Tesi sul tema "Positivity of line bundles"

Ce mémoire de thèse est consacré à l'étude de fibré en droites semipositif en géométrie analytique non-Archimédienne, par un point de vue d'analyse fonctionnelle sur un corps ultramétrique en exploitant la géométrie de la convexité holomorphe. Le premier chapitre recueille quelques préliminaires pour l'algèbre de Banach sur un corps ultramétrique et la géométrie de son spectre au sens de Berkovich, le cadre dans lequel l'étude est effectuée. Le deuxième chapitre présente la construction de base, qui encode la géométrie intervenante dans certaines algèbres de Banach. On associe une algèbre normée de section à un fibré en droites métrisé. On décrit son spectre, en le reliant avec le fibré en disques unités duals de ce fibré en droites muni de la métrique enveloppante. On encode alors la positivité métrique par la convexité holomorphe. Le troisième chapitre consiste en deux approches indépendantes pour le problème d'extension métrique de sections restreintes sur une sous-variété fermée. On obtient une borne supérieure pour la distorsion métrique asymptotique, qui est uniforme par rapport aux choix de sections restreintes. On utilise une propriété particulière aux normes affinoïdes pour obtenir cette inégalité. Le quatrième chapitre traite le problème de la régularité de métrique enveloppante. Avec un nouveau regard venant d'analyse holomorphe à plusieurs variables, on vise à montrer que, quand le fibré en droites est ample, la métrique enveloppante est continue si la métrique de départ l’est. On suggère une méthode tentative reposant sur un analogue non archimédien spéculatif d'un résultat sur la convexité holomorphe due à Cartan et Thullen
This thesis is devoted to the study of semi-positively metrized line bundles in non-Archimedean analytic geometry, with the point of view of functional analysis over an ultra-metric field exploiting the geometry related to holomorphic convexity. The first chapter gathers some preliminaries about Banach algebras over ultra-metric fields and the geometry of their spectrum in the sense of V. Berkovich, which is the framework of our study. The second chapter present the basic construction, which encodes the related geometric information into some Banach algebra. We associate the normed algebra of sections of a metrized line bundle. We describe its spectrum, relating it with the dual unit disc bundle of this line bundle with respect to the envelope metric. We thus encode the metric positivity into the holomorphic convexity of the spectrum. The third chapter consists of two independent for the normed extension problem for restricted sections on a sub-variety. We obtain an upper bound for the asymptotic norm distorsion between the restricted section and the extended one, which is uniform with respect to the choice of restricted sections. We use a particular property of affinoid algebras to obtain this inequality. The fourth chapter treat the problem of regularity of the envelope metric. With a new look from the holomorphic analysis of several variables, we aime at showing that on ample line bundles, the envelop metric is continuous once the original metric is. We suggest a tentative approach based on a speculative analogue of Cartan-Thullen’s result in the non-Archimedean setting

Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la positivité des diviseurs sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques (IHS). Fixons une variété IHS projective X de dimension complexe 2n. Inspirés par le travail de Bauer, Küronya et Szemberg, nous montrons que le cône big de X a une décomposition localement finie en sous-cônes localement rationnelles polyhédraux, qu'on appelle chambres de Boucksom-Zariski. Ces sous-cônes ont une signification géométrique : sur chacun d'eux, la fonction volume est exprimée par un polynôme homogène de degré 2n. De plus, à l'intérieur de toute chambre de Boucksom-Zariski, la partie divisorielle du lieu base augmenté des diviseurs big reste la même. Après avoir analysé le cône big, nous déterminons la structure du cône pseudo-effectif de X, généralisant ainsi un résultat bien connu de Kovács pour les surfaces K3. En particulier, nous montrons que si le nombre de Picard de X est au moins 3, le cône pseudo-effectif de X est soit circulaire, soit ne contient pas de parties circulaires et est égal à la clôture du cône engendré par les classes des diviseurs premiers exceptionnels. De ce résultat en géométrie convexe, nous déduisons quelques propriétés géométriques de X et nous montrons l'existence de diviseurs rigides uniréglés sur certaines variétés symplectiques singulières. Nous étudions le comportement des lieux de base asymptotiques des diviseurs big sur X et nous en donnons une caractérisation numérique. En conséquence de cette caractérisation numérique, nous obtenons une description des duaux des cônes mathrm{Amp}_k(X), pour tout 1leq k leq 2n, où mathrm{Amp}_k(X) est le cône convexe des classes des diviseurs big ayant le lieu base augmenté de dimension strictement plus petite que k. En utilisant la décomposition divisorielle de Zariski, la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) et la décomposition du cône big de X en chambres de Boucksom-Zariski, nous associons à toute classe de diviseurs big alpha et à un diviseur premier E sur X un polygone Delta_E(alpha), dont la géométrie est liée à la variation de la décomposition divisorielle de alpha dans le cône big de X. Le volume euclidien est exprimé en termes de la forme BBF et est indépendant du choix de E. Nous montrons que ces polygones s'inscrivent dans un cône convexe Delta_E(X) sous forme de tranches, globalisant ainsi la construction. En conclusion, nous montrons que sous certaines hypothèses, les polygones Delta_E(alpha) peuvent être écrits comme une somme de Minkowski de certains polygones {Delta_E(Beta_i)}_{iin I}, pour certaines classes big {Beta_i}_{i in I}. Il est remarquable que ces polygones se comportent comme les corps de Newton-Okounkov des diviseurs big sur les surfaces projectives lisses
In this thesis, we study some aspects of the positivity of divisors on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds. Fix a projective IHS manifold X of complex dimension 2n. Inspired by the work of Bauer, Küronya, and Szemberg, we show that the big cone of X has a locally finite decomposition into locally rational polyhedral subcones, called Boucksom-Zariski chambers. These subcones have a geometric meaning: on any of them, the volume function is expressed by a homogeneous polynomial of degree 2n. Furthermore, in the interior of any Boucksom-Zariski chamber, the divisorial part of the augmented base locus of big divisors stays the same. After analyzing the big cone, we determine the structure of the pseudo-effective cone of X, generalizing a well-known result due to Kovács for K3 surfaces. In particular, we show that if the Picard number of X is at least 3, the pseudo-effective cone either is circular or does not contain circular parts and is equal to the closure of the cone generated by the prime exceptional divisor classes. From this result in convex geometry, we deduce some geometric properties of X and show the existence of rigid uniruled divisors on some singular symplectic varieties. We study the behaviour of the asymptotic base loci of big divisors on X, and we provide a numerical characterization for them. As a consequence of this numerical characterization, we obtain a description for the dual of the cones mathrm{Amp}_k(X), for any 1leq k leq 2n, where mathrm{Amp}_k(X) is the convex cone of big divisor classes having the augmented base locus of dimension strictly smaller than k. Using the divisorial Zariski decomposition, the Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) form, and the decomposition of the big cone of X into Boucksom-Zariski chambers, we associate to any big divisor class alpha and a prime divisor E on X a polygon Delta_E(alpha) whose geometry is related to the variation of the divisorial Zariski decomposition of alpha in the big cone. Its euclidean volume is expressed in terms of the BBF form and is independent of the choice of E. We show that these polygons fit in a convex cone Delta_E(X) as slices, globalizing in this way the construction. To conclude, we show that under some hypothesis, the polygons Delta_E(alpha) can be expressed as a Minkowski sum of some polygons {Delta_E(Beta_i)}_{i in I}, for some big classes {Beta_i}_{_ iin I}. Remarkably, these polygons behave like the Newton-Okounkov bodies of big divisors on smooth projective surfaces

