Дисертації з теми "ESTIMATES OF CONVERGENCE"

Bibliography: pages 93-101.
The main aim of this thesis is to analyse two types of general finite element approximations to the solution of a time-dependent variational inequality. The two types of approximations considered are the following: 1. Semi-discrete approximations, in which only the spatial domain is discretised by finite elements; 2. fully discrete approximations, in which the spatial domain is again discretised by finite elements and, in addition, the time domain is discretised and the time-derivatives appearing in the variational inequality are approximated by backward differences. Estimates of the error inherent in the above two types of approximations, in suitable Sobolev norms, are obtained; in particular, these estimates express the rate of convergence of successive finite element approximations to the solution of the variational inequality in terms of element size h and, where appropriate, in terms of the time step size k. In addition, the above analysis is preceded by related results concerning the existence and uniqueness of the solution to the variational inequality and is followed by an application in elastoplasticity theory.

My thesis deals with the study of elliptic PDE. It is divided into two parts, the first one concerning a nonlinear equation involving the p-Laplacian, and the second one focused on a nonlocal problem. In the first part, we study the regularity of stable solutions to a nonlinear equation involving the p-Laplacian in a bounded domain. This is the nonlinear version of the widely studied semilinear equation involving the classical Laplacian. Stable solutions to semilinear equations have been very recently proved to be bounded, and therefore smooth, up to dimension n=9 by Cabré, Figalli, Ros-Oton, and Serra. This result is known to be optimal by counterexamples in higher dimensions. In the case of the p-Laplacian, the boundedness of stable solutions is conjectured to hold up to a critical dimension depending on p. Examples of unbounded stable solutions are known if the dimension exceeds the critical one. Moreover, in the radial case or under strong assumptions on the nonlinearity, stable solutions are proved to be bounded in the optimal dimension range. We prove the boundedness of stable solutions under a new condition on n and p, which is optimal in the radial case, and more restrictive in the general one. It improves the known results in the field, and it is the first example, concerning the p-Laplacian, of a technique providing both a result in the nonradial case and the optimal result in the radial case. In the first part, we also investigate Hardy-Sobolev inequalities on hypersurfaces of Euclidean space, all containing a mean curvature term. Our motivation comes from several applications of these inequalities to the study of a priori estimates for stable solutions. Specifically, we give a simplified proof of the celebrated Michael-Simon and Allard inequality, we obtain two new forms of the Hardy inequality on hypersurfaces, and an improved Hardy inequality in the Poincaré sense. In the second part of this thesis, we deal with a Dirichlet to Neumann problem arising in a model for water waves. The system is described by a diffusion equation in a slab of fixed height, containing a weight that depends on a parameter a belonging to (-1,1). The top of the slab is endowed with a 0-Neumann condition, while on the bottom we have a Dirichlet datum and an equation involving a smooth nonlinearity. The system can also be reformulated as a nonlocal problem on the component endowed with the Dirichlet datum, by defining a suitable Dirichlet to Neumann operator. First, we prove a Liouville theorem that establishes the one dimensional symmetry of stable solutions, provided that a control on the growth of the energy associated with the problem is satisfied. As a consequence, we obtain the 1D symmetry of stable solutions to our problem in dimension 2. For n=3, we establish sharp energy estimates for both the energy minimizers and the monotone solutions, deducing the 1D symmetry of these classes of solutions, by an application of our Liouville theorem. Concerning this problem, we also investigate the nature of the associated Dirichlet to Neumann operator. First, we deduce its expression as a Fourier operator, which was known only in the case a=0. This result highlights the mixed nature of the operator, which is nonlocal, but not purely fractional. To better understand the dual behaviour of the operator, we provide a G-convergence result for an energy functional associated with the operator. Specifically, as a G-limit of our energy functional we find a mere interaction energy when a is greater than 0, and the classical perimeter when a is smaller or equal than 0. We point out that the threshold a=0 that we obtain here, as well as the G-limit behaviour for nonpositive values of a, is common to other nonlocal problems treated in the literature. On the contrary, the limit functional that we obtain in the other case appears to be new and structurally different from other nonlocal energy functionals that have been investigated in the literature.
Mi tesis se encaja en el estudio de las EDPs elípticas. Está dividida en dos partes: la primera trata una ecuación no-lineal con el p-Laplaciano, la segunda de un problema no-local. En la primera parte, estudiamos la regularidad de las soluciones estables de una ecuación no lineal con el p-Laplaciano en un dominio acotado. Esta ecuacion es la versión no-lineal de la ámpliamente estudiada ecuacion semilineal con el Laplaciano. Cabré, Figalli, Ros-Oton, y Serra han demostrado recientemente que las soluciones estables de las ecuaciones semilineales son acotadas, y por tanto regulares, hasta la dimensión 9. Este resultado es optimal. En el caso del p-Laplaciano, la regularidad de las soluciones estables se conjetura de ser cierta hasta una dimension critica y, de hecho, se conocen ejemplos de soluciones no acotadas cuando la dimension llega al valor critico. Además, se ha demostrado que en el caso radial o assumiendo hipótesis fuertes sobre la no-linealidad las soluciones estables son acotadas hasta la dimension critica. En el primer capítulo, demostramos que las soluciones estables son acotadas, bajo una nueva condición en n y p, que es optimal en el caso radial, y más restrictiva en el caso general. Esta investigación mejora conocidos resultados del tema y es el primer ejemplo, para el p-Laplaciano, de un método que produce un resultado para el caso general y un resultado optimal en el caso radial. En la primera parte, nos ocupamos también de las desigualdades funcionales del tipo Hardy y Sobolev sobre hipersuperfícies del espacio Euclideo, todas conteniendo un término de curvatura media. Nuestra motivación proviene de varias apliaciones que tienen estas desigualdades en el estudio de estimaciones para las soluciones estables. En detalle, damos una demostración simple de la conocida desigualdad de Michael-Simon y Allard, obtenemos dos formas nuevas de la desigualdad de Hardy sobre hipersuperfícies, y otra desigualdad de Hardy-Poincaré. En la segunda parte, nos ocupamos de un problema de Dirichlet-Neumann que emerge de un modelo para las ondas en el agua. El sistema se describe con una ecuación de difusión en una tira de altura fija, que contiene un parámetro a en (-1,1). La parte superior de la tira es dotada de una condicion 0 de Neumann, mientras en la parte inferior tenemos un dato de Dirichlet y una ecuación con una nonlinearidad regular. Este problema puede ser reformulado como una ecuación no-local sobre la componente dotada del dato de Dirichlet, definiendo un operador de Dirichlet-Neumann apropiado. Primero, demostramos un teorema del tipo Liouville, que garantiza la simetría unidimensional de las soluciones monótonas, asumiendo un control sobre el crecimiento de la energía asociada. Como consecuencia, obtenemos la simetría 1D de las soluciones estables en dimension 2. Para n=3, obtenemos estimaciónes optimales de la energía para las soluciones que minimizan la energía y para las soluciones monótonas. Estas estimaciones nos conducen a la simetría 1D de estas clases de soluciones, aplicando nuestro teorema del tipo Liouville. Relativo a este problema, estudiamos también la naturaleza del operador de Dirichlet-Neumann. Primero, deducimos su expresión como operador de Fourier, que anteriormente solo se conocía para a=0. Este resultado evidencia la naturaleza del operador, que es no-local pero no puramente fraccionaria. Estudiamos en profundidad este comportamiento mixto del operador a través del estudio de la G-convergencia de un funcional energía asociado al operador. Demostramos la G-convergencia de nuestro funcional a un límite que corresponde a una energía de interacción pura cuando a en (0,1) y al perímetro clásico cuando a en (-1,0]. El límite a=0, así como el G-límite para el régimen a en (-1,0], es común a otros problemas no-locales tratados en la literatura. Al contrario, el funcional límite en el régimen puramente no-local es nuevo y diferente a otros funciona
Questa tesi si occupa di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. È divisa in due parti: la prima riguarda un’equazione nonlineare per il p-Laplaciano, mentre la seconda è incentrata su un problema nonlocale, che può essere formulato per mezzo di un operatore di Dirichlet-Neumann collegato con il Laplaciano frazionario. Nella prima parte, studiamo la regolarità delle soluzioni stabili dell’equazione nonlineare per il p-Laplaciano dove W è un dominio limitato, p 2 (1,+¥) e f è una nonlinearità C1. Questa equazione è la versione nonlineare dell’equazione semilineare 􀀀������������Du = f (u) in un dominio limitato W Rn, che è stata ampiamente studiata in letteratura. Molto recentemente, Cabré, Figalli, Ros-Oton, e Serra [38] hanno dimostrato che le soluzioni stabili delle equazioni semilineari sono limitate, e quindi regolari, in dimensione n 9. Questo risultato è ottimale, dato che esempi di soluzioni illimitate e stabili sono noti in dimensione n 10. Inoltre, i risultati in [38] forniscono una risposta completa ad un annoso problema aperto, proposto da Brezis e Vázquez [25], sulla regolarità delle soluzioni estremali dell’equazione 􀀀������������Du = l f (u). Queste ultime sono infatti esempi non banali di soluzioni stabili di equazioni semilineari, che possono essere limitate o illimitate in dipendenza della dimensione n, del dominio W, e della nonlinearità f . In questa tesi studiamo la limitatezza delle soluzioni stabili di (0.4), che si congettura essere vera fino alla dimensione n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Sono infatti noti esempi di soluzioni stabili e illimitate quando n p + 4p/(p 􀀀������������ 1), anche quando il dominio è la palla unitaria. Inoltre, nel caso radiale o assumendo ipotesi forti sulla nonlinearità, è stato dimostrato che le soluzioni stabili di (0.4) sono limitate quando n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Nel Capitolo 1 della tesi dimostriamo una nuova stima L¥ a priori per le soluzioni stabili di (0.4), assumendo una nuova condizione su n e p, che è ottimale nel caso radiale e più restrittiva nel caso generale. Il nostro risultato migliora ciò che è noto in letteratura e ed è il primo esempio di tecnica che produce sia un risultato nel caso non radiale sia il risultato ottimale nel caso radiale. Per ottenere questo risultato estendiamo al caso del p-Laplaciano una tecnica sviluppata da Cabré [30] per il caso classico del problema, con p = 2. La strategia si basa su una disuguaglianza di Hardy sugli insiemi di livello della soluzione, combinata con una disuguaglianza di tipo geometrico per le soluzioni stabili di (0.4). Nella prima parte della tesi ci occupiamo anche di disuguaglianze funzionali di tipo Hardy e Sobolev, su ipersuperfici dello spazio euclideo. Nel fare ciò siamo motivati dalle varie applicazioni di questo tipo di risultati allo studio di stime a priori per le soluzioni stabili, sia nel caso semilineare che nel caso nonlineare ...

