Tesi sul tema "Positivité de fibrés en droites"

Ce mémoire traite de la positivité locale des fibrés en droites amples. Cette positivité locale est mesurée par les constantes de Seshadri de ces fibrés. Il est conjecturé par Ein et Lazarsfeld que les constantes de Seshadri d'un fibré en droites gros et nef sur une variété projective sont minorées par 1 pour tout point en position très générale. On montre cette conjecture:. Pour tout quel fibré en droites ample sur une variété lisse X de dimension 3 avec -Kx nef,. Pour tout fibré en droites gros et nef adjoint sur une variété X à singularités canoniques de dimension 3 avec K _X nef,. Pour tout fibré en droites ample adjoint et de "grand volume" sur une variété X lisse de dimension 3,. Pour tout fibrÈ en droites ample sur une variété X factorielle, à singularités terminales, presque de Fano et de coindice au plus 3,. Pour tout fibré en droites ample 0 x(D) sur une variété de Fano lisse de dimension 4 verifiant K_X - rD. La preuve de ces résultats utilise l'existence de sections globales non nulles pour certains fibrés en droites. Ceci fait l'objet d'une conjecture de Kawamata, la conjecture de non annulation effective, que l'on prouve en dimension 3 dans le cas des fibrés en droites de "grand volume". Enfin le dernier chapitre traite du caractère uniréglé de certains lieux de base de diviseurs gros et non nefs. De tels diviseurs apparaÎssent naturellement lorsqu'un fibré en droites gros et nef admet de "petites" constantes de Seshadri
This thesis is about local positivity ofample line bundles, mesured by the Seshadri constants ofthis line bundle. It is conjectured by Ein 1 and Lazarsfeld that Seshadri constants of a big and nef line bundle are bounded by below by 1 for each point in very general position. We show this conjecture:. For each ample line bundle on a smooth variety X of dimension 3 with -K_X nef,. For each big and nef adjoint line bundle on a variety X with canonical singularities of dimension 3 with K_X nef,. For each ample adjoint line bundle of « big volume» on a smooth variety X of dimension 3,. For each ample line bundle on a factorial almost Fano variety X, with terminal singularities, and of co-indice at most 3,. For each ample line bundle O(D) on a smooth Fano variety X of dimension 4 such that K_X - rD. The proof of this results use the existence of non-zero global sections for sorne line bundles. There is a conjecture of Kawamata about this and we prove it in dimension 3 for line bundles of « big volume ». The last chapter is about the uniruledness of the base loci of big and non-nef adjoint line bundles. Big and non-nef line bundles appear in a natural way when an ampleline bundle has a « small » Seshadri constant in a point

Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la positivité des diviseurs sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques (IHS). Fixons une variété IHS projective X de dimension complexe 2n. Inspirés par le travail de Bauer, Küronya et Szemberg, nous montrons que le cône big de X a une décomposition localement finie en sous-cônes localement rationnelles polyhédraux, qu'on appelle chambres de Boucksom-Zariski. Ces sous-cônes ont une signification géométrique : sur chacun d'eux, la fonction volume est exprimée par un polynôme homogène de degré 2n. De plus, à l'intérieur de toute chambre de Boucksom-Zariski, la partie divisorielle du lieu base augmenté des diviseurs big reste la même. Après avoir analysé le cône big, nous déterminons la structure du cône pseudo-effectif de X, généralisant ainsi un résultat bien connu de Kovács pour les surfaces K3. En particulier, nous montrons que si le nombre de Picard de X est au moins 3, le cône pseudo-effectif de X est soit circulaire, soit ne contient pas de parties circulaires et est égal à la clôture du cône engendré par les classes des diviseurs premiers exceptionnels. De ce résultat en géométrie convexe, nous déduisons quelques propriétés géométriques de X et nous montrons l'existence de diviseurs rigides uniréglés sur certaines variétés symplectiques singulières. Nous étudions le comportement des lieux de base asymptotiques des diviseurs big sur X et nous en donnons une caractérisation numérique. En conséquence de cette caractérisation numérique, nous obtenons une description des duaux des cônes mathrm{Amp}_k(X), pour tout 1leq k leq 2n, où mathrm{Amp}_k(X) est le cône convexe des classes des diviseurs big ayant le lieu base augmenté de dimension strictement plus petite que k. En utilisant la décomposition divisorielle de Zariski, la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) et la décomposition du cône big de X en chambres de Boucksom-Zariski, nous associons à toute classe de diviseurs big alpha et à un diviseur premier E sur X un polygone Delta_E(alpha), dont la géométrie est liée à la variation de la décomposition divisorielle de alpha dans le cône big de X. Le volume euclidien est exprimé en termes de la forme BBF et est indépendant du choix de E. Nous montrons que ces polygones s'inscrivent dans un cône convexe Delta_E(X) sous forme de tranches, globalisant ainsi la construction. En conclusion, nous montrons que sous certaines hypothèses, les polygones Delta_E(alpha) peuvent être écrits comme une somme de Minkowski de certains polygones {Delta_E(Beta_i)}_{iin I}, pour certaines classes big {Beta_i}_{i in I}. Il est remarquable que ces polygones se comportent comme les corps de Newton-Okounkov des diviseurs big sur les surfaces projectives lisses
In this thesis, we study some aspects of the positivity of divisors on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds. Fix a projective IHS manifold X of complex dimension 2n. Inspired by the work of Bauer, Küronya, and Szemberg, we show that the big cone of X has a locally finite decomposition into locally rational polyhedral subcones, called Boucksom-Zariski chambers. These subcones have a geometric meaning: on any of them, the volume function is expressed by a homogeneous polynomial of degree 2n. Furthermore, in the interior of any Boucksom-Zariski chamber, the divisorial part of the augmented base locus of big divisors stays the same. After analyzing the big cone, we determine the structure of the pseudo-effective cone of X, generalizing a well-known result due to Kovács for K3 surfaces. In particular, we show that if the Picard number of X is at least 3, the pseudo-effective cone either is circular or does not contain circular parts and is equal to the closure of the cone generated by the prime exceptional divisor classes. From this result in convex geometry, we deduce some geometric properties of X and show the existence of rigid uniruled divisors on some singular symplectic varieties. We study the behaviour of the asymptotic base loci of big divisors on X, and we provide a numerical characterization for them. As a consequence of this numerical characterization, we obtain a description for the dual of the cones mathrm{Amp}_k(X), for any 1leq k leq 2n, where mathrm{Amp}_k(X) is the convex cone of big divisor classes having the augmented base locus of dimension strictly smaller than k. Using the divisorial Zariski decomposition, the Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) form, and the decomposition of the big cone of X into Boucksom-Zariski chambers, we associate to any big divisor class alpha and a prime divisor E on X a polygon Delta_E(alpha) whose geometry is related to the variation of the divisorial Zariski decomposition of alpha in the big cone. Its euclidean volume is expressed in terms of the BBF form and is independent of the choice of E. We show that these polygons fit in a convex cone Delta_E(X) as slices, globalizing in this way the construction. To conclude, we show that under some hypothesis, the polygons Delta_E(alpha) can be expressed as a Minkowski sum of some polygons {Delta_E(Beta_i)}_{i in I}, for some big classes {Beta_i}_{_ iin I}. Remarkably, these polygons behave like the Newton-Okounkov bodies of big divisors on smooth projective surfaces

L'objectif de cette thèse consiste en l'étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la $\Gamma$-réduction d'une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l'espace quotient est par définition la $\Gamma$-dimension d'une telle variété. Les grandes lignes de l'étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l'existence de formes holomorphes $L^2$ sur le revêtement universel, comportement de la $\Gamma$-dimension dans les fibrations, place de la $\Gamma$-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type $\pi_1$-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l'étude de l'invariance par déformation de la $\Gamma$-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d'extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d'extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d'une variété projective, fibre générale de la $\Gamma$-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.

Ce travail est consacré à l'étude des fibres vectoriels stables de rang deux sur les espaces projectifs de dimension deux et trois dont le schéma des droites de saut est de dimension anormalement grande. Dans l'espace projectif de dimension trois, on montre que l'ensemble des plans instables pour un fibré donné est réunion finie de droites et de points. Sur le plan projectif on étudie des fibrés introduits par Schwarzenberger. Ces fibrés sont obtenus par image directe de fibrés en droite sur une quadrique lisse qui est un revêtement double du plan projectif ramifié le long d'une conique non singulière du plan. Les droites de saut de ces fibres sont les droites tangentes à la conique de ramification. On vérifie tout d'abord que le schéma des droites multisauteuses est un diviseur. Plus précisément ce diviseur est un multiple de la conique duale de la ramification. Cette multiplicité dépend de l'ordre de saut. On étudie ensuite le schéma des zéros des sections de ces fibrés et on en déduit directement des résultats classiques concernant les courbes de Poncelet. Enfin, dans la suite de ce texte, on conjecture que les seuls fibrés dont le schéma des droites de saut est un diviseur supporté par une conique lisse sont les fibrés de Schwarzenberger. On prouve cette conjecture lorsque l'ordre de saut est égal à un, et on donne plusieurs caractérisations des fibres de Schwarzenberger qui devraient permettre de montrer cette conjecture sans hypothèse restrictive.

