Letteratura scientifica selezionata sul tema "Hirshfeld Atom Refinement"

Hirshfeld atom refinement (HAR) is a method which determines structural parameters from single-crystal X-ray diffraction data by using an aspherical atom partitioning of tailor-madeab initioquantum mechanical molecular electron densities without any further approximation. Here the original HAR method is extended by implementing an iterative procedure of successive cycles of electron density calculations, Hirshfeld atom scattering factor calculations and structural least-squares refinements, repeated until convergence. The importance of this iterative procedure is illustratedviathe example of crystalline ammonia. The new HAR method is then applied to X-ray diffraction data of the dipeptide Gly–L-Ala measured at 12, 50, 100, 150, 220 and 295 K, using Hartree–Fock and BLYP density functional theory electron densities and three different basis sets. All positions and anisotropic displacement parameters (ADPs) are freely refined without constraints or restraints – even those for hydrogen atoms. The results are systematically compared with those from neutron diffraction experiments at the temperatures 12, 50, 150 and 295 K. Although non-hydrogen-atom ADPs differ by up to three combined standard uncertainties (csu's), all other structural parameters agree within less than 2 csu's. Using our best calculations (BLYP/cc-pVTZ, recommended for organic molecules), the accuracy of determining bond lengths involving hydrogen atoms from HAR is better than 0.009 Å for temperatures of 150 K or below; for hydrogen-atom ADPs it is better than 0.006 Å2as judged from the mean absolute X-ray minus neutron differences. These results are among the best ever obtained. Remarkably, the precision of determining bond lengths and ADPs for the hydrogen atoms from the HAR procedure is comparable with that from the neutron measurements – an outcome which is obtained with a routinely achievable resolution of the X-ray data of 0.65 Å.

When calculating derivatives of structure factors, there is one particular term (the derivatives of the atomic form factors) that will always be zero in the case of tabulated spherical atomic form factors. What happens if the form factors are non-spherical? The assumption that this particular term is very close to zero is generally made in non-spherical refinements (for example, implementations of Hirshfeld atom refinement or transferable aspherical atom models), unless the form factors are refinable parameters (for example multipole modelling). To evaluate this general approximation for one specific method, a numerical differentiation was implemented within the NoSpherA2 framework to calculate the derivatives of the structure factors in a Hirshfeld atom refinement directly as accurately as possible, thus bypassing the approximation altogether. Comparing wR 2 factors and atomic parameters, along with their uncertainties from the approximate and numerically differentiating refinements, it turns out that the impact of this approximation on the final crystallographic model is indeed negligible.

Hirshfeld atom refinement is one of the most successful methods for the accurate determination of structural parameters for hydrogen atoms from X-ray diffraction data. This work introduces a generalization of the method [generalized atom refinement (GAR)], consisting of the application of various methods of partitioning electron density into atomic contributions. These were tested on three organic structures using the following partitions: Hirshfeld, iterative Hirshfeld, iterative stockholder, minimal basis iterative stockholder and Becke. The effects of partition choice were also compared with those caused by other factors such as quantum chemical methodology, basis set, representation of the crystal field and a combination of these factors. The differences between the partitions were small in terms of R factor (e.g. much smaller than for refinements with different quantum chemistry methods, i.e. Hartree–Fock and coupled cluster) and therefore no single partition was clearly the best in terms of experimental data reconstruction. In the case of structural parameters the differences between the partitions are comparable to those related to the choice of other factors. We have observed the systematic effects of the partition choice on bond lengths and ADP values of polar hydrogen atoms. The bond lengths were also systematically influenced by the choice of electron density calculation methodology. This suggests that GAR-derived structural parameters could be systematically improved by selecting an optimal combination of the partition and quantum chemistry method. The results of the refinements were compared with those of neutron diffraction experiments. This allowed a selection of the most promising partition methods for further optimization of GAR settings, namely the Hirshfeld, iterative stockholder and minimal basis iterative stockholder.

For the structure of fluconazole [systematic name: 2-(2,4-difluorophenyl)-1,3-bis(1H-1,2,4-triazol-1-yl)propan-2-ol] monohydrate, C13H12F2N6O·H2O, a case study on different model refinements is reported, based on single-crystal X-ray diffraction data measured at 100 K with CuKα radiation to a resolution of sin θ/λ of 0.6 Å−1. The structure, anisotropic displacement parameters (ADPs) and figures of merit from the independent atom model are compared to `invariom' and `Hirshfeld atom' refinements. Changing from a spherical to an aspherical atom model lowers the figures of merit and improves both the accuracy and the precision of the geometrical parameters. Differences between results from the two aspherical-atom refinements are small. However, a refinement of ADPs for H atoms is only possible with the Hirshfeld atom density model. It gives meaningful results even at a resolution of 0.6 Å−1, but requires good low-order data.

