Rozprawy doktorskie: „Algèbres de Hopf bidendriformes”

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Mlodecki, Hugo. "Décompositions des mots tassés et auto-dualité de l'algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots". Electronic Thesis or Diss., université Paris-Saclay, 2022. http://www.theses.fr/2022UPASG088.

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Ce travail est fondé sur la théorie des bigèbres bidendriformes, développée par Foissy, qui sont des algèbres de Hopf particulières où le produit et le coproduit peuvent être scindés en deux. Son théorème principal est: Une bigèbre bidendriforme est générée librement par ``l'espace des éléments totalement primitifs'' en tant qu'algèbre dendriforme. Une conséquence est l'auto-dualité des bigèbres bidendriformes.Parmi les nombreuses algèbres de Hopf, Hivert a défini l'algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots, notée WQSym. En prouvant que WQSym est une bigèbre bidendriforme, Novelli-Thibon résolvent la conjecture de Duchamp-Hivert-Thibon sur l'auto-dualité de WQSym. Cependant, comme aucune construction générale de l'ensemble des totalement primitifs n'est formulée, nous n'avons pas d'auto-morphisme explicite pour le passage de la primale à la duale.La question centrale de cette thèse est donc de construire un isomorphisme bidendriforme entre WQSym et sa duale. Cette construction passe par la décomposition des mots tassés à l'aide de deux nouvelles opérations que nous avons définies. En outre, pour illustrer ces décompositions, nous avons créé une nouvelle famille d'objets combinatoires: les forêts d'arbres biplans. Certains sous-ensembles de mots tassés ne peuvent être décomposés par ces opérations. Nous avons prouvé que leurs séries génératrices sont égales aux dimensions de l'espace des éléments totalement primitifs. L'intérêt des forêts biplanes est de faire apparaître visuellement les sous-ensembles de mots tassés indécomposables.Ces forêts biplanes sont donc la forme idéale pour indexer des nouvelles bases, que nous avons créées, de l'algèbre WQSym et sa duale. En effet, il est aisé d'en extraire un sous-ensemble qui définit deux bases des espaces totalement primitifs de WQSym et sa duale. Enfin, des arbres biplans bicolores permettent d'obtenir un isomorphisme bidendriforme par un simple échange de couleurs, ce qui répond à notre question initiale et constitue le résultat principal de cette thèse.Après l'obtention de ce résultat, nous nous intéressons aux relations entre les opérations évoquées. Nous remarquons alors fortuitement que ces opérations vérifient des relations semblables à des opérades bien connues (dupliciale déformée, L-algèbre, bigraft) mais qui sont a priori sans lien avec l'opérade dendriforme. Nous prouvons que l'ensemble des mots tassés munis de ces opérations décrit une algèbre sur ces opérades et en donnons des sous-ensembles de générateurs.L'algèbre PQSym, indexée par les fonctions de parking, est très similaire à WQSym, mais aussi plus complexe et serait un premier pas vers la généralisation de notre résultat principal. La question de généraliser ce résultat aux fonctions de parking relève à la fois de la combinatoire et de l'algèbre. Nous présentons ce qui est sans doute le premier ingrédient de cette généralisation. Il s'agit du calcul d'un changement de base où le produit de mélange des valeurs est sans chevauchement.Nous terminons cette thèse par une partie expliquant notre démarche expérimentale de recherche utilisant SageMath. Nous décrivons les tutoriels que nous avons conçus sous la forme de notebooks et mis en ligne à disposition des autres chercheurs. Nous y présentons le code qui permet de vérifier tous nos résultats sur des exemples calculés par des algorithmes
This work is founded on the theory of bidendriform bialgebras, developped by Foissy, which are particular Hopf algebras where the product and the coproduct can be split into two parts. His main theorem is: A bidendriform bialgebra is freely generated by ``the space of totally primitive elements'' as a dendriform algebra. A consequence of this is the self-duality of bidendriform bialgebras.Among the many Hopf algebras, Hivert defined the algebra of word quasi-symmetric functions, denoted WQSym. By proving that WQSym is a bidendriform bialgebra, Novelli-Thibon solved the Duchamp-Hivert-Thibon conjecture on the self-duality of WQSym. However, since no general construction of the set of totally primitive was formulated, we do not have an explicit isomorphism between the primal and the dual.The central question of this thesis is the construction of a bidendriform isomorphism between WQSym and its dual. This construction goes through a decomposition of packed words using two new operations that we havedefined. Furthermore, to illustrate these decompositions, we have created a new family of combinatorial objects: forests of biplane trees. Some subsets of packed words cannot be decomposed by these operations. We proved that their generating series are equal to the dimensions of the space of the totally primitive elements. The interest of biplane forests is to visually reveal the subsets of indecomposable packed words.These biplane forests are therefore the ideal form for indexing the new bases, that we have created, of the algebra WQSym and its dual. In fact, it is easy to extract from them a subset which defines two bases of totally primitives spaces of WQSym and its dual. Finally, bicolored biplane trees allow us to obtain a bidendriform isomorphism by a simple exchange of colors, which answers our initial question and constitutes the main result of this thesis.After obtaining this result, we study the relationships between the aforementioned operations. We then remark fortuitously that these operations verify relations similar to well-known operads (skew-duplicial, L-algebra,bigraft) but which are unrelated to the dendriform operad. We prove that the set of packed words endowed with these operations describes an algebra over these operads and give subsets of generators.The PQSym algebra, indexed by parking functions, is very similar to WQSym, but also more complex and would be a first step towards a generalization of our main result. The question of generalizing this result to parking functions is both combinatorics and algebra. We present what is undoubtedly the first ingredient of this generalization. This is the calculation of a change of bases where the shuffle product on values is not overlapped.We end this thesis with a part explaining our experimental approach of research using SageMath. We describe the tutorials that we have designed in the form of notebooks and made available online for other researchers. We present the code that allows to check all our results on examples calculated by algorithms

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Maurice, Rémi. "Algèbres de Hopf combinatoires". Thesis, Paris Est, 2013. http://www.theses.fr/2013PEST1196/document.

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Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique. Autrement dit, l'idée est d'utiliser des structures algébriques, en l'occurence des algèbres de Hopf combinatoires, pour mieux étudier et comprendre les objets combinatoires ainsi que des algorithmes de composition et de décomposition agissant sur ces objets. Ce travail de recherche repose sur la construction et l'étude de structure algébrique sur des objets combinatoires généralisant les permutations. Après avoir rappelé le contexte et les notations des différents objets intervenant dans cette recherche, nous proposons dans la seconde partie l'étude de l'algèbre de Hopf introduite par Aguiar et Orellana indexée par les permutations de blocs uniformes. En se focalisant sur une description de ces objets via d'autres bien connus, les permutations et les partitions d'ensembles, nous proposons une réalisation polynomiale et une étude plus simple de cette algèbre. La troisième partie étudie une deuxième généralisation en interprétant les permutations comme des matrices. Nous définissons et étudions alors des familles de matrices carrées sur lesquelles nous définissons des algorithmes de composition et de décomposition. La quatrième partie traite des matrices à signes alternants. Après avoir définie l'algèbre de Hopf sur ces matrices, nous étudions des statistiques et le comportement de la structure algébrique vis-à-vis de ces statistiques. Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et fait l'objet d'une implémentation utilisant le logiciel Sage. Ce dernier chapitre est consacré à la découverte et la manipulation de structures algébriques sur Sage. Nous terminons en expliquant les améliorations apportées pour l'étude de structure algébrique au travers du logiciel Sage
This thesis is in the field of algebraic combinatorics. In other words, the idea is to use algebraic structures, in this case of combinatorial Hopf algebras, to better study and understand the combinatorial objects and algorithms for composition and decomposition about these objects. This research is based on the construction and study of algebraic structure of combinatorial objects generalizing permutations. After recalling the background and notations of various objects involved in this research, we propose, in the second part, the study of the Hopf algebra introduced by Aguiar and Orellana based on uniform block permutations. By focusing on a description of these objects via well-known objects, permutations and set partitions, we propose a polynomial realization and an easier study of this algebra. The third section considers a second generalization interpreting permutations as matrices. We define and then study the families of square matrices on which we define algorithms for composition and decomposition. The fourth part deals with alternating sign matrices. Having defined the Hopf algebra of these matrices, we study the statistics and the behavior of the algebraic structure with these statistics. All these chapters rely heavily on computer exploration, and is the subject of an implementation using Sage software. This last chapter is dedicated to the discovery and manipulation of algebraic structures on Sage. We conclude by explaining the improvements to the study of algebraic structure through the Sage software

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TAILLEFER, Rachel. "Théories homologiques des algèbres de Hopf". Phd thesis, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001150.

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Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.
Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.

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Taillefer, Rachel. "Théories homologiques des algèbres de Hopf". Montpellier 2, 2001. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001150.

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Ameur, Mustapha. "Sur quelques propriétés des algèbres de Hopf". Metz, 1996. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1996/Ameur.Mustapha.SMZ9623.pdf.

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Dans cette thèse, on étudié quelques propriétés des algèbres de Hopf et de leurs modules. Dans un premier temps on expose les travaux de Radford, de Nichols et Zoeller sur la liberté des algèbres de Hopf en tant que modules sur leurs sous-algèbres de Hopf, grâce à quoi on montre qu'une algèbre de Hopf graduée connexe est libre sur ses sous-algèbres de Hopf. On montre ensuite que si une algèbre de Hopf graduée connexe sur un corps commutatif de caractéristique nulle, ou tout élément homogène de degré strictement positif est nilpotent, alors elle est commutative et cocommutative, par suite elle est l'algèbre extérieure sur ses éléments primitifs, ce qui généralise un résultat de Hopf sans l'hypothèse de commutativite en dimension finie. En fin, on généralise des résultats de j. Bergen, en donnant des conditions impliquants que les espaces d'invariants associes a des sous-algèbres de Hopf différentes sont distincts
In this work, we study somes properties of Hopf algebras and of their modules. First we expose the works of Radford, Nichols and Zoeller on the freeness of Hopf algebras, and we show that a connected graded Hopf algebra is free over its Hopf subalgebras. Second we show that if a graded connected Hopf algebra over a commutative field of characteristic 0, where all homogenous elements of strictly positive degree are nilpotents, then it's commutative and cocommutative, hence it's the exterior algebra over the primitive elemnts, which generalise a result of Hopf without commutativity in finite dimension. In the end, we generalise the results of J Bergen, we give conditions implying that the spaces of invariants associated to a differents Hopf subalgebras are distincts

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Saïdi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie". Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2011. http://www.theses.fr/2011CLF22208/document.

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Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadre
We investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework

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Belhaj, Mohamed Mohamed. "Renormalisation dans les algèbres de HOPF graduées connexes". Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2014. http://www.theses.fr/2014CLF22515/document.

