Дисертації з теми "Algebraic stack"

This thesis consists of three articles treating topics in the theory of algebraic stacks. The first two papers deal with motivic invariants. In the first, we show that the class of the classifying stack BPGLn is the inverse of the class of PGLn in the Grothendieck ring of stacks for n ≤ 3. This shows that the multiplicativity relation holds for the universal torsors, although it is known not to hold for torsors ingeneral for the groups PGL2 and PGL3. In the second paper, we introduce an exponential function which can be viewed as a generalisation of Kapranov's motivic zeta function. We use this to derive a binomial theorem for a power operation defined on the Grothendieck ring of varieties. As an application, we give an explicit expression for the motivic class of a universal quasi-split torus, which generalises a result by Rökaeus. The last paper treats destackification. We give an algorithm for removing stackiness from smooth, tame stacks with abelian stabilisers by repeatedly applying stacky blow-ups. As applications, we indicate how the result can be used for destackifying general Deligne–Mumford stacks in characteristic zero, and to obtain a weak factorisation theorem for such stacks.

At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 1: Manuscript. Paper 2: Manuscript. Paper 3: Manuscript.

We study the automorphism groups of two families of varieties. The first is the family of stable curves of low genus. To every such curve, we can associate a combinatorial object, a stable graph, which encode many properties of the curve. Combining the automorphisms of the graph with the known results on the automorphisms of smooth curves, we obtain precise descriptions of the automorphism groups for stable curves with low genera. The second is the family of numerical Godeaux surfaces. We compute in details the automorphism groups of numerical Godeaux surfaces with certain invariants; that is, corresponding to points in some specific connected components of the moduli space; we also give some estimates on the order of the automorphism groups of the other numerical Godeaux surfaces and some characterization on their structures.

We define Gromov-Witten classes and invariants of smooth proper tame Deligne-Mumford stacks of finite presentation over a Dedekind domain. We prove that they are deformation invariants and verify the fundamental axioms. For a smooth proper tame Deligne-Mumford stack over a Dedekind domain, we prove that the invariants of fibers in different characteristics are the same. We show that genus zero Gromov-Witten invariants define a potential which satisfies the WDVV equation and we deduce from this a reconstruction theorem for genus zero Gromov-Witten invariants in arbitrary characteristic.

We view the inertia construction of algebraic stacks as an operator on the Grothendieck groups of various categories of algebraic stacks. We are interested in showing that the inertia operator is (locally finite and) diagonalizable over for instance the field of rational functions of the motivic class of the affine line q = [A¹]. This is proved for the Grothendieck group of Deligne-Mumford stacks and the category of quasi-split Artin stacks. Motivated by the quasi-splitness condition we then develop a theory of linear algebraic stacks and algebroids, and define a space of stack functions over a linear algebraic stack. We prove diagonalization of the semisimple inertia for the space of stack functions. A different family of operators is then defined that are closely related to the semisimple inertia. These operators are diagonalizable on the Grothendieck ring itself (i.e. without inverting polynomials in q) and their corresponding eigenvalue decompositions are used to define a graded structure on the Grothendieck ring. We then define the structure of a Hall algebra on the space of stack functions. The commutative and non-commutative products of the Hall algebra respect the graded structure defined above. Moreover, the two multiplications coincide on the associated graded algebra. This result provides a geometric way of defining a Lie subalgebra of virtually indecomposables. Finally, for any algebroid, an ε-element is defined and shown to be contained in the space of virtually indecomposables. This is a new approach to the theory of generalized Donaldson-Thomas invariants.
Science, Faculty of
Mathematics, Department of
Graduate

This thesis pertains to the algebraic K-theory of tame Artin stacks. Building on earlier work of Vezzosi and Vistoli in equivariant K-theory, which we translate in stacky language, we give a description of the algebraic K-groups of tame quotient stacks. Using a strategy of Vistoli, we recover Grothendieck-Riemann-Roch-like formulae for tame quotient stacks that refine Toën’s Grothendieck-Riemann-Roch formula for Deligne-Mumford stacks (as it was realized that the latter pertains to quotient stacks since it relies on the resolution property). Our formulae differ from Toën’s in that, instead of using the standard inertia stack, we use the cyclotomic inertia stack introduced by Abramovich, Graber and Vistoli in the early 2000s. Our results involve the rational part of the K'-theory of the object considered. We establish a few conjectures, the main one (Conjecture 6.3) pertaining to the covariance of our Lefschetz-Riemann-Roch map for proper morphisms of tame stacks (not necessarily representable). Other future works might be dedicated to the study of torsion in K'-groups as well as more general Artin stacks.

