Gotowa bibliografia na temat „Zéro triviaux”

RésuméNous proposons de construire des polynômes à coefficients p-adiques, de degré D, sans terme constant, ayant plus que 2D + 1 variables. Ces polynômes n'ont dans Zp que le zéro trivial modulo p2. Le but que nous cherchons à atteindre, à partir des polynômes ainsi construit, est de minorer les valeurs de p pour lesquelles l'équation F(x1,...,X2D+1) ≡ 0 (mod p2) admet une solution primitive, F est un élément de Zp[X1,... ,X2D+1] de degré D sans term constant.

International audience Let $M$ be a finite monoid. In this paper we describe how the Cartan invariant matrix of the monoid algebra of $M$ over a field $\mathbb{K}$ of characteristic zero can be expressed using characters and some simple combinatorial statistic. In particular, it can be computed efficiently from the composition factors of the left and right class modules of $M$. When $M$ is aperiodic, this approach works in any characteristic, and generalizes to $\mathbb{K}$ a principal ideal domain like $\mathbb{Z}$. When $M$ is $\mathcal{R}$-trivial, we retrieve the formerly known purely combinatorial description of the Cartan matrix. Soit $M$ un monoïde fini. Dans cet article, nous exprimons la matrice des invariants de Cartan de l'algèbre de $M$ sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique zéro à l'aide de caractères et d'une statistique combinatoire simple. En particulier, elle peut être calculée efficacement à partir des facteurs de compositions des modules de classes à gauche et à droite de $M$. Lorsque $M$ est apériodique, cette approche se généralise à toute caractéristique et aux anneaux principaux comme $\mathbb{Z}$. Lorsque $M$ est $\mathcal{R}$-trivial, nous retrouvons la description combinatoire de la matrice de Cartan précédemment connue.

Cette thèse se propose d'obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu'une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d'arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d'une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d'une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique.

A un couple de formes modulaires, on peut associer une fonction L complexe. Pour étudier cette fonction L complexe, on peut construire une fonction L p-adique interpolant les valeurs de la fonction L complexe, à un facteur près. Il peut cependant arriver que ce facteur s’annule. Dans ce cas, la fonction L p-adique s’annule, et on perd l’information sur la valeur de la fonction L complexe : c’est le phénomène des zéros triviaux. Conjecturalement, il devrait être possible de retrouver l’information sur la valeur de la fonction L complexe en considérant la dérivée cyclotomique de la fonction L p-adique. Dans cette thèse, on se placera dans le cas o`u une forme modulaire est semistable, tandis que l’autre est cristalline. On donnera la formule d’interpolation entre la fonction L complexe et la fonction L p-adique, et on mettra en évidence les conditions pour qu’un zéro trivial apparaisse. Enfin, on montrera une formule donnant la dérivée cyclotomique de la fonction L p-adique en fonction de l’invariant L et de la fonction L complexe
We can associate a complex L-function to a couple of modular forms. To study this complex L-function, we can construct a p-adic L function which interpolates the values of the complex L-function, up to a multiplicative factor. It can happen that this factor vanishes. in this case, the p-adic L function vanishes, and we lose the information on the complex L-function’s value : this is the trivial zero phenomenon. Conjecturally, it should be possible to recover the information on the complex L-function’s value through the p-adic L-functions’s cyclotomic derivative. In this thesis, we consider the case where one modular form is semistable, while the other one is cristalline. We give the interpolation formula between the complex L-function and the p-adic L-function, and we highlight the conditions needed for a trivial zero to appear. finally, we show a formula giving the p-adic L-function’s cyclotomic derivative as a function of the L invariant and the complex L-function

Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.