Letteratura scientifica selezionata sul tema "Variables aléatoires conditionnellement indépendantes"

On étudie la positivité complète du noyau de convolution multiplicatif T associé au produit de deux variables aléatoires indépendantes B(a, b) et Γ(c). Ce noyau T est complétement positif d’ordre infini si b ∈ ℕ* ou si d = a + b − c ∈ ℕ. Dans les autres cas la régularité du signe de T a toujours un ordre fini, qui est ici calculé. Plus précisément, pour tout n ≧ 1 on montre que T est complètement positif d’ordre n + 1 si et seulement si (d, b) est situé au dessus d’un certain escalier \documentclass{aastex} \usepackage{amsbsy} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{pifont} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{textcomp} \usepackage{upgreek} \usepackage{portland,xspace} \usepackage{amsmath,amsxtra} \usepackage{bbm} \pagestyle{empty} \DeclareMathSizes{10}{9}{7}{6} \begin{document} $$\mathcal{E}_n$$ \end{document} dessiné dans le demi-plan supérieur. Cet escalier caractérise aussi la constance du signe de plusieurs déterminants associés á la fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce.

International audience We investigate the probability that a random composition (ordered partition) of the positive integer $n$ has no parts occurring exactly $j$ times, where $j$ belongs to a specified finite $\textit{`forbidden set'}$ $A$ of multiplicities. This probability is also studied in the related case of samples $\Gamma =(\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots, \Gamma_n)$ of independent, identically distributed random variables with a geometric distribution. Nous examinons la probabilité qu'une composition faite au hasard (une partition ordonnée) du nombre entier positif $n$ n'a pas de parties qui arrivent exactement $j$ fois, où $j$ appartient à une série interdite, finie et spécifiée $A$ de multiplicités. Cette probabilité est aussi étudiée dans le cas des suites $\Gamma =(\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_n)$ de variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes avec une distribution géométrique.

Cette thèse a pour sujet l'étude de structures sans propriété de diffusion. Nous nous intéressons à deux classes de telles structures.Le premier sujet traite du calcul de Malliavin pour les variables aléatoires conditionnellement indépendantes qui est un cas de calcul de Malliavin discret. Il généralise aussi celui théorisé sur des produits dénombrables d'espaces de probabilité, pour les variables aléatoires indépendantes. Dans notre cas, l'intérêt d'un tel calcul est de venir compléter des résultats d'analyse stochastique avec des preuves d'inégalités fonctionnelles (inégalité de Poincaré, inégalité de McDiarmid) et de théorèmes limites. Une des applications phares est la détermination de la vitesse de convergence de théorèmes centraux limites via la méthode de Stein. En combinant le calcul de Malliavin avec la structure de Dirichlet sous-jacente aux variables aléatoires, nous obtenons une formule d'intégration par parties cruciale pour déterminer des bornes supérieures sur les vitesses de convergence. Nous montrons des théorèmes limites quantitatifs, dont un théorème de quatrième moment avec reste. En particulier, nous discutons d'une application à la normalité asymptotique du comptage de motifs dans des hypergraphes aléatoires échangeables.Le deuxième sujet étudie les fonctionnelles d'une mesure de Poisson en utilisant la notion d'inversibilité de transformations de cette mesure sur l'espace échantillon des mesures aléatoires. Nous utilisons l'identification de ces mesures et des processus ponctuels marqués associés. Les transformations inversibles sont obtenues via le théorème de Girsanov, en respectant l'absolue continuité par rapport à la mesure de référence. Il en résulte un critère entropique pour l'inversibilité des transformations. Enfin, nous faisons le lien avec les équations différentielles stochastiques dirigées par des mesures de Poisson
This thesis is concerned with the study of non-diffusive structures. We focus on two classes of such structures.The first subject deals with Malliavin calculus for conditionally independent random variables, which is a special case of discrete Malliavin calculus. It also generalizes the calculus that has been developed for countable products of probability spaces, for independent random variables.In our case, the interest of such a calculus is to complement results in stochastic analysis with proofs of functional inequalities (Poincaré inequality, McDiarmid's inequality) and limit theorems. One of the main applications is the determination of the convergence rate of central limit theorems via the Stein method.By combining Malliavin calculus with the underlying Dirichlet structure of the random variables, we obtain an integration by parts formula which is key to the derivations of so-called Stein bounds of the rates of convergence. We show quantitative limit theorems, including a fourth moment theorem with remainder. In particular, we discuss an application to the asymptotic normality of motif counting in exchangeable random hypergraphs.The second subject studies functionals of a Poisson measure using the notion of invertibility of transformations of that measure on the sample space of random measures. We use the identification of these measures and the associated marked point processes. Invertible transformations are obtained via the Girsanov's theorem, respecting absolute continuity with respect to the reference measure. This results in an entropy criterion for the invertibility of transformations. Finally, we make the connection with stochastic differential equations driven by Poisson measures