We develop a theory of unbounded derived categories of quasi-coherent sheaves on algebraic stacks. In particular, we show that these categories are compactly generated by perfect complexes for stacks that either have finite stabilizers or are local quotient stacks. We also extend Toën and Antieau–Gepner’s results on derived Azumaya algebras and compact generation of sheaves on linear categories from derived schemes to derived Deligne–Mumford stacks. These are all consequences of our main theorem: compact generation of a presheaf of triangulated categories on an algebraic stack is local for the quasi-finite flat topology.

This thesis concerns the study of chiral algebras over schemes of arbitrary dimension n. In Chapter I, we construct a chiral algebra over each smooth variety X of dimension n. We do this via the Hilbert scheme of points of X, which we use to build a factorisation space over X. Linearising this space produces a factorisation algebra over X, and hence, by Koszul duality, the desired chiral algebra. We begin the chapter with an overview of the theory of factorisation and chiral algebras, before introducing our main constructions. We compute the chiral homology of our factorisation algebra, and show that the D-modules underlying the corresponding chiral algebras form a universal D-module of dimension n. In Chapter II, we discuss the theory of universal D-modules and OO- modules more generally. We show that universal modules are equivalent to sheaves on certain stacks of étale germs of n-dimensional varieties. Furthermore, we identify these stacks with the classifying stacks of groups of automorphisms of the n-dimensional disc, and hence obtain an equivalence between the categories of universal modules and the representation categories of these groups. We also define categories of convergent universal modules and study them from the perspectives of the stacks of étale germs and the representation theory of the automorphism groups.

Thesis (Ph. D. )--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mathematics, 2007.
Includes bibliographical references (p. 139-140).
We develop the basic theory of quasi-categories (a.k.a. weak Kan complexes or ([infinity], 1)- categories as in [BV73], [Joy], [Lur06]) from first principles, i.e. without reference to model categories or other ideas from algebraic topology. Starting from the definition of a quasi-category as a simplicial set satisfying the inner horn-filling condition, we define and prove various properties of quasi-categories which are direct generalizations of categorical analogues. In particular, we look at functor quasi-categories, Hom-spaces, isomorphisms, equivalences between quasi-categories, and limits. In doing so, we employ exclusively combinatorial methods, as well as adapting an idea of Makkai's ("very subjective morphisms," what turn out in this case to be simply trivial Kan fibrations) to get a handle on various notions of equivalence. We then begin to discuss a new approach to the theory of left (or right) fibrations, wherein the quasi-category of all left fibrations over a given base S is described simply as the large simplicial set whose n-simplices consist of all left fibrations over S x [delta]n.
(cont.) We conjecture that this large simplicial set is a quasi-category, and moreover that the case S = * gives an equivalent quasi-category to the commonly-held quasi-category of spaces; we offer some steps towards proving this. Finally, assuming the conjecture true, we apply it to give simple descriptions of limits in this quasi-category, as well as a straightforward construction of a Yoneda functor for quasi-categories which we then prove is fully faithful.
by Joshua Paul Nicholas-Barrer.
Ph.D.

