Tesi sul tema "Topologie en basses dimensions"

Cette thèse explore divers sujets liés à la géométrie hyperbolique et à la dynamique de groupes, dans le but d'étudier l'interaction entre la géométrie et la théorie de groupes. Elle couvre un large éventail de disciplines mathématiques, telles que la géométrie convexe, l'analyse stochastique, la théorie ergodiques et géométriques de groupes, et la topologie en basses dimensions, et cætera. Comme résultats de recherche, la géométrie hyperbolique des corps convexes en dimension infinie est examinée en profondeur, et des tentatives sont faites pour développer la géométrie intégrale en dimension infinie d'un point de vue de l'analyse stochastique. L'étude des gros groupes de difféotopies, un sujet d'actualité en topologie en basses dimensions et en théorie géométrique de groupes, est entreprise avec une détermination complète de leur propriété de point fixe sur les compacts. La thèse étudie la connexité du bord de Gromov des graphes de courbes fins, un outil combinatoire utilisé dans l'étude des groupes d'homéomorphismes des surfaces de type fini. Enfin, la thèse clarifie également certains théorèmes folkloriques concernant les espaces hyperboliques au sens de Gromov et la dynamique des groupes moyennables sur ces espaces
This thesis explores diverse topics related to hyperbolic geometry and group dynamics, aiming to investigate the interplay between geometry and group theory. It covers a wide range of mathematical disciplines, such as convex geometry, stochastic analysis, ergodic and geometric group theory, and low-dimensional topology, etc. As research outcomes, the hyperbolic geometry of infinite-dimensional convex bodies is thoroughly examined, and attempts are made to develop integral geometry in infinite dimensions from a perspective of stochastic analysis. The study of big mapping class groups, a current focus in low-dimensional topology and geometric group theory, is undertaken with a complete determination of their fixed-point on compacta property. The thesis also clarifies certain folklore theorems regarding the Gromov hyperbolic spaces and the dynamics of amenable groups on them. Last but not the least, the thesis studies the connectivity of the Gromov boundary of fine curve graphs, a combinatorial tool employed in the study of the homeomorphism groups of surfaces of finite type

Cette these comporte deux parties independantes. Dans la premiere (qui est un travail commun avec a. Martin) le resultat principal concerne les varietes differentiables de dimension quatre, connexes compactes, sans bord et simplement connexes. Si m est une telle variete et f une surface (non necessairement orientable), caracteristique pour m, nous etablissons une congruence reliant la signature de m, l'auto-intersection de f dans m, et l'invariant d'arf d'une forme quadratique definie sur le premier groupe d'homologie de f. Cette formule generalise une congruence celebre de rohlin. Nous calculons aussi d'une maniere nouvelle et geometrique les groupes de cobordisme des varietes differentiables orientees de dimension trois et quatre. Ces methodes s'etendent pour donner un calcul des groupes correspondants ou les varietes sont de plus munies d'une structure spin. Dans la seconde partie nous donnons une preuve simple et rigoureuse d'une version legerement renforcee du theoreme de translation plane de brouwer. Puis nous montrons comment notre version de ce theoreme permet une deduction tres rapide du theoreme de poincare-birkhoff sur les homeomorphismes de l'anneau

La topologie, c’est-à-dire l’étude qualitative des formes et des espaces, constitue un domaine classique des mathématiques depuis plus d’un siècle, mais il n’est apparu que récemment que pour de nombreuses applications, il est important de pouvoir calculer informatiquement les propriétés topologiques d’un objet. Ce point de vue est la base de la topologie algorithmique, un domaine très actif à l’interface des mathématiques et de l’informatique auquel ce travail se rattache. Les trois contributions de cette thèse concernent le développement et l’étude d’algorithmes topologiques pour calculer des décompositions et des déformations d’objets de basse dimension, comme des graphes, des surfaces ou des 3-variétés. Le premier problème auquel nous nous attaquons traite de déformations : comment peut-on tester si deux graphes dessinés sur une même surface sont isotopes, c’est-à-dire si l’on peut déformer continûment l’un en l’autre ? Ce type de question est relié à des problèmes pratiques que l’on rencontre par exemple dans les systèmes d’information géographique ou les métamorphoses (morphings). En nous appuyant sur des concepts de géométrie hyperbolique et de la théorie des mapping class groups, nous établissons d’abord un critère combinatoire pour caractériser l’isotopie, ce qui reprouve et améliore un résultat de Ladegaillerie de 1984. Ensuite, en combinant ceci avec des algorithmes antérieurs pour tester l’homotopie de courbes, nous fournissons des algorithmes efficaces pour résoudre ce problème d’isotopie de graphes. Nous déplaçons ensuite notre étude vers des problèmes de décompositions, en nous intéressant à la découpe de surfaces le long de courbes ou de graphes respectant certaines propriétés topologiques, ce qui est une routine importante en algorithmique des graphes ou en infographie, parmi d’autres domaines. En établissant une forte connexion avec le cas continu, ainsi qu’en étudiant un modèle discret de surfaces aléatoires, nous améliorons les meilleures bornes connues pour plusieurs schémas de découpe. Cela prouve en particulier une conjecture de Przytycka et Przytycki datant de 1993, et fournit également un nouvel algorithme pour calculer des décompositions en pantalons courtes. Enfin, nous montons d’une dimension, où les meilleurs algorithmes connus pour de nombreux problèmes topologiques (comme le célèbre problème du noeud) sont exponentiels. La plupart de ces algorithmes reposent sur les surfaces normales, un objet omniprésent pour étudier les surfaces plongées dans une 3-variété. Nous étudions une relaxation naturelle de cette notion, les surfaces normales immergées, dont la meilleure structure algébrique en fait de bons candidats pour obtenir des algorithmes polynomiaux pour des problèmes topologiques. Dans ce travail, nous montrons qu’utiliser des surfaces normales immergées mène naturellement à un problème de détection de singularités, et nous prouvons que celui-ci est NP-dur ; c’est un résultat notable car l’on dispose de très peu de preuves de difficulté en topologie en 3 dimensions. Notre réduction s’appuie sur une connexion avec une classe restreinte de problèmes de satisfaction de contraintes qui a été partiellement classifiée par Feder
Topology is the area of mathematics investigating the qualitative properties of shapes and spaces. Although it has been a classical field of study for more than a century, it only appeared recently that being able to compute the topological features of various spaces might be of great value for many applications. This idea forms the core of the blossoming field of computational topology, to which this work belongs. The three contributions of this thesis deal with the development and the study of topological algorithms to compute deformations and decompositions of low-dimensional objects, such as graphs, surfaces or 3-manifolds. The first question we tackle concerns deformations: how can one test whether two graphs embedded on the same surface are isotopic, i. E. , whether one can be deformed continuously into the other? This kind of problems is relevant to practical problems arising with morphings or geographic information systems, for example. Relying on hyperbolic geometry and ideas from the theory of mapping class groups, we first establish a combinatorial criterion to characterize isotopy, reproving and strengthening a result of Ladegaillerie (1984). Combined with earlier algorithms on the homotopy of curves, this allows us in turn to provide efficient algorithms to solve this graph isotopy problem. We then shift our focus to decompositions, by investigating how to cut surfaces along curves or graphs with prescribed topological properties, which is an important routine in graph algorithms or computer graphics, amongst others domains. By establishing a strong connection with the continuous setting, as well as studying a discrete model for random surfaces, we improve the best known bounds for several instances of this problem. In particular, this proves a conjecture of Przytycka and Przytycki from 1993, and one of our new bounds readily translates into an algorithm to compute short pants decompositions. Finally, we move up one dimension, where the best known algorithms for many topological problems, like for example unknot recognition, are exponential. Most of these algorithms rely on normal surfaces, a ubiquitous tool to study the surfaces embedded in a 3-manifold. We investigate a relaxation of this notion called immersed normal surfaces, whose more convenient algebraic structure makes them good candidates to solve topological problems in polynomial time. We show that when working with immersed normal surfaces, a natural problem on the detection of singularities arises, and we prove it to be NP-hard – this is noteworthy as hardness results are very scarce in 3-dimensional topology. Our reduction works by establishing a connection with a restricted class of constraint satisfaction problems which has been partially classified by Feder

Ce manuscrit présente l'étude d'une famille d'oxydes de chrome dans laquelle les composés peuvent être synthétisés selon deux phases qui présentent deux topologies différentes : les phases α-ACr₂O₄ (A=Sr, Ca, Ba) et β-CaCr₂O₄. Dans cette famille, les ions chrome portent un spin S=3/2 et forment soit des chaînes triangulaires, soit des plans triangulaires. Notre étude a donc été menée en deux parties : l'étude d'un système magnétique quasi-unidimensionnel et l'étude d'un système quasi-bidimensionnel.La première étude a été consacrée au composé β-CaCr₂O₄. Ce composé présente à basse température un comportement classique caractérisé par un ordre magnétique à longue portée associé à des corrélations 3D et au-dessus de la température d'ordre un comportement quantique caractéristique de chaînes de spins quasi-unidimensionnelles. L'objet de notre étude a donc été de mieux comprendre le mécanisme qui permet la transition d'un régime classique vers un régime quantique dans ce composé. Dans ce contexte nous avons exploré les effets de topologie et de contrainte structurale sur les propriétés magnétiques du composé, à travers l’étude de la série de composés substitués β-CaCr₂-xScxO₄ ainsi qu’une étude sur les effets de la pression. Ce travail a été mis en parallèle avec des calculs théoriques sur les chaînes de spins J₁-J₂.La seconde partie concerne le composé α-SrCr₂O₄. Notamment, l’étude par diffusion des neutrons de ce composé a mis en évidence l’influence de la dimension 2D ainsi que la distorsion du réseau triangulaire sur l’état fondamental du système et son comportement dynamique
This thesis focuses on the study of a chromium oxide family in which the samples are synthsized into two forms with two different topologies : α-ACr₂O₄ (A=Sr, Ca, Ba) and β-CaCr₂O₄. In these compounds, the chromium ions carry a spin 3/2 and either form triangular spin chains or two dimensional triangular lattices. Our study was hence divided in two parts : the study of a quasi one-dimensional and of a two-dimensional antiferromagnet.The first part was dedicated to the β-CaCr₂O₄ compound. This system exhibits a classical behavior at low temperature associated to a three-dimensional long-range magnetic order and quantum properties typical of a spin chain above the Néel temperature.The aim o four study was therefore to understand the mecanism involved in this classical to quantum physics crossover.In this context, we explored the topological and structural effects on the magnetic properties of this system, through the study of the series of substituted compounds β-CaCr₂-xScxO₄, as well as a study of β-CaCr₂O₄ under pressure. This work was also supported by theoretical calculations on frustrated J₁-J₂ spin chains.The second part of this thesis focused on α-SrCr₂O₄. In particular, neutron scattering measurements on this compound highlighted the effects of the 2D character and the distortion of the triangular lattice on the ground state and dynamical properties in this system

