Gotowa bibliografia na temat „Cartan, Élie (1869-1951) – Géométrie”

Mon travail de thèse consiste à comprendre une géométrie introduite par Cartan en 1933 \cite{Cartan1933}. \textit{La géométrie de Finsler} présente de nombreuses analogies avec cette théorie. Nous avons étudié les grandes lignes de cette géométrie. Le point de départ de Cartan qui est analogue à celui qui conduit à la géométrie finslerienne, est d'imaginer l'espace comme étant un lieu ''d'éléments de contact'', un élément étant la donnée d'un point $M\in\mathcal{M}^n$ et d'un hyperplan $H$ passant par ce point et orienté dans l'espace tangent $T_M\mathcal{M}^n$. Nous avons ainsi défini \textit{la géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire} dans un premier temps, je me suis intéressé à la notion d'orthogonalité dans cette géométrie. La méthode de Cartan pour étudier le problème d'équivalence est un outil puissant qui est implicitement décrit dans cette géométrie. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux équations de Monge-Ampère (cas elliptique), en s'inspirant des travaux de R. Bryant, D. Grossmann et P. Griffiths. Plusieurs faits ne sont pas encore suffisamment clairs pour disposer d'un dictionnaire évident entre ces travaux et celui donné par Cartan.

Si le couple local / global est d'usage constant depuis les années 1950 pour exposer de larges pans des mathématiques, les premiers exposés construits autour de ce couple datent du début du 20e siècle, et reprennent des résultats acquis depuis les années 1850. Dans la première partie, nous présentons les travaux de Riemann en Analyse complexe globale et en géométrie différentielle, leurs relectures par Neumann ou Klein, et certains travaux de Poincaré. Nous étudions, outre les résultats mathématiques, les grilles de lectures explicites chez ces auteurs et les modes pré-ensemblistes de référence au lieu. Dans la seconde partie, nous construisons deux types-idéaux, le « monde de la grandeur » et le « monde ensembliste » grâce auxquels nous proposons une périodisation du mouvement de l'Analyse au 19e siècle permettant de saisir les conditions d'émergence explicite du couple local / global. La troisième partie étudie cette émergence explicite, entre 1898 et 1913, chez trois auteurs : W. F. Osgood, Hadamard, Weyl. Trois niveaux sont distingués : niveau meta, niveau thématique, niveau structural. La quatrième partie est consacrée au passage au global en géométrie différentielle et en théorie des groupes de Lie, et procède par étude croisée des travaux de Hermann Weyl et Elie Cartan dans les années 1920. La cinquième partie est consacrée au travail de mise au point, entre 1930 et 1950, de structures permettant de formuler et de traiter les problèmes de passage du local au global. Sont successivement étudiées les structures de variété différentiable, de variété fibrée et de faisceau
Since the 1950's, the distinction between "local" and "global" has been used constantly when expounding various fields of mathematics. However, the first writings to make use of the opposition of local and global notions in a systematic way already appeared in the first years of the 20th century and expounded mathematical theories which had emerged as long ago as the 1850's. In the first part of this text, we present Riemann's work in global complex Analysis and in differential geometry, discuss its reading by Neumann and Klein, and study some of Poincaré's works. Besides specific mathematical results, we focus on the descriptive framework employed by these authors and their pre-set-theoretic manner of referring to loci. In the second part, we identify and explore two distinct frameworks, the "world of quantity" and the "world of sets" ; it allows us to characterise different periods in the evolution of Analysis in the 19th century, and to describe the conditions for the explicit emergence of the distinction between local and global notions. The third part is devoted to this explicit emergence, between 1898 and 1913, in the works of W. F. Osgood, Hadamard and Weyl. We distinguish between three levels on which the distinction emerged : the meta-Ievel, thematic level and structural level. The fourth part deals with the rise of global problems in differential geometry and in the theory of Lie groups, through a study of the deeply interconnected work of Weyl and Elie Cartan in the 1920's Lastly we study the emergence and elaboration of structures designed to express and address specifically global problems : differentiable manifolds, fibre spaces and sheaves

In order to develop an active nonlinear beam model, the beam’s kinematics is examined by employing the kinematic assumption of a rigid cross section during deformation. As a mathematical tool, the moving frame method, developed by Élie Cartan (1869–1951) on differentiable manifolds, is utilized by treating a beam as a frame bundle on a deforming centroidal curve. As a result, three new integrability conditions are obtained, which play critical roles in the derivation of beam equations of motion. They also serve a role in a geometrically-exact finite-element implementation of beam models. These integrability conditions enable the derivation of beam models starting from the three-dimensional Hamilton’s principle and the d’Alembert principle of virtual work. Finally, the reconstruction scheme for rotation matrices for given angular velocity at each time is presented.