Gotowa bibliografia na temat „Equations aux dérivées partielles stochastiques singulières”

International audience A two-dimensional controlled stochastic process defined by a set of stochastic differential equations is considered. Contrary to the most frequent formulation, the control variables appear only in the infinitesimal variances of the process, rather than in the infinitesimal means. The differential game ends the first time the two controlled processes are equal or their difference is equal to a given constant. Explicit solutions to particular problems are obtained by making use of the method of similarity solutions to solve the appropriate partial differential equation. On considère un processus stochastique commandé bidimensionnel défini par un ensemble d'équations différentielles stochastiques. Contrairement à la formulation la plus fréquente, les variables de commande apparaissent dans les variances infinitésimales du processus, plutôt que dans les moyennes infinitésimales. Le jeu différentiel prend fin lorsque les deux processus sont égaux ou que leur différence est égale à une constante donnée. Des solutions explicites à des problèmes particuliers sont obtenues en utilisant la méthode des similitudes pour résoudre l'équation aux dérivées partielles appropriée.

International audience In the context of Nonstandard Analysis, we study stochastic difference equations with infinitesimal time-steps. In particular we give a necessary and sufficient condition for a solution to be nearly-equivalent to a recombining stochastic process. The characterization is based upon a partial differential equation involving the trend and the conditional variance of the original process. An analogy with Ito’s Lemma is pointed out. As an application we obtain a method for approximation of expectations, in terms of two ordinary differential equations, also involving the trend and the conditional variance of the original process, and of Gaussian integrals. Dans le contexte de l’Analyse Nonstandard, nous étudions des équations différentielles stochastiques avec des pas infiniment petits. En particulier, nous formulons une condition nécessaire et suffisante pourqu’une solution soit presque-équivalente à un processus stochastique recombinant. La caractérisation est donnée par une équation aux dérivées partielles de la tendance et de la variance conditionnelle du processus de départ. Nous indiquons une analogie avec le Lemme d’Ito. Nous appliquons cette caractérisation au problème de la détermination d’espérances pour le processus de départ. En fait, on obtient une approximation infinitésimale en resolvant deux équations différentielles ordinaires, également de la tendance et de la variance conditionnelle de ce processus, et en calculant une intégrale de Gauss.

Les travaux exposés dans cette thèse traitent de l'homogénéisation d'équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques, avec une non linéarité fortement oscillante. Dans le premier chapitre de ce travail nous exposons les résultats obtenus au cours de cette thèse, lesquels sont détaillés dans les deux chapitres suivants. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques aléatoires sous forme divergence dans le cas d'un grand potentiel et avec des coefficients rapidement oscillants en temps aussi bien qu'en espace. On suppose que le milieu possède une structure microscopique périodique alors que la dynamique temporelle est markovienne. Nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques, stationnaires avec des coefficients rapidement oscillants dans le cas d'un grand potentiel. Sous l'hypothèse que les coefficients sont périodiques en espace, aléatoires, stationnaires en temps et qu'ils possèdent certaines propriétés de mélange, nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi
This thesis is devoted to some problems connected to the theory of homogenization of random parabolic operators with large potential. It is assumed that the said operators have a periodic spatial microstructure whose characteristics are rapidly oscillating stationary random process in time. Two different cases of non diffusive scaling are addressed. Namely, the case when the oscillation in time is faster than that in spatial variables and the opposite case when the time oscillation is slower than that the spatial one. It is shown that in the former case, under certain mixing conditions,the corresponding Cauchy problem admits homogenization and its solution converges in probability to a solution of a deterministic semilinear operator. In the latter case the limit equation is a stochastic partial differential equation. Here a solution of the original Cauchy problem converges in law in the energy functional space, while con vergence in probability does not takes place. The thesis consists of an introduction and three different parts. In the introduction we give an elementary presentation of the basic ideas in the homogenization theory. The first chapter, deals with the results contained in this thesis. In the second chapter the operators with Markov driving processes are considered. In the second part the operators with non Markov coefficients are investigated