Cette thèse présente des résultats nouveaux dans deux sujets de la physique statistique du désordre: les modèles aux energies aléatoires logarithmiquement corrélées (logREMs), et la transition de localisation dans les matrices aléatoires à longues portées.Dans la première partie consacrée aux logREMs, nous montrons comment décrire leurs points communs et les données spécifiques aux modèles particuliers. Ensuite nous appliquons la méthode de la brisure de symétrie des répliques pour les étudier en general, et en déduirons la transition vitreuse et le processus des minima, en termes de processus de Poisson décorés. Nous présentons également une série d'application des polynômes de Jack à la prédiction exactes des observables dans le modèle circulaire et ses variants. Finalement, nous décrivons les progrès récents sur la connexion exacte entre les logREMs et la théorie conforme de Liouville.La seconde partie a pour but d'introduire une nouvelle classe de matrices aléatoires à bandes, dite la classe des distributions larges; elle ressemble essentiellement aux matrices creuses. Nous étudions d'abord un modèle particulier de la classe, les matrices aléatoires Bêta, qui sont inspirées par une correspondence exacte à un modèle statistique récemment étudié, celui de la dynamique épidémique. A l'aide des arguments analytiques appuyés sur la correspondence et des simulations numériques, nous montrons l'existence des transitions de localisation avec des valeurs propres critiques dans le régime des paramètres dit d'exponentielle étirée. Ensuite, en utilisant une approche de renormalisation et de diagonalisation par blocs, nous soutenons que les transitions de localisation sont en général présentes dans la class des distributions larges
This thesis presents original results in two domains of disordered statistical physics: logarithmic correlated Random Energy Models (logREMs), and localization transition in long-range random matrices.In the first part devoted to logREMs, we show how to characterise their common properties and model--specific data. Then we develop their replica symmetry breaking treatment, which leads to the freezing scenario of their free energy distribution and the general description of their minima process, in terms of decorated Poisson point process. We also report a series of new applications of the Jack polynomials in the exact predictions of some observables in the circular model and its variants. Finally, we present the recent progress on the exact connection between logREMs and the Liouville conformal field theory.The goal of the second part is to introduce and study a new class of banded random matrices, the broadly distributed class, which is characterid an effective sparseness. We will first study a specific model of the class, the Beta Banded random matrices, inspired by an exact mapping to a recently studied statistical model of long--range first--passage percolation/epidemics dynamics. Using analytical arguments based on the mapping and numerics, we show the existence of localisation transitions with mobility edges in the ``stretch--exponential'' parameter--regime of the statistical models. Then, using a block--diagonalization renormalization approach, we argue that such localization transitions occur generically in the broadly distributed class

Ce travail traite du point de vue topologique la structure de l'ensemble des systèmes affines contrôlables. D'après les articles (J. S. ), (A. S. V. ) il est apparu des relations très fortes entre les structures topologiques de l'ensemble des systèmes affines contrôlables Ca et de Ch. En particulier les propriétés de FrCa et la connexité de Ca découlent directement de propriétés analogues pour Ch. On montre que Ca fait apparaitre deux types de points frontières où a priori il aurait pu y avoir trois types de points frontières. L'intérieur de sa fermeture contient les systèmes affines contrôlables pour lesquels les trajectoires sont des cycles, le restant des cas sont sur la frontière de son extérieur. On montre aussi que l'intérieur de Ca est constitué uniquement des (J. S. ) et des systèmes affines contrôlables auxquels correspondent les systèmes homogènes non contrôlables caractérisés par les champs colinéaires (spirales liées). Notre résultat est que l'ensemble des systèmes affines contrôlables est connexe
From a topological point of vien this work deals with the structure of a set of affine and controllable systems. From the work of (J. S. ), (A. S. V. ) it appeared that definite relations exist between topological structure of a set of affine controllable systems Ca and Ch. In particuler the properties of Fr Ca and the connexivy of Ca arise direcly from analogouds properties of Ch. We show that Ca gives rise to two types of boundary points. We can expect to have three types of boundary points. The interior of the closed set Ca contains affine controllable systems for which the trajectories are cycles. For the other cases they are on the exterior boundaries, we also show that the interior of Ca is uniquely composed of (J. S. ) and affine controllable systems to which correspond homogeneous non-controllable systems characterized by collinear fields (non-independent spirals). Our result is that the set of affine controllable systems Ca is connected

Les travaux présentés dans cette thèse concernent l'étude des systèmes magnétiques sous champ pour lesquels une frustration, géométrique ou due à des interactions en compétition, est présente. Nous avons pour cela considéré différents types de modèles en basses dimensions, où les effets des fluctuations quantiques sont renforcés et permettent ainsi l'apparition de nouvelles phases quantiques intéressantes. Ce travail est organisé en trois parties, chacune d'entre elles correspondant à l'étude d'un modèle particulier. Dans les deux premières, nous nous intéressons à deux modèles unidimensionnels de tubes de spin, respectivement composés de trois et quatres chaînes de spin, que nous abordons à l'aide de plusieurs techniques analytiques et numériques. Nous montrons comment, au-delà de la présence de plateaux d'aimantation, une physique riche peut émerger, avec notamment le rôle des modes non magnétiques pour le premier modèle ou, pour le second, les conséquences d'une dégénérescence continue au niveau classique sur le diagramme de phases quantiques. Dans la troisième partie, nous étudions par des simulations de Monte-Carlo Quantique un modèle possédant une anisotropie de spin sur le réseau bidimensionnel Kagomé, proposé pour la recherche de phases topologiques. Nous obtenons le diagramme de phases sur un des plateaux d'aimantation de ce modèle, et utilisons cet exemple pour discuter la pertinence de l'utilisation des entropies d'intrication comme outil d'identification de différentes phases dans des simulations numériques
This thesis deals with the physics of magnetic systems in an external field and when frustration, arising either from the geometry or from competing interations, is present. We have studied several models in low dimensions, where the effects of the quantum fluctuations are more important and can lead to the apparition of new intersting quantum phases. This manuscript is divided in three parts, each one being dedicated to a given model. In the first two parts, we consider two one-dimensional spin tube models, respectively made of three and four coupled spin chains, that we study by using various analytical and numerical methods. We show that, beyond the appearance of magnetization plateaux, a rich physics can emerge, with the role of the non magnetic modes for the first model, or, in the second case, the consequences of a continuous degeneracy at the classical level on the quantum phase diagram. In the third part, we use numerical Quantum Monte-Carlo simulations to study an anisotropic spin model on the two-dimensional Kagomé lattice, designed for the search of topological phases. We obtain the phase diagram on one of the magnetization plateaux of this model, and use this example to discuss the relevance of the computation of the entanglement entropies in order to identify phases in numerical simulations

Bon nombre de systèmes physiques peuvent être modélisés par des particules quantiques sur réseau. L’étude de ces systèmes dans les basses dimensions est intéressante car beaucoup d’entre eux sont effectivement à une ou deux dimensions, et plus la dimension est basse plus la physique est riche car les effets de champ moyen disparaissent. Un modèle bidimensionnel permet par exemple de décrire de l’hélium adsorbé sur du graphite, ou encore des supraconducteurs à haute température. Tous ces systèmes peuvent être étudiés avec le modèle de Hubbard qui permet une description réaliste de la physique sur réseau. Le modèle par sa nature discrète se prête également bien aux simulations numériques, qui prennent tout leur intérêt face à la pauvreté des résultats analytiques. Dans cette thèse, le modèle de Hubbard est utilisé pour l’étude de quelques systèmes qui font actuellement l’objet de recherches intenses, tant au niveau théorique qu’expérimental
A good number of physical systems may be modelled by quantum particles on a lattice. Strongly correlated systems in one and two dimensions are particularly interesting because of the enhanced quantum effects not well described by mean field. In addition there is growing number of real materials which are truly one or two dimensional such as helium adsorbed on graphite, high temperature superconductors and Bose-Einstein condensates on optical lattices to mention only a few. These systems are well described by the lattice Hubbard model which, by virtue of being on a lattice, is amenable to precision numerical simulations which don’t suffer from the many approximations needed in the analytical calculations. In this thesis we apply the Hubbard model to study some systems which are currently of high theoretical and experimental interest

Ce travail présente l'étude de la dynamique de spins d'ions Mn insérés dans des structures de CdTe de faibles dimensions. L'accent est plus particulièrement mis sur des boîtes quantiques individuelles de CdTe contenant un ion Mn unique, ce qui permet d'accéder aux interactions non perturbées de l'ion magnétique avec son environnement semi-conducteur. Nous présentons une méthode purement optique de manipulation et de lecture des états de spin de l'ion magnétique unique. Les expériences utilisent le fait que les états de spin se conservent lors d'un transfert excitonique entre proches boîtes quantiques, pour injecter un exciton polarisé dans la boîte contenant l'ion Mn afin d'orienter son spin. Les dynamiques de processus de réorientation sont observées lors de mesures résolues en temps, puis analysées via un modèle simple d'équations de taux. Un des mécanismes possible de réorientation, la recombinaison d'excitons sombres, est présenté expérimentalement, puis discuté. L'orientation optique de l'ion Mn est aussi utilisée pour étudier les relaxations spin-réseau d'un ion magnétique isolé sous faibles et sous forts champs magnétiques. Ce travail décrit aussi les phénomènes présents pour des champs magnétiques nuls ou faibles dans des systèmes de moments magnétiques plus grands (puits et boîtes quantiques contenant plusieurs ions Mn). Une nouvelle technique expérimentale, basée sur des impulsions magnétiques rapides, nous permet d'étudier la dynamique de spin des ions Mn en l'absence de champ magnétique et ce, avec une résolution temporelle de l'ordre de la nanoseconde. Nous observons une rapide décroissance de la magnétisation après une impulsion magnétique. Le phénomène est décrit en terme de couplage hyperfin avec le spin nucléaire des ions Mn. Cet effet est particulièrement sensible à toute anisotropie, notamment celles introduites par un gaz de trous ou par les contraintes du réseau. L'application d'un champ magnétique externe supprime les dynamiques rapides dans les puits quantiques magnétiques dilués et des phénomènes plus commun de relaxation lente spin-réseau sont alors observés. Il est toutefois surprenant que les boîtes quantiques avec un grand nombre d'ions Mn présentent ces dynamiques de spin rapides même après application d'un champ magnétique allant jusqu'à 0.5 T. Ce processus rapide pourrait venir des interactions spin-spin des ions Mn, en particulier si leur distribution spatiale n'est pas régulière à l'intérieur de la boîte.