Cette thèse porte sur l'étude de la concentration autour de la moyenne de fonctions de variables aléatoires indépendantes à l'aide de techniques de martingales et d'inégalités de comparaison.Dans une première partie, nous prouvons des inégalités de comparaison pour des fonctions générales séparément convexes de variables aléatoires indépendantes non nécessairement bornées. Ces résultats sont établis à partir de nouvelles inégalités de comparaison dans des classes de fonctions convexes (contenant, en particulier, les fonctions exponentielles croissantes) pour des variables aléatoires réelles uniquement dominées stochastiquement.Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux suprema de processus empiriques associés à des observations i.i.d. Le point clé de cette partie est un résultat d'échangeabilité des variables. Nous montrons d'abord des inégalités de type Fuk-Nagaev avec constantes explicites lorsque les fonctions de la classe ne sont pas bornées. Ensuite, nous prouvons de nouvelles inégalités de déviation avec une meilleure fonction de taux dans les bandes de grandes déviations dans le cas des classes de fonctions uniformément bornées. Nous donnons également des inégalités de comparaison de moments généralisés dans les cas uniformément borné et uniformément majoré. Enfin, les résultats de la première partie nous permettent d'obtenir une inégalité de concentration lorsque les fonctions de la classe ont une variance infinie
This thesis deals with concentration properties around the mean of functions of independent random variables using martingale techniques and comparison inequalities.In the first part, we prove comparison inequalities for general separately convex functions of independent and non necessarily bounded random variables. These results are based on new comparison inequalities in convex classes of functions (including, in particular, the increasing exponential functions) for real-valued random variables which are only stochastically dominated.In the second part, we are interested in suprema of empirical processes associated to i.i.d. random variables. The key point of this part is a result of exchangeability of variables. We first give Fuk-Nagaev type inequalities with explicit constants when the functions of the considered class are unbounded. Next, we provide new deviation inequalities with an improved rate function in the large deviations bandwidth in the case of classes of uniformly bounded functions. We also provide generalized moment comparison inequalities in uniformly bounded and uniformly bounded from above cases. Finally, results from the first part allow us to prove a concentration inequality when the functions of the class have an infinite variance

Considérant une suite de variables aléatoires non-dégénérées, indépendantes et de même loi, on s'intéresse au maximum des suites de sommes partielles pour des incréments dont la longueur est la partie entière de l'expression c log(n) + d log(log(n)), ou log désigne la fonction logarithme, c une constante strictement positive, d’une constante réelle et n la taille de l'échantillon. Ce genre de problème est directement lié aux lois de type Erdoes-Renyi-Shepp. A l'aide d'un théorème de grande déviation, nous montrons comment se comportent la limite en probabilité et les limites inferieures et supérieures presque sûres de la différence entre le maximum concerne et sa limite presque sure, en fonction de d. Les résultats obtenus sont alors appliqués à un processus de renouvellement et permettent de mettre en évidence la vitesse de convergence optimale du maximum et du minimum du processus pour des accroissements de type Erdoes-Renyi; le cas particulier du processus de poisson standard est explicite. Pour finir, considérant le cas particulier ou les variables aléatoires sont indépendantes, de loi normale centrée réduite, on donne des bornes inferieures et supérieures de la distribution limite de la statistique de Shepp. Conformément aux résultats précédents, il apparait que le maximum de Shepp a un comportement limite en loi de nature oscillante, proche d'une loi de Gumel.