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Dans cette thèse, nous nous intéressons à la renormalisation de Connes et Kreimer dans le contexe des algèbres de Hopf de graphes de Feynman spécifiés. Nous construisons une structure d'algèbre de Hopf $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ sur l'espace des graphes de Feynman spécifié d'une théorie quantique des champs $\mathcal{T}$. Nous définissons encore un dédoublement $\wt\mathcal{D}_\mathcal{T}$ de la bigèbre de graphes de Feynman spécifiés, un produit de convolution \divideontimes et un groupe de caractères de cette algèbre de Hopf à valeurs dans une algèbre commutative qui prend en compte la dépendance en les moments extérieurs. Nous mettons en place alors la renormalisation décrite par A. Connes et D. Kreimer et la décomposition de Birkhoff pour deux schémas de renormalisation : le schéma minimal de renormalisation et le schéma de développement de Taylor. Nous rappelons la définition des intégrales de Feynman associées à un graphe. Nous montrons que ces intégrales sont holomorphes en une variable complexe D dans le cas des fonctions de Schwartz, et qu'elles s'étendent en une fonction méromorphe dans le cas des fonctions de types Feynman. Nous pouvons alors déterminer les parties finies de ces intégrales en utilisant l'algorithme BPHZ après avoir appliqué la procédure de régularisation dimensionnelle
In this thesis, we study the renormalization of Connes-Kreimer in the contex of specified Feynman graphs Hopf algebra. We construct a Hopf algebra structure $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ on the space of specified Feynman graphs of a quantum field theory $\mathcal{T}$. We define also a doubling procedure for the bialgebra of specified Feynman graphs, a convolution product and a group of characters of this Hopf algebra with values in some suitable commutative algebra taking momenta into account. We then implement the renormalization described by A. Connes and D. Kreimer and the Birkhoff decomposition for two renormalization schemes: the minimal subtraction scheme and the Taylor expansion scheme.We recall the definition of Feynman integrals associated with a graph. We prove that these integrals are holomorphic in a complex variable D in the case oh Schwartz functions, and that they extend in a meromorphic functions in the case of a Feynman type functions. Finally, we determine the finite parts of Feynman integrals using the BPHZ algorithm after dimensional regularization procedure

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Saidi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie". Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00720201.

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Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.

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Foissy, Loïc. "Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés". Reims, 2002. http://www.theses.fr/2002REIMS010.

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Connes et Kreimer ont introduit une algèbre de Hopf des arbres enracinés (éventuellement décorés) Hr dans le but d'étudier la Renormalisation. Nous introduisons ici une algèbre de Hopf des arbres enracinés plans décorés Hpr, généralisant la construction de Hr. Cette algèbre de Hopf vérifie une propriété universelle en cohomologie de Hochschild. Nous montrons que cette algèbre est auto-duale. Cette propriété entraîne l'existence d'un couplage de Hopf entre Hpr et elle-même ; en conséquence, la base duale de la base des forêts permet de décrire l'espace des primitifs de Hpr, puis de trouver les primitifs de Hr par passage au quotient, ce qui répond à une question de Kreimer. Nous étudions de plus les Hr- et les Hpr-comodules de dimension finie et nous établissons le lien entre Hpr et d'autres algèbres de Hopf d'arbres telles que les algèbres de Brouder et Frabetti, de Loday et Ronco, de Grossman et Larson, ou la quantification de Hpr de Moerdijk et van der Laan
Connes and Kreimer have introduced a Hopf algebra of (decorated) rooted trees Hr, in order to study Renormalization. We introduce here a Hopf algebra of planar decorated rooted trees Hpr, which construction generalizes the construction of Hr. This Hopf algebra satisfies a universal property in Hochschild cohomology. We show that it is self-dual. This property induces the existence of non-degenerate Hopf pairing between Hpr and itself. As a consequence, the dual basis of the basis of forests allows to find a basis of the space of the primitive elements of Hpr, and then to find all primitive elements of Hr, answering a question of Kreimer. Moreover, we study the Hr- and Hpr-comodules of finite dimension, and we establish the link between Hpr and several other Hopf algebras of trees, such as the Hopf algebras of Brouder and Frabetti, of Loday and Ronco, of Grossman and Larson, or the quantization of Hpr of Moerdijk and van der Laan

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EL, ALAOUI ABDELHAFID. "Tables de caractères pour les algèbres de Hopf". Paris 6, 2001. http://www.theses.fr/2001PA066297.

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L'etude des algebres de hopf offre a la theorie des groupes son cadre naturel et l'etude abstraite permet de retrouver et d'approfondir, celle-ci. On rencontre ainsi, de facon naturelle de nombreux resultats dans la theorie des groupes qui se generalisent aux algebres de hopf. On peut donc developper toute une theorie unifiee, montrant ainsi le parallelisme des enonces dans ces deux theories qui est tout a fait remarquable, mais les methodes de demonstration sont en general differentes, et beaucoup plus delicates pour les algebres de hopf. De meme ce lien etroit entre la theorie des algebres de hopf et les groupes nous permet d'avoir des solutions de problemes dans les groupes, en eloignant ces derniers de leur aspect combinatoire et en expliquant maintes proprietes qui paraissent fortuites ; et ceci, grace a la structure duale. Ces invariants numeriques qu'on appelle table de caracteres, peuvent etre interpretes comme une matrice de passages entre les idempotents orthogonaux minimaux du centre de kg et la base b = g,c j gj du centre de kg, avec les c j designant les classes de conjugaison de g. Cependant dans le cas d'une algebre de hopf semi-simple cette interpretation parait moins precise car la notion des classes de conjugaison n'apparait pas d'une facon naturelle, ainsi pour esquisser cette difficulte, a. Joseph a suggere une definition elegante, utilisant la theorie des representations et plus precisemment les d(h)-modules ou d(h) designe le double de drinfeld de h. Ainsi, on pourra definir la table de caracteres, par la connaissance des d(h)-modules simples de h, plus precisemment en utilisant les actions de d(h) sur h.

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Virelizier, Alexis. "Algèbres de Hopf graduées et fibrés plats sur les 3-variétés". Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008), 2001. http://www.theses.fr/2001STR13181.

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Hoàng, Nghia Nguyên. "Combinatoire des algèbres de Hopf basées sur le principe sélection/quotient". Thesis, Paris 13, 2014. http://www.theses.fr/2014PA132009/document.

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Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l’étude des algèbres de Hopf de type I, à savoir de type sélection/quotient. Nous présentons une structure d’algèbre de Hopf sur l’espace vectoriel engendré par les mots tassés avec du coproduit sélection/quotient. C’est un algèbre libre sur ses mots irreductible. Nous montrons que la série de Hilbert de cette algèbre de Hopf. Nous donnons une nouvelle preuve de l’universalité du polynôme de Tutte pour les matroïdes.Cette preuve utilise des caractères appropriés de l’algèbre de Hopf des matroïdes introduite par Schmitt (1994). Nous montrons que ces caractères sont des solutions des équations différentielles du même type que les équations différentielles utilisées pour décrire le flux du groupe de renormalisation en théorie quantique de champs. Cette approche nous permet aussi de démontrer,d’une manière différente, une formule de convolution du polynôme de Tutte des matroïdes,formule publiée par Kook, Reiner et Stanton (1999) et par Etienne et Las Vergnas (1998). Dans la dernière partie, nous définissons une algèbre de Hopf non-commutative de graphes. Lanon-commutativité du produit est obtenue grâce à des étiquettes entières distinctes associées aux arrêtes du graphe. Cette idée est inspirée de certaines techniques analytiques utilisées en renormalisation en théories quantiques des champs. Nous définissons ensuite une structure d’algèbre de Hopf, avec un coproduit basé sur une règle de type sélection/quotient, et nous démontrons la coassociativité de ce coproduit. Nous analysons finalement la structure de quadri-cogèbre et les structures codendriformes associées
In this thesis, we focus on the study of Hopf algebras of type I, namely the selection/quotient.We study the new Hopf algebra structure on the vector space spanned by packed words. Weshow that this algebra is free on its irreducible packed words. We also compute the Hilbertseries of this Hopf algebra.We provide a new way to obtain the universality of the Tutte polynomial for matroids. Thisproof uses appropriate characters of Hopf algebra of matroids, algebra introduced by Schmitt(1994). We show that these Hopf algebra characters are solutions of some differential equationswhich are of the same type as the differential equations used to describe the renormalizationgroup flow in quantum field theory. This approach allows us to also prove, in a different way, amatroid Tutte polynomial convolution formula published by Kook, Reiner and Stanton (1999)and by Etienne and Las Vergnas (1998).We define a non-commutative Hopf algebra of graphs. The non-commutativity of the productis obtained thanks to some discrete labels associated to the graph edges. This idea is inspiredfrom certain analytic techniques used in quantum field theory renormalization. We then definea Hopf algebra structure, with a coproduct based on a selection/quotient rule, and prove thecoassociativity of this coproduct. We analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifromstructures

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Joint, Marie-Emmanuelle. "Extensions d'algèbres de Hopf primitivement engendrées". Angers, 2004. http://www.theses.fr/2004ANGE0005.

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La notion d'algèbre de Hopf joue un grand rôle en mathématique et en physique. En topologie algébrique, la notion fondamentale d'espace de lacets, nous conduit à nous intéresser particulièrement aux algèbres de Hopf graduées connexes. Les travaux initialisés en 1965, par J. Milnor et J. Mooore, étendus par ceux de D. Anick et S. Halperin, ont mis en évidence l'intérêt de la notion d'algèbre de Hopf primitivement engendrée. Le théorème de structure démontré par Y. Félix, S. Halperin et J-C Thomas caractérise ces algèbres à l'aide d'une extension centrale d'algèbres de Hopf. Le sujet de cette thèse est la classification des extensions d'algèbres de Hopf primitivement engendrées. En particulier nous développons une technique de calculs des classes d'extension à l'aide d'une formule de Campbell-Haussdorf, et nous illustrons par quelques exemples de nature purement topologique les résultats algébriques que nous avons obtenus
The notion of Hopf algebra pla,ys an important part in mathematics and physics. In algebraic topology, the fundamental notion of loop space, leads us to graded connected Hopf agebras. The work begun in 1965 by J. ~Zilnor and J. Moore and extended bv those of D. Anick and S. Halperin, showed the interest of the notion of primitivelv ~Hopf algebra. The structure theorem proved by Y. Felix, S. Halperin and J-C. Thomas characterizes those algebras by mean central extension of Hopf algebras. The subject of this the5is is the classification of extensions of primitively generated Hopf algebras. In particular. We develop an explicit computation for the extension classes using the Campbell-Haussdorf formula. We illustrate with some purely naturally topological exemples the algebraic results that we have proved

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Nzeutchap, Janvier. "Correspondances de Schensted-Fomin algèbres de Hopf et graphes gradués en dualité". Rouen, 2008. http://www.theses.fr/2008ROUES046.

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On montre l'existence de graphes gradués en dualité dans des algèbres de Hopf combinatoires usuelles, et on établit un lien formel entre dualité d'algèbres de Hopf et dualité de graphes gradués. On redéfinit la correspondance de Young-Fibonacci due à Roby, la faisant coïncider naturellement avec l'approche Fomin par les diagrammes de croissance. On définit aussi un ordre partiel sur les tableaux de Young-Fibonacci. Cet ordre qui correspond à l'écrasement du permutohèdre sur les classes d'équivalence Fibonacci, permet d'interpréter les nombres de Kostka-Fibonacci, dans l'algèbre d'Okada associée au graphe de Young-Fibonacci. On interprète de même les nombres de Kostka usuels, à l'aide d'un ordre partiel sur les tableaux de Young. Enfin, motivé par un travail récent de Taskin, on s'intéresse à la construction d'un poset de tableaux de Yamanouchi, caractérisant les produits de tableaux de Young. On espère obtenir un algorithme efficace pour multiplier deux fonctions de Schur
We have identified many examples of combinatorial Hopf algebras in which graph duality arises, and we have described a canonical construction to obtain a dual graded graph from any pair of dual combinatorial Hopf algebras. We have redefined the Young-Fibonacci insertion algorithm of Roby, in such a way that it naturally coincides with Fomin's approach using growth diagrams. We have provided the set of Young-Fibonacci tableaux of size n with astructure of graded poset called tableauhedron. This poset gives a combinatorial interpretation of the Kostka-Fibonacci numbers in Okada's algebra associated to the Young-Fibonacci lattice. A similar result relates usual Kostka numbers with four partial orders on Young-tableaux. We are also interested in the study of a poset of Yamanouchi tableaux, arising from the product of Young tableaux. It would give rise to an algorithm for the product of Schur functions, and the computation of Littlewood-Richardson coefficients

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Vong, Vincent. "Combinatoire algébrique des permutations et de leurs généralisations". Thesis, Paris Est, 2014. http://www.theses.fr/2014PEST1185/document.

