Rozprawy doktorskie na temat „51°”

In this thesis we develop and analyse mathematical models describing phase change phenomena linked with novel technological applications. The models are based on modifications to standard phase change theory. The mathematical tools used to analyse such models include asymptotic analysis, similarity solutions, the Heat Balance Integral Method and standard numerical techniques such as finite differences. In chapters 2 and 3 we study the melting of nanoparticles. The Gibbs-Thomson relation, accounting for melting point depression, is coupled to the heat equations for the solid and liquid and the associated Stefan condition. A perturbation approach, valid for large Stefan numbers, is used to reduce the governing system of partial differential equations to a less complex one involving two ordinary differential equations. Comparison between the reduced system and the numerical solution shows good agreement. Our results reproduce interesting behaviour observed experimentally such as the abrupt melting of nanoparticles. Standard analyses of the Stefan problem impose constant physical properties, such as density or specific heat. We formulate the Stefan problem to allow for variation at the phase change and show that this can lead to significantly different melting times when compared to the standard formulation. In chapter 4 we study a mathematical model describing the solidification of supercooled liquids. For Stefan numbers larger than unity the classical Neumann solution provides an analytical expression to describe the solidification. For Stefan numbers equal or smaller than unity, the Neumann solution is no longer valid. Instead, a linear relationship between the phase change temperature and the front velocity is often used. This allows solutions for all values of the Stefan number. However, the linear relation is an approximation to a more complex, nonlinear relationship, valid for small amounts of supercooling. We look for solutions using the nonlinear relation and demonstrate the inaccuracy of the linear relation for large supercooling. Further, we show how the classical Neumann solution significantly over-predicts the solidification rate for values of the Stefan number near unity. The Stefan problem is often reduced to a 'one-phase' problem (where one of the phases is neglected) in order to simplify the analysis. When the phase change temperature is variable it has been claimed that the standard reduction loses energy. In chapters 5 and 6, we examine the one-phase reduction of the Stefan problem when the phase change temperature is time-dependent. In chapter 5 we derive a one-phase reduction of the supercooled Stefan problem, and test its performance against the solution of the two-phase model. Our model conserves energy and is based on consistent physical assumptions, unlike one-phase reductions from previous studies. In chapter 6 we study the problem from a general perspective, and identify the main erroneous assumptions of previous studies leading to one-phase reductions that do not conserve energy or, alternatively, are based on non-physical assumptions. We also provide a general one-phase model of the Stefan problem with a generic variable phase change temperature, valid for spherical, cylindrical and planar geometries.
En aquesta tesi desenvolupem i analitzem models matemàtics que descriuen processos de transició de fase vinculats a noves tecnologies. Els models es basen en modificacions de la teoria estàndard de canvis de fase. Les tècniques matemàtiques per resoldre els models es basen en l'anàlisi asimptòtic, solucions autosimilars, el mètode de la integral del balanç de la calor i mètodes numèrics estàndards com ara el mètode de les diferències finites. En els capítols 2 i 3 estudiarem la transició solid-liquid d'una nanopartícula, acoblant la relació de Gibbs-Thomson, que descriu la depressió de la temperatura de fusió en una superfície corba, amb l'equació de la calor per la fase sòlida i líquida, i la condició de Stefan. Mitjançant el mètode de pertorbacions, per a valors grans del nombre de Stefan, el problema d'equacions en derivades parcials inicial és reduït a un sistema més senzill de dues equacions diferencials ordinàries. La solució del sistema reduït concorda perfectament amb la solució numèrica del sistema inicial d'equacions en derivades parcials. Els resultats confirmen la transició ultra ràpida de sòlid a líquid observada en experiments amb nanopartícules. Els anàlisis estàndards del problema de Stefan consideren propietats físiques com la densitat i el calor específic constants en la fase sòlida i líquida. En aquesta tesi, formularem el problema de Stefan relaxant la condició de densitat constant, el que portarà a diferències molt significatives en els temps totals de fusió al comparar-los amb els temps obtinguts mitjançant la formulació habitual del problema de Stefan. En el capítol 4 estudiarem un model matemàtic que descriu la solidificació de líquids sota-refredats. Per nombres de Stefan més grans que la unitat la solució clàssica de Neumann dona una expressió analítica que descriu el procés. Per valors del nombre de Stefan més petits o iguals que la unitat, la solució de Neumann no es vàlida i, habitualment, per tal de trobar solucions en aquest règim, s'estableix una relació lineal entre la temperatura de canvi de fase i la velocitat del front de solidificació. Aquesta relació lineal però, és una aproximació per sota-refredaments moderats d'una relació no lineal més complexa. En aquest capítol, buscarem solucions del problema incorporant la relació no lineal al model, i demostrarem la poca precisió a l'utilitzar l'aproximació lineal. A més a més, veurem com la solució de Neumann sobreestima de manera significativa la velocitat del procés per valors propers a la unitat. Habitualment, el problema de Stefan és simplificat a un problema d'una fase (on una de les fases es desestimada) per tal de reduir la dificultat de l'anàlisi. En casos on la temperatura de transició de fase és variable s'ha reclamat que la simplificació d'una fase del problema no conserva l'energia. En els capítols 5 i 6, examinarem les diferents reduccions d'una fase del problema de Stefan en el cas on la temperatura de transició depèn del temps. En el capítol 5 derivarem el problema de Stefan d'una fase associat a la solidificació de líquids sota-refredats, i compararem la solució del sistema resultant amb la solució del problema de Stefan estàndard de dues fases. A diferència dels models d'una fase descrits en estudis previs, el nostre model reduït conserva l'energia i està basat en suposicions físiques consistents. En el capítol 6 estudiarem el problema des d'una perspectiva més general i identificarem les suposicions errònies d'estudis previs que porten a la no conservació de l'energia o que, alternativament, estan basades en suposicions físiques poc consistents. A més a més, derivarem un model d'una fase amb temperatura de canvi de fase variable, vàlid per geometries esfèriques, cilíndriques i planes.

In this thesis we focus on the Capacitated Minimum Spanning Tree (CMST), an extension of the minimum spanning tree (MST) which considers a central or root vertex which receives and sends commodities (information, goods, etc) to a group of terminals. Such commodities flow through links which have capacities that limit the total flow they can accommodate. These capacity constraints over the links result of interest because in many applications the capacity limits are inherent. We find the applications of the CMST in the same areas as the applications of the MST; telecommunications network design, facility location planning, and vehicle routing. The CMST arises in telecommunications networks design when the presence of a central server is compulsory and the flow of information is limited by the capacity of either the server or the connection lines. Its study also results specially interesting in the context of the vehicle routing problem, due to the utility that spanning trees can have in constructive methods. By the simple fact of adding capacity constraints to the MST problem we move from a polynomially solvable problem to a non-polynomial one. In the first chapter we describe and define the problem, introduce some notation, and present a review of the existing literature. In such review we include formulations and exact methods as well as the most relevant heuristic approaches. In the second chapter two basic formulations and the most used valid inequalities are presented. In the third chapter we present two new formulations for the CMST which are based on the identification of subroots (vertices directly connected to the root). One way of characterizing CMST solutions is by identifying the subroots and the vertices assigned to them. Both formulations use binary decision variables y to identify the subroots. Additional decision variables x are used to represent the elements (arcs) of the tree. In the second formulation the set of x variables is extended to indicate the depth of the arcs in the tree. For each formulation we present families of valid inequalities and address the separation problem in each case. Also a solution algorithm is proposed. In the fourth chapter we present a biased random-key genetic algorithm (BRKGA) for the CMST. BRKGA is a population-based metaheuristic, that has been used for combinatorial optimization. Decoders, solution representation and exploring strategies are presented and discussed. A final algorithm to obtain upper bounds for the CMST is proposed. Numerical results for the BRKGA and two cutting plane algorithms based on the new formulations are presented in the fifth chapter . The above mentioned results are discussed and analyzed in this same chapter. The conclusion of this thesis are presented in the last chapter, in which we include the opportunity areas suitable for future research.
En esta tesis nos enfocamos en el problema del Árbol de Expansión Capacitado de Coste Mínimo (CMST, por sus siglas en inglés), que es una extensión del problema del árbol de expansión de coste mínimo (MST, por sus siglas en inglés). El CMST considera un vértice raíz que funciona como servidor central y que envía y recibe bienes (información, objetos, etc) a un conjunto de vértices llamados terminales. Los bienes solo pueden fluir entre el servidor y las terminales a través de enlaces cuya capacidad es limitada. Dichas restricciones sobre los enlaces dan relevancia al problema, ya que existen muchas aplicaciones en que las restricciones de capacidad son de vital importancia. Dentro de las áreas de aplicación del CMST más importantes se encuentran las relacionadas con el diseño de redes de telecomunicación, el diseño de rutas de vehículos y problemas de localización. Dentro del diseño de redes de telecomunicación, el CMST está presente cuando se considera un servidor central, cuya capacidad de transmisión y envío está limitada por las características de los puertos del servidor o de las líneas de transmisión. Dentro del diseño de rutas de vehículos el CMST resulta relevante debido a la influencia que pueden tener los árboles en el proceso de construcción de soluciones. Por el simple de añadir las restricciones de capacidad, el problema pasa de resolverse de manera exacta en tiempo polinomial usando un algoritmo voraz, a un problema que es muy difícil de resolver de manera exacta. En el primer capítulo se describe y define el problema, se introduce notación y se presenta una revisión bibliográfica de la literatura existente. En dicha revisión bibliográfica se incluyen formulaciones, métodos exactos y los métodos heurísticos utilizados más importantes. En el siguiente capítulo se muestran dos formulaciones binarias existentes, así como las desigualdades válidas más usadas para resolver el CMST. Para cada una de las formulaciones propuestas, se describe un algoritmo de planos de corte. Dos nuevas formulaciones para el CMST se presentan en el tercer capítulo. Dichas formulaciones estás basadas en la identificación de un tipo de vértices especiales llamados subraíces. Los subraíces son aquellos vértices que se encuentran directamente conectados al raíz. Un forma de caracterizar las soluciones del CMST es a través de identificar los nodos subraíces y los nodos dependientes a ellos. Ambas formulaciones utilizan variables para identificar los subraices y variables adicionales para identificar los arcos que forman parte del árbol. Adicionalmente, las variables en la segunda formulación ayudan a identificar la profundidad con respecto al raíz a la que se encuentran dichos arcos. Para cada formulación se presentan desigualdades válidas y se plantean procedimientos para resolver el problema de su separación. En el cuarto capítulo se presenta un algoritmo genético llamado BRKGA para resolver el CMST. El BRKGA está basado en el uso de poblaciones generadas por secuencias de números aleatorios, que posteriormente evolucionan. Diferentes decodificadores, un método de búsqueda local, espacios de búsqueda y estrategias de exploración son presentados y analizados. El capítulo termina presentando un algoritmo final que permite la obtención de cotas superiores para el CMST. Los resultados computacionales para el BRKGA y los dos algoritmos de planos de corte basados en las formulaciones propuestas se muestran en el quinto capítulo. Dichos resultados son analizados y discutidos en dicho capítulo. La tesis termina presentando las conclusiones derivadas del desarrollo del trabajo de investigación, así como las áreas de oportunidad sobre las que es posible realizar futuras investigaciones.

The thesis is divided into two parts. The first part is mainly concerned with regularity issues for integro-differential (or nonlocal) elliptic and parabolic equations. In the same way that densities of particles with Brownian motion solve second order elliptic or parabolic equations, densities of particles with Lévy diffusion satisfy these more general nonlocal equations. In this context, fully nonlinear nonlocal equations arise in Stochastic control problems or differential games. The typical example of elliptic nonlocal operator is the fractional Laplacian, which is the only translation, rotation and scaling invariant nonlocal elliptic operator. There many classical regularity results for the fractional Laplacian ---whose ``inverse'' is the Riesz potential. For instance, the explicit Poisson kernel for a ball is an ``old'' result, as well as the linear solvability theory in L^p spaces. However, very little was known on boundary regularity for these problems. A main topic of this thesis is the study of this boundary regularity, which is qualitatively very different from that for second order equations. We stablish a new boundary regularity theory for fully nonlinear (and linear) elliptic integro-differential equations. Our proofs require a combination of original techniques and appropriate versions of classical ones for second order equations (such as Krylov's method). We also obtain new interior regularity results for fully nonlinear parabolic nonlocal equation with rough kernels. To do it, we develop a blow up and compactness method for viscosity solutions to fully nonlinear equations that allows us to prove regularity from Liouville type theorems.This method is a main contribution of the thesis. The new boundary regularity results mentioned above are crucially used in the proof of another main result of the thesis: the Pohozaev identity for the fractional Laplacian. This identity is has a flavor of integration by parts formula for the fractional Laplacian, with the important novely there appears a local boundary term (this was unusual with nolocal equations). In the second part of the thesis we give two instances of interaction between isoperimetry and Partial Differential Equations. In the first one we use the Alexandrov-Bakelman-Pucci method for elliptic PDE to obtain new sharp isoperimetric inequalities in cones with densities by generalizing a proof of the classical isoperimetric inequality due to Cabré. Our new results contain as particular cases the classical Wulff inequality and the isoperimetric inequality in cones of Lions and Pacella. In the second instance we use the isoperimetric inequality and the classical Pohozaev identity to establish a radial symmetry result for second order reaction-diffusion equations. The novelty here is to include discontinuous nonlinearities. For this, we extend a two-dimensional argument of P.-L. Lions from 1981 to obtain now results in higher dimensions
La tesi està dividida en dues parts. La primera part es centra principalment en questions de regularitat per equacions integro - iferencials (o no locals) el·líptiques i parbòliques. De la mateixa manera que les densitats de partícules amb un moviment Brownià resolen equacions el·líptiques o parbòliques de segon ordre, les densitats de partícules amb una difusió de tipus Lévy resolen aquestes equacions no locals més generals. En aquest context, les equacions completament no lineals sorgeixen de problemes de control estocàstic o "differential games''. L'exemple típic d'operador el·liptic no local és el laplacià fraccionari, el qual és l'únic d'aquests operadors que és invariant per translacions, rotacions, i reescalament. Hi ha molts resultats clàssics de regularitat per el laplacià fraccionari --- "l'invers'' del qual és el potencial de Riesz. Per exemple, el nucli de Poisson (explícit) per la bola és un resultat "vell'', així com la teoria de resolubilitat en espais L^p. No obstant això, se sabia ben poc sobre la regularitat a la vora per a aquests problemes. Un tema principal d'aquesta tesi és l'estudi d'aquesta regularitat a la vora, que és qualitativament molt diferent de la de les equacions de segon ordre . A la tesi s'estableix una nova teoria regularitat a la vora per completament no lineals ( i lineals ) equacions integro - diferencials el·líptiques . Les nostres demostracions requeixen una combinació de tècniques originals i versions apropiades de les clàssiques equacions de segon ordre ( com ara el mètode de Krylov ). També obtenim nous resultats de regularitat interior per equacions parabòliques no locals completament no lineals i amb "rough kernels''. A tal efecte, desenvolupem un mètode de blow-up i compacitat per a equacions completament no lineals que en permet provar regularitat a partir de teoremes de tipus Liouville. Aquest mètode és una contribució principal de la tesi. Els nous resultats de regularitat a la vora esmentats anteriorment són essencials en la prova d'un altre resultat principal de la tesi: la identitat Pohozaev per al Laplacià fraccionari. Aquesta identitat recorda a una fórmula d'integració per parts, però amb el Laplacià fraccionari. La novetat important és que apareix un terme de vora locals (això era inusual amb equacions no locals) . A la segona part de la tesi que donem dos exemples d'interacció entre isoperimetria i Equacions en Derivades Parcials. En el primer, s'utilitza el mètode d'Alexandrov- Bakelman-Pucci per a EDP el·líptiques a fi d'obtenir noves desigualtats isoperimètriques en cons convexos amb densitats, generalitzant una prova de la desigualtat isoperimètric clàssica de X. Cabré. Els nostres nous resultats contenen com a casos particularsla desigualtat clàssica de Wulff i la desigualtat isoperimètrica en cons de Lions-Pacella. En el segon exemple s'utilitza la desigualtat isoperimètrica i la identitat Pohozaev clàssica per establir un resultat de simetria radial per equacions de reacció-difusió de segon ordre. La novetat en aquest cas és que s'inclouen no-linealitats discontínues. Per a provar aquest resultat, estenem un argument en dues dimensions de P.-L. Lions de 1981 i podem obtenir ara resultass en dimensions superiors.

