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Fresse, Benoit. "La construction bar d'une algèbre comme algèbre de Hopf E-infini." Comptes Rendus Mathematique 337, no. 6 (September 2003): 403–8. http://dx.doi.org/10.1016/s1631-073x(03)00354-6.
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2
Iohara, Kenji. "Modules de plus haut poids unitarisables sur la super-algèbre de Virasoro N=2 tordue." Annales de l’institut Fourier 58, no. 3 (2008): 733–54. http://dx.doi.org/10.5802/aif.2367.
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El Alaoui, A. "La table de caractères pour une algèbre de Hopf." Bulletin des Sciences Mathématiques 125, no. 4 (May 2001): 279–96. http://dx.doi.org/10.1016/s0007-4497(00)01073-3.
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4
Ameur, Mustapha, and Saïd Benayadi. "Sur les invariants de modules sur une algèbre de hopf." Communications in Algebra 24, no. 10 (January 1996): 3155–62. http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825739.
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5
BONNEAU, PHILIPPE. "TOPOLOGICAL QUANTUM DOUBLE." Reviews in Mathematical Physics 06, no. 02 (April 1994): 305–18. http://dx.doi.org/10.1142/s0129055x94000146.
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Following a preceding paper showing how the introduction of a t.v.s. topology on quantum groups led to a remarkable unification and rigidification of the different definitions, we adapt here, in the same way, the definition of quantum double. This topological double is dualizable and reflexive (even for infinite dimensional algebras). In a simple case we show, considering the double as the "zero class" of an extension theory, the uniqueness of the double structure as a quasi-Hopf algebra. A la suite d'un précédent article montrant comment l'introduction d'une topologie d'e.v.t. sur les groupes quantiques permet une unification et une rigidification remarquables des différentes définitions, on adapte ici de la même manière la définition du double quantique. Ce double topologique est alors dualisable et reflexif (même pour des algèbres de dimension infinie). Dans un cas simple on montre, en considérant le double comme la "classe zéro" d'une théorie d'extensions, l'unicité de cette structure comme algèbre quasi-Hopf.
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Giraudo, Samuele. "Algebraic and combinatorial structures on Baxter permutations." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (January 1, 2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2919.
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International audience We give a new construction of a Hopf subalgebra of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions whose bases are indexed by objects belonging to the Baxter combinatorial family (\emphi.e. Baxter permutations, pairs of twin binary trees, \emphetc.). This construction relies on the definition of the Baxter monoid, analog of the plactic monoid and the sylvester monoid, and on a Robinson-Schensted-like insertion algorithm. The algebraic properties of this Hopf algebra are studied. This Hopf algebra appeared for the first time in the work of Reading [Lattice congruences, fans and Hopf algebras, \textitJournal of Combinatorial Theory Series A, 110:237–273, 2005]. Nous proposons une nouvelle construction d'une sous-algèbre de Hopf de l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques libres dont les bases sont indexées par les objets de la famille combinatoire de Baxter (\emphi.e. permutations de Baxter, couples d'arbres binaires jumeaux, \emphetc.). Cette construction repose sur la définition du mono\"ıde de Baxter, analogue du mono\"ıde plaxique et du mono\"ıde sylvestre, et d'un algorithme d'insertion analogue à l'algorithme de Robinson-Schensted. Les propriétés algébriques de cette algèbre de Hopf sont étudiées. Cette algèbre de Hopf est apparue pour la première fois dans le travail de Reading [Lattice congruences, fans and Hopf algebras, \textitJournal of Combinatorial Theory Series A, 110:237–273, 2005].
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Benedetti, Carolina, Joshua Hallam, and John Machacek. "Combinatorial Hopf Algebras of Simplicial Complexes." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (January 1, 2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2506.
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International audience We consider a Hopf algebra of simplicial complexes and provide a cancellation-free formula for its antipode. We then obtain a family of combinatorial Hopf algebras by defining a family of characters on this Hopf algebra. The characters of these Hopf algebras give rise to symmetric functions that encode information about colorings of simplicial complexes and their $f$-vectors. We also use characters to give a generalization of Stanley’s $(-1)$-color theorem. Nous considérons une algèbre de Hopf de complexes simpliciaux et fournissons une formule sans multiplicité pour son antipode. On obtient ensuite une famille d'algèbres de Hopf combinatoires en définissant une famille de caractères sur cette algèbre de Hopf. Les caractères de ces algèbres de Hopf donnent lieu à des fonctions symétriques qui encode de l’information sur les coloriages du complexe simplicial ainsi que son vecteur-$f$. Nousallons également utiliser des caractères pour donner une généralisation du théorème $(-1)$ de Stanley.