Les oxydes de basse dimensionnalité présentent un intérêt scientifique croissant de par leurs propriétés magnétiques étonnantes : transition métamagnétique, aimantation en plateau…. Outre la compréhension de la nature de ces phénomènes, l’intérêt qui émerge concerne les propriétés indirectement associées à l’aimantation particulière de ces systèmes qui peuvent s’inscrire dans le champ de la « spintronique » ou du stockage. Nos travaux, en amont, concernent la synthèse et l’étude de nouveaux composés, essentiellement des oxydes de basses dimensions, qui amènent un regard nouveau sur le contexte de ce magnétisme particulier. L’objectif de cette thèse a donc été de préparer et de caractériser de nouveaux composés inédits, mais également de résoudre les relations structure-propriétés parfois complexes. Les résultats obtenus via un travail de synthèse réfléchi, ont permis d’identifier des systèmes chimiques favorables à la réalisation de matériaux de basse dimensionnalité magnétique. Plusieurs phases inédites aux propriétés remarquables ont pu être identifiées. Il est clair que l’ensemble des comportements observés, 2D-Ising-FM, SCM, plateaux d’aimantation, extrusion réversible, sont tous relativement originaux et nous ont conduit à des avancées importante dans la compréhension du magnétisme de sous-unités en faible interaction
Low-dimensional oxides with disconnected magnetic units are of increasing interest due the peculiar properties and the versatile interplay between individual magnetic moments into an external magnetic field: metamagnetic transition, magnetization steps…. In addition to understanding these phenomena, the importance of this type of compounds is also emerging properties indirectly related to the specific magnetization of these systems that can be part of the field of "spintronic". Our work, upstream, is the synthesis and study of new compounds, mainly low dimensional oxides, which bring a new vision on such properties, due to their particular magnetic behaviors. The aim of this thesis was therefore to prepare and characterize novel compounds, but also to solve the structure-properties relationship. The results obtained through a work of reflected synthesis, have identified chemical systems favorable to the realization of low-dimensional magnetic materials. Several new phases with specific properties have been identified. It is clear that all the observed behaviors: 2D Ising-FM, SCM, magnetization step, reversible extrusion are relatively original and have led to important advances in the understanding of magnetism of weakly interacting subunits

Les oxydes de basse dimensionnalité présentent un intérêt scientifique croissant de par leurs propriétés magnétiques étonnantes : transition métamagnétique, aimantation en plateau…. Outre la compréhension de la nature de ces phénomènes, l’intérêt qui émerge concerne les propriétés indirectement associées à l’aimantation particulière de ces systèmes qui peuvent s’inscrire dans le champ de la « spintronique » ou du stockage. Nos travaux, en amont, concernent la synthèse et l’étude de nouveaux composés, essentiellement des oxydes de basses dimensions, qui amènent un regard nouveau sur le contexte de ce magnétisme particulier. L’objectif de cette thèse a donc été de préparer et de caractériser de nouveaux composés inédits, mais également de résoudre les relations structure-propriétés parfois complexes. Les résultats obtenus via un travail de synthèse réfléchi, ont permis d’identifier des systèmes chimiques favorables à la réalisation de matériaux de basse dimensionnalité magnétique. Plusieurs phases inédites aux propriétés remarquables ont pu être identifiées. Il est clair que l’ensemble des comportements observés, 2D-Ising-FM, SCM, plateaux d’aimantation, extrusion réversible, sont tous relativement originaux et nous ont conduit à des avancées importante dans la compréhension du magnétisme de sous-unités en faible interaction
Low-dimensional oxides with disconnected magnetic units are of increasing interest due the peculiar properties and the versatile interplay between individual magnetic moments into an external magnetic field: metamagnetic transition, magnetization steps…. In addition to understanding these phenomena, the importance of this type of compounds is also emerging properties indirectly related to the specific magnetization of these systems that can be part of the field of "spintronic". Our work, upstream, is the synthesis and study of new compounds, mainly low dimensional oxides, which bring a new vision on such properties, due to their particular magnetic behaviors. The aim of this thesis was therefore to prepare and characterize novel compounds, but also to solve the structure-properties relationship. The results obtained through a work of reflected synthesis, have identified chemical systems favorable to the realization of low-dimensional magnetic materials. Several new phases with specific properties have been identified. It is clear that all the observed behaviors: 2D Ising-FM, SCM, magnetization step, reversible extrusion are relatively original and have led to important advances in the understanding of magnetism of weakly interacting subunits

Cette thèse est un travail autour de certains aspects d'un problème fondamental de la topologie quantique: "le lien entre les invariant quantiques des variétés de dimension 3 et la géométrie de ces variétés". On explore ce lien en étudiant certaines asymptotiques pour une famille de théories quantiques des champs topologiques (TQFT) en dimension 2+1. Ces TQFT sont construites de façon combinatoire en utilisant le crochet de Kauffman. On donne un sens à la limite des multicourbes et des corps en anses dans ces TQFT et on interprète ces limites de façon géométrique. En conséquence on obtient une limite pour les représentations quantiques des "mapping class groups" au sens de la topologie de Fell. Elle est composée de deux chapitres rédigés en anglais qui sont dans une large mesure autonomes. Ce travail a été fait en collaboration avec Julien Marché. Le premier chapitre est un article à paraître dans Duke Mathematical Journal
This is a work around a fundamental problem of quantum topology: relating quantum invarinats of 3-manifolds to their geometrie properties. We study some asymptotics for a familly of topological quantum field theory (TQFT) in dimension 2-1-1. These TQFTs are constructed in a purely combinatorial way using skein theory and Kauffman bracket. We define and study the limits of the multicurves and handlebodies in these TQFTs and interpret these limits in a geometrie way. As a corollary we obtain a limit for the quantum représentations of mapping class groups in the Fell topology and give a new and simple proof for the asymptotic faithfulness of these representations. These results are presented in two chapters which constitutes the thesis. This work has been done in collaboration with Julien Marche. The first chapter will be published in Duke Mathematical Journal

On etudie la mecanique quantique de particules en interaction dans un systeme desordonne, et en particulier ce que devient la localisation d'anderson en presence d'interaction. Dans une premiere partie, on s'interesse aux etats excites d'un systeme de deux particules a une dimension. Pour ce modele, il a ete montre (shepelyansky 1994) qu'une interaction repulsive locale peut briser partiellement la localisation d'anderson. On verra ici que ce systeme possede des caracteristiques proches de celles obtenues a la transition metal-isolant pour le modele d'anderson tridimensionnel. En particulier, le maximum de rigidite obtenu dans la statistique du spectre correspond a une statistique intermediaire qui n'est decrivant ni par la theorie de matrice aleatoire ni par un spectre poissonnien. Les fonctions propres presentent un caractere multifractal et la propagation du centre de masse d'un paquet d'ondes est une fonction logarithmique du temps. La deuxieme partie concerne l'etat fondamental d'une densite finie de fermions sans spins a deux dimensions. L'idee communement admise, et soutenue par la theorie d'echelle de la localisation, que tout systeme bidimensionnel est isolant, s'est trouvee remise en question par l'observation d'une transition metal-isolant dans des gaz d'electrons de basses densites (kravchenko et al. 1994). Nous proposons un scenario ou la repulsion coulombienne est a l'origine de l'apparition d'une phase metallique qui se glisse entre l'isolant d'anderson et le cristal de wigner accroche. Cette phase intermediaire se caracterise par un alignement des courants locaux qui circulent dans le systeme.

Dans cette thèse nous étudions les groupes de tresses de cercles, nous explorons leurs applications topologiques et certains quotients remarquables. La thèse se compose de quatre parties : - Unification des formalismes pour les groupes de tresses de cercles. Plusieurs formulations ont été utilisées pour les groupes de tresses de cercles en différents domaines ; nous présentons ces interprétations et prouvons leur équivalence. - Une version topologique du théorème de Markov pour les entrelacs de tores ruban. Avec l’interprétation des tresses de cercles comme objets noués dans l’espace de dimension 4, nous présentons une version du Théorème de Markov pour les groupes de tresses de cercles avec clôture dans l’analogue du tore solide dans l’espace de dimension 4. - Invariants d’Alexander pour enchevêtrements ruban et algèbres de circuit. Nous définissons un invariant d’Alexander pour enchevêtrements ruban. De cela nous extrayons une généralisation fonctorielle du polynôme d’Alexander. Cet invariant a une signification topologique profonde, mais n’est pas simplement calculable. Nous établissons une correspondance avec le polynôme d’Alexander en plusieurs variables pour enchevêtrements introduit par Archibald pour résoudre ce problème. - Quotients des groupes de tresses virtuelles. Nous étudions les groupes de tresses de cercles symétriques, et nous en décrivons la structure. Comme conséquence nous montrons que tout entrelacs «fused » admets un représentant comme clôture d’une tresse de cercles symétrique pure
In this these we study loop braid groups, we explore some of their topological applications and some remarquable quotients. The thesis is composed by four parts:- Unifying the different approaches to loop braid groups. Several formulations are being used by researchers working with loop braid groups in different fields; we present these interpretations and prove their equivalence. - A topological version of Markov’s theorem for ribbon torus-links. Using the understanding of the interpretation of loop braids as knotted objects in the 4-dimensional space, we give a topological proof of a version of Markov theorem for loop braids with closure in a solid torus in the 4-dimensional space. - Alexander invariants for ribbon tangles. We define an Alexander invariant on ribbon tangles. From this invariant we extract a functorial generalization of the Alexander polynomial. This invariant has a deep topological meaning, but lacks a simple way of computation. To overcome this problem we establish a correspondence with Archibal’s multivariable Alexander polynomial for tangles. - Quotients of the virtual braid group. We study the groups of unrestricted virtual braids, a family of quotients of the loop braid groups, and describe their structure. As a consequence we show that any fused link admits as a representative the closure of a pure unrestricted virtual braid