L'étude des espaces fibrés est un sujet très important dans la géométrie complexe. Cette thèse traite l'étude des fibres en droites affines sur les espaces complexes. Les fibres en droites affines sont une généralisation naturelle des fibres en droites. La première partie de cette thèse examine le problème des modules classiques. En analogie avec le problème linéaire, un foncteur de Picard affine est définie. On démontre que cette espace de modules sera pas Hausdorff, sauf dans les cas triviaux puis une théorie utilisant les repères est développé. Une critère exacte de la représentabilité est donnée. L'existence d'une espace des modules est très rare entrainant la nécessité d'un approche plus moderne, l'utilisation de champs. Une théorie autour d'extensions scindées à chaque fibre est introduite. Cette méthode est très générale et pourrait être intéressante en soi. Sur un espace complexe projective X, elle permet d'identifier le champs de fibre en droite affine avec un champs quotient de fibre linéaire sur le schéma de Picard Pic(X). Par la suite, le type d'homotopie de ce champ est calculé
The study of fibre bundles is an important subject in complex geometry. This thesis considers the particular case of affine line bundles over complex spaces. Affine line bundles are a natural generalisation of line bundles. The first part of this thesis studies the classical moduli problem and the existence of fine moduli spaces. In analogy to the study of line bundles, an affine Picard functor is defined. It is shown that this moduli space will (unless trivial) not be Hausdorff which leads to the study of framed affine line bundles. An exact criterion for the existence of a moduli space for this problem is given. Since the existence of such moduli spaces is very rare, the modern approach of stacks is used in the second part. To give a simpler description of this stack, the theory of fibrewise split extensions is developed. This theory is very general and is of independent interest. For a complex projective variety X, this approach allows to identify the stack of affine line bundles with a quotient stack of linear fibre spaces over the Picard scheme Pic(X). As an application, the homotopy type of this stack is calculated

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où p:S ? X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L ? X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' ? Y sur un X-schéma d:Y ? X, de telle sorte que l'action de d*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes
On a affine algebraic variety S defined over a field k of characteristic zer o, there exists a well-known correspondence between algebraic actions of the add itive group k+=(k,+) and locally nilpotent derivations of the algebra of regular functions on S. Here we extend this equivalence between actions and derivations to the following relative situation : p:S ? X is a scheme over a fixed base scheme X, which comes equipped with an algebraic action of a l ine bundle p:L?X over X. We study a special sub-class of schemes S as above, with the additional property that p:S ? X factors through the structural morphism p':S?Y of a principal homogeneous bundle under a line bundle p':L'?Y over an X-scheme d:Y?X, in such a way that the action of d*L on S factors through the one of L'. We call them Danielewski-Fieseler schemes. We give different procedures to construct these schemes. In particular, in case that the base scheme X is affine, we give an algorithm which produces explicit embeddings of these schemes in relatives affine spaces over X. Then we study the case that the base scheme X is isomorphic to the affine line over a field k of characteristic zero. In this case, we establish that a Danielewski-Fieseler scheme is uniquely determined by a combinatorial data consisting of a weighted rooted tree. We classify these schemes through their associated trees. Finally, we give a combinatorial characterization of those schemes which admit many actions of the additive group k+ with distinct gener al orbits

L'objet de cette these est l'etude des proprietes de positivite algebriques, analytiques et co-homologiques des fibres vectoriels holomorphes sur les varietes kahleriennes compactes lisses. Dans la premiere partie, nous decrivons les proprietes de positivite algebriques et analytiques des fibres vectoriels obtenus comme images directes par des morphismes lisses de fibres en droites numeriquement effectifs adjoints par le fibre canonique relatif. Dans la deuxieme partie, nous etendons aux varietes kahleriennes compactes le theoreme, du a f. Bogomolov, d'annulation des espaces de p-formes holomorphes a valeurs dans un fibre en droites de dual numeriquement effectif. La troisieme partie, motivee par les travaux de m. Green et r. Lazarsfeld, est consacree aux theoremes d'annulation generique des groupes de cohomologie de fibres vectoriels semi-negatifs. Nous decrivons aussi la structure des lieux exceptionnels de cohomologie

