêtas. L'étude poursuivie fait apparaître également une notion de "multizêtas finis" ; celle-ci éclaire une autre notion de multizêtas finis définie par Zagier en 2011. Les parties I et II concernent les multizêtas p-adiques. On y donne plusieurs manières, une "directe" (partie I) et deux "indirectes" (partie II), de les calculer. Cela permet de découvrir aussi certaines propriétés des sommes harmoniques multiples. La partie II débouche entre autres sur la définition de la notion de multizêtas finis évoquée plus haut. Ce sont des éléments du produit de tous les Zp ; ils s'expriment en termes des multizêtas p-adiques, et vice-versa. Il faut les voir comme un substitut aux multizêtas p-adiques, qui ont l'avantage d'être donnés par des formules explicites très simples, et dont les propriétés reflètent celles des multizêtas p-adiques. La partie III est principalement une étude des propriétés algébriques des multizêtas finis, et d'autres nombres qui leurs sont liés. On justifie l'assertion que ce sont des variantes des nombres multizêtas, en montrant qu'ils vérifient des variantes des propriétés algébriques standard des nombres multizêtas. A la fin de la partie III, on en déduit un nouveau développement en série des valeurs zêtas p-adiques. Les trois parties contiennent également d'autres résultats annexes
This thesis concerns the pro-unipotent fundamental group of the projective line minus three points, defined by Deligne in 1989. We consider more specifically its cristalline Frobenius and its "Knizhnik-Zamolodchikov" connection. The goal is to understand its p-adic periods, that is to say the p-adic analogues of multiple zeta values. The study also leads to a notion of "finite multiple zeta values" ; it enlightens another notion of finite multiple zeta values defined by Zagier in 2011. The parts I and II concern p-adic multiple zeta values. We give several ways, one "direct" (part I) and two "indirect" (part II), to compute them. It enables to discover as well certain properties of multiple harmonic sums. The part II leads to, among other things, the definition of the notion of finite multiple zeta values evoked above. These are elements of the product of all Zp's ; they can be expressed in terms of p-adic multiple zeta values, and vice versa. They must be seen as a substitute to p-adic multiple zeta values, which have the advantage to be given by very simple explicit formulas, and whose properties reflect those of p-adic multiple zeta values. The part III is mostly a study of the algebraic properties of finite multiple zeta values, and of other related numbers. We justify the statement that they are variants of multiple zeta values, by showing that they satisfy variants of the standard algebraic properties of multiple zeta values. At the end of part III, we obtain a new series expansion of p-adic zeta values. The three parts also contain other annex results

Ce travail porte sur la géométrie et la cohomologie des revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld. On sait que la partie supercuspidale de la cohomologie étale l-adique de ces espaces fournit des réalisations géométriques des correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales (Drinfeld, Carayol, Harris-Taylor, Boyer, Dat, …). En s'inspirant des méthodes de la thèse de Wang, nous prouvons les mêmes correspondances en cohomologie de De Rham (en oubliant l’action du groupe de Weil) pour le premier revêtement. Cela nécessite la généralisation d'un théorème de Grosse-Klönne sur la cohomologie de De Rham des espaces analytiques admettant un modèle semi-stable. Nous aurons aussi besoin d’une description plus fine du niveau 0. En particulier, nous calculons les sections inversibles de l’espace symétrique. Nous allons plus loin et calculons aussi toute la cohomologie analytique du groupe multiplicatif (nous le faisons en fait dans le cadre plus général des arrangements d’hyperplan) montrant ainsi l’annulation de son groupe de Picard. On en déduit alors une équation pour le premier revêtement essentielle pour le calcul de la cohomologie de De Rham
This thesis studies the geometry and the cohomology of the Drinfeld symmetric space and its coverings. It has been shown that the supercuspidal part of the l-adic cohomology of this spaces provides a geometric realization of the local Langlands and the Jacquet-Langlands correspondence. Following the methods in the thesis of Wang Hoaran, we establish the same correspondances for the De Rham cohomology (forgetting the action of the Weil group) for the first covering. For that matter, we need to generalize a result of Grosse-Klönne on the De Rham cohomology of analytic spaces admitting a semi-stable model.We also need some informations on the level 0. In particular, we compute the invertible functions on the Drinfeld space. Indeed, we have stronger result where we compute the whole analytic cohomology on the sheaf of invertible function (all these calculations are done in the more general context of hyperplan arrangement). This allow us to give an explicit equation for the first covering essential for the computation of De Rham cohomology

