Literatura científica selecionada sobre o tema "EDP dégénérée"

De nos jours, les plasmas sont principalement utilisés à des fins industrielles. L'un des exemples les plus fréquemment cités d'utilisation industrielle est la production d'énergie électrique via des réacteurs nucléaires à fusion. Pour contenir le plasma correctement à l'intérieur du réacteur, un champ magnétique est imposé en arrière-plan, et la densité et la température du plasma doivent être précisément contrôlées. Cela est effectué en envoyant des ondes électromagnétiques à des fréquences et dans des directions spécifiques en fonction des caractéristiques du plasma.La première partie de cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude du modèle du plasma avec un fort champ magnétique en arrière-plan, ce qui correspond à un métamatériau hyperbolique. L'objectif est d'étendre les résultats existant en 2D au cas 3D et de dériver une condition de radiation. Nous introduisons une séparation des champs électriques et magnétiques ressemblant à la décomposition TE et TM habituelle, puis nous présentons quelques résultats sur les deux problèmes résultants. Les résultats sont dans un état très partiel et constituent un brouillon approximatif sur le sujet.La deuxième partie étudie l'EDP dégénérée associée aux ondes résonantes « lower-hybrid » dans le plasma. Le problème aux limites associé est bien posé dans un cadre variationnel « naturel ». Cependant, ce cadre n'inclut pas le comportement singulier présenté par les solutions physiques obtenues via le principe d'absorption limite. Ce comportement singulier est important du point de vue physique car il induit le chauffage du plasma mentionné précédemment. Un des résultats clés de cette deuxième partie est la définition d'une notion de saut à travers l'interface à l'intérieur du domaine, ce qui permet de caractériser la décomposition de la solution d'absorption limite en parties régulière et singulière<br>Nowadays, plasmas are mainly used for industrial purpose. One of the most frequently cited examples of industrial use is electric energy production via fusion nuclear reactors. Then, in order to contain plasma properly inside the reactor, a background magnetic field is imposed, and the density and temperature of the plasma must be precisely controlled. This is done by sending electromagnetic waves at specific frequencies and directions depending on the characteristics of the plasma.The first part of this PhD thesis consists in the study of the model of plasma in a strong background magnetic field, which corresponds to a hyperbolic metamaterial. The objective is to extend the existing results in 2D to the 3D-case and to derive a radiation condition. We introduce a splitting of the electric and magnetic fields resembling the usual TE and TM decomposition, then, it gives some results on the two resulting problems. The results are in a very partial state, and constitute a rough draft on the subject.The second part consists in the study of the degenerate PDE associated to the lower-hybrid resonant waves in plasma. The associated boundary-value problem is well-posed within a ``natural'' variational framework. However, this framework does not include the singular behavior presented by the physical solutions obtained via the limiting absorption principle. Notice that this singular behavior is important from the physical point of view since it induces the plasma heating mentioned before. One of the key results of this second part is the definition of a notion of weak jump through the interface inside the domain, which allows to characterize the decomposition of the limiting absorption solution into a regular and a singular parts

Cette thèse a pour but d'étudier des problèmes inverses pour des équations paraboliques semi-linéaires issues du modèle de climat de Budyko-Sellers, représentant l'évolution de la température à la surface terrestre pendant une longue période. Une première étape a consisté à étudier un problème inverse pour un modèle méridien, unidimensionnel, dégénéré au bord du domaine, obtenu à partir du modèle général. Dans le but de mieux cerner les phénomènes liés à la dégénérescence de l'opérateur, nous nous sommes d'abord intéressés à une équation linéaire dégénérée plus simple, pour laquelle nous démontrons plusieurs résultats de stabilité Lipschitzienne dans la détermination d'un terme source et d'une constante dans le terme de diffusion. Nous résolvons également un problème de contrôlabilité approchée avec un contrôle placé au point frontière dégénéré. Ensuite, nous démontrons deux théorèmes de stabilité Lipschitzienne dans la détermination d'un coefficient, appelé coefficient d'ensoleillement. Le premier résultat concerne le modèle méridien non linéaire, tandis que le second est obtenu pour l'équation générale non linéaire, posée sur la surface terrestre<br>This work aims at solving inverse issues in semilinear parabolic equations derived from the Budyko-Sellers climate model, which represents the evolution of the Earth's surface temperature during a long time period. A first step consists in studying an inverse problem in a one dimensional degenerate model on a meridian. In order to understand the consequences of boundary degeneracies, we have first investigated a one dimensional linear degenerate equation. We prove various Lipschitz stability results in the determination of a source term and a diffusive constant. We also solve an approximate controllability issue, putting a control at the degenerate boundary point. Eventually, we prove two Lipschitz stability results in the determination of the so-called insolation function, in both cases of the semilinear model on a meridian and the general semilinear equation posed on the Earth's surface

La thèse se compose de deux parties.<br /><br />Première partie :<br />thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous<br />apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute<br />dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires<br />générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de<br />l'équation géométrique.<br /><br />Deuxième partie :<br />thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.<br />Nous obtenons le résultat suivant.<br />Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique<br />hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$<br />et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.<br />Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour<br />tout tenseur symétrique $R$ voisin<br />de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$<br />dont la courbure de Ricci vaut $R$.<br />Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image<br />de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété<br />au voisinage de ${\cal R}_0$.<br />Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante<br />en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,<br />et de quelques obstructions.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié le cas de grilles cartésiennes dans $\RR^2$ de plus en plus denses, dans le cadre de la théorie de $\Gamma$-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans $\RR^d$. Des difficultés nouvelles surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner, nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence. Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre et de demande. Comme montré dans \cite{brasco2013congested}, le problème de l'équilibre de Wardrop est équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique, anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien augmenté présentée dans \cite{benamou2013augmented} pour proposer des exemples de simulation. Enfin, le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement, encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté<br>This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional cartesian networks that become very dense in the framework of $\Gamma$-convergence theory. Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems.In Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense. New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence. Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We then have similar results to those in the cartesian case.In Chapter 3 we study the continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's theorem, as in \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. To use it we consider a relaxed version of the limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case, that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in \cite{brasco2013congested} the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented Lagrangian scheme presented in \cite{benamou2013augmented} to show a few numerical simulation examples. Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance. It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian algorithm