En l'article [CKSTT] els autors proven una inestabilitat global per a l'equació de Schrödinger cúbica desenfocant en el tor 2-dimensional. Per aconseguir-ho, detecten un sistema finit d'equacions diferencials ordinàries, l'anomenat Toy Model System, per al quan proven un resultat que típicament s'anomena de difusió: la connexió de N objectes invariants connectats entre ells mitjançant òrbites heteroclíniques. El que no esmenten és que la intersecció entre les varietats invariants de dos objectes consecutius no és transversal. Això fa descartar, pràcticament, que el mecanisme de difusió sigui regit per la coneguda difusió d'Arnold i, per tant, no hi ha una explicació geomètrica del motiu pel qual aquests objectes invariants poden ser connectats. L'objectiu principal de la tesi és proposar un mecanisme geomètric que justifiqui el fet que aquesta difusió és possible. En el Capítol 2 evidenciem que la intersecció entre les esmentades varietats no és transversal en el Toy Model System i mostrem, mitjançant exemples, que aquesta falta de transversalitat pot impedir la connexió en una cadena de transició. Un cop vist que la connexió pot no ser possible si la intersecció no és transversal, detectem el motiu per al qual sí que és possible en el cas del Toy Model System. La raó és l'alta dimensió del problema i que cada nova connexió pren lloc en un espai nou, en unes direccions que encara no s'han utilitzat. D'altra banda es troben exemples integrables per als quals aquesta difusió és possible, allunyant-nos del tot de la difusió d'Arnold, típica per a sistemes no integrables. En el mateix capítol es proposa un esquema de detecció per aquest tipus de difusió mitjançant el llenguatge dels h-sets i les relacions de cobriment, de manera que s'estableix una prova que justifica la connexió sempre i quan es provin abans certes relacions de cobriment. Mitjançant aquest esquema de detecció, en el Capítol 3 es prova la connexió en el cas del Toy Model System. Durant la prova, aconseguim millorar el Teorema original de difusió de [CKSTT] permetent apropar-nos arbitràriament a la cadena d'heteroclíniques i, en particular, als objectes invariants. De la prova, també en destaquem l'ús de tècniques típiques dels Sistemes Dinàmics que permeten entendre millor l'esquema de connexió, respecte la prova original. [CKSTT]: J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, and T. Tao. Transfer of energy to high frequencies in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation. Invent. Math., 181(1):39-113, 2010.
In [CKSTT], the authors prove a global instability in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation defined in the 2-dimensional torus. To obtain so, they detect a finite system of ordinary differential equations, the so-called Toy Model System, for which they prove, as it is typically called, a diffusion result: the connection of N invariant objects connected through heteroclinic orbits. What is not mentioned there is that the intersection between the invariant manifolds of two consecutive invariant objects is not transverse. With this fact we can almost discard that the mechanism for diffusion relies on the socalled Arnold diffusion so, then, there is no geometric explanation of why the invariant objects can be connected. The main goal of this thesis is to propose a geometric mechanism that justifies the fact that this diffusion is possible. In Chapter 2 we prove that, indeed, the intersection between the above mentioned invariant manifolds is not transverse in the Toy Model System and we show through examples that the lack of transversality can forbid the connection in a transition chain. Once we have seen that the connection could not be possible if the intersection is non-transverse, we detect the reason why it is possible in the Toy Model System. The main reason is the high dimension of the system and the fact that each new connection takes place in a new space, in some directions that have not been used before. In addition we present an integrable example for which the diffusion is feasible, totally discarding, then, the Arnold diffusion as a mechanism since it is typical for non integrable systems. In the same chapter, a scheme of detection for this new kind of diffusion is proposed through the language of h-sets and covering relations. A proof that justifies the connection if some covering relations hold is established. Through this scheme of detection, in Chapter 3 we prove the connection in the Toy Model System. We can also improve the original result of diffusion of [CKSTT]. Our result allows us to get arbitrarily close to the heteroclinic chain and, in particular, to the invariant objects for a larger diffusing time. We also highlight the use of typical Dynamical Systems tools that make the argument of connection more understandable with respect to the original proof. [CKSTT]: J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, and T. Tao. Transfer of energy to high frequencies in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation. Invent. Math., 181(1):39-113, 2010.

In the first part, we formally study the phenomenon of the so-called big bang bifurcations, both for one and two-dimensional piecewise-smooth maps with a single switching boundary. These are a special type of organizing centers consisting on points in parameter space with co-dimension higher than one from which an infinite number of bifurcation curves emerge. These separate existence regions of periodic orbits with arbitrarily large periods. We show how a mechanism for their occurrence in piecewise-defined maps is the simultaneous collision of fixed (or periodic) points with the switching boundary. For the one-dimensional case, the sign of the eigenvalues associated with the colliding fixed points determines the possible bifurcation scenarios. When they are attracting, we show how the two typical bifurcation structures, so-called period incrementing and period adding, occur if they have different sign or both are positive, respectively. Providing rigorous arguments, we also conjecture sufficient conditions for their occurrence in two-dimensional piecewise-defined maps. In addition, we also apply these results to first and second order systems controlled with relays, systems in slide-mode control. In the second part of this thesis, we discuss global aspects of piecewise-defined Hamiltonian systems. These are piecewise-defined systems such that, when restricted to each domain given in its definition, the system is Hamiltonian. We first extend classical Melnikov theory for the case of one degree of freedom under periodic non-autonomous perturbations. We hence provide sufficient conditions for the persistence of subharmonic orbits and for the existence of transversal heteroclinic/homoclinic intersections. The crucial tool to achieve this is the so-called impact map, a regular map for which classical theory of dynamical systems can be applied. We also extend these sufficient conditions to the case when the trajectories are forced to be discontinuous by means of restitution coefficient simulating a loss of energy at the impacts. As an example, we apply our results to a system modeling the dynamical behaviour of a rocking block. Finally, we also consider the coupling of two of the previous systems under a periodic perturbation: a two and a half degrees of freedom piecewise-defined Hamiltonian system. By means of a similar technique, we also provide sufficient conditions for the existence of transversal intersections between stable and unstable manifolds of certain invariant manifolds when the perturbation is considered. In terms of the rocking blocks, these are associated with the mode of movement given by small amplitude rocking for one block while the other one follows large oscillations of small frequency. This heteroclinic intersections allow us to define the so-called scattering map, which links asymptotic dynamics in the invariant manifolds through heteroclinic connections. It is the essential tool in order to construct a heteroclinic skeleton which, when followed, can lead to the existence of Arnold diffusion: trajectories that, in large time scale destabilize the system by further accumulating energy.

The aim of this thesis is to contribute to the field of discrete boundary value problems on finite networks. Boundary value problems have been considered both on the continuum and on the discrete fields. Despite working in the discrete field, we use the notations of the continuous field for elliptic operators and boundary value problems. The reason is the importance of the symbiosis between both fields, since sometimes solving a problem in the discrete setting can lead to the solution of its continuum version by a limit process. However, the relation between the discrete and the continuous settings does not work out so easily in general. Although the discrete field has softness and regular conditions on all its manifolds, functions and operators in a natural way, some difficulties that are avoided by the continuous field appear. Specifically, this thesis endeavors two objectives. First, we wish to deduce functional, structural or resistive data of a network taking advantage of its conductivity information. The actual goal is to gather functional, structural and resistive information of a large network when the same specifics of the subnetworks that form it are known. The reason is that large networks are difficult to work with because of their size. The smaller the size of a network, the easier to work with it, and hence we try to break the networks into smaller parts that may allow us to solve easier problems on them. We seek the expressions of certain operators that characterize the solutions of boundary value problems on the original networks. These problems are denominated direct boundary value problems, on account of the direct employment of the conductivity information. The second purpose is to recover the internal conductivity of a network using only boundary measurements and global equilibrium conditions. For this problem is poorly arranged because it is highly sensitive to changes in the boundary data, at times we only target a partial reconstruction of the conductivity data or we introduce additional conditions to the network in order to be able to perform a full internal reconstruction. This variety of problems is labelled as inverse boundary value problems, in light of the profit of boundary information to gain knowledge about the inside of the network. Our work tries to find situations where the recovery is feasible, partially or totally. One of our ambitions regarding inverse boundary value problems is to recuperate the structure of the networks that allow the well-known Serrin's problem to have a solution in the discrete setting. Surprisingly, the answer is similar to the continuous case. We also aim to achieve a network characterization from a boundary operator on the network. With this end we define a new class of boundary value problems, that we call overdetermined partial boundary value problems. We describe how the solutions of this family of problems that hold an alternating property on a part of the boundary spread through the network preserving this alternance. If we focus in a family of networks, we see that the above mentioned operator on the boundary can be the response matrix of an infinite family of networks associated to different conductivity functions. By choosing an specific extension, we get a unique network whose response matrix is equal to a previously given matrix. Once we have characterized those matrices that are the response matrices of certain networks, we try to recover the conductances of these networks. With this end, we characterize any solution of an overdetermined partial boundary value problem and describe its resolvent kernels. Then, we analyze two big groups of networks owning remarkable boundary properties which yield to the recovery of the conductances of certain edges near the boundary. We aim to give explicit formulae for the acquirement of these conductances. Using these formulae we are allowed to execute a full conductivity recovery under certain circumstances.
Aquesta tesi té dos objectius generals. Primer, volem deduir dades funcionals, estructurals o resistives d'una xarxa fent servir la informació proporcionada per la seva conductivitat. L'objectiu real és aconseguir aquesta informació d'una xarxa gran quan coneixem la mateixa de les subxarxes que la formen. El motiu és que les xarxes grans no són fàcils de treballar a causa de la seva mida. Com més petita sigui una xarxa, més fàcil serà treballar-hi, i per tant intentem trencar les xarxes grans en parts més petites que potser ens permeten resoldre problemes sobre elles més fàcilment. Principalment busquem les expressions de certs operadors que caracteritzen les solucions dels problemes de contorn en les xaxes originals. Aquests problemes es diuen problemes directes, ja que s'empren directament les dades de conductivitat per obtenir informació. El segon objectiu és recuperar les dades de conductivitat a l'interior d'una xarxa emprant només mesures a la frontera de la mateixa i condicions d'equiliri globals. Com que aquest problema no està ben establert perquè és altament sensible als canvis en les dades de frontera, de vegades només busquem una reconstrucció partial de la conductivitat o afegim condicions a la xarxa per tal de recuperar completament la conductivitat. Aquest tipus de problemes es diuen problemes inversos, ja que es fa servir informació a la frontera per aconseguir coneixements de l'interior de la xarxa. Aquest treball tracta de trobar situacions on la recuperació, total o parcial, es pugui dur a terme. Una de les nostres ambicions quant a problemes inversos és recuperar l'estructura de les xarxes per les que el ben conegut Problema de Serrin té solució en el camp discret. Sorprenentment, la resposta és similar al cas continu. També volem caracteritzar les xarxes mitjançant un operador a la frontera. Amb aquesta finalitat definim els problemes de contorn parcials sobredeterminats i describim com les solucions d'aquesta família de problemes que tenen una propietat d'alternància a una part de la frontera es propaguen a través de la xarxa mantenint aquesta alternància. Si ens centrem en una certa família de xarxes, veiem que l'operador a la frontera que abans hem mencionat pot ser la matriu de respostes d'una família infinita de xarxes amb diferentes conductivitats. Escollint una extensió en concret, obtenim una única xarxa per la qual una matriu donada és la seva matriu de respostes. Un cop hem caracteritzat aquelles matrius que són la matriu de respostes de certes xarxes, intentem recuperar les conductàncies d'aquestes xarxes. Amb aquesta finalitat, caracteritzem qualsevol solució d'un problema de contorn parcial sobredeterminat. Després, analitzem dos gran grups de xarxes que tene propietats de frontera notables i que ens porten a la recuperació de les conductàncies de certes branques a prop de la frontera. L'objectiu és donar fórmules explícites per obtenir aquestes conductàncies. Fent servir aquestes fórmules, aconseguim dur a terme una recuperació completa de conductàncies sota certes circumstàncies

In this work I present a 23Na/51V-NMR study of sodium vanadate as pure compound, and the influence of very small amounts of Sodium substitution by Calcium and Lithium is reported and discussed. The measurements of spin-lattice relaxation for 23Na and 51V are also presented. The sodium vanadate is found to have a double phase transition. The two transitions are close together and take place around 34 K. Above the transition temperature there is one V site in the mixed oxidation state 4.5+ and there is one Na site. A consistency for a number of un-doped and very slightly doped samples of three vanadium valences is argued, confirming a charge ordering transition at transition temperature, in good qualitative agreement with Bernert’s model and as well in quantitative and qualitative agreement with Sawa’s monoclinic structure. Below the transition temperature sodium is found to have ten sites. The number of the Na site is continuously developed with decreasing the temperature below transition temperature. This continues development of the Na sites demonstrates that the second transition is continues. The detailed spin-lattice relaxation rate for 23Na in both, the pure and the doped samples, in transition region, provided evidence for a non-symmetric and complex transition peak structure which we relate to the onset of more than one transition occurring at slightly different temperatures. This scales with the transition temperature reduction provided by lithium and calcium doping. The two transitions (i.e. dimerization and charge ordering) are intimately related. We investigated the spin-gap by means of Vanadium and Sodium spin-lattice relaxation temperature dependence well below transition temperature. The analysis of the single crystal data reveals a significant anisotropy in the nature of the gap, which is sensitive to Calcium and Lithium doping, indicating that is constrained to the ladder plane.