Soit F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] une forme décomposable, c’est-à-dire un polynôme homogène de degré d qui peut être factorisé en formes linéaires sur C. Notons NF (m) le nombre de solutions entières à l’inégalité |F(x)| ≤ m et VF (m) le volume de l’ensemble {x ∈ Rn :|F(x)| ≤ m}. En 2001, Thunder [19] a prouvé une conjecture de W.M. Schmidt, énonçant que, sous des conditions de finitude appropriées, on a NF (m) << m n/d où la constante implicite ne dépend que de n et d. En outre, il a montré une formule asymptotique NF (m) = m n/d V (F) + OF (m n/(d+n−2)) où, cependant, la constante implicite dépend de F. Dans des articles ultérieurs, la préoccupation de Thunder était d’obtenir une formule asymptotique similaire, mais avec la borne supérieure du terme d’erreur |NF (m) −m n/dV (F)| ne dépendant que de n et d. Dans [20] et [22], il a réussi à prouver que si gcd(n, d) = 1, la constante implicite dans le terme d’erreur peut en effet être fonction uniquement de n et d. L’objectif principal de cette thèse est d’étendre les résultats de Thunder au cadre p-adique. `A savoir, nous sommes intéressés par les solutions à l’inégalité |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m en x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn avec gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.9) où p1, . . . , pr sont des nombres premiers distincts et |·|p désigne la valeur absolue p-adique habituelle. Le chapitre 1 est consacré au cadre p-adique de ce problème et aux preuves des lemmes auxiliaires. Le chapitre 2 est consacré à l’extension des résultats de Thunder de [19]. Dans le chapitre 3, nous montrons l’effectivité de la condition sous laquelle le nombre de solutions de (5.4.9) est fini. Le chapitre 4 et le chapitre 5 généralisent les résultats de Thunder dans [20], [21] et [22]
Let F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] be a decomposable form, that is, a homogeneous polynomial of degree d which can be factored into linear forms over C. Denote by NF (m) the number of integer solutions to the inequality |F(x)| ≤ m and by VF (m) the volume of the set{x ∈ Rn : |F(x)| ≤ m}. In 2001, Thunder [19] proved a conjecture of W.M. Schmidt, stating that, under suitable finiteness conditions, one has NF (m) << mn/d where the implicit constant depends only on n and d. Further, he showed an asymptotic formula NF (m) = mn/dV (F) + OF (mn/(d+n−2)) where, however, the implicit constant depends on F. In subsequent papers, Thunder’s concern was to obtain a similar asymptotic formula, but with the upper bound of the error term |NF (m)−mn/dV (F)| depending only on n and d. In [20] and [22], hemanaged to prove that if gcd(n, d) = 1, the implicit constant in the error term can indeed be made depending only on n and d.The main objective of this thesis is to extend Thunder’s results to the p-adic setting. Namely, we are interested in solutions to the inequality |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m in x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn with gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.3)where p1, . . . , pr are distinct primes and | · |p denotes the usual p-adic absolute value.Chapter 1 is devoted to the p-adic set-up of this problem and to the proofs of the auxiliary lemmas. Chapter 2 is devoted to extending Thunder’s results from [19]. In chapter 3, we show the effectivity of the condition under which the number of solutions of (5.4.3) is finite. Chapter 4 and chapter 5 generalize Thunder’s results from [20], [21] and [22]

En 1983, mazur et wiles dont demontre un theoreme de comparaison reliant la fonction l-p adique de kubota-leopoldt a la serie caracteristique associee a la tour des courbes d'igusa de niveau p#n (p premier impair). Je generalise ce resultat au cas de la tour des courbes d'igusa de niveau np#n, ou n est un entier plus grand que 5 premier a p, avec des hypotheses peu restrictives sur le caractere de la fonction l-p adique et par une methode nouvelle. Pour cela, on definit un ideal d'eisenstein dans l'algebre de hecke ordinaire de hida qui est relie a la fonction l-p adique. L'essentiel du travail est ensuite de bien comprendre les fonctorialites de picard et d'albanese sur les jacobiennes des courbes d'igusa ainsi que l'action du frobenius. Un resultat de tilouine sur la structure d'un sous-groupe p divisible de la jacobienne de la courbe modulaire permet finalement d'obtenir le resultat