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Cette thèse se situe au carrefour de la combinatoire et de l'algèbre. Elle se consacre d'une part à traduire des problèmes algébriques en des problèmes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme algébrique pour traiter des questions combinatoires. Après un rappel des notions classiques de combinatoire et d'algèbres de Hopfavec quelques applications, nous abordons l'étude de certaines statistiques définies sur les permutations : les pics, les vallées, les doubles montées et les doubles descentes, qui sont à la base de la bijection de Françon-Viennot, elle-même débouchant sur une étude combinatoire des polynômes orthogonaux. Nous montrons qu'à partir de ces statistiques, il est possible de construire diverses sous-algèbres ou algèbres quotients de FQSym, une algèbre dont une base est indexée par les permutations. Puis, nous étudions deux suites classiques de combinatoire par une démarche non commutative : les polynômes de Gandhi, un raffinement polynomial des nombres de Genocchi, et les nombres d'Euler, une suite recelant de nombreuses propriétés combinatoires. Nous nous attachons à montrer que l'approche non commutative permet, dans la majeure partie des cas, d'obtenir de manière directe des interprétations d'identités combinatoires. Enfin, inversement, certaines questions de nature algébrique peuvent être abordées d'un point de vue combinatoire. Ainsi, à travers l'étude des algèbres dendriformes, des algèbres tridendriformes, et des quadrialgèbres, nous prouvons des questions de liberté à propos de ces algèbres grâce à la combinatoire des arbres étiquetés
This thesis is at the crossroads between combinatorics and algebra. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, some combinatorial problems have an algebraic approach which enables us tosolve them. In the first part, some classical statistics on permutations are studied: the peaks, the valleys, the double rises, and the double descents. We show that we can build sub algebras and quotients of FQSym, an algebra which basis is indexed by permutations. Then, we study classical combinatorial sequences such as Gandhi polynomials, refinements of Genocchi numbers, and Euler numbers in a non commutative way. In particular, we see that combinatorial interpretations arise naturally from the non commutative approach. Finally, we solve some freeness problems about dendriform algebras, tridendriform algebras and quadrialgebras thanks to combinatorics of some labelled trees

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Bidegain, Frédéric. "Modèles de Groupes quantiques non compacts". Dijon, 1995. http://www.theses.fr/1995DIJOS028.

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Les modèles usuels de groupes quantiques sont construits à l'aide de représentations de dimension finie et de déformations d'algèbre enveloppante. Il a été prouvé que ces modèles pouvaient être interprétés comme des déformations de groupes compacts. Le but du travail présent est de montrer qu'il est possible de généraliser cette notion. Après avoir prouvé que toute déformation préférée d'algèbre enveloppante semi-simple pouvait s'étendre à une déformation de l'algèbre de Hopf des fonctions lisses sur un groupe de Lie semi-simple, localement compact et connexe, un exemple explicite est construit pour le groupe des matrices réelles d'ordre deux et de déterminant un.

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Menichi, Luc. "Sur l'algèbre de cohomologie d'une fibre". Lille 1, 1997. http://www.theses.fr/1997LIL10078.

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La cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans un corps est un invariant homotopique important en mathématiques. Sa structure d'espace vectoriel peut se calculer par de nombreux moyens. Par contre, sa structure d'algèbre est plus difficile à calculer. Souvent, un espace topologique intervient dans une fibration. Considérons une fibration p de fibre f. Une question fondamentale est de savoir quelles sont les données algébriques sur p, qui a la fois, déterminent et permettent de calculer l'algèbre de cohomologie de f. Felix, Halperin et thomas ont prouve que cette algèbre est déterminée par un morphisme d'algèbres de Hopf induit par p au niveau des complexes de chaînes singulières sur les espaces de lacets, grâce a la bar construction. Malheureusement, cela ne permet pas de calculer cette algèbre de cohomologie, car on ne peut pas passer aux modèles dans la catégorie des algèbres de Hopf. Par contre, dans la catégorie des algèbres de Hopf a homotopie près, introduite par Anick, il est possible de passer aux modèles. Nous généralisons la bar construction de Félix, halperin et thomas aux morphismes d'algèbres de hopf a homotopie près et établissons une condition de compatibilité des homotopies, pour que cette bar construction donne toujours l'algèbre de cohomologie de f. Cela nous permet de donner une methode pour calculer cette algèbre pour une fibration p obtenue par suspension. L'application la plus frappante est une généralisation a coefficients dans un corps de caractéristique différente de deux et dans le domaine d'Anick, d'un théorème classique de l'homotopie rationnelle affirmant que la fibre du modèle est un modèle de la fibre.

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Baumann, Pierre. "Quelques applications des r-matrices a la structure des algebres enveloppantes quantifiees". Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008), 1998. http://www.theses.fr/1998STR13014.

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L'ALGEBRE ENVELOPPANTE QUANTIFIEE U D'UNE ALGEBRE DE KAC-MOODY SYMETRISABLE G RESSEMBLE A L'ALGEBRE ENVELOPPANTE USUELLE DE G, MAIS EST MUNIE D'UNE STRUCTURE DE COGEBRE NON COMMUTATIVE. NOUS ETUDIONS ICI QUELQUES CONSTRUCTIONS LIEES A L'EXISTENCE D'UN ELEMENT, APPELE <<<>R-MATRICE UNIVERSELLE<>>>, DU CARRE TENSORIEL DE U, QUI CONJUGUE LE COPRODUIT DE U AVEC LE COPRODUIT OPPOSE. SI G EST DE DIMENSION FINIE, L'ALGEBRE A, DUALE DE HOPF DE U, EST UNE DEFORMATION DE L'ALGEBRE DES FONCTIONS REGULIERES SUR LE GROUPE ASSOCIE A G. EN UTILISANT LA R-MATRICE UNIVERSELLE, ON PEUT DEFINIR UNE APPLICATION I DE A DANS U, DONT NOUS MONTRONS L'INJECTIVITE. L'IMAGE DE I EST LA SOUS-ALGEBRE DES ELEMENTS FINIS SOUS L'ACTION ADJOINTE DE U, DECRITE ET ETUDIEE PAR JOSEPH ET LETZTER, ET L'UTILISATION DE I DONNE D'AUTRES PREUVES DE PLUSIEURS DE LEURS RESULTATS. GRACE A I, NOUS POUVONS AUSSI CLASSIFIER CERTAINS IDEAUX DE A, CE QUI CONDUIT AUX GEOMETRIES DIFFERENTIELLES SUR LE GROUPE QUANTIQUE. ENFIN, I APPLIQUE L'ALGEBRE DES <<<>FONCTIONS<>>> DE A INVARIANTES SOUS L'ACTION ADJOINTE SUR LE CENTRE DE U : DANS LE MEME ORDRE D'IDEES, NOUS PROUVONS UN ENONCE, DU A RESHETIKHIN, QUI DEFINIT DES GENERATEURS DU CENTRE DE U A PARTIR DE LA <<<>CONSTRUCTION F. R. T. <>>>. SI G EST L'EXTENSION AFFINE DE SL(N), LES PRODUITS TENSORIELS DE U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES DEPENDENT DE L'ORDRE DES FACTEURS. ON PEUT TOUTEFOIS CONSTRUIRE UN FONCTEUR DE TYPE SCHUR-WEYL : SON ETUDE NOUS PERMET DE MONTRER QUE L'ANNEAU DE GROTHENDIECK DE LA CATEGORIE DES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIE EST UN ANNEAU COMMUTATIF DE POLYNOMES, AINSI QU'UN THEOREME D'EXISTENCE POUR LES <<<>R-MATRICES TRIGONOMETRIQUES<>>>. SOIT ENFIN G = SL(N). LE Q-GROUPE DE WEYL AGIT SUR LES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES EN STABILISANT LE SOUS-ESPACE DE POIDS ZERO. POUR CERTAINS MODULES, CETTE ACTION SE FACTORISE PAR CELLE D'UNE ALGEBRE DE HECKE. NOUS PROUVONS CE FAIT PAR UNE COMPARAISON AVEC LA DUALITE DE SCHUR-WEYL QUANTIFIEE.

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Abdou, Damdji Ahmed Zahari. "Etude et Classification des algèbres Hom-associatives". Thesis, Mulhouse, 2017. http://www.theses.fr/2017MULH0158/document.

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La thèse comporte six chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les bases de la théorie et on étudie la structure des algèbres Hom-associatives ainsi que les différentes constructions comme la composition avec des endomorphismes qui nous permet de construire de nouveaux objets et d’établir certaines nouvelles propriétés. Parmi les résultats originaux, on peut signaler l’étude des algèbres Hom-associatives simples ainsi que leurs constructions. On a montré que toutes les algèbres Hom-associatives multiplicatives simples s’obtiennent par composition d’algèbres simples et d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, on commence par étudier les propriétés des changements de base dans ces structures algébriques. On a calculé la base de Gröbner de l’idéal engendrant la variété algébrique des algèbres Hom-associatives de dimension 2 où la multiplication µ et l’application linéaire α sont identifiées à leurs constantes de structure relativement à une base donnée. La classification, à isomorphisme près, des algèbres Hom-associatives unitaires et non unitaires est établie en dimension 2 et 3. On a aussi décrit les algèbres de type associatif en se basant sur le théorème de twist de Yau. Dans le troisième chapitre, on étudie certaines propriétés et invariants comme les dérivations, αk-dérivations où k est un entier positif. Dans le quatrième chapitre, on établit la cohomologie de ces algèbres. On a pu lister les algèbres rigides grâce à leur classe de cohomologie puis on s'est 'intéressé aux déformations infinitésimales et dégénérations. D’une part, la cohomologie et déformation de ces algèbres nous a permis d’identifier les algèbres rigides dont le deuxième groupe de cohomologie est nulle, et d’autre part de caractérisation de composante irréductible. Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse aux structures Rota-Baxter de poids λ ϵK de ces algèbres. Enfin, dans le dernier chapitre, on a travaillé sur les structures Hom-bialgèbres et leurs invariants
The purpose of this thesis is to study the structure of Hom-associative algebras and provide classifications. Among the results obtained in this thesis, we provide 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras and give a characterization of multiplicative simple Hom-associative algebras. Moreover we compute some invariants and discuss irreducible components of the corresponding algebraic varieties. The thesis is organized as follows. In the first chapter we give the basics about Hom-associative algebras and provide some new properties. Moreover, we discuss unital Hom-associative algebras. Chapter 2 deals with simple multiplicative Hom-associative algebras. We present one of the main results of this paper, that is a characterization of simple multiplicative Hom-associative algebras. Indeed, we show that they are all obtained by twistings of simple associative algebras. Chapter 3 is dedicated to describe algebraic varieties of Hom-associative algebras and provide classifications, up to isomorphism, of 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras. In chapter 4, we compute their derivations and twisted derivations, whereas in chapter 5, we compute their Hom-Type Hochschild cohomology. In the last section of this chapter, we consider the geometric classification problem using one-parameter formel deformations, and describe the irreducible components. In chapter 6, we compute Rota-Baxter structures of weight k of Hom-associative algebras appearing in our classification. In chapter 7, We work out Hom-bialgebras structures as well as their invariants. Properties and classifications, as well as the calculation of certain invariants such as the first and second cohomology groups, were studied

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Hofer, Laurent. "Aspects algébriques et quantification des surfaces minimales". Mulhouse, 2007. https://www.learning-center.uha.fr/opac/resource/aspects-algebriques-et-quantification-des-surfaces-minimales/BUS4011992.