Cette thèse porte sur le calcul de Malliavin dont on munit deux cadres discrets. On équipe tout produit dénombrable d'espaces de probabilités d'une structure de Dirichlet-Malliavin au moyen d'opérateurs (gradient, divergence, opérateur nombre), d'une formule d'intégration par parties, et des formes de Dirichlet induites. On obtient les analogues discrets aux identités fonctionnelles classiques des processus Brownien et Poisson dont les structures de Dirichlet s'écrivent comme limites des structures induites par notre formalisme. Des critères de Stein-Malliavin discrets sont établis pour les approximations Normale et Gamma. Le second cadre est celui d'un modèle financier ternaire sous-tendu par un processus géométrique composé à trois points, et équivalent en loi au modèle trinomial. Toute fonctionnelle de ce processus géométrique composé de carré intégrable possède un développement en chaos "modifié" sur lequel agissent des opérateurs d'annihilation/gradient et de création/divergence vérifiant en outre une formule de commutation généralisée. S'ensuit de la formulede Clark "géométrique" qu'il est alors possible d'établir, une formule de hedging pour l'initié dont l'utilité additionnelle espérée s'exprime en termes d'entropie relative, comme dans le cas continu
Malliavin calculus was initially developed to provide an infinite-dimensional variational calculus on the Wiener space and further extended to other spaces. In this work, we develop such one in two discrete frameworks. First, we equip any countable product of probability spaces with a discrete Dirichlet-Malliavin structure, consisting of a family of Malliavin operators (gradient, divergence, number operator), an integration by parts formula, and the induced Dirichlet forms. We get the analogues of the classical functional identities and retrieve the usual Poisson and Brownian Dirichlet structures as limits of our induced structures. We provide discrete Stein-Malliavin criterions for the Normal and the Gamma approximations. Second we study insider's trading in a ternary model, Iying on a three-points compound geometric process. We state a modified chaotic decomposition and define the geometric gradient and divergence operators as the annihilation and creation operators acting on it. We state a geometric Ocone-Karatzas formula. We express the insider's additional expected logarithmic utility in terms of relative entropy as in the continuous case

La thèse comporte une introduction rédigé en français et cinq chapitres principaux. Dans le chapitre 1, dans l'esprit de Hoeffding (1963), nous amélioré l'inégalité de Bennett en ajoutant un facteur de taux de décroissance exponentielle. Dans l'esprit de Talagrand (1995), nous avons ajouté un facteur manquant avec un taux de décroissance polynomiale. Dans le chapitre 2, certaines expressions explicites pour les constantes de l'inégalité de Talagrand sont obtenues. Dans la première partie du chapitre 3, nous développons une nouvelle méthode pour obtenir des inégalités exponentielles de concentration pour les (sur)martingales. En utilisant l'approche proposée, nous établissons quelques bornes très générales, qui améliorent les inégalités de Fuk (1973), Nagaev (1979), De La Pena (1999), van de Geer (2002), Pinelis (2006), Liu et Watbled (2009) et Sason (2012). Dans la deuxième partie du chapitre 3, en prenant en considération les écarts quadratiques des (sur)martingales, on obtient une inégalité qui améliore les inégalités dues à Freedman (1975), Dzhaparidze et van Zanten (2001), Bercu et Touati (2008) et Delyon (2009) pour les (sur)martingales. En particulier, cette inégalité généralise l'inégalité de Freedman et améliore le résultat principal de Dzhaparidze et van Zanten. De plus, nous obtenons une nouvelle version de l'inégalité de Freedman pour les martingales auto-normalisées. Dans le chapitre 4, nousétendons l'inégalité de Hoeffding (1963) aux (sur)martingales et améliorons le résultat principal de Freedman (1975). Dans le chapitre 5, nous obtenons des bornes et un développement des probabilités de grandes déviations pour les martingales
The thesis includes an overview in French and five chapters as the main body. In Chapter 1, in the spirit of Hoeffding (1963), we firstly improve Bennett's inequality by adding an factor with exponential decay rate. In the spirit of Talagrand (1995), we add a missing factor with polynomial decay rate. In Chapter 2, Some explicit expressions for the constants in Talagrand's inequality are obtained. In Chapters 3 and 4, we consider the concentration inequalities for martingales. In the first part of Chapter 3, we develop a new method for obtaining exponential concentration inequalities for (super)martingales. Using the proposed approach, we establish some very general bounds, which improve the inequalities of Fuk (1973), Nagaev (1979), De La Pena (1999), van de Geer (2002), Pinelis (2006) and Sason (2012). Next, we generalize the semi-exponential inequality of Borovkov (2000) and the exponential inequality of Liu and Watbled (2009). In the second part of Chapter 3, we obtain an inequality which improves the inequalities due to Freedman (1975), Dzhaparidze and van Zanten (2001), Bercu and Touati (2008) and Delyon (2009) for (super)martingales. In particular, this inequality generalizes the Freedman's inequality and improves the main result of Dzhaparidze and van Zanten. Moreover, we obtain a new version of Freedman inequality for self-normalized martingales. In Chapter 4, we extend the Hoeffding inequality (1963) to supermartingales and improve the main result of Freedman (1975). In Chapter 5, we obtain some bounds and expansions of large deviation probabilities for martingales with differences satisfying the conditional Bernstein's condition

Les résultats récents sur la majoration de la fonction de concentration de la somme de variables aléatoires indépendantes et équidistribuées montrent qu'elle dépend du poids de la queue de distribution de la loi-mère. Les majorations les plus fines impliquent également une condition de nature arithmétique. Le travail présenté montre la nécessité de cette condition arithmétique si l'on souhaite n'avoir que des constantes absolues dans la majoration. Une modification de la construction proposée permet également de montrer la limite de validité des résultats mentionnés, pour ce qui est du poids de la queue de distribution.