Dans cette thèse, on s'intéresse à des problèmes de constructibilité en géométrie analytique non archimédienne sur un corps non archimédien k. On étudie certaines parties (semi-analytiques, sous-analytiques. . . ) du point de vue des espaces k-analytiques alors qu'elles n'étaient jusqu'à présent considérées qu'au niveau des points rigides. \par On étudie notamment les parties sous-analytiques (et sous-analytiques surconvergentes) en utilisant des points non rigides fournis par les espaces de Berkovich. Cela nous permet d'obtenir de nouvelles preuves de résultats antérieurs, d'établir de nouvelles propriétés et de clarifier une erreur concernant le comportement local des parties sous-analytiques surconvergentes qui n'avait jusque là pas été relevée. \par begin{comment}En utilisant des points non-rigides des espaces de Berkovich, on donne des contre-exemples à des résultats antérieurs sur les parties sou-analytiques surconvergents, et on explique comment la compacité des espaces k-affinoïdes permet des preuves antérieures concernant les parties sous-analytiques surconvergentes. On démontre également de nouvelles propriétés sur la dimension des espaces sous-analytiques. \par \end{comment}On donne également des théorèmes de finitude pour la cohomologie à support compact de germes H^q_c((\X^\an,S) , \Q_l) où S est une partie semi-algébrique localement fermée de l'analytifiée d'une k-variété algébrique \X. Enfin, on généralise des résultats concernant des applications de tropicalisation d'espaces k-analytiques compacts
In this thesis, we study constructibility problems in non-Archimedean analytic geometry over a non-Archimedean field k. We study some subsets (semianalytic, subanalytic. . . ) in the framework of k-analytic spaces, whereas until now they had only been consider as subsets of rigid k-spaces. \par We especially study subanalytic (and overconvergent subanalytic) sets using non-rigid points of Berkovich spaces. With this, we give new proofs of prior results, establish some new properties and clarify a mistake concerning the local behaviour of overconvergent subanalytic sets which had not been noticed until now. \par We also give finiteness results for compactly supported cohomology of germs H^q_c((\X^\an,S) , \Q_l) where S is a locally closed semi-algebraic subset of the analytification of some algebraic k-variety \X. Finally, we generalize some results about tropicalization maps of compactk-analytic spaces

Le sujet de cette thèse est la décomposition (partition) des ensembles dé nissables en des ensembles plus simples (cellules) ce qui permet d'obtenir des résultats de preparation, et de dé nir de nouveaux invariants topologiques et géometriques. Un exemple de ces invariants est la caractéristique d'Euler en topologie algèbrique. La décomposition cellulaire a trouvé de nombreuses applications notament en géométrie algèbrique réelle et plus récement en intégration motivique. Cluckers & Loeser [CL 2004] ont en et construit une théorie d'intégration qui surpasse les théories précédentes (intégration motivique géométrique et arithmétique). Dans cette thèse on s'intéresse à montrer la décomposition cellulaire dans des contextes variés : corps locaux à deux dimensions (i. E. Corps valué dont le corps residuel est valué), corps des séries des Puiseux sur les p-adiques et corps des séries logarithmiques-exponentielles