En théorie des singularités, il est important de mieux comprendre la topologie des déformations des paramétrisations des singularités de courbes planes réelles, en particulier celles dont les fibres génériques sont des partages: des immersions d'intervalles dans lesquelles toutes les intersections sont transverses. Cette topologie est encore bien mystérieuse: on ne sait décrire ni les partages, ni les singularités que l'on peut obtenir lors de telles déformations. De plus, on ne connaît que deux méthodes pour fabriquer de tels partages, dues à A'Campo et Gusein-Zade. Dans ma thèse j'ai réussi à décrire avec précision un partage de A'Campo canonique associé à tout type topologique de singularité de courbe plane. Dans le cas où la singularité est irréductible, je retrouve ainsi la description donnée par Schulze-Robbecke en 1976. J'ai aussi décrit les multigermes des singularités des courbes génériques obtenues en appliquant partiellement l'algorithme de A'Campo. Et ceci pour toutes les déformations partielles possibles. Enfin, j'ai étudié de manière très détaillée la topologie des espaces totaux des résolutions plongées des singularités de courbes planes réelles, en donnant une version réelle de l'approche classique via des graphes de plombage, utilisée dans le cas complexe. Tout au long de la thèse, j'ai utilisé de manière essentielle un codage récent du type topologique de la singularité initiale, son lotus, introduit par Popescu-Pampu. Mon travail met ainsi en évidence le fait que dans l'étude des déformations, le lotus est un outil particulièrement bien adapté
In singularity theory, it is important to understand better the topology of the deformations of the parametrizations of plane curve singularities, particularly those whose fibres are divides: embeddings of intervals such that all intersections are transverse. This topology is still mysterious: one does not know descriptions either of the divides or of the singularities which appear in such deformations. Moreover, one knows only two algorithms whose results are divides, introduced by A'Campo and Gusein-Zade.In my thesis I described a canonical A'Campo divide associated to every topological type of plane curve singularities. In the case where the singularity is irreducible, I rediscovered the description given by Schulze-Robbecke in 1976. I've also described the multi-germ of singularities of curves obtained by partially applying A'Campo's algorithm. And this for every possible partial deformation. In the end, I studied in a detailed way the topology of the embedded resolution spaces of real plane curve singularities. All along my thesis I used in an essential way a recent encoding of the topological type of the initial singularity, its lotus, introduced by Popescu-Pampu. Therefore my work shows that the lotus is a particularly well adapted tool for the understanding of deformations

Cette thèse concerne la topologie quantique, une branche des mathématiques née dans les années 1980 suite aux travaux de Jones, Drinfeld et Witten. Un exemple fondamental d'invariant quantique des 3-variétés est due à Turaev-Viro en 1992. Leur approche, dans sa forme générale due à Barrett et Westbury, utilise une catégorie de fusion sphérique comme ingrédient principal et consiste en une somme d'états sur un squelette de la 3-variété dont les sommets sont coloriés par les 6j-symboles de la catégorie.Le résultat principal de la thèse est la construction d'un invariant topologique des 3-variétés peignées (c'est-à-dire des 3-variétés munies d'un champ de vecteurs jamais nuls) qui généralise celui de Turaev-Viro. Ce nouvel invariant est défini au moyen d'une catégorie de fusion pivotale et consiste en une somme d'états sur un squelette ramifié représentant la 3-variété peignée.Lorsque la catégorie de fusion pivotale n'est pas sphérique, l'invariant permet en général de distinguer des champs de vecteurs non homotopes sur une même 3-variété. Ceci est montré en considérant une catégorie de fusion pivotale associée à un caractère d'un groupe fini. Pour cette catégorie, l'invariant correspond à l'évaluation par le caractère de la classe d'Euler d'un certain fibré vectoriel de rang 2 associé au champ de vecteurs
This thesis concerns quantum topology, a branch of mathematics born in the 1980s after the work of Jones, Drinfeld and Witten. A fundamental example of a quantum invariant of 3-manifolds is due to Turaev-Viro in 1992. Their approach, in its general form due to Barrett and Westbury, uses a spherical fusion category as the main ingredient and consists in a state sum on a skeleton of the 3-manifold whose vertices are colored by the 6j-symbols of the category. The main result of the thesis is the construction of a topological invariant of combed 3-manifolds (that is, of 3-manifolds endowed with a nowhere-zero vector field) which generalizes that of Turaev-Viro. This new invariant is defined by means of a pivotal fusion category and consists in a state sum on a branched skeleton representing the combed 3-manifold. When the pivotal fusion category is not spherical, the invariant allows in general to distinguish non homotopic vector fields on the same 3-manifold. This is proved by considering a pivotal fusion category associated with a character of a finite group. For this category, the invariant corresponds to the evaluation by the character of the Euler class of a certain vector bundle of rank 2 associated to the vector field

Cette thèse s’intéresse à la topologie des lissages des singularités non-isoléesde surfaces complexes. La question est celle de la description de la topologie de la variété,appelée fibre de Milnor, qui survient lors de ce procédé de lissage. Devant la difficulté dedécrire la totalité de cette topologie, beaucoup de recherches se sont concentrées sur le bordde la fibre de Milnor. Dans le cas des singularités isolées, il est connu depuis les travaux deMumford (1961), que ce bord est une variété graphée, isomorphe au bord de la singularité.Différents résultats (Michel & Pichon 2003, 2014, Némethi & Szilárd 2012) ont par lasuite prouvé que dans le cas des singularités réduites non-isolées, le bord de la fibre de Milnorest encore une variété graphée, en imposant à l’espace total du lissage d’être lui-mêmelisse. Fernández de Bobadilla & Menegon-Neto (2014) ont quant à eux élargi le contexte,considérant le cas d’une surface non réduite dans un espace total à singularité isolée. Dansce travail, on poursuit l’extension de ce résultat à un plus large contexte, autorisant l’espacetotal du lissage à présenter des singularités non-isolées, tout en imposant à la surface d’êtreréduite. Notre preuve s’inspire de celle de Némethi et Szilard, permettant comme chez euxde produire une méthode pour le calcul de cette variété. Ceci rend praticable le calcul effectifd’une grande quantité d’exemples, représentant un progrès dans la quête de la compréhensiondes variétés pouvant apparaître comme bords de fibres de Milnor.Nous appliquons en particulier la méthode aux singularités Newton-non-dégénéréesdéfinies sur des germes toriques tridimensionnels quelconques. Nous généralisons de cettemanière un théorème de Oka (1986), en exprimant le bord de la fibre de Milnor en termesdu polyèdre de Newton de la singularité
This thesis is dedicated to the study of the topology of smoothings of non-isolated singularities of complex surfaces. The question is to describe the topology of themanifold, called Milnor fiber, which appears during this process of smoothing. Consideringthe great difficulty of a description of the whole of this topology, many researches havefocused on the study of the boundary of the Milnor fiber. In the case of isolated singularities,it is known since the work of Mumford (1961) that this boundary is a graph manifold,isomorphic to the link of the singularity.Different results (Michel & Pichon 2003, 2014, Némethi & Szilárd 2012) have then provedthat, in the case of reduced non-isolated singularities, the boundary of the Milnor fiber isagain a graph manifold, while restraining to the case of a smooth total space of smoothing.Fernández de Bobadilla & Menegon-Neto (2014) have widened the context, consideringnon-reduced surfaces, and allowing the total space to have an isolated singularity. In thiswork, we pursue the extension of this result to a larger context, allowing the total spaceto present non-isolated singularities, while restraining ourselves to the study of reducedsurface singularities. Our proof is inspired by the one of Némethi and Szilard, and allows usfurthermore to provide a method for the computation of this manifold. This makes possiblethe actual computation of a large number of examples, representing a step forward in thequest for the comprehension of the manifolds that can actually appear as boundaries ofMilnor fibers.We apply in particular the method to Newton non-degenerate singularities defined on3-dimensional toric germs. This is a generalization of a theorem of Oka (1986), expressingthe boundary of the Milnor fiber in terms of the Newton polyhedron of the singularity

Cette these presente une etude du modele XY bidimensionnel dans des conditions realistes, comme la presence d'imperfections (impuretes non magnetiques) ou la taille finie du reseau. Ces deux aspects sont typiques de situations experimentales et necessitent un questionnement theorique. Nous avons egalement considere le comportement a basse temperature du modele d'Heisenberg fini et avons trouve un comportement analogue a celui du modele XY. Nous avons utilise a la fois une approche analytique et des simulations numeriques pour traiter le probleme. Les resultats essentiels de ce travail sont : (a) la determination de l'exposant de decroissance algebrique de la fonction de correlation du modele XY dilue, analytiquement avec l'approximation d'ondes de spins et par simulations Monte Carlo a l'aide de l'algorithme de Wolff, (b) l'estimation correspondante dans le cas du modele d'Heisenberg sur reseau fini a basse temperature assortie de simulations numeriques egalement, (c) la forme de l'interaction entre les impuretes non magnetiques et les defauts topologiques dans le cadre du modele de Villain et dans le modele de Kosterlitz-Thouless, et l'estimation analytique de la reduction de temperature critique basee sur la forme de cette interaction, (d) la determination numerique de la distribution de probabilite de l'aimantation residuelle sur un systeme fini en presence de desordre. Pour l'ensemble de nos travaux, nous avons obtenu un bon accord entre les predictions theoriques et les simulations numeriques, de meme qu'avec des travaux anterieurs le cas echeant.

Une surface de degré m dans l'espace projectif réel de dimension 3 est un polynôme homogène de degré m en 4 variables à coefficients réels et considéré à multiplication par un réel non nul près. L'ensemble des points réels de la surface est l'ensemble des zéros du polynôme dans l'espace projectif réel. Une classification naturelle des surfaces dans l'espace projectif réel est la classification à isotopie près. Une classification plus fine est celle à isotopie rigide près. Le premier résultat obtenu est une classification à isotopie près des surfaces de degré 4 avec un point double non dégénéré. Le deuxième résultat est une classification à isotopie rigide près des surfaces de degré 4 avec un point double non dégénéré, excepté le cas des surfaces dont l'ensemble des points réels est connexe et non contractile. Enfin, le troisième résultat concerne les groupes de monodromie des surfaces non singulières de degré 4; ces groupes ont tous été calculés.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Mathématiques pures : Lille 1 : 2004.
N° d'ordre (Lille 1) : 3509. Résumé en français et en anglais. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 46-48.