Questa tesi è incentrata sullo studio di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. La prima parte della tesi riguarda la regolarità delle soluzioni stabili per un'equazione nonlineare con il p-Laplaciano, in un dominio limitato dello spazio Euclideo. La tecnica è basata sull'uso di disuguaglianze di tipo Hardy-Sobolev su ipersuperfici, del quale viene approfondito lo studio. Nella seconda parte viene preso in esame un problema nonlocale di tipo Dirichlet-Neumann. Studiamo la simmetria unidimensionale di alcune sottoclassi di soluzioni stabili, ottenendo risultati in dimensione n=2, 3. Inoltre, studiamo il comportamento asintotico dell'operatore associato a questo problema nonlocale, usando tecniche di Γ-convergenza.
This thesis deals with the study of elliptic PDEs. The first part of the thesis is focused on the regularity of stable solutions to a nonlinear equation involving the p-Laplacian, in a bounded domain of the Euclidean space. The technique is based on Hardy-Sobolev inequalities in hypersurfaces involving the mean curvature, which are also investigated in the thesis. The second part concerns, instead, a nonlocal problem of Dirichlet-to-Neumann type. We study the one-dimensional symmetry of some subclasses of stable solutions, obtaining new results in dimensions n=2, 3. In addition, we carry out the study of the asymptotic behaviour of the operator associated with this nonlocal problem, using Γ-convergence techniques.

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude
The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves

On cherche à construire des estimateurs convergents dans le cas des V. A. Non nécessairement indépendantes et équidistribuées. La méthode de la décantation est particulièrement adaptée car elle permet la construction explicite de tels estimateurs et donne des renseignements sur leur vitesse de convergence.

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale.
The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.

Ce travail est consacre a differents aspects du comportement asymptotique d'estimateurs de la densite de probabilite bases sur des partitions. Dans le chapitre 1 nous passons en revue, dans les cas univarie et multivarie, une liste d'estimateurs issus de l'histogramme. Le chapitre 2 etudie l'erreur moyenne quadratique integree des estimateurs precedents. Nous en deduisons le parametre de lissage optimal et l'erreur asymptotiquement optimale. Une hierarchie peut etre ainsi etablie. Dans ce chapitre, l'erreur absolue moyenne integree est aussi abordee et traitee pour certains estimateurs. Dans le but de developper des tests, le dernier chapitre porte sur la normalite asymptotique des erreurs globales. La poissonisation semble etre une technique fructueuse pour aborder cette question. Ainsi, la methode de poissonisation est etudiee, formalisee et appliquee a l'un de nos estimateurs. Enfin, la normalite asymptotique de l'erreur l#1 entre l'histogramme et la densite a estimer est generalisee a l'erreur l#p.

This dissertation introduces a panel data method to estimate country-specific steady state levels of output in an augmented Solow growth model. The use of panel data permits the estimation of a country-specific effect which can explain the surprising result that many developing economies are above their steady states. These empirical results also confirm that the augmented Solow model can explain the present cross-country income divergence of developed and developing economies. Another application finds evidence that the post-Soviet economies began their transition toward markets with initial conditions of overcapitalization. Finally, when the results are sufficient, there is also the possibility of describing an entire period of growth and gaining insights into future periods. This is shown with the OECD economies.

In Islam (1995), panel data is first used to estimate the parameters of the Solow growth model. The following year, Cho and Graham (1996) published a small paper which illustrates a simple way to compute steady state levels of per capita income by using the results of cross-sectional convergence tests. This dissertation simply combines these two methods with the result that the interpretations are more satisfying. In sum, we find that countries can begin a period of development above or below their steady states and that countries converging from above should be considered to be overcapitalized. This implies that development through investment can only succeed when there is convergence from below the steady state. Above the steady state, total factor productivity is too low to sustain the relatively high levels of capital.

The organization of the dissertation is linear with an introduction preceding the second chapter's literature review and the development of a theoretical and empirical model in the third chapter. The applications of the method then follow. Chapter 4 uses a worldwide sample to compare the result to other work and to show that this fundamental model of growth theory can explain the observed increasing levels of international inequality. Chapter 5 takes a look at the transition economies. In addition to finding evidence of overcapitalization, this dissertation finds a positive correlation between growth and the privatization of small business under transition. Additionally, there is a negative impact of price liberalization under the conditions of repressed inflation experienced by many Soviet-era planned economies. Chapter 6 uses a sample of OECD economies to obtain a significant deterministic, technological growth rate. This is possible because the countries are similar enough to make the assumption that they have the same growth rate more realistic. This enables an understanding of steady states after the initial period and leading into the most contemporaneous period of the sample.

Keywords: macroeconomic analyses of economic development; institutions and growth; measurement of economic growth; cross-country output convergence; models with panel data; government policy; socialist systems and transitional economies: political economy, property rights; socialist institutions and their transitions

Nous définissons quelques estimateurs des paramètres d'un processus AR(P) (chapitre I), puis d'un processus ARMA(P,Q) (chapitre II). Nous étudions d'une part leurs robustesses et d'autre part leurs comportements asymptotiques (convergence presque sûre et normalité asymptotique). Nous donnons comme application (chapitre III), l'identification d'une série chronologique et recherche du M-estimateur associé

Cette these est constituee de quatre parties: la premiere est consacree aux proprietes d'ergodicite du processus autoregressif non lineaire. Dans la deuxieme partie on etudie la consistance, la normalite asymptotique de la suite des estimateurs du maximum de vraisemblance; les resultats se deduisent en eprouvant la methode d'ibragimov. On y etablit une inegalite de grande deviation. Dans la troisieme partie on s'interesse au theoreme central limite pour des variables aleatoires harris recurrentes pour lesquelles la condition de cramer n'est pas satisfaite; on demontre que le reste de convergence est de l'ordre de 1/n. Dans la derniere partie, une vitesse de convergence en loi de l'estimateur du maximum de vraisemblance de l'ordre de 1/n est demontree en appliquant les resultats de la troisieme partie et des resultats d'analyse convexe

Cette thèse présente de nouvelles procédures statistiques dans un cadre non-paramétrique et étudie à la fois leurs propriétés théoriques et empiriques. Nos travaux portent sur deux sujets différents qui ont pour point commun l'observation indirecte du paramètre fonctionnel inconnu. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation de type seuillage par blocs pour le modèle de bruit blanc gaussien. Nous nous intéressons à l'estimation adaptative d'un signal f et des ses dérivées à partir de n versions floutées et bruitées de ce signal et prouvons que notre estimateur atteint une vitesse de convergence (quasi-)optimale sur une large classe de boules de Besov. Puis, nous proposons une procédure adaptative d'estimation permettant de sélectionner les paramètres de l'estimateur de manière optimale en minimisant un estimateur sans biais du risque. Dans la deuxième partie, nous nous plaçons dans le cadre du modèle de densité au sein duquel la fonction inconnue subit une transformation donnée avant d'être observée. Nous construisons et étudions un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et un seuillage dur en ondelettes par blocs. Enfin, nous étudions le problème d'estimer la convolution d'ordre m d'une densité à partir d'observations i. I. D. Tirées dans la loi sous-jacente. Nous proposons un estimateur adaptatif fondé sur des noyaux, de l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions son risque quadratique et des vitesses nouvelles et rapides sont obtenues, pour une vaste classe de fonctions inconnues. Chaque méthode d'estimation étudiée est analysée numériquement par simulations, à la fois sur données simulées et sur données réelles
This thesis presents new statistical procedures in a non-parametric framework and studies both their theoretical and empirical properties. Our works are devoted to two differents topics which have in common the indirect observation of the unknown functional parameter. The first part is dedicated to a block thresholding estimation procedure for the Gaussian white noise model. We focus on the adaptive estimation of a signal f and its derivatives from n blurred and noisy versions of the signal and prove that our estimator achieve the optimal minimax rate over a wide class of balls Besov. Then, we propose an adaptive estimation procedure for selecting the parameters of the estimator in an optimal way by minimizing an unbiased estimator of the risk. In the second part, we consider the context of the density model in which the unknown function undergoes a given transformation before being observed. We construct and study an adaptive estimator based on a on a plug-in approach and the wavelets methodology. Finally, we focus on the problem of estimating the convolution of densities. We propose an adaptive estimator based on kernel methods, Fourier analysis and the Lepski method. We study the L2-risk properties of the estimator. Fast and new rates of convergence are determined for a wide class of unknown functions. Each estimation method is numerically analyzed by simulation, both simulated and real data