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Cette thèse se compose de deux parties indépendantes. Tout d'abord, un problème de quantification d'une algèbre de Poission issue de la thèorie des cordes de Nambu-goto. L'étude de ce problème est ramené à la quantification d'une structure de quasi-bigèbre de Lie (dépendante d'un bivecteur symétrique) dans l'esprit des groupes quantiques de Drinfel'd. Puis, motivé par les surfaces minimales de Lawson dans la sphère de dimension trois, on cherche des descriptions discrètes et matricielles des surfaces de Riemann compactes
This thesis splits in two separate parts. First, a Poisson algebra quantization problem with comes from the string theory of Nambu-Goto. This problem can be realized as finding quantizations of a quasi-Lie bialgebra strcture (depending on a symmetric bivector) on the free Lie algebra. The framework in the therory of quantum groups of Drinfel'd, in which we deform universal envelopping algebras. Then, motivated by the minimal surfaces of Lawson in the sphere of dimension threee, we look for discrete descriptions and matrice representations of compact Riemann surfaces

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Chebib, Mouzher. "L.S-catégorie relative et invariant de Hopf". Thesis, Lille 1, 2009. http://www.theses.fr/2009LIL10027/document.

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Notre travail s’inscrit dans un domaine initié en 1934 par Lusternik et Schnirelmann qui associent a une variété un invariant appelé catégorie qui permet de minorer le nombre des points critiques d’une fonction différentiable sur cette variété. Nous nous intéressons à une généralisation au cas des applications continues entre espaces topologiques, auxquelles nous associons un invariant appelé sigma-i-catégorie. Nous obtenons plusieurs caractérisations de la sigma-i-catégorie d’une application. Nous examinons ensuite l’effet sur la sigma-i-catégorie d’un attachement d’une cellule à la source d’une application. Cette étude est faite au moyen d’un nouvel invariant, appelé invariant de Hopf relatif. Enfin nous examinons les relations entre les catégories de produit et de produit smash
Our work is registered in a field initiated in 1934 by Lusternik and Schnirelmann, which associate with a variety an invariant called category, which allows to undervalue the number of the critical points of a differentiable function on this variety. We are interested in a generalization in the case of the continuous applications between topological spaces in wich we associate an invariant called sigma-i-category. We obtain several characterizations of the sigma-i-category on an application We examine then the effect on the sigma-i-category of a cell attachment on an application source. This study is made with a new invariant, called invariant of relative Hopf. Finally we examine the relations between the categories of product and product smach

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Aubriot, Thomas. "Classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf". Phd thesis, Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00151368.

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Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par
$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie.

Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes.
\begin{itemize}
\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider.
\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près.
\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni
pointée.
\end{itemize}

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Gunnlaugsdóttir, Elísabet. "Structure monoïdale de la catégorie des uq+(sl2)-modules". Montpellier 2, 2001. http://www.theses.fr/2001MON20063.

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Rairat, Sylvain. "Sur l’action des coopérations homologiques sur l’homologie de Brown-Peterson de l’espace classiﬁant d’un p-groupe abélien élémentaire". Paris 13, 2011. http://www.theses.fr/2011PA132038.

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Soient p un nombre premier, n un entier, V un p-groupe abélien élémentaire de rang n et E un spectre en anneau commutatif muni d’une orientation complexe Landweber exact. Le but de ce travail est d’étudier la structure de comodule de la E-homologie de BV sur l’algébroïde de Hopf (E*;E*E). Pour cela, nous étudions les foncteurs de localisation sur les catégories de comodules, ainsi que la notion de produit semi-direct d’algébroïdes de Hopf. Dans le cas particulier où E est le spectre de Brown-Peterson BP, Johnson et Wilson ont déterminé une ﬁltration de la BP-homologie de (BZ/p)^n dans la catégorie des BP*-modules. Nous démontrons un résultat analogue dans la catégorie des BP*BP-comodules ; les quotients de cette ﬁltration dépendent de la p-série universelle. Aﬁn de mener des calculs explicites, nous introduisons un algébroïde de Hopf (S; S*) qui représente le groupoïde associé à l’action par conjugaison des séries formelles strictes sur l’ensemble des séries formelles
Let p be a prime, n an integer, V an elementary abelian p-group of rank n and E a commutative, complex-oriented Landweber exact ring spectrum. The goal of this work is to study the comodule structure of the E-homology of BV over the Hopf algebroid (E*;E*E). To do this, we study localisation fonctors on comodule categories and the semi-direct product of Hopf algebroids. In the case where E is the Brown-Peterson spectrum BP, Johnson and Wilson have exhibited a ﬁltration of the BP-homology of (BZ/p)^n in the category of BP*-modules. We prove an analogous result in the category of BP*BP-comodules ; the ﬁltration quotients depend on the universal p-series. In order to carry out explicit calculations, we introduce a Hopf algebroid (S; S*) which represents the groupoid associated to the action by conjugation of strict formal series on all formal series

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Zhang, Jiao. "Some aspects of cyclic homology and quantum quasi-shuffle algebras". Paris 7, 2010. http://www.theses.fr/2010PA077045.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de théorie de l'homologie cyclique dans trois sujets: homologie cyclique des algèbres de fort produit smash, homologie Hopf-cyclique de l'algèbre de Bichon, et cohomologie Hopf-cyclique graduée d'une algèbre de Hopf graduée '' naturelle". Ce travail est constitué de quatre chapitres. Chaque chapitre est pour un sujet. Dans Chapitre 1, nous définissons l'algèbre de fort produit smash SA\#J_R}BS de deux sous algèbres SAS et SBS avec un morphisme inversible SRS de SB\otimes AS vers SA\otimes BS. Ensuit, nous construisons un module cylindrique SA\natural BS, dont le module cyclique diagonal S\Delta_{\bullet}(A\natural B)S est démontré graphiquement être isomorphe à SC_{\bullet}(AW__{__R}B)S le module cyclique de l'algèbre SA\#J_R}BS. Une suite spectrale est établie à converger vers l'homoiogie cyclique de SA\#J_R}BS. Nous appliquons des théorèmes à produit de double croisés d'algèbres de Hopf de Majid. Dans Chapitre 2, on calcule l'homoiogie de Hochschild de l'algèbre de Bichon à coefficients dans le corps du sol. Et nous donnons quelques nouvelles identités sur les polynômes de Gauss. Avec ces SqS-identités, nous calculons l'homologie de Hopf-cyclique de l'algèbre de Bichon. Dans Chapitre 3, nous prouvons que la catégorie des algèbres différentielles graduées est équivalente comme catégorie tensorielle à la catégorie des algèbres de comodule graduée à gauche sur une certaine algèbre de Hopf graduée. Après calculer le cohomologie Hopf-cyclique de cette algèbre de Hopf graduée, on construit des cocycles cycliques de l'algèbre différentielle graduée qui a une trace gradué et fermée sous un homomorphisme caractéristique. Dans Chapitre 4, nous établissons des propriétés des algèbres de quasi-battage quantiques comprenant la condition nécessaire et suffisante pour la construction du produit quasi-battage quantique, la propriété universelle et la condition pour commutativité. Comme application, nous utilisons le produit quasi-battage quantique pour construire une base linéaire de ST(V)S, pour une algèbre de Yang- Baxter S(V, m, \sigma)S de type particulier
In this thesis, we study three topics on cyclic homology theory: cyclic homology of strong smash product algebras, Hopf-cyclic homology of Bichon's algebra, and a "natural" graded Hopf algebra and its graded Hopf-cyclic cohomology. Also we study a relatively independent topic: quantum quasi shuffle algebras. This work is divided into four chapters. Each topic is discussed in one chapter. In Chapter 1, we define the strong smash product algebra SA\#J_R}BS of two algebras SAS and SBS with an invertible morphism SRS mapping from SB\otimes AS to SA\otimes BS. Then we construct a cylindrical module SA\natural BS whose diagonal cyclic module S\Delta__{\bullet}(A\natural B)S is graphically proven to be isomorphic to SC_{\bullet}(A\#_{_R}B)S the cyclic module of the algebra. A spectral sequence is stablished to converge to the cyclic homology of SA\#_{_R}BS. We apply our theorems to Majid's double crossproduct of Hopf algebras. In Chapter 2, we calculate the Hochschild homology of Bichon's algebra with coefficients in the ground field. And we provide sortie new SqS-identities on Gaussian polynomial. Using these SqS-identities, we obtain the Hopf-cyclic homology of Bichon's algebra. In Chapter 3, we prove that the category of differential graded algebras is monoidally equivalent to the category of left graded comodule algebras over a certain graded Hopf algebra. After calculating the graded Hopf-cyclic cohomology of that graded Hopf algebra, we construct cyclic cocycles on any graded differential algebra with closed graded trace by means of a characteristic homomorphism. In Chapter 4, we establish some properties of quantum quasi-shuffle algebras. They include the necessary and sufficient condition for the construction of the quantum quasi-shuffle product, the universal property, and the commutativity condition. As an application, we use the quantum quasi-shuffle product to construct a linear basis of ST(V)S, for a special kind of Yang-Baxter algebras S(V,m,\sigma)S

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Bulgakova, Daria. "Some aspects of representation theory of walled Brauer algebras". Thesis, Aix-Marseille, 2020. http://www.theses.fr/2020AIXM0022.

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L'algèbre de Brauer murée est une algèbre unitaire associative. Il s’agit d’une algèbre de diagramme engendré par des diagrammes «murés» particuliers. Cette algèbre peut être définie par des générateurs et des relations. Dans le premier chapitre de la thèse, nous construisons la forme normale de l'algèbre de Brauer murée - un ensemble de monômes de base (mots) dans les générateurs. Nous introduisons une modification “ordonnée” du fameux lemme du diamant de Bergman, à savoir, nous présentons un ensemble de règles qui, étant appliquées dans un certain ordre, permet de réduire tout monôme dans les générateurs à un élément de la forme normale. Nous appliquons ensuite la forme normale pour calculer la fonction génératrice du nombre de mots avec une longueur minimale donnée.Une procédure de fusion donne une construction de la famille maximale d'idempotents orthogonaux minimaux par paire dans l'algèbre et, par conséquent, fournit un moyen de comprendre les bases dans les représentations irréductibles. Nous construisons la procédure de fusion pour l'algèbre de Brauer murée, à savoir, tous les idempotents primitifs est trouvé par les évaluations consécutives de fonction rationnelle en plusieurs variables.Dans le deuxième chapitre, nous étudions le produit tensoriel mixte des représentations fondamentales tridimensionnelles de l'algèbre de Hopf U_q sl(2|1). L'un des principaux résultats consiste à établir des formules explicites pour la décomposition des produits tensoriels de tout module de U_q sl(2|1) simple ou projectif avec les modules générateurs. Un autre résultat important consiste à décomposer le produit tensoriel mixte en un bimodule
The walled Brauer algebra is an associative unital algebra. It is a diagram algebra spanned by particular ‘walled’ diagrams with multiplication given by concatenation. This algebra can be defined in terms of generators, obeying certain relations. In the first part of the dissertation we construct the normal form of the walled Brauer algebra - a set of basis monomials (words) in generators. This set is constructed with the aid of the so-called Bergman’s diamond lemma: we present a set of rules which allows one to reduce any monomial in generators to an element from the normal form. We then apply the normal form to calculate the generating function for the numbers of words with a given minimal length.A fusion procedure gives a construction of the maximal family of pairwise orthogonal minimal idempotents in the algebra, and therefore, provides a way to understand bases in the irreducible representations. As a main result of the second part we construct the fusion procedure for the walled Brauer algebra and show that all primitive idempotents can be found by evaluating a rational function in several variables. In the third part we study the mixed tensor product of three-dimensional fundamental representations of the Hopf algebra U_q sl(2|1). One of the main results consists in the establishing of the explicit formulae for the decomposition of tensor products of any simple or any projective U_q sl(2|1)-module with the generating modules. Another important outcome consists in decomposing the mixed tensor product as a bimodule

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Enriquez, Benjamin. "Groupes quantiques : formes compactes, twistings, homologies et étude aux racines de l'unité". Palaiseau, Ecole polytechnique, 1992. http://www.theses.fr/1992EPXX0022.