Dans cette thèse, nous prouvons un théorème de dualité de Tannaka pour les (infini, 1)-catégories. La dualité classique de Tannaka est une dualité entre certains groupes et catégories monoïdales munies d'une structure particulière. La dualité de Tannaka supérieure renvoie, elle, à une dualité entre certains champs en groupes dérivés et certaines (infini, 1)-catégories monoïdales munies d'une structure particulière. Cette dualité supérieure est définie sur les anneaux dérivés et englobe la théorie de dualité classique. Nous comparons la dualité de Tannaka supérieure à la théorie de dualité de Tannaka classique et portons une attention particulière à la dualité de Tannaka sur les corps. Dans ce dernier cas, cette théorie a une relation étroite avec la théorie des types d'homotopie schématique de Toën. Nous décrivons également trois applications de la théorie : les complexes parfaits, les motifs et leur analogue non-commutatif dû à Kontsevich
In this thesis we prove a Tannaka duality theorem for (infini, 1)-categories. Classical Tannaka duality is a duality between certain groups and certain monoidal categories endowed with particular structure. Higher Tannaka duality refers to a duality between certain derived group stacks and certain monoidal (infini, 1)-categories endowed with particular structure. This higher duality theorem is defined over derived rings and subsumes the classical statement. We compare the higher Tannaka duality to the classical theory and pay particular attention to higher Tannaka duality over fields. In the later case this theory has a close relationship with the theory of schematic homotopy types of Toën. We also describe three applications of our theory : perfect complexes and that of both motives and its non-commutative ana­logue due to Kontsevich

L'espace des lacets lisses C(S^1,M) associé à une variété symplectique M se voit doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de M.Nous traiterons dans cette thèse d'un analogue algébrique de cet énoncé.Dans leur article, Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Il s'agit d'un analogue algébrique à l'espace des lacets lisses.Nous generalisons ici leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma X -- pas forcément lisse -- l'espace L^d(X) de ses lacets formels de dimension d.Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate, c'est-à-dire de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité.Nous définirons également l'espace B^d(X) des bulles de X, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons que le cas échéant, il hérite de la structure symplectique de X. Notons que ces résultats sont toujours valides dans des cas plus généraux : X peut être un champs d'Artin dérivé.Pour démontrer nos résultats, nous définirons ce que sont les objets de Tate dans une infinie-catégorie C stable et complète par idempotence.Nous prouverons au passage que le spectre de K-théorie non-connective de Tate(C) est équivalent à la suspension de celui de C, donnant une version infini-catégorique d'un résultat de Saito.Dans le dernier chapitre, nous traiterons d'un problème différent. Nous démontrerons l'existence d'une structure d'algèbre de Lie sur le tangent décalé de n'importe quel champ d'Artin dérivé X. Qui plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohérent E, l'action étant donnée par la classe d'Atiyah de E.Ces résultats sont par exemple valides dans le cas d'un schéma X sans hypothèse de lissité
If M is a symplectic manifold then the space of smooth loops C(S^1,M) inherits of a quasi-symplectic form. We will focus in this thesis on an algebraic analogue of that result.In their article, Kapranov and Vasserot introduced and studied the formal loop space of a scheme X. It is an algebraic version of the space of smooth loops in a differentiable manifold.We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme X -- not necessarily smooth -- we associate L^d(X), the space of loops of dimension d. We prove it has a structure of (derived) Tate scheme -- ie its tangent is a Tate module: it is infinite dimensional but behaves nicely enough regarding duality.We also define the bubble space B^d(X), a variation of the loop space.We prove that B^d(X) is endowed with a natural symplectic form as soon as X has one.To prove our results, we develop a theory of Tate objects in a stable infinity category C. We also prove that the non-connective K-theory of Tate(C) is the suspension of that of C, giving an infinity categorical version of a result of Saito.The last chapter is aimed at a different problem: we prove there the existence of a Lie structure on the tangent of a derived Artin stack X. Moreover, any quasi-coherent module E on X is endowed with an action of this tangent Lie algebra through the Atiyah class of E. This in particular applies to not necessarily smooth schemes X