L'objet principal de cette these est l'etude des fibres en droites numeriquement effectifs sur les varietes complexes compactes et les proprietes des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef. Dans une premiere partie, nous demontrons que la notion d'effectivite numerique, generalisee au sens de la courbure des metriques hermitiennes, est invariante par image inverse via les morphismes surjectifs entre varietes complexes compactes. Dans le cadre des varietes de moishezon, ceci implique l'equivalence des deux formulations de l'effectivite numerique, au sens de la courbure d'une part, au sens algebrique usuel de la non-negativite du degre sur les courbes d'autre part. En utilisant des techniques analytiques de j. -p. Demailly, nous donnons ensuite deux caracterisations de cette notion en termes de restrictions a des sous-varietes analytiques. Dans la seconde partie, nous nous interessons principalement aux proprietes du groupe fondamental et des 1-formes holomorphes des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef, en nous appuyant sur les outils de la geometrie des espaces a courbure de ricci minoree. En combinant des techniques de demailly, peternell et schneider avec une version du lemme de margulis demontre par cheeger-colding, nous montrons la presque-nilpotence du groupe fondamental des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef. Pour certaines classes de telles varietes, nous ameliorons nettement ce resultat et demontrons que le groupe fondamental est presque abelien. En ce qui concerne les 1-formes holomorphes, nous demontrons que la dimension de l'espace vectoriel qu'elles engendrent est toujours majore par la dimension complexe de la variete. Nous obtenons egalement des informations qualitatives pour les 1-formes holomorphes, en estimant la variation en moyenne de leur norme. Comme application, nous donnons une reponse partielle a une conjecture de demailly, peternell et schneider.

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cette thèse, on se concentre sur G = SL3. Dans le premier chapitre,on montre l’existence d’une filtration à deux étages de H1(μ) et H2(μ) pour μ dans l’adhérence de la région de Griffith. Dans le deuxième chapitre, on montre l’existence d’une p-Hi-D-filtration de Hi(μ) pour tout i et μ, qui généralise la p filtration de H0(μ) introduite par Jantzen. Dans le troisième chapitre, on étudie et détermine la structure des modules apparaissants dans la p-Hi-D-filtration.Dans le dernier chapitre, on donne une description explicite et combinatoire de H2(μ) pour μ dans la région de Griffith et on généralise cette description à Hd(G/B, μ) pour G = SLd+1 et certains poids μ
Let G be a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. The cohomology of G-equivariant line bundles over G/B induced by a character of B are important objects in the representation theory of G. In this thesis, we concentrate on G = SL3. In the first chapter,we prove the existence of a two-step filtration of H1(μ) and H2(μ) when μ is in the closure of the Griffith region. In the second chapter, we prove the existence ofa p-Hi-D-filtration of Hi(μ) for all i and μ, which generalizes the p-filtration ofH0(μ) introduced by Jantzen. In the third chapter, we study and determine the structure of the modules appearing in the p-Hi-D-filtration. In the last chapter,we give an explicit and combinatorial description of H2(μ) for μ in the Griffith region and we generalize this description to Hd(G/B, μ) for G = SLd+1 and certain weights μ

Ce mémoire est une synthèse des résultats que j'ai obtenus depuis une dizaine d'années; il est divisé en trois parties : 1. Géométrie classique 2. Fibrés vectoriels 3. Géométrie classique et Fibrés vectoriels. L'objectif de ce va et vient entre géométrie classique et fibrés vectoriels est de démontrer des résultats de géométrie élémentaire avec le langage moderne des fibrés vectoriels mais aussi de démontrer des résultats sur les fibrés en utilisant des théorèmes de géométrie élémentaire. En guise d'illustration nous associons par exemple : - Revêtement du plan et fibrés vectoriels, - Variétés de sécantes de courbes rationnelles et fibrés de Schwarzenberger, - Variétés de Poncelet et déterminant de sections globales d'un fibré donné, - Coniques Poncelet associées (polygones de Poncelet) et coniques de saut, - Arrangements d'hyperplans et fibrés logarithmiques, - Variétés discriminants et droites de saut des fibrés logarithmiques.

Nous etablissons differentes generalisations des theoremes d'annulation connus pour la cohomologie de dolbeault des fibres vectoriels holomorphes amples sur les varietes complexes projectives. Nous suivons pour cela la demarche classique, qui consiste, via des arguments de suite spectrale, a se ramener a des fibres en droites sur des varietes de drapeaux du fibre vectoriel considere. La cohomologie des fibres homogenes sur les varietes de drapeaux intervient ainsi de maniere essentielle. La premiere partie de cette these mene donc une etude approfondie du cas de la grassmannienne, pour lequel le theoreme de bott et la formule de cauchy permettent des calculs explicites. Nous deduisons de nos resultats des theoremes d'annulation pour les puissances exterieures et symetriques d'un fibre ample, le premier prolongeant deux enonces de le potier, le second etendant le theoreme de griffiths en bidegre quelconque. Nous montrons au passage que la suite spectrale de borel-le potier ne degenere uniformement en aucun degre. Pour ce qui concerne la cohomologie des images d'un fibre ample par des representations plus generales du groupe lineaire, nous donnons un theoreme d'annulation, en degre maximal, pour une representation dont le poids dominant admet des composantes negatives. La suite spectrale de borel-le-potier nous permet d'en deduire une reponse partielle a une conjecture de jean-pierre demailly. Dans la derniere partie de cette these, nous appliquons les estimations l#2 de hormander a l'etude d'un probleme de prolongement, sous des hypotheses de positivite, des sections d'un fibre en droites definies sur une sous-variete d'une variete de stein ou projective, lorsque cette sous-variete est le lieu des zeros d'une section holomorphe d'un fibre hermitien

