Tesi sul tema "Théorèmes de restriction de Fourier"

Dans cette thèse, on étudie des inégalités de Carleman L^p pour des problèmes elliptiques et leurs applications à la quantification du prolongement unique par rapport aux perturbations du laplacien. On s'intéresse d'abord aux inégalités de Carleman L^p sur une bande de R^d (dgeq 3), notée mathcal{S}:= (0,1) imes R^{d-1}, pour le Laplacien. Grâce à la transformée de Fourier et une factorisation de l'opérateur conjugué, nous réduisons la démonstration de ces inégalités à la construction d'une paramétrice pour le problème du Laplacien avec des conditions au bord.En utilisant cette paramétrice, on redémontre d'abord des inégalités classiques de Carleman L^2 pour le Laplacien. Ensuite, en appliquant des techniques d'analyse harmonique, notamment le théorème de restriction de Fourier pour établir des résultats de continuité de type L^p-L^q , on obtient des estimations L^p - L^q sur cette paramétrice.On applique ensuite ces méthodes au cas qui nous intéresse, à savoir les inégalités de Carleman L^p pour le Laplacien défini sur Omega , un ouvert borné et régulier de R^d (dgeq 3) , avec un second membre f_2 + f_{2 *'} + div F , f_2 in L^2(Omega), , f_{2 *'} in L^{ frac{2d}{d+2}}(Omega), ,F in L^2(Omega; C^{d}), et une condition de Dirichlet g in H^{frac{1}{2}}(partial Omega) . On montre deux estimations de Carleman globales : une sur la norme H^1 de la solution et une sur sa norme L^{frac{2d}{d-2}} , en termes de normes L^2 à poids de f_2 et F , de la norme L^{frac{2d}{d+2}} de f_{2 *'} et de la norme H^{frac{1}{2}} de g . Cela nous permet, par exemple, d'obtenir une quantification du prolongement unique pour les solutions de Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) en fonction des normes de V dans L^{q_0}(Omega) , de W_1 dans L^{q_1}(Omega) et de W_2 dans L^{q_2}(Omega) pour q_0 in (d/2, infty] et q_1 et q_2 satisfaisant soit q_1, , q_2 > (3d-2)/2 et frac{1}{q_1} + frac{1}{q_2}< 4 (1-frac{1}{d})/(3d-2) , soit q_1, , q_2 > 3d/2 .Dans une troisième partie, on étudie une quantification du prolongement unique des solutions de l'équation Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) mais avec des potentiels d'ordre un plus singuliers dans la classe limite d'intégrabilité. En particulier, on considère le cas W_1 in L^{q_1} et W_2 in L^{q_2} , avec q_1>d et q_2 >d . En utilisant le lemme de T. Wolff sur les mesures euclidiennes et une version raffinée des estimations de Carleman, on obtient des résultats de quantification du prolongement unique pour les solutions u de Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div (W_2 u) en fonction des normes des potentiels
In this thesis, we study L^p Carleman inequalities for elliptic problems and their applications to the quantification of unique continuation with respect to perturbations of the Laplacian. We first focus on L^p Carleman inequalities on a strip of R^d (dgeq 3) , denoted mathcal{S}:= (0,1) imes R^{d-1} , for the Laplacian. Using the Fourier transform and a factorisation of the conjugate operator, we reduce the proof of these inequalities to the construction of a parametrix for the Laplacian problem with boundary conditions. Utilising this parametrix, we first reprove classical L^2 Carleman inequalities for the Laplacian. Then, applying harmonic analysis techniques, particularly the Fourier restriction theorem to establish L^p-L^q type continuity results, we obtain L^p - L^q estimates for this parametrix.We then apply these methods to the case of interest, namely L^p Carleman inequalities for the Laplacian defined on Omega , a bounded and regular open subset of R^d (d geq 3) , with a right-hand side f_2 + f_{2 *'} + div F , f_2 in L^2(Omega), , f_{2 *'} in L^{ frac{2d}{d+2}}(Omega), ,F in L^2(Omega; C^{d}) , and a Dirichlet condition g in H^{frac{1}{2}}(partial Omega) . We establish two global Carleman estimates: one on the H^1 norm of the solution and another on its L^{frac{2d}{d-2}} norm, in terms of weighted L^2 norms of f_2 and F , the L^{frac{2d}{d+2}} norm of f_{2 *'} , and the H^{frac{1}{2}} norm of g . This allows us, for example, to obtain a quantification of unique continuation for solutions of Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) in terms of the norms of V in L^{q_0}(Omega) , W_1 in L^{q_1}(Omega) , and W_2 in L^{q_2}(Omega) for q_0 in (d/2, infty] and q_1 and q_2 satisfying either q_1, , q_2 > (3d-2)/2 and frac{1}{q_1} + frac{1}{q_2}< 4(1-frac{1}{d})/(3d-2) , or q_1, , q_2 > 3d/2 .In the third part, we study a quantification of unique continuation for solutions of the equation Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) but with first-order potentials that are more singular in the limit integrability class. In particular, we consider the case where W_1 in L^{q_1} and W_2 in L^{q_2} , with q_1 > d and q_2 > d . Using T. Wolff's lemma on Euclidean measures and a refined version of Carleman estimates, we obtain unique continuation quantification results for solutions u of Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) in terms of the norms of the potentials