Il est bien connu que des constructions théoriques très simples telles que les structures Either (équivalent type théorique de l'opérateur logique "ou"), State (représentant des transformateurs d'état composables), Applicative (application des fonctions généralisée) et Monad (composition de programmes séquentielles généralisée), nommés structures en Haskell, couvrent une grande partie de ce qui est habituellement nécessaire pour exprimer avec élégance la plupart des idiomes informatiques utilisés dans les programmes classiques. Cependant, il est usuellement admis qu'il existe plusieurs classes d'idiomes couramment utilisés qui ne s'intègrent pas bien à ces structures, les exemples les plus remarquables étant les transformations entre arbres (types de données, dont l'utilisation doit s'appuyer soit sur les motifs généralisés soit sur une infrastructure de méta programmation lourde) et traitement des exceptions (qui sont d'habitude supposés nécessiter un langage spécial et une prise en charge de l'exécution). Ce travail a pour but de montrer que beaucoup de ces idiomes peuvent, en fait, être exprimés en réutilisant ces structures bien connues avec des modifications mineures (le cas échéant). En d'autres termes, le but de ce travail est d'appliquer les principes du rasoir KISS (Keep It Stupid Simple) et/ou d'Occam aux structures algébriques utilisées pour résoudre des problèmes de programmation courants. Techniquement parlant, ce travail a pour but de montrer que les généralisations naturelles de classes de types Applicative et Monad de Haskell, associées à la possibilité d'en faire des produits cartésiens, en produisent un cadre commun très simple pour exprimer de nombreuses choses pratiques, dont certaines sont des nouvelles méthodes très commodes pour exprimer des idées de programmation communes, tandis que les autres peuvent être vues comme systèmes d'effets. Sur ce dernier point, si l'on veut généraliser des exemples présentés dans une approche de la conception de systèmes d'effets en général, on peut alors considérer la structure globale de cette approche comme un cadre quasi syntaxique qui permet d'ériger une structure générale du cadre "mariage" au dessus de différents systèmes d'effets adhérant aux principes de base. (Bien que ce travail ne soit pas trop approfondi dans la dernière, car il est principalement motivé par des exemples qui peuvent être immédiatement appliqués à la pratique de Haskell.) Il convient toutefois de noter qu'en fait, ces observations techniques n'ont rien d'étonnant: Applicative et Monad sont respectivement des généralisations de composition fonctionnelle et linéaire des programmes; ainsi, naturellement, les produits cartésiens de ces deux structures doivent couvrir en grande partie ce que les programmes font habituellement
It is well-known that very simple theoretic constructs such as Either (type-theoretic equivalent of the logical "or" operator), State (composable state transformers), Applicative (generalized function application), and Monad (generalized sequential program composition) structures (as they are named in Haskell) cover a huge chunk of what is usually needed to elegantly express most computational idioms used in conventional programs. However, it is conventionally argued that there are several classes of commonly used idioms that do not fit well within those structures, the most notable examples being transformations between trees (data types, which are usually argued to require ether generalized pattern matching or heavy metaprogramming infrastructure) and exception handling (which are usually argued to require special language and run-time support). This work aims to show that many of those idioms can, in fact, be expressed by reusing those well-known structures with minor (if any) modifications. In other words, the purpose of this work is to apply the KISS (Keep It Stupid Simple) and/or Occam's razor principles to algebraic structures used to solve common programming problems. Technically speaking, this work aims to show that natural generalizations of Applicative and Monad type classes of Haskell combined with the ability to make Cartesian products of them produce a very simple common framework for expressing many practically useful things, some of the instances of which are very convenient novel ways to express common programming ideas, while others are usually classified as effect systems. On that latter point, if one is to generalize the presented instances into an approach to design of effect systems in general, then the overall structure of such an approach can be thought of as being an almost syntactic framework which allows different effect systems adhering to the general structure of the "marriage" framework to be expressed on top of. (Though, this work does not go into too much into the latter, since this work is mainly motivated by examples that can be immediately applied to Haskell practice.) Note, however, that, after the fact, these technical observation are completely unsurprising: Applicative and Monad are generalizations of functional and linear program compositions respectively, so, naturally, Cartesian products of these two structures ought to cover a lot of what programs usually do