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Humpert, Brandon, and Jeremy L. Martin. "The Incidence Hopf Algebra of Graphs." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (January 1, 2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2930.
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International audience The graph algebra is a commutative, cocommutative, graded, connected incidence Hopf algebra, whose basis elements correspond to finite simple graphs and whose Hopf product and coproduct admit simple combinatorial descriptions. We give a new formula for the antipode in the graph algebra in terms of acyclic orientations; our formula contains many fewer terms than Schmitt's more general formula for the antipode in an incidence Hopf algebra. Applications include several formulas (some old and some new) for evaluations of the Tutte polynomial. L'algèbre de graphes est une algèbre d'incidence de Hopf commutative, cocommutative, graduée, et connexe, dont les éléments de base correspondent à des graphes finis simples et dont le produit et coproduit de Hopf admettent une description combinatoire simple. Nous présentons une nouvelle formule de l'antipode dans l'algèbre de graphes utilisant les orientations acycliques; notre formule contient beaucoup moins de termes que la formule générale de Schmitt pour l'antipode dans une algèbre d'incidence de Hopf. Les applications incluent plusieurs formules (connues et inconnues) pour les évaluations du polynôme de Tutte.
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Priez, Jean-Baptiste. "Lattice of combinatorial Hopf algebras: binary trees with multiplicities." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (January 1, 2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2372.
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International audience In a first part, we formalize the construction of combinatorial Hopf algebras from plactic-like monoids using polynomial realizations. Thank to this construction we reveal a lattice structure on those combinatorial Hopf algebras. As an application, we construct a new combinatorial Hopf algebra on binary trees with multiplicities and use it to prove a hook length formula for those trees. Dans une première partie, nous formalisons la construction d’algèbres de Hopf combinatoires à partir d’une réalisation polynomiale et de monoïdes de type monoïde plaxique. Grâce à cette construction, nous mettons à jour une structure de treillis sur ces algèbres de Hopf combinatoires. Comme application, nous construisons une nouvelle algèbre de Hopf sur des arbres binaires à multiplicités et on l’utilise pour démontrer une formule des équerressur ces arbres.
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Aguiar, Marcelo, and Aaron Lauve. "Convolution Powers of the Identity." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (January 1, 2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2365.
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International audience We study convolution powers $\mathtt{id}^{\ast n}$ of the identity of graded connected Hopf algebras $H$. (The antipode corresponds to $n=-1$.) The chief result is a complete description of the characteristic polynomial - both eigenvalues and multiplicity - for the action of the operator $\mathtt{id}^{\ast n}$ on each homogeneous component $H_m$. The multiplicities are independent of $n$. This follows from considering the action of the (higher) Eulerian idempotents on a certain Lie algebra $\mathfrak{g}$ associated to $H$. In case $H$ is cofree, we give an alternative (explicit and combinatorial) description in terms of palindromic words in free generators of $\mathfrak{g}$. We obtain identities involving partitions and compositions by specializing $H$ to some familiar combinatorial Hopf algebras. Nous étudions les puissances de convolution $\mathtt{id}^{\ast n}$ de l’identité d’une algèbre de Hopf graduée et connexe $H$ quelconque. (L’antipode correspond à $n=-1$.) Le résultat principal est une description complète du polynôme caractéristique (des valeurs propres et de leurs multiplicités) de l’opérateur $\mathtt{id}^{\ast n}$ agissant sur chaque composante homogène $H_m$. Les multiplicités sont indépendants de $n$. Ceci résulte de l’examen de l’action des idempotents eulériens (supérieures) sur une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ associée à $H$. Dans le cas où $H$ est colibre, nous donnons une description alternative (explicite et combinatoire) en termes de mots palindromes dans les générateurs libres de $\mathfrak{g}$. Nous obtenons des identités impliquant des partitions et compositions en choisissant comme $H$ certaines algèbres de Hopf combinatoires connues.
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Duchamp, G., N. Hoang-Nghia, Thomas Krajewski, and A. Tanasa. "Renormalization group-like proof of the universality of the Tutte polynomial for matroids." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (January 1, 2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.12821.
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In this paper we give a new proof of the universality of the Tutte polynomial for matroids. This proof uses appropriate characters of Hopf algebra of matroids, algebra introduced by Schmitt (1994). We show that these Hopf algebra characters are solutions of some differential equations which are of the same type as the differential equations used to describe the renormalization group flow in quantum field theory. This approach allows us to also prove, in a different way, a matroid Tutte polynomial convolution formula published by Kook, Reiner and Stanton (1999). This FPSAC contribution is an extended abstract. Dans cet article, nous donnons une nouvelle preuve de l’universalité du polynôme de Tutte pour les matroïdes. Cette preuve utilise des caractères appropriés de l’algèbre de Hopf des matroïdes introduite par Schmitt (1994). Nous montrons que ces caractères algèbre de Hopf sont des solutions d'équations différentielles du même type que les équations différentielles utilisées pour décrire le flux du groupe de renormalisation en théorie quantique de champs. Cette approche nous permet aussi de démontrer, d’une manière différente, une formule de convolution du polynôme de Tutte des matroïdes, formule publiée par Kook, Reiner et Stanton (1999). Cette contribution FPSAC est un résumé étendu.