We study the Fourier restriction phenomenon in settings where there is no underlying proper smooth subvariety. We prove an (Lp, L2) restriction theorem in general locally compact abelian groups and apply it in groups such as (Z/pLZ)n, R and locally compact ultrametric fields K. The problem of existence of Salem sets in a locally compact ultrametric field (K, | · |) is also considered. We prove that for every 0 < α < 1 and ǫ > 0 there exist a set E ⊂ K and a measure μ supported on E such that the Hausdorff dimension of E equals α and |bμ(x)| ≤ C|x|−α 2 +ǫ. We also establish the optimal extension of the Hausdorff-Young inequality in the compact ring of integers R of a locally compact ultrametric field K. We shall prove the following: For every 1 ≤ p ≤ 2 there is a Banach function space Fp(R) with σ-order continuous norm such that (i) Lp(R) ( Fp(R) ( L1(R) for every 1 < p < 2. (ii) The Fourier transform F maps Fp(R) to ℓp′ continuously. (iii) Lp(R) is continuously included in Fp(R) and Fp(R) is continuously included in L1(R). (iv) If Z is a Banach function space with the same properties as Fp(R) above, then Z is continuously included in Fp(R). (v) F1(R) = L1(R) and F2(R) = L2(R).

Soient une fonction mesurable sur r#n, et sa transformee de fourier. Une caracterisation de la transformee de fourier de est donnee par le theoreme de paley-wiener pour r#n. Une version faible de ce theoreme dit que si la fonction est mesurable, bornee et a support compact, sa transformee de fourier se prolonge en une fonction holomorphe sur c#n, ce qui permet de conclure que = 0 si est nulle sur un ensemble dont la mesure de plancherel est strictement positive. On generalise cette version du theoreme de paley-wiener aux groupes de lie nilpotents simplement connexes. Cette propriete est conjecturee par d. Scott et a. Sitaram. On demontre cette conjecture par recurrence sur la dimension de g. Dans le chapitre ii on generalise la propriete ci-dessus aux groupes de lie completement resolubles. La demonstration, egalement par recurrence sur la dimension de g, utilise la mesure de plancherel explicite donnee par b. N. Currey. Dans le chapitre iii on etudie des operateurs differentiels sur un espace homogene nilpotent. Soit = ind#g#k#f une representation induite d'un groupe de lie nilpotent connexe et simplement connexe g, ou #f designe un caractere unitaire d'un sous-groupe connexe k = (exp t) et tel que les multiplicites des irreductibles de g apparaissant dans la decomposition de soient finies. Soit d# l'algebre des operateurs differentiels associee a. On demontre que cette algebre est isomorphe a l'algebre des fonctions polynomiales k-invariantes definies sur o# = f + t# g#*, lorsque t est un ideal de g, algebre de lie de g.

In the early 1970 fs, R. Coifman and G. Weiss, generalizing the techniques introduced by A. Calderon, developed a method for transferring abstract convolution type operators, defined on general topological groups, and their respective bounds, to the so called gtransferred operators h, which are operators defined on general measure spaces. To be specific, if G is a topological group and R_x is a representation of G on some Banach space B and K is a convolution operator on G given by

Kf= çk(x-y) f(y) dy

with k an L^1 function, the transferred operator T is defined by letting

Tf= çk(x-y) R_xf(y) dy.

Transfer methods deal with the study of the preservation of properties of K that are still valid for T, mostly focusing on the preservation of boundedness on Lebesgue spaces Lp. These methods has been applied to several problems in Mathematical Analysis, and especially to the problem of restrict Fourier multipliers to closed subgroups. These techniques have been extended by other authors as N. Asmar, E. Berkson and A. Gillespie, among many others. It is worth noting however, that these prior developments have always been focused on inequalities for operators on Lebesgue spaces Lp.

In this thesis there are developed several transference techniques for quasi-Banach spaces more general than Lebesgue spaces Lp, as Lorentz spaces Lp, q, Orlicz-Lorentz, Lorentz-Zygmund spaces as well as for weighted Lebesgue spaces Lp(w). The most significant applications are obtained in the field of restriction of Fourier multipliers for rearrangement invariant spaces and weighted Lebesgue spaces Lp(w). Specifically, we get generalizations of the results obtained by K. De Leeuw for Fourier multipliers. There are also developed similar techniques in the context of multilinear operators of convolution type, where the basic example is the bilinear Hilbert transform, as well as for modular inequalities and inequalities arising in extrapolation

L'objectif de cette thèse s?inscrit dans une perspective d?extension des théorèmes de renouvellement du cas indépendant au cas de fonctionnelles additives markoviennes. Cette thèse prolonge les travaux de Yves Guivarc'h en dimension 1 et de Martine Babillot en dimension supérieure. Comme dans ces travaux, la chaîne de Markov qui génère la fonctionnelle additive est supposée fortement ergodique. Les preuves s?appuient sur la méthode spectrale de Nagaev-Guivarc'h, qui met en jeu des techniques de transformée de Fourier et de théorie de perturbation d'opérateurs. L'analyse de Fourier (Chapitre 2) s'inspire du travail de Martine Babillot, mais en remplaçant les arguments de distributions et le recours aux fonctions de Bessel modifiées par des calculs plus élémentaires. Les outils d'analyse fonctionnelle sont présentés au Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, les théorèmes de renouvellement markoviens de M. Babillot et Y. Guivarc'h sont alors déduits des résultats des deux précédents chapitres. Dans les Chapitres 5 et 6, on applique la méthode spectrale en remplaçant la théorie usuelle de perturbation d'opérateurs par le théorème de Keller et Liverani. Cette nouvelle approche, inspirée des travaux récents de Hubert Hennion, Loïc Hervé et Françoise Pène, permet d'améliorer significativement les énoncés des théorèmes de renouvellement en termes de conditions de moment. En particulier, pour les modèles suivants - les chaînes de Markov V-géométriquement ergodiques, - les chaînes de Markov rho-mélangeantes, - les modèles itératifs lipschitziens, on démontre que les hypothèses se réduisent à des conditions de moment (presque) optimales (en comparaison avec le cas indépendant). Les applications aux modèles itératifs lipschitziens (chapitre 6) sont relatives aux fonctionnelles additives associées à une chaîne double prenant en compte les transformations lipschitziennes aléatoires sous-jacentes. Les résultats de ce chapitre sont obtenus en généralisant la définition des espaces de fonctions Lipschitz à poids introduits par Emile Le Page.