Le but de cette thèse est de considérer différentes questions sur les groupes projectifs et sur les arrangements de droites dans le plan projectif. Un groupe projectif est un groupe qui est isomorphe au groupe fondamental d'une variété projective lisse complexe. Pour étudier les groupes projectifs, des techniques sophistiquées de topologie algébrique et de géométrie algébrique ont été développées pendant les dernières décennies, par exemple la théorie des variétés caractéristiques combinée avec la théorie de Hodge s'est montrée être un outil puissant. Les arrangements de droites dans le plan projectif ont une place centrale dans l'étude des groupes projectifs. En effet, il y a beaucoup de questions ouvertes sur les groupes projectifs, et la théorie des arrangements d'hyperplans, en particulier celle des arrangements de droites, qui est un domaine très actif de recherche, peut suggérer des solutions à ces problèmes. En outre, les problèmes sur les groupes fondamentaux de complémentaires des arrangements d'hyperplans peuvent être réduits au cas des arrangements de droites, en utilisant le bien connu Théorème de Zariski du type de Lefschetz. Assez souvent, pour étudier les groupes projectifs ou quasi-projectifs, on considère d'abord les arrangements de droites pour obtenir des idées intuitives. Dans cette thèse nous obtenons aussi des résultats d'intérêts indépendants, par exemple sur les morphismes définis sur un produit d'espaces projectifs dans le Chapitre 4, sur la fibre générale de certains morphismes dans le Chapitre 5 et les critères sur les surfaces de type générales au Chapitre 7
The objective of this thesis is to investigate various questions about projective groups and line arrangements in the projective plane. A projective group is a group which is isomorphic to the fundamental group of a smooth complex projective variety. To study projective groups, sophisticated techniques in algebraic topology and algebraic geometry have been developed in the passed decades, for instance, the theory of cohomology jump loci, together with Hodge theory, has been proven a powerful tool. Line arrangements in the projective plane are of special interest in the study of projective groups. Indeed, there are many open questions related to projective groups, and the theory of hyperplane arrangements, and in particular that of line arrangements, which is quite an active area of research, may provide insights for these problems. Furthermore, problems concerning the fundamental groups of the complements of hyperplane arrangements can be reduced to the case of line arrangements, due to the celebrated Zariski theorem of Lefschetz type. Very often, in the study of projective groups or quasi-projective groups, one usually considers line arrangements first to get some intuitive ideas. In this thesis, we also prove some theorems that are of independent interest and can be used elsewhere, for instance, we prove properties concerning morphisms from products of projective spaces in Chapter 4, we show that some morphisms have generic connected fibers in Chapter 5 and we give criteria for a projective surface to be of general type in Chapter 7

Ce mémoire de thèse est consacré à l'étude de fibré en droites semipositif en géométrie analytique non-Archimédienne, par un point de vue d'analyse fonctionnelle sur un corps ultramétrique en exploitant la géométrie de la convexité holomorphe. Le premier chapitre recueille quelques préliminaires pour l'algèbre de Banach sur un corps ultramétrique et la géométrie de son spectre au sens de Berkovich, le cadre dans lequel l'étude est effectuée. Le deuxième chapitre présente la construction de base, qui encode la géométrie intervenante dans certaines algèbres de Banach. On associe une algèbre normée de section à un fibré en droites métrisé. On décrit son spectre, en le reliant avec le fibré en disques unités duals de ce fibré en droites muni de la métrique enveloppante. On encode alors la positivité métrique par la convexité holomorphe. Le troisième chapitre consiste en deux approches indépendantes pour le problème d'extension métrique de sections restreintes sur une sous-variété fermée. On obtient une borne supérieure pour la distorsion métrique asymptotique, qui est uniforme par rapport aux choix de sections restreintes. On utilise une propriété particulière aux normes affinoïdes pour obtenir cette inégalité. Le quatrième chapitre traite le problème de la régularité de métrique enveloppante. Avec un nouveau regard venant d'analyse holomorphe à plusieurs variables, on vise à montrer que, quand le fibré en droites est ample, la métrique enveloppante est continue si la métrique de départ l’est. On suggère une méthode tentative reposant sur un analogue non archimédien spéculatif d'un résultat sur la convexité holomorphe due à Cartan et Thullen
This thesis is devoted to the study of semi-positively metrized line bundles in non-Archimedean analytic geometry, with the point of view of functional analysis over an ultra-metric field exploiting the geometry related to holomorphic convexity. The first chapter gathers some preliminaries about Banach algebras over ultra-metric fields and the geometry of their spectrum in the sense of V. Berkovich, which is the framework of our study. The second chapter present the basic construction, which encodes the related geometric information into some Banach algebra. We associate the normed algebra of sections of a metrized line bundle. We describe its spectrum, relating it with the dual unit disc bundle of this line bundle with respect to the envelope metric. We thus encode the metric positivity into the holomorphic convexity of the spectrum. The third chapter consists of two independent for the normed extension problem for restricted sections on a sub-variety. We obtain an upper bound for the asymptotic norm distorsion between the restricted section and the extended one, which is uniform with respect to the choice of restricted sections. We use a particular property of affinoid algebras to obtain this inequality. The fourth chapter treat the problem of regularity of the envelope metric. With a new look from the holomorphic analysis of several variables, we aime at showing that on ample line bundles, the envelop metric is continuous once the original metric is. We suggest a tentative approach based on a speculative analogue of Cartan-Thullen’s result in the non-Archimedean setting