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Law, Shirley. "Hopf Algebra of Sashes." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (January 1, 2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2428.
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International audience A general lattice theoretic construction of Reading constructs Hopf subalgebras of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra (MR) of permutations. The products and coproducts of these Hopf subalgebras are defined extrinsically in terms of the embedding in MR. The goal of this paper is to find an intrinsic combinatorial description of a particular one of these Hopf subalgebras. This Hopf algebra has a natural basis given by permutations that we call Pell permutations. The Pell permutations are in bijection with combinatorial objects that we call sashes, that is, tilings of a 1 by n rectangle with three types of tiles: black 1 by 1 squares, white 1 by 1 squares, and white 1 by 2 rectangles. The bijection induces a Hopf algebra structure on sashes. We describe the product and coproduct in terms of sashes, and the natural partial order on sashes. We also describe the dual coproduct and dual product of the dual Hopf algebra of sashes. Une construction générale dans la théorie des treillis dû à Reading construit des sous-algèbres de Hopf de l’algèbre de Hopf de permutations de Malvenuto et Reutenauer (MR). Les produits et coproduits de ces sous-algèbres de Hopf sont définis extrinsèquement en termes du plongement dans MR. Le but de cette communication est de trouver une description combinatoire intrinsèque d’une de ces sous-algèbres de Hopf en particulier. Cette algèbre Hopf a une base naturelle donnée par des permutations que nous appelons permutations Pell. Les permutations Pell sont en bijection avec des objets combinatoires que nous appelons écharpes, c’est-à-dire des pavages d’un rectangle 1-par-n avec trois espèces de tuiles : des carrés noirs 1-par-1, des carrés blancs 1-par-1, et des rectangles blancs 1-par-2. La bijection induit une structure d’algèbre de Hopf sur les écharpes. On décrit le produit et le coproduit en termes d’écharpes, et l’ordre partiel naturel sur les écharpes. On décrit également le coproduit dual et le produit dualde l’algèbre de Hopf dual des écharpes.
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Forcey, Stefan, Aaron Lauve, and Frank Sottile. "Cofree compositions of coalgebras." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (January 1, 2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2917.
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International audience We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad $\mathcal{D}$ and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to $\mathcal{D}$. We conclude with examples of these structures, where the factor coalgebras have bases indexed by the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes. Nous développons la notion de composition de coalgèbres, qui apparaît naturellement dans la théorie des catégories d'ordre supérieur et dans la théorie des espèces. Nous montrons que la composée de deux coalgèbres colibres est colibre et nous donnons des conditions qui impliquent que la composée est une algèbre de Hopf unilatérale. Ces conditions sont valables quand l'une des coalgèbres est une opérade de Hopf graduée $\mathcal{D}$ et l'autre est une coalgèbre graduée connexe avec un morphisme vers $\mathcal{D}$. Nous concluons avec des exemples de ces structures, où les coalgèbres composées ont des bases indexées par les sommets de multiplièdres, de composièdres, et d'hypercubes.
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Patrias, Rebecca, and Pavlo Pylyavskyy. "Dual filtered graphs." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (January 1, 2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2515.
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International audience We define a $K$ -theoretic analogue of Fomin’s dual graded graphs, which we call dual filtered graphs. The key formula in the definition is $DU - UD = D + I$. Our major examples are $K$ -theoretic analogues of Young’s lattice, the binary tree, and the graph determined by the Poirier-Reutenauer Hopf algebra. Most of our examples arise via two constructions, which we call the Pieri construction and the Möbius construction. The Pieri construction is closely related to the construction of dual graded graphs from a graded Hopf algebra, as described in Bergeron-Lam-Li, Nzeutchap, and Lam-Shimozono. The Möbius construction is more mysterious but also potentially more important, as it corresponds to natural insertion algorithms. Nous définissons un analogue $K$ -théorique aux graphes gradués en dualité de Fomin que nous appelons les graphes filtrés en dualité. La formule importante pour la définition est $DU - UD = D + I$. Nos principaux exemples sont un analogue $K$ -théorique aux graphe de Young, l’arbre binaire, et un graphe déterminé par l’algèbre de Hopf de Poirier-Reutenauer. La plupart de nos exemples surviennent de deux constructions que nous appelons la construction de Pieri et la construction de Möbius. La construction de Pieri est étroitement liée à la construction des graphes gradués en dualité d’une algèbre graduée de Hopf à la Bergeron-Lam-Li, Nzeutchap, et Lam-Shimozono. La construction de Möbius est plus mystérieuse, mais aussi peut-être plus importante car cette construction correspond aux algorithmes d’insertion naturelles.