L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements
Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups

Cette thèse décrit la réalisation et l’étude de réseaux bidimensionnels de résonateurs supraconducteurs en nid d’abeille. Ce travail constitue un premier pas vers la simulation de systèmes de la matière condensée avec des circuits supraconducteurs. Ces réseaux sont micro-fabriqués et sont constitués de plusieurs centaines de sites. Afin d’observer les modes propres qui y apparaissent dans une gamme de fréquence entre 4 et 8 GHz, nous avons mis au point une technique d’imagerie. Celle-ci utilise la dissipation locale créée par un laser avec lequel nous pouvons adresser chaque site du réseau. Nous avons ainsi pu mesurer la structure de bande et caractériser les états de bord de nos réseaux. En particulier, nous avons observé les états localisés qui apparaissent à l'interface entre deux isolants de Semenoff ayant des masses opposées. Ces états, dits de Semenoff, sont d'origine topologique. Nos observations sont en excellent accord avec des simulations électromagnétiques ab initio
This thesis describes the realization and study of honeycomb lattices of superconducting resonators. This work is a first step towards the simulation of condensed matter systems with superconducting circuits. Our lattices are micro-fabricated and typically contains a few hundred sites. In order to observe the eigen-modes that appear between 4 and 8 GHz, we have developed a mode imaging technique based on the local dissipation introduced by a laser spot that we can move across the lattice. We have been able to measure the band structure and to characterize the edge states of our lattices. In particular, we observe localized states that appear at the interface between two Semenoff insulators with opposite masses. These states, called Semenoff states, have a topological origin. Our observations are in good agreement with ab initio electromagnetic simulations

On considère les structures géométriques sur les variétés irréductibles de dimension 3 et on caractérise les représentations de holonomie des structures hyperboliques dans le complémentaire d'une boule. Comme corollaire on obtient une solution positive à la question de Cooper et Long : est-ce que la trace de la longitude est toujours -2 dans une représentation discrète et fidèle d'un groupe de nœud ? On considère également la variété de caractères de représentations du groupe d'un nœud.

La physique statistique quantique formule les règles permettant de classifier les différentes particules. Dans cette thèse nous avons étudié deux projets, l'un portant sur les anyons dits de "Fibonacci" et l'autre sur les fermions sur réseau optique. Ici, nous avons naturellement étendu cette étude aux cas pertinent d'anyons itinérants en interaction sur des échelles. Notre but a été de construire le modèle 2D le simple possible d'anyons itinérants en interaction, analogue direct des systèmes fermioniques et inspiré par les études précédentes. En particulier, nous nous sommes demandé si la séparation spin-charge, bien connu à 1D, pouvait subsister dans le cas d'anyons sur une échelle. De plus, dans l'étude de ce modèle, nous avons découvert une nouvelle phase incompressible pouvant présenter un caractère topologique. Dans le cas des fermions confinés sur un réseau optique unidimensionnel, nous avons étudié les effets d'un chargement non-adiabatique et proposé des protocoles visant à minimiser le réchauffement du gaz quantique. Les atomes ultra-froids sur réseau optique constituent une réalisation idéale pour étudier les systèmes fortement corrélés soumis à un potentiel périodique. Le refroidissement évaporatif d'un nuage d'atomes confiné, c.a.d. sans le potentiel du réseau, s'est avéré être un processus très efficace. Les protocoles courants permettent d'obtenir(pour des fermions) des températures aussi basses que T/TF ≈ 0.08, impossible à réaliser en présence du réseau optique. Notre étude concerne les effets de redistribution de densité pour un système 1D de fermions. Notre but était de voir si des défauts causés par la mauvaise répartition des particules lors du chargement du réseau optique pouvaient empêcher les atomes de se refroidir jusqu'à la température voulue. Nous avons conçu des scenario améliorés où certains paramètres sont modifiés de façon dynamique afin de réduire la densité de défauts créés
Quantum statistics is an important aspect of quantum mechanics and it lays down the rules for identifying dfferent classes of particles. In this thesis, we study two projects, one that surveys models of Fibonacci anyons and another that delves into fermions in optical lattices. We analyse the physics of mobile non-Abelian anyons beyond one-dimension by constructing the simplest possible model of 2D itinerant interacting anyons in close analogy to fermionic systems and inspired by the previous anyonic studies. In particular, we ask the question if spin-charge separation survives in the ladder model for non-Abelian anyons. Furthermore, in the study of this model, we have found a novel physical effective model that possibly hosts a topological gapped state. For fermions in one dimensional optical lattices, we survey the effects of non-adiabatic lattice loading on four different target states, and propose protocols to minimise heating of quantum gases. The evaporative cooling of a trapped atomic cloud, i.e. without the optical lattice potential, has been proven to be a very effective process. Current protocols are able to achieve temperatures as low as T/TF ≈ 0.08, which are lost in the presence of the optical lattice. We aim to understand if defects caused by poor distribution of particles during lattice loading are important for the fermionic case, forbidding the atoms to cool down to the desired level. We device improved ramp up schemes where we dynamically change one or more parameters of the system in order to reduce density defects

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux feuilletages orientables en surfaces des variétés fermées de dimension 3. Nous prouvons que deux tels feuilletages sur une variété fermée orientable sont homotopes s'ils sont tendus et suffisamment proches. Pour cela, nous établissons d'abord une version ''à paramètre'' d'un théorème de Thurston selon lequel il est possible de prolonger certains feuilletages du tore-surface au tore solide. Dans ce travail, nous construisons un tel prolongement et nous utilisons le théorème d'Herman sur la conjugaison des difféomorphismes du cercle à des rotations pour établir la continuité de ce prolongement par rapport aux feuilletages. Ensuite nous montrons que l'espace des feuilletages en surfaces transverses à une fibration au-dessus d'une surface fermée orientable est homotope à un point. Enfin, nous prouvons le résultat annoncé en utilisant une idée de Thurston et la construction précédente. Nous en déduisons quelques conséquences sur la topologie locale de l'espace des feuilletages en surfaces sur les variétés fermées de dimension 3.

Cette thèse est motivée par l'étude des courbes algébriques réelles dans le plan projectif réel et dans les surfaces rationnelles géométriquement réglées, munis de leur structure réelle standard. Deux problèmes ont particulièrement retenus notre attention. Les ovales d'une courbe non singulière dans dans le plan projectif réel de degré pair sont naturellement divisés en deux ensembles disjoints : les ovales pairs, contenus dans un nombre pair d'ovales, et les ovales impairs. La combinaison des inégalités de Harnack et de Petrovsky permet d'obtenir une borne supérieure pour le nombre d'ovales pairs et le nombre d'ovales impairs en fonction du degré de la courbe. Généralisant une construction antérieure d'I. Itenberg, nous montrons que cette borne est asymptotiquement optimale. La majorité des restrictions connues sur la topologie des courbes algébriques réelles sont aussi valables pour une classe plus vaste d'objets, les courbes pseudoholomorphes réelles. Un problème ouvert est celui de l'existence d'un schéma réel réalisable par une courbe pseudoholomorphe réelle non singulière, mais pas par une courbe algébrique réelle non singulière de même degré. Nous étudions dans cette thèse les courbes réelles non singulières symétriques de degré 7 dans le plan projectif réel, algébriques et pseudoholomorphes. Nous obtenons en particulier plusieurs classifications, et exhibons deux schémas réels réalisables par des courbes pseudoholomorphes réelles séparantes symétriques non singulières de degré 7 mais pas par de telles courbes algébriques. Certains des résultats de cette thèse sont basés sur l'utilisation des dessins d'enfants. En géométrie algébrique réelle, ces objets ont été utilisés la première fois par S. Yu. Orevkov. Ils permettent en particulier de répondre à la question suivante : Existe-t-il deux polynômes réels P et Q de degré n tels que les racines réelles de P, Q et P+Q réalisent un arrangement donné? Suivant Orevkov, nous donnons une condition nécessaire et suffisante à l'existence de deux tels polynômes, formulée en terme de dessins d'enfants. Nous donnons aussi un algorithme permettant d'établir si un L-schéma donné est réalisable par une courbe algébrique réelle trigonale.

Une carte topologique 3D est un modèle servant à représenter la partition en régions d'une image 3D pour le traitement d'images. Dans ce travail, nous développons des outils permettant de modifier la partition représentée par une carte topologique, puis nous utilisons ces outils afin de proposer des algorithmes de segmentation intégrant des critères topologiques. Dans une première partie, nous proposons trois opérations. La fusion de régions est définie avec une approche locale adaptée à une utilisation interactive et une approche globale pour une utilisation automatisée comme lors d'une segmentation. La division de régions est proposée avec une méthode d'éclatement en voxels et la division à l'aide d'un guide. Enfin, la déformation de la partition est basée sur la définition de points ML-Simples : des voxels pouvant changer de région sans modifier la topologie de la partition. À l'aide de ces opérations, nous mettons en œuvre dans une seconde partie des algorithmes de segmentation d'images utilisant les cartes topologiques. Notre première approche adapte au modèle des cartes topologiques un algorithme existant qui utilise un critère basé sur la notion de contraste. Nous proposons ensuite des méthodes de calcul d'invariants topologiques sur les régions : les nombres de Betti. Grâce à eux, nous développons un critère topologique de segmentation permettant de contrôler le nombre de tunnels et de cavités des régions. Enfin, nous illustrons les possibilités de tous nos outils en mettant en place une chaîne de traitement pour la segmentation de tumeurs cérébrales dans des images médicales.

Après les travaux de W. T. Tutte sur le comptage de diverses familles de cartes planaires, le point de vue adopté ici est celui de la définition de transformations topologiques sur les cartes à partir desquelles on déduit des équations sur leurs séries génératrices. Un premier résultat concerne l'énumération des cartes sur le tore en fonction du nombre d'arêtes et du degré d'une face distinguée. Une nouvelle équation sur la série génératrice est obtenue après une étude détaillée d'une transformation topologique consistant à contracter une face distinguée. Un second résultat concerne l'étude d'un problème d'évolution linéaire sur un multigraphe muni d'une valuation formelle. La résolution de ce problème conduit à une équation nouvelle attachée à tout graphe. Cette équation, appliquée dans le cas particulier de l'arbre infini naturellement associé à la famille des cartes planaires, conduit à une équation nouvelle pour la série génératrice de ces cartes planaires, exprimant celle-ci en fonction de la série génératrice des mots de Dyck. Le troisième résultat concerne une généralisation à trois dimensions au niveau des solides topologiques, des notions classiques sur les cartes. La notion de solide est introduite en termes de sommets, arêtes, faces et en y ajoutant une composante supplémentaire : celle de volume. Une propriété importante mise en évidence est celle d'effeuillabilité, celle-ci permettant de généraliser en 3D la notion d'arbre par celle de solide effeuillable. On donne alors l'énumération d'une classe particulière de tels solides effeuillables : les solides-arbres par la suite de Schröder-Etherington

L'objet de cette thèse est l'amélioration de la qualité de maillages de géométries dont les frontières sont mobiles au cours du temps. Nous avons traité différents aspects aussi bien globaux que locaux du maillage. L'optimisation est réalisée en utilisant des critères géométriques intervenant sur la forme des éléments. Une étude sur un cas bidimensionnel montre l'intérêt d'utiliser des techniques locales comme le retournement d'arêtes. Cependant cette amélioration topologique du maillage ne suffit pas à traiter les cas de grandes déformations comme l'écrasement d'éléments entre deux frontières. Un algorithme a donc été élaboré afin de former des zones de triangles que l'on remaille de façon optimale. L'amélioration de maillages tridimensionnels a d'abord été étudiée par l'intermédiaire d'un remaillage global. Un découpage du domaine en grandes zones de déformation nous a ensuite permis de localiser les interventions sur les tétraèdres. Une dernière technique a été mise en œuvre afin d'améliorer directement les éléments les plus déformés en créant des coquilles par voisinage d'éléments et en remaillant ces sous-domaines. Partant du principe que la peau d'un maillage tridimensionnel est primordiale pour l'amélioration du maillage volumique, nous avons construit un algorithme permettant d'améliorer la forme des triangles tout en conservant la courbure discrète de la discrétisation. Les principales applications de cette thèse ont été réalisées sur des géométries de chambre de combustion de moteur automobile. Mais d'autres exemples aussi divers qu'un Falcon ou une vertèbre humaine nous ont permis de valider nos algorithmes et de montrer toute l'étendue de leur champ d'applications.

Ce memoire est constitue de deux parties independantes. La premiere est consacree au probleme de la propagation d'un trou dans un milieu antiferromagnetique triangulaire. La deuxieme partie est vouee a l'etude de l'ordre antiferromagnetique dans les systemes de heisenberg quasi-unidimensionnels. Dans la premiere partie, la position des minima de la relation de dispersion du trou est calculee dans le cadre de trois approches differentes: l'une est qualitative et les deux autres sont numeriques. Les minima occupent les sommets de la zone de brillouin, de forme hexagonale, si l'amplitude de saut t est positive (modele t-j), et occupent les milieux des segments joignant le centre aux sommets de la zone de brillouin si t est negatif. Pour une densite petite, mais finie, de trous on a admis que ceux-ci remplissent de petites poches autour de chacun de ces minima dans l'espace des vecteurs d'onde, et on a montre qu'il peut apparaitre, si t est negatif, des phases spirales dont le vecteur d'onde est parallele a l'une des trois directions de symetrie du reseau triangulaire. Dans la seconde partie, on s'interesse au comportement de l'ordre antiferromagnetique en fonction du rapport des couplages transverse et longitudinal. Pour les spins entiers, l'ordre apparait au-dela d'une valeur critique de ce rapport. Les fonctions de correlation, calculees dans la phase desordonnee, decroissent exponentiellement dans la limite asymptotique. Le diagramme de phase presente deux phases, l'une est desordonnee et l'autre est ordonnee. La ligne de separation depend de la valeur du spin s. Pour le spin s=1/2, on propose une approche basee sur une representation fermionique des spins. Nous introduisons a cette fin une generalisation de la transformation de jordan-wigner

L'etude des arn par rmn est limitee par leur distribution inhomogene de protons et la faible resolution des spectres de correlations 1 3c- 1h, rendant particulierement difficile l'attribution et leur caracterisation structurale. Il est demontre que l'utilisation de la correlation croisee csa-dipolaire apporte un important gain en resolution et en sensibilite pour ces experiences. Ces avantages ont ete appliques aux principales experiences permettant l'attribution et la mesure des parametres structuraux et dynamiques dans les arn de tailles importantes. L'etude quantitative des phenomenes de relaxation induits par cette correlation croisee permet, d'une part, de determiner simplement la conformation des sucres, et d'autre part, apporte la premiere caracterisation experimentale des csa dans les bases nucleiques des arn en solution. Dans les biomolecules paramagnetiques la mesure de ces vitesses de relaxation croisee permet d'obtenir de nouvelles contraintes structurales a longue portee, particulierement interessantes pour la determination de la structure des arn. Une approche est proposee pour generaliser cette methode aux biomolecules ne possedant pas de site naturel de fixation aux ions paramagnetiques. Dans une seconde partie, il est propose un protocole de calcul de structure optimise pour la determination de la topologie des ponts disulfures a partir des contraintes rmn. Une etude des possibilites et limitations de cette methode, indique qu'elle est generale et peut etre appliquee des les premiers stades des etudes rmn des proteines riches en ponts disulfures. Les applications a deux toxines riches en ponts disulfures resistantes aux endoproteases, apportent de nouvelles informations structurales et biochimiques pour ces familles de proteines.

Tout au long de la thèse, nous discuterons, améliorerons et fournirons un cadre conceptuel dans lequel des méthodes basées sur les propriétés de récurrence de dynamiques chaotiques peuvent être comprises. Nous fournirons également de nouvelles méthodes basées sur l'EVT pour calculer les quantités d'intérêt et présenteronsr de nouveaux indicateurs utiles associés à la dynamique. Nos résultats auront une rigueur mathématique totale, même si l'accent sera mis sur les applications physiques et les calculs numériques, car l'utilisation de telles méthodes se développe rapidement. Nous commencerons par un chapitre introductif à la théorie dynamique des événements extrêmes, dans lequel nous décrirons les principaux résultats de la théorie qui seront utilisés tout au long de la thèse. Après un petit chapitre dans lequel nous introduisons certains objets caractéristiques de la mesure invariante du système, à savoir les dimensions locales et les dimensions généralisées, nous consacrons les chapitres suivants à l'utilisation de EVT pour calculer de telles quantités dimensionnelles. L'une de ces méthodes définit naturellement un nouvel indicateur global sur les propriétés hyperboliques du système. Dans ces chapitres, nous présenterons plusieurs applications numériques des méthodes, à la fois dans des systèmes réels et idéalisés, et étudierons l'influence de différents types de bruit sur ces indicateurs. Nous examinerons ensuite une question d'importance physique liée à l'EVT : les statistiques de visites dans certains sous-ensembles cibles spécifiques de l'espace de phase, en particulier pour les systèmes partiellement aléatoires et bruyants. Les résultats présentés dans cette section sont principalement numériques et hypothétiques, mais révèlent un comportement universel des statistiques de visites. Le huitième chapitre établit la connexion entre plusieurs quantités locales associées à la dynamique et calculées à l'aide d'une quantité finie de données (dimensions locales, temps de frappe, temps de retour) et les dimensions généralisées du système, calculables par les méthodes EVT. Ces relations, énoncées dans le langage de la théorie des grandes déviations (que nous exposerons brièvement), ont de profondes implications physiques et constituent un cadre conceptuel dans lequel la distribution de ces quantités locales calculées peut être comprise. Nous tirons ensuite parti de ces connexions pour concevoir d'autres méthodes permettant de calculer les dimensions généralisées d'un système. Enfin, dans la dernière partie de la thèse, qui est plus expérimentale, nous étendons la théorie dynamique des événements extrêmes à des observables
Throughout the thesis, we will discuss, improve and provide a conceptual framework in which methods based on recurrence properties of chaotic dynamics can be understood. We will also provide new EVT-based methods to compute quantities of interest and introduce new useful indicators associated to the dynamics. Our results will have full mathematical rigor, although emphasis will be placed on physical applications and numerical computations, as the use of such methods is developing rapidly. We will start by an introductory chapter to the dynamical theory of extreme events, in which we will describe the principal results of the theory that will be used throughout the thesis. After a small chapter where we introduce some abjects that are characteristic of the invariant measure of the system, namely local dimensions and generalized dimensions, w1 devote the following chapters to the use of EVT to compute such dimensional quantities. One of these method defines naturally a navel global indicator on the hyperbolic properties of the system. ln these chapters, we will present several numerical applications of the methods, bath in real world and idealized systems, and study the influence of different kinds of noise on these indicators. We will then investigate a matter of physical importanc related to EVT: the statistics of visits in some particular small target subsets of the phase-space, in particular for partly random, noisy systems. The results presented in this section are mostly numerical and conjectural, but reveal some universal behavior of the statistics of visits. The eighth chapter makes the connection betweer several local quantities associated to the dynamics and computed using a finite amount of data (local dimensions, hitting times, return times) and the generalized dimensions of the system, that are computable by EVT methods. These relations, stated in the language of large deviation theory (that we will briefly present), have profound physical implications, and constitute a conceptual framework in which the distribution of such computed local quantities can be understood. We then take advantage of these connections to design further methods to compute the generalized dimensions of a system. Finally, in the last part of the thesis, which is more experimental, we extend the dynamical theory of extreme events to more complex observables, which will allow us to study phenomena evolving over long temporal scales. We will consider the example of firing cascades in a model of neural network. Through this example, we will introduce a navel approach to study such complex systems

Dans cette thèse on étudie un invariant topologique des variétés de dimension 3, la torsion de Reidemeister, comme un objet global sur les variétés de caractères du groupe fondamental dans SL(2,C). Dans le cas du complexe cohomologique associé à la représentation adjointe, on définit la torsion « adjointe » comme une forme différentielle méromorphe sur la variété des caractères. On reliera l’apparition de pôles ou de zéros à :-des singularités de la variété des caractères-la topologie de certaines surfaces incompressibles plongées, produites via la théorie de Culler-Shalen.On obtiendra, comme conséquence de ces résultats, une formule reliant le genre de ces surfaces incompressibles, et celui de la variété des caractères.Dans le cas du complexe standard, la torsion « acyclique » est une fonction méromorphe sur la variété des caractères. Une étude poussée des pôles apparaissant aux points à l’infini nous permettra, entre autre, de donner des conditions suffisantes pour que la torsion soit non constante
In this PhD dissertation, we study a topological invariant of 3-manifolds, namely the Reidemeister torsion, as globally defined on character varieties of the fundamental group in SL(2,C). The « adjoint » torsion will be the torsion of the cohomological complex associated to the adjoint representation. We explain that it can be seen as a meromorphic differential form on the character variety, and we aim to understand its poles and zeros. They will be related with -singular points of the character variety -the topology of incompressible surfaces embedded in the 3-manifold, provided by the Culler-Shalen theory. As an application, we prove a relation between the genus of those incompressible surface and the genus of the character variety. The « acyclic » torsion of the standard complex is a rational function on the character variety. We study its poles at infinity in the character variety, and we give sufficient conditions for this torsion to be non constant