On s'intéresse dans cette thèse au modèle de la marche aléatoire branchante, un système de particules qui évoluent au court du temps en se déplaçant et se reproduisant de façon indépendante. Le but est d'étudier le rythme auquel ces particules se déplacent, dans deux variantes particulières de marches aléatoires branchantes. Dans la première variante, la façon dont les individus se déplacent et se reproduisent dépend du temps. Ce modèle a été introduit par Fang et Zeitouni en 2010. Nous nous intéresserons à trois types de dépendance en temps : une brusque modification du mécanisme de reproduction des individus après un temps long ; une lente évolution de ce mécanisme à une échelle macroscopique ; et des fluctuations aléatoires à chaque génération. Dans la seconde variante, le mécanisme de reproduction est constant, mais les individus subissent un processus de sélection darwinien. La position d'un individu est interprétée comme son degré d'adaptation au milieu, et le déplacement d'un enfant par rapport à son parent représente l'héritage des gènes. Dans un tel processus, la taille maximale de la population est fixée à une certaine constante N, et à chaque étape, seuls les N plus à droite sont conservés. Ce modèle a été introduit par Brunet, Derrida, Mueller et Munier, et étudié par Bérard et Gouéré en 2010. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à une variante de ce modèle, qui autorise quelques grands sauts. Dans un second temps, nous avons considéré que la taille totale N de la population dépend du temps
In this thesis, we take interest in the branching random walk, a particles system, in which particles move and reproduce independently. The aim is to study the rhythm at which these particles invade their environment, a quantity which often reveals information on the past of the extremal individuals. We take care of two particular variants of branching random walk, that we describe below.In the first variant, the way individuals behave evolves with time. This model has been introduced by Fang and Zeitouni in 2010. This time-dependence can be a slow evolution of the reproduction mechanism of individuals, at macroscopic scale, in which case the maximal displacement is obtained through the resolution of a convex optimization problem. A second kind of time-dependence is to sample at random, at each generation, the way individuals behave. This model has been introduced and studied in an article in collaboration with Piotr Mi\l{}os.In the second variant, individuals endure a Darwinian selection mechanism. The position of an individual is understood as its fitness, and the displacement of a child with respect to its parent is associated to the process of heredity. In such a process, the total size of the population is fixed to some integer N, and at each step, only the N fittest individuals survive. This model was introduced by Brunet, Derrida, Mueller and Munier. In a first time, we took interest in a mechanism of reproduction which authorises some large jumps. In the second model we considered, the total size N of the population may depend on time

Soit { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω }, d ≥2 un processus gaussien stationnaire, à valeurs réelles sur un espace de probabilité ( Ω, Around, P ). Nous étudions le comportement asymptotique d'une intégrale stochastique particulière, par rapport à la mesure géométrique de l'ensemble de niveau u, u ∈ R, du champ régularisé, obtenu par la composition d'une convoluée de X, soit Xɛ, et d'une normalisation matricielle contenant une partie de l'information de la matrice des moments spectraux d'ordre deux de Xɛ. Sous l'hypothèse que la fonction de covariance de X est deux fois continûment différentiable en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue nulle dans Rd, cette intégrale converge dans L²(Ω ) vers le temps local de X, évalué en u. En outre, une majoration de la vitesse de convergence est proposée, à une constante près
Let { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω }, d ≥2, be a real stationary gaussian field, defined on a probability space ( Ω, Around, P ). We look at the asymptotic behavior of a particular stochastic integral, with respect to the geometric measure of the u-level sets, u ∈ R, of the regularized field, obtained by composition of a convolution of X, say Xɛ, with a matrix normalization which contains part of the information contained in the spectral moments matrix of second order of Xɛ. Under the condition that the covariance function is twice continuously differentiable out of a set of zero Lebesgue's measure, this functional converges in L² (Ω ) to the local time of X at the level u. Furthermore, we give a bound for the speed of convergence