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Pang, C. Y. Amy. "A Hopf-power Markov chain on compositions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (January 1, 2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2316.
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International audience In a recent paper, Diaconis, Ram and I constructed Markov chains using the coproduct-then-product map of a combinatorial Hopf algebra. We presented an algorithm for diagonalising a large class of these "Hopf-power chains", including the Gilbert-Shannon-Reeds model of riffle-shuffling of a deck of cards and a rock-breaking model. A very restrictive condition from that paper is removed in my thesis, and this extended abstract focuses on one application of the improved theory. Here, I use a new technique of lumping Hopf-power chains to show that the Hopf-power chain on the algebra of quasisymmetric functions is the induced chain on descent sets under riffle-shuffling. Moreover, I relate its right and left eigenfunctions to Garsia-Reutenauer idempotents and ribbon characters respectively, from which I recover an analogous result of Diaconis and Fulman (2012) concerning the number of descents under riffle-shuffling. Dans un récent article avec Diaconis et Ram, nous avons construit des chaînes de Markov en utilisant une composition du coproduit et produit d’une algèbre de Hopf combinatoire. Nous avons présenté un algorithme pour diagonaliser une large classe de ces “chaînes de Hopf puissance”, en particulier nous avons diagonalisé le modèle de Gilbert-Shannon-Reeds de mélange de cartes en “riffle shuffle” (couper en deux, puis intercaler) et un modèle de cassage de pierres. Dans mon travail de thèse, nous supprimons une condition très restrictive de cet article, et ce papier se concentre surune application de cette amélioration. Nous utilisons ici une nouvelle technique de projection de chaînes de Hopf puissance pour montrer que la chaîne de Hopf puissance sur l’algèbre des fonctions quasi-symétriques est la chaîne de Markov induite sur les ensembles des descentes dans le “riffle shuffling”. De plus, nous faisons le lien entre les fonctions propres à droite et à gauche et respectivement les idempotents de Garsia-Reutenauer et les caractères en rubans, ce qui nous permet de retrouver un résultat analogue à Diaconis et Fulman (2012) concernant le nombre de descentes dans le “riffle shuffling”.
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Pang, C. Y. Amy. "Card-Shuffling via Convolutions of Projections on Combinatorial Hopf Algebras." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (January 1, 2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2511.
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International audience Recently, Diaconis, Ram and I created Markov chains out of the coproduct-then-product operator on combinatorial Hopf algebras. These chains model the breaking and recombining of combinatorial objects. Our motivating example was the riffle-shuffling of a deck of cards, for which this Hopf algebra connection allowed explicit computation of all the eigenfunctions. The present note replaces in this construction the coproduct-then-product map with convolutions of projections to the graded subspaces, effectively allowing us to dictate the distribution of sizes of the pieces in the breaking step of the previous chains. An important example is removing one “vertex” and reattaching it, in analogy with top-to-random shuffling. This larger family of Markov chains all admit analysis by Hopf-algebraic techniques. There are simple combinatorial expressions for their stationary distributions and for their eigenvalues and multiplicities and, in some cases, the eigenfunctions are also calculable. Récemment, avec Diaconis et Ram, nous avons construit des chaines de Markov à partir de l’opérateur “coproduit-puis-produit” défini sur un algèbre de Hopf combinatoire. Ces chaines modélisent la déconstruction et la construction d’objets combinatoires. La motivation était le “mélange à l’américaine”, une méthode populaire pour mélanger un jeu de cartes, pour lequel les liens avec les algèbres de Hopf combinatoires nous a permis de calculer explicitement toutes les fonctions propres. Ici, on généralise cette construction en remplaçant l’opérateur “coproduit-puis-produit” par les convolutions de projections sur les composantes graduées de l’algèbre. Ceci nous permet de stipuler les tailles des pièces dans la décomposition des objets combinatoires. Un exemple important est la suppression et l’insertion d’un “sommet”, par analogie avec la bibliothèque de Tsetlin. On constate que toutes ces chaines peuvent être analysées par des techniques provenant de la théorie des algèbres de Hopf combinatoires. On prouve des expressions combinatoires simples pour les distributions stationnaires ainsi que pour les valeurs propres et leurs multiplicités. Dans certains cas, il est possible de calculer les fonctions propres associées.