Cette thèse porte sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans un cadre continu, en particulier ceux avec un potentiel de bruit blanc gaussien. La définition de ces opérateurs différentiels est généralement non triviale et nécessite la renormalisation dans les dimensions d ≥ 2. Nous présentons d’abord un cadre général pour traduire le problème de construction de l’opérateur en EDP stochastiques. Cette approche nous permet de définir l’opérateur en question, d’établir son auto-adjonction et d’étudier son spectre.Par la suite, nous passons à l’étude de l’Hamiltonien d’Anderson continu dans deux configurations spatiales distinctes :d’abord dans une boîte bornée de longueur latérale L avec une condition de bord de Dirichlet nulle pour les dimensionsd ≤ 3, et ensuite dans l’espace Euclidien Rd, pour d ∈ {2, 3}. Dans le premier cas, l’opérateur admet des valeurs propres λn,L, pour lesquelles nous identifions l’asymptotique presque sûre lorsque L → ∞. Cet asymptotique est conforme aux résultats antérieurs dans la littérature pour les dimensions 1 et 2, tandis que notre résultat en dimension 3 est nouveau. Dans le second cas, nous proposons une nouvelle technique de construction en utilisant la théorie des solutions de l’équation parabolique associée, ce qui permet de prouver l’auto-adjonction et de montrer que le spectre est presque sûrement égal à R. Cette approche confirme le résultat récemment établi en dimension 2 dans la littérature, cependant notre construction semble plus élémentaire ; pour la dimension 3, notre résultat est nouveau.Enfin, nous présentons un projet en cours qui aborde le cas où un champ magnétique uniforme est appliqué au système : cela conduit à l’étude de l’Hamiltonien de Landau perturbé par le potentiel de bruit blanc. Notre objectif est de définir l’opérateur dans l’espace R² sans recourir à une théorie de renormalisation sophistiquée. Cependant, la non-bornitude du bruit blanc sur R²pose des défis techniques supplémentaires. Pour surmonter cela, l’utilisation du théorème de Faris-Lavine est discutée
This thesis studies the random Schrödinger operators in continuous setting, particularly those with Gaussian white noise potential. The definition of such differential operators is generally non-trivial and necessitates renormalization in dimensions d ≥ 2. We first present a general framework to translate the problem of operator construction into stochastic PDEs. This approach enables us to define the operator at stake and establishes its self-adjointness, as well as to investigate its spectrum.Subsequently, we proceed to study the continuous Anderson Hamiltonian under two distinct spatial settings: first on a bounded box with side length L with zero Dirichlet boundary condition for dimensions d ≤ 3, and second on the full Euclidean space Rd, for d ∈ {2, 3}. In the former case, the operator admits eigenvalues λn,L, for which we identify the almost sure asymptotic as L → ∞. This asymptotic aligns with previous findings in the literature for dimension 1 and 2, while our result in dimension 3 is new. In the latter case, we propose a new construction technique employing the solution theory to the associated parabolic equation which allows to prove self-adjointness and show that the spectrum equals to R almost surely. This approach reconfirms the recently established result in dimension 2, but our construction seems to be more elementary; for dimension 3, our result is new.Lastly, we present an ongoing project addressing the case where a uniform magnetic field is applied to the system : this leads to the study of Landau Hamiltonian perturbed by the white noise potential. Our objective is to define the operator on full space R² without resorting to sophisticated renormalization theory. However, the unboundedness of white noise on R² poses additional technical challenges. To overcome this, the usage of Faris-Lavine theorem is discussed