L'analyse topologique de données forme un ensemble d'outils visant à révéler de manière générique, robuste et efficace les caractéristiques structurelles implicites cachées dans des ensembles de données complexes. Ces outils permettent de calculer une représentation topologique pour chaque membre d'un ensemble de données en encodant ses principales caractéristiques d'intérêt de manière concise et informative. Un défi majeur consiste ensuite à concevoir des outils d'analyse pour de tels ensembles de descripteurs topologiques. Plusieurs outils ont été bien étudiées pour les diagrammes de persistance, l'un des descripteurs les plus utilisés. Cependant, ils souffrent d'un manque de spécificité, pouvant donner des représentations de données identiques pour des données significativement différentes. Dans cette thèse, nous avons cherché à développer des outils d'analyse plus avancés pour des ensembles de descripteurs topologiques, capables de résoudre le problème de discriminabilité des diagrammes de persistance et d'aller au-delà de ce qui était déjà disponible pour ces objets. Tout d'abord nous adaptons aux arbres de fusion, descripteurs ayant une meilleur spécificité, les outils déjà disponibles pour les diagrammes de persistance tels que le calcul de distances, géodésiques et barycentres. Ensuite, nous souhaitons aller au-delà de cette simple notion de moyenne qu'est le barycentre pour étudier la variabilité au sein d'un ensemble de descripteurs topologiques. Nous adaptons alors le cadre de l'Analyse en Composantes Principales aux diagrammes de persistance et les arbres de fusion, résultant une méthode de réduction de dimensions qui indique quelles structures dans l'ensemble sont les plus responsables de la variabilité. Cependant, ce cadre permet uniquement de détecter des tendances linéaires de variabilité dans l'ensemble. Pour résoudre ce problème, nous proposons de généraliser ce cadre aux Auto-Encodeurs afin de détecter des motifs non linéaires, i.e. plus complexes, dans un ensembles d'arbres de fusions ou de diagrammes de persistance. Plus précisément, nous proposons une nouvelle couche de réseau de neurones capable de traiter nativement ces objets. Nous présentons des applications de ces travaux pour le suivi de structures dans un ensemble de données variant dans le temps pour la réduction de données pour compresser un ensemble de descripteurs topologiques, dans le partitionnement pour former des groupes homogènes dans un ensemble, et dans la réduction de dimensions pour créer une carte visuelle indiquant comment les données sont organisées les unes par rapport aux autres dans l'ensemble
Topological Data Analysis (TDA) forms a collection of tools to generically, robustly and efficiently reveal implicit structural patterns hidden in complex datasets. These tools allow to compute a topological representation for each member of an ensemble of datasets by encoding its main features of interest in a concise and informative manner. A major challenge consists then in designing analysis tools for such ensembles of topological descriptors. Several tools have been well studied for persistence diagrams, one of the most used descriptor. However, they suffer from a lack of specificity, which can yield identical data representations for significantly distinct datasets. In this thesis, we aimed at developing more advanced analysis tools for ensembles of topological descriptors, capable of tackling the lack of discriminability of persistence diagrams and going beyond what was already available for these objects. First, we adapt to merge trees, descriptors having a better specificity, the tools already available for persistence diagrams such as distances, geodesics and barycenters. Then, we want to go beyond this notion of average being the barycenter in order to study the variability within an ensemble of topological descriptors. We then adapt the Principal Component Analysis framework to persistence diagrams and merge trees, resulting in a dimensionality reduction method that indicates which structures in the ensemble are most responsible for the variability. However, this framework allows only to detect linear patterns of variability in the ensemble. To tackle this we propose to generalize this framework to Auto-Encoder in order to detect non-linear, i.e. more complex, patterns in an ensemble of merge trees or persistence diagrams. Specifically, we propose a new neural network layer capable of processing natively these objects. We present applications of all this work in feature tracking in a time-varying ensemble, data reduction to compress an ensemble of topological descriptors, clustering to form homogeneous groups in an ensemble, and dimensionality reduction to create a visual map indicating how the data are organized regarding each other in the ensemble

La première partie de cette thèse concerne les phases inhomogènes
FFLO. Celles-ci peuvent apparaître dans les supraconducteurs
ou les gaz d'atomes froids fermioniques en présence d'une différence
homogène de potentiels chimiques entre les deux états de spin.
Nous regardons la compétition
entre les différentes phases FFLO près de la transition.
A 2D, nous utilisons une approche de type Ginzburg-Landau
pour prédire une cascade de transitions entre des phases inhomogènes
de plus en plus complexes.
A 3D ou la transition FFLO est du premier ordre,
nous présentons une méthode numérique
de résolution des équations quasiclassiques d'Eilenberger
basée sur un développement de Fourier.
Nous déterminons ainsi les phases inhomogènes de plus basse énergie.

Dans la seconde partie, nous étendons la théorie perturbative
de Bogoliubov aux quasicondensats dans une représentation densité-phase.
Nous obtenons des prédictions pour différentes observables.