This thesis examines the British state's international economic strategy in the postwar period of Attlee's governments 1945-51. It assesses the international political determinants of economic management in the Chancellorships of Dalton, Cripps, and Gaitskell. Special attention is paid to a critical examination of the orthodox interpretations of postwar British action which claim that the British state capitulated to American demands. The evidence of this thesis suggests that this claim is incorrect. The Labour government rejected a radical socialist solution to the economic problems facing Britain in 1945. To realise Labour's programme of domestic reconstruction the state required rapid accumulation which could only be achieved if Britain could reconstruct an adequate international payments system to facilitate trade and secure regular imports of essential commodities and raw materials. Although the postwar structure of production and trade left Western Europe heavily dependent on the economic resources of the United States, Britain had a strong bargaining position which rested on London's role as the primary financial centre and the UK's initial political and economic strength in relation to the other nations of Western Europe. Britain exploited these strengths to subvert the American objectives of world domination and ultimately coax the USA into accepting an Atlantic partnership to the mutual interest of each party. Whilst Britain's long-term objective was to re-establish sterling as a world currency, this objective should not be seen as simply serving US wishes or realising the interests of the City of London against 'national interests'. The objective was based on a material necessity, to overcome the primary barrier to accumulation which was the inappropriate structure of production and trade experienced in the dollar gap. Britain therefore used dollar aid to restructure trade, stimulate production, and reduce the dollar gap to gain some degree of independence from the United States.

Damage to DNA from a variety of sources can lead to damaged proteins, genomic instability, aneuploidy, and cancer. It is therefore essential to repair DNA damage, and to do so a variety of DNA repair mechanisms have evolved. One of the repair mechanisms, known as homologous recombination (HR) repair, uses an undamaged sister chromatid as a template to make error free repairs to double-strand (ds) DNA breaks. While many proteins are involved in HR, this work focuses on testing the interactions of a subset of these proteins known as the Rad51 paralogs. The goal of this study is to determine if the putative Rad51 paralogs in Drosophila melanogaster are sufficiently conserved as to function in the same manner as their human counterparts. This research is part of a larger project to determine if Drosophila melanogaster is a good model organism for studying HR in humans (Hs). The D. melanogaster Rad51 gene, and its four paralogs Spn D, Spn B, Rad51D, XRCC2 (the last 2 identified by sequence homology), and human hsRad51D and hsXRCC2, were cloned into Invitrogen's TOPO protein expression vector. When induced with IPTG, the resulting fusion proteins contains either aN-terminal Xpress TM epitope or a C-terminal V5 epitope. The fusion proteins were used in immunoprecipitation assays with antibodies against the epitope tags to test for proteinprotein interactions. While many of the assays were inconclusive and are still being optimized, the interaction of the C-terminally tagged dmXRCC2 with theN-terminally tagged hsRad51D gave a positive result. This single interspecies result suggests that homologous recombination is highly conserved between D. melanogaster and humans.

In this work I present a 23Na/51V-NMR study of sodium vanadate as pure compound, and the influence of very small amounts of Sodium substitution by Calcium and Lithium is reported and discussed. The measurements of spin-lattice relaxation for 23Na and 51V are also presented. The sodium vanadate is found to have a double phase transition. The two transitions are close together and take place around 34 K. Above the transition temperature there is one V site in the mixed oxidation state 4.5+ and there is one Na site. A consistency for a number of un-doped and very slightly doped samples of three vanadium valences is argued, confirming a charge ordering transition at transition temperature, in good qualitative agreement with Bernert’s model and as well in quantitative and qualitative agreement with Sawa’s monoclinic structure. Below the transition temperature sodium is found to have ten sites. The number of the Na site is continuously developed with decreasing the temperature below transition temperature. This continues development of the Na sites demonstrates that the second transition is continues. The detailed spin-lattice relaxation rate for 23Na in both, the pure and the doped samples, in transition region, provided evidence for a non-symmetric and complex transition peak structure which we relate to the onset of more than one transition occurring at slightly different temperatures. This scales with the transition temperature reduction provided by lithium and calcium doping. The two transitions (i.e. dimerization and charge ordering) are intimately related. We investigated the spin-gap by means of Vanadium and Sodium spin-lattice relaxation temperature dependence well below transition temperature. The analysis of the single crystal data reveals a significant anisotropy in the nature of the gap, which is sensitive to Calcium and Lithium doping, indicating that is constrained to the ladder plane.

I linfomi cutanei a cellule T (CTCL) comprendono un gruppo eterogeneo di disordini linfoproliferativi caratterizzati dall’invasione cutanea di cellule T neoplastiche, rappresentano il 65% dei LC e sono costituiti per il 90% dalle entità più conosciute, la micosi fungoide, la sindrome di Sezary e le malattie linfoproliferative primitive cutanee CD30+. Una delle principali caratteristiche dei CTCL, in particolare nelle forme più avanzate e aggressive, è la capacità delle cellule T neoplastiche di resistere agli stimoli apoptotici (quali, ad esempio, quelli indotti dagli agenti chemioterapici convenzionali) con conseguente frequente insuccesso dei trattamenti terapeutici e mancata remissione a lungo termine della malattia. Diversi studi hanno attribuito la capacità di chemioresistenza delle cellule neoplastiche alla persistente attivazione del pathway di NF-κB, un fattore di trascrizione sequenza-specifico ben conosciuto per il suo coinvolgimento nell'infiammazione e nella risposta immunitaria innata. Negli ultimi anni diverse evidenze sperimentali hanno suggerito un importante ruolo per l’immunofillina FKBP-51 nel controllo del pathway di NF-κB in diversi tipi di neoplasie maligne umane, con particolare ruolo nell’induzione di chemioreristenza. Sulle premesse teoriche sin qui enunciate si inserisce il lavoro oggetto della tesi di dottorato. Il suo scopo è stato quello di valutare l’espressione immunoistochimica di FKBP-51 in una serie di pazienti con CTCL, allo scopo di stabilire l’eventuale ruolo di tale proteina come nuovo marker di progressione tumorale e, quindi, come nuovo fattore prognostico per questo gruppo di neoplasie.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI)
Continued consumption of alcohol despite the knowledge of negative consequences is a hallmark of alcohol use disorder (AUD), yet much remains unknown about what motivates these behaviors. Compulsive drinking may require motivational resources that are not necessary when drinking in unchallenged conditions in order to counteract the addition of these negative consequences. Increased sensitivity to drug-paired stimuli via associative learning processes may provide this additional motivation. To evaluate if alcohol-paired stimuli enhance alcohol seeking, selectively bred crossed High Alcohol Preferring mice experienced Pavlovian conditioning procedures with an alcohol unconditioned stimulus. We hypothesized that after repeated pairings, alcohol cues would elicit seeking conditioned responses. Then, to determine if the motivation provided by these cues influenced responding, mice were trained to respond for alcohol and tested in the presence of alcohol cues. Finally, to test if alcohol-paired cues influence compulsive drinking, this same test was repeated with the addition of response-contingent footshock. We hypothesized the cue paired with alcohol would increase responding for alcohol in unchallenged conditions, but especially in challenged conditions, contributing to compulsivity. An auditory stimulus paired with alcohol did elicit enhanced seeking responses, but contrary to hypothesis, we observed no effect of these same cues on instrumental responding. To validate these findings, training and testing procedures must be optimized to ensure conditioning has properly occurred and compulsivity is being appropriately measured.

This thesis was created to ensure the quality of the rock which would be crushed to base layer construction material, in a road cut at Swedish highway 51, and to find a possible link between the rock's abrasion resistance and its mineralogy. Rock samples were collected, and among other things, several ball mill tests were carried out. The design of the road project was carried out by Loxia Group AB with NCC Group as contractor.A total of 18 rock samples and 2 base layer samples were taken in the area and they were all tested in a ball mill. The results showed that of the 18 rock samples, 2 samples had a ball mill value of less than 16 on the scale, 10 samples had values from 16 to 20, in addition to this, 3 samples had values from 20 to 21 and 3 samples had values in excess of 21 on the Swedish ball mill scale.Of the 3 samples with a ball mill value higher than 21, all contained a larger amount of biotite. Biotite did not appear to the same extent among the samples that ended up further down the ball mill scale. This link was so clear that a conclusion was subsequently drawn from this. The samples taken on the prefabricated base layer both had a ball mill value between 16 and 20. Overall, both the base layer and the rock material passed the Swedish Government’s Transport Administration’s requirements according to "TRVKB 10, Obundna lager". The rock type that was on the south part of the rock cut, adjacent to a deformation zone, had way too poor quality to undergo a ball mill test and therefore there are no values taken from that area.The conclusion of the work is that the rock material overall meets the Swedish Government’s Transport Administration’s requirements for base layer construction materials according to "TRVKB 10 Obundna lager", that a clear link between the proportion of biotite in a rock material and its abrasion resistance exists, and that the broken rock in the south should not be used as construction materials since the rock has insufficient mechanic capacity.

Tese mestrado em matemática, área de especialização em ensino
O principal objectivo desta tese é o de clarificar, através de um estudo sistemático, as variadas implicações para o ensino das funções reais de variável real do tratamento do conjunto dos números reais como conjunto finito, discreto e limitado que a calculadora gráfica nos oferece. Os actuais programas do Ensino Secundário de Matemática prevêem a utilização de calculadoras gráficas não apenas como meros instrumentos de cálculo que devem estar à 0disposição dos alunos mas, sobretudo, como meios de incentivo ao espírito de pesquisa. Defendem, esses programas, que a formalização e a estruturação do conhecimento matemático enquanto sistema dedutivo não são pontos de partida mas sim metas a atingir com a ajuda, em particular, de meios tecnológicos. As máquinas de calcular afirmam-se como instrumentos didácticos indispensáveis na concretização de objectivos gerais fundamentais da aprendizagem da Matemática, mas também na concretização de competências específicas do ensino de determinados tópicos. De facto, a utilização das calculadoras gráficas nas salas de aula pode permitir a resolução de problemas mais realísticos, pode contribuir para um melhor entendimento das funções matemáticas e pode proporcionar um maior envolvimento dos alunos na descoberta de soluções para os problemas propostos. Uma vez que os professores de Matemática portugueses parecem suficientemente esclarecidos sobre os benefícios da utilização das calculadoras gráficas e o seu uso generalizado é já uma realidade, urge chamar a atenção para os perigos que resultam de uma “utilização às cegas”. Neste estudo são apresentados alguns exemplos que ilustram como se pode chegar a resultados errados se se fizer um uso da calculadora desligado da análise e do cálculo numéricos. Na verdade, as calculadoras gráficas têm limitações tecnológicas que fazem com que seja impossível captar em imagens discretas certas características das funções reais de variável real. As limitações porventura mais importantes das calculadoras gráficas são assim consequência directa das limitações de precisão numérica. Os professores de Matemática utilizarão certamente as calculadoras gráficas de uma forma mais eficaz quando estiverem preparados para demonstrarem aos seus alunos a importância de se ser crítico porque “a máquina também se engana”. Afigura-se-nos, por isso, injustificável que os professores fujam dos casos menos rotineiros, às vezes apelidados de “difíceis” porque, afinal, as “surpresas” (erros) que a calculadora nos proporciona podem ser aproveitadas como motivação para o ensino/aprendizagem dos aspectos matemáticos envolvidos.
The main goal of this thesis is to clarify, through a systematic analysis, the various limitations of the use of graphic calculators in the process of studying real functions. These limitations are a consequence of the fact that only a finite, discrete and bounded subset of the real numbers can be exactly represented on a calculator (or computer). The current curricula of Mathematics at Portuguese High Schools include the use of graphic calculators not only for producing results but mainly as a tool that can be used by the students to test their own ideas. The curriculum foresees that the use of technologies allows the construction and the formalization of the mathematical knowledge. The graphic calculators are widely accepted as didactic tools, which are very helpful for achieving general mathematical capabilities and are also essential in the process of learning different aspects of many mathematical subjects. As a matter of fact, the use of graphic calculators in the classroom allows the teacher to propose more realist problems to be solved and contributes to a more participative attitude of the students in the search of the solution. High School Portuguese teachers are now aware about the potential benefits of the use of graphic calculators and students use them widely. Therefore, it is important to bring the attention of both, students and teachers, to the dangers of using the calculators without care. In this thesis we present some examples which illustrate that, based solely on the evidence provided by the calculator and not carrying out further analysis, one can arrive at erroneous conclusions. Indeed, graphic calculators have technological limitations that prevent them to capture in discrete pictures some features of the real functions. The most important limitations are a direct consequence of the limitations of the numerical precision of the calculator. In order to attain an efficient use of graphic calculators High Schools teachers must be prepared to convince their students for the need of being critical because the machine “can be wrong”. In our view it is not acceptable that the teachers avoid those cases that may cause trouble in the calculator, since these examples can be exploited to motivate the students in learning the mathematical aspects involved.