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'application du calcul fractionnaire en analyse stochastique. Dans la première partie, on donne une extension de la définition de l'opérateur différentiel fractionnaire multidimensionnel de Riesz-Feller. Cet opérateur généralise certains opérateurs fractionnaires et certains opérateurs pseudodifférentiels connus. Des équations fractionnaires de type Fokker-Plank sont étudiées selon l'approche probabiliste et l'approche quasi probabiliste. En particulier, les solutions sont représentées via des processus de Lévy stables et des fonctions généralisant de la fonction d'Airy. Dans la deuxième partie, on étudie des équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnaires unidimensionnelles perturbées par un bruit blanc en temps et en espace. On démontre l'existence et l'unicité des solutions champs et des solutions L2 sous différentes conditions de Lipschtz. Les exposants de Hölder spatial et temporel des solutions champs sont obtenus. De plus, on démontre l'équivalence entre différentes définitions de solutions L2. En particulier, on applique la transformée de Fourier pour donner un sens à certaines équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnaires
This thesis treats application of fractional calculus in stochastic analysis. In the first part, the definition of the the multidimensional Riesz-Feller fractional differential operator is extended to higher order. The operator obtained generalizes several known fractional differential and pseudodifferential operators. High order fractional Fokker-Plank equations are studied in both the probabilistic and the quasiprobabilistic approaches. In particular, the solutions are represented via stable Lévy processes and generalization of Airy's function. In the second part, onedimensional stochastic fractional partial differential equations perturbed by space-time white noise are considered. The existence and the uniqueness of field solutions and of L2solutions are proved under different Lipschtz conditions. Spatial and temporal Hölder exponents of the field solutions are obtained. Further, equivalence between several definitions of L2solutions is proven. In particular, Fourier transform is used to give meaning to some stochastic fractional partial differential equations

Cette thèse traite des Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques Quasilinéaires. Elle est divisée en deux parties. La première partie concerne le problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires et la deuxième partie est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires dirigées par un G-mouvement brownien. Dans la première partie, on montre d’abord l’existence et l’unicité d’un problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires (en bref OSPDE). Notre méthode est basée sur des techniques analytiques venant de la théorie du potentiel parabolique. La solution est exprimée comme une paire (u,v) où u est un processus prévisible continu qui prend ses valeurs dans un espace de Sobolev et v est une mesure régulière aléatoire satisfaisant la condition de Skohorod. Ensuite, on établit un principe du maximum pour la solution locale des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires avec obstacle. La preuve est basée sur une version de la formule d’Itô et les estimations pour la partie positive d’une solution locale qui est négative sur le bord du domaine considéré. L’objectif de la deuxième partie est d’étudier l’existence et l’unicité de la solution des équations aux dérivées partielles stochastiques dirigées par G-mouvement brownien dans le cadre d’un espace muni d’une espérance sous-linéaire. On établit une formule d’Itô pour la solution et un théorème de comparaison
This thesis deals with quasilinear Stochastic Partial Differential Equations (in short SPDE). It is divided into two parts, the first part concerns the obstacle problem for quasilinear SPDE and the second part solves quasilinear SPDE driven by G-Brownian motion. In the first part we begin with the existence and uniqueness result for the obstacle problem of quasilinear stochastic partial differential equations (in short OSPDE). Our method is based on analytical technics coming from the parabolic potential theory. The solution is expressed as a pair (u, v) where u is a predictable continuous process which takes values in a proper Sobolev space and v is a random regular measure satisfying minimal Skohorod condition. Then we prove a maximum principle for a local solution of quasilinear stochastic partial differential equations with obstacle. The proofs are based on a version of Itô’s formula and estimates for the positive part of a local solution which is negative on the lateral boundary. The objective of the second part is to study the well-posedness of stochastic partial differential equations driven by G-Brownian motion in the framework of sublinear expectation spaces. One can also establish an Itô formula for the solution and a comparison theorem

Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier.

Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier
This thesis deals with the forward backward stochastic differential equations, in particular those with a coefficient of progressive diffusion which depends on all unknowns of the problem. We propose an original way to get onto this subject, letting us to reobtain some classical results of existence and uniqueness in the spirit of Pardoux-Tang and Yong's results, and to find a probabilistic representation of a new class of parabolic PDE, in which derivation coefficient of order 2 depends on the gradient of the solution. We also propose an iterative discretization scheme. We prove its convergence and give an evaluation of the error on a particular example

