Tesi sul tema "Systèmes de Saint-Venant"

L'objet de cette thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques, et au concept d'inégalité d'entropie. On introduit la notion d'inégalité d'entropie pour un système quasi-linéaire qui permet la définition de schémas numériques stables. On traite d’abord le système de Saint Venant. On développe un schéma qui préserve les équilibres subsoniques et qui vérifie une inégalité d'entropie semi-discrète. Ensuite, nous étudions le système à deux couches pour les eaux peu profondes. Des schémas qui résolvent chaque couche de manière indépendante en contrôlant les instabilités par une inégalité d’entropie sont proposés. Le solveur simple de Suliciu, qui a été utilisé pour les simulations numériques, est généralisé afin de capturer les chocs pour Saint Venant de manière exacte et vérifier une inégalité d'entropie semi-discrète. Finalement, on propose un modèle du type Saint Venant pour les écoulements gravitaires qui admet une inégalité d'entropie
The purpose of this dissertation is to contribute to the numerical study of hyperbolic conservations laws and to the concept of entropy inequality. We introduce the notion of entropy inequality for a quasi-linear system which allows the definition of stable numerical schemes. We focus first on the Saint Venant system. We present a scheme that preserves all subsonic equilibria and is semi-discrete entropy satisfying. Then, we study the two layers shallow water equations. Schemes that solve each layer independently and control instabilities using entropy inequalities are proposed. The simple Suliciu solver, which is used for the numerical simulations, is generalized in order to have a semi-discrete entropy satisfying scheme that captures exactly the shocks for Saint Venant. Finally, we introduce a model of Saint Venant type for gravity driven shallow water flows that has an entr

Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première, nous étudions les équations de Saint- Venant qui modélisent le comportement des océans, et de façon générale des fluides homogènes peu profonds, au voisinage de l'équateur dans le cadre d'une rotation rapide de la Terre. Grâce à ces hypothèses et aux équations de Navier-Stokes, nous commencerons par obtenir un modèle également connu sous le nom d' Equatorial Shallow Water System . Les équations obtenues font apparaître un paramètre de pénalisation " contenant les hypothèses de petitesse faites pour obtenir ce système simplifié. L'étude de la matrice de pénalisation permettra par une méthode de filtrage d'exhiber un système limite formel lorsque le paramètre " tend vers zéro pour lequel nous donnerons une condition nécessaire et su sante de globalité. Nous montrerons ensuite la convergence des solutions filtrées vers la solution du système limite. Dans la deuxième partie, nous exhiberons une classe de données initiales engendrant une solution globale aux équations de Navier-Stokes dans R3. En e et, les solutions de ces équations sont globales dans le cadre bidimensionnel mais dans le cas tridimensionnel, il faut rajouter, par exemple, des conditions su santes de petitesse des données initiales pour que la solution n'explose pas en temps ni. Nous prouverons que si on considère une donnée initiale ayant un spectre proche du plan horizontal alors elle engendre une solution globale des équations de Navier-Stokes. De plus, nous montrerons que, sous certaines hypothèses, la perturbation d'une donnée initiale engendrant une solution globale, par ce type de données au spectre quasi-horizontal, engendre encore une solution globale.

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues "visqueuses" proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques.\\ Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques.

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues "visqueuses" proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques. Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques
We analyze in this thesis two different problems with invariant manifold methods: the roll-waves phenomenon in hydraulic and the existence of discrete breathers in nonlinear discrete lattices. Roll-waves are periodic and discontinuous travelling waves, entropic solutions of the Saint Venant equations. With the help of Fenichel theorems, we prove the existence of continuous "viscous" roll-waves close to the discontinuous roll-waves when we add a small viscous term in the equations. Then, we study the linear stability of these discontinuous roll-waves. Finally, we prove the existence of small amplitude roll-waves in a channel with a periodic bottom. Discrete breathers are periodic and spatially localized excitations in nonlinear discrete lattices. We first analyze the diatomic Fermi-Pasta-Ulam (FPU) chain. The problem is formulated as a mapping in a loop space. Using a centre manifold reduction, we prove the existence of small amplitude breathers in a diatomic chain with an arbitrary mass ratio. We also use this technique to prove the existence of discrete breathers in ferromagnetic spin chains

Les systèmes méandriformes construisent, à long terme, des architectures sédimentaires composées de corps poreux disséminés dans un volume de sédiments peu perméables. Ces corps sont susceptibles de contenir des ressources naturelles. Afin d'optimiser leur exploitation, il importe d'estimer la répartition et la connectivité de ces corps. À cet effet, Mines-Paristech développe Flumy, un logiciel de modélisation par processus de ces architectures . Cette thèse vise à améliorer la simulation de la migration dans Flumy en introduisant une influence.Pour cela, trois différents modèles ont été reliés entre eux et comparés. Le premier (modèle à pente constante) est celui actuellement en place dans Flumy, héritier des travaux de [Ikeda 1981] et dans lequel la pente de la surface du cours d'eau est constante. Le deuxième (modèle à pente variable) fut proposé par [Lopez 2003]. Il attribue à la surface libre la pente locale de la topographie. Enfin, un dernier modèle (modèle Saint Venant) a été élaboré en modifiant le précédent. L'écoulement moyen, initialement calculé sous une surface libre connue, est désormais obtenu par résolution des équations de Saint Venant sur un fond connu. Ces trois modèles ont été appliqués à la migration à long terme de méandres libres. Les modèles à pente constante et à pente variable ont également été utilisés pour reproduire les méandres confinés de deux rivières canadiennes, la Beaver et la Red Deer.Les résultats montrent un développement plus réaliste des méandres simulés avec le modèle à pente variable que de ceux simulés avec le modèle à pente constante. Cette amélioration est observable dans les méandres isolés (ralentissement de la vitesse d'extension) et dans les trains de méandres (confinement en ceintures de méandres). Le modèle à pente variable permet également une meilleure reproduction de la morphologie des méandres confinés. L'utilisation du modèle Saint Venant apporte les mêmes améliorations dans la simulation des méandres libres, quoique moins prononcées. Il permet surtout de construire une surface libre physique sur une grande variété de fonds, résolvant ainsi une limite identifiée dans le modèle à pente variable.

Cette thèse est consacrée à l'analyse, à l'application et à l'extension bidimensionnelle, d'un nouveau schéma aux volumes finis (SRNH) proposé récemment pour une classe de système non homogène. L'analyse de stabilité du schéma, d'abord dans le cas scalaire ensuite dans le cas de systèmes, même à une nouvelle formulation où intervient le signe de la matrice Jacobienne du système de lois de bilan considéré. Pour le système de Saint-Venant avec terme de pente, on montre formellement que le schéma SRNHS vérifie la C-propriété exacte introduite pour les schémas équilibres par Bermùdez et Vàzquez. Les résultats numériques 1D et 2D, en particulier du cas de rupture de barage sur un fond en forme de marche, montrent le degrés d'efficacité du schéma. Pour le système diphasique des zones de non hyperbolicité peuvent exister, avec apparition de valeurs propres complexes dans la jacobienne du système. On montre que pour lles configurations faiblement non hyperboliques, on peut calculer le signe de la jacobienne par l'algorithme de Newton-Schultz. Pour les configurations plus raides, où la méthode précédente ne fonctionne plus, on a recours à la méthode de perturbation par densité. Dans les deux cas évoqués, les tests numériques montrent que l'on approche la solution exacte du problème de Ransom avec une grnde précision, que l'on conserve la stabilité des calculs même avec un maillage de finesse relativement élevée.