Dissertação de mestrado em Estudos da Criança (área de especialização em Ensino Aprendizagem da Matemática)
Actualmente o computador é visto, no meio escolar, como um instrumento incontornável de trabalho, pesquisa, análise e troca de informações (Battista, 2000; Goldenberg, 2000; Miskluin et al., 2005; Papert, 1998; Ponte, 1988). Os ambientes de geometria dinâmica (AGD) podem constituir-se como ferramentas fundamentais para a descontextualização do processo de raciocínio dos alunos. Com o intuito de tentar perceber qual seria a contribuição de um AGD para esse processo de descontextualização, em alunos dos primeiros anos de escolaridade, foi realizado um estudo com crianças de nove anos, alunos do 4º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico, que teve como ponto de partida o problema de saber qual seria o impacto que a utilização de um AGD teria no ensino-aprendizagem da geometria, ao nível do ano de escolaridade referido. No âmbito da problemática geral enunciada, foram identificadas três questões a investigar: a) Que concepções revelam alunos do 4º ano de escolaridade relativamente à matemática em geral e à geometria em particular? b) Que competências manifestam alunos do 4º ano de escolaridade decorrentes da utilização de um AGD? c) Que dificuldades revelam alunos do 4º ano de escolaridade quando utilizam um ambiente de geometria dinâmica para resolver questões de geometria? Foi realizado um estudo de caso de natureza qualitativa com alunos de uma turma do 4º ano. Para a recolha de dados empíricos foram usadas tarefas, que eram resolvidas com recurso ao Geometer’s Sketchpad (GSP), questionários, entrevistas e observação dos participantes. A análise de dados permitiu constatar que os alunos consideravam o cálculo como a actividade mais representativa da matemática e a geometria como uma actividade secundária. No entanto, manifestaram uma atitude positiva e de empenho na resolução das tarefas propostas, tendo considerado globalmente as tarefas como divertidas. Os alunos, ao longo das tarefas, demonstraram um diversificado conjunto de competências entre as quais são de salientar o reconhecimento de formas geométricas simples, bem como a aptidão para descrever figuras geométricas, a aptidão para realizar construções geométricas simples e a aptidão para identificar propriedades de figuras geométricas. No tocante à aptidão para formular argumentos válidos, recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, esta competência foi pontualmente manifestada e somente por alguns alunos. As dificuldades mais notórias demonstradas pelos alunos, relacionaram-se com a leitura e interpretação dos enunciados e com a formulação oral e escrita de frases justificativas dos seus raciocínios. Pontualmente houve dificuldades na utilização da aplicação e na utilização de conceitos que deveriam ter sido adquiridos anteriormente. Estas dificuldades foram potenciadas pela falta de hábito na resolução de tarefas do tipo daquelas que lhes foram propostas e pela necessidade de formular justificações, algumas envolvendo situações geométricas “limite”. Da análise dos dados ressalta também a praticabilidade e a utilidade do recurso a um AGD como ferramenta para resolver problemas e como veículo potenciador das aprendizagens, mesmo com alunos de pouca idade.
Nowadays in school people tend to see computers as an instrument people cannot bypass when they work, research analysis and information exchange. (Battista, 2000; Goldenberg, 2000; Miskluin et al, 2005; Papert, 1998; Ponte, 1988). Dynamic geometry environments (DGE) could reveal themselves fundamental tools in the desimbedding process in first year’s scholars. The main goal of this research, carried out a with the concourse of nine year old students attending in a forth grade primary school class, is to understand if a DGE would have a relevant contribution in that desimbedding process in first years scholars. The starting point of this study was the problem of knowing what the impact the use of an DGE in school environment would have, when children of that age learned geometry. We looked for answers to the following questions: a) What is the point of view of forth grade students regarding mathematics and geometry in particular? b) Which skills forth grade students reveal when they use a DGE? c) Which difficulties do forth grade students have when they use a DGE to solve geometry questions? In this case study qualitative research, participated nine years old children of the forth grade. To collect data were used tasks that children could resolve using the Geometer’s Sketchpad (GSP), enquiries interviews, and observation of the participants. Data analysis showed that students considered calculus as the most representative mathematical activity and geometry as a subsidiary one. Nevertheless they showed a positive attitude and commitment towards the tasks, and they globally considered those tasks as being fun. Students all along the tasks showed a diversified set of skills. Among those skills we should enhance the recognition of simple geometric shapes, the ability to describe geometric shapes, to build simple geometric shapes, to identify geometric shapes properties. The ability to express valid arguments using visualisation and spatial reasoning was shown once in a while and only by a few of the students. The most notorious difficulties shown by the students were the reading and the interpretation of the tasks and the phrasing and writing of their own reasoning. Once in a while students showed some difficulties in using the software and in applying some concepts they should have known from the class. These difficulties became even greater because students have no habits of solving such kind of tasks, and by the necessity of phrasing sentences to justify the situations they could see in the screen, some of them evolving limit cases. Data analysis showed also that a DGE like Geometer’s Sketchpad can be used and is very useful as a tool to enhance geometry learning, even with young children.

Tese de mestrado em Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica em Ensino da Matemática)
Este estudo tem como principal objectivo analisar as tarefas matemáticas e o modo de as explorar em sala de aula por futuros professores de Matemática, em prática pedagógica supervisionada, e estudar o contributo de práticas reflexivas no seu desenvolvimento. Nesse sentido, procura-se dar respostas às seguintes questões: (1) Quais as concepções dos futuros professores sobre o ensino da Matemática, designadamente sobre as tarefas de ensino a implementar na sala de aula e como as explorar?; (2) Que tarefas de ensino propõem os futuros professores na sala de aula e como as exploram?; (3) Qual a influência das práticas reflexivas dos futuros professores sobre o tipo de tarefas de ensino e a forma de as explorar? No estudo adoptou-se uma metodologia de natureza qualitativa, baseada na elaboração de estudos de caso de duas futuras professoras de Matemática que compunham o núcleo de estágio de uma escola secundária com terceiro ciclo do distrito do Porto. Os dados foram recolhidos através de duas entrevistas, de observações de aulas, de reuniões conjuntas, de notas escritas e da análise de documentos elaborados pelas futuras professoras. Quanto ao tipo de tarefas a implementar em sala de aula e ao modo de as explorar, as duas futuras professoras apresentam concepções e práticas com alguma semelhança. Apesar das tarefas de carácter rotineiro terem prevalecido nas aulas das futuras professoras, Sónia implementou mais tarefas não rotineiras do que Carolina. No entanto, Carolina considera também as tarefas não rotineiras importantes para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos. Durante a exploração das tarefas, as futuras professoras, sem sempre o conseguirem, implementaram práticas para além das concepções que tinham. Sónia implementou a discussão nas aulas e procurou promover interacções entre os alunos e Carolina envolveu os alunos em discussões em que eram privilegiadas as relações professora-aluno. A reflexão, como um meio de questionar e desenvolver concepções e práticas lectivas no que diz respeito às tarefas e ao modo de as explorar, foi importante para a tomada de consciência das concepções subjacentes às práticas, para a criação de hábitos de questionamento da prática lectiva e para o reconhecimento da necessidade de mudança.
This study has as its main goal to analyse the mathematical tasks and the way of putting them into practice in the classroom by Maths teachers-to-be, during their pedagogical training and to study the contribution of the reflexive practices on their development. Thus, we will try to provide an answer to the following questions: (1) Which are the trainee teachers’ conceptions about Maths teaching, particularly about the classroom teaching tasks and how to put them into practice?; (2) Which teaching tasks do trainee teachers put forward in class and how do they put them into practice?; (3) How do the reflexive practices of the trainee teachers influence the type of teaching tasks and the way of putting them into practice? In this study it was adopted a method of a qualitative nature, based on the study cases of two trainee mathematics teachers that were part of a training centre in a Secondary School with third cycle. The data were collected through two personal interviews, classes observation, meetings, written records and also through the study of documents written by these two teachers-to-be. As far as the type of tasks to implement in classroom and the way to put them into practice is concerned, both trainee teachers share similar conceptions and practices. Although the habitual tasks prevailed in their classes, Sónia carried out more no customary tasks than Carolina. Yet, Carolina also considers the no customary tasks of great importance to the development of the students’ mathematical reasoning. While putting tasks into action, both teachers, though they were not always successful, also implemented practices other than the conceptions they had before. Sónia made use of the class discussion and tried to promote interaction among the students while Carolina involved the students in discussion where the key factor was the relation teacher/student. The reflection, as a way of questioning and developing teaching conceptions and practices concerning the tasks and the way to put them into practice, was of an immense importance to become aware of the conceptions connected to the teaching practices, to create the habit of questioning the teaching practices and to recognise the need to change.

Tese de doutoramento em Estudos da Criança (área de conhecimento em Matemática Elementar)
A resolução de problemas constitui uma capacidade matemática fundamental e simultaneamente uma abordagem privilegiada para a aprendizagem de diversos conceitos, representações e procedimentos matemáticos. É, por isso, preocupante o insucesso apresentado pelos nossos alunos, no que refere à resolução de problemas, tanto nas aulas de Matemática como em estudos de avaliação nacionais e internacionais. As tarefas que envolvem a exploração de padrões proporcionam um maior envolvimento dos alunos na actividade matemática, promovendo a utilização de um raciocínio organizado, baseado na formulação e teste de conjecturas, na generalização e na argumentação, o que pode contribuir para que melhorem a capacidade de resolver situações problemáticas. Por outro lado, é fundamental na resolução de problemas que os alunos apresentem um raciocínio flexível, sendo capazes de compreender e utilizar diferentes tipos de estratégias, quer visuais quer analíticas. No entanto, a componente visual é frequentemente negligenciada nas aulas de Matemática, fazendo com que os alunos privilegiem contextos numéricos. Neste sentido, o presente estudo pretende compreender o modo como alunos do 6.º ano de escolaridade resolvem problemas que envolvem a generalização de padrões em contextos visuais, tendo-se, para isso, definido as seguintes questões de investigação: (1) Como se caracterizam as estratégias de generalização aplicadas pelos alunos e de que forma são utilizadas?; (2) Que dificuldades ou erros emergem do seu trabalho?; (3) Qual o papel da visualização no desempenho dos alunos?; e (4) Qual o impacto da resolução de problemas com padrões, em contextos visuais, na capacidade de os alunos generalizarem? Para concretizar a investigação utilizou-se uma metodologia de natureza mista, na qual se privilegiou a vertente qualitativa baseada em quatro estudos de caso. O estudo de carácter longitudinal foi desenvolvido durante o ano lectivo 2006/2007, com duas turmas do 6.º ano de escolaridade. A recolha de dados incidiu sobre os alunos destas turmas em geral e, em particular, em dois pares de alunos de cada turma. Como principais fontes de recolha de dados privilegiou-se a observação, entrevistas realizadas aos alunos-caso, registos áudio e vídeo do trabalho realizado na aula e das entrevistas e uma diversidade de documentos, dos quais se destacam as folhas de resolução das tarefas exploradas e dos testes implementados, no início e no final do estudo, notas de campo e alguns documentos oficiais cedidos pelas escolas. A análise dos dados permitiu verificar que tarefas centradas na exploração de padrões visuais conduziram os alunos à utilização de uma grande diversidade de estratégias de generalização. Apesar desta diversidade, houve estratégias que os alunos aplicaram com maior frequência do que outras, normalmente as de natureza visual. Em geral, os alunos compreenderam as potencialidades das diferentes estratégias exploradas e em que situações seriam úteis, no entanto, em alguns casos em que deveriam descobrir valores distantes numa sequência recorreram a generalizações aritméticas, usando estratégias aditivas. Identificou-se que há alguns factores que podem condicionar a selecção das estratégias por parte dos alunos e potenciar a emergência de algumas dificuldades. Por exemplo, foi notório que normalmente recorreram a abordagens de tipo diferente quando tinham de determinar termos próximos e termos distantes, ou quando estavam perante um padrão de tipo linear ou não linear. Foi ainda evidente que as dificuldades com alguns tópicos matemáticos, geralmente no âmbito da geometria, condicionaram a adequação das estratégias aplicadas. Na análise das dificuldades sentidas, verificou-se também que o trabalho em contextos puramente numéricos conduziu a alguns erros, como a junção de variáveis diferentes ou a utilização indevida da proporcionalidade directa. Revelaram muitas dificuldades no recurso a linguagem apropriada para a descrição de regras, apoiando-se frequentemente em casos particulares que tinham estudado. É ainda pertinente destacar que nem sempre conseguiram formular relações de tipo funcional, geralmente com padrões de tipo não linear ou então quando a figura não permitia ver directamente a estrutura do padrão. Os resultados do estudo revelam ainda que a visualização foi útil sempre que os alunos conseguiram analisar a estrutura do padrão como uma configuração de objectos relacionados entre si por uma propriedade invariante. Nos casos em que as figuras foram interpretadas como um todo não foram capazes de identificar uma regra. Em termos gerais, a comparação dos resultados do pré-teste e do pós-teste permitiram concluir que houve uma evolução significativa no desempenho dos alunos ao nível da generalização.
Problem solving is a fundamental mathematical ability and simultaneously an approach for learning various concepts, representations and mathematical procedures. Therefore, it is distressing that our students perform badly when solving problems, both in mathematics classrooms and in national and international assessment studies. Pattern exploration tasks contribute to a greater involvement of students in mathematical activity, promoting the use of an organized thinking, based on conjecturing, generalizing and argumentation, which can contribute to the improvement of problem solving abilities. On the other hand, it is essential, when solving problems is involved, that students develop a flexible reasoning, being able to understand and use different types of strategies, either visual or analytical. However, the visual component of mathematics is often neglected by teachers, so students tend to use numerical contexts. This study seeks to understand how 6th grade students solve problems involving the generalization of visual patterns, and considers the following research questions: (1) How can we characterize students’ generalization strategies and how are they used?, (2) What difficulties or errors emerge from their work?, (3) What’s the role of visualization in their performance?; and (4) What’s the impact of solving problems centered on visual patterns in the ability of students to generalize? This research follows a mixed methodology, privileging a qualitative approach based on four case studies. The study had a longitudinal nature, developed during the 2006/2007 school year, with two 6th grade classes. In general, data collection focused on students of each of the classes and, in particular, in two pairs of students of each class. The main data collection instruments and procedures were observation, interviews with the case studies, audio and video records of the work developed in class and from interviews, and a variety of documents, among which are the tasks and the tests solved by the participants, field notes and some official documents, collected on the schools involved. Data analysis has shown that tasks centered on the exploration of visual patterns led students to the use of a wide range of generalization strategies. Despite this diversity, there were strategies that students applied more frequently than others, usually of visual nature. In general, students understood the potential of the different strategies explored and recognized the situations in which they were more useful. However, in certain cases, where they had to find distant values in a sequence, some students applied arithmetic generalizations, using additive strategies. It was identified that some factors influence the selection of strategies by students and enhance the appearance of some difficulties. For example, it was clear that normally students used different approaches to determine near and distant terms of a sequence, or when they were dealing with a linear or a nonlinear pattern. It was also clear that the difficulties with some mathematical topics, normally geometric ones, conditioned the adequacy of the strategies implemented. In analyzing the difficulties it was also found that the work developed in purely numerical contexts led to some errors, such as the mixing of different variables or the improper use of direct proportion. Students also revealed many difficulties in the use of appropriate language in the description of rules, often relying on particular cases. It is also relevant to point out that they weren’t always able to formulate a functional relation, usually with nonlinear patterns or when the figure didn’t allow them to see directly the structure of the pattern. Study results also reveal that visualization was helpful when students were able to analyze the structure of the pattern as a configuration of objects related to each other by an invariant property. In the cases where the figures were interpreted as a whole, they weren’t capable of identifying a rule. In general, the comparison of the results from the pre-test and the post-test showed that there was significant progress in student performance concerning generalization.
Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT)