Le travail porte sur l'étude des processus solutions d'un modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA) à coefficients dépendant du temps appelés encore ARMA évolutifs. On commence d'abord par préciser les conditions d'inversibilité et de causalité basées sur les fonctions de Green et par donner une caractérisation de ces modèles par des déterminants de Hankel, généralisant ainsi les résultats sur les modèles ARMA à coefficients constants. Ensuite, on s'intéresse au problème d'estimation des coefficients d'une classe particulière de modèles ARMA évolutifs où les coefficients sont des fonctions connues du temps, qui dépendent d’un paramètre inconnu appartenant à Rd. Ainsi, on construit un M-estimateur des coefficients d'un AR de notre classe, où on établit, sous certaines conditions de régularité du modèle, sa convergence presque sure et sa normalité asymptotique, propriétés mises en évidence par la simulation d'exemples. La dernière partie concerne les modèles MA de notre classe, où là encore on montre l'existence du M-estimateur et on établit ces propriétés asymptotiques étayées par des simulations. Ensuite, on termine par mettre en évidence le lien entre les estimateurs du maximum de vraisemblance, conditionnelle et exacte

L'algorithme FastICA est l'un des algorithmes les plus populaires dans le domaine de l'analyse en composantes indépendantes (ICA). Il existe deux versions de FastICA: Celle qui correspond au cas où l'échantillon est de taille infinie, et celle qui traite de la situation concrète, où seul un échantillon de taille finie est disponible. Dans cette thèse, nous avons fait une étude détaillée des vitesses de convergence de l'algorithme FastICA dans le cas où la taille de l'échantillon est finie ou infinie, et nous avons établi cinq critères pour le choix des fonctions de non-linéarité. Dans les trois premiers chapitres, nous avons introduit le problème de l'ICA et revisité les résultats existants. Dans le Chapitre 4, nous avons étudié la convergence du FastICA empirique et le lien entre la limite de FastICA empirique et les points critiques de la fonction de contraste empirique. Dans le Chapitre 5, nous avons utilisé la technique du M-estimateur pour obtenir la normalité asymptotique et la matrice de covariance asymptotique de l'estimateur FastICA. Ceci nous a permis aussi de déduire quatre critères pour choisir les fonctions de non-linéarité. Un cinquième critère de choix de non-linéarité a été étudié dans le chapitre 6. Ce critère est basé sur une étude fine de la vitesse de convergence de FastICA empirique. Nous avons illustré chaque chapitre par des résultats numériques qui valident nos résultats théoriques
The FastICA algorithm is one of the most popular algorithms in the domain of Independent Component Analysis (ICA). There exist two versions of FastICA: the one that corresponds to the ideal case that the sample size is infinite, and the one that deal with the practical situation, where a sample of finite size is available. In this thesis, we made a detailed study of the rate of convergence of the FastICA algorithm of both versions, and we established five criteria for the choice of the non-linearity function. In the first three chapters, we introduced the problem of ICA and revisited the classical results. In Chapitre 4, we studied the convergence of empirical FastICA and the link between the limit of empirical FastICA and the critical points of the empirical contrast function. In Chapter 5, we used the technique of M-estimator to obtain the asymptotic normality and the asymptotic covariance matrix of the FastICA estimator. This allowed us to derive four criteria to choose the non-linearity function. A fifth criterion for the choice of the non-linearity function was studied in Chapter 6. This criterion is based on the rate of convergence of the empirical FastICA algorithm. At the end of each chapter, we provided numerical simulations that validate our theoretical results

Cette thèse introduit tout d'abord une formule générale qui englobe toutes les mesures de pauvreté uni-dimensionnelles basées sur le revenu. Nous proposons ensuite deux types d'estimateurs non-paramétriques (à noyau et de type "plug-in") pour cet indice général de pauvreté, tout en étudiant leurs propriétés asymptotiques. Notre méthodologie, basée essentiellement sur la théorie moderne du processus empirique indexé des fonctions, offre un cadre global et rigoureux qui permet d'étudier, avec la même approche, le comportement asymptotique de tous les indices de pauvreté encore disponibles jusqu'ici dans la littérature. Nous obtenons la consistance forte uniforme d'une très large classe de mesures de pauvreté incluant presque tous les modèles d'indices proposés par les économistes, décomposables comme non-décomposables. Ce résultat est utilisé pour construire des intervalles de confiance simultanés, de niveau asymptotiquement optimal (100%). Un théorème central limite uniforme fonctionnel est également établi pour cette large classe d'indicateurs de pauvreté. Comme conséquence, des procédures d'inférence robustes, basées sur le noyau de covariance et utilisant un test de Wald, sont développées afin de comparer de façon non-ambiguë la pauvreté entre deux populations différentes.

Classical adaptive signal processors typically utilize assumptions in their derivation. The presence of adequate Gaussian and independent and identically distributed (i.i.d.) input data are central among such assumptions. However, classical processors have a tendency to suffer a degradation in performance when assumptions like these are violated. Worse yet, such degradation is not guaranteed to be proportional to the level of deviation from the assumptions. This dissertation proposes new signal processing algorithms based on aspects of modern robustness theory, including methods to enable adaptivity of presently non-adaptive robust approaches. The contributions presented are the result of research performed jointly in two disciplines, namely robustness theory and adaptive signal process- ing. This joint consideration of robustness and adaptivity enables improved performance in assumption-violating scenarios â scenarios in which classical adaptive signal processors fail. Three contributions are central to this dissertation. First, a new adaptive diagnostic tool for high-dimension data is developed and shown robust in problematic contamination. Second, a robust data-pre-whitening method is presented based on the new diagnostic tool. Finally, a new suppression-based robust estimator is developed for use with complex-valued adaptive signal processing data. To exercise the proposals and compare their performance to state- of-the art methods, data sets commonly used in statistics as well as Space-Time Adaptive Processing (STAP) radar data, both real and simulated, are processed, and performance is subsequently computed and displayed. The new algorithms are shown to outperform their state-of-the-art counterparts from both a signal-to-interference plus noise ratio (SINR) conver- gence rate and target detection perspective.
Ph. D.

La motivation de cette thèse est d'étudier les lois asymptotiques des estimateurs des moindres carrés des paramètres de certains modèles linéaires instables plus généraux que les AR considérés par Chan Wei (1988) et ARMA par Truong-Van et Larramendy (1996). Comme les statistiques définissant ces estimateurs peuvent être considérés comme des intégrales stochastiques discrètes, nous avons commence "par mettre en place un outil d'étude asymptotique" : L'étude de la convergence en loi de certaines intégrales stochastiques discrètes, d'une part en nous inspirant des résultats de Kurtz et Protter (1991) sur la convergence en loi de semi-martingales et d'autre part en introduisant une nouvelle technique d'approximation différente de celle classique par des martingales. On a appliqué ensuite ces résultats de convergence en distribution à l'étude des lois asymptotiques des estimateurs des moindres carrés des paramètres AR des modèles ARMAX(p,r,q) avec q>0 et IARCH purement instables
In many recent applications, statistics are under the form of discrete stochastic integrals. In this work, we establish a basic theorem on the convergence in distribution of a sequence of discrete stochastic integrals. This result extends earlier corresponding theorems in Chan & Wei (1988) and in Truong-van & Larramendy (1996). Its proof is not based on the classical martingale approximation technique, but from a derivation of Kurtz & Protter's theorem (1991) on the convergence in distribution of sequences of Itô stochastic integrals relative to two semi-martigales and another approximation technique. Furthermore, various applications to asymptotic statistics are also given, mainly those concerning least squares estimators for ARMAX(p,r,q) models and purely unstable integrated ARCH models

Le but essentiel de ce travail est de définir et étudier un estimateur robuste des coefficients d'un modèle moyenne mobile, d'ordre q entier supérieur ou égal a un. Nous commençons par établir la définition d'un estimateur (basé sur les autocovariances des résidus tronqué) pour les coefficients d'un modèle moyenne mobile d'ordre q et ses liens avec d'autres estimateurs. Après avoir introduit la notion de robustesse dans le cadre des séries chronologiques, nous étudions la robustesse de cet estimateur, ou nous montrons que sa fonction d'influence est bornée. Nous nous intéressons aussi au comportement asymptotique de cet estimateur, ou nous montrons sa convergence presque sure et sa normalité asymptotique. Puis nous montrons que les résultats obtenus pour un modèle moyenne mobile se généralisent à un modèle autorégressif moyenne mobile d'ordre p et q. à la fin nous nous donnons une application numérique, qui a pour but d'illustrer les résultats théoriques obtenus pour un modèle moyenne mobile d'ordre deux et de généraliser les algorithmes d'estimation à des modèles moyenne mobile d'ordre q supérieur ou égal à deux

L'utilisation de modèles ARMA (autoregressifs moyenne mobile) pour représenter et analyser des séries chronologiques à temps discret est devenue courante depuis les travaux de Box et Jenkins (1976). Dans cette thèse, nous présentons un certain nombre de résultats sur des estimateurs paramétriques construits à partir de modèles ARMA en nous focalisant sur les processus instables. Le premier chapitre présente les propriétés de convergence en loi des estimateurs de type moindres carrés S-décalés des paramètres autorégressifs d'un processus ARMA instable dont les ordres sont connus. Une étude rapide de cet estimateur est faite dans le cas stationnaire. Le deuxième chapitre est consacré à l'analyse du comportement asymptotique des estimateurs de Yule-Walker, lorsqu'on les définit par extension du cas stationnaire dans le cas instable. Il comprend une étude de l'influence de la répartition des racines caractéristiques du processus sur le cercle unité et de leur ordre de multiplicité respectif, sur la vitesse de convergence des estimateurs. Nous obtenons suivant le cas, une convergence en loi ou bien en probabilité vers les coefficients de Yule-Walker associés à la partie moyenne mobile du processus. Le dernier chapitre reprend la problématique précédente pour les estimateurs de Yule-Walker étendus pour des processus ARMArma(p,q) avec p=1 ou 2. Dans certains cas, nous établissons la convergence en loi vers des lois assimilées à des lois de Cauchy.