Cette thèse traite de certains aspects particuliers de la résolution des systèmes algébriques. Dans un premier temps, nous présentons une façon de minimiser le nombres de variables additives apparaissant dans un système algébrique. Nous utilisons pour cela deux invariants de variété introduits par Hironaka : le faîte et la directrice. Dans un second temps, nous proposons une arithmétique rapide, dite détendue, pour les entiers p-adiques. Cette arithmétique nous permet ensuite de résoudre efficacement un système algébrique à coefficients rationnels localement, c'est-à-dire sur les entiers p-adiques. En quatrième partie, nous nous intéressons à la factorisation d'un polynôme à deux variables qui est une brique élémentaire pour la décomposition en composantes irréductibles des hypersurfaces. Nous proposons un algorithme réduisant la factorisation du polynôme donné en entrée à celle d'un polynôme dont la taille dense est essentiellement équivalente à la taille convexe-dense de celui donné en entrée. Dans la dernière partie, nous considérons la résolution en moyenne des systèmes algébriques réels. Nous proposons un algorithme probabiliste calculant un zéro approché complexe du système algébrique réel donné en entrée
This PhD thesis deals with some particular aspects of the algebraic systems resolution. Firstly, we introduce a way of minimizing the number of additive variables appearing in an algebraic system. For this, we make use of two invariants of variety introduced by Hironaka: the ridge and the directrix. Then, we propose fast arithmetic routines, the so-called relaxed routines, for p-adic integers. These routines allow us, then, to solve efficiently an algebraic system with rational coefficients locally, i. E. Over the p-adic integers. In a fourth part, we are interested in the factorization of a bivariate polynomial, which is at the root of the decomposition of hypersurfaces into irreducible components. We propose an algorithm reducing the factorization of the input polynomial to that of a polynomial whose dense size is essentially equivalent to the convex-dense size of the input polynomial. In the last part, we consider real algebraic systems solving in average. We design a probabilistic algorithm computing an approximate complex zero of the real algebraic system given as input

Cette thèse traite de certains aspects particuliers de la résolution des systèmes algébriques. Dans un premier temps, nous présentons une façon de minimiser le nombres de variables additives apparaissant dans un système algébrique. Nous utilisons pour cela deux invariants de variété introduits par Hironaka : le faîte et la directrice. Dans un second temps, nous proposons une arithmétique rapide, dite détendue, pour les entiers p-adiques. Cette arithmétique nous permet ensuite de résoudre efficacement un système algébrique à coefficients rationnels localement, c'est-à-dire sur les entiers p-adiques. En quatrième partie, nous nous intéressons à la factorisation d'un polynôme à deux variables qui est une brique élémentaire pour la décomposition en composantes irréductibles des hypersurfaces. Nous proposons un algorithme réduisant la factorisation du polynôme donné en entrée à celle d'un polynôme dont la taille dense est essentiellement équivalente à la taille convexe-dense de celui donné en entrée. Dans la dernière partie, nous considérons la résolution en moyenne des systèmes algébriques réels. Nous proposons un algorithme probabiliste calculant un zéro approché complexe du système algébrique réel donné en entrée.

Nous commençons par comparer les constructions des représentations supercuspidales de Bushnell-Kutzko et Yu. Nous associons de manière explicite, sous une hypothèse nécessaire de modération, à chaque étape de la construction de Bushnell-Kutzko une partie d'une donnée de Yu. Nous obtenons ainsi finalement un lien entre les deux constructions dans le cas où les constructions sont toutes les deux définies: GLN dans une situation modérée. Dans une seconde partie, G désigne un groupe réductif connexe défini sur un corps p-adique k, nous définissons pour chaque point rationnel x dans l'immeuble de Bruhat-Tits de G et chaque nombre rationnel positif r, un sous-groupe k-affinoïde Gₓ,ᵣ de l'analytifié (au sens de Bekovich) Gªⁿ de G. Le bord de Shilov de Gₓ,ᵣ est un singleton remarquable dans Gªⁿ . Nous obtenons alors un cône dans l'analytifié Gªⁿ de G paramétrisant les groupes k-affinoides Gₓ,ᵣ. Nous définissons aussi des filtrations pour l'algèbre de Lie de G. Nous énonçons et prouvons plusieurs propriétés des filtrations analytiques et produisons une comparaison avec les filtrations de Moy-Prasad
In a first part, we compare Bushnell-Kutzko's and Yu's constructions of supercuspidal representations. In a tame situation, at each step of Bushnell-Kutzko's construction, we associated a part of a Yu datum. We finally get a link between these constructions when they are both defined: GLN in the tame case. In a second part we define analytic filtrations. For any rational point x in the reduced Bruhat-Tits building of G and any positive rational number r, we introduce a k-affinoid groupGₓ,ᵣ contained in the Berkovich analytification Gªⁿ of G. The Shilov boundary of Gₓ,ᵣ is a singleton. In this way we obtain a topological cone, whose basis is the reduced Bruhat-Tits building and vertex the neutral element, inside Gªⁿ parametrizing the k-affinoid groups Gₓ,ᵣ. We also define filtrations for the Lie algebra. We state and prove various properties of analytic filtrations and compare them with Moy-Prasad ones

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres.

La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.

Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.