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica em Educação Matemática)
O presente estudo teve por objectivo descrever e compreender os processos vividos pelos 20 alunos de uma turma do 2.º ano de uma escola do 1.º ciclo de Lisboa, quando colocados perante tarefas investigativas em torno do desenvolvimento do sentido de número. Neste sentido, foram definidas as seguintes questões de investigação: (i) Como evolui o sentido de número associado à contagem, numa turma do 2.º ano do 1.º ciclo, ao longo da realização das tarefas de investigação na sala de aula? (ii) Como evolui o sentido de número na sua componente de valor de posição, numa turma do 2.º ano do 1.º ciclo, ao longo da realização das tarefas de investigação na sala de aula? (iii) Como evolui sentido das operações adição e subtracção, numa turma do 2.º ano do 1.º ciclo, ao longo da realização das tarefas de investigação na sala de aula? Tendo em conta os objectivos e as questões do presente estudo, optou-se por uma metodologia de investigação qualitativa baseada na vertente de investigação-acção. A recolha de dados envolveu todos os alunos da turma, durante um período alargado de tempo. Foram utilizados os seguintes instrumentos: entrevistas aos alunos no início e no final da experiência, registos áudio e vídeo do trabalho realizado nas aulas para suportar a observação, um diário de campo mantido pela professora-investigadora e ainda os documentos produzidos pelos alunos ao longo das nove aulas observadas. Esta investigação conduziu às seguintes conclusões principais. Inicialmente utilizavam estratégias de contagem um a um, mesmo quando visualizavam quantidades agrupadas. No decorrer da experiência, a maioria já conseguia efectuar saltos e cálculos mentais que lhes permitia obter o resultado mais eficazmente. Quanto ao valor de posição de número, inicialmente era um aspecto desconhecido para quase a totalidade dos alunos e após a experiência verificou-se que os alunos já aplicavam esses conhecimentos. O recurso a estratégias de decomposição de números revelaram-se cada vez mais elaboradas. A introdução de tarefas de carácter investigativo implicou que fossem mobilizados conceitos fora do cenário habitual e permitiu aos alunos ampliar as suas competências e aplicá-las a novas situações.
This study aimed at describing and understanding the processes experienced by pupils of the 2nd grade, in an elementary school of Lisbon, when faced with research tasks on the development of number sense. In this context, the following research questions were set out: (i) How does number sense associated with counting develop, in a class of the 2nd grade, throughout the implementation of the proposed research tasks? (ii) How does number sense, in terms of its value position, develop in a class of the 2nd grade, throughout the implementation of the proposed research tasks? (iii) How does the sense of addition and subtraction operations evolve, in a class of the 2nd grade, throughout the implementation of the proposed research tasks? Taking into account these objectives and research questions, a qualitative research methodology, based on the action research, was chosen. Data collection involved all students in the class and the contact took place over an extended period of time. The following tools were used: interviews to students before and after of the experiment; audio and video records of the work carried out in class to support observation. The teacher-researcher also maintained a written diary and gathered all the documents produced by the students throughout the nine lessons observed. This research lead to the following main conclusions. Initially, the pupils‟ counting strategy was essentialy one by one even if were able to visualize aggregated quantities. Throughout the experience, the majority became able to make mental steps and calculations that allowed them to obtain the result more effectively. As regards the place value of a number, initially it was an unknown aspect for the majority of the pupils, but after the experiment they start applying suitably their knowledge of place value. Similarly, they started to resort to strategies for number decomposition, increasingly more elaborated. The introduction of research tasks allowed for concepts to be deployed beyond the usual scenario and this fact enabled students to expand their skills and apply them in new situations.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica na Educação Matemática)
Este estudo teve como principal objectivo descrever, compreender e comparar a realização de alunos do 9.º ano de escolaridade na resolução de tarefas sobre a construção, leitura e interpretação de gráficos estatísticos. Nesse sentido, estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Na representação de dados estatísticos, que tipo de gráficos constroem os alunos? Qual a sua adequação às situações propostas? Que erros e dificuldades revelam?; (2) Na leitura e interpretação dos gráficos estatísticos, que nível de conclusões extraem os alunos desses gráficos? Que erros e dificuldades revelam?; (3) Verifica-se alguma influência entre o nível de desempenho a Matemática e a construção, leitura e interpretação de gráficos estatísticos? Para dar resposta a estas questões, adoptou-se uma metodologia fundamentalmente quantitativa, com carácter descritivo e comparativo. Participaram no estudo 108 alunos do 9.º ano de escolaridade, de uma escola básica e secundária do distrito de Braga, a quem foi aplicado um teste. O teste, que constituiu o instrumento de recolha de dados, é constituído por três partes: a primeira parte destina-se à obtenção de dados pessoais; a segunda parte inclui três questões sobre concepções dos alunos de Estatística e gráficos seus conhecidos; e a terceira parte incluiu cinco tarefas, com várias questões, sobre a construção e a leitura e interpretação de gráficos estatísticos. As tarefas relacionadas com a leitura e interpretação de gráficos foram construídas com base nos níveis de compreensão de Curcio (1989). Em termos de resultados obtidos, verificou-se que os alunos apresentaram algumas dificuldades e erros na construção de gráficos estatísticos, designadamente no que se refere à escolha do gráfico adequado à situação apresentada nas tarefas e em ralação aos elementos considerados essenciais na sua construção. Relativamente à leitura e interpretação de gráficos estatísticos, tendo por referência os níveis de compreensão de Curcio (1989), constatou-se que a grande maioria dos alunos se situou no nível 1 e apenas cerca de um terço dos alunos se situaram nos níveis 2 e 3. Finalmente, verificou-se que ao melhor desempenho dos alunos em Matemática correspondeu uma melhor realização ao nível da construção, da leitura e interpretação de gráficos e da globalidade do teste, obtendo-se em todos os casos diferenças estatisticamente significativas. Observou-se ainda uma tendência moderada de aumento de desempenho na construção de gráficos com o desempenho na leitura e interpretação de gráficos.
The main aim of this study was to describe, understand and compare the performance of 9TH grade students in solving tasks on the construction, reading and interpretation of statistical graphs. Therefore, the following research questions were set: (1) In the representation of statistical data, what type of graphics do students build? What is the adjustment to the proposed situations? What errors and problems do they show?; (2) In the reading and interpretation of statistical graphs, what level of conclusions do the students draw from these charts? What errors and problems do they show?; (3) Is there any influence between the level of mathematics performance and construction, reading and interpretation of statistical graphs? To answer to these questions, a main quantitative methodology with a comparative and descriptive imprint was adopted. This study involved 108 9TH grade students of a secondary school in the district of Braga. They were given a written test, the tool of data collection, which consists of three parts: the first part intends to get personal data, the second part includes three questions about the pupils’ conception of statistics and graphs they know; and the third part includes five tasks with several questions about the construction, reading and interpretation of statistical graphs. The tasks related to reading and interpreting graphs were based on the Curcio’s (1989) levels of understanding. As far as the results are concerned, it was found that students had some difficulties and made mistakes in the construction of statistical graphs, specially in the choice of appropriate graphic to the situation presented in the tasks and the main elements in its construction. Concerning the reading and interpretation of statistical graphs and bearing in mind Curcio’s (1989) levels of understanding, it was found that the vast majority of students were at level 1 and only about a third of the students were at level 2 and 3. Finally, it was found that a better student performance in mathematics corresponded to a better achievement at the level of graphs’ construction, reading and interpretation and of the whole test, obtaining in all cases significant differences statistically. We also noted a moderate tendency of increasing performance in the construction of graphs along with the performance in the reading and interpretation of graphs.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Tecnologia Educativa)
Com este estudo pretendeu-se averiguar a relação entre o recurso à WebQuest no ensino da Matemática e o desenvolvimento de Higher Order Thinking Skills nos alunos. Ou seja, qual seria o impacto de WebQuests de curta e de longa duração no desenvolvimento de competências diferenciadas na aprendizagem dos alunos, tais como: conhecimento, compreensão, aplicação, análise, síntese e avaliação. O estudo foi aplicado numa turma do 8.ºAno e envolveu as unidades “Semelhança de Triângulos” e “Lugares Geométricos” do programa do referido ano de escolaridade. Para tal foram aplicadas duas WebQuests envolvendo os conteúdos das unidades referidas anteriormente e cuja personagem principal foi Harry Potter. A WebQuest “Semelhança de Triângulos”, de curta duração, foi criada pela investigadora e envolveu a descoberta do mistério do quadro roubado por parte dos alunos. Os objetivos desta WebQuest foram a aquisição e aplicação dos critérios de semelhança de triângulos e a compreensão da relação entre o perímetro de figuras semelhantes. No final, foi requerido aos alunos que elaborassem uma notícia sobre a resolução do mistério. A WebQuest “Lugares Geométricos”, de longa duração, envolveu a descoberta de um cofre mágico que está guardado numa torre na Floresta Proibida. Aquando da realização desta WebQuest, foi pedido aos alunos que elaborassem um portefólio com as atividades propostas ao longo das sessões. Atendendo à natureza do estudo, adoptou-se predominantemente uma metodologia de tipo quasi-experimental. Para a recolha de dados utilizaram-se questionários, testes de avaliação de conhecimentos, observação direta e análise dos artefactos. De acordo com a opinião dos alunos e da professora, o trabalho com as WebQuests foi interessante e motivante e permitiu que os alunos aprendessem de forma autónoma e ao seu ritmo. Os resultados dos testes revelaram, uma vez mais, que as WebQuests constituem uma metodologia apelativa e que possibilita usar as potencialidades da Web de forma eficaz e orientada. A WebQuest de curta duração fomentou nos alunos o desenvolvimento das competências: conhecimento, compreensão e avaliação. A de longa duração permitiu desenvolver as competências referidas anteriormente e ainda as de análise, síntese e avaliação, ou seja, as Higher Order Thinking Skills.
This study aimed to investigate the relationship between the use of WebQuests in teaching Mathematics and the development of Higher Order Thinking Skills in students. That is, what is the impact of short and long term WebQuests on the development of different skills in students’ learning, such as knowledge, comprehension, application, analysis, synthesis and evaluation. Thus, this study was applied to a 8th form class and the units involved were "Similarity of Triangles" and "Geometric Places” belonging to the curriculum of that same form. For this purpose we applied two WebQuests involving the contents of the units mentioned and whose main character was Harry Potter. The WebQuest "Similar Triangles", with short duration, was created by the researcher herself and involved the discovery by the students of the mystery of the stolen painting. The objectives of this WebQuest were the acquisition and application of criteria of similarity of triangles and the understanding of the relationship between the perimeter of similar figures. At the end, students were required to draw up a report on the resolution of the mystery. The WebQuest "Geometric Places", of long duration, involved the discovery of a magic safe guarded in a tower in the Forbidden Forest. Upon the completion of this WebQuest, students were asked to prepare a portfolio with the proposed activities throughout the sessions. Given the nature of the study, the methodology adopted was a quasi-experimental one. For data collection, the instruments used were questionnaires, post-tests, direct observation and the artifacts analysis. According to the students’ and teacher’s opinion, working with WebQuests was interesting and motivating and allowed the students to learn independently and at their pace. The results of the post-tests revealed, once again, that WebQuests are an appealing methodology to make use of the Web potential in an effective and oriented way. The short-term WebQuest fostered students’ development of knowledge, understanding and evaluation. The long-term one made it possible to develop the so far mentioned skills and also analysis, synthesis and evaluation, that is the Higher Order Thinking Skills.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação
Este estudo teve como objectivo investigar sobre a utilização da linguagem de programação LOGO enquanto meio para aprender Geometria no 2º ano do 1º ciclo do ensino básico. Neste contexto, definiram-se as seguintes questões de investigação: 1. Que potencialidades apresenta a linguagem LOGO na aprendizagem da construção de figuras geométricas e na compreensão das suas propriedades? 2. Qual o impacto da utilização da linguagem LOGO para a exploração de figuras geométricas e suas propriedades nas aprendizagens dos alunos?; 3. Quais as reacções/atitudes dos alunos face à exploração de conceitos geométricos através da linguagem LOGO? O estudo desenvolveu-se com 21 alunos de uma turma do 2º ano, de uma escola do 1º ciclo do Ensino Básico, do distrito de Braga, com idades compreendidas entre os 6 e os 7 anos de idade, que trabalharam em pares a exploração de conceitos geométricos com recurso à linguagem de programação LOGO, nomeadamente na construção de figuras geométricas planas e no estudo das suas propriedades. No estudo da problemática da presente investigação optou-se por uma metodologia de natureza predominantemente qualitativa, tendo a recolha de dados sido centrada na observação de aulas, nos documentos produzidos pelos alunos, num teste (que foi aplicado como pré-teste e pós-teste) e numa entrevista efectuada a todos os pares de alunos. Em termos de resultados, salienta-se a aquisição e o aprofundamento de algumas capacidades geométricas dos alunos, o desenvolvimento da sua autonomia e a promoção de atitudes/reacções mais favoráveis relativamente à aprendizagem da Geometria, para o que terá contribuído, na opinião dos alunos, a metodologia de trabalho em pares com a linguagem de programação LOGO.
The aim of this essay was to investigate about the programming language LOGO – a means to learn Geometry in the 2nd school grade 1st cycle of basic education. In this context, we defined the following research questions: 1 – What´s the potential of LOGO language in learning and construction of geometric figures and understanding of their properties? 2 – Which was the impact of the use of the LOGO language in the exploitation of geometrical forms and their properties to the learning of students? 3 – What reactions/attitudes of students to the exploration of geometric concepts through LOGO language? The study was carried out with 21 students, aged between 6 and 7, working in pairs, from a 2nd year class that belonged to a school of the first cycle of the Basic Teaching, from the district of Braga. They used the LOGO language in the exploitation of geometrical concepts, more specifically of plain geometrical forms. The questionable situation led to the use of a methodology which was mainly qualitative, and the collecting of the information was based on the observation of classes, on some documents produced by the students, on two tests (pre-test and post-test) and an interview conducted for all pairs of students. In terms of results, it emphasizes the acquisition and study of certain geometric capabilities of the students, the development of their autonomy and the promotion of actions/reactions are more favourable to learning geometry, what contributed to, in the opinion of students, the methodology of work in pairs with the LOGO programming language.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
O relatório, aqui apresentado, centra-se nas interações sociais que ocorrem na sala de aula, tendo por propósito último contribuir para melhorar o ensino e a aprendizagem da Estatística no 7º ano de escolaridade. Para tal, a experiência de intervenção foi orientada pelos três objetivos seguintes: 1. Identificar os padrões de interação social ocorridos nas aulas de Estatística do 7º ano de escolaridade, distinguindo os papéis do professor e dos alunos; 2. Reconhecer implicações dos padrões de interação desenvolvidos para a aprendizagem da Estatística, especialmente nas situações em que os alunos revelam dificuldades; e 3. Caracterizar as formas de comunicação desenvolvidas nas aulas de Estatística do 7º ano de escolaridade, extraindo consequências para a aprendizagem dos alunos. Esta intervenção de ensino realizou-se numa turma do 7º ano de escolaridade de uma escola pertencente ao concelho de Barcelos, distrito de Braga, constituída por 19 alunos. No sentido de proporcionar uma melhor aprendizagem em matemática, e consequentemente em Estatística, procurou-se enriquecer a prática pedagógica com a realização de tarefas diversificadas, privilegiando situações da vida real e o contexto turma, a valorização do trabalho de grupo e a aplicação de recursos didáticos inovadores, como é o caso da tecnologia. Nesta intervenção, recorreu-se à observação e análise de aulas gravadas e transcritas e à análise de documentos produzidos pelos alunos, como foi a ficha de avaliação diagnóstica, no sentido de recolher a informação necessária à avaliação dos objetivos estabelecidos. No final da intervenção foi possível notar uma subtil evolução das práticas comunicativas da professora. Inicialmente, os contributos dos alunos eram curtos e de baixo nível cognitivo, mas ao longo das aulas tornaram-se mais reflexivos e críticos devido ao crescente interesse da professora sobre a forma como pensavam. Durante toda a intervenção, a professora procurou dar espaço aos alunos para que estes pudessem discutir estratégias e raciocínios nos grupos de trabalho, verificando-se, contudo, a tendência para ela monopolizar o discurso nas interações com o grupo-turma. Neste processo, a professora recorreu a diferentes tipos de questionamento, de forma a envolver os alunos e promover a sua participação nas aulas.
The present report focuses on the social interactions occurred in the classroom, whose purpose is to contribute to the improvement of teaching and learning Statistics in 7th grade. Such intervention experience was guided by three main purposes: 1. Identifying patterns of social interaction occurring in 7th grade statistics classes, distinguishing the teacher and the students’ roles; 2. Recognizing the implications of the interaction patterns developed for the learning of Statistics, especially in situations where students show difficulties; and 3. Characterizing ways of communication development in 7th grade statistics classes and its consequences for the students' learning. This teaching intervention took place in a 7th grade class at a School in Barcelos, district of Braga, made up with 19 students. In order to offer a better mathematical learning experience, and consequently, in statistics, the teacher tried to enrich the school practice based on different tasks, to benefit real life situations in the class context, to improve the group work and the application of useful didactic ways to evaluate the established purposes. At the end of this intervention it was possible to notice a slight evolution of the teacher's communication practices. Firstly, the students' gave a few contributions, because they had lots of difficulties. Nevertheless, later on they became more thoughtful and critical due to the teacher's interest of the way students were thinking. During all this time, the teacher gave the students some time to enable them to discuss strategies and reasoning in working groups, checking, however, the way that she monopolizes the speech on interactions with all the class. In this process, the teacher relied to different types of questioning in order to involve students and promote their participation in class.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
O presente relatório centra-se no estudo das estratégias de resolução usadas por alunos do 7º ano de escolaridade em tarefas estatísticas envolvendo os conceitos de média, moda e mediana. O estudo realizado teve como objetivos: (i) caracterizar as estratégias de resolução usadas pelos alunos nas tarefas estatísticas; (ii) reconhecer as potencialidades e limitações das estratégias de resolução usadas pelos alunos; e, por fim, (iii) envolver os alunos em discussões no grupo-turma de modo a avaliarem as suas estratégias. Este estudo foi desenvolvido numa turma do 7º ano de escolaridade, com 19 alunos, e recorreu-se ao trabalho de grupo, a tarefas abertas e a discussões coletivas como metodologias de ensino-aprendizagem. Os dados usados no estudo foram obtidos a partir de diversos métodos: inicialmente, os alunos resolveram uma ficha de avaliação diagnóstica apenas sobre conteúdos estatísticos; de seguida, recolheram-se todas as produções escritas dos alunos durante toda a intervenção, gravando ainda audiovisualmente todas as aulas; e, por fim, os alunos resolveram uma ficha de avaliação sobre as medidas de tendência central. Em termos resultados, identificaram-se neste estudo, cinco tipos de estratégias de resolução: estratégia de tentativa-e-erro, estratégia de compensação, estratégia de representação gráfica, estratégia aritmética e, por fim, estratégia algébrica. A estratégia mais utilizada ao longo de toda a intervenção foi a estratégia aritmética (70,8%), seguida da estratégia de compensação (12,5%), da estratégia de representação gráfica (10,4%), da estratégia algébrica (4,2%) e, por fim, da estratégia de tentativa-e-erro (2,1%). De todas as estratégias, as que parecem mais potentes são: a estratégia aritmética e a estratégia algébrica porque são estratégias rápidas e possíveis de aplicar a outros conteúdos da disciplina de Matemática. Por outro lado, das estratégias identificadas, parece que a estratégia mais limitada é estratégia de tentativa-e-erro pois é uma estratégia pouco aplicável e onde o grau de sucesso está relacionado com a insistência dos sujeitos. No que se refere às discussões coletivas, verificou-se que através desta metodologia de ensino-aprendizagem, foi possível os alunos validarem as suas estratégias e contactarem com diversas estratégias, uma vez que, todos os alunos foram incentivados a partilhar as suas estratégias.
This report focuses on the study of solving strategies used by 7th grade students in the tasks involving the statistical concepts of mean, median and mode. The study aimed at: (i) characterizing the solving strategies used by students in statistical tasks, (ii) recognizing the potential and limitations of resolution strategies used by students and finally, (iii) engaging students in group discussions in class in order to assess their strategies. This study was conducted in a class of 7 th grade, with 19 students, and appealed to the working group, open tasks and group discussions as a teaching-learning methodologies. The data used in this study were obtained from different methods: first, the students decided to form a diagnostic evaluation solely on statistical content, and then gathered up all the written production of students throughout the intervention, taping all classes and finally the students did an assessment test of the measures of central tendency. In terms of results, this study identified five types of solving strategies: a strategy of trial and error, compensation strategy, strategy of graphical representation, arithmetic strategy and finally algebraic strategy. The most used strategy throughout the intervention strategy was the arithmetic (70.8%), followed by compensation strategy (12.5%), graphical representation of the strategy (10.4%), the algebraic strategy (4 2%) and finally the strategy of trial and error (2.1%). From all the strategies, the arithmetic strategy and the algebraic strategy are the ones which seem more powerful because they are fast strategies and can be applied to other contents of Mathematics. On the other hand, from the identified strategies, it seems that the most limited strategy is the strategy of trial and error since it is a strategy hardly applicable and its degree of success is related to the insistence of the subject. In what concerns group discussions, it was found that by using this teaching and learning methodology, students could validate their own strategies and therefore establish contact with various others‘ since all students were encouraged to share their own strategies.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
A inclusão de alunos com Necessidades Educativas Especiais faz parte da realidade escolar atual, no entanto, é o resultado de um caminho que tem sido construído ao longo do tempo. Esta situação pairou na Unidade Curricular Estágio Profissional, integrado no Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, que decorreu no 2.º ano do Ciclo de Estudos, conducente ao grau de Mestre em Ensino, dado que uma das turmas do orientador cooperante integra uma aluna com deficiência visual profunda. A turma em causa era da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (MACS), do 10.º ano de escolaridade. No particular tema aqui proposto, pretende-se focar a importância da comunicação matemática com a aluna deficiente visual recorrendo à folha de cálculo, mais especificamente o Excel. A escolha do Excel prendeu-se com o facto de ser de fácil acesso, tando nos computadores disponíveis na escola como no portátil que utilizou nas aulas de MACS e nas sessões semanais para apoio à disciplina de MACS, e de oferecer um conjunto de ferramentas para análise de dados Estatísticos, dado que o programa de MACS do 10.º ano tem uma grande componente de Estatística. Neste sentido, procurou-se uma melhor utilização deste recurso, criando estratégias para a seleção e organização da informação, utilização das fórmulas automáticas e criação de pequenos programas para colmatar as deficiências de fórmulas, podendo a aluna tirar o máximo partido na utilização deste programa. No caso específico da disciplina de MACS, revelou-se ainda necessário efetuar materiais táteis adaptados para melhor perceção da informação. Os dados recolhidos para o presente trabalho basearam-se essencialmente no registo, em diário de campo, da atividade da aluna (resoluções de tarefas, estratégias utilizadas, as dificuldades, etc.), na recolha das resoluções das tarefas efetuadas na folha de cálculo, assim como em gravações de sessões individuais. O presente trabalhou demonstrou-se particularmente importante no sentido que permitiu desenvolver a comunicação e a autonomia da aluna deficiente visual.
The inclusion of special needs students it’s a reality in our day schools, however, it’s the result of a long way that has been growing in time. This situation has been present on professional training course, included on the master’s degree of math´s teaching in the 3rd cycle of basic education and secondary education that happened in the 2nd grade of the studies cycle, leading to the degree of Master of Education since one of the classes of the teacher cooperating has a visually impaired. This class was of the discipline of Social Sciences Math’s, of the 10th grade of education. In this particular case, the focus was the importance of the math’s communication with the visual handicapped student, using the calculation sheet, the Excel. The choice of the Excel sheet was because of the easy access, by using the school computers or using the portable computer of her own, that the student used in classroom and on the weekly support sessions, and by the fact that offers several tools to work the statistical data treatment and analysis, hence the MACS program of the 10th grade dedicate a lot of contents of Statistical matters. In this sense, the proposal was to find the best way to use this tool, creating strategies for the data selection and organization, use of macros or the creation of simple programs to solve this lack. It was also necessary create tactile materials, adjusted to the specific condition of the student, for better perception of the information. The results of this investigation were obtained using registration, field registration of the student activities (tasks resolution, kind of strategies applied, difficulties, etc.), collection of Excel sheets with tasks resolution and the videotape of some sessions. This investigation was particularly important because of the communication and autonomy skills that were achieved in the visual handicapped student.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Este estudo trata-se de uma intervenção de ensino de Estatística com a calculadora gráfica e a folha de cálculo, em que foram abordados os tópicos: diagrama de dispersão, reta de regressão linear, coeficiente de correlação e tabelas de contingência numa turma do 10.º ano de escolaridade de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, constituída por 11 alunos, pertencente a uma escola do conselho de Braga. O estudo teve como finalidades: motivar os alunos para as aprendizagens e promover as aprendizagens mais significativas em Estatística. Para tal, utilizaram-se como metodologias uma metodologia de ensino centrada no aluno com o recurso à tecnologia, nomeadamente à calculadora gráfica e à folha de cálculo e como estratégias de investigação/avaliação da ação um mini teste diagnóstico, um questionário, as produções dos alunos e uma tarefa na prova de avaliação escrita. Este estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Reconhecer as vantagens e as desvantagens da utilização da calculadora gráfica e da folha de cálculo nas aprendizagens da Estatística; 2) Identificar as dificuldades que os alunos encontram quando trabalham em estatística; 3) Averiguar as percepções dos alunos acerca da utilização da calculadora gráfica e da folha de cálculo nas suas aprendizagens da Estatística. Em termos dos resultados obtidos, constatou-se um maior número de vantagens da utilização da calculadora gráfica da folha de cálculo do que desvantagens. Também se verificou que a exploração com a folha de cálculo gera mais vantagens do que a exploração com a calculadora gráfica. Relativamente às dificuldades encontradas no trabalho com a Estatística, apurou-se que a utilização da tecnologia conduziu a uma redução dessas dificuldades. Quanto às percepções dos alunos, constatou-se que eles atribuem muita importância à calculadora gráfica e que a folha de cálculo um recurso tecnológico motivador para as suas aprendizagens da Estatística.