A common theme in algebraic geometry is that geometric properties of an algebraic variety are reflected in the subvarieties that are 'positively embedded' in it. Here the case of subvarieties of codimension one is classical and also fundamental to algebraic geometry: divisors correspond to line bundles and ample line bundles classify projective embeddings. However, subvarieties and algebraic cycles of higher codimension are regarded as much more complicated objects and not well understood in general. The first paper of the thesis introduces a notion of ampleness for subschemes of arbitrary codimension, generalising the notion of an ample divisor. In short, a subscheme is defined to be ample if the exceptional divisor on the blow-up along the subscheme satisfies a certain partial positivity condition, namely that its asymptotic cohomology groups vanish in certain degrees. It is shown that such subschemes share several geometric properties with complete intersections of ample divisors. For example, the Lefschetz hyperplane theorem on rational cohomology holds and the cycle class of an ample subvariety is numerically positive. Using these results, we construct counterexamples to a conjecture of Demailly- Peternell- Schneider on the converse of the Andreotti-Grauert vanishing theorem in complex geometry. The second paper studies the birational structure of hypersurfaces in products of projective spaces. These hypersurfaces are in many respects simple varieties, yet they provide many interesting examples of birational geometry phenomena. For example, they may have infinite birational automorphism groups. In the case of hypersurfaces in JP > m x JP > n, we study their nef, movable and effective cones and determine when they are Mori dream spaces.

In this thesis we lay the foundation for rational degree d as an element of Z[1/p] by using perfectoid analogue of projective space, and consider power series instead of polynomials. We start the groundwork by proving Weierstrass theorems for perfectoid spaces which are analogues of standard Weierstrass theorems in complex analysis. We then move onto defining sheaves for Projective perfectoid analogue and prove perfectoid analogues of Gorthendieck's classication theorem on projective line, Serre's theorem on Cohomology of line bundles. As intermediate results we also compute Picard groups and describe Cartier and Weil divisors for Perfectoid.

La thèse se compose de 6 articles. (1) Nous calculons les générateurs des SA₃(ℝ)-invariants pour les surfaces paraboliques. (2) Nous calculons les invariants rigides relatifs pour les hypersurfaces rigides 2-non-dégénérées de rang de Levi constant 1 dans ℂ³: V₀, I₀, Q₀ ayant 11, 52, 824 monômes au numérateur. (3) Nous organisons tous les modèles affinement homogènes non-dégénérés dans ℂ³ en branches inéquivalentes. (4) Pour un courant harmonique dirigé autour d'une singularité linéarisée non-hyperbolique qui ne charge pas les séparatrices triviales dont l'extension triviale à travers 0 est ddc-fermée, nous démontrons que le nombre de Lelong en 0 est : 4.1) strictement positif si λ>0 ; 4.2) nul si λ est rationnel et négatif ; 4.3) nul si λ est négatif et si T est invariant sous l'action d'un sous-groupe cofini du groupe de monodromie. (5) Nous construisons des fibrés holomorphes en droites en toute dimension n>=2 non-prolongeables au sens de Hartogs. (6) Nous montrons que les matrices circulantes ayant k entrées 1 et k+1 entrées 0 dans leur première rangée sont toujours non singulières lorsque 2k+1 est soit une puissance d'un nombre premier, soit un produit de deux nombres premiers distincts. Pour tout autre entier 2k+1, nous exhibons une matrice circulante singulière
The thesis consists of 6 papers. (1) We calculate the generators of SA₃(ℝ)-invariants for parabolic surfaces. (2) We calculate rigid relative invariants for rigid constant Levi-rank 1 and 2-non-degenerate hypersurfaces in ℂ³: V₀, I₀, Q₀ having 11, 52, 824 monomials in their numerators. (3) We organize all affinely homogeneous nondegenerate surfaces in ℂ³ in inequivalent branches. (4) For a directed harmonic current near a non-hyperbolic linearized singularity which does not give mass to any of the trivial separatrices and whose trivial extension across 0 is ddc-closed, we show that the Lelong number at 0 is: 4.1) strictly positive if the eigenvalue λ>0; 4.2) zero if λ is a negative rational number; 4.3) zero if λ<0 and if T is invariant under the action of some cofinite subgroup of the monodromy group. (5) We construct non-extendable, in the sense of Hartogs, holomorphic line bundles in any dimension n>=2. (6) We show that circulant matrices having k ones and k+1 zeros in the first row are always nonsingular when 2k+1 is either a power of a prime, or a product of two distinct primes. For any other integer 2k+1 we exhibit a singular circulant matrix