Nous étudions dans cette thèse l'estimation d'une fonction de densité d'une loi de probabilité multidimensionnelle à partir d'un certain nombre de moments issue de cette loi. Nous considérons ces moments comme une information sur la loi inconnue. Nous introduisons une nouvelle fonction d'information de type Kullback, afin d'utiliser la méthode du maximum d'entropie pour construire un estimateur convergent uniformément vers la loi inconnue lorsque le nombre de moments augmente. Nous utilisons les techniques de dualité de Fenchel-Young pour démontrer dans un premier temps la convergence uniforme de l'estimateur de maximum d'entropie vers la densité inconnue lorsque les fonctions deux densités sont uniformément bornées. Nous explicitons dans un deuxième temps la vitesse de convergence de l'estimateur du maximum d'entropie lorsque les fonctions de moments sont algébriques, trigonométriques définies sur un compact de IR n. Nous construisons une famille de splines à régularité modifiables, puis nous démontrons que lorsque les fonctions de moments proviennent de cette famille alors la convergence uniforme de l'estimateur du maximum d'entropie est assurée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous proposons un algorithme de construction d'une loi inconnue à partir d'un certain nombre de ces moments.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes dites récursives qui permettent une mise à jour des estimations séquentielles de données spatiales ou spatio-temporelles et qui ne nécessitent pas un stockage permanent de toutes les données. Traiter et analyser des flux des données, Data Stream, de façon effective et efficace constitue un défi actif en statistique. En effet, dans beaucoup de domaines d'applications, des décisions doivent être prises à un temps donné à la réception d'une certaine quantité de données et mises à jour une fois de nouvelles données disponibles à une autre date. Nous proposons et étudions ainsi des estimateurs à noyau de la fonction de densité de probabilité et la fonction de régression de flux de données spatiales ou spatio-temporelles. Plus précisément, nous adaptons les estimateurs à noyau classiques de Parzen-Rosenblatt et Nadaraya-Watson. Pour cela, nous combinons la méthodologie sur les estimateurs récursifs de la densité et de la régression et celle d'une distribution de nature spatiale ou spatio-temporelle. Nous donnons des applications et des études numériques des estimateurs proposés. La spécificité des méthodes étudiées réside sur le fait que les estimations prennent en compte la structure de dépendance spatiale des données considérées, ce qui est loin d'être trivial. Cette thèse s'inscrit donc dans le contexte de la statistique spatiale non-paramétrique et ses applications. Elle y apporte trois contributions principales qui reposent sur l'étude des estimateurs non-paramétriques récursifs dans un cadre spatial/spatio-temporel et s'articule autour des l'estimation récursive à noyau de la densité dans un cadre spatial, l'estimation récursive à noyau de la densité dans un cadre spatio-temporel, et l'estimation récursive à noyau de la régression dans un cadre spatial
In this thesis, we are interested in recursive methods that allow to update sequentially estimates in a context of spatial or spatial-temporal data and that do not need a permanent storage of all data. Process and analyze Data Stream, effectively and effciently is an active challenge in statistics. In fact, in many areas, decisions should be taken at a given time at the reception of a certain amount of data and updated once new data are available at another date. We propose and study kernel estimators of the probability density function and the regression function of spatial or spatial-temporal data-stream. Specifically, we adapt the classical kernel estimators of Parzen-Rosenblatt and Nadaraya-Watson. For this, we combine the methodology of recursive estimators of density and regression and that of a distribution of spatial or spatio-temporal data. We provide applications and numerical studies of the proposed estimators. The specifcity of the methods studied resides in the fact that the estimates take into account the spatial dependence structure of the relevant data, which is far from trivial. This thesis is therefore in the context of non-parametric spatial statistics and its applications. This work makes three major contributions. which are based on the study of non-parametric estimators in a recursive spatial/space-time and revolves around the recursive kernel density estimate in a spatial context, the recursive kernel density estimate in a space-time and recursive kernel regression estimate in space

Cette thèse vise à améliorer la modélisation des Réacteurs à Eau Pressurisée (REPs). Les réacteurs nucléaires en général peuvent être considérés comme des systèmes multiphysiques, leur modélisation nécessite la prise en compte des phénomènes de neutronique, thermohydraulique, évolution isotopique et physique du combustible. Plus en détail, ces travaux concernent le développement d’un schéma de calcul d’évolution de type multiphysique avec maillage raffiné (échelle cellule du combustible) et son optimisation numérique. La démarche classique est basée sur l’utilisation de solveurs spécialisés sur un sous-ensemble des physiques combiné avec des modèles simplifiés pour le reste. Grâce à la croissante disponibilité de grandes ressources computationnelles et à la grande flexibilité des langages de programmation modernes, beaucoup de chercheurs sont en train de travailler sur le développement d’outils de simulation qui s’appuient moins sur des modèles simplifiés. Un schéma de calcul a ainsi été développé en exploitant les outils de la plateforme SALOME. Un ensemble de solveurs CEA est intégré, dont APOLLO3® pour la neutronique, FLICA4 ou THEDI pour la thermohydraulique et la conduction de chaleur et MENDEL pour le calcul d’évolution. A travers le couplage entre APOLLO3® et FLICA4, il est possible de combiner un calcul neutronique en deux étapes basé sur une homogénéisation à l’échelle cellule de combustible avec un calcul thermohydraulique sous-canal et la conduction de chaleur dans tous les crayons. Cette approche est intermédiaire entre les deux stratégies les plus diffusées pour le calcul de paramètres de sûreté et conception à l’échelle de la cellule de combustible : il demande moins de puissance computationnelle que les schémas high-fidelity basés sur un calcul direct (i.e. sans homogénéisation a priori) et il fait moins d’hypothèses que les schémas basés sur la technique de reconstruction de la forme de puissance fine qui sont pourtant souvent plus rapides.Les calculs d’évolution sont modélisés comme une séquence d’états permanents. Pour cela, une partie conséquente de la thèse est dédiée à l’optimisation du schéma de calcul en permanent. Un cas d’étude simple (mini-cœur : 5x5 assemblages REPs plus réflecteur) est défini pour pouvoir exécuter un grand nombre de simulations dans un temps acceptable. Sur ce cas test, la meilleure combinaison de modèles est sélectionnée d’après une analyse de performance basée sur les écarts avec la référence et les coûts computationnels. Par rapport à l’optimisation numérique, deux des méthodes les plus utilisées, le point-fixe et Anderson, sont testées en confirmant la supériorité de cette dernière. Une généralisation du point-fixe basée sur les convergences partielles, qui est diffusée dans l’industrie, mais pas autant que ça dans la littérature, est étudiée en détails. Sachant que l’efficacité de cette technique dépend des solveurs considérés, elle démontre pouvoir résoudre les problèmes de robustesse du point fixe et offrir une meilleure efficacité que la méthode d’Anderson. Alors que ce n’est pas possible d’étendre directement la méthode d’Anderson avec les convergences partielles, en suivant leurs principes fondamentaux, une version modifiée est proposée. Des tests préliminaires donnent des résultats prometteurs en termes d’efficacité.Afin de prendre en compte l’évolution des propriétés thermomécaniques du combustible, un modèle simplifié pour le coefficient d’échange thermique dans le jeu pastille-gaine est inclus dans le schéma. Les premiers tests confirment l’importance de ce modèle. La recherche de la concentration de bore ciblé est implémentée. Pour obtenir la compatibilité avec le point-fixe généralisé aux convergences partielles, une méthode de Newton est adaptée. Tous les éléments mentionnés jusqu’à maintenant sont combinés ensemble pour produire un schéma de calcul d’évolution de type multiphysique, qui est testé avec succès sur un scénario d’irradiation à puissance constante
This thesis aims at improving the modelling of Pressurized Water Reactors (PWRs). Nuclear reactors in general can be considered as multiphysic systems, as their accurate representation often requires to account for neutronics, thermal-hydraulics, isotopic evolution and fuel performance. In particular, this work concerns the development of a multiphysic calculation scheme for fine mesh (pin cell resolution) depletion calculations and its numerical optimization. Conventional approaches generally deploy solvers specialised on a subset of the physics, while resorting to simplified models for the rest. Thanks to the increasing availability of large computational resources and to the higher flexibility of modern programming languages, a large number of research groups is working on the development of simulation tools that rely less on the use of simplified models. A general coupling scheme is developed exploiting the tools from the SALOME platform. It ensures the compatibility with a set of the CEA solvers, including APOLLO3® for the neutronics, FLICA4 or THEDI for the thermal-hydraulics and heat conduction and MENDEL for the depletion calculations. Through the coupling of an APOLLO3® core solver with FLICA4, it is possible to combine two-steps neutronic simulations based on pin-cell homogenization with subchannel thermal-hydraulics and heat conduction on every fuel rod. This approach could be placed in between the two most common solutions found in literature for the computation of safety and design parameters at the pin-cell scale: it requires less computing power than the high-fidelity direct calculations (i.e. with no a priori homogenization) and it makes fewer assumptions than the faster running schemes based on the pin-power-reconstruction technique (i.e. the combination of coarse mesh calculations with form functions for the local refining of the results).Following a common approach, the depletion calculations are modelled as a sequence of steady states. For this reason, a large part of the thesis is devoted to the optimization of the steady-state scheme. A simple case study (mini-core: 5x5 PWR fuel assemblies plus reflector) is defined in order to allow to perform a large number of simulations in an acceptable time. On this applicative test, the best combination of models is selected by analysing the performance of the alternatives in terms of discrepancies with the reference and computational cost. In respect of the numerical optimization, two of the most common methods found in literature, the fixed-point and the Anderson methods, are tested confirming the superiority of the latter both in terms of robustness and efficiency. A variant of the fixed-point, here referred to as generalized fixed-point with partial-convergences, which is widespread in the nuclear industry, but hardly ever mentioned in publications, is studied in detail. Knowing that the effectiveness of this technique depends on the considered solvers, in this context, this method proves to solve the major robustness problems of the fixed-point and offers a higher efficiency than the Anderson method. While not possible to directly extend the Anderson method with the partial-convergences, following their core principles, a modified Anderson algorithm is proposed. Preliminary tests lead to promising results in terms of efficiency improvement.In order to account for the evolution of the fuel thermal-mechanical properties along irradiation, a simplified fuel gap heat transfer model is included in the scheme. The first tests confirm the importance of including this model. For the depletion scheme, the research of the target boron concentration is implemented. To do so, an approximated Newton method is adapted to be compatible with the generalized fixed-point with partial-convergences. All the elements mentioned so far are combined together to produce a multiphysic depletion calculation scheme, which is successfully tested on a constant power irradiation scenario

Wir betrachten die lineare inverse Probleme mit gestörter rechter Seite und gestörtem Operator in Hilberträumen, die inkorrekt sind. Um die Auswirkung der Inkorrektheit zu verringen, müssen spezielle Lösungsmethode angewendet werden, hier nutzen wir die sogenannte Tikhonov Regularisierungsmethode. Die Regularisierungsparameter wählen wir aus das verallgemeinerte Defektprinzip. Eine typische numerische Methode zur Lösen der nichtlinearen äquivalenten Defektgleichung ist Newtonverfahren. Wir schreiben einen Algorithmus, die global und monoton konvergent für beliebige Startwerte garantiert. Um die Stabilität zu garantieren, benutzen wir die Glattheit der Lösung, dann erhalten wir eine sogenannte bedingte Stabilität. Wir demonstrieren die sogenannte Interpolationsmethode zur Herleitung von bedingten Stabilitätsabschätzungen bei inversen Problemen für partielle Differentialgleichungen.

Nous etudions dans cette these le comportement des estimateurs a noyau de la densite lorsque dependance, non-stationnarite et discretisation sont presentes conjointement. Pour cela, nous generalisons aux champs aleatoires fortement melangeants une notion de non-stationnarite locale, sous la forme d'une condition de convergence en norme de variation totale (nvt) du processus non-stationnaire vers un processus limite stationnaire, en fonction de la distance spatiale. Parallelement, discretisation et non-stationnarite sont traitees simultanement sous la forme d'une distance en nvt entre le processus non-stationnaire discretise et le processus limite stationnaire. Nous donnons les conditions de convergence de l'estimateur et les ordres de grandeur des erreurs selon les criteres habituels tels que le mise ou la moyenne quadratique. Nous montrons que dans certains cas, les effets de la dependance, de la discretisation et de la non-stationnarite ne peuvent etre separes, et dependent a la fois de la dimension de l'espace physique et de celle des variables. Le cas d'echantillons de taille finie est aussi aborde au travers du mise entre estimateurs pour donnees discretisees et estimateur de rosenblatt. Parallelement, nous proposons une formulation nouvelle du theoreme de limite centrale des estimateurs a noyau pour les champs fortement melangeants, permettant une verification plus simple des conditions de convergence. Les cas des coefficients de melange de taux geometrique et arithmetique sont precises. Une comparaison portant sur les criteres d'obtention du tlc est realisee dans le cas general puis dans le cas arithmetique, par rapport a des travaux anterieurs. Ces tlc, obtenus sous des hypotheses legerement differentes, se revelent assez complementaires dans leur champ d'application, et permettent a de nouveaux ensembles de modeles de rentrer dans le cadre de cette convergence.

Ce travail est consacré à l'estimation de la densité spectrale d'un processus réel, par échantillonnage poissonnien. Après l'étude théorique, le calcul des estimateurs a été effectué sur des données simulées d'un processus de Gauss Markov, puis d'un processus gaussien non markovien

Recent advances in satellite sensor technology and micrometeorological instrumentation for water flux measurement, coupled with the expansion of automatic weather station networks that provide routine measurements of near-surface climate variables, present new opportunities for combining satellite and ground-based instrumentation to obtain distributed estimates of vegetation water use over wide areas in South Africa. In this study, a novel approach is tested, which uses satellite leaf area index (LAI) data retrieved by the Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer (MODIS) to inform the FAO-56 Penman-Monteith equation for calculating reference evaporation (ET₀) of vegetation phenological activity. The model (ETMODIS) was validated at four sites in three different ecosystems across the country, including semi-arid savanna near Skukuza, mixed community grassland at Bellevue, near Pietermaritzburg, and Groenkop, a mixed evergreen indigenous forest near George, to determine potential for application over wider areas of the South African land surface towards meeting water resource management objectives. At Skukuza, evaluated against 170 days of flux data measured at a permanent eddy covariance (EC) flux tower in 2007, the model (ETMODIS) predicted 194.8 mm evapotranspiration relative to 148.9 mm measured fluxes, an overestimate of 31.7 %, (r² = 0.67). At an adjacent site, evaluated against flux data measured on two discrete periods of seven and eight days in February and May of 2005 using a large aperture scintillometer (SLS), ETMODIS predicted 27.4 mm and 6.7 mm evapotranspiration respectively, relative to measured fluxes of 32.5 and 8.2 mm, underestimates of 15.7 % and 18.3 % in each case (r² = 0.67 and 0.34, respectively). At Bellevue, evaluated against 235 days of evapotranspiration data measured using a surface layer scintillometer (SLS) in 2003, ETMODIS predicted 266.9 mm evapotranspiration relative to 460.2 mm measured fluxes, an underestimate of 42 % (r² = 0.67). At Groenkop, evaluated against data measured using a SLS over three discrete periods of four, seven and seven days in February, June and September/October respectively, ETMODIS predicted 9.7 mm, 10.3 mm and 17.0 mm evapotranspiration, relative to measured fluxes of 10.9 mm, 14.6 mm and 23. 9 mm, underestimates of 22.4 %, 11.2 % and 24.1 % in each case (r² = 0.98, 0.43 and 0.80, respectively). Total measured evapotranspiration exceeded total modelled evapotranspiration in all cases, with the exception of the flux tower site at Skukuza, where evapotranspiration was overestimated by ETMODIS by 31.7 % relative to measured (EC) values for the 170 days in 2007 where corresponding modelled and measured data were available. The most significant differences in measured versus predicted data were recorded at the Skukuza flux tower site in 2007 (31.7 % overestimate), and the Bellevue SLS flux site in 2003 (42 % underestimate); coefficients of determination, a measure of the extent to which modelled data are able to explain observed data at validation periods, with just two exceptions, were within a range of 0.67 – 0.98. Several sources of error and uncertainty were identified, relating predominantly to uncertainties in measured flux data used to evaluate ETMODIS, uncertainties in MODIS LAI submitted to ETMODIS, and uncertainties in ETMODIS itself, including model assumptions, and specific uncertainties relating to various inputs; further application of the model is required to test these uncertainties however, and establish confidence limits in performance. Nevertheless, the results of this study suggest that the technique is generally able to produce estimates of vegetation water use to within reasonably close approximations of measurements acquired using micrometeorological instruments, with r² values within the range of other peer-reviewed satellite remote sensing-based approaches.

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement aux modèles semiparamétriques qui ont reçu beaucoup d’intérêt par leur excellente utilité scientifique et leur complexité théorique intrigante. Dans la première partie, nous considérons le problème de l’estimation d’un paramètre dans un espace θ de Banach, en maximisant une fonction critère qui dépend d’un paramètre de nuisance inconnu h, éventuellement de dimension infinie. Nous montrons que le bootstrap m out of n, dans ce cadre général, est consistant sous des conditions similaires à celles requises pour la convergence faible des M-estimateurs non-réguliers. Dans ce cadre délicat, des techniques avancées seront nécessaires pour faire face aux estimateurs du paramètre de nuisance à l’intérieur des fonctions critères non régulières. Nous étudions ensuite le bootstrap échangeable pour les Z-estimateurs. L’ingrédient principal est l’utilisation originale d’une identité différentielle qui s’applique lorsque la fonction critère aléatoire est linéaire en termes de mesure empirique. Un grand nombre de schémas de rééchantillonnage bootstrap apparaissent comme des cas particuliers de notre étude. Des exemples d’applications de la littérature sont présentes pour illustrer la généralité et l’utilité de nos résultats. La deuxième partie est consacrée aux modèles statistiques semiparamétriques de ruptures multiples. L’objectif principal de cette partie est d’étudier les propriétés asymptotiques des M-estimateurs semiparamétriques avec des fonctions critères non lisses des paramètres d’un modèle de rupture multiples pour une classe générale de modèles dans lesquels la forme de la distribution peut changer de segment en segment et dans lesquels, éventuellement, il y a des paramètres communs à tous les segments. La consistance des M-estimateurs semi-paramétriques des points de rupture est établie et la vitesse de convergence est déterminée. La normalité asymptotique des M-estimateurs semiparamétriques des paramètres est établie sous des conditions générales. Nous étendons enfin notre étude au cadre des données censurées. Nous étudions les performances de nos méthodologies pour des petits échantillons à travers des études de simulations
In this dissertation we are concerned with semiparametric models. These models have success and impact in mathematical statistics due to their excellent scientific utility and intriguing theoretical complexity. In the first part of the thesis, we consider the problem of the estimation of a parameter θ, in Banach spaces, maximizing some criterion function which depends on an unknown nuisance parameter h, possibly infinite-dimensional. We show that the m out of n bootstrap, in a general setting, is weakly consistent under conditions similar to those required for weak convergence of the non smooth M-estimators. In this framework, delicate mathematical derivations will be required to cope with estimators of the nuisance parameters inside non-smooth criterion functions. We then investigate an exchangeable weighted bootstrap for function-valued estimators defined as a zero point of a function-valued random criterion function. The main ingredient is the use of a differential identity that applies when the random criterion function is linear in terms of the empirical measure. A large number of bootstrap resampling schemes emerge as special cases of our settings. Examples of applications from the literature are given to illustrate the generality and the usefulness of our results. The second part of the thesis is devoted to the statistical models with multiple change-points. The main purpose of this part is to investigate the asymptotic properties of semiparametric M-estimators with non-smooth criterion functions of the parameters of multiple change-points model for a general class of models in which the form of the distribution can change from segment to segment and in which, possibly, there are parameters that are common to all segments. Consistency of the semiparametric M-estimators of the change-points is established and the rate of convergence is determined. The asymptotic normality of the semiparametric M-estimators of the parameters of the within-segment distributions is established under quite general conditions. We finally extend our study to the censored data framework. We investigate the performance of our methodologies for small samples through simulation studies

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la géométrie discrète et étudie plus particulièrement le comportement des parties linéaires sur les discrétisés de formes euclidiennes en dimension deux. Pour analyser précisément ce comportement nous utiliserons de façon complémentaire l'approche issue de la géométrie arithmétique et une description combinatoire des mots de Christoffel basée sur les fractions continues. Nous montrerons ainsi de nombreux liens entre la convexité (des formes euclidiennes et des formes discrètes) et une classe de parties linéaires : les segments maximaux. Sur un polygone convexe discret, la nature de ces relations s'exprimera principalement par des contraintes sur les longueurs et le nombre de ses arêtes. En asymptotique sur les discrétisés de formes euclidiennes, ces relations serons exprimés en fonction du pas de la grille. Ces résultats permettront l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs géométriques locaux discrets, notamment la convergence multi-grille d'un estimateur de tangente basé sur les segments maximaux. L'estimation de la tangente sur tous les points de la courbe discrète est en temps linéaire grâce à des algorithmes optimaux et incrémentaux issus de la géométrie arithmétique.

Cette thèse s'est développée à l'interface entre physique statistique et traitement statistique du signal, afin d'allier les perspectives de ces deux disciplines sur les problèmes de sommes et maxima de variables aléatoires. Nous avons exploré trois axes d'études qui mènent à s'éloigner des conditions classiques (i.i.d.) : l'importance des événements rares, le couplage avec la taille du système, et la corrélation. Combinés, ces trois axes mènent à des situations dans lesquelles les théorèmes de convergence classiques sont mis en défaut.Pour mieux comprendre l'effet du couplage avec la taille du système, nous avons étudié le comportement de la somme et du maximum de variables aléatoires indépendantes élevées à une puissance dépendante de la taille du signal. Dans le cas du maximum, nous avons mis en évidence l'apparition de lois limites non standards. Dans le cas de la somme, nous nous sommes intéressés au lien entre effet de linéarisation et transition vitreuse en physique statistique. Grâce à ce lien, nous avons pu définir une notion d'ordre critique des moments, montrant que, pour un processus multifractal, celui-ci ne dépend pas de la résolution du signal. Parallèlement, nous avons construit et étudié, théoriquement et numériquement, les performances d'un estimateur de cet ordre critique pour une classe de variables aléatoires indépendantes.Pour mieux cerner l'effet de la corrélation sur le maximum et la somme de variables aléatoires, nous nous sommes inspirés de la physique statistique pour construire une classe de variable aléatoires dont la probabilité jointe peut s'écrire comme un produit de matrices. Après une étude détaillée de ses propriétés statistiques, qui a montré la présence potentielle de corrélation à longue portée, nous avons proposé pour ces variables une méthode de synthèse en réussissant à reformuler le problème en termes de modèles à chaîne de Markov cachée. Enfin, nous concluons sur une analyse en profondeur du comportement limite de leur somme et de leur maximum.

Les travaux de cette thèse portent sur le choix du paramètre de lissage dans le problème de l'estimation non paramétrique de la fonction de densité associée à des processus stationnaires ergodiques à temps continus. La précision de cette estimation dépend du choix de ce paramètre. La motivation essentielle est de construire une procédure de sélection automatique de la fenêtre et d'établir des propriétés asymptotiques de cette dernière en considérant un cadre de dépendance des données assez général qui puisse être facilement utilisé en pratique. Cette contribution se compose de trois parties. La première partie est consacrée à l'état de l'art relatif à la problématique qui situe bien notre contribution dans la littérature. Dans la deuxième partie, nous construisons une méthode de sélection automatique du paramètre de lissage liée à l'estimation de la densité par la méthode du noyau. Ce choix issu de la méthode de la validation croisée est asymptotiquement optimal. Dans la troisième partie, nous établissons des propriétés asymptotiques, de la fenêtre issue de la méthode de la validation croisée, données par des résultats de convergence presque sûre
The work this thesis focuses on the choice of the smoothing parameter in the context of non-parametric estimation of the density function for stationary ergodic continuous time processes. The accuracy of the estimation depends greatly on the choice of this parameter. The main goal of this work is to build an automatic window selection procedure and establish asymptotic properties while considering a general dependency framework that can be easily used in practice. The manuscript is divided into three parts. The first part reviews the literature on the subject, set the state of the art and discusses our contribution in within. In the second part, we design an automatical method for selecting the smoothing parameter when the density is estimated by the Kernel method. This choice stemming from the cross-validation method is asymptotically optimal. In the third part, we establish an asymptotic properties pertaining to consistency with rate for the resulting estimate of the window-width

Die Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten.
The least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution. This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.

Les travaux de cette thèse portent sur les problèmes d’estimation non paramétrique des fonctions de densité, de régression et du mode conditionnel associés à des processus stationnaires à temps continu. La motivation essentielle est d’établir des propriétés asymptotiques tout en considérant un cadre de dépendance des données assez général qui puisse être facilement utilisé en pratique. Cette contribution se compose de quatre parties. La première partie est consacrée à l’état de l’art relatif à la problématique qui situe bien notre contribution dans la littérature. Dans le deuxième partie, nous nous intéressons à l’estimation, par la méthode du noyau, de la densité pour laquelle nous établissons des résultats de convergence presque sûre, ponctuelle et uniforme, avec des vitesses de convergence. Dans les parties suivantes, les données sont supposées stationnaires et ergodiques. Dans la troisième partie, des propriétés asymptotiques similaires sont établies pour l’estimation à noyau de la fonction de régression. Dans le même esprit, nous étudions dans la quatrième partie, l’estimation à noyau de la fonction mode conditionnel pour lequel nous établissons des propriétés de consistance avec des vitesses de convergence. L’estimateur proposé ici se positionne comme une alternative à celui de la fonction de régression dans les problèmes de prévision
The work of this thesis focuses upon some nonparametric estimation problems. More precisely, considering kernel estimators of the density, the regression and the conditional mode functions associated to a stationary continuous-time process, we aim at establishing some asymptotic properties while taking a sufficiently general dependency framework for the data as to be easily used in practice. The present manuscript includes four parts. The first one gives the state of the art related to the field of our concern and identifies well our contribution as compared to the existing results in the literature. In the second part, we focus on the kernel density estimation. In a rather general dependency setting, where we use a martingale difference device and a technique based on a sequence of projections on -fields, we establish the almost sure pointwise and uniform consistencies with rates of our estimate. In the third part, similar asymptotic properties are established for the kernel estimator of the regression function. Here and below, the processes are assumed to be ergodic In the same spirit, we study in the fourth part, the kernel estimate of conditional mode function for which we establish consistency properties with rates of convergence. The proposed estimator may be viewed as an alternative in the prediction issues to the usual regression function

Dans cette thèse nous construisons des estimateurs de la densité spectrale du cumulant, pour un processus strictement homogène et centré, l'espace des temps étant l'espace multidimensionnel, euclidien réel ou l'espace multidimensionnel des nombres p-adiques. Dans cette construction nous avons utilisé la méthode de lissage de la trajectoire et un déplacement dans le temps ou la méthode de fenêtres spectrales. Sous certaines conditions de régularité, les estimateurs proposés sont asymptotiquement sans biais et convergents. Les procédures d'estimation exposées peuvent trouver des applications dans de nombreux domaines scientifiques et peuvent aussi fournir des éléments de réponse aux questions relatives à certaines propriétés statistiques des processus aléatoires.

Dans le cadre d'une analyse par ondelettes, nous étudions les propriétés statistiques de diverses classes de procédures. Plus précisément, nous cherchons à déterminer les espaces maximaux (maxisets) sur lesquels ces procédures atteignent une vitesse de convergence donnée. L'approche maxiset nous permet alors de donner une explication théorique à certains phénomènes observés en pratique et non expliqués par l'approche minimax. Nous montrons en effet que les estimateurs de seuillage aléatoire sont plus performants que ceux de seuillage déterministe. Ensuite, nous prouvons que les procédures de seuillage par groupes, comme certaines procédures d'arbre (proches de la procédure de Lepski) ou de seuillage par blocs, ont de meilleures performances au sens maxiset que les procédures de seuillage individuel. Par ailleurs, si les maxisets des estimateurs Bayésiens usuels construits sur des densités à queues lourdes sont de même nature que ceux des estimateurs de seuillage dur, nous montrons qu'il en est de même pour ceux des estimateurs Bayésiens construits à partir de densités Gaussiennes à grande variance et dont les performances numériques sont très bonnes.

La problématique abordée dans cette thèse est l'estimation non paramétrique des modèles conditionnels à variable explicative fonctionnelle en traitant deux cas : le cas où la variable réponse est réelle et le cas d'une variable réponse fonctionnelle. On établit la convergence uniforme presque complète d'estimateurs non paramétriques pour certains modèles conditionnels. Dans un premier temps, nous considérons une suite d'observation si. I. D. Et nous construisons des estimateurs par la méthode du noyau pour la fonction de régression généralisée, la fonction de répartition conditionnelle, la densité conditionnelle, la fonction de hasard conditionnelle et le mode conditionnel. Nous étudions la convergence uniforme presque complète de ces estimateurs en précisant leurs vitesses. A titre illustratif, nous donnons des exemples d'applications sur des données simulées. Dans un second temps, on généralise nos résultats au cas d'une variable réponse fonctionnelle (appartenant à un espace de Banach) et on estime la régression classique. Cette généralisation a été étudiée dans les deux cas : les observations i. I. D. Ainsi que le cas dépendant. Dans ce dernier, nous avons fixé comme objectif la convergence presque complète ponctuelle lorsque les observations sont Béta-mélangeantes. Nos résultats asymptotiques exploitent bien la structure topologique de l'espace fonctionnel de nos observations et le caractère fonctionnel de nos modèles. En effet, toutes nos vitesses de convergence sont quantifiées en fonction de la concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle, de l'entropie de Kolmogorov et du degré de régularité des modèles. Notons également que dans le cas où la variable réponse est aussi fonctionnelle, nos vitesses de convergence contiennent un terme additionnel qui dépend du type de l'espace de Banach de la variable réponse
In this thesis, we consider the problem of the nonparametric estimation in the conditional models when the regressor takes its values in infinite dimension space. More precisely, we treated two cases when the response variable is real and functional. One establishes almost complete uniform convergence of nonparametric estimators for certain conditional models. Firstly, we consider a sequence of i. I. D. Observations. In this context, we build kernel estimators of the conditional cumulative distribution, the conditional density, the conditional hazard function and the conditional mode. We give the uniform consistency rate of these estimators. We illustrate our results by giving an application on simulated samples. Secondly, we generalize our results when the response variable is in a Banach space. We estimate the regression function. In this context, we treat both cases : i. I. D and dependent observations. In the last case, we consider that the observations are Béta-mixing and we establishes almost complete pointwise convergence. Our asymptotic results exploit the topological structure of functional space for the observations. Let us note that all the rates of convergence are based on an hypothesis of concentration of the measure of probability of the functional variable on the small balls and also on the Kolmogorov’s entropy which measures the number of the balls necessary to cover some set. Moreover, when the response variable is functional the rate of convergence contains a new term which depends on type of Banach space

Eine Vielzahl von Anwendungen in der numerischen Simulation der Strömungsdynamik und der Festkörpermechanik begründen die Entwicklung von zuverlässigen und effizienten Algorithmen für nicht-standard Methoden der Finite-Elemente-Methode (FEM). Um Freiheitsgrade zu sparen, wird in jedem Durchlauf des adaptiven Algorithmus lediglich ein Teil der Gebiete verfeinert. Einige Gebiete bleiben daher möglicherweise verhältnismäßig grob. Die Analyse der Konvergenz und vor allem die der Optimalität benötigt daher über die a priori Fehleranalyse hinausgehende Argumente. Etablierte adaptive Algorithmen beruhen auf collective marking, d.h. die zu verfeinernden Gebiete werden auf Basis eines Gesamtfehlerschätzers markiert. Bei adaptiven Algorithmen mit separate marking wird der Gesamtfehlerschätzer in einen Volumenterm und in einen Fehlerschätzerterm aufgespalten. Da der Volumenterm unabhängig von der diskreten Lösung ist, kann einer schlechten Datenapproximation durch eine lokal tiefe Verfeinerung begegnet werden. Bei hinreichender Datenapproximation wird das Gitter dagegen bezüglich des neuen Fehlerschätzerterms wie üblich level-orientiert verfeinert. Die numerischen Experimente dieser Arbeit liefern deutliche Indizien der quasi-optimalen Konvergenz für den in dieser Arbeit untersuchten adaptiven Algorithmus, der auf separate marking beruht. Der Parameter, der die Verbesserung der Datenapproximation sicherstellt, ist frei wählbar. Dadurch ist es erstmals möglich, eine ausreichende und gleichzeitig optimale Approximation der Daten innerhalb weniger Durchläufe zu erzwingen. Diese Arbeit ermöglicht es, Standardargumente auch für die Konvergenzanalyse von Algorithmen mit separate marking zu verwenden. Dadurch gelingt es Quasi-Optimalität des vorgestellten Algorithmus gemäß einer generellen Vorgehensweise für die drei Beispiele, dem Poisson Modellproblem, dem reinen Verschiebungsproblem der linearen Elastizität und dem Stokes Problem, zu zeigen.
Various applications in computational fluid dynamics and solid mechanics motivate the development of reliable and efficient adaptive algorithms for nonstandard finite element methods (FEMs). To reduce the number of degrees of freedom, in adaptive algorithms only a selection of finite element domains is marked for refinement on each level. Since some element domains may stay relatively coarse, even the analysis of convergence and more importantly the analysis of optimality require new arguments beyond an a priori error analysis. In adaptive algorithms, based on collective marking, a (total) error estimator is used as refinement indicator. For separate marking strategies, the (total) error estimator is split into a volume term and an error estimator term, which estimates the error. Since the volume term is independent of the discrete solution, if there is a poor data approximation the improvement may be realised by a possibly high degree of local mesh refinement. Otherwise, a standard level-oriented mesh refinement based on an error estimator term is performed. This observation results in a natural adaptive algorithm based on separate marking, which is analysed in this thesis. The results of the numerical experiments displayed in this thesis provide strong evidence for the quasi-optimality of the presented adaptive algorithm based on separate marking and for all three model problems. Furthermore its flexibility (in particular the free steering parameter for data approximation) allows a sufficient and optimal data approximation in just a few number of levels of the adaptive scheme. This thesis adapts standard arguments for optimal convergence to adaptive algorithms based on separate marking with a possibly high degree of local mesh refinement, and proves quasi-optimality following a general methodology for three model problems, i.e., the Poisson model problem, the pure displacement problem in linear elasticity and the Stokes equations.

L'ensemble des méthodes statistiques utilisées dans la modélisation de données nécessite la recherche de solutions optimales locales mais aussi l’estimation de la précision (écart-type) liée à ces solutions. Ces méthodes consistent à optimiser, par approximations itératives, la fonction de vraisemblance ou une version approchée. Classiquement, on utilise des versions adaptées de la méthode de Newton-Raphson ou des scores de Fisher. Du fait qu'elles nécessitent des inversions matricielles, ces méthodes peuvent être complexes à mettre en œuvre numériquement en grandes dimensions ou lorsque les matrices impliquées ne sont pas inversibles. Pour contourner ces difficultés, des procédures itératives ne nécessitant pas d’inversion matricielle telles que les algorithmes MM (Minorization-Maximization) ont été proposées et sont considérés comme pertinents pour les problèmes en grandes dimensions et pour certaines distributions discrètes multivariées. Parmi les nouvelles approches proposées dans le cadre de la modélisation en sécurité routière, figure un algorithme nommé algorithme cyclique itératif (CA). Cette thèse a un double objectif. Le premier est d'étudier l'algorithme CA des points de vue algorithmique et stochastique; le second est de généraliser l'algorithme cyclique itératif à des modèles plus complexes intégrant des distributions discrètes multivariées et de comparer la performance de l’algorithme CA généralisé à celle de ses compétiteurs
Most of the statistical methods used in data modeling require the search for local optimal solutions but also the estimation of standard errors linked to these solutions. These methods consist in maximizing by successive approximations the likelihood function or its approximation. Generally, one uses numerical methods adapted from the Newton-Raphson method or Fisher’s scoring. Because they require matrix inversions, these methods can be complex to implement numerically in large dimensions or when involved matrices are not invertible. To overcome these difficulties, iterative procedures requiring no matrix inversion such as MM (Minorization-Maximization) algorithms have been proposed and are considered to be efficient for problems in large dimensions and some multivariate discrete distributions. Among the new approaches proposed for data modeling in road safety, is an algorithm called iterative cyclic algorithm (CA). This thesis has two main objectives: (a) the first is to study the convergence properties of the cyclic algorithm from both numerical and stochastic viewpoints and (b) the second is to generalize the CA to more general models integrating discrete multivariate distributions and compare the performance of the generalized CA to those of its competitors

Dans ce travail, nous étudions quelques aspects de l’estimation fonctionnelle pour des données incomplètes (censurées). Plus précisément, nous nous intéressons à la fonction mode et à la fonction mode conditionnel pour lesquelles nous construisons des estimateurs et étudions le comportement asymptotique. Les estimateurs proposés se positionnent comme alternatives à la prévision par la fonction de régression. Dans un premier travail, nous considérons une suite de v. A. {T_i , i [supérieur ou =]1} indépendante et identiquement distribuée (iid), de densité f , censurée à droite par une suite aléatoire {Ci , i [supérieur ou = à]1} supposée iid et indépendante de {T_i , i [supérieur ou = à]1}. Nous nous intéressons à un problème de régression de T par une covariable multi-dimensionnelle X. Nous établissons la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs à noyau de la fonction mode conditionnel et de la densité conditionnelle. Nous obtenons des intervalles de confiance en utilisant la méthode du "plug-in" pour les paramètres inconnus. Une étude sur des données simulées de taille finie illustre la qualité de nos estimateurs. Dans un second travail, nous traitons le cas du mode simple défini par θ = arg max_{t. IR} f (t). Dans ce cas, la suite {T_i , i [supérieur ou = à]1} est supposée stationnaire et fortement mélangeante, alors que les {C_i , i [supérieur ou = à]1} sont iid. Nous construisons un estimateur du mode (basé sur un estimateur à noyau de la densité) dont nous établissons la convergence presque sûre. Le dernier travail de cette thèse généralise les résultats de convergence du mode conditionnel au cas où les {T_i , i [supérieur ou = à]1} sont fortement mélangeant
In this work, we address the problem of estimating the mode and conditional mode functions, for independent and dependent data, under random censorship. Firstly, we consider an independent and identically distributed (iid) sequence random variables (rvs) {T_i , i [equal to or higher than]1}, with density f. This sequence is right-censored by another iid sequence of rvs {Ci , i[equal to or higher than]1} which is supposed to be independent of {T_i , i [equal to or higher than]1}. We are interested in the regression problem of T given a covariable X. We state convergence and asymptomatic normality of Kernel-based estimators of conditional density and mode. Using the “plug-in” method for the unknown parameters, confidence intervals are gicen. Also simulations are drawn. In a second step we deal with the simple mode, given by par θ = arg max_{t. IR} f (t). Here, the sequence {T_i , i [equal to or higher than]1} is supposed to be stationary and strongly mixing whereas the {Ci , i[equal to or higher than]1} are iid. We build a mode estimator (based on a density kernel estimator) for which we state the almost sure consistency. Finally, we extend the conditional mode consistency results to the case where the {T_i , i [equal to or higher than]1} are strongly mixing