This study infers over an intervention over the learning of Statistics with graphing calculators and calculus sheets, in which the following topics were approached: dispersion diagrams, linear regression, correlation coefficient and contingency table within a 10th grade class of Applied Mathematics to Social Sciences, organized by eleven students, in a Braga located school. This study had as a purpose to: motivate the students towards the subjects study and also to promote Statistics most significant learning’s. For this, it was used as methodology a teaching approach centered in the students resource to technology, namely graphing calculators and calculus sheets and as strategy of investigation/evaluation the endeavor of a diagnostics test, a questionnaire, various works produced by students and also a task which consisted of written evaluation, since the analysis was conducted according to students productions. This study was developed around three objectives: 1) Recognize the advantages and the disadvantages of the use of the graphing calculator and calculus sheets in the learning of Statistics; 2) Identify the difficulties students face when working with Statistics; 3) Analyze student perceptions over the use of graphing calculators and calculus sheets in their learning of Statistics. In terms of results acquired, it was verified a higher number of advantages, than disadvantages, over the use of graphing calculators of calculus sheets. Also, it was shown a greater difference in calculus sheets, but student’s choices fell in excess towards graphing calculators, since it is the resource they were most accustomed to work with. In relation to the difficulties gathered in working with Statistics, it was gathered that the utilization of technology resulted in a decrease towards those same difficulties. As for student’s perceptions, again it is verifiable that they give great importance to the graphing calculator and that the calculus sheet is, to them, a motivating technological resource towards their learning of Statistics.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Este estudo teve como objetivo promover o desenvolvimento da argumentação matemática de alunos do 10.ºano, analisando o contributo da calculadora gráfica na promoção de aspetos desta capacidade. Trata-se de uma investigação de natureza qualitativa que procura responder às seguintes questões: (1) Que aspetos da argumentação matemática desenvolvem os alunos na aprendizagem das funções afim e quadrática? Qual o contributo da calculadora no desenvolvimento da capacidade de argumentação dos alunos? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na argumentação das suas atividades na aprendizagem dos temas funções afim e quadrática? (3) Quais os dilemas com que me deparei na promoção da argumentação matemática dos alunos na planificação e na concretização da minha prática pedagógica? Atendendo à natureza do objetivo e das questões de investigação, procurou-se perceber o entendimento que diferentes autores têm sobre a argumentação na aula de matemática e de que forma a utilização da calculadora gráfica favorece a promoção da argumentação dos alunos sobre os seus raciocínios. Na recolha de dados recorreu-se a diferentes métodos na procura de informação que ajudasse a compreender o significado que os alunos atribuem às atividades que desenvolveram, tais como: questionários; observação de aulas, através da gravação em vídeo; entrevista e análise documental. Os alunos, numa fase inicial, tendiam a apresentar conjeturas, ainda que de uma forma tímida, sem as justificar. Durante a intervenção pedagógica, grande parte dos alunos começaram, pela sua própria iniciativa, a justificar as suas conjeturas e a refutar as apresentadas pelos seus colegas. A prova foi uma dimensão da argumentação que foi menos desenvolvida, devido ao grau de complexidade desta atividade e à falta de perceção dos alunos da importância da prova na validação do que se diz e faz, o que dificultou a minha gestão das atividades da sala de aula. A calculadora gráfica mediou a atividade dos alunos a estabelecer conjeturas na concetualização de tópicos das funções afim e quadrática, a justificar resultados e a generalizá-los.
This study aim is to promote the argumentation development of the tenth grade math’s students, analyzing the contribution of the graphing calculator in promoting aspects of this ability. This is a qualitative research that seeks to answer the following questions: (1) What aspects of mathematical argumentation students develop in learning affine and quadratic functions? What is the contribution of the calculator in the development of students' ability to reason? (2) Which difficulties students manifest in argumentation of their activities in learning affine and quadratic themes? (3) What are the dilemmas that I encountered in promoting students' mathematical reasoning in the planning and realization of my teaching practice? In collecting information I resorted different qualitative methods in search of understand the meaning that students give to activities they developed, such as observation, document analysis, interviews and questionnaires. To evidence this information I present some argues that I search to promote in my pedagogical intervention, either within each group, or the class group and some transcripts of the portfolio that each group prepared. The students, in an initial phase, tend to present conjectures, by a shy way but they don´t dare to justify. During this intervention, this fact was slowly disappearing giving place to a positive interaction, as the students beside justifying their conjectures, rejected the colleagues opinion. On the other hand, the evidence was a dimension (that stayed short of expectations), maybe because students are not used to practices that should be important. The graphing calculator, in the beginning had some students resilience but after a while it disappeared and gave place to a higher dynamism in the classroom.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Este estudo refere-se a uma intervenção de ensino centrada na exploração do significado das expressões como forma de promover a aprendizagem de equações literais e polinómios, numa turma do 8º ano de escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos. O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) relacionar as características das tarefas com a promoção do significado das letras e expressões; 2) averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões na exploração de Equações literais e Polinómios; 3) identificar e descrever os erros e as dificuldades dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas. Pretendendo com este estudo motivar os alunos para as aprendizagens em Álgebra, promover aprendizagens mais significativas e contribuir para a melhoria das suas aprendizagens, procurou-se centrar o ensino dos tópicos lecionados em tarefas de diversos tipos e com diferentes contextos. Para além desta metodologia de ensino e aprendizagem, adotou-se o trabalho dos alunos em grupo e deu-se especial atenção às discussões ocorridas no grupoturma. No que diz respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à observação e análise das gravações das aulas, à análise das resoluções das tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção, bem como da ficha de avaliação por partes de equações literais e da ficha de avaliação realizada no final da intervenção. No que diz respeito aos resultados obtidos, verificou-se que as tarefas exploradas em contextos reais proporcionaram uma maior facilidade aos alunos para a atribuição dos significados às letras e expressões. No que se refere às classificações das letras atribuídas por Küchemann (1981), verificou-se que a maioria dos alunos teve menos dificuldade em operar com as letras como objetos e mais dificuldade em operar com as letras quando são interpretadas como incógnitas específicas. Por fim, analisados os erros evidenciados pelos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas, verificou-se que o erro de inversão foi o que ocorreu mais vezes e o erro adição incorreta de termos semelhantes foi o que menos se evidenciou.
This study refers to a teaching intervention focused on the exploration of the meaning of expressions as a way to promote the learning of literal equations and polynomials, in an eighth grade class of a school belonging to the County of Barcelos. The study developed around three objectives: 1) relate the characteristics of tasks with the promotion of the meaning of letters and expressions; 2) explore the meanings attributed to the letters and expressions given by the students in the exploration of Literal equations and Polynomials; 3) identify and describe the errors and difficulties of students in the resolution process of the tasks proposed. With the intention, in this study, to motivate students to learning abilities in Algebra, to promote more significant learning abilities and to contribute to the improvement of their learning abilities, it was sought to center the instruction of lected topics into a variety of tasks with different contexts. Beyond this methodology of teaching and learning, students’ group work was adopted and special attention was given to the discussions that occurred in the group-class. Regarding the investigation strategies and action evaluation, the observation and analysis of class recordings, the analysis of the resolution of the tasks performed by the students during the intervention, as well as the test of literary equations and the test performed at the end of the intervention were used. Regarding the results obtained, it was verified that the tasks explored in real contexts provided greater ease to students in the attribution of meanings to letters and expressions. As for the classifications of letters attributed by Küchemann (1981), it was verified that the majority of students had less difficulty in operating with letters as objects and more difficulty in operating with letters when interpreted as variables. Lastly, after analyzing the errors evidenced by students in the resolution process of the proposed tasks, it was verified that the error of inversion was the one that occurred the most and the error of incorrect adding of similar terms was the one that least occurred.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
O presente estudo centra-se na análise das estratégias usadas pelos alunos na resolução de tarefas que envolvem sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas e na identificação e compreensão dos erros e dificuldades sentidas pelos alunos na sua resolução. Este estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Analisar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas; 2) Identificar e descrever as dificuldades e os erros dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas; 3) Descrever a forma como os alunos ultrapassam as dificuldades e erros identificados. Esta intervenção de ensino realizou-se numa turma do 8º ano, constituída por 20 alunos, pertencente a uma Escola do concelho de Barcelos, distrito de Braga. No sentido de proporcionar uma aprendizagem mais significativa em Álgebra, e consequentemente no tópico abordado, procurou-se enriquecer a prática pedagógica com tarefas que fornecessem oportunidades para que os alunos vinculassem o seu conhecimento a novas informações e à construção de novo conhecimento. Além desta metodologia de ensino e aprendizagem, valorizou-se, ainda, o trabalho de grupo, as discussões no grupo-turma e o recurso à tecnologia, mais concretamente ao GeoGebra. Como estratégias de investigação e avaliação da ação recorreu-se à observação e análise das aulas, que foram gravadas, e à análise das resoluções das tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção, bem como da ficha de avaliação por partes, com o intuito de recolher informação necessária para dar resposta aos objetivos estabelecidos. Finalmente, em termos de resultados obtidos, verificou-se que a maioria dos alunos recorreu à estratégia Algébrica para a resolução dos problemas propostos, tendo sido a estratégia Algébrica/Aritmética a menos utilizada pelos alunos ao longo da intervenção. Relativamente aos erros/dificuldades identificados, verificou-se que o erro de eliminação do sinal menos antes de frações foi o que apareceu mais vezes, seguido dos erros de transposição e desembaraçar de denominadores. As metodologias atrás mencionadas, de um modo geral, contribuíram para que alguns dos erros e dificuldades identificadas fossem ultrapassadas ou, pelo menos, que não ocorressem com tanta frequência.
The present study focuses on the analysis of strategies utilized by the students in the resolution of tasks that involve systems of two first degree equations with two unknowns, and in the identification and comprehension of the errors and difficulties in the resolution felt by students. This study was developed around three objectives: 1) Analyze the strategies utilized by the students in the resolution of systems of two first degree equations with two unknowns; 2) Identify and describe the difficulties and errors of students in the resolution processes of the tasks proposed; 3) Describe the way students surpass the difficulties and errors identified. This teaching intervention took place in an eighth grade class, consisting of 20 students and pertaining to a School of the County of Barcelos, district of Braga. In the sense of proportioning a more significant learning ability in Algebra, and consequently on the addressed topic, it was sought to enrich the pedagogical practice with tasks that provide opportunities in which students can bind their knowledge to new information and to the construction of new knowledge. Besides this methodology of teaching and learning, value was given to group work, group-class discussion and to the resource to technology, namely GeoGebra. As strategies of investigation and evaluation of action, the observation and analysis of classes, that were recorded, the analysis of task resolutions performed by students during the intervention, as well as the analysis of the test by parts were utilized, with the intuition of retracting information necessary to answer the established objectives. Finally, regarding the obtained results, it was verified that the majority of the students relied on the Algebraic strategy for the resolution of the proposed problems, being the Algebraic/Arithmetic strategy the least utilized by students throughout the intervention. As for the errors/difficulties identified, it was verified that the elimination error minus sign before fractions appeared the most times, followed by transposing and rid of denominator and errors. The methodologies mentioned contributed so that some of the errors and difficulties identified were overpassed or, at least, less frequent.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
O presente relatório teve como principal propósito o estudo da utilização de materiais manipuláveis e da tecnologia no ensino e aprendizagem da fatorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau. Para tal, este estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Descrever a forma como foram usados os materiais manipuláveis e a tecnologia na realização das tarefas propostas; 2) Reconhecer vantagens e desvantagens do uso de materiais manipuláveis e tecnologia na factorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau; 3) Avaliar as perceções dos alunos sobre o uso de materiais manipuláveis e tecnologia na factorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau. A intervenção de ensino realizou-se numa turma do 8º ano de escolaridade, constituída por 20 alunos, pertencente a uma escola do concelho de Barcelos. Com o objetivo de motivar os alunos na aprendizagem e tornar essa aprendizagem mais significativa nos tópicos abordados, foram adotadas várias metodologias de ensino e aprendizagem. Essas metodologias centraram-se na realização de tarefas significativas para os alunos, na aplicação de recursos didáticos, especificamente o material manipulável Algebra Tiles e o software GeoGebra, e na valorização do trabalho de grupo e das discussões no grupo-turma. Além disso, como estratégias de investigação e avaliação da ação foram utilizadas as tarefas realizadas pelos alunos, as gravações das aulas da intervenção de ensino, uma ficha de avaliação por partes e uma entrevista. Em termos de resultados, verificou-se que a forma como o Algebra Tiles e o GeoGebra foram utilizados facilitou aos alunos a aprendizagem da resolução de equações do 2º grau. Constatou-se, também, um maior número de vantagens do uso destes recursos didáticos do que de desvantagens. Relativamente às perceções dos alunos, verificou-se que a utilização do Algebra Tiles e do GeoGebra motivou a aprendizagem dos alunos e o empenho na realização das tarefas propostas. Além disso, o trabalho de grupo e as discussões no grupo-turma revelaram-se aspetos importantes para a aprendizagem dos alunos e verificou-se, também, que dos recursos didáticos utlizados o Algebra Tiles foi o preferido pelos alunos.
The main purpose of the following report was the study of the utilization of manipulative materials and technology in the teaching and learning of polynomial factorization and resolution of second degree equations. In order to achieve this purpose, this study was developed around three objectives: 1) Describe the way how manipulative materials and technology were utilized in the resolution of proposed tasks; 2) Recognize advantages and disadvantages of the use of manipulative materials and technology in polynomial factorization and resolution of second degree equations; 3) Evaluate students’ perceptions about the use of manipulative materials and technology in polynomial factorization and resolution of second degree equations. The teaching intervention took place in an eighth grade class, which consisted of 20 students and pertained to a school belonging to the County of Barcelos. With the purpose of motivating the students into learning and rendering the learning experience more significant in the addressed topics, various teaching and learning methodologies were adopted. These methodologies focus on the realization of significant tasks for the students, on the application of didactic resources, more specifically the manipulative material known as Algebra Tiles and GeoGebra software, and on the valorization of group work and group-class discussions. Moreover, tasks performed by the students, the recorded class teaching intervention, a test by parts and an interview were utilized as investigational strategies and action evaluation. In regards to results, it was verified that the way Algebra Tiles and GeoGebra were used facilitated the learning of resolution of second degree equations. Also, a larger number of advantages than disadvantages were found regarding the utilization of these didactic resources. Relatively to the students’ perceptions, it was found that the use of Algebra Tiles and GeoGebra motivated the students’ ability to learn and effort in performing the proposed tasks. Moreover, the group work and group-class discussions revealed themselves as important aspects for student learning and, of the didactic resources used, Algebra Tiles was the preferred between the students.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
O presente estudo teve como principal objetivo analisar o contributo das representações gráficas no ensino e na aprendizagem de Estatística de alunos do 10.º ano de escolaridade. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Como professores de Matemática veem as representações gráficas no ensino de Estatística do 10.º ano? Que tratamento tem estas representações no manual escolar do aluno? (2) Que capacidades e conhecimentos adquirem os alunos no estudo de Estatística através das representações gráficas? Que dificuldades sentem os alunos na representação e interpretação da informação de um gráfico estatístico? (3) Que perspetivas têm os alunos sobre o ensino-aprendizagem de conteúdos estatísticos através das representações gráficas? (4) Que constrangimentos senti no ensino de Estatistica do 10.º ano através das representações gráficas? Para dar resposta a estas questões recorreu-se a diversos métodos de recolha de dados: um teste diagnóstico, realizado antes da intervenção pedagógica, dois questionários (um direcionado aos alunos e outro aos professores da escola), análise documental (planos de aula, reflexões das aulas e portfólios dos alunos), gravações das aulas com ênfase no projeto e entrevistas semiestruturadas a seis alunos da turma, depois da intervenção pedagógica. A análise de dados permite concluir que os professores inquiridos, embora tendam a deixar o ensino da Estatística para as últimas aulas do ano letivo, valorizam as representações gráficas no ensino de tópicos deste tema. Estas representações são evidenciadas pelo manual escolar do aluno na explanação dos diferentes tópicos. O ensino e a aprendizagem de tópicos estatísticos através de representações gráficas potenciaram alguns momentos de discussão, comparação e interpretação da informação veiculada nas mesmas. Estas atividades revelaram a capacidade da maioria dos alunos de ler os dados contemplados em representações gráficas, enquanto uma minoria manifestou capacidade de ler entre os dados. Tais resultados podem dever-se ao número diminuto de aulas atribuídas ao tema de estatística, o que indicia refletir-se nas dificuldades que alguns alunos revelaram de trabalhar alguns tópicos estatísticos através das representações gráficas, como por exemplo na escolha adequada da escala e na comparação de representações gráficas sem os eixos numerados. Os resultados obtidos neste estudo evidenciam a necessidade de proporcionar aos alunos experiências semelhantes à desenvolvida para lhes permitir desenvolver capacidades de interpretação e avaliação crítica da informação disponível na sociedade.
The present study had as main objective the contribution of the graphical representations analysis in the Statistics teaching and learning of the 10th grade students. For this objective concretization, it was needed the establishment of the following investigation questions: (1) How do teachers assume the graphical representations in the Statistics teaching on the 10th grade? How are these representations assumed in the student’s school book? (2)Which are the capabilities and acquirements of students in terms of the Statistics study through graphical representations? What are the students’ difficulties when talking about interpretation of information in a statistical graphic? (3) What are the students’ prospects about the teachinglearning of the statistical contents through the graphical representations? (4) What were the constraints felt by me in the statistical teaching on the 10th grade concerning the graphical representations? For the answering of these questions there was the necessity to resort to several methods of data collection: a diagnostic test, made before the pedagogical intervention, two questionnaires (one directed to students and the other to school teachers) document analysis (lesson plans, classes reflections and students’ Portfolios) recording of classes with emphasis in the project and semi structured interviews to six students of the class, after the pedagogical intervention. The data analysis allows the conclusion that, although the respondent teachers tend to leave the statistics teaching to the last classes of the school year, they give importance to the graphical representations in the teaching of these theme topics. These representations are evident on the student’s school book because of the different topics explanation. The teaching and learning of statistical topics through the graphical representations have potentiated some discussion moments, comparison and information interpretation conveyed in them. These activities favored the development of the majority of students’ capacity of reading the data. Some students reveal difficulties when working some statistical topics through these representations, for example the choosing of the appropriate scale and the comparison of graphical representations without the numbered axes. The obtained results in this study put in evidence the necessity to provide to students similar experiences to that developed; the capability of interpreting and evaluating critically the available information in the society.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica na Educação Matemática)
Este estudo teve como principal objetivo investigar a utilização da folha de cálculo por alunos do 7º ano na construção de tabelas de frequências e gráficos estatísticos, que se operacionalizou na formulação das três questões de investigação seguintes. (1) Que aspetos devem ser considerados na integração da folha de cálculo no ensino da construção de tabelas e gráficos estatísticos? (2) Quais as potencialidades e limitações do uso da folha de cálculo na aprendizagem da construção de tabelas e gráficos estatísticos? (3) Quais as perceções dos alunos sobre a utilização da folha de cálculo na construção de tabelas e gráficos estatísticos? Para dar resposta a estas questões realizou-se um estudo de natureza qualitativa, em que foi implementada uma intervenção de ensino sobre construção de tabelas de frequências e gráficos estatísticos, privilegiando o trabalho dos alunos em pares e com recurso à folha de cálculo. Na intervenção de ensino participaram 26 alunos de uma turma do 7º ano de escolaridade, de uma escola básica do distrito de Braga. A recolha de dados foi realizada através da observação direta das aulas, da gravação em vídeo das partes das aulas relativas à apresentação, discussão e síntese da resolução das tarefas, da análise das produções dos alunos, em papel e em formato digital, das avaliações das tarefas realizadas pelos alunos e de uma entrevista individual a todos os alunos da turma. Em termos de resultados, salienta-se a complementaridade da integração da folha de cálculo com o papel e lápis e o trabalho dos alunos em pares, que foram também valorizados pela grande maioria dos alunos. Os alunos responderam em maior número e de forma mais adequada quando utilizaram a folha de cálculo. A motivação proporcionada pela utilização da folha de cálculo, a relativa simplicidade do seu manuseamento, a facilidade com que os alunos ensaiaram soluções e a redução ou eliminação de erros revelaram-se importantes potencialidades da folha de cálculo na aprendizagem da construção de tabelas e gráficos estatísticos. Algumas limitações da folha de cálculo relacionaram-se com os erros na construção de tabelas e gráficos estatísticos que persistiram e as soluções prontas a usar disponibilizadas pela folha de cálculo que podem limitar a criatividade dos alunos.
The main objective of this study is to investigate the use of the spreadsheet by 7th grade students in the construction of frequency tables and statistical graphs, which was operationalized by formulating the three following investigation questions: (1) Which aspects should be considered when integrating the spreadsheet in teaching the construction of frequency tables and statistical graphs? (2) What are the potentialities and limitations of the use of the spreadsheet in the process of learning about the construction of frequency tables and statistical graphs? (3) What are the students’ perceptions on the use of the spreadsheet in the construction of frequency tables and statistical graphs? In order to answer these questions, a qualitative study was conducted, in which a teaching intervention on the construction of frequency tables and statistical graphs was implemented, favoring students work in pairs and using the spreadsheet. A 7th grade class made up of 26 students from a middle school in the district of Braga participated in the teaching intervention. The gathering of data was achieved through direct observation of lessons, by video recording the parts of lessons containing the presentation, debate and synthesis of the resolution of tasks, by analyzing students’ productions, both in paper and digital format, through the evaluation of tasks carried out by the students and by means of an individual interview to all the students involved. As far as results are concerned, the complementarity of integrating the spreadsheet with paper and pencil and the students working in pairs is emphasized and it is also valued by the vast majority of students. Not only did more students answer while using the spreadsheet, but their answers were also more adequate. The motivation provided by the use of the spreadsheet, the relative simplicity of handling it, the easiness with which students experimented solutions and the reduction or elimination of errors proved important potentialities of the spreadsheet in learning about the construction of frequency tables and statistical graphs. Some limitations of the spreadsheet are related to the errors in the construction of frequency tables and statistical graphs which persisted and the ready-to-use solutions made available by the spreadsheet which may limit the students’ creativity.