Dans la premiere partie, on montre comment on peut donner un sens aux solutions ayant la forme de mesures de dirac pour des systemes (non lineaires) de lois de conservation (solutions deja observees par les ingenieurs, numericiens et mathematiciens), calculer sur ces solutions et en deduire des methodes numeriques pour la solution de systemes de la physique. Dans la seconde partie, on etudie le probleme de la diffusion d'une onde acoustique incidente sur un diedre solide elastique, immerge dans l'eau. Ce probleme nous ramene a resoudre un systeme hyperbolique lineaire a coefficients discontinus. On compare les resultats numeriques ainsi obtenus avec les resultats experimentaux

Cette these est composee de quatre chapitres traitant de l'etude theorique et numerique de deux systemes de mecanique des fluides decrivant la propagation d'ondes de surface: le systeme de Saint Venant et un systeme de Boussinesq. Apres un premier chapitre introducti nous exposons dans un deuxieme chapitre la resolution de problemes aux limites sur la demi-droite et sur un intervalle fini pour le systeme de Boussinesq etudie. Un resultat d'unicite et la preuve de la persistance de regularite finie pour les solutions su probleme de Cauchy sont egalement presentes. Le troisieme chapitre porte sur l'etude d'un probleme aux limites pour les equations de Saint Venant bidimensionnelle Iinearisees. Le quatrieme chapitre traite de la resolution numerique du systeme de Saint Venant bidimensionnel a l'aide d'une methode multiniveau basee sur un schema aux volumes finis. La methode est presentee puis analysee sur differents cas tests sur un domaine carre avec des oonditions aux limites periodiques; elle est d'abord validee sur un test analytique puis nous montrons sa performance (reduction d temps de calcul et preservation de la conservativite) sur un <:as test utilise pour la simulation d'ecoulements atmospheriques ou oceaniques turbulents
This thesis is oomposed of four chapters which deal with the theoretical and numerical study of two systems coming from fluid mechanics which describe the propagation of surface waves: the Shallow Water system and a Boussinesq system. Aft~r a first introduction chapter we espose in a second chapter the resolution of an initial boundary value problem on the semi infinite space and on a finite intervall for this Boussinesq system. A uniqueness result and the proof of the peristence of finite regularity for the solutions to the Cauchy problem are also presented. The third chapter is dedicated to the study of a boundary value problem for the linearized two-dimensionnal Shallow Water equations. The fourth chapter deals with the numerical resolution of the two-dimensionnal Shallow Water system with a multilevel method based on a finite volume scheme. The method is presented and analysed on different test cases on a square domain with periodic boundary conditions; it is first validated on an analyticaJ test case, then we show its efflCiency (reduction of the CPU time and preservation of the ooncervativity) on a test case which was used for the simulation of oceanic or atmospheric turbulent flows

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques non-linéaires. L'objectif principal est de trouver des conditions de bords garantissant la stabilité exponentielle du système. Dans une première partie on s'intéresse à des systèmes généraux qu'on cherche à stabiliser en norme C^1 en introduisant un certain type de fonctions de Lyapunov, puis on regarde plus précisément les systèmes de deux équations pour lesquels on peut comparer nos résultats avec la stabilisation en norme H^{2}. On s'intéresse ensuite à quelques équations physiques: l'équation de Burgers et les systèmes densité-vélocité, dont font partie les équations de Saint-Venant et les équations d'Euler isentropiques. A l'aide d'une entropie locale dissipative, on montre qu'on peut stabiliser les systèmes densité-vélocité par des contrôles aux bords simples et, étonnement, ces contrôles ne dépendent pas explicitement des paramètres du système, pourvu qu'ils soient physiquement admissibles. Par ailleurs, on développe une méthode pour stabiliser les états-stationnaires avec un choc dans le cas de l'équation de Burgers et des équations de Saint-Venant. Enfin, dans une troisième partie on s'intéresse aux contrôles proportionnels-intégraux (PI), très utilisés en pratique mais mal compris mathématiquement dans le cas des systèmes non-linéaires de dimension infinie. Pour les systèmes d'une seule équation on introduit une méthode d'extraction pour trouver des conditions optimales de stabilité sur les paramètres du contrôle. Finalement on traite le cas des équations de Saint-Venant avec un unique contrôle PI
This thesis is devoted to study the stabilization of nonlinear hyperbolic systems of partial differential equations. The main goal is to find boundary conditions ensuring the exponential stability of the system. In a first part, we study general systems that we aim at stabilizing in the C^1 norm by introducing a certain type of Lyapunov functions. Then we take a closer look at systems of two equations and we compare the results with the stabilization in the H^2 norm. In a second part we study a few physical equations: Burgers' equation and the density-velocity systems, which include the Saint-Venant equations and the Euler isentropic equations. Using a local dissipative entropy, we show that these systems can be stabilized with very simple boundary controls which, remarkably, do not depend directly on the parameters of the system, provided some physical admissibility condition. Besides, we develop a way to stabilize shock steady-states in the case of Burgers' and Saint-Venant equations. Finally, in a third part, we study proportional-integral (PI) controllers, which are very popular in practice but seldom understood mathematically for nonlinear infinite dimensional systems. For scalar systems we introduce an extraction method to find optimal conditions on the parameters of the controller ensuring the stability. Finally, we deal with the Saint-Venant equations with a single PI control

Cette thèse est consacrée à l'analyse, à l'application et à l'extension bidimensionnelle, d'un nouveau schéma aux volumes finis (SRNH) proposé récemment pour une classe de système non homogène. L'analyse de stabilité du schéma, d'abord dans le cas scalaire ensuite dans le cas de systèmes, mène à une nouvelle formulation où intervient le signe de la matrice Jacobienne du système de lois de bilan considéré. Pour le système de Saint Venant avec terme de pente, on montre formellement que le schéma SRNHS vérifie la C-propriété exacte introduite pour les schémas équilibres par Bermùdez et Vázquez. Les résultats numériques 1D et 2D, en particulier du cas de rupture de barage sur un fond en forme de marche, montrent le degrés d'efficacité du schéma. Pour le système diphasiques des zones de non hyperbolicité peuvent exister, avec apparition de valeurs propres complexes dans la Jacobienne du système. On montre que pour les configurations faiblement non hyperboliques, on peut calculer le signe de la Jacobienne par l'algorithme de Newton-Schultz. Pour les configurations plus raides, où la méthode précédente ne fonctionne plus, on a recours à la méthode de perturbation par densité. Dans les deux cas évoqués, les tests numériques montrent que l'on approche la solution exacte du problème de Ransom avec une grande précision, et que l'on conserve la stabilité des calculs même avec un maillage de finesse relativement élevée.