Ces travaux présentent des avancées théoriques pour l'application de l'approche EDPS (Équation aux Dérivées Partielles Stochastique) en Géostatistique. On considère dans cette approche récente que les données régionalisées proviennent de la réalisation d'un Champ Aléatoire satisfaisant une EDPS. Dans le cadre théorique des Champs Aléatoires Généralisés, l'influence d'une EDPS linéaire sur la structure de covariance de ses éventuelles solutions a été étudiée avec une grande généralité. Un critère d'existence et d'unicité des solutions stationnaires pour une classe assez large d'EDPSs linéaires a été obtenu, ainsi que des expressions pour les mesures spectrales associées. Ces résultats permettent de développer des modèles spatio-temporels présentant des propriétés non-triviales grâce à l'analyse d'équations d'évolution présentant un ordre de dérivation temporel fractionnaire. Des paramétrisations adaptées de ces modèles permettent de contrôler leur séparabilité et leur symétrie ainsi que leur régularité spatiale et temporelle séparément. Des résultats concernant des solutions stationnaires pour des EDPSs issues de la physique telles que l'équation de la Chaleur et l'équation d'Onde sont présentés. Puis, une méthode de simulation non-conditionnelle adaptée à ces modèles est étudiée. Cette méthode est basée sur le calcul d'une approximation de la Transformée de Fourier du champ, et elle peut être implémentée de façon efficace grâce à la Transformée de Fourier Rapide. La convergence de cette méthode a été montrée théoriquement dans un sens faible et dans un sens fort. Cette méthode est appliquée à la résolution numérique des EDPSs présentées dans ces travaux. Des illustrations de modèles présentant des propriétés non-triviales et reliés à des équations de la physique sont alors présentées
This dissertation presents theoretical advances in the application of the Stochastic Partial Differential Equation (SPDE) approach in Geostatistics. This recently developed approach consists in interpreting a regionalised data-set as a realisation of a Random Field satisfying a SPDE. Within the theoretical framework of Generalized Random Fields, the influence of a linear SPDE over the covariance structure of its potential solutions can be studied with a great generality. A criterion of existence and uniqueness of stationary solutions for a wide-class of linear SPDEs has been obtained, together with an expression for the related spectral measures. These results allow to develop spatio-temporal covariance models presenting non-trivial properties through the analysis of evolution equations presenting a fractional temporal derivative order. Suitable parametrizations of such models allow to control their separability, symmetry and separated space-time regularities. Results concerning stationary solutions for physically inspired SPDEs such as the Heat equation and the Wave equation are also presented. A method of non-conditional simulation adapted to these models is then studied. This method is based on the computation of an approximation of the Fourier Transform of the field, and it can be implemented efficiently thanks to the Fast Fourier Transform algorithm. The convergence of this method has been theoretically proven in suitable weak and strong senses. This method is applied to numerically solve the SPDEs studied in this work. Illustrations of models presenting non-trivial properties and related to physically driven equations are then given

Dans ce travail, nous présentons quelques exemples des effets du bruit sur la solution d'une équation aux dérivées partielles dans trois contextes différents. Nous examinons d'abord deux équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives, l'équation de Schrodinger non linéaire et l'équation de Korteweg - de | Vries. Nous analysons les effets d'une condition initiale aléatoire sur certaines solutions spéciales, les ! solitons. Le deuxième cas considéré est une équation aux dérive��es partielles linéaire, l'équation d'onde, avec conditions initiales aléatoires. Nous montrons qu'avec des conditions initiales aléatoires particulières c'est possible de réduire considérablement les coûts de stockage des données et de calcul d'un algorithme pour résoudre un problème inverse basé sur les mesures de la solution de cette équation au bord du domaine. Enfin, le troisième exemple considéré est celui de l'équation de transport linéaire avec un terme de dérive singulière. Nous allons montrer que l'ajout d'un terme de bruit multiplicatif interdit l'explosion | des solutions, et cela sous des hypothèses très faibles pour lesquelles dans le cas déterministe on peut avoir l'explosion de la solution à temps fini
In this work we present examples of the effects of noise on the solution of a partial differential equation in three different settings. We first consider random initial conditions for two nonlinear dispersive partial differential equations, the nonlinear Schrodinger equation and the Korteweg - de Vries equation, and analyze their effects on some special solutions, the soliton solutions. The second case considered is a linear PDE, the wave equation, with random initial conditions. We show that special random initial conditions allow to I substantially decrease the computational and data storage costs of an algorithm to solve the inverse problem based on the boundary measurements of the solution of this equation. Finally, the third example considered is that of the linear transport equation with a singular drift term, where we will show that the addition of a multiplicative noise term forbids the blow up of solutions, under very weak hypothesis for which we have finite-time blow up of solutions in the deterministic case

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section
This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options