Dissertação de mestrado em Matemática ( área de especialização em Formação Contínua de Professores)
As tentativas de demonstração do quinto postulado de Euclides originaram a maior e mais temida descoberta para a geometria Euclidiana do século XIX. Iniciava-se o percurso de procura de outras geometrias não-euclidianas que apresentavam igual consistência, tais como a Geometria Hiperbólica. Nesta geometria não se verifica o quinto postulado de Euclides na medida em que, por um ponto exterior a uma recta, existem infinitas rectas paralelas à recta dada, mas todos os outros axiomas são válidos. Esta dissertação demonstra a consistência da Geometria Hiperbólica, utilizando o modelo do Disco de Poincaré, através do sistema axiomático modificado de Hilbert. O estudo das isometrias neste modelo, em analogia às isometrias existentes na geometria euclidiana, culminam com a apresentação de um método que permitirá pavimentar o Disco de Poincaré à semelhança do que fez M. C. Escher no seu Circle Limit III. Utilizando as novas tecnologias, foram construídas algumas ferramentas em ambiente de geometria dinâmica, Geogebra, que facilitaram a construção de vários objectos geométricos próprios da geometria Hiperbólica, transformações geométricas e pavimentações do Disco de Poincaré.
The attempts to demonstrate the fifth postulate of Euclid originated the largest and most dreaded discovery for the Euclidean geometry of the 19th century. The journey to find other non-Euclidean geometries with equal consistency, such as hyperbolic geometry, was starting. In this geometry Euclides fifth postulate is not valid, there are endless straights parallels to the given line. All other postulates are valid to the line given. This thesis demonstrates the consistency of Hyperbolic Geometry using the Poincaré Disk model by modified Hilbert’s axiomatic system. The study of isometries in this model, in analogy to isometries existing in Euclidean geometry, culminate with the presentation of a method that will pave the Poincaré Disk as did M.C. Escher in his Circle Limit III. Using new technologies, some tools were built in dynamic geometry environment, Geogebra, which facilitated the construction of several geometric objects themselves of hyperbolic geometry, geometric transformations and pavings of the Poincaré Disc.