Le but de cette thèse est d'étudier la structure galoisienne de torseurs sous des schémas en groupes finis (ou quasi-finis) et plats. Pour cela, nous utilisons (et généralisons) un homomorphisme défini par W. Waterhouse, ainsi que le << class invariant homomorphism >> défini par M. J. Taylor.

Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés fonctorielles de ces homomorphismes. Nous en déduisons une généralisation de résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau du class invariant homomorphism pour les variétés abéliennes ayant partout bonne réduction qui sont isogènes à un produit de courbes elliptiques.

Dans le chapitre II, nous donnons une lecture du class invariant homomorphism dans le langage des 1-motifs.

Dans le chapitre III, nous généralisons la construction du class invariant homomorphism pour un sous-groupe fini et plat d'un schéma en groupes semi-stable (sur un schéma de base intègre, normal et noethérien) dont la fibre générique est une variété abélienne. Nous étendons également les résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas à cette situation.

Dans le chapitre IV, nous généralisons la construction du chapitre III en considérant un sous-groupe fermé, quasi-fini et plat du modèle de Néron d'une variété abélienne (la base étant un schéma de Dedekind). Ceci nous permet de généraliser un résultat arakélovien du à Agboola et Pappas.

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire)
It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

On étudie la notion de trace et les problèmes d'Abel-inverse à
l'aide du calcul résiduel dans les cadres projectifs et toriques.
Dans la première partie, on obtient une caractérisation algébrique des formes traces sur une hypersurface analytique à l'aide du calcul résiduel élémentaire d'une variable. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse de Henkin et Passare est prouvée. On montre que ce théorème est conséquence de la rigidité d'un système différentiel particulier lié à une équation de type ”onde de choc” et on établit le lien avec le théorème de Wood sur l'algébricité d'une famille de germes d'hypersurfaces analytiques. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des formes abéliennes de degré maximal sur une hypersurface projective.
Dans la seconde partie, on caractérise de manière combinatoire les familles de fibrés en droites permettant de définir une notion intrinsèque de concavité dans une variété torique complète lisse et on étudie les ensembles analytiques dégénérés correspondants. On étend ainsi la notion de trace au cas torique. Courants résidus, résidus toriques et résultants donnent une borne optimale sur le degrés des traces en les différents paramètres. Si la variété torique est projective, on obtient finalement une version torique des théorèmes de Wood et d'Abel-inverse, permettant une description plus précise du support du polynôme construit dans le cas hypersurface.