Hirshfeld atom refinement (HAR) is one of the most effective methods for obtaining accurate structural parameters for hydrogen atoms from X-ray diffraction data. Unfortunately, it is also relatively computationally expensive, especially for larger molecules due to wavefunction calculations. Here, a fragmentation approach has been tested as a remedy for this problem. It gives an order of magnitude improvement in computation time for larger organic systems and is a few times faster for metal–organic systems at the cost of only minor differences in the calculated structural parameters when compared with the original HAR calculations. Fragmentation was also applied to polymeric and disordered systems where it provides a natural solution to problems that arise when HAR is applied. The concept of fragmentation is closely related to the transferable aspherical atom model (TAAM) and allows insight into possible ways to improve TAAM. Hybrid approaches combining fragmentation with the transfer of atomic densities between chemically similar atoms have been tested. An efficient handling of intermolecular interactions was also introduced for calculations involving fragmentation. When applied in fragHAR (a fragmentation approach for polypeptides) as a replacement for the original approach, it allowed for more efficient calculations. All of the calculations were performed with a locally modified version of Olex2 combined with a development version of discamb2tsc and ORCA. Care was taken to efficiently use the power of multicore processors by simple implementation of load-balancing, which was found to be very important for lowering computational time.

High-resolution low-temperature synchrotron X-ray diffraction data of the salt L-phenylalaninium hydrogen maleate are used to test the new automated iterative Hirshfeld atom refinement (HAR) procedure for the modelling of strong hydrogen bonds. The HAR models used present the first examples ofZ′ > 1 treatments in the framework of wavefunction-based refinement methods. L-Phenylalaninium hydrogen maleate exhibits several hydrogen bonds in its crystal structure, of which the shortest and the most challenging to model is the O—H...O intramolecular hydrogen bond present in the hydrogen maleate anion (O...O distance is about 2.41 Å). In particular, the reconstruction of the electron density in the hydrogen maleate moiety and the determination of hydrogen-atom properties [positions, bond distances and anisotropic displacement parameters (ADPs)] are the focus of the study. For comparison to the HAR results, different spherical (independent atom model, IAM) and aspherical (free multipole model, MM; transferable aspherical atom model, TAAM) X-ray refinement techniques as well as results from a low-temperature neutron-diffraction experiment are employed. Hydrogen-atom ADPs are furthermore compared to those derived from a TLS/rigid-body (SHADE) treatment of the X-ray structures. The reference neutron-diffraction experiment reveals a truly symmetric hydrogen bond in the hydrogen maleate anion. Only with HAR is it possible to freely refine hydrogen-atom positions and ADPs from the X-ray data, which leads to the best electron-density model and the closest agreement with the structural parameters derived from the neutron-diffraction experiment,e.g.the symmetric hydrogen position can be reproduced. The multipole-based refinement techniques (MM and TAAM) yield slightly asymmetric positions, whereas the IAM yields a significantly asymmetric position.

Hirshfeld atom refinement (HAR) is an X-ray diffraction refinement method that, in numerous publications, has been shown to give H-atom bond lengths in close agreement with neutron diffraction derived values. Presented here is a first evaluation of an approach using densities derived from projector augmented wave (PAW) densities with three-dimensional periodic boundary conditions for HAR. The results show an improvement over refinements that neglect the crystal environment or treat it classically, while being on a par with non-periodic approximations for treating the solid-state environment quantum mechanically. A suite of functionals were evaluated for this purpose, showing that the SCAN and revSCAN functionals are most suited to these types of calculation.