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire)
It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

This thesis consists of three scientific papers dealing with invariants of Legendrian and Lagrangian submanifolds. Besides the scientific papers, the thesis contains an introduction to contact and symplectic geometry, and a brief outline of Symplectic field theory with focus on Legendrian contact homology. In Paper I we give an orientation scheme for moduli spaces of rigid flow trees in Legendrian contact homology. The flow trees can be seen as the adiabatic limit of sequences of punctured pseudo-holomorphic disks with boundary on the Lagrangian projection of the Legendrian. So to equip the trees with orientations corresponds to orienting the determinant line bundle of the dbar-operator over the space of Lagrangian boundary conditions on the punctured disk. We define an  orientation of this line bundle and prove that it is well-defined in the limit. We also prove that the chosen orientation scheme gives rise to a combinatorial algorithm for computing the orientation of the trees, and we give an explicit description of this algorithm. In Paper II we study exact Lagrangian cobordisms with cylindrical Legendrian ends, induced by Legendrian isotopies. We prove that the combinatorially defined DGA-morphisms used to prove invariance of Legendrian contact homology for Legendrian knots over the integers can be derived analytically.  This is proved using the orientation scheme from Paper I together with a count of abstractly perturbed flow trees  of the Lagrangian cobordisms. In Paper III we prove a flexibility result for closed, immersed Lagrangian submanifolds in the standard symplectic plane.

Les coefficients de Kronecker, qui sont indexés par des triplets de partitions et décrivent la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles d'un groupe symétrique en somme directe de telles représentations, ont été introduits par Francis Murnaghan dans les années 1930. Il a notamment remarqué un comportement particulier de ces coefficients : à partir de n'importe quel triplet de partitions, on peut construire une certaine suite de coefficients de Kronecker qui est stationnaire.Afin de généraliser cette propriété, John Stembridge a introduit en 2014 une notion de stabilité pour les triplets de partitions, ainsi qu'une autre notion -- celle de triplet faiblement stable -- dont il a conjecturé qu'elle serait équivalente à la précédente. Cette conjecture a été démontrée peu après par Steven Sam et Andrew Snowden, par des méthodes algébriques.Dans cette thèse, on donne notamment une autre démonstration -- cette fois géométrique -- de cette équivalence grâce à l'interprétation classique des coefficients de Kronecker comme dimensions d'espaces de sections de fibrés en droites sur des variétés de drapeaux. Ces méthodes permettent également de s'intéresser à quelques questions plus précises : la stabilité dont on parle consiste en le fait que certaines suites de coefficients sont stationnaires, et on se demande à partir de quand ces suites deviennent constantes.On applique ensuite ces techniques à d'autres exemples de coefficients de branchement, puis on s'intéresse à un autre problème : celui de produire des triplets stables de partitions. On généralise ainsi un résultat obtenu indépendamment par Laurent Manivel et Ernesto Vallejo sur ce sujet
The Kronecker coefficients, which are indexed by triples of partitions and describe how the tensor product of two irreducible representations of the symmetric group decomposes as a direct sum of such representations, were introduced by Francis Murnaghan in the 1930s. He notably noticed a remarkable behaviour of these coefficients: from any triple of partitions, one can construct a particular sequence of Kronecker coefficients which eventually stabilises.In order to generalise this property, John Stembridge introduced in 2014 a notion of stability for triples of partitions, as well as another notion -- of weakly stable triple -- about which he conjectured that it should be equivalent to the previous one. This conjecture was proven shortly after by Steven Sam and Andrew Snowden, with algebraic methods.In this thesis we especially give another proof -- this time geometric -- of this equivalence, using the classical expression of the Kronecker coefficients as dimensions of spaces of sections of line bundles on flag varieties. With these methods we can also be interested in more specific questions: since the stability which we discuss means that some sequences of coefficients stabilise, one can wonder at which point these sequences become constant.We then apply these techniques to other examples of branching coefficients, and are also interested in another problem: how can we produce stable triples of partitions? We thus generalise a result obtained independently by Laurent Manivel and Ernesto Vallejo on this subject