Les coefficients de Kronecker, qui sont indexés par des triplets de partitions et décrivent la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles d'un groupe symétrique en somme directe de telles représentations, ont été introduits par Francis Murnaghan dans les années 1930. Il a notamment remarqué un comportement particulier de ces coefficients : à partir de n'importe quel triplet de partitions, on peut construire une certaine suite de coefficients de Kronecker qui est stationnaire.Afin de généraliser cette propriété, John Stembridge a introduit en 2014 une notion de stabilité pour les triplets de partitions, ainsi qu'une autre notion -- celle de triplet faiblement stable -- dont il a conjecturé qu'elle serait équivalente à la précédente. Cette conjecture a été démontrée peu après par Steven Sam et Andrew Snowden, par des méthodes algébriques.Dans cette thèse, on donne notamment une autre démonstration -- cette fois géométrique -- de cette équivalence grâce à l'interprétation classique des coefficients de Kronecker comme dimensions d'espaces de sections de fibrés en droites sur des variétés de drapeaux. Ces méthodes permettent également de s'intéresser à quelques questions plus précises : la stabilité dont on parle consiste en le fait que certaines suites de coefficients sont stationnaires, et on se demande à partir de quand ces suites deviennent constantes.On applique ensuite ces techniques à d'autres exemples de coefficients de branchement, puis on s'intéresse à un autre problème : celui de produire des triplets stables de partitions. On généralise ainsi un résultat obtenu indépendamment par Laurent Manivel et Ernesto Vallejo sur ce sujet
The Kronecker coefficients, which are indexed by triples of partitions and describe how the tensor product of two irreducible representations of the symmetric group decomposes as a direct sum of such representations, were introduced by Francis Murnaghan in the 1930s. He notably noticed a remarkable behaviour of these coefficients: from any triple of partitions, one can construct a particular sequence of Kronecker coefficients which eventually stabilises.In order to generalise this property, John Stembridge introduced in 2014 a notion of stability for triples of partitions, as well as another notion -- of weakly stable triple -- about which he conjectured that it should be equivalent to the previous one. This conjecture was proven shortly after by Steven Sam and Andrew Snowden, with algebraic methods.In this thesis we especially give another proof -- this time geometric -- of this equivalence, using the classical expression of the Kronecker coefficients as dimensions of spaces of sections of line bundles on flag varieties. With these methods we can also be interested in more specific questions: since the stability which we discuss means that some sequences of coefficients stabilise, one can wonder at which point these sequences become constant.We then apply these techniques to other examples of branching coefficients, and are also interested in another problem: how can we produce stable triples of partitions? We thus generalise a result obtained independently by Laurent Manivel and Ernesto Vallejo on this subject

L'objet d'étude de ce mémoire est la géométrie des courbes holomorphes entières à valeurs dans le complémentaire d'hypersurfaces génériques de l'espace projectif complexe. Les conjectures célèbres de Kobayashi et de Green-Griffiths énoncent que pour de telles hypersurfaces, de grand degré, les images de ces courbes entières doivent satisfaire certaines contraintes algébriques. En adaptant les techniques de jets développées notamment par Bloch, Green-Griffiths, Demailly, Siu, Diverio-Merker-Rousseau, pour les courbes à valeurs dans une hypersurface projective (cas dit compact), nous obtenons la dégénérescence algébrique des courbes entières f : ℂ→Pⁿ∖Xd (cas dit logarithmique), pour les hypersurfaces génériques Xd de Pⁿ de degré d ≥ (5n)² nⁿ. Comme dans le cas compact, notre preuve repose essentiellement sur l'élimination algébrique de toutes les dérivées dans des équations différentielles qui sont vérifiées par toute courbe entière non constante. L'existence de telles équations différentielles est obtenue grâce aux inégalités de Morse holomorphes et à une variante simplifiée d'une formule de résidus originalement élaborée par Bérczi à partir de la formule de localisation équivariante d'Atiyah-Bott. La borne effective d ≥ (5n)² nⁿ est obtenue par réduction radicale d'un calcul de résidus itérés de très grande ampleur. Ensuite, la déformation de ces équations différentielles par dérivation le long de champs de vecteurs obliques, dont l'existence est ici généralisée et clarifiée, nous permet d'engendrer suffisamment de nouvelles équations pour réaliser l'élimination algébrique finale évoquée ci-dessus
The topic of this memoir is the geometry of holomorphic entire curves with values in the complement of generic hypersurfaces of the complex projective space. The well-known conjectures of Kobayashi and of Green-Griffiths assert that for such hypersurfaces, having large degree, the images of these curves shall fulfill algebraic constraints. By adapting the jet techniques developed notably by Bloch, Green-Griffiths, Demailly, Siu, Diverio-Merker-Rousseau, in the case of curves with values in projective hypersurfaces (so-called compact case), we obtain the algebraic degeneracy of entire curves f : ℂ→Pⁿ∖Xd (so called logarithmic case), for generic hypersurfaces Xd in Pⁿ of degree d ≥ (5n)² nⁿ. As in the compact case, our proof essentially relies on the algebraic elimination of all derivatives in differential equations that are satisfied by every nonconstant entire curve. The existence of such differential equations is obtained thanks to the holomorphic Morse inequalities and a simplified variant of a residue formula firstly developed by Bérczi from the Atiyah-Bott equivariant localization formula. The effective lower bound d ≥ (5n)² nⁿ is obtained by radically simplifying a huge iterated residue computation. Next, the deformation of these differential equations by derivation along slanted vector fields, the existence of which is here generalized and clarified, allows us to generate sufficiently many new differential equations in order to realize the final algebraic elimination mentioned above