Dissertação de mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática)
A presente dissertação enquadra-se no âmbito do Mestrado em Ciências, Formação Contínua de Professores – Área de Especialização em Matemática, da Universidade do Minho. O trabalho que desenvolvemos pertence à área científica da Matemática designada de Geometria Sintética, e estudámos os quadriláteros, as definições e as propriedades. Para isso recorremos às diretivas oficiais, emanadas do Ministério da Educação bem como a manuais escolares com algum pendor histórico e internacional, tentámos assim perceber de onde vínhamos para prever o nosso percurso futuro. Usámos um texto francês do século XIX Élemens de Géometrie: géométrie plane & géométrie solide - Théodore Lambert, 1875 porquanto, historicamente, as diretivas curriculares em Portugal costumavam estar ligadas às francesas. Usámos também uma referência portuguesa do século XX, um manual, Elementos de Geometria - Palma Fernandes, 1964 que marcou decisivamente o nosso ensino. Organizámos a nossa dissertação do seguinte modo: no 1º capítulo faremos um levantamento de alguma literatura (diretivas oficiais e artigos científicos) no que diz respeito às implicações didáticas do ensino dos quadriláteros; nos 2º e 3º capítulos debruçar-nos-emos sobre o tratamento do tema dos quadriláteros em manuais escolares de Geometria, usando as referências supracitadas; no 4º capítulo, com base na pesquisa efetuada, apresentamos uma série de atividades que, em nosso entender, permitem desenvolver, na sala de aula, o tema dos quadriláteros para o 3º ciclo do Ensino Básico de acordo com uma abordagem atual, que se pretende coerente e eficaz. Com as tarefas propostas, pretendese levar os alunos a questionar as definições de quadriláteros que lhes são apresentadas, partindo da abordagem de diferentes autores, permitindo, assim, descobrir as propriedades que lhes são inerentes. Muitas das atividades aplicadas em contexto educativo envolveram toda a comunidade escolar num espaço de partilha e debate de ideias, métodos e experiências que potenciaram a capacidade dos jovens e estreitaram laços entre todos os intervenientes. Retiramos, finalmente, as nossas conclusões porventura ainda mais conscientes de que a nossa tarefa enquanto professores de Matemática (e de Geometria, em particular) está, com este trabalho, inacabada.
The present dissertation was written within the scope of the Mestrado em Ciências, Formação Contínua de Professores – Área de Especialização em Matemática, da Universidade do Minho. The research deals with the so called Synthetic Geometry and we have centered our attention in Quadrilaterals: their definitions, their properties, their relationships. In the Introduction we explained, further, either the motivation or the identified obstacles that supported our curiosity. In chapter 1 we have reviewed the literature: the Portuguese official norms as well as some didactical articles on the subject of quadrilaterals. In chapter 2 we have analyzed a French textbook, from Théodore Lambert, dated from 1875 and in chapter 3 we have done the same with a Portuguese textbook, 1964, from Palma Fernandes. We have compared the enseignments from those texts with contemporary affine literature. In chapter 4 we present some activities designed by ourselves and resulting from the study that we have done on the theme; it seemed important to, somehow, test the newly discovered material with our pupils. The results were encouraging and our fellow colleagues have developed, as well, some interest on our theme. We summarize our impressions, rather than conclusions, in the last part of this thesis.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Desenvolvimento Curricular)
O insucesso escolar dos alunos é um fator preocupante no sistema educativo português e envolve todos os intervenientes que, direta ou indiretamente, interagem no processo de ensino - aprendizagem. Na disciplina de Matemática, o problema é muito mais complexo, reconhecido por todos e que preocupa alunos, pais, professores e órgãos de gestão. O trabalho de casa constitui, para muitos docentes, um dos instrumentos fundamentais para a promoção da qualidade da aprendizagem dos alunos. Quando elaborado com eficácia, pode significar, para os alunos, a aquisição de competências, desenvolvendo a sua iniciativa, a capacidade de se autodisciplinar, a autonomia e a aptidão para gerir o tempo. A execução do trabalho de casa também promoverá cenários de comportamentos de autorregulação e, consequentemente, a melhoria da qualidade do processo educativo. Este estudo tem como principal finalidade analisar o papel dos trabalhos de casa na avaliação das aprendizagens dos alunos. As questões de investigação que nortearam este estudo são: serão os trabalhos de casa, na disciplina de Matemática, fundamentais para o bom desempenho escolar dos alunos? Que relevância tem, na perspetiva dos professores, os trabalhos de casa na avaliação dos alunos? Para o tratamento desta problemática, elegemos os seguintes objetivos: avaliar o contributo dos trabalhos de casa na consolidação dos conhecimentos dos alunos, avaliar a relevância dos trabalhos de casa na avaliação dos alunos e analisar mecanismos de autorregulação dos processos da aprendizagem dos alunos, nomeadamente os TPC’s. Optou-se por uma investigação quantitativa em que participaram 146 docentes sendo a recolha de informação realizada através de um inquérito por questionário, que contempla as seguintes dimensões: opiniões dos professores de Matemática sobre o trabalho de casa, planificação e seleção dos trabalhos de casa e a relevância do trabalho de casa na avaliação das aprendizagens dos alunos. Os principais resultados indicam que a maioria dos professores de Matemática considera que o trabalho de casa fomenta hábitos de estudo, consolida os conhecimentos aprendidos nas aulas, estimula nos alunos a autodisciplina, promove o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas e ajuda nas situações de integração de conhecimentos adquiridos a novas situações. A realização do trabalho de casa favorece, ainda, a aquisição de rotinas, mecaniza procedimentos e auxilia na consciencialização dos conhecimentos cognitivos adquiridos, através de percursos de autorregulação. Finalmente, o trabalho de casa constitui, para os professores, um auxiliar valioso na avaliação das aprendizagens dos alunos.
Student’s academic failure at school is a major problem in the educational portuguese system and it involves all participants that, direct or indirectly, interact in the process of learning and teaching. Concerning Maths the problem is much more complex, recognized by all and it concerns pupils, parents, teachers and managers. For many teachers, homework is one of the fundamental tools to promote the quality of pupil’s learning. When it is realised with efficacy it may develop pupils’ skills and the capacity of self-discipline, autonomy and the ability to manage time. The implementation of homework will also promote scenarios of self-regulation and, consequently, the improvement of the quality of the educational process. The main purpose of this study is to analyse the role of the homework in the assessment of the pupils’ learning process. The research questions that guided this study were: homework tasks are really necessary for a good academic performance in Maths? What relevance does homework have in the assessment of the pupils? The purpose of this study is to achieve the following goals: to evaluate the contribution of homework in the pupils’ knowledge consolidation; to evaluate the relevance of homework in pupils’ assessment and analysing mechanisms of self-regulation in the learning pupil’s processes, namely in what concerns the homework. We chose a quantitative research involving 146 teachers. Data were collected by a questionnaire survey including the following dimensions: Maths teacher’s beliefs about homework; homework planning and selecting and the relevance of the homework in the assessment of the learning process of the pupils. The main results show that most maths teachers consider homework a way to promote study habits, it consolidates knowledge acquired during lessons, it promotes self-discipline, the development of problem solving and it helps in the situations of knowledge integration, as well as in its application towards new situations. Homework tasks also benefit the acquisition of routines, it mechanizes procedures and it facilitates in the awareness of acquired cognitive knowledge, through self-regulation paths. Finally, for teachers, homework represents a valuable auxiliary in pupil’s assessment.