The main goal of this thesis is to elucidate the sense in which recent experimental progress in condensed matter physics, namely the verification of two-dimensional Dirac-like materials and their control in ballistic- as well as hydrodynamic transport experiments enables the observation of a well-known 'high-energy' phenomenon: The parity anomaly of planar quantum electrodynamics (QED\(_{2+1}\)). In a nutshell, the low-energy physics of two-dimensional Quantum Anomalous Hall (QAH) insulators like (Hg,Mn)Te quantum wells or magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films can be described by the combined response of two 2+1 space-time dimensional Chern insulators with a linear dispersion in momentum. Due to their Dirac-like spectra, each of those Chern insulators is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. However, in contrast to a pure QED\(_{2+1}\) system, the Lagrangian of each Chern insulator is described by two different mass terms: A conventional momentum-independent Dirac mass \(m\), as well as a momentum-dependent so-called Newtonian mass term \(B \vert \mathbf{k} \vert^2\). According to the parity anomaly it is not possible to well-define a parity- and U(1) gauge invariant quantum system in 2+1 space-time dimensions. More precisely, starting with a parity symmetric theory at the classical level, insisting on gauge-invariance at the quantum level necessarily induces parity-odd terms in the calculation of the quantum effective action. The role of the Dirac mass term in the calculation of the effective QED\(_{2+1}\) action has been initially studied in Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983). Even in the presence of a Dirac mass, the associated fermion determinant diverges and lacks gauge invariance. This requires a proper regularization/renormalizaiton scheme and, as such, transfers the peculiarities of the parity anomaly to the massive case. In the scope of this thesis, we connect the momentum-dependent Newtonian mass term of a Chern insulator to the parity anomaly. In particular, we reveal, that in the calculation of the effective action, before renormalization, the Newtonian mass term acts similarly to a parity-breaking element of a high-energy regularization scheme. This calculation allows us to derive the finite frequency correction to the DC Hall conductivity of a QAH insulator. We derive that the leading order AC correction contains a term proportional to the Chern number. This term originates from the Newtonian mass and can be measured via electrical or via magneto-optical experiments. The Newtonian mass, in particular, significantly changes the resonance structure of the AC Hall conductivity in comparison to pure Dirac systems like graphene. In addition, we study the effective action of the aforementioned Chern insulators in external out-of-plane magnetic fields. We show that as a consequence of the parity anomaly the QAH phase in (Hg,Mn)Te quantum wells or in magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films survives in out-of-plane magnetic fields, violates the Onsager relation, and can therefore be distinguished from a conventional quantum Hall (QH) response. As a smoking-gun of the QAH phase in increasing magnetic fields, we predict a transition from a quantized Hall plateau with \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) to a not perfectly quantized plateau which is caused by scattering processes between counter-propagating QH and QAH edge states. This transition is expected to be of significant relevance in paramagnetic QAH insulators like (Hg,Mn)Te/CdTe quantum wells, in which the exchange interaction competes against the out-of-plane magnetic field. All of the aforementioned results do not incorporate finite temperature effects. In order to shed light on such phenomena, we further analyze the finite temperature Hall response of 2+1 dimensional Chern insulators under the combined influence of a chemical potential and an out-of-plane magnetic field. As we have mentioned above, this non-dissipative transport coefficient is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. Within the scope of our analysis we show that the parity anomaly itself is not renormalized by finite temperature effects. However, the parity anomaly induces two terms of different physical origin in the effective Chern-Simons action of a QAH insulator, which are directly proportional to its Hall conductivity. The first term is temperature and chemical potential independent and solely encodes the intrinsic topological response. The second term specifies the non-topological thermal response of conduction- and valence band modes, respectively. We show that the relativistic mass \(m\) of a Chern insulator counteracts finite temperature effects, whereas its non-relativistic Newtonian mass \(B \vert \mathbf{k} \vert^2 \) enhances these corrections. In addition, we are extending our associated analysis to finite out-of-plane magnetic fields, and relate the thermal response of a Chern insulator therein to the spectral asymmetry, which is a measure of the parity anomaly in out-of-plane magnetic fields. In the second part of this thesis, we study the hydrodynamic properties of two-dimensional electron systems with a broken time-reversal and parity symmetry. Within this analysis we are mainly focusing on the non-dissipative transport features originating from a peculiar hydrodynamic transport coefficient: The Hall viscosity \(\eta_\mathrm{H}\). In out-of-plane magnetic fields, the Hall viscous force directly competes with the Lorentz force, as both mechanisms contribute to the overall Hall voltage. In our theoretical considerations, we present a way of uniquely distinguishing these two contributions in a two-dimensional channel geometry by calculating their functional dependencies on all external parameters. We are in particular deriving that the ratio of the Hall viscous contribution to the Lorentz force contribution is negative and that its absolute value decreases with an increasing width, slip-length and carrier density. Instead, it increases with the electron-electron mean free path in the channel geometry considered. We show that in typical materials such as GaAs the Hall viscous contribution can dominate the Lorentz signal up to a few tens of millitesla until the total Hall voltage vanishes and eventually is exceeded by the Lorentz contribution. Last but not least, we derive that the total Hall electric field has a parabolic form originating from Lorentz effects. Most remarkably, the offset of this parabola is directly characterized by the Hall viscosity. Therefore, in summary, our results pave the way to measure and to identify the Hall viscosity via both global and local measurements of the entire Hall voltage
Das zentrale Leitmotiv dieser Dissertation besteht darin, zwei unterschiedliche theoretische Konzepte aus verschiedenen Teilbereichen der Physik zu verbinden, um dadurch neue Perspektiven zu erschließen. Im Wesentlichen zielt die Arbeit darauf ab, die quantenfeldtheoretischen Konstrukte der Paritäts- als auch der chiralen Anomalie aus der Hochenergiephysik auf die Festkörperphysik von sogenannten zwei-dimensionalen Quanten Anomalen Hall (QAH) Isolatoren zu übertragen. Die Dirac-artige Bandstruktur dieser neuartigen Materialien ermöglicht es, Effekte freier quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen im Festkörperlabor direkt messbar zu machen. Um die zentralen Erkenntnisse dieser Arbeit nachvollziehen zu können ist das Verständnis zweier Konstrukte unumgänglich: (1) Unter einer Quantenanomalie versteht man den Symmetriebruch einer klassischen Theorie während des Quantisierungsprozesses. Um eine konsistente Quantentheorie formulieren zu können, ist es in einem quanten-anomalen System nicht möglich, alle klassischen Symmetrien auf der Quantenebene aufrechtzuerhalten. (2) Unter zwei-dimensionalen QAH Isolatoren versteht man planare Halbleiter mit einer endlichen, transversalen (Hall-) Leitfähigkeit in der Abwesenheit eines externen Magnetfeldes. Derartige Halbleiter werden zum Beispiel in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen oder in dünnen magnetisierten (Bi,Sb)Te Filmen vorhergesagt und zum Teil bereits experimentell nachgewiesen. Die nieder-energie Theorie um die Bandlücke der oben genannten QAH Systeme wird gemeinsam durch die Physik zweier sogenannter Chern Isolatoren beschrieben. Jeder Chern Isolator besitzt eine lineare Dispersion im Impulsraum und gleicht somit der Theorie quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen QED\(_{2+1}\). Darauf basierend ist jeder Chern Isolator für sich direkt mit der Paritätsanomalie verbunden. Um die effektive Bandkrümmung im Festkörper zu charakterisieren unterscheidet sich das Modell eines Chern Isolators von der entsprechenden QED\(_{2+1}\) Theorie um einen quadratischen Masse-Term im Impuls, die sogenannte Newtonsche Masse \( B \vert \mathbf{k}\vert^2 \). Zusammen mit dem impulsunabhängigen Dirac Masseterm \(m\) definiert jene paritätsbrechende Masse die Energielücke eines Chern Isolators. Wie bereits in (1) erwähnt tritt die Paritätsanomalie während der Quantisierung klassisch paritätssymmetrischer Systeme auf. Quantisiert man beispielsweise eine masselose QED\(_{2+1}\) Theorie, so induziert man während der Berechnung der Fermion Determinante paritätsbrechende Terme in der zugehörigen effektiven Wirkung. Obgleich eine nichtverschwindende Dirac-Masse die Paritätssymmetrie auf klassischer Ebene bricht, ist die zugehörige Fermion Determinante UV divergent als auch Eichsymmetrie brechend und Bedarf daher eines geeigneten Regularisierung/Renormierungsschemas. Diese Eigenschaft erlaubt es Konsequenzen der Paritätsanomalie ebenfalls in massiven Systemen zu identifizieren. Die Auswirkungen einer Dirac-Masse für die Berechnung der effektiven Wirkung eines QED\(_{2+1}\) Systems wurden inertial in der wegweißenden Publikation Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983) analysiert. Im Rahmen dieser Dissertation eruieren wir die Implikationen der Newtonschen Masse eines Chern Isolators auf die entsprechende Berechnung der Fermion Determinante und beleuchten damit die effektive Bandkrümmung eines Festkörpers im Kontext einer diskreten Raumzeit Anomalie. Wir zeigen insbesondere, dass die Newtonsche Masse vor dem unumgänglichen Renormierungprozess den paritätsbrechenden Elementen verschiedener hochenergetischer Regularisierungsschemata ähnelt, wie zum Beispiel Wilson Fermionen. Mittels dieser Berechnung leiten wir ebenfalls die Wechselstromleitfähigkeit der genannten QAH Isolatoren her. Wir zeigen, dass die führende Frequenzkorrektur in diesen Systemen einen Term proportional zur Chern Zahl enthält. Jener Beitrag basiert auf der zugrundeliegenden Galilei Invarianz und ist insbesondere durch magneto-optische Experimente nachzuweisen. Weiter eruieren wir, dass der genannte Term fundamental die Resonanzstruktur der Hall Leitfähigkeit beeinflusst, sodass diese maßgeblich von der entsprechenden Größe eines puren Dirac Systems wie Graphen abweicht. Zudem analysieren wir in dieser Arbeit die Physik von 2+1 dimensionalen Chern Isolatoren in externen Magnetfeldern die orthogonal auf der zugrundeliegenden Raum-Mannigfaltigkeit stehen -sogenannte orbitale Magnetfelder. Wir zeigen dass als direkte Konsequenz der Paritätsanomalie die QAH Phase in orbitalen Magnetfelder überlebt, darin die Onsager Relationen bricht und somit von konventionellen QH Systemen unterschieden werden kann, obgleich beide topologischen Phasen durch die selbe Chern Klasse beschrieben sind. Als experimentelle Signatur der QAH Phase in adiabatisch zunehmenden orbitalen Magnetfeldern sagen wir den Übergang eines quantisierten Hall Plateaus mit \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) zu einem nicht-quantisierten, rauschenden Hall Plateau vorher. Der Mittelwert des letzteren Plateaus hängt stark von Streuprozessen zwischen entgegengesetzt propagierenden QH und QAH Randzuständen ab. Insbesondere in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen ist der vorhergesagte Übergang von großem Interesse da in jenen Systemen die Austauschwechelwirkung mit dem polarisierenden Magnetfeld konkurriert. All die oben genannten Ergebnisse vernachlässigen thermische Effekte. Um den Einfluss einer endlichen Umgebungstemperatur auf die Physik von QAH Isolatoren zu untersuchen, analysieren wir im Rahmen dieser Dissertation ebenfalls die Hall Leitfähigkeit 2+1 dimensionaler Chern Isolatoren bei endlicher Temperatur und unter dem Einfluss beliebiger chemischer Potentiale sowie orbitaler Magnetfelder. Wie oben bereits erwähnt hängt dieser nicht dissipative Transportkoeffizient direkt mit der Paritätsanomalie eines masselosen QED\(_{2+1}\) Systems zusammen. Wir zeigen mittels unserer Analyse, dass die Paritätsanomalie an sich nicht durch endliche Temperatureffekte beeinflusst wird. Allerdings induziert jene Anomalie in der effektiven Wirkung eines Chern Isolators zwei Beitrage unterschiedlichen physikalischen Ursprungs. Einer der Terme ist unabhängig vom chemischen Potential und der Temperatur da er ausschließlich die intrinsische topologische Phase des Systems codiert. Der andere Term definiert die thermisch angeregten Zustände im Leitungs- bzw. im Valenzband und ist somit nicht-topologischen Ursprungs. Insbesondere zeigen wir, dass in der topologisch nicht trivialen Phase eines Chern Isolators die Dirac Masse den endlichen Temperatureffekten entgegenwirkt, während die nicht-relativistische Newtonsche Masse jene Korrekturen verstärkt. Neben diesen Effekten bei verschwindendem orbitalem Magnetfeld verallgemeinern wir unsere thermischen Betrachtungen hinsichtlich der Effekte quantisierender orbitaler Magnetfelder. Insbesondere verknüpfen wir die Leitfähigkeit von QAH Isolatoren bei endlicher Temperatur zur sogenannten Spektralen Asymmetrie. Diese Größe kann als Signatur der Paritätsanomalie in orbitalen Magnetfeldern interpretiert werden. Im zweiten großen Kapitel dieser Dissertation analysieren wir den hydrodynamischen Ladungs-transport in zwei-dimensionalen Elektronensystemen, in denen sowohl die Zeitumkehr- als auch die Paritätssymmetrie gebrochen sind. Unseren Forschungsschwerpunkt legen wir hierbei vor Allem auf nicht-dissipative Transporteigenschaften, die sich mittels der Hall Viskosität aus den Navier-Stokes Gleichungen ergeben. In orbitalen Magnetfeldern konkurrieren aufgrund dieses paritätsbrechenden Transportkoeffizient zwei transversale Kräfte miteinander: Die sogenannte Hall viskose Kraft und die wohlbekannte Lorentzkraft. Zusammen definieren beide Kräfte die gesamte Hall Spannung des Systems. In den Ausführungen dieser Arbeit zeigen wir wie die genannten unterschiedlichen Beiträge in zweidimensionalen Transportkanälen anhand ihrer verschiedenen funktionellen Abhängigkeiten von den Systemparametern unterschieden werden können. Wir eruieren, dass das Verhältnis zwischen dem Hall viskosen Beitrag und dem Lorentz basierten Beitrag negativ ist und dessen Absolutbetrag mit zunehmender Kanalbreite, Rutsch-Länge [engl. slip length] und Ladungsträgerdichte abnimmt. Im Gegensatz dazu wächst jener Betrag mit der mittleren Elektron-Elektron Streulänge. Im Rahmen dieser Dissertation zeigen wir, dass in typischen GaAs Fermi Flüssigkeiten der Hall viskose Beitrag das Lorentz Signal bis hin zu einer orbitalen Magnetfeldstärke im zehnstelligen Milli-Tesla Bereich dominieren kann. Im Anschluss nimmt das Verhältnis dieser Größen ab, verschwindet bei einem kritischen Magnetfeld und wird schlussendlich durch das Lorentz Signal dominiert. Zuletzt zeigen wir, dass das transversale elektrische Feld in den genannten Experimenten eine parabolische Form besitzt, welche auf dem Lorentz Beitrag basiert. Im Gegensatz dazu ist der konstante Offset dieser Parabel hauptsächlich durch die Hall Viskosität definiert. Zusammen weisen die hier genannten Eigenschaften einen möglichen Weg zur experimentellen Bestimmung der Hall Viskosität mittels lokaler- oder globaler Spannungsmessungen auf