Cette thèse étudie les équidistributions de zéros de sections holomorphesaléatoires de fibrés en droites pour les mesures modérées. Elle consiste en deuxparties.Dans la première partie, nous construisons une famille étendue de mesuressingulières modérées sur des espaces projectifs. Ces mesures sont générées pardes fonctions quasi-plurisousharmoniques avec les potentiels höldériens.Le deuxième partie traite une propriété d' équidistribution dans un contextegénéral. Nous établissons un théorème d'équidistribution dans le cas dequelques fibrés en droites gros munis de métriques singulières. Une vitesse deconvergence précise pour l'équidistribution est obtenue
This thesis investigates the equidistributions of zeros of random holomorphic sections of line bundles for moderate measures. It consists of two parts. In the first part, we construct a large family of singular moderate measures on projective spaces. These measures are generated by quasi-plurisubharmonic functions with Holder potentials.The second part deals with an equidistribution property in general settings. We establish an equidistribution theorem in the case of several big line bundles endowed with singular metrics. A precise convergence speed for the equidistribution is obtained

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où π:S → X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L → X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' → Y sur un X-schéma δ:Y → X, de telle sorte que l'action de δ*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes.

Dans cette thèse, on étudie comment la positivité du fibré tangent d'une variété projective complexe infl uence la géométrie de la variété sous-jacente. Dans la première partie, on étudie les variétés (principalement les surfaces) dont le fibré tangent est pseudo-effectif. Dans la deuxième partie on montre que pour un entier strictement positif p, si la puissance tensorielle p-ème du fibré tangent d'une variété projective contient la puissance p-ème d'un fibré en droites ample, alors la variété est isomorphe à un espace projectif ou à une quadrique.

On dispose de deux notions de positivité pour les (1,1)-classes de cohomologies d'une variété complexe: l'effectivité numérique, induite par la positivité au sens de Lelong des formes différentielles, et la pseudoeffectivité, plus faible, induite par celle des courants. Dans une première partie, nous construisons des obstructions locales à l'effectivité numérique d'une classe pseudoeffective, ce qui permet de la décomposer en une partie nef en codimension un et un diviseur exceptionnel. Dans un second temps, nous nous intéressons au volume d'un fibré en droites, qui est un invariant mesurant sa positivité. Nous en donnons une interprétation en terme de géométrie différentielle, et nous montrons comment ce volume s'inscrit dans une théorie de l'``intersection mobile'', qui ne conserve que les parties numériquement effectives des classes de cohomologie. Finalement, nous étudions le cas des surfaces et des variétés hyperkähleriennes, pour lesquelles la géométrie de la forme d'intersection permet une description plus détaillée de ces constructions.

Soit G un groupe algébrique linéaire complexe, simple, connexe et simplement connexe. Étant donné un sous-groupe parabolique P G et un idéal nilpotent n p, il existe un morphisme propre d’effondrement G x P n = Gn. Il se factorise en une variété affine et normale N := SpecC [G P n] que nous appelons variété nilpotente. Sous l’hypothèse que l’effondrement soit génériquement fini, nous décrivons le groupe des classes de diviseurs équivariants de N à l’aide de C[N]-modules réflexifs équivariants de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être choisi comme les sections globales d’un fibré en droite sur G x P' n' où G x P' n' = Gn' est un effondrement possiblement distinct qui se factorise à travers la même variété nilpotente. Dans le cas où le groupe G est de type A ou dans le cas d’un effondrement provenant de certains diagrammes de Dynkin pondérés spécifiques, nous démontrons que les représentants proviennent de poids qui peuvent être choisis comme dominants. Dans ce cas, nous démontrons que si le module représente un élément torsion du groupe des classes, alors il est Cohen–Macaulay. Nous en déduisons un théorème d’annulation en cohomologie.
Let G be a simple, connected, simply connected complex linear algebraic group with parabolic subgroup P G and nilpotent ideal n p. The proper collapsing map G x P n = Gn factors through the normal affine variety N := SpecC [G x P n] which is called a nilpotent variety. Assuming the collapsing is generically finite, we describe the equivariant divisor class group of N using rank 1 reflexive equivariant C[N]-modules. A representative of each class may be chosen as global sections of a line bundle over G x P' n' where G x P' n' = Gn' is a possibly distinct collapsing that factors through the same nilpotent variety. Assuming either G is of type A or the collapsing comes from specific weighted Dynkin diagrams,we showthat each representative arise from a weight that may be chosen dominant. Moreover, if the module represents a torsion element within the class group, then it is Cohen– Macaulay and we deduce a cohomological vanishing theorem.