Thesis: Ph. D., Massachusetts Institute of Technology, Department of Mathematics, May, 2020
Cataloged from the official PDF of thesis. In title on title page, double underscored "p" appears as subscript.
Includes bibliographical references (pages 291-297).
Abstract In this thesis, we study a class of so-called cohomologically proper stacks from various perspectives, mainly concentrating on the p-adic context. Cohomological properness is a relaxed properness condition on a stack which roughly asks the cohomology of any coherent sheaf to be finitely generated over the base. We extend some of the techniques available for smooth proper schemes to smooth cohomologically proper stacks, featuring in particular recently developed theory of prismatic co-homology and the classical Deligne-Illusie method for the Hodge-to-de Rham degeneration. As main applications we prove the Totaro's conjectural inequality between the dimensions of the de Rham and the singular F[subscript p]-cohomology of the classifying stack of a reductive group, compute the ring of prismatic characteristic classes at non-torsion primes and give some new examples of the Hodge-to-de Rham degeneration for stacks in characteristic 0. We also study some descent properties of certain Brauer group classes on conical resolutions, a question having some applications to the theory of Fedosov quantizations in characteristic p. Some surprising results about the G[subscript m]-weights of differential 1-forms that are obtained along the way, originally motivated the attempt to generalize the integral p-adic Hodge theory to the setting of cohomologically proper stacks.
by Dmitry Kubrak.
Ph. D.
Ph.D. Massachusetts Institute of Technology, Department of Mathematics

Dans une série de 4 articles publiés entre 1971 et 1980, Harold Stark énonça des conjectures relatives au comportement en s=0 des fonctions L d'Artin associées à des extensions galoisiennes de corps de nombres.Dans son dernier article il s'intéressa plus particulièrement au cas des extensions abéliennes, pour lequel il formula la conjecture abélienne de rang 1 qui prédit l'existence de certaines unités. Ces unités représentent une généralisation des unités cyclotomiques, on les appelle les unités de Stark. Si leur existence est conjecturale, on peut néanmoins s'intéresser à la taille du sous-groupe qu'elles engendrent,c'est-à-dire à l'indice de ce groupe dans le groupe des unités. C'est ainsi que Karl Rubin établit en 1992 des formules reliant cet indice à la taille du groupe des classes du grand corps dans le cas totalement réel. En 2013 Xavier-François Roblot montra que pour des extensions quartiques et sextiques ces formules d'indices permettent de caractériser les unités de Stark à des valeurs absolues près. Dans cette thèse, on précise le lien entre les unités de Stark et le groupe des classes en comparant l'idéal de Fitting du groupe des unités quotienté par les unités de Stark et l'idéal de Fitting du groupe des classes.Dans le cas dit semi-simple, on y établit l'égalité des les idéaux de Fitting à l'aide des formules d'indice déjà connues, ainsi qu'unisomorphisme reliant le quotient du groupe des unités par l'unité de Stark à ces idéaux de Fitting. Dans le cas non semi-simple, pour lequelles formules d'indice font défaut, on montre un résultat de simultanée principalité des idéaux de Fitting. Enfin, à l'aide de PARI/GP, on vérifie numériquement sur certaines extensions que ces idéaux de Fittings ont égaux même dans le cas non semi-simple

Le premier chapitre montre par des méthodes toriques ($G-$graphes) que pour tout entier positif $n$, le quotient de l'espace affine à $n$ dimensions par le groupe cyclique $G_n$ d'ordre $2^n-1$ admet le $G_n$-schema de Hilbert comme résolution lisse crepante. Le deuxième chapitre contient des résultats sur les champs algébriques (construction du champ algébrique lisse associé à une log-paire). Le troisième chapitre montre l'équivalence entre la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents $G_n-$équivariants sur l'espace affine et celle des faisceaux cohérents sur la résolution $G_n-$Hilb. Chapitre 4 donne une réalisation géométrique de la conjecture de Broué via la correspondance de McKay. L'annexe contient des résultats sur les groupes trihédraux, y compris un programme magma.

La recherche d'annulateurs du groupe des classes d'idéaux d'une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu'un élément de l'anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l'extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l'étude de l'analogue non abélien de l'élément de Brumer, nécessaire à l'établissement d'une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l'énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu'aux propriétés qu'elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d'extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d'indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d'abélianité permettant d'obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés.