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Ce travail étudie d'abord les twistings de Drinfel'd des algèbres enveloppantes ; avec N. Andruskiewitsch nous en donnons (première partie) des formes compactes ; pour d'autres cas je donne (deuxième partie) des formes rationnelles. Avec E. Dahl (troisième partie) nous définissons des quantifications d'espaces homogènes et calculons leurs homologies cyclique et de Hochschild. La quatrième partie étudie les algèbres de coordonnées des groupes quantiques aux racines p#n-iemes de l'unité (p premier) ; j'y établis leur intégrité, leur clôture intégrale et leur finitude comme modules sur leur centre. Enfin (cinquième partie) je calcule le centre de ces algèbres. Les deux dernières parties reposent sur la spécialisation en caractéristique p découverte par G. Lusztig, la classification de C. Chevalley des isogènies entre groupes semi-simples en caractéristique p, la théorie des corps gauches et un argument de normalité.

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Mammez, Cécile. "Deux exemples d'algèbres de Hopf d'extraction-contraction : mots tassés et diagrammes de dissection". Thesis, Littoral, 2017. http://www.theses.fr/2017DUNK0459/document.

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Ce manuscrit est consacré à l'étude de la combinatoire de deux algèbres de Hopf d'extraction-contraction. La première est l'algèbre de Hopf de mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa dont l'objectif était la construction d'un modèle de coproduit d'extraction-contraction pour les mots tassés. Nous expliquons certains sous-objets ou objets quotients ainsi que des applications vers d'autres algèbres de Hopf. Ainsi, nous considérons une algèbre de permutations dont le dual gradué possède un coproduit de déconcaténation par blocs et un produit de double battage décalé. Le double battage engendre la commutativité de l'algèbre qui est donc distincte de celle de Malvenuto et Reutenauer. Nous introduisons également une algèbre de Hopf engendrée par les mots tassés de la forme x₁...x₁. Elle est isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. Son dual gradé est donc isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques. Nous considérons également une algèbre de Hopf de compositions et donnons son interprétation en termes de coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Le deuxième objet d'étude est l'algèbre de Hopf de diagrammes de dissection HD introduite par Dupont en théorie des nombres. Nous cherchons des éléments de réponse concernant la nature de sa cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré 3 ne permet pas de conclure. Le cas du degré 5 permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de HD vaut - 1. Nous étudions également la structure pré-Lie du dual gradué HD. Nous réduisons le champ de recherche à la sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré 1. Cette algèbre pré-Lie n'est pas libre
This thesis deals with the study of combinatorics of two Hopf algebras. The first one is the packed words Hopf algebra WMAT introduced by Duchamp, Hoang-Nghia, and Tanasa who wanted to build a coalgebra model for packed words by using a selection-quotient process. We describe certain sub-objects or quotient objects as well as maps to other Hopf algebras. We consider first a Hopf algebra of permutations. Its graded dual has a block deconcatenation coproduct and double shuffle product. The double shuffle product is commutative so the Hopf algebra is different from the Malvenuto and Reutenauer one. We analyze then the Hopf algebra generated by packed words looking like x₁...x₁. This Hopf algebra and non commutative symmetric functions are isomorphic. So its graded dual and quasi-symmetric functions are isomorphic too. Finally we consider a Hopf algebra of compositions an give its interpretation in terms of a semi-direct coproduct structure. The second objet we study is the Hopf algebra of dissection diagrams HD introduced by Dupont in number theory. We study the cofreedom problem. We can't conclude with homogeneous primitive elements of degree 3. With the degree 5 case, we can say that is not cofree with the parameter -1. We study the pre-Lie algebra structure of HD's graded dual too. We consider in particular the sup-pre-Lie algebra generated by the dissection diagram of degree 1. It is not a free pre-Lie algebra

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Vieillard-Baron, Emmanuel. "From resurgent functions to real resummation through combinatorial Hopf algebras". Thesis, Dijon, 2014. http://www.theses.fr/2014DIJOS005/document.

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Le problème de la resommation réelle consiste à associer à une série divergente réelle unefonction analytique qui lui est asymptotique sur un secteur du plan complexe bissecté par unedes deux demi-directions réelles. Jean Ecalle a esquissé, pour le résoudre, les grandes lignesd’une théorie dite des bonnes moyennes uniformisantes. Celle-ci est basée sur plusieurs de sesdécouvertes : le calcul moulien simple et arborifié, les opérateurs étrangers et les fonctionsrésurgentes.Nous nous proposons dans cette thèse de détailler complètement la théorie des moyennesd’Ecalle. Il s’agit de l’appliquer à la resommation de la conjuguante formelle des champsanalytiques réels de type noeud-col et des difféomorphismes analytiques tangents à l’identitédans leur classe formelle la plus simple. Une partie conséquente de la thèse est consacrée àla théorie de l’arborification. C’est l’un des ingrédients majeurs de la théorie des moyennesmais pour laquelle Ecalle n’avait délivré que peu de détails.Un chapitre de la thèse traite de géométrie o-minimale. Il s’agit de démontrer l’existenced’un « isomorphisme formel »entre les familles de germes d’ensembles semi-analytiques issusde deux classes quasi-analytiques isomorphes. Bien que ce chapitre soit disjoint de la théoriedes moyennes, il est probable que cette dernière permette à l’avenir d’obtenir de nouvellesclasses quasi-analytiques.Enfin, nous proposons de faire le lien entre un procédé de resommation réelle de la conjuguanteformelle du noeud-col réel élaboré par R. Schäfke et les moyennes d’Ecalle
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Ben, Saadi My El Hassan. "Méthodes asymptotiques-numériques pour le calcul de bifurcations de Hopf et de solutions périodiques". Metz, 1995. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1995/Ben_Saadi.Hassan.SMZ9547.pdf.

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Dans ce travail, nous avons présenté une étude sur les équations différentielles ordinaires admettant des solutions périodiques ou des points de bifurcations de Hopf. Pour cette étude, nous avons appliqué des techniques approximatives dans l'esprit des méthodes asymptotiques-numériques qui n'avaient été appliquées jusqu'à présent qu'en statique. Nous avons commencé notre test sur des équations différentielles conservatives ou dissipatives à un seul degré de liberté. Le domaine de validité d'une représentation en séries entières des solutions périodiques est toujours limité par le rayon de convergence. Grâce aux techniques discutées (approximants de Padé, technique de projection et transformation d'Euler), on a pu augmenter ce domaine de validité à une valeur très élevée. Dans la deuxième partie nous nous sommes intéressés à la détection des points de bifurcation de Hopf par des algorithmes attachés à la méthode asymptotique-numérique. Ces points sont détectés alors au moyen d'un problème linéaire et perturbé dépendant de deux paramètres réels, et qui se prête bien à la résolution par les techniques de développements en séries entières. On introduit un indicateur de bifurcation qui est ensuite calculé par des séries entières de deux variables. Ensuite, nous avons caractérisé les points de bifurcation de Hopf à partir de cet indicateur. On a également montré que l'indicateur est en réalité une fraction rationnelle de ces paramètres. Les séries peuvent donc être remplacées par des approximants de Padé et conduire à la valeur exacte de l'indicateur. On a également montré que des stratégies réduites, c'est-à-dire des stratégies qui utilisent moins de termes dans la série, permettaient aussi de déterminer le point de bifurcation de Hopf. Dans cette thèse, l'efficacité de ces procédures a été testée sur des problèmes à petit nombre de degrés de liberté. Les applications à des problèmes à grand nombre de liberté font l'objet d'autres thèses à Metz
In this work, we have presented a study on the ordinary differential equations which have periodic solutions or Hopf bifurcation points. For this study, we have applied an asymptotic-numerical methods that have been applied up to now only in static. We have started our test on the conservative differential equations or dissipative ones which have one degree of freedom. The domain of validity of the representation by power series is limited by a raduis of convergence. By use of the techniques discuted (approximants of Padé, projection technique and transformation of Euler), we have extended this domain up to a large value. In the second part, we have detected the Hopf bifurcation points by an asymptotic numerical algorithm. So, these points are detected through a perturbed and linear problem which depends on two real parameters. Indeed, we have introduced an Hopf bifurcation index which is expanded firstly into power series of two parameters. Then, we have caracterized the Hopf bifurcation points from this index. Since, we have showed that the index is a rational fraction. So, the series can be replaced by the approximants of Padé which lead to the exact value of the index. We have also showed that the "reduced strategies", i. E, the approximants of Padé which replace the series truncated at inferior orders, permit also to detect the Hopf bifurcation points. The efficiency, of these procedures is tested on the problems with small number of degrees of freedom. The applications on the systems with great number of degrees of freedom are the aim of others thesis in Metz

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Mansuy, Anthony. "Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes familles d'arbres". Thesis, Reims, 2013. http://www.theses.fr/2013REIMS008/document.

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Nous introduisons les notions de forêts préordonnées et préordonnées en tas, généralisant les constructions des forêts ordonnées et ordonnées en tas. On démontre que les algèbres des forêts préordonnées et préordonnées en tas sont des algèbres de Hopf pour le coproduit de coupes et on construit un morphisme d'algèbres de Hopf dans l'algèbre des mots tassés. Ensuite, nous définissons un autre coproduit sur les forêts préordonnées donné par la contraction d'arêtes et nous donnons une description combinatoire de morphismes définis sur des algèbres de Hopf de forêts et à valeurs dans les algèbres de Hopf de battages et de battages contractants. Par ailleurs, nous introduisons la notion d'algèbre bigreffe, généralisant les notions d'algèbres de greffes à gauche et à droite. Nous décrivons l'algèbre bigreffe libre engendrée par un générateur et nous munissons cette algèbre d'une structure d'algèbre de Hopf et d'un couplage. Nous étudions ensuite le dual de Koszul de l'operade bigreffe et nous donnons une description combinatoire de l'algèbre bigreffe dual engendrée par un générateur. A l'aide d'une méthode de réécriture, nous prouvons que l'opérade bigreffe est Koszul. Nous définissons la notion de bialgèbre bigreffe infinitésimale et nous prouvons un analogue des théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt et de Cartier-Milnor-Moore pour les bialgèbres bigreffe infinitésimales connexes. Pour finir, à partir de deux opérateurs de greffes, nous construisons des algèbres de Hopf d'arbres enracinés et ordonnés $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ et $ mathbf{B} $ vérifiant les relations d'inclusions $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. On munit $ mathbf{B} $ d'une structure de bialgèbre dupliciale dendriforme et on en déduit que $ mathbf{B} $ est colibre et auto-duale. Nous démontrons que $ mathbf{B} $ est engendrée comme algèbre bigreffe par un générateur
We introduce the notions of preordered and heap-preordered forests, generalizing the construction of ordered and heap-ordered forests. We prove that the algebras of preordered and heap-preordered forests are Hopf for the cut coproduct, and we construct a Hopf morphism to the Hopf algebra of packed words. In addition, we define another coproduct on the preordered forests given by the contraction of edges, and we give a combinatorial description of morphims defined on Hopf algebras of forests with values in the Hopf algebras of shuffes or quasi-shuffles. Moreover, we introduce the notion of bigraft algebra, generalizing the notions of left and right graft algebras. We describe the free bigraft algebra generated by one generator and we endow this algebra with a Hopf algebra structure, and a pairing. Next, we study the Koszul dual of the bigraft operad and we give a combinatorial description of the free dual bigraft algebra generated by one generator. With the help of a rewriting method, we prove that the bigraft operad is Koszul. We define the notion of infinitesimal bigraft bialgebra and we prove an analogue of Poincaré-Birkhoff-Witt and Cartier-Milnor-Moore theorems for connected infinitesimal bigraft bialgebras. Finally, with two grafting operators, we construct Hopf algebras of rooted and ordered trees $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ and $ mathbf{B} $ satisfying the inclusion relations $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. We endow $ mathbf{B} $ with a structure of duplicial dendriform bialgebra and we deduce that $ mathbf{B} $ is cofree and self-dual. We prove that $ mathbf{B} $ is generated as bigraft algebra by one generator

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Burgunder, Emily. "Bigèbres généralisées : de la conjecture de Kashiwara-Vergne aux complexes de graphes de Kontsevich". Montpellier 2, 2008. http://www.theses.fr/2008MON20248.