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cette thèse, on se concentre sur G = SL3. Dans le premier chapitre,on montre l’existence d’une filtration à deux étages de H1(μ) et H2(μ) pour μ dans l’adhérence de la région de Griffith. Dans le deuxième chapitre, on montre l’existence d’une p-Hi-D-filtration de Hi(μ) pour tout i et μ, qui généralise la p filtration de H0(μ) introduite par Jantzen. Dans le troisième chapitre, on étudie et détermine la structure des modules apparaissants dans la p-Hi-D-filtration.Dans le dernier chapitre, on donne une description explicite et combinatoire de H2(μ) pour μ dans la région de Griffith et on généralise cette description à Hd(G/B, μ) pour G = SLd+1 et certains poids μ
Let G be a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. The cohomology of G-equivariant line bundles over G/B induced by a character of B are important objects in the representation theory of G. In this thesis, we concentrate on G = SL3. In the first chapter,we prove the existence of a two-step filtration of H1(μ) and H2(μ) when μ is in the closure of the Griffith region. In the second chapter, we prove the existence ofa p-Hi-D-filtration of Hi(μ) for all i and μ, which generalizes the p-filtration ofH0(μ) introduced by Jantzen. In the third chapter, we study and determine the structure of the modules appearing in the p-Hi-D-filtration. In the last chapter,we give an explicit and combinatorial description of H2(μ) for μ in the Griffith region and we generalize this description to Hd(G/B, μ) for G = SLd+1 and certain weights μ

Soit G un groupe algébrique linéaire complexe, simple, connexe et simplement connexe. Étant donné un sous-groupe parabolique P G et un idéal nilpotent n p, il existe un morphisme propre d’effondrement G x P n = Gn. Il se factorise en une variété affine et normale N := SpecC [G P n] que nous appelons variété nilpotente. Sous l’hypothèse que l’effondrement soit génériquement fini, nous décrivons le groupe des classes de diviseurs équivariants de N à l’aide de C[N]-modules réflexifs équivariants de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être choisi comme les sections globales d’un fibré en droite sur G x P' n' où G x P' n' = Gn' est un effondrement possiblement distinct qui se factorise à travers la même variété nilpotente. Dans le cas où le groupe G est de type A ou dans le cas d’un effondrement provenant de certains diagrammes de Dynkin pondérés spécifiques, nous démontrons que les représentants proviennent de poids qui peuvent être choisis comme dominants. Dans ce cas, nous démontrons que si le module représente un élément torsion du groupe des classes, alors il est Cohen–Macaulay. Nous en déduisons un théorème d’annulation en cohomologie.
Let G be a simple, connected, simply connected complex linear algebraic group with parabolic subgroup P G and nilpotent ideal n p. The proper collapsing map G x P n = Gn factors through the normal affine variety N := SpecC [G x P n] which is called a nilpotent variety. Assuming the collapsing is generically finite, we describe the equivariant divisor class group of N using rank 1 reflexive equivariant C[N]-modules. A representative of each class may be chosen as global sections of a line bundle over G x P' n' where G x P' n' = Gn' is a possibly distinct collapsing that factors through the same nilpotent variety. Assuming either G is of type A or the collapsing comes from specific weighted Dynkin diagrams,we showthat each representative arise from a weight that may be chosen dominant. Moreover, if the module represents a torsion element within the class group, then it is Cohen– Macaulay and we deduce a cohomological vanishing theorem.