Simulation mathématique et physique, des avalanches de neige dense présentant de fortes discontinuités sur le front: étude théorique des résultats d'existence et de régularité des équations de saint venant et des équations de gaz isentropiques, approximation numérique des problèmes monodimensionnels et bidimensionnels

Cette thèse est consacrée à la simulation numérique de problèmes d'écoulements de fluides raides régis par des systèmes de lois de bilan non homogènes, dans des configurations monodimensionnelles et bidimensionnelles. La méthode numérique utilisée est une extension d'un schéma à deux pas (SRNH), comportant un paramètre \alpha^n_(j+\frac(1)(2)) ajustable, proposé par le professeur F.Benkhaldoun dans un cadre monodimensionnel. Ainsi, en un premier temps on a introduit une variante SRNHR, obtenue en remplaçant la vitesse numérique (\frac(\Delta x)(\Delta t)) par la vitesse de Rusanov locale, en vue de l'extension du schéma au cas bidimensionnel. Par la suite, une analyse de stabilité du schéma, révèle que celui-ci peut être d'ordre 1 ou 2 selon la valeur du paramètre \alpha^n_(j+\frac(1)(2)). Une stratégie de variation de ce paramètre, basée sur la théorie des limiteurs a alors été adoptée. Le schéma peut ainsi être rendu d'ordre 1 dans les zones à forte variation de l'écoulement, et d'ordre 2, là où l'écoulement est régulier. Ensuite on a établi les conditions pour que ce schéma respecte la C-propriété exacte introduite par Bermùdez et Vazquez. Une étude d'implémentation des conditions aux limites, adaptée à ce schéma, a également été menée en se basant sur les invariants de Riemann. Dans la deuxième partie de la thèse, on a appliqué ce schéma à des systèmes monophasiques homogènes et non homogènes. Par exemple on a réalisé la simulation du problème de rupture de barrage sur une marche, pour des configurations 1D et 2D, en menant en particulier une étude de convergence numérique via la détermination des courbes d'erreurs. Enfin, on a utilisé le schéma pour la simulation numérique de systèmes diphasiques (Ransom 1D et 2D).

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude d'un modèle de transport de sédiments en nous plaçant sous deux angles d'approche différents. L'un concerne la modélisation numérique du problème et propose une méthode de résolution numérique basée sur un solveur de Riemann approché pour le système de Saint-Venant-Exner qui reste un des systèmes les plus répandus pour traiter le transport sédimentaire par charriage. Ce dernier repose sur un couplage du modèle hydraulique de Saint-Venant et du modèle morphodynamique d'Exner. Le point essentiel de la méthode proposée se situe au niveau du traitement du couplage de ce système. En effet, il existe deux stratégies; la première consiste à découpler la résolution de la partie fluide de la partie solide et les faire interagir à des instants donnés alors que la seconde considère une résolution couplée du système en mettant à jour conjointement les grandeurs hydrauliques et solides aux mêmes instants. Se posera alors la question du choix de la stratégie de résolution pour laquelle nous apporterons des éléments de réponses en comparant les deux approches. L'autre se concentre sur la mise en place d'une méthodologie pour l'étude des incertitudes liées au même modèle. Pour ce faire, nous proposons une formulation stochastique du système de Saint-Venant-Exner et nous cherchons à caractériser la variabilité des sorties par rapport aux paramètres d'entrée naturellement aléatoires. Cette première étude révélera la nécessité de revenir à un système de Saint-Venant avec un fond bruité pour étudier la sensibilité des grandeurs hydrauliques par rapport aux perturbations topographiques
In this thesis, we are interested on the study of a sediment transport model through two different approaches. One of them concerns the numerical modelling of the problem and proposes a numerical problem-solving method based on an approximate Riemann solver for the Saint-Venant-Exner system which is one of the most common model to deal with sedimentary bed-load transport. This last one is based on a coupling between the hydraulic model of Saint-Venant and the morphodynamic model of Exner. The key point of the proposed method is the treatment of the coupling issue. Indeed, there exists two strategies; the first one consists on decoupling the resolution of the fluid part from the solid part and making them interact at fixed times whereas the second one considers a coupled approach to solve the system by jointly updating the hydraulic and solid quantities at same times. We then raise the issue of the choice of the strategy for which we suggest answers by comparing both approaches. The other one focuses on the development of a methodology to study the uncertainties related to the model previously mentioned. To this end, we propose a stochastic formulation of the Saint-Venant-Exner system and we look for characterizing the variabilities of the outputs in relation to the naturally random input parameters. This first study reveals the need for a return to the Saint-Venant system with a perturbed bed to understand the sensitivity of the hydraulic quantities on the topographical perturbations

Les systèmes méandriformes construisent, à long terme, des architectures sédimentaires composées de corps poreux disséminés dans un volume de sédiments peu perméables. Ces corps sont susceptibles de contenir des ressources naturelles. Afin d'optimiser leur exploitation, il importe d'estimer la répartition et la connectivité de ces corps. À cet effet, Mines-Paristech développe Flumy, un logiciel de modélisation par processus de ces architectures . Cette thèse vise à améliorer la simulation de la migration dans Flumy en introduisant une influence.Pour cela, trois différents modèles ont été reliés entre eux et comparés. Le premier (modèle à pente constante) est celui actuellement en place dans Flumy, héritier des travaux de [Ikeda 1981] et dans lequel la pente de la surface du cours d'eau est constante. Le deuxième (modèle à pente variable) fut proposé par [Lopez 2003]. Il attribue à la surface libre la pente locale de la topographie. Enfin, un dernier modèle (modèle Saint Venant) a été élaboré en modifiant le précédent. L'écoulement moyen, initialement calculé sous une surface libre connue, est désormais obtenu par résolution des équations de Saint Venant sur un fond connu. Ces trois modèles ont été appliqués à la migration à long terme de méandres libres. Les modèles à pente constante et à pente variable ont également été utilisés pour reproduire les méandres confinés de deux rivières canadiennes, la Beaver et la Red Deer.Les résultats montrent un développement plus réaliste des méandres simulés avec le modèle à pente variable que de ceux simulés avec le modèle à pente constante. Cette amélioration est observable dans les méandres isolés (ralentissement de la vitesse d'extension) et dans les trains de méandres (confinement en ceintures de méandres). Le modèle à pente variable permet également une meilleure reproduction de la morphologie des méandres confinés. L'utilisation du modèle Saint Venant apporte les mêmes améliorations dans la simulation des méandres libres, quoique moins prononcées. Il permet surtout de construire une surface libre physique sur une grande variété de fonds, résolvant ainsi une limite identifiée dans le modèle à pente variable
Over a long time, Meandering systems build sedimentary architectures composed of porous bodies scattered inside a volume of low-permeability sediments. These bodies may contain natural resources. In order to optimize their mining, it is essential to estimate the distribution and connectivity of such bodies. To this end, Mines ParisTech develops Flumy, a process-based model simulating the formation of these architectures. This thesis aims to improve the simulation of the migration in Flumy by taking into consideration the influence of the local slope.For this purpose, three distinct models were considered in conjunction, and compared. The first one (constant slope model), which constitutes the basis of the current Flumy version, was originally developed by [Ikeda 1981]. The second model (variable slope model), developed by [Lopez 2003], assigns to the free surface the slope of the surrounding topography. Finally, the last model (Saint-Venant model) has been derived from the variable slope model. Initially calculated under a known free surface, the mean flow in each cross-section is now obtained by solving the Saint-Venant equations over a known river bed. Each of those three models has been applied to the simulation of free meanders. Moreover, the constant-slope and variable slope models have been used to reproduce the confined meanders of two Canadian streams.The results point to a more realistic meanders development using the variable slope model than with the constant slope model. This improvement can particularly be observed in individual meanders, whose rate of extension decreases with the age. It is also noticeable in the overall river behavior, which self-confines in a meander belt. The specific morphology of the confined meanders is also better reproduced using the variable slope model than with the constant slope model. Lastly, though a lesser extent, the Saint-Venant model shows the same advantages than the variable slope model. In addition, it allows the construction of a physically meaningful free surface over a wide range of beds and, in doing so, resolves a limit of the variable slope model

Dans cette thèse, nous établissons rigoureusement des ponts entre les écoulements continument stratifiés et les écoulements multi-couches. Dans une première partie, nous considérons le système de Saint-Venant multi-couches avec un terme supplémentaire diffusif qui a un effet régularisant, dont la motivation provient des travaux des océanographes Gent & McWilliams sur le mélange isopycnal et la diffusivité des tourbillons, et qui pourrait être interprété comme un terme de turbulence. En exploitant la structure de ce système, nous obtenons un dictionnaire qui nous permet d'interpréter ce système multi-couches comme une discrétisation de la formulation en coordonnées isopycnales du système hydrostatique continument stratifié avec le terme diffusif de Gent & McWilliams ajouté de manière similaire. Nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue à mesure que le nombre de couches tend vers l'infini, et nous fournissons un taux de convergence explicite. Dans une deuxième partie, dans cette thèse, nous abordons la limite "inverse", nous montrons rigoureusement que, sous certaines conditions d'hyperbolicité et dans un cadre topologique bien choisi, la solution du système continument stratifié converge vers le système de Saint-Venant bi-couches dans la limite de stratification nette
In this thesis, we rigorously establish bridges between continuously stratified flows and multi-layer flows. In the first part, we consider the multi-layer shallow water system with an additional diffusive term that has a regularizing effect, motivated by the work of oceanographers Gent & McWilliams on isopycnal mixing and eddy diffusivity, which can be interpreted as a turbulence term. By exploiting the structure of this system, we derive a dictionary that allows us to interpret this multi-layer system as a discretization of the formulation in isopycnal coordinates of the continuously stratified hydrostatic system with the Gent & McWilliams diffusive term added in a similar manner. We demonstrate the convergence of the discrete solution to the continuous solution as the number of layers tends to infinity, and we provide an explicit convergence rate. In the second part of this thesis, we address the "inverse" limit. We rigorously show that, under certain hyperbolicity conditions and within a well-chosen topological framework, the solution of the continuously stratified system converges to the bi-layer shallow water system in the limit of sharp stratification

Cette thèse aborde le défi de l’optimisation de la gestion des ressources en eau au sein des canaux. Il s’agit d’une tâche particulièrement complexe en raison de leur échelle étendue et de la nature diverse de leurs composants, mais également de leurs dynamiques complexes caractérisées par des retards importants et parfois des pentes nulles. En ce qui concerne les réseaux de voies navigables, l’objectif principal est de mettre en œuvre des techniques issues de la théorie du Contrôle afin d’assurer la navigabilité du réseau, garantissant le respect des niveaux d’eau pour la navigation. Plus précisément, les niveaux d’eau doivent demeurer dans une plage prédéfinie autour d’un point de consigne. D’autres objectifs visent en la réduction des coûts opérationnels et l’amélioration de la durabilité des équipements. A cet égard, une alternative dans la gestion de tels réseaux est de remplacer les capteurs le long des canaux par un robot mobile qui effectue les mesures requises en se déplaçant, limitant l’ensemble des tâches de déploiement et de maintenance des capteurs et des systèmes de transmission de l’information. Pour parvenir à une gestion efficiente, il est impératif de garantir un contrôle efficace des structures hydrauliques telles que les vannes, les pompes et les écluses tout en limitant leur utilisation. A cette fin, un algorithme de contrôle est introduit, basé sur un modèle existant dérivé des équations de Saint-Venant. Le modèle simplifié offre une facilité d’intégration des informations actuelles et retardées du système dynamique en simplifiant sa complexité originale. L’utilisation de ce modèle nécessite cependant certaines extensions aux outils standards de contrôle et d’estimation d’état standard. Des méthodes de contrôle prédictif, de type MPC, et des méthodes d’estimation de l’état du système, de type MHE, sont adaptées à ce modèle. Elles permettent de considérer les contraintes physiques et opérationnelles des canaux contrôlés. Le MPC centralisé offre une résilience grâce à son couplage avec la technique MHE. Sa nature déterministe limite cependant sa capacité à aborder systématiquement les incertitudes. Pour relever efficacement ces incertitudes, la mise en œuvre du MPC stochastique (SMPC) a ensuite été proposée. Le SMPC intègre des descriptions probabilistes dans la conception du contrôle, offrant une approche tenant compte des incertitudes. Dans ce contexte d’études, le SMPC est interconnecté avec un robot mobile dont l’usage vise à limiter le nombre de capteurs répartis le long du canal. Par conséquent, une partie de cette thèse se concentre sur la conception du SMPC en intégrant un robot mobile. Cette approche a été appliquée à un canal de test ASCE pour en évaluer l’efficacité. Compte tenu de la nature étendu et de la complexité des interactions des canaux avec leur environnement, une conception d’un jumeau numérique a été entreprise avec pour objectifs de répondre aux besoins d’outils d’analyse avancée de leur gestion. En exploitant les capacités des jumeaux numériques, nous avons cherché à améliorer notre compréhension des dynamiques des canaux, en considérant des scénarios passés, mais également à projeter les avantages de nouvelles stratégies de gestion et de contrôle. Cette évaluation vise à combler le fossé entre la théorie et la mise en œuvre pratique, offrant un moyen tangible de rejouer les événements passés, de tester diverses approches de gestion et, finalement, de proposer aux gestionnaires des outils et des critères conduisant à une gestion efficace des réseaux hydrographiques. Les méthodologies présentées dans cette thèse sont appliquées à un cas réel, un canal situé dans la région des Hauts de France, avec l’objectif de tester et de valider leur efficacité dans un contexte réel
This thesis addresses the challenge of optimizing the management of canals, a complex task due to their extensive scale and distinctive attributes, including intricate dynamics, considerable time delays, and minimal bottom slopes. Specifically, the central goal is to ensure the navigability of the network, which involves maintaining safe water levels for vessel travel, through control theory. More precisely, the water levels must remain within a predefined range around a setpoint. Additionally, typical aims encompass reducing operational costs and enhancing the equipment’s life expectancy. In this regard, another objective in the management of such networks is replacing the possible sensors across canals by applying a moving robot to take the required measurements. To accomplish effective management, it becomes imperative to ensure efficient control over hydraulic structures such as gates, pumps, and locks. To this end, a control algorithm is introduced based on an existing model derived from the Saint-Venant equations. The modeling approach simplified the original complex description providing adaptability and facilitating the systematic integration of both current and delayed information. However, the resulting model formulation falls within the category of delayed descriptor systems, necessitating extensions to standard control and state estimation tools. Model predictive control and moving horizon estimation methods can be readily tailored for this formulation, while also adapting physical and operational constraints seamlessly. Given the extensive nature of canals, an evaluation of the digital twin was untaken to address the critical need for advanced tools in the management of such networks. By harnessing the capabilities of digital twins, we aimed to enhance our understanding of canal dynamics, past scenarios, and management strategies. This evaluation sought to bridge the gap between theory and practical implementation, offering a tangible means to playback past events, test diverse management approaches, and ultimately equip decision-makers with robust criteria for informed and effective network management.The methodologies presented above are applied to a practical case study, a canal in the northern region of France. The objective is to validate the efficacy of these approaches in a real-world context.While centralized MPC provides resilience through its receding-horizon approach, its deterministic nature limits its ability to systematically address uncertainties. To effectively tackle these system uncertainties, the implementation of Stochastic MPC (SMPC) has been adopted. SMPC integrates probabilistic descriptions into control design, offering a methodical approach to accommodating uncertainties. In this context, the application of SMPC is interconnected with a mobile robot aimed at replacing existing sensors along the canal to capture measurements. Consequently, a part of this thesis focuses on the design of SMPC in conjunction with a mobile robot. This approach has been applied to an ASCE Test canal to evaluate its effectiveness