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Cette thèse se compose de quatre articles autonomes s'articulant en trois thèmes: la conjecture de Kashiwara-Vergne, le graphe-complexe de Kontsevich et les bigèbres magmatiques. Ces articles sont liés par la notion de bigèbre et les idempotents qui leurs sont attachés: dans le premier cas on utilise les propriétés des bigèbres classiques et dans le second des bigèbres Zinbiel-associatives. Le résultat principal du premier article consiste à donner une solution complète et explicite de la première équation de la conjecture de Kashiwara-Vergne en utilisant les propriétés intrinsèques de l'idempotent Eulérien et de l'idempotent de Dynkin. Dans le second article on généralise un théorème de Kontsevich à l'homologie de Leibniz. On démontre que l'homologie de Leibniz des champs de vecteurs symplectiques sur une variété formelle se reconstruit à partir de l'homologie d'un nouveau type de complexe de graphes : le graphe complexe symétrique. La troisième partie est composée de deux articles traitant des bigèbres magmatiques. Dans le premier on démontre que toute bigèbre magmatique infinie se reconstruit à partir de ses primitifs. En collaboration avec Ralf Holtkamp, on généralise ce résultat à des bigèbres magmatiques partielles en construisant une nouvelle structure d'algèbres vérifiée par les primitifs
This thesis contains four articles developed around three themes : the Kashiwara-Vergne conjecture, Kontsevich's graph complex and magmatic bialgebras. The results obtained are linked by the notion of generalised bialgebras and their idempotents: in the first case we use the properties of classical bialgebras and in the second, a structure theorem for Zinbiel-associatives bialgebras. The main result of the first article is to construct explicitly all the solutions of the first equation of Kashiwara-Vergne conjecture, using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent. In second chapter we generalise the Kontsevich's theorem that computes the Lie homology of vector fields on a formal manifold. Indeed, we prove that the Leibniz homology of these symplectic vector fields on a formal manifold can be reconstructed thanks to the homology associated to a new type of graphs: the symmetric graphs. The third part contains two articles on magmatic bialgebras. In the first one, we prove a structure theorem which permits to reconstruct any infinite magmatic bialgebra through its primitives. In collaboration with Ralf Holtkamp, we extend this result to partial magmatic bialgebras and we construct a new type of operad that encodes the algebraic structure satisfied by the primitives

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Bisiaux, Laurent. "Grade et invariant de Toomer d'une application". Lille 1, 1995. http://www.theses.fr/1995LIL10129.

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A une application continue f entre espaces topologiques simplement connexes sont associés classiquement les deux invariants numériques suivants : le grade du module d'holonomie et l'invariant de Toomer de f. Nous montrons dans ce travail que, sous des hypothèses convenables, le grade du module d'holonomie est inférieur ou égal à l'invariant de Toomer. Nous donnons quelques exemples et applications de ce résultat.

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Chouria, Ali. "Algèbres de Hopf combinatoires sur les partitions d'ensembles et leurs généralisations : applications à l'énumération et à la physique théorique". Rouen, 2016. http://www.theses.fr/2016ROUES007.

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Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la combinatoire algébrique et énumérative. Elle est consacrée à l’étude des problèmes d’énumération en utilisant des algèbres de Hopf combinatoires, en particulier l’algèbre des fonctions symétriques sur les mots WSym. Nous donnons des versions non commutatives du théorème de Redfield-Pólya dans l’algèbre WSym, ainsi que dans d’autres algèbres de Hopf combinatoires comme l’algèbre des fonctions symétriques sur les bi-mots BWSym, où nous donnons un relèvement (décomposition maximale) de ce théorème. Nous construisons d’autres algèbres de Hopf sur les partitions d’ensembles et sur des objets qui les généralisent et nous les utilisons pour l’étude des versions non commutatives des polynômes de Bell qui ont été définis par E. T. Bell et interviennent fortement en combinatoire énumérative. Ces polynômes font intervenir des objets combinatoires comme les partitions d’ensembles. Alors, c’est tout à fait naturel de chercher des analogues de ces identités dans des algèbres dont les bases sont indexées par des objets en lien avec les partitions (partitions en listes, partitions colorées, etc). Puis, nous donnons des analogues de quelques identités concernant les polynômes partiels, des fonctions binomiales et d’autres identités comme la formule d’inversion de Lagrange et la formule de Faà di Bruno. Enfin, nous nous intéressons à l’étude combinatoire des structures algébriques apparaissant dans les problèmes de l’ordre normal des bosons. Nous définissons des nouveaux objets combinatoires (nommés B-diagrammes) et construisons deux algèbres : une algèbre de Hopf construit sur les B-diagrammes et l’algèbre de Fusion qui réalise l’algèbre des B-diagrammes B sur des variables. Nous constatons que pour des cas particuliers des B-diagrammes, nous retrouvons deux sous-algèbres WSym et BWSym isomorphes à B
This thesis fits into the field of algebraic and enumerative combinatorics. It is devoted to the study of problems of enumeration using combinatorial Hopf algebras, particularly, the algebra of word symmetric functions WSym. We give noncommutative versions of the Redfield-Pólya theorem in WSym and other combinatorial Hopf algebras as the algebra of biword symmetric functions BWSym. In the second algebra, we give a relevement (version without multiplicities) of this theorem. We construct other Hopf algebras on set partitions and other objects which generealize them. We use these algebras to study noncommutative version of Bell polynomials. These polynomials involve combinatorial objects like set partitions. So it seems natural for us to investigate analogous formulæ in some combinatorial Hopf algebras with bases indexed by objects related to set partitions (set partitions into lists, colored set partitions, etc). Then, we give analogous identities of partial Bell polynomials, binomial functions, Lagrange inversion and Faà di Bruno formula. Finally, we are interested in the combinatorial structures arising in the boson normal ordering problem. We define new combinatorial objects (called B-diagrams). After studying the combinatorics and the enumeration of B-diagrams, we propose two constructions of algebras called : the Fusion algebra defined using formal variables and another algebra constructed directly from B-diagrams. We show the connection between these two algebras and that the algebra of B-diagrams B can be endowed with Hopf structure. We recognise two known combinatorial Hopf subalgebras of B : WSym the algebra of word symmetric functions indexed by set partitions and BWSym the algebra of biword symmetric functions indexed by set partitions into lists

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Bultel, Jean-Paul. "Déformations d'algèbres de Hopf combinatoires et inversion de Lagrange non commutative". Thesis, Paris Est, 2011. http://www.theses.fr/2011PEST1006/document.

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Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation
This thesis is devoted to study one-parameter families of coproducts on symmetric functionsand their noncommutative analogues. We show, by introducing an appropriate basis,that a one-parameter family of Hopf algebras introduced by Foissy interpolates between theFa`a di Bruno algebra and the Farahat-Higman algebra. The structure constants in this basisare deformations of the structure constants of the Farahat-Higman algebra in the basis ofprojections of conjugacy classes. For these deformed structure constants, we obtain an analogueof the Macdonald formulas.Foissy has also introduced a noncommutative analogue of this family of Hopf algebras. Itinterpolates between the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions and the noncommutativeFa`a di Bruno algebra. First, we give a new combinatorial interpretation ofthe Brouder-Frabetti-Krattenthaler formula for the antipode of the noncommutative Fa`a diBruno algebra, that is a form of the noncommutative Lagrange inversion formula. Then, wegive a one-parameter deformation of this formula. Namely, it is an explicit formula for theantipode of the noncommutative family.We also give other combinatorial properties of the noncommutative Fa`a di Bruno algebra,and other results about the families of Hopf algebras of Foissy. In this way, we generalize otherforms of the noncommutative Lagrange inversion formula. Namely, we give other formulasfor the antipode of the noncommutative family

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Zunino, Marco. "Doubles quantiques des structures croisées". Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008), 2002. http://www.theses.fr/2002STR13049.

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Franz, Uwe. "Contribution à l'étude des processus stochastiques sur les groupes quantiques". Nancy 1, 1997. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/SCD_T_1997_0080_FRANZ.pdf.

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Ce mémoire est relatif à l'étude des processus stochastiques sur les algèbres de hopf. Ces algèbres jouent un rôle important en physique mathématique sous le nom groupes quantiques. Une grande partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus de levy, c. -à-d. Des processus à accroissements indépendants et stationnaires, sur ces algèbres. Deux constructions, soit à partir d'un processus de levy classique, soit à partir d'une marche aléatoire quantique, sont proposées. Ces processus sont ensuite étudiés à l'aide des représentations duales et de leurs systèmes d'appel. En particulier, ceci a permis de démontrer une formule de Feynman-kac et d'établir un lien étroit entre ces processus et des équations d'évolution sur les groupes quantiques. Les représentations duales sont également utilisées pour donner des conditions suffisantes pour l'existence de versions classiques des processus de levy sur des bigebres et pour les caractériser. Plusieurs exemples, y compris la martingale d'Azéma, sont traités en détail. Un autre thème central de ce travail est la caractérisation des lois de gauss au sens de Bernstein. Il est montré comment les fonctionnelles ainsi que les semi-groupes de convolution sur des algèbres de hopf qui satisfont l'analogue de la propriété de Bernstein peuvent être calculés. Il est aussi démontré que le plongement d'une fonctionnelle normée infiniment divisible dans un semi-groupe de convolution continu sur un groupe quantique nilpotent ou sur un groupe tresse nilpotent est unique. Finalement, plusieurs théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, etc. ) sur les groupes quantiques sont présentés.

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Zanasi, Fabio. "Interacting Hopf Algebras- the Theory of Linear Systems". Thesis, Lyon, École normale supérieure, 2015. http://www.theses.fr/2015ENSL1020/document.

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Dans cette thèse, on présente la théorie algébrique IH par le biais de générateurs et d’équations.Le modèle libre de IH est la catégorie des sous-espaces linéaires sur un corps k. Les termes de IH sont des diagrammes de cordes, qui, selon le choix de k, peuvent exprimer différents types de réseaux et de formalismes graphiques, que l’on retrouve dans des domaines scientifiques divers, tels que les circuits quantiques, les circuits électriques et les réseaux de Petri. Les équations de IH sont obtenues via des lois distributives entre algèbres de Hopf – d’où le nom “Interacting Hopf algebras” (algèbres de Hopf interagissantes). La caractérisation via les sous-espaces permet de voir IH comme une syntaxe fondée sur les diagrammes de cordes pour l’algèbre linéaire: les applications linéaires, les espaces et leurs transformations ont chacun leur représentation fidèle dans le langage graphique. Cela aboutit à un point de vue alternatif, souvent fructueux, sur le domaine.On illustre cela en particulier en utilisant IH pour axiomatiser la sémantique formelle de circuits de calculs de signaux, pour lesquels on s’intéresse aux questions de la complète adéquation et de la réalisabilité. Notre analyse suggère un certain nombre d’enseignements au sujet du rôle de la causalité dans la sémantique des systèmes de calcul
We present by generators and equations the algebraic theory IH whose free model is the category oflinear subspaces over a field k. Terms of IH are string diagrams which, for different choices of k, expressdifferent kinds of networks and graphical formalisms used by scientists in various fields, such as quantumcircuits, electrical circuits and Petri nets. The equations of IH arise by distributive laws between Hopfalgebras - from which the name interacting Hopf algebras. The characterisation in terms of subspacesallows to think of IH as a string diagrammatic syntax for linear algebra: linear maps, spaces and theirtransformations are all faithfully represented in the graphical language, resulting in an alternative, ofteninsightful perspective on the subject matter. As main application, we use IH to axiomatise a formalsemantics of signal processing circuits, for which we study full abstraction and realisability. Our analysissuggests a reflection about the role of causality in the semantics of computing devices

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Dupont, Clément. "Périodes des arrangements d'hyperplans et coproduit motivique". Thesis, Paris 6, 2014. http://www.theses.fr/2014PA066207.

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Dans cette thèse, on s'intéresse à des questions relatives aux arrangements d'hyperplans du point de vue des périodes motiviques. Suivant un programme initié par Beilinson et al., on étudie une famille de périodes appelée polylogarithmes d'Aomoto et leurs variantes motiviques, vues comme éléments de l'algèbre de Hopf fondamentale de la catégorie des structures de Hodge-Tate mixtes, ou de la catégorie des motifs de Tate mixtes sur un corps de nombres. On commence par calculer le coproduit motivique d'une famille de telles périodes, appelées polylogarithmes de dissection génériques, en montrant qu'il est régi par une formule combinatoire. Ce résultat généralise un théorème de Goncharov sur les intégrales itérées. Puis, on introduit les bi-arrangements d'hyperplans, objets géométriques et combinatoires qui généralisent les arrangements d'hyperplans classiques. Le calcul de groupes de cohomologie relative associés aux bi-arrangements d'hyperplans est une étape cruciale dans la compréhension du coproduit motivique des polylogarithmes d'Aomoto. On définit des outils cohomologiques et combinatoires pour calculer ces groupes de cohomologie, qui éclairent dans un cadre global des objets classiques tels que l'algèbre d'Orlik-Solomon
In this thesis, we deal with some questions about hyperplane arrangements from the viewpoint of motivic periods. Following a program initiated by Beilinson et al., we study a family of periods called Aomoto polylogarithms and their motivic variants, viewed as elements of the fundamental Hopf algebra of the category of mixed Hodge-Tate structures, or the category of mixed Tate motives over a number field. We start by computing the motivic coproduct of a family of such periods, called generic dissection polylogarithms, showing that it is governed by a combinatorial formula. This result generalizes a theorem of Goncharov on iterated integrals. Then, we introduce bi-arrangements of hyperplanes, which are geometric and combinatorial objects which generalize classical hyperplane arrangements. The computation of relative cohomology groups associated to bi-arrangements of hyperplanes is a crucial step in the understanding of the motivic coproduct of Aomoto polylogarithms. We define cohomological and combinatorial tools to compute these cohomology groups, which recast classical objects such as the Orlik-Solomon algebra in a global setting

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Nunge, Arthur. "Combinatoire énumérative et algébrique autour du PASEP". Thesis, Paris Est, 2018. http://www.theses.fr/2018PESC1116/document.

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Cette thèse se situe à l'interface de la combinatoire énumérative et algébrique et porte sur l'étude des probabilités du processus d'exclusion partiellement asymétrique (PASEP).Dans un premier temps, nous démontrons bijectivement une conjecture de Novelli-Thibon-Williams concernant l'interprétation combinatoire de coefficients de matrices de transition dans l'algèbre des fonctions symétriques non-commutatives. Plus précisément, ces matrices expriment les coefficients de changement de base des bases complètes et rubans d'une part vers les bases monomiales et fondamentales introduites par Tevlin d'autre part. Les coefficients de ces matrices donnent un raffinement des probabilités du PASEP et sont décrits en utilisant de nouvelles statistiques sur les permutations. La conjecture stipule que ce raffinement peut se formuler via des statistiques déjà connues dans le monde du PASEP. Nous nous intéressons ensuite à une généralisation du PASEP avec deux types de particules dans le modèle : le 2-PASEP. Nous donnons ainsi plusieurs interprétations combinatoires des probabilités de ce modèle. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle famille de chemins généralisant les histoires de Laguerre : les histoires de Laguerre marquées. Nous généralisons ensuite la bijection de Françon-Viennot entre les histoires de Laguerre et les permutations pour définir les permutations partiellement signées qui nous donneront une seconde interprétation combinatoire de ces probabilités. Dans une troisième partie, nous généralisons les travaux de Tevlin afin de définir des bases monomiales et fondamentales dans l'algèbre des compositions segmentées. Afin de décrire les matrices de changement de base entre ces bases et d'autres déjà connues dans cette algèbre, nous définissons une algèbre indexée par les permutations partiellement signées en utilisant les statistiques définies précédemment pour décrire la combinatoire du 2-PASEP. Nous définissons également des q-analogues de ces bases afin de faire le lien avec les probabilités du 2-PASEP en fonction du paramètre q de ce modèle. Enfin, en utilisant le fait que les permutations partiellement signées sont en bijection avec les permutations segmentées, nous nous inspirons des statistiques définies précédemment pour introduire des descentes sur ces objets et ainsi définir une généralisation des polynômes eulériens sur les permutations segmentées. Pour étudier ces polynômes, nous utilisons les outils algébriques développés dans la partie précédente
This thesis comes within the scope of enumerative and algebraic combinatorics and studies the probabilities of the partially asymmetric exclusion process (PASEP).First, we bijectively prove a conjecture of Novelli-Thibon-Williams concerning the combinatorial interpretation of the entries of the transition matrices between some bases of the noncommutative symmetric functions algebra. More precisely, these matrices correspond to the transition matrices of, on the one hand the complete and ribbon bases and on the other hand the monomial and fundamental bases, both introduced by Tevlin. The coefficients of these matrices provide a refinement of the probabilities of the PASEP and are described using new statistics on permutations. This conjecture states that this refinement can also be described using classical statistics of the PASEP. In the second part, we study a generalization of the PASEP using two kinds of particles: the 2-PASEP. Hence, we give several combinatorial interpretations of the probabilities of this model. In order to do so, we define a new family of paths generalizing the Laguerre histories: the marked Laguerre histories. We also generalize the Françon-Viennot bijection between Laguerre histories and permutations to define partially signed permutations giving another combinatorial interpretation of these probabilities. In a third part, we generalize Tevlin's work in order to define a monomial basis and a fundamental basis on the algebra over segmented compositions. In order to describe the transition matrices between these bases and other bases already known in this algebra, we define an algebra indexed by partially signed permutations using the statistics previously defined to describe the combinatorics of the 2-PASEP. We also define some q-analogues of these bases related to the probabilities of the 2-PASEP according to the q parameter of this model. Finally, using the fact that partially signed permutations and segmented permutations are in bijection, we use the statistics defined previously to define descents on these objects and get a generalization of the Eulerian polynomials on segmented permutations. To study these polynomials, we use the algebraic tools introduced in the previous part

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Bellier, Olivia. "Propriétés algébriques et homotopiques des opérades sur une algèbre de Hopf". Phd thesis, Université Nice Sophia Antipolis, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00756113.

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Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.

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Tapia, Nikolas. "Directed polymers and rough paths". Thesis, Sorbonne université, 2018. http://www.theses.fr/2018SORUS363.

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Les Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques (SPDE en anglais) sont un outil essentiel pour l'analyse des limites d'échelle de divers modèles microscopiques provenant d'autres aires des sciences telles que la physique ou la chimie. Ce type d'équations corresponds à une équations aux dérivées partielles classique à laquelle on a ajouté un terme de force externe aléatoire qui est très irrégulier ; l'exemple le plus basique est peut-être l'Équation de la Chaleur Stochastique, qui est étudiée dans une de ses version dans cette thèse. L'irrégularité du potentiel fait que l'analyse des solutions à ce problème soit beaucoup plus compliqué que dans le cas classique. En fait, il y a des cas où les solutions ne peuvent être définies que dans le sens des distributions (ou des fonctions généralisées). Il y a des cas critiques comme l'équations de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) dans une dimension d'espace où, bien que ces solutions sont Hölderiennes, elles ne sont pas assez régulières pour définir quelques termes non linéaires qu'y apparaissent. Durant les 20 dernières années des techniques pour l'analyse de ces équations ont été développées parmi lesquelles il y a les chemins rugueux géométriques de T. Lyons (1998), les chemins rugueux ramifiés de M. Gubinelli (2010) et plus récemment les structures de régularité de M. Hairer (2014), pour laquelle ce dernier à remporté la médaille Fields en 2014. Toutes ces techniques ont comme idée centrale le concept de renormalisation (provenant de la physique). En particulier, la renormalisation de Wick joue un rôle essentiel dans la théorie des structures de régularité. Dans ce travail nous développons les produits et polynômes de Wick d'un point de vue algébrique inspiré du "calcul ombrale" de G.-C. Rota. Nous explorons aussi la théorie générale des chemins rugueux et leur version ramifié en particulier, où nous donnons des résultats nouveaux dans la direction d'incorporer un analogue de la renormalisation de Wick existant dans la théorie de Hairer. Finalement, le modèle de polymère semidiscret multicouches, introduit par I. Corwin et A. Hammond (2014) est étudié. Nous montrons la convergence de sa fonction de partition vers le processus stochastique appelé "la solution de l'équation de la chaleur stochastique multicouches" par N. O'Connell et J. Warren (2011) quelques années avant. Nous remarquons qu'au moment de rédaction de cette thèse il n'existait aucun résultat permettant interpréter ce dernier processus dans le continuum comme la solution d'une SPDE singulière comme dans le cas, par exemple, de l'équation de KPZ. Ceci a été une des principales sources d'inspiration pour ce travail
Stochastic Partial Differential Equations are an essential tool for the analysis of scaling limits of a diverse array of microscopic models coming from other fields such as physics and chemistry.This type of equations correspond to classical partial differential equations to which one has added a random forcing which is typically very irregular ; the most basic example is perhaps the Stochastic Heat Equation, one of whose versions is studied in this thesis. The roughness of the potential turns the analysis of solutions to these probles a lot more difficult than the classic case. In fact, there are cases where solutions can be understood only in the sense of distributions, i.e. as generalised functions. There are some critical cases, such the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)equation where, even though the solutions can be shown to be continuous (even Hölder continuous) they are not regular enough so that some non-linear terms appearing in this equation are well defined. In the last 20 years certain techniques have been developed for the analysis of these equations, among which there is the theory of Rough Paths by T. Lyons (1998), their branched version introduced by M. Gubinelli (2010) and more recently the theory of Regularity Structures of M. Hairer (2014) and for which he was awarded the Fields Medal in 2014. All these techniques have as main idea that of renormalisation, coming from physics. In particular, Wick renormalisation plays an essential role in Regularity Structures. In this work we develop Wick products and polynomials from a Hopf-algebraic point of view, inspired by G.-C. Rota's Umbral Calculus. We also explore the general theory of Rough Paths and in particular in their branched version, where we show some new results in the direction of incorporating an analogue of Wick renormalisation as found in Hairer's Regularity Structures. Finally, the semi-discrete multi-layer polymer model, introduced by I. Corwin and A. Hammond (2014) is studied. We show the convergence of its partition function towards a stochastic process known as (the solution to) "the multi-layer Stochastic Heat Equation" introduced by N. O'Connell and J. Warren (2011) some years earlier. We remark that at the time of writing of this work there were no results allowing to interpret this last process as the solution to a singular SPDE as is the case, for example, for the KPZ equation. This was one of the main sources of inspiration of this work

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Adimy, Mostafa. "Perturbation par dualité, interprétation par la théorie des semi-groupes intégrés : application à l'étude du problème de bifurcation de Hopf dans le cadre des équations à retard". Pau, 1991. http://www.theses.fr/1990PAUUA001.

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Vilmart, Gilles. "Étude d’intégrateurs géométriques pour des équations différentielles". Rennes 1, 2008. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/theses/2008/vilmart.pdf.