Dans cette thèse, les orbitales moléculaires extrêmement localisées (ELMOs) ont été utilisées comme briques LEGO électroniques pour accomplir deux objectifs : (i) améliorer la précision des structures cristallines aux rayons X pour des petits et grands systèmes, et (ii) analyser les interactions non-covalentes dans les biomolécules. Les ELMOs sont des orbitales moléculaires strictement localisées sur des petits fragments. Pour cette raison, elles peuvent être calculées sur des petites molécules, stockées dans des bases de données, puis transférées sur des systèmes plus grands pour reconstruire leurs fonctions d’onde et leurs densités électroniques. Dans ce but, nous avons exploité les bibliothèques contenant les ELMOs de tous les fragments élémentaires (atomes, liaisons et groupes fonctionnels) des acides aminés. Dans les situations où une plus grande précision s’avère nécessaire, nous avons utilisé la technique de «~embed-ding~» QM/ELMO, dans laquelle la partie cruciale du système examiné est traitée à un niveau quantique supérieur tandis que le reste du système est décrit par des ELMOs gelées. En ce qui concerne le premier des objectifs mentionnés ci-dessus, il est important de noter que les raffinements cristallographiques standards sont basés sur le « independent atom model~» (IAM), qui estime la densité électronique à partir d’une somme de densités atomiques sphériques. Cependant, les longueurs des liaisons élément-hydrogène résultant des raffinements IAM sont systématiquement trop courtes. Une méthode qui résout ce problème est la technique « Hirshfeld atom refinement » (HAR), qui est basée sur le calcul direct de la densité électronique en utilisant des méthodes de mécanique quantique. Pour les petites molécules, il a été prouvé que la technique HAR donne des longueurs de liaison élément-hydrogène en très bon accord avec les valeurs de référence neutroniques. Toutefois, pour les grands systèmes, l’applicabilité de la méthode HAR traditionnelle est limitée, car les calculs entièrement QM sous-jacents deviennent trop coûteux. Pour pallier ce problème, dans le travail décrit dans cette thèse, les bibliothèques ELMO et les techniques QM/ELMO ont été couplées avec la méthode HAR dans le but de raffiner les structures de grands systèmes moléculaires, mais également pour obtenir des structures plus précises dans le cas de petites molécules. En outre, la nécessité ou non d’utiliser des méthodes post-HF pour HAR a été évaluée.Le deuxième objectif de cette thèse concerne l’analyse des interactions non covalentes, qui pose des problèmes similaires à ceux rencontrés en cristallographie aux rayons X. En effet, les techniques « non-covalent interaction » (NCI) et « independent gradient model~» (IGM), qui sont couramment appliquées dans l’analyse des interactions non covalentes, dépendent du calcul de la densité électronique. Ainsi, pour analyser les interactions non covalentes dans des grands systèmes, les deux techniques ont recours aux mêmes densités électroniques pro-moléculaires utilisées dans le « independent atom model ». Cependant, dans le cas des analyses NCI et IGM, ces densités fournissent également des résultats biaisés. Pour surmonter cet inconvénient, nous avons couplé les deux méthodes avec les bibliothèques ELMO, donnant naissance aux techniques NCI-ELMO et IGM-ELMO, qui ont ensuite été appliquées pour identifier, classer et quantifier approximativement les interactions non covalentes dans des polypeptides et des protéines
In the work presented in this thesis, extremely localized molecular orbitals (ELMOs) were used as electronic LEGO building blocks to accomplish mainly two goals: (i) obtaining more accurate X-ray crystal structures for small and large systems, and (ii) analyzing non-covalent interactions in biomolecules. In fact, ELMOs are molecular orbitals that are strictly localized on small molecular fragments. Due to this strict localization, they may be computed on small molecules, stored in databases and then transferred to larger systems to reconstruct their wavefunctions and electron densities. To this end, we exploited the ELMO libraries, which contain the ELMOs for all the elementary fragments (atoms, bonds and functional groups) of the twenty natural amino acids. In situations where a higher accuracy was needed, we used the QM/ELMO embedding technique, in which the crucial part of the system under exam is treated at a higher quantum mechanical level, while the rest is described using frozen ELMOs. Concerning the first of the goals mentioned above, it is important to note that standard crystallographic refinements are based on the so-called independent atom model (IAM), which approximates the electron density as a sum of spherically averaged atomic densities. However, the element-hydrogen bond lengths resulting from IAM refinements are systematically too short. A method that solves this problem is the Hirshfeld atom refinement (HAR), a technique based on directly computing the electron density for the molecule under exam using quantum mechanical calculations. For small molecules, HAR has been proven to give element-hydrogen bond lengths that are in very good agreement with neutron reference values. However, for large systems, the applicability of the traditional HAR method is limited because the underlying fully QM calculations become computationally too expensive. Therefore, in the work presented in this thesis, the ELMO libraries and the QM/ELMO techniques have been coupled with the HAR method to refine large systems and also to obtain more accurate structures of small molecules. Furthermore, the necessity of using post-HF methods for HAR has been also evaluated. Concerning the second goal addressed in this dissertation, a similar problem as the one met in X-ray crystallography also arises in the analysis of non-covalent interactions. In fact, also the non-covalent interaction (NCI) and independent gradient model (IGM) techniques, which are commonly applied in analyses of non-covalent interactions, crucially depend on the computation of the electron density. Therefore, to analyze non-covalent interactions in large systems, both techniques had to resort to promolecular electron densities, which are the same densities used in the IAM. However, also in the cases of NCI and IGM analyses, these densities provide biased results. To overcome this drawback, we have coupled both methods with the ELMO libraries, giving rise to the NCI-ELMO and IGM-ELMO techniques, which were then applied to identify, classify and approximately quantify non-covalent interactions in polypeptides and proteins

Hirshfeld Atom Refinement of Crystal Structure and Experimental Wavefunction Fitting – Applying New Approaches in Modern Crystallography to Refinement of Diffraction DataTytuł w języku polskim:Udokładnienie struktury metodą atomów Hirshfelda i dopasowanie eksperymentalnej funkcji falowej – zastosowanie nowych technik współczesnej krystalografii w udokładnieniu danych dyfrakcyjnychPromotor:prof. dr hab. Krzysztof Woźniak, Wydział Chemii, Uniwersytet WarszawskiOgromny postęp w dziedzinie technik doświadczalnych z zakresu krystalografii rentgenowskiej, który dokonał się od czasów narodzin tej dziedziny nauki, zaowocował znaczącą poprawą jakości otrzymywanej informacji dotyczącej struktury kryształów. Jednakże dotychczas opracowane metody analizy danych eksperymentