Добірка наукової літератури з теми "Espaces de Hadamard"

Using Busemann function of an Hadamard manifold X we define the barycenter map from the space 𝒫+(∂X, dθ) of probability measures having positive density on the ideal boundary ∂X to X. The space 𝒫+(∂X, dθ) admits geometrically a fiber space structure over X from Fisher information geometry. Following the arguments in [E. Douady and C. Earle, Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle, Acta Math.157 (1986) 23–48; G. Besson, G. Courtois and S. Gallot, Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de coubure strictement négative, Geom. Funct. Anal.5 (1995) 731–799; Minimal entropy and Mostow's rigidity theorems, Ergodic Theory Dynam. Systems16 (1996) 623–649], we exhibit that under certain geometrical hypotheses a homeomorphism Φ of the ideal boundary ∂X induces, by the aid of push-forward, an isometry of X whose extension is Φ.

El propósito del presente ensayo de naturaleza argumentativa, es establecer que la creatividad matemática en la educación politécnica se manifiesta en la transición del primer al segundo nivel, de los tres que constituyen la actividad matemática; mediante el desarrollo de estrategias didácticas que rebasen el carácter instrumental de la matemática para ingenieros, que corresponde a ese primer nivel. Este enfoque, fundamentado en las ideas de Changeux y Connes (1993), es más adecuado que el del modelo clásico del pensamiento matemático creativo según Poincaré-Hadamard, constituido por cuatro fases, cuya implementación presenta serias dificultades relativas a tiempo, espacio y carácter imprevisto e incontrolado de las fases intermedias. Se concluye que superar el primer nivel supone ejecutar actividades didácticas que trasciendan la simple aplicación de algoritmos y busquen cuestionarlos, mejorarlos o reconstruirlos, crear modelos y desarrollar proyectos; así como involucrarse emocionalmente en el aprendizaje.

Deux thèmes sont présents. Le premier commence par l'évaluation des largeurs de boules unités dans des espaces de Banach. Des bornes pour ces quantités sont obtenues, le cas des boules l^p est plus particulièrement étudié. Les largeurs interviennent aussi dans la définition de la dimension moyenne. Cependant, cet invariant dynamique est insuffisant pour différencier les systèmes donnés par la boule unité de l^p(\Gamma;\rr). Une modification de la dimension moyenne est ainsi introduite pour s'occuper de ces cas, elle n'est cependant plus un invariant topologique mais est Hölder covariante. Ceci est encore suffisant pour obtenir des obstructions. Une autre variante, dim_l^p, qui est reliée à la dimension de Von Neumann est aussi introduite s'inspirant de résultats de Gromov. Une généralisation du lemme d'Ornstein-Weiss est employée pour montrer certaines propriétés. Le second thème traite des courbes pseudo-holomorphes. Un résultat sur le recollement de deux courbes pseudo-holomorphes est d'abord démontré; il permet d'avoir une idée plus précise du comportement de la courbe recollée. Ensuite, nous nous intéressons à former des cylindres pseudo-holomorphes depuis une chaîne de courbes pseudo-holomorphes, et sous de fortes hypothèses, un résultat d'interpolation est obtenu. L'interpolation permet entre autres de montrer que les cylindres obtenus sont simples, d'images distinctes, et forment une famille de dimension infinie (même de dimension moyenne positive). Un appendice contient une adaptation de la "boîte à outils" de Taubes (des méthodes d'analyse elliptique introduite dans "The existence of anti-self-dual structures") au cas de dimension
This thesis covers two themes. The first begins by evaluating the width of unit balls in Banach spaces. Bounds for these quantities are found, focusing on the case of l^p balls. Widths are also related to mean dimension, an adaptation of entropy to cases where it would be infinite. However, this dynamical invariant turns out to be inefficient if one wishes to distinguish between the dynamical systems given by the unit ball of l^p(\Gamma; \rr). An alteration of mean dimension is thus introduced to deal with this case, but it is no longer a topological invariant but Hölder covariant. This is still sufficient to obtain obstructions. Another variant which relates to Von Neumann dimension is also introduced, following Gromov, and using an extension of the Orstein-Weiss lemma some (but not all) properties are shown. The second theme deals with pseudo-holomorphic curves. We first modify a result on the gluing of two pseudo-holomorphic curves so as to have a nore precise behaviour of the glued curve. Then pseudo-holomorphic cylinders are constructed from a chain of pseudo-holomorphic curves. Under strong assumptions, we obtain an interpolation result on these cylinders. This interpolation result has many consequences, in particular, that thedifferent cylinders obtained are simple, have different images, and form a family of infinite dimension. This theme is reunited with the first as this family has also positive mean dimension. An appendix contains an adaptation of "Taubes toolbox" (methods of elliptic analysis developed by Taubes in "The existence of anti-self-dual structures") to the 2-dimensional case

Dans cette thèse, deux études originales et indépendantes ont été menées en parallèle. L'objectif de notre première étude a été de réfléchir et de répondre à la question de l'existence éventuelle de point focal dns les espace de Hadamard. Nous avons tout d'abord défini et étudié l'orthogonalité entre géodésiques dans un espace géodésique complet. Nous avons ensuite défini la notion de point focal dans le cas des espaces géodésiques (absence de différentiabilité) et avons répondu au problème en démontrant qu'il n'existe pas de point focal dans un espace de Hadamard. Finalement, nous avons posé une conjecture sur la non-existence des points focaux dans les CATk espaces géodésiques sous des conditions raisonnables. Le but de notre second sujet de réflexion a été de construire un mouvement brownien à valeurs dans les complexes simpliciaux, plus particulièrement, ceux qui admettent une structure différentielle (sur chaque face maximale) par morceaux. Après un essai d'une théorie de type martingale, nous avons construit une famille de processus de Markov continus à valeurs dans un complexe admissible; nous avons nommé chacun de ces processus de Markov, processus isotropique de transport. Nous avons démontré que cette famille de processus isotropiques admet une sous-suite qui converge faiblement vers une mesure que nous avons appelée mesure de Wiener. Nous avons alors construit, grâce aux distributions finies dimensionnelles de cette mesure de Wiener, un nouveau processus de Markov continu à valeurs dans le complexe admissible : le mouvement brownien. Nous avons finalisé cette étude par une analyse géométrique de ce mouvement brownien, afin de déterminer, selon les hypothèses mises sur le complexe, son caractère récurrent ou transitoire.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une équation de Hamilton Jacobi Bellman discontinue, définie sur une stratification de R^N. Cette dernière est le résultat d'une union d'une collection finie de sous-variétés lisses et disjointes de R^N, que l'on nomme les sous-domaines. Sur chaque sous-domaine, un Hamiltonien continue y est définie. Cependant, le Hamiltonien global sur R^N présente des discontinuités lorsque l'on passe d'un sous-domaine à l'autre. On donne une interprétation commande optimale de ce problème et on utilise les techniques de l'analyse non lisse pour montrer que la fonction valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton Jacobi Bellman définie dans ce chapitre. L'unicité de la solution est garantie par un principe de comparaison fort, valable pour toute sur-solution semicontinue inférieurement et toute sous-solution semicontinue supérieurement. En ce qui concerne l’existence de la solution, on utilise le principe de la programmation dynamique vérifiée par la fonction valeur pour montrer que cette dernière est une solution de viscosité du problème considéré. De plus, on prouve quelques résultats de stabilité en présence de perturbations sur le Hamiltonien discontinu. Finalement, en vertu du principe de comparaison, on montre un résultat de convergence général pour les schémas numériques monotones qui approchent ce problème.La deuxième partie de cette thèse est consacrée au développement d'une nouvelle notion de viscosité pour les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre définies sur les espaces CAT(0) propres. Un espace métrique est dit CAT(0), s'il est un espace géodésique et si ses triangles géodésiques sont plus minces que les triangles du plan Euclidien. Les espaces CAT(0) peuvent être considérés comme une généralisation des espaces de Hilbert ou les variétés de Hadamad. Des exemples types des espaces CAT(0) sont les espaces de Hilbert, les arbres métriques et les networks obtenus en collant un nombre fini de demi-espaces selon leur frontière commune. On exploite la structure de ces espaces pour étudier les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre stationnaires et dépendantes du temps. En particulier, le but du chapitre est de retrouver les principaux résultats de la théorie de la viscosité : le principe de comparaison et la méthode de Perron. On définit la notion de viscosité en utilisant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées comme une différence de deux fonctions semiconvexes. On montre que cette notion de viscosité coïncide avec la notion classique développée sur R^N en étudiant quelques exemples d'équations classiques. De surcroît, on prouve l'existence et l'unicité de la solution de certaines équations du type Eikonal posées sur des networks qui peuvent résulter du collage de demi-espaces ayant différentes dimensions de Hausdorff.La troisième partie de la thèse se focalise sur l'étude d'un problème de commande optimale de Mayer sur l'espace des mesures Boréliennes de probabilité sur une variété compacte M. L'étude de ce problème est motivé par certaines situations où un planificateur central d'un système contrôlé n'a qu'une information imparfaite sur l'état initiale du système considéré. Le manque d'information est spécifique dans ce problème. Il est décrit par une mesure de probabilité Borélienne selon laquelle l'état initial est distribué. On définit la notion de viscosité sur cet espaces de la même manière que dans la deuxième partie de la thèse en considérant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées par une différence de deux fonctions semiconvexes. Avec ce choix de fonctions test, on étend la notion de viscosité aux équations de Hamilton Jacobi Bellman définies sur l'espace de Wasserstein et on établit que la fonction valeur associée au problème de commande optimale et l'unique solution de viscosité sur l'espace de Wasserstein sur M
The main subject of this thesis is the study first order Hamilton Jacobi equations posed in certain classes of metric spaces. Furthermore, the Hamiltonian of these equations can potentially present some structured discontinuities.In the first part of this thesis, we study a discontinuous first order Hamilton Jacobi Bellman equation defined on a stratification of R^N. The latter is a finite and disjoint union of smooth submanifolds of R^N called the the subdomains of R^N. On each subdomain, a continuous Hamiltonian is defined on it, However the global Hamiltonian in R^N presents discontinuities once one goes from one subdomain to the other. We give an optimal control interpretation of this problem and we use nonsmooth analysis techniques to prove that the value function is the unique viscosity solution to the discontinuous Hamilton Jacobi Bellman equation in this setting. The uniqueness of the solution is guaranteed by means of a strong comparison principle valid for any lower semicontinuous supersolution and any upper semicontinuous subsolution. As far as existence of the solution is concerned, we use the dynamic programming principle verified by the value function to prove that it is a viscosity solution of the discontinuous Hamilton Jacobi equation. Moreover, we prove some stability results in the presence of perturbations on the discontinuous Hamiltonian. Finally, by virtue of the comparison principle, we prove a general convergence result of monotone numerical schemes approximating this problem.The second part of this thesis is concerned with defining a novel notion of viscosity for first order Hamilton Jacobi equations defined in proper CAT(0) spaces. A metric space is said to be a CAT(0) space if, roughly speaking, it is a geodesic space and its geodesic triangles are "thinner" than the triangles of the Euclidean plane. They can be seen as a generalization of Hilbert spaces or Hadamard manifolds. Typical examples of CAT(0) spaces include Hilbert spaces, metric trees and networks obtained by gluing a finite number of half-spaces along their common boundary. We exploit the additional structure that these spaces enjoy to study stationary and time-dependent first order Hamilton-Jacobi equation in them. In particular, we want to recover the main features of viscosity theory: the comparison principle and Perron's method}.We define the notion of viscosity using test functions that are Lipschitz and can be represented as a difference of two semiconvex function. We show that this new notion of viscosity coincides with the classical one in R^N by studying the examples of Hamilton Jacobi Bellman and Hamilton Jacobi Isaacs' equations. Furthermore, we prove existence and uniqueness of the solution of Eikonal type equations posed in networks that can result from gluing half-spaces of different Hausdorff dimension.In the third part of this thesis, we study a Mayer optimal control problem on the space of Borel probability measures over a compact Riemannian manifold M. This is motivated by certain situations where a central planner of a deterministic controlled system has only imperfect information on the initial state of the system. The lack of information here is very specific. It is described by a Borel probability measure along which the initial state is distributed. We define the new notion of viscosity in this space in a similar manner as in the previous part by taking test functions that are Lipschitz and can be written as a difference of two semiconvex functions. With this choice of test functions, we extend the notion of viscosity to Hamilton Jacobi Bellman equations in Wasserstein spaces and we establish that the value function is the unique viscosity solution of a Hamilton Jacobi Bellman equation in the Wasserstein space over M

Neste trabalho estudaremos alguns resultados propostos por Benoit Kloe kner [Kl2] em sua tese de doutorado. Apresentamos prin ipalmente a prova da não-existência de compactificações diferenciáveis de Hadamard em espaços simétri os de tipo não- ompa to de posto k ≥ 2.
In this dissertation we will study some results proposed by Benoit Kloe kner [Kl2] in his do toral thesis. We mainly present the proof of non-existen e of diferentiable Hadamard compactific ations in symmetric spaces of non compact type of rank ≥ 2.

Nosso trabalho tem como objeto de estudo subvariedades em espaÃos de Hadamard e em espaÃos produto NÃR onde N à uma variedade Riemanniana completa com pÃlo e curvaturas seccionais radiais limitadas superiormente. Em espaÃos de Hadamard mostramos que imersÃes com norma da segunda forma fundamental dominada sÃo prÃprias e tem topologia finita. As subvariedades do espaÃo Euclideano com essa condiÃÃo sobre a segunda forma fundamental tem tom fundamental nulo. Sobre o espaÃo produto N à R, inicialmente estudamos hipersuperfÃcies imersas contidas em um cilindro vertical. Observamos que, a partir de uma certa limitaÃÃo no vetor curvatura mÃdia, estas hipersuperfcies sÃo nÃo parabÃlicas. Outro resultado obtido à a nÃo existÃncia de hipersuperfÃcies completas imersas em Hn à R com curvatura de Ricci com decaimento superquadrÃtico, RicM −c2 [1 + M(x)2 â log2(M(x) + 2)] e curvatura mÃdia com sup |H| < (n − 1)/n contidas em um cilindro vertical. Para subvariedades mÃnimas M  N à R de dimensÃo m mostramos que o tom fundamental de domÃnios limitados   M satisfaz a seguinte desigualdade  ( )   1(BNm−1(_)(r)), onde BNm−1( )(r) à a bola geodÃsica das Formas Espaciais Nm−1() de dimensÃo (m − 1) e curvatura seccional constante .

Um resultado clássico em Geometria Diferencial, conhecido como teorema de Hadamard, e demonstrado pelo mesmo ([Ha]), estabelece que uma superfície conexa compacta no espaço Euclidiano cujas curvaturas principais são todas positivas é o bordo de um corpo convexo. Em part icular, a superfície é difeomorfa a uma esfera. Neste trabalho apresentamos extensões parciais deste teorema para imersões de codimensão arbitrária e para outros espaços ambientes que o E uclidiano conforme feito em [R].
A classical result in differential geometry, known as Hadamard's theorem and proved by himself ([Ha]). establishes that a compact connected surface in the Euclidean space whose principal curvatures are everywhere positive is the boundary of a convex body. In particular, the surface is diffeomorphic to a sphere. In this work we present IJartial extensions of this theorem to immersions of arbitrary codimension and to other spaces than the Euclidean one, as clone in [R].

Nous étudions d'abord divers aspects de la quantification des champs dans les espaces­temps maximalement symétriques. En particulier :Nous construisons une théorie quantique du champ scalaire de masse nulle en espace-temps de de Sitter. Nous considérons les effets d'une température, en espace-temps Anti-de Sitter, sur un champ scalaire quantique. Nous développons ensuite une méthode de renormalisation du tenseur d'impulsion­ énergie des champs quantiques. Celle-ci est fondée sur le développement de Hadamard des fonctions de Green. Elle nous permet de trouver :L'expression générale, dans un espace-temps quelconque, du tenseur d'impulsion-énergie d'un champ scalaire. L'expression, dans les espaces-temps d'Einstein, du tenseur d'impulsion­ énergie des gravitons, à partir de l'action effective standard puis de l'action effective invariante par reparamétrisation de Vilkovisky et DeWitt.

Cette thèse se place dans le cadre d'une généralisation CAT(0) des espaces riemanniens symétriques à courbure négative. En particulier, nos espaces ne seront pas nécessairement localement compacts. Un espace CAT(0) symétrique est un espace CAT(0) complet, sans branchement géodésique et possédant une involution isométrique en chaque point fixant uniquement ce point. Avec l'hypothèse supplémentaire de compacité locale, on retrouve les espaces riemanniens symétriques à courbure négative classés par E. Cartan. Nous nous intéressons à une famille particulière des espaces CAT(0) symétriques qui possèdent la propriété remarquable d'ˆetre de dimension infinie et de rang fini. C'est une famille d'espaces (Xp)p∈N∗ où Xp = O(p, ∞)/ (O(p) × O(∞)) . Nous montrons que ces espaces sont des espaces CAT(0) symétriques de dimension télescopique p. Ce qui implique, par exemple, que tout groupe moyennable agissant continûment par isométries sur Xp, fixe un point au bord ou laisse invariant un sous-espace isométrique à un espace euclidien. Inspir ́es par le théorème de superrigidité de G. Margulis, nous montrons l'existence d'applications de Furstenberg, ce qui constitue la première étape dans un programme de superrigidité pour ces espaces symétriques de dimension infinie mais de rang fini.