L'étude des espaces fibrés est un sujet très important dans la géométrie complexe. Cette thèse traite l'étude des fibres en droites affines sur les espaces complexes. Les fibres en droites affines sont une généralisation naturelle des fibres en droites. La première partie de cette thèse examine le problème des modules classiques. En analogie avec le problème linéaire, un foncteur de Picard affine est définie. On démontre que cette espace de modules sera pas Hausdorff, sauf dans les cas triviaux puis une théorie utilisant les repères est développé. Une critère exacte de la représentabilité est donnée. L'existence d'une espace des modules est très rare entrainant la nécessité d'un approche plus moderne, l'utilisation de champs. Une théorie autour d'extensions scindées à chaque fibre est introduite. Cette méthode est très générale et pourrait être intéressante en soi. Sur un espace complexe projective X, elle permet d'identifier le champs de fibre en droite affine avec un champs quotient de fibre linéaire sur le schéma de Picard Pic(X). Par la suite, le type d'homotopie de ce champ est calculé
The study of fibre bundles is an important subject in complex geometry. This thesis considers the particular case of affine line bundles over complex spaces. Affine line bundles are a natural generalisation of line bundles. The first part of this thesis studies the classical moduli problem and the existence of fine moduli spaces. In analogy to the study of line bundles, an affine Picard functor is defined. It is shown that this moduli space will (unless trivial) not be Hausdorff which leads to the study of framed affine line bundles. An exact criterion for the existence of a moduli space for this problem is given. Since the existence of such moduli spaces is very rare, the modern approach of stacks is used in the second part. To give a simpler description of this stack, the theory of fibrewise split extensions is developed. This theory is very general and is of independent interest. For a complex projective variety X, this approach allows to identify the stack of affine line bundles with a quotient stack of linear fibre spaces over the Picard scheme Pic(X). As an application, the homotopy type of this stack is calculated

Recent efforts to classify off-shell representations of supersymmetry without a central charge have focused upon directed, supermultiplet graphs of hypercubic topology known as Adinkras. These encodings of Super Poincare algebras, depict every generator of a chosen supersymmetry as a node-pair transformtion between fermionic / bosonic component fields. This research thesis is a culmination of investigating novel diagrammatic sums of gauge quotients by supersymmetric images of other Adinkras, and the correlated building of field theoretic worldline Lagrangians to accommodate both classical and quantum venues. We find Ref [40], that such gauge quotients do not yield other stand alone or ”proper” Adinkras as afore sighted, nor can they be decomposed into supermultiplet sums, but are rather a connected ”Adinkraic network”. Their iteration, analogous to Weyl's construction for producing all finite-dimensional unitary representations in Lie algebras, sets off chains of algebraic paradigms in discrete-graph and continuous-field variables, the links of which feature distinct, supersymmetric Lagrangian templates. Collectively, these Adiankraic series air new symbolic genera for equation to phase moments in Feynman path integrals. Guided in this light, we proceed by constructing Lagrangians actions for the N = 3 supermultiplet YI /(iDI X) for I = 1, 2, 3, where YI and X are standard, Salam-Strathdee superfields: YI fermionic and X bosonic. The system, bilinear in the component fields exhibits a total of thirteen free parameters, seven of which specify Zeeman-like coupling to external background (magnetic) fluxes. All but special subsets of this parameter space describe aperiodic oscillatory responses, some of which are found to be surprisingly controlled by the golden ratio, ? ? 1.61803, Ref [52]. It is further determined that these Lagrangians allow an N = 3 ? 4 supersymmetric extension to the Chiral-Chiral and Chiral-twisted- Chiral multiplet, while a subset admits two inequivalent such extensions. In a natural progression, a continuum of observably and usefully inequivalent, finite-dimensional off-shell representations of worldline N = 4 extended supersymmetry are explored, that are variate from one another but in the value of a tuning parameter, Ref [53]. Their dynamics turns out to be nontrivial already when restricting to just bilinear Lagrangians. In particular, we find a 34-parameter family of bilinear Lagrangians that couple two differently tuned supermultiplets to each other and to external magnetic fluxes, where the explicit parameter dependence is unremovable by any field redefinition and is therefore observable. This offers the evaluation of X-phase sensitive, off-shell path integrals with promising correlations to group product decompositions and to deriving source emergences of higher-order background flux-forms on 2-dimensional manifolds, the stacks of which comprise space-time volumes. Application to nonlinear sigma models would naturally follow, having potential use in M- and F- string theories.
Ph.D.
Doctorate
Physics
Sciences
Physics