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Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc. . . Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide. Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l’extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal. Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie
The aim of the work described in this thesis is the construction and the study of structure-preserving numerical integrators for differential equations, which share some geometric properties of the exact flow, for instance symmetry, symplecticity of Hamiltonian systems, preservation of first integrals, Poisson structure, etc. . . In the first part, we introduce a new approach to high-order structure-preserving numerical integrators, inspired by the theory of modified equations (backward error analysis). We focus on the class of B-series methods for which a new composition law called substitution law is introduced. This approach is illustrated with the derivation of the Preprocessed Discrete Moser-Veselov algorithm, an efficient and high-order geometric integrator for the motion of a rigid body. We also obtain an accurate integrator for the computation of conjugate points in rigid body geodesics. In the second part, we study to which extent the excellent performance of symplectic integrators for long-time integrations in astronomy and molecular dynamics carries over to problems in optimal control. We also discuss whether the theory of backward error analysis can be extended to symplectic integrators for optimal control. The third part is devoted to splitting methods. In the spirit of modified equations, we consider splitting methods for perturbed Hamiltonian systems that involve modified potentials. Finally, we construct splitting methods involving complex coefficients for parabolic partial differential equations with special attention to reaction-diffusion problems in chemistry

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Karaboghossian, Théo. "Invariants polynomiaux et structures algébriques d'objets combinatoires". Thesis, Bordeaux, 2020. http://www.theses.fr/2020BORD0123.

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Dans la première moitié de ce mémoire, nous étudions les invariants polynomiaux définis par Aguiar et Ardila dans arXiv:1709.07504 dans le contexte des monoïdes de Hopf. Nous donnons d'abord une interprétation combinatoire de ces polynômes pour les monoïdes de Hopf des permutaèdres généralisés et des hypergraphes,sur les entiers naturels et négatifs. Nous en déduisons ensuite des interprétations similaires sur d'autres objets combinatoires(graphes, complexes simpliciaux, building sets, etc).Dans la seconde moitié de ce mémoire, nous proposons une nouvelle façon de définir et d'étudier des opérades de multigraphes et d'objets similaires.Nous étudions en particulier deux opérades obtenues avec cette méthode. La première est une généralisation directe de l'opérade Kontsevich-Willwacher,qui peut être considérée comme une opérade canonique sur les multigraphes et possède de nombreuses sous-opérades intéressantes.La seconde est une extension naturelle de l'opérade pré-Lie et a aussi un lien avec l'opérade précédente.Nous présentons également divers résultats sur certaines sous-opérades finiment enegendrées et établissons des liens entre elles et les opérades commutative et commutative magmatique
In the first half of this dissertation, we study the polynomial invariants defined by Aguiar and Ardila in arXiv:1709.07504 in the context of Hopf monoids. We first give a combinatorial interpretation of these polynomials over the Hopf monoids of generalized permutahedra and hypergraphs in both non negative and negative integers. We then use them to deduce similar interpretation on other combinatorial objects(graphs, simplicial complexes, building sets, etc).In the second half of this disseration, we propose a new way of defining and studying operads on multigraphs and similar objects.We study in particular two operads obtained with our method. The former is a direct generalization of the Kontsevich-Willwacher operad.This operad can be seen as a canonical operad on multigraphs,and has many interesting suboperads.The latter operad is a natural extension of the pre-Lie operad in a sense developed here and it is related to the multigraph operad. We also present various results on some of the finitely generated suboperads of the multigraph operad and establish links between them and the commutative operad and the commutative magmatic operad

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Barbier, Rémi. "Algèbre quantique Uqp(u2) et application à la dynamique collective de rotation dans les noyaux". Lyon 1, 1995. http://www.theses.fr/1995LYO10198.

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Ce travail de these s'integre dans l'etude des nouvelles symetries en physique. Il se compose de trois parties. La premiere porte principalement sur l'etude de l'algebre quantique u#q#p(u#2). Plus precisement, nous developpons sa structure d'algebre de hopf et portons un interet particulier sur sa structure de coproduit. Les bases d'une theorie de la representation de u#q#p(u#2) sont introduites, d'une part, en construisant ses representations irreductibles de dimension finie et, d'autre part, en calculant ses coefficients de clebsch et gordan par la methode de l'operateur de projection extremal. Nous completons notre etude par la construction de quelques realisations en termes de bosons deformes des algebres quantiques u#q#p(u#2), u#q2(su#2) et u#q#p(u#1#,#1). La deuxieme partie est consacree a la construction d'un nouveau modele phenomenologique de rotateur non rigide se basant sur l'algebre quantique u#q#p(u#2). L'energie de rotation et les probabilites de transition reduites e2 sont obtenues en fonction des deux parametres de deformation de l'algebre quantique. Nous montrons comment et, dans quelle mesure, l'utilisation de la double deformation de l'algebre u#q#p(u#2) permet de generaliser le modele du rotateur en symetrie u#q(su#2). Nous introduisons egalement un nouveau modele de l'oscillateur anharmonique sur la base de cette algebre quantique. Nous montrons que les systemes physiques du rotateur non rigide et de l'oscillateur anharmonique peuvent etre couples par l'intermediaire des parametres de deformation de u#q#p(u#2). Un spectre de ro-vibration est obtenu sous la forme d'un developpement a la dunham de l'energie. L'objet de notre troisieme partie est l'application de notre modele de rotateur a la dynamique collective de rotation dans les noyaux super-deformes des regions de masse a 130 - 150 et a 190 et des isomeres de fission dans les actinides et les terres rares. Dans ce but, nous ajustons les parametres libres de notre modele ainsi que, a titre de comparaison, ceux de quatre autres modeles. Une analyse comparative est menee sur les energies de transition issues de l'ajustement et sur les valeurs des parametres. Nous calculons a partir des expressions des energies de rotation les moments d'inertie dynamiques. Une comparaison des resultats obtenus pour differents modeles permet de mettre en evidence le role des parametres de deformation de l'algebre quantique u#q#p(u#2)

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Zouagui, Mohamed. "Sur les groupes quantiques de Lorentz". Dijon, 1997. http://www.theses.fr/1997DIJOS048.

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Des raisons physiques conduisent à la recherche d'un groupe quantique de Poincaré contenant une déformation quantique de la structure classique de Hopf de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie su(2) comme sous-algèbre de Hopf. C'est pour cela que nous nous sommes intéressés aux groupes quantiques de Lorentz contenant soit u#qsu(2) soit su#q(2) comme sous algèbre de Hopf. Il en existe, a priori, trois que l'on citera brièvement : i) le modele P. W. De Podles et Woronowicz est une *-algèbre de Hopf topologique. Ii) le modele C. S. S. W de u. Carrow-Watamura, M. Schlieker, M. Scholl et S. Watamura est défini à partir de deux copies de sl#q(2). Iii) le modèle O. S. W. Z. De O. Ogievetsky, W. B. Schmidke, J. Wess, B. Zumino est défini comme une déformation quantique u#ql de la structure classique de Hopf de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de lie de Lorentz l. Plus précisément, en vue de lier les trois modèles de groupes quantiques de Lorentz cités ci-dessus, nous construisons une *-algèbre de Hopf topologique dont le dual fort a* sera lui même une *-algèbre de Hopf topologique possédant les propriétés suivantes :. Le modele O. S. W. Z. Du groupe quantique de Lorentz décrit en iii) est une sous *-algèbre de Hopf dense dans a. Le dual fort a* est défini par les mêmes relations algébriques que vérifient les générateurs (le modèle P. W. Décrit en i). . La structure de produit tensoriel « twisté » topologique d'algèbres de Hopf topologiques est exhibée ainsi que sa structure quasitriangulaire. Par dualité dual fort nous retrouvons le modèle C. S. S. W décrit en ii). Deux R-matrices universelles sont alors données dans la structure. . Enfin la structure de Hopf topologique de a (resp. A*) est restreinte (resp. étendue) à a(sl(2,c)) l'espace des distributions a support compact sur sl(2,c) (resp. C# sl(2,c)).

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Quesney, Alexandre. "Unrelèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobar". Nantes, 2014. http://archive.bu.univ-nantes.fr/pollux/show.action?id=4ed4c8b7-7df5-4927-87af-ed42f5245e4f.

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Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d’une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l’obtention d’une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar W2C d’une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C (X), où C (X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C (X) est telle que la double construction cobar W2C (X) est un modèle pour les lacets doubles W2jXj. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d’algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la doubles construction cobar W2C (X) lorsque X est une double suspension et celle sur H (W2jXj) induite par l’action diagonale du cercle sur W2jXj. Pour finir, lorsque l’anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues WC (X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (r0 , S0). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar W(WC (X),r0 , S0) pour tout ensemble simplicial X
In a first part we establish structural results on the cobar construction. The goal is to obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction. In summary we have a criterion for obtaining of a homotopy BV-algebra (à la Gerstenhaber-Voronov) on the double cobar construction W2C of homotopy G-coalgebra C. This involves the structural co-operations of the homotopy G-coalgebra C. In a second part, we apply the previous criterion to the homotopy G-coalgebra C (X). The homotopy G-coalgebra structure on the simplicial chain complex C (X) is such that the resulting double cobar construction W2C (X) is a model for the double loop space W2jXj. Next, we give comparison results between the BV-algebra structure obtained on W2C (X) when X is a double suspension and the BV-algebra structure on H (W2jXj) given by the diagonal action of the circle. Finally, when Q is the coefficient ring, we deform the Hopf dg-algebra structure on the Baues cobar construction WC (X) into a involutive Hopf dg-algebra structure (r0 , S0). Then we obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction W(WC (X),r0 , S0) for any simplicial set X

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Nguyen, Le Chi Quyet. "Une description fonctorielle des K-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires". Thesis, Angers, 2017. http://www.theses.fr/2017ANGE0032/document.

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Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des K-théories de Morava modulo 2 des 2-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ pour le premier p=2 et n un entier positif.Le cas n=1, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas n>1, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques.La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie de l'omega-spectre associé à la théorie K(2)
The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod 2 Morava K-theories of elementary abelian 2-groups. Namely, we study the covariant functors $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ for the prime p=2 and n a positive integer.The case n=1, which follows directly from the work of Atiyah on topological K-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case n>1, where the above-mentioned functors are analytic.The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the omega-spectrum associated to the theory K(2)

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Bichon, Julien. "Foncteurs fibre et catégories tannakiennes semi-simples". Montpellier 2, 1997. http://www.theses.fr/1997MON20086.

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Un theoreme remarquable de p. Deligne caracterise les categories tannakiennes symetriques sur un corps de caracteristique nulle de facon interne, c'est a dire sans donnee prealable d'un foncteur fibre. Sa preuve utilise un phenomene que nous appelons trivialisation. Nous donnons une construction directe des anneaux de trivialisation, que deligne construit par iterations. La verification des proprietes de trivialisation est une theorie du determinant et des cofacteurs dans une categorie tensorielle symetrique abstraite. Nous donnons egalement un critere de reductivite pour une algebre de hopf matricielle en caracteristique nulle, d'utilisation tres simple, qui repose sur une notion de conjugaison relle. Soit a une *-algebre de hopf unitarisable. Nous etablissons une equivalence de categories entre a-*-extensions galoisiennes munies d'une mesure de haar positive et *-foncteurs fibre sur les a-comodules unitaires. Nous montrons alors que de telles extensions galoisiennes possedent une c#*-norme, et nous introduisons la notion d'extension galoisienne d'un groupe quantique compact, pour laquelle la theorie de la mesure se deduit de la topologie. Enfin nous trouvons une nouvelle extension galoisienne pour les groupes quantiques gl#q(2) et u#q(2).

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Rozprawy doktorskie na temat „Algèbres de Hopf bidendriformes”

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