La régression robuste est une analyse de régression possédant la capacité d'être relativement insensible aux larges déviations dues à certaines observations aberrantes. Dans ce cadre, on se propose dans cette thèse d'étudier l'estimation robuste de la fonction de régression, dans le cas où les observations sont à la fois indépendantes, fortement mélangeantes et la co-variable est fonctionnelle. Dans un premier temps, on considère une suite d'observations indépendantes identiquement distribuées. Dans ce contexte, nous établissons la normalité asymptotique d'une famille d'estimateurs robuste de pondération basée sur la méthode du noyau. A titre illustratif, notre résultat est appliqué à la discrimination des courbes, à la prévision des séries temporelles, et à la construction d'un intervalle de confiance. Dans un second temps, nous supposons que les observations sont fortement mélangeantes, et nous établissons la vitesse de convergence presque complète ponctuelle et uniforme de cette famille d'estimateurs ainsi que la normalité asymptotique. Notons, que les axes structurels du sujet, à savoir la "dimensionnalité" et la corrélation des observations, la "dimensionnalité" et la robustesse du modèle, sont bien exploités dans cette étude. De plus, la propriété de la concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle dans des petites boules est utilisée, cette mesure de concentration permet sous certaines hypothèses de proposer une solution originale au problème du fléau de la dimension et ainsi généraliser les résultats déjà obtenus dans le cadre multi varié. Pour illustrer l'extension et l'apport de notre travail, nous explicitons dans des exemples comment nos résultats peuvent être appliqués aux problèmes non standard de la statistique non-paramétrique tel que la prévision de série temporelles fonctionnelles. Nos méthodes sont appliquées à des données réelles telles que l'économie et l'astronomie
The robust regression is an analysis of regression with capacity to be relatively insensitive to the large deviations due to some outliers observations. Within this framework, one proposes in this thesis studied the robust estimate of the function of regression, if the observations are at the same time independent, strongly mixing and the covariate is functional. Initially, on considers a succession of identically distributed independent observations. In this context, we establish the asymptotic normality of a robust family of estimators based on the kernel method. With title illustrative, our result is applied to the discrimination of the curves, the forecast time series, and to the construction of a confidence interval. In the second time, we suppose that the observations are strongly mixing, and we establish the rate of specific almost complete convergence and uniform of this family of estimators as well as asymptotic normality. Let us note, that the axes structural of the subject, namely “dimensionality” and the correlation of the observations, “dimensionality” and the robustness of the model, are well exploited in this study. Moreover, the property of the concentration of the measure of probability of the functional variable in small balls is used, this measure of concentration allows under some assumptions to propose an original solution to the problem of the curse of dimensionality and thus to generalize the results already obtaines in the multivariate framework. To illustrate the extension and the contribution of our work, we show in some examples how our results can be applied to the nonstandard problems of the non-parametric statistics such as the forecast of functional time series. Our methods are applied to real data such as the economy and astronomy

Les travaux présentés dans ce mémoire d'habilitation correspondent à des recherches effectuées depuis mon arrivée à Bordeaux en septembre 1999. J'ai choisi d'y présenter celles qui ont trait aux approches non-euclidiennes pour l'analyse d'image, la clé de voûte en étant la segmentation par modèle déformable. D'autres travaux plus amonts comme la topologie des espaces subdivisés et les invariants topologiques ou plus avals comme la reconstruction de colonne vertébrale en imagerie radiographique ne seront qu'évoqués. Ce choix, s'il peut sembler restrictif par rapport à une synthèse exhaustive de mes travaux, présente néanmoins une plus grande cohérence, à la fois dans les résultats et dans la démarche suivie. Ce mémoire montre notamment que l'utilisation d'autres géométries que la géométrie euclidienne classique, les géométries riemannienne et discrète, présente un intérêt certain en analyse d'images. Les modèles déformables constituent une technique classique de segmentation et de reconstruction en analyse d'image. Dans ce cadre, le problème de la segmentation est exprimé sous forme variationnelle, où la solution est idéalement le minimum d'une fonctionnelle. Pendant ma thèse, je m'étais déjà intéressé aux modèles hautement déformables, qui ont la double caractéristique de se baser uniquement sur l'information image pour repérer ses composantes et de pouvoir extraire des formes de complexité arbitraire. Pour assurer l'initialisation du modèle déformable, j'avais aussi mis en évidence les liens entre surfaces discrètes et triangulations d'isosurfaces. Ces premiers travaux expliquent le cheminement que j'ai suivi depuis dans mes recherches. En voulant attaquer deux problématiques fondamentales des modèles déformables (la minimisation du nombre de paramètres et de la complexité, la recherche d'une solution plus proche de l'optimale), j'ai été amené à changer l'espace de travail classique : l'espace euclidien. Le Chapitre 1 résume les approches classiques des modèles déformables, leurs différentes formulations, ainsi que les problématiques spécifiques auxquelles je me suis intéressé. Il montre enfin en quoi la formulation des modèles déformables dans des espaces non-euclidiens ouvre des pistes intéressantes pour les résoudre. La première voie explorée et résumée dans le Chapitre 2 est d'introduire une métrique riemannienne, variable dans l'espace et dépendante de l'information image locale. L'utilisation d'une autre métrique permet de déformer virtuellement l'espace afin de concentrer l'effort de calcul sur les zones d'intérêt de l'image. Une métrique judicieusement choisie permet d'adapter le nombre de paramètres du modèle déformable à la géométrie de la forme recherchée. Le modèle pourra ainsi se déplacer très vite sur les zones homogènes, extraire les parties droites, planes ou peu courbées avec très peu de paramètres, et conserver une grande précision sur les contours significatifs très courbés. Une telle approche conserve voire améliore la qualité et la robustesse de la segmentation, et minimise à la fois la complexité en temps et le nombre d'itérations avant convergence. La deuxième voie explorée parallèlement est le remplacement de l'espace euclidien continu par la grille cellulaire discrète. L'espace des formes possibles est alors fini tout en restant adapté à l'échantillonnage de l'image. D'autres techniques d'optimisation sont dès lors envisageables, la solution est bien définie et les problèmes numériques liés à la convergence d'un processus ne sont plus présents. Le Chapitre 3 décrit le principe suivi pour discrétiser le modèle déformable sur la grille cellulaire Z^n. Il présente les premiers résultats obtenus avec un algorithme de segmentation a posteriori. Il met aussi en évidence les problématiques soulevées par le passage au discret, problématiques qui se sont révélées être des voies de recherche par elles-mêmes. D'une part, il faut mettre au point des structures de données et des outils pour représenter les surfaces discrètes, pour mesurer leurs paramètres géométriques, et pour les faire évoluer. Le Chapitre 4 synthétise les travaux menés en ce sens. Cela nous conduit à proposer un nouveau formalisme algébrique pour représenter ces surfaces en dimension quelconque. Une étude précise des estimateurs géométriques discrets de tangente, de normale, de longueur et de courbure est ensuite conduite. Nous avons notamment évalué quantitativement leurs performances à basse échelle et proposé de nouveaux estimateurs pour les améliorer. Leurs propriétés asymptotiques lorsque la discrétisation est de plus en plus fine sont enfin discutées. D'autre part, le modèle déformable discret doit approcher au mieux le comportement du modèle déformable euclidien à résolution donnée mais aussi simuler de plus en plus exactement ce comportement lorsque la résolution augmente asymptotiquement. Les estimateurs géométriques discrets se doivent dès lors d'être convergents. En analysant finement la décomposition des courbes discrètes en segments discrets maximaux, nous avons obtenu des théorèmes de convergence ou de non-convergence de certains estimateurs. Le Chapitre 5 résume cette étude de la géométrie des courbes discrètes 2D et des propriétés géométriques asymptotiques du bord d'une discrétisation. Le mémoire se conclut par une synthèse des principaux résultats obtenus et montre les perspectives de recherche ouvertes par ces travaux.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'estimation non paramétrique de la densité à partir d'un échantillon aléatoire. Nous établissons des propriétés limites d'estimateurs de densité en les déduisant de lois limites fonctionnelles pour le processus empirique local, qui sont démontrées dans un contexte général. L'exposé de thèse, comprenant deux parties, est construit de la manière suivante. La première partie porte sur des lois limites fonctionnelles locales. Elles sont établies pour trois ensembles de suites de fonctions aléatoires, construites à partir: du processus empirique uniforme, du processus empirique de quantiles uniforme et du processus empirique de Kaplan-Meier. Ces lois sont uniformes relativement à la taille des incréments de ces processus empiriques locaux et décrivent le comportement asymptotique de la distance de Hausdorff entre chacun de ces trois ensembles et un ensemble de type Strassen. La deuxième partie porte sur l'estimation non paramétrique de la densité. Nous présentons plusieurs applications des lois limites fonctionnelles locales établies précédemment. Ces résultats comportent, d'une part, la description de lois limites pour des estimateurs non paramétriques de la densité, comprenant les estimateurs à noyau et les estimateurs de la densité par la méthode des plus proches voisins, et d'autre part, des lois limites pour les estimateurs à noyau de la densité des temps de survie et du taux de panne dans un modèle de censure à droite. Ces lois limites ont la particularité d'être établies, dans le cadre de la convergence en probabilité, uniformément relativement aux paramètres de lissage des estimateurs considérés.