L'objet de cette thèse est de comprendre comment se généralise la théorie de la ramification pour des actions par des schémas en groupes affines avec un intérêt particulier pour la notion de modération. Comme contexte général pour ce résumé, considérons une base affine S := Spec(R) où R est un anneau unitaire, commutatif, X := Spec(B) un schéma affine sur S, G := Spec(A) un schéma en groupes affine, plat et de présentation finie sur S et une action de G sur X que nous noterons (X, G). Enfin, nous notons [X/G] le champ quotient associé à cette action et Y := Spec(BA) où BA est l'anneau des invariants pour l'action (X, G). Supposons de plus que le champ d'inertie soit fini.Comme point de référence, nous prenons la théorie classique de la ramification pour des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait. Afin de comprendre comment généraliser cette théorie pour des actions par des schémas en groupes, nous considérons les actions par des schémas en groupes constants en se rappelant que la donnée de telles actions est équivalente à celle d'un anneau muni d'une action par un groupe fini abstrait nous ramenant au cas classique. Nous obtenons ainsi dans ce nouveau contexte des notions généralisant l'anneau des invariants en tant que quotient, les groupes d'inertie et toutes leurs propriétés. Le cas non ramifié se généralise naturellement avec les actions libres. En ce qui concerne le cas modéré, qui nous intéresse particulièrement pour cette thèse, deux généralisations sont proposées dans la littérature. Celle d'actions modérées par des schémas en groupes affines introduite par Chinburg, Erez, Pappas et Taylor dans l'article [CEPT96] et celle de champ modéré introduite par Abramovich, Olsson et Vistoli dans [AOV08]. Il a été alors naturel d'essayer de comparer ces deux notions et de comprendre comment se généralisent les propriétés classiques d'objets modérés à des actions par des schémas en groupes affines.Tout d'abord, nous avons traduit algébriquement la propriété de modération sur un champ quotient comme l'exactitude du foncteur des invariants. Ce qui nous a permis d'obtenir aisément à l'aide de [CEPT96] qu'une action modérée définit toujours un champ quotient modéré. Quant à la réciproque, nous avons réussi à l'obtenir seulement lorsque nous supposons de plus que G est fini et localement libre sur S et que X est plat sur Y . Nous pouvons voir que la notion de modération pour l'anneau B muni d'une action par un groupe fini abstrait Γ est équivalente au fait que tous les groupes d'inertie aux points topologiques sont linéairement réductifs si l'on considère l'action par le schéma en groupes constant correspondant à Γ sur X. Il a été donc naturel de se demander si cette propriété est encore vraie en général. Effectivement, l'article [AOV08] caractérise le fait que le champ quotient [X/G] est modéré par le fait que les groupes d'inertie aux points géométriques sont linéairement réductifs.À nouveau, si l'on considère le cas des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait, il est bien connu que l'action peut être totalement reconstruite à partir de l'action d'un groupe inertie. Lorsque l'on considère le cas des actions par les schémas en groupes constants, cela se traduit comme un théorème de slices, c'est-à-dire une description locale de l'action initiale par une action par un groupe d'inertie. Par exemple, lorsque G est fini, localement libre sur S, nous établissons que le fait qu'une action soit libre est une propriété locale pour la topologie fppf, ce qui peut se traduire comme un théorème de slices. Grâce à [AOV08], nous savons déjà qu'un champ quotient modéré [X/G] est localement isomorphe pour la topologie fppf à un champ quotient [X/H] où H est une extension du groupe d'inertie en un point de Y. Lorsque G est fini sur S, il nous a été possible de montrer que H est aussi un sous-groupe de G.

In this thesis we prove a Tannaka duality theorem for (∞, 1)-categories. Classical Tannaka duality is a duality between certain groups and certain monoidal categories endowed with particular structure. Higher Tannaka duality refers to a duality between certain derived group stacks and certain monoidal (∞, 1)-categories endowed with particular structure. This higher duality theorem is defined over derived rings and subsumes the classical statement. We compare the higher Tannaka duality to the classical theory and pay particular attention to higher Tannaka duality over fields. In the later case this theory has a close relationship with the theory of schematic homotopy types of Toёn. We also describe three applications of our theory: perfect complexes and that of both motives and its non-commutative analogue due to Kontsevich.
Thesis (Ph.D.) -- University of Adelaide, School of Mathematical Sciences, 2011