Le travail de la thèse est constitué de deux parties indépendantes traitant toutes les deux du comportement de solutions d’équations différentielles partielles. On s’intéressera dans un premier temps aux fonctions orthogonales positives à certains espaces puis à quelques résultats de type « Ingham ». L’existence ou non de fonctions orthogonales positives à certains espaces de fonctions quasi-périodiques a d’importantes implications, en particulier pour l’étude du comportement oscillatoire des solutions d’équations de membranes vibrantes. On se propose ici de clarifier la situation d’un sous-espace défini par trois périodes et de donner des pistes de réflexion pour le cas de quatre périodes ou plus. On peut utiliser les séries de Fourier non harmoniques pour résoudre certains problèmes de contrôle en utilisant des variantes du théorème d’Ingham. On s’intéressera spécifiquement ici aux problèmes que pose la version vectorielle de ce théorème
The existence or non-existence of positive orthogonal functions for subspaces of almost periodical function has important applications in studying the oscillatory behavior of vibrations. Cazenave, Haraux and Komornik have obtained many theorems of this type. The purpose of this work is to answer an open question formulated in the 1980’s, and to completely clarify the situation for subspaces defined by three periods. We also give some results for subspaces defined by more periods than three periods. We also prove some vectorial result for Ingham type theorems

Dans ce travail on caractérise l'image de Fourier de plusieurs espaces de distributions sur certains groupes de Lie et on donne des applications. Les théorèmes de Paley-Wiener sont décrits par rapport à une famille fondamentale de compacts et d'opérateurs de multiplication. Ces objets sont construits via une fonction sous-multiplicative propre continue. L'espace de Paley-Wiener des distributions à support compact devient donc l'espace des opérateurs sur un espace de type Sobolev, vérifiant quelques propriétés. Les théorèmes de Paley-Wiener sur l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact (resp sur l'algèbre des fonctions de carrés intégrables a support compact) sont étudiés. Pour des cas particuliers de groupes de Lie, des simplifications interviennent et les opérateurs étudiés sont alors de Hilbert-Schmidt. On donne ensuite une formule de Plancherel sur le produit semi-direct de groupes et par conséquent nous étudions la résolubilité locale d'une classe d'opérateurs différentiels. La notion de p-convexité et "surjectivité" d'une famille d'opérateurs différentiels est aussi étudiée. Enfin à partir d'une formule de Kirillov sur les nilpotents, nous étudions certains caractères sur ces groupes.

On prouve des inégalités de type Strichartz pour des opérateurs à symboles complexes et des inégalités de Carleman dans les espaces de Lebesgue d'indices p critiques, liées à la courbure de la variété caractéristique des opérateurs, et on en déduit des résultats de résolubilité, et d'unicité de la continuation à travers une hypersurface (dans l'esprit du théorème de Calderón) pour des équations avec potentiel ou semi-linéaires. Pour cela, on construit une paramétrix de l'opérateur puis on étudie les propriétés de continuité sur les espaces de Lebesgue de cette paramétrix, résultant d'estimations de dispersion obtenues par la méthode de la phase stationnaire. On traite d'abord le cas des opérateurs de type principal réel, puis celui des opérateurs de type Mizohata sous une hypothèse de codimension 1 de la variété caractéristique, puis celui des opérateurs de type symplectique sous une hypothèse de codimension 2, et enfin le cas des estimations de Carleman.

This thesis tackles the problem of automatically proving the validity of mathematical formulas generated by program verification tools. In particular, it focuses on Satisfiability Modulo Theories (SMT): a young research topic that has seen great advances during the last decade. The solvers of this family have various applications in hardware design, program verification, model checking, etc.SMT solvers offer a good compromise between expressiveness and efficiency. They rely on a tight cooperation between a SAT solver and a combination of decision procedures for specific theories, such as the free theory of equality with uninterpreted symbols, linear arithmetic over integers and rationals, or the theory of arrays.This thesis aims at improving the efficiency and the expressiveness of the Alt-Ergo SMT solver. For that, we designed a new decision procedure for the theory of linear integer arithmetic. This procedure is inspired by Fourier-Motzkin's method, but it uses a rational simplex to perform computations in practice. We have also designed a new combination framework, capable of reasoning in the union of the free theory of equality, the AC theory of associative and commutativesymbols, and an arbitrary signature-disjoint Shostak theory. This framework is a modular and non-intrusive extension of the ground AC completion procedure with the given Shostak theory. In addition, we have extended Alt-Ergo with existing decision procedures to integrate additional interesting theories, such as the theory of enumerated data types and the theory of arrays. Finally, we have explored preprocessing techniques for formulas simplification as well as the enhancement of Alt-Ergo's SAT solver.