Le travail s'inscrit dans le cadre de la platitude, théorie récente dans le domaine du contrôle des systèmes. Nous présentons des réalisations industrielles en génie des procédés et des contributions théoriques dans le domaine des équations aux dérivées partielles. A partir d'applications industrielles réalisées avec le groupe TotalFinaElf et aujourd'hui en service dans les usines concernées, nous montrons l'intérêt pratique de la platitude dans le domaine du contrôle des procédés : gestion de grands transitoires, prise en compte explicite des non linéarités, des retards, des contraintes. Nous traitons ensuite un ensemble d'exemples physiques de systèmes régis par des équations des ondes. En réécrivant ces équations aux dérivées partielles et leurs conditions limites comme des équations à retards, nous exhibons une paramétrisation de leurs trajectoires établissant ainsi la propriété de platitude de ces systèmes. Il est alors possible de prouver de maniéré constructive la commandabilite de ces systèmes en calculant des trajectoires entre différents états. Tous ces exemples, ou les retards jouent des rôles à chaque fois différents, nous permettent de mettre en valeur l'importance pratique et théorique de la propriété de platitude dans le domaine du génie des procédés et du contrôle des équations des ondes.

Ce travail traite du contrôle des systèmes décrits par des Equations aux Dérivés Partielles. La structure de Commande par Modèle Interne est étendue aux systèmes hyperboliques de dimension infinie, à contrôle frontière. Les EDP considérées sont celles de Saint-Venant, non linéaires, décrivant les écoulements à surface libre.
Le modèle utilisé est une linéarisation autour d'un écoulement permanent dont les coefficients dépendent de la variable d'espace. Les pentes et frottements sont non nuls, prenant en compte les phénomènes variables le long du canal.
L'analyse et la synthèse du contrôle sont réalisées en considérant le système en boucle fermée comme une perturbation de celui en boucle ouverte. Les perturbations portent sur les opérateurs, les semigroupes et le spectre dans un espace de Hilbert. L'opérateur hyperbolique Ae(x)dx+ Be(x) est caractérisé explicitement sans transformation préalable, en dimension une d'espace, où Ae(x) et Be(x) sont bornés.
Pour la synthèse de commande, une structure de contrôle frontière par modèle interne est utilisée, après avoir été ramené sous forme Kalmanienne abstraite. L'analyse de la stabilité en boucle fermée, par la théorie de la perturbation en dimension infinie, permet de donner des conditions suffisantes sur les paramètres de synthèse d'une loi de commande du type intégral et/ou proportionnel.
Les résultats en simulation et expérimentaux sur le canal de Valence montrent la faisabilité de l'approche. Elle est testée dans le cas monobief et multibiefs.

This thesis regards the problem of optimal management of water resources in inland navigation networks from a control theory perspective. In particular, the main objective to be attained consists in guaranteeing the navigability condition of the network, i.e., ensuring that the water levels are such that vessels can travel safely. More specifically, the water levels must be kept within an interval around the setpoint. Other common objectives include minimizing the operational cost and ensuring a long lifespan of the equipment. However, inland navigation networks are large-scale systems characterized by a number of features that complicate their management, namely complex dynamics, large time delays and negligible bottom slopes. In order to achieve the optimal management, the efficient control of the hydraulic structures, e.g., gates, weirs and locks, must be ensured. To this end, a control-oriented modeling approach is derived based on an existing simplified model obtained from the Saint-Venant equations. This representation reduces the complexity of the original model, provides flexibility and allows to coordinate current and delayed information in a systematic manner. However, the resulting model formulation belongs to the class of delayed descriptor systems, for which standard control and state estimation tools would need to be extended. Instead, model predictive control and moving horizon estimation can be easily adapted for this formulation, as well as being able to deal with physical and operational constraints in a natural manner. Due to the large dimensionality of inland navigation networks, a centralized implementation is often neither possible nor desirable. In this regard, non-centralized approaches are considered, decomposing the overall system in subsystems and distributing the computational burden among the local agents, each of them in charge of meeting the local objectives. Given the fact that inland navigation networks are strongly coupled systems, a distributed approach is followed, featuring a communication protocol among local agents. Despite the optimality of the computed solutions, state estimation will only be effective provided that the sensors acquire reliable data. Likewise, the control actions will only be applied correctly if the actuators are not impacted by faults. Indeed, any error can lead to an inefficient management of the system. Therefore, the last part of the thesis is concerned with the design of supervisory strategies that allow to detect and isolate faults in inland navigation networks. All the presented modeling, centralized and distributed control and state estimation and fault diagnosis approaches are applied to a realistic case study based on the inland navigation network in the north of France to validate their effectiveness.
Cette thèse contribue à répondre au problème de la gestion optimale des ressources en eau dans les réseaux de navigation intérieure du point de vue de la théorie du contrôle. Les objectifs principales à atteindre consistent à garantir la navigabilité des réseaux de voies navigables, veiller à la réduction des coûts opérationnels et à la longue durée de vie des équipements. Lors de la conception de lois de contrôle, les caractéristiques des réseaux doivent être prises en compte, à savoir leurs dynamiques complexes, des retards variables et l’absence de pente. Afin de réaliser la gestion optimale, le contrôle efficace des structures hydrauliques doit être assuré. A cette fin, une approche de modélisation orientée contrôle est dérivée. Cependant, la formulation obtenue appartient à la classe des systèmes de descripteurs retardés, pour lesquels la commande prédictive MPC et l’estimation d’état sur horizon glissant MHE peuvent être facilement adaptés à cette formulation, tout en permettant de gérer les contraintes physiques et opérationnelles de manière naturelle. En raison de leur grande dimensionnalité, une mise en œuvre centralisée n’est souvent ni possible ni souhaitable. Compte tenu du fait que les réseaux de navigation intérieure sont des systèmes fortement couplés, une approche distribuée est proposée, incluant un protocole de communication entre agents. Malgré l’optimalité des solutions, toute erreur peut entraîner une gestion inefficace du système. Par conséquent, les dernières contributions de la thèse concernent la conception de stratégies de supervision permettant de détecter et d’isoler les pannes des équipements. Toutes les approches présentées sont appliquées à une étude de cas réaliste basée sur le réseau de voies navigables du nord e la France afin de valider leur efficacité.
La present tesi versa sobre el problema de la gestió òptima dels recursos hídrics en vies de navegació interior des de la perspectiva de la teoria de control. Concretament, l’objectiu principal radica en garantir la condició de navegabilitat del s is tema. Dit d’una altra manera, es vol garantir que els nivells d’aigua siguin tals que les embarcacions puguin navegar-hi de forma segura. Aquest objectiu s’assoleix mantenint els nivells a l’interior d’un interval construït al voltant del punt d’operació. Altres objectius comuns en aquest context as piren a minimitzar els cos tos associats a l’operació dels equips, així com a prolongar-ne la seva vida útil. Ara bé, les vies de navegació interior són sistemes a gran escala caracteritzats per dinàmiques complexes, grans retards temporals i pendents negligibles, aspectes que en dificulten la gestió. Per tal d’assolir la ges tió òptima, s’ha de garantir un control eficient de les estructures hidràuliques tals com comportes, dics i rescloses. Amb aquesta finalitat, es deriva un modelat del sistema orientat a control basat en un model existent simplificat, obtingut a partir de les equacions de Saint-Venant. Aquesta nova representació redueix la complexitat del model original, proporciona flexibilitat i permet coordinar informació actual i retardada de manera sistemàtica. Malgrat això, la formulació resultant pertany a la classe de sistemes descriptors amb retard, per als quals les tècniques de control i d’estimació estàndards necessiten ser esteses. En canvi, el control predictiu basat en models i l’estimació d’estat amb horitzó lliscant es poden adaptar fàcilment a la formulació proposada. A més, són capaços de tractar amb restriccions físiques i operacionals de forma natural. Degut a les grans dimensions de les vies de navegació interior, una implementació centralitzada no resulta, tot sovint, ni possible ni desitjada. Per tal de pal·liar aquest problema, es consideren mètodes no centralitzats. D’aquesta manera, es descompon el sistema global en subsistemes i es distribueix la càrrega computacional del problema centralitzat entre els agents locals, de manera que cadascun d’ells s’encarrega de fer complir els objectius locals . En tant que les vies de navegació interior són sistemes fortament connectats, se segueix un plantejament distribuït, incloent un protocol de comunicació entre els agents locals. Malgrat la optimalitat dels resultats que les estratègies proposades puguin proporcionar, l’estimació d’estat només serà efectiva a condició que els sensors proveeixin informació fiable. Igualment, les accions de control únicament es podran aplicar correctament si els actuadors no estan afectats per fallades. En efecte, qualsevol error pot conduir a una gestió ineficaç del sistema. És per aquest motiu que la darrera part de la tes i tracta s obre el disseny d’estratègies de supervisió, que permetin detectar i aïllar fallades en vies de navegació interior. Tots els resultats de modelat, control i estimació d’es tat centralitzats i distribuïts, així com de diagnòstic de fallades, s’apliquen a un cas d’estudi realista, basat en les vies de navegació interior del nord de França, per tal de provar-ne la seva eficàcia.
La presente tesis versa sobre el problema de la gestión óptima de los recursos hídricos en vías de navegación interior desde la perspectiva de la teoría de control. En concreto, el objetivo principal consiste en garantizar la condición de navegabilidad del sistema, es decir, garantizar que los niveles de agua de los canales sean tales que las embarcaciones puedan navegar de forma segura. Dicho objetivo se consigue manteniendo los niveles dentro de un intervalo alrededor del punto de operación. Otros objetivos comunes consisten en minimizar los costes asociados a la operación de los equipos, así como a extender su vida útil. Hay que tener en cuenta que las vías de navegación interiores son sistemas a gran escala caracterizados por dinámicas complejas, grandes retardos temporales y pendientes prácticamente nulas, lo que dificulta su gestión. Para alcanzar la gestión óptima, se debe garantizar un control eficiente de las estructuras hidráulicas tales como compuertas, diques y esclusas, y para ello se deriva un modelado del sistema orientado a control, basado en un modelo simplificado ya existente, obtenido a partir de las ecuaciones de Saint-Venant. Esta nueva representación reduce la complejidad del modelo original, proporciona flexibilidad y permite coordinar información actual y retardada de forma sistemática. Sin embargo, la formulación resultante pertenece a la clase de sistemas descriptores con retardos, para los cuales las técnicas de control y de estimación de estado estándares necesitan ser extendidas. En cambio, el control predictivo basado en modelos y la estimación de estado con horizonte deslizante pueden ser fácilmente adaptadas para la formulación propuesta, además de permitir lidiar con restricciones físicas y operacionales de forma natural. Hay que tener en cuenta que, debido a las grandes dimensiones de las vías de navegación interior, una implementación centralizada no es, a menudo, ni posible ni deseada, y para paliar este problema se consideran los enfoques no centralizados. De este modo, se descompone el sistema global en subsistemas y se distribuye la carga computacional del problema centralizado entre los agentes locales, de manera que cada uno de ellos se encarga de cumplir los objetivos locales. Como las vías de navegación interior son sistemas fuertemente conectados, se sigue un enfoque distribuido, incluyendo un protocolo de comunicación entre los agentes. También se ha de considerar que la estimación de estado sólo será efectiva a condición de que los sensores provean información fiable. Asimismo, las acciones de control únicamente se podrán aplicar correctamente si los actuadores no están afectados por fallas. En efecto, cualquier avería puede conducir a una gestión ineficaz del sistema. Es por ello que la última parte de la tesis trata sobre el diseño de estrategias de supervisión que permitan detectar y aislar fallas en vías de navegación interior. Todos los resultados de modelado, control y estimación de estado centralizados y distribuidos, así como de diagnóstico de fallas, se aplican a un caso de estudio realista basado en las vías de navegación interior del norte de Francia para probar su eficacia.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.

Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s > 1/3
In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s > 1/3

Ce document est une synthèse des travaux de recherche menés par l'auteur dans le domaine des écoulements géophysiques et de la biomécanique. Pour des raisons associées aux dimensions caractéristiques des problèmes étudiés, les écoulements géophysiques sont généralement représentés par des modèles plus simples que les équations de Navier-Stokes. Ainsi le système de Saint-Venant rend bien compte de phénomènes complexes telles les ruptures de barrage, les inondations, les avalanches. Dans ce document on propose plusieurs modèles de complexité réduite mais permettant de s'affranchir des limitations du système de Saint-Venant. Outre la dérivation, on propose pour chaque modèle, un schéma numérique ainsi qu'une confrontation avec des solutions analytiques et/ou des mesures expérimentales dans le cas d'écoulements complexes. Les discrétisations sont basées sur une interprétation cinétique des modèles, cette description permettant d'assurer les principales propriétés de stabilité des schémas. Certains des modèles proposés ont été implémentés dans des codes industriels. Dans la seconde partie du document, d'autres travaux concernant la modélisation en biomécanique et plus particulièrement l'activité électro-mécanique du muscle cardiaque sont également présentés.

L'objet de la thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques avec termes sources, ce qui est motivé par les applications aux équations de Saint-Venant pour les eaux peu profondes. La première partie traite des questions habituelles de l'analyse des approximations numériques des lois de conservation scalaires. On se concentre sur des schémas aux volumes finis semi-discrets, dans le cas général d'un maillage non-uniforme. Pour définir des discrétisations appropriées du terme source, on introduit le formalisme spécifique de la méthode "Upwind Interface Source" et on établit des conditions sur les fonctions numériques telles que le solveur discret préserve les solutions stationnaires. Une définition rigoureuse de consistance est ensuite formulée, adaptée aux "schémas équilibres", pour laquelle on est capable de prouver un théorème de convergence faible de type Lax-Wendroff. La méthode considérée dans un premier temps est essentiellement d'ordre un en espace. Pour améliorer la précision, on développe des approches à haute résolution pour la méthode "Upwind Interface Source" et on montre que celles-ci sont un moyen efficace de dériver des schémas d'ordre plus élevé avec des propriétés convenables. On prouve une estimation d'erreur dans $L^p$, $1\le p < +\infty$, qui est un résultat optimal dans le cas d'un maillage uniforme. On conclut alors que les mêmes taux de convergence $O(h)$ et $O(h^2)$ que pour les systèmes homogènes correspondants sont valables. La deuxième partie présente un schéma numérique pour approcher les équations de Saint-Venant, avec un terme source géométrique, qui vérifie les propriétés théoriques suivantes: il préserve les états stationnaires de l'eau au repos, vérifie une inégalité d'entropie discrète, préserve la positivité de la hauteur de l'eau et reste stable avec des profiles du fond discontinus. Cela est obtenu grâce à une approche cinétique au système; dans ce contexte, on utilise une description formelle du comportement microscopique du système pour définir les flux numériques aux interfaces d'un maillage non-structuré. On utilise aussi le concept de variables conservatives centrées (typique de la méthode des volumes finis) et des termes sources décentrés aux interfaces. Finalement, on présente des simulations numériques du système des équations de Saint-Venant modifiées pour prendre en compte le frottement et la viscosité, afin de retrouver les résultats de certaines études expérimentales. Une application à la modélisation des termes de frottement pour les avalanches de neige est discutée dans l'Appendice.

Nous étudions plusieurs aspects d'équations aux dérivées partielles multi-échelles. Pour trois exemples, la présence de multiples échelles, spatiales ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de discrétisation. La première partie est consacrée à la construction et l'étude d'un système multicouche de type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s'appuie sur l'analyse des échelles spatiales, précisément l'hypothèse " eau peu profonde ". Nous justifions nos équations à partir du modèle primitif et montrons un résultat d'existence locale de solution. Puis nous proposons un schéma volumes finis et des simulations numériques. Nous étudions ensuite un problème hyperbolique de relaxation, inspiré de la théorie cinétique des gaz. Nous construisons un schéma numérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec le problème à l'équilibre local. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations numériques sont présentées. Enfin, nous étudions un problème d'écoulement sanguin dans une artère avec stent, modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique (géométrie double échelle). Pour éviter une discrétisation coûteuse du domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine lisse (artère seule). Nous montrons des estimations d'erreurs et des simulations numériques

Ce travail de thèse, propose un schéma numérique d'ordre élevé, distribuantle résidu (RD) pour l'approximation d'un problème hydro-sédimentairehyperbolique non conservatif, couplant les modèles de Grass et de Saint-Venant. Il fait appel à des méthodes de Runge-Kutta à variation totale diminuanteet de stabilisation (méthode de décentrement amont, dit Upwind),avec ou sans adjonction de limiteurs et présente de bonnes propriétés.L'une des facettes importantes de ce qui a été réalisée, repose sur la conceptionet le développement d'un programme Python 2D-espace, sous la formed'un logiciel faisant appel à un ensemble de modules créés pour l'occasion.Le développement du code de calcul, qui se propose d'approcher la solutiondu problème hydro-sédimentaire, a été e_ectué avec une orientation Objetet pour être e_cace sur calculateur parallèle (utilisant le parallélisme multithreadsOpenMP). L'une des particularités du schéma numérique dans cecadre, est liée à son application à des quadrangles.Un programme 1D-espace, qui se présente également sous forme de logiciel,a aussi été mis en place. Pour des raisons de portabilité et d'e_catité, il aété écrit multilangages (Python-Fortran : via numpy.ctypes pour Python etvia l'interface standard de Fortran pour C). Le schéma RD avec ou sansadjonction de limiteurs de _ux, a été implémenté à la manière d'un schémaprédicteur-correcteur. Des comparaisons avec d'autres schémas ont été e_ectuées a_n de montrer son e_cacité, son ordre de précision élevé a été mis enévidence, et la C-propriété a été testée. Les tests ont révélé que, pour le casd'un transport d'un pro_l sédimentaire parabolique, c'est le limiteur de _uxMUSCL MinMod, qui est le plus adapté parmi ceux testés.Dans le cas scalaire, des tests numériques ont été réalisés a_n de validerle second ordre de précision
The present work, proposes a high order Residual Distribution (RD) numericalscheme to solve the non conservative hyperbolic problem, coupling Shallow Water and Grass equations. It uses Total Value Diminishing Runge Kutta and stabilisation Upwind methods, with or without limiters. It also has some good properties.A part of the work realised in this thesis, is about the conception and the developpement of a 2D-space Python program, under the form of a software,using a set of moduls created for the occasion. the code developpement, whichis said to approach the _uid-sediment model, coupling Shallow-Water and sedimentequations, has been made with an Object orientation and in orderto be e_cient on parallel architecture (using multithreads OpenMP parallelism). One of the features of the scheme in this case, is due to its application on quadrangles.A 1D-space program, also writen as a software, has been estabished. In order to be portable and e_cient, It has been developped multilinguals (Python- Fortran : by numpy.ctypes for Python and by standart interface FORTRAN for C). The RD scheme with or without Flux Limiters, has been implemented like predictor-corrector one. Comparisons with other schemes results have been realised, in order to show its e_ciency, moreover its high order accuracy has been focus on, and the C-proprerty has been tested. The tests show that MUSCL MinMod _ux limiters, is the most adaptated for a dune test case, between all tested.In the scalar case, numerical tests have been realised, for validating the secondorder of accuracy

On étudie dans cette thèse des probèlmes de stabilisation en théorie du controle pour trois types de systèmes différents. Tout d'abord, on introduit, pour les systèmes non linéaires de dimension finie perturbés par des erreurs, une classe de controles dits hybrides, car dépendant d'un état mixte discret-continu. Etant donné un système dont l'équilibre est asymptotiquement controlable, on montre qu'il existe un controle tel que l'équilibre du système bouclé soit globalement asymptotiquement stable avec une robustesse par rapport aux petits bruits. On explicite pour les systèmes chainés un tel controle robuste avec une seule dynamique discrète. On donne également un controle hybride et un controle par retour d'état continu et périodique en temps qui recollent robustement deux controles données tout en conservant une propriéetée de stabilitée asymptotique. Ensuite, on étudie le problème de stabilisation d'un bac de fluide par le controle du déplacement longitudinal. C'est un problème de théorie du controle en dimension infinie car on modélise le problème en utilisant les équations de Saint-Venant qui sont des équations aux dérivées partielles hyperboliques. On utilise une approche Lyapunov pour proposer des feedbacks qui, numériquement, stabilisent localement et asymptotiquement l'origine du système bouclé. Enfin, on étudie le problème de stabilisation de l'origine d'un système linéaire en dimension finie lorsqu'on a une incertitude sur les donnes du système. On applique les méthodes de résolutions numériques des inégalités linéaires matricielles avec incertitudes à un problème industriel.

On s'intéresse dans ce travail à la simulation des écoulements diphasiques. Différents modèles, tous hyperboliques, sont considérés suivant les configurations étudiées. Dans un premier temps, plusieurs schémas Volumes Finis sont comparés pour l'approximation du modèle HEM (Homogeneous Equilibrium Model), notamment en présence de faibles densités. Ensuite on démontre l'existence et l'unicité de la solution faible entropique d'une loi de conservation scalaire gouvernant l'évolution de la saturation d'un écoulement diphasique dans un milieu poreux. On propose alors deux schémas Volumes Finis tenant compte du caractère résonnant de cette équation. La troisième partie concerne les écoulements en eaux peu profondes et l'approximation des termes sources raides. Une méthode permettant le maintien d'états au repos ainsi que le recouvrement et l'apparition de zones sèches, est présentée et comparée aux méthodes habituellement utilisées dans l'industrie. Enfin, une classe de modèles hyperboliques non conservatifs se basant sur l'approche bifluide à deux vitesses et deux pressions est proposée. Une étude des solutions discontinues du système convectif permet d'exhiber une classe de fermetures sur la vitesse interfaciale et sur la pression interfaciale, tout en permettant de définir de manière unique les produits non conservatifs. L'approximation se fait à l'aide d'une méthode de splitting d'opérateur. On utilise deux schémas Volumes Finis, le schéma de Rusanov et le schéma de Godunov approché VFRoe-ncv pour l'étape de convection. Plusieurs cas tests sont présentés et commentés : tubes à choc, conditions limites de paroi, robinet d'eau, sédimentation.

L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l'hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l'écoulement et celle décrivant l'évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l'échelle de la parcelle, nous présentons un système d'équations couplant les mécanismes d'infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L'implémentation et des tests de validation d'un schéma d'ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l'application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles au Niger. Dans le but d'aboutir la simulation à l'échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d'inondation dans les équations d'évolution afin de prendre en compte l'effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code.

L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi-échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l'hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l'écoulement et celle décrivant l'évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l'échelle de la parcelle, nous présentons un système d'équations couplant les mécanismes d'infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L'implémentation et des tests de validation d'un schéma d'ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l'application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles 1m2 au Niger. Dans le but d'aboutir la simulation à l'échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d'inondation dans les équations d'évolution afin de prendre en compte l'effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code.

L’objectif global de ce travail est d’étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d’érosion à l’échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l’hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l’écoulement et celle décrivant l’évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l’échelle de la parcelle, nous présentons un système d’équations couplant les mécanismes d’infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L’implémentation et des tests de validation d’un schéma d’ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l’application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles au Niger. Dans le but d’aboutir la simulation à l’échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d’inondation dans les équations d’évolution afin de prendre en compte l’effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code
The overall objective of this thesis is to study a multiscale modelling and to develop a suitable method for the numerical simulation of soil erosion on catchment scale. After reviewing the various existing models, we derive an analytical solution for the non-trivial coupled system modelling the bedload transport. Next, we study the hyperbolicity of the system with different sedimentation laws found in the literature. Relating to the numerical method, we present the validity domain of the time splitting method, consisting in solving separately the Shallow-Water system (modelling the flow routing) during a first time step for a fixed bed and updating afterward the topography on a second step using the Exner equation. On the modelling of transport in suspension at the plot scale, we present a system coupling the mechanisms of infiltration, runoff and transport of several classes of sediment. Numerical implementation and validation tests of a high order wellbalanced finite volume scheme are also presented. Then, we discuss on the model application and calibration using experimental data on ten 1 m2 plots of crusted soil in Niger. In order to achieve the simulation at the catchment scale, we develop a multiscale modelling in which we integrate the inundation ratio in the evolution equations to take into account the small-scale effect of the microtopography. On the numerical method, we study two well-balanced schemes : the first one is the Roe scheme based on a path conservative, and the second one is the scheme using a generalized hydrostatic reconstruction. Finally, we present a first model application with experimental data of the Ganspoel catchment where the parallel computing is also motived

Ce texte de synthèse a pour but de présenter l'´évolution de mes recherches postèrieures à ma thèse. Ce travail s'articule autour de plusieurs axes de recherche dans le cadre des équations aux dérivées partielles non linéaires et en particulier des lois de conservation.
Il s'inscrit dans l'étude des problèmes hyperboliques, des problème mixtes et des équations cinétiques. Les domaines d'application sont la mécanique des fluides ou du solide, la propagation de composants chimiques, l'électromagnétisme, l'optique.
Mon activité concerne d'abord la modélisation de phénomènes physiques ou chimiques sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires telles que les équations de Bloch, Korteweg, Navier-Stokes, Saint-Venant, puis vient l'étude mathématique de ces équations à travers les
problèmes d'existence, d'unicité, de régularité avec éventuellement la mise au point de méthodes numériques de résolution.
Ce document est divisé en une introduction générale et trois chapitres qui concernent respectivement les systèmes hyperboliques avec conditions aux limites et la chromatographie, les problèmes d'analyse asymptotique et enfin les méthodes cinétiques.
Dans chaque partie, un historique et une présentation des différents résultats mathématiques sont faits et quelques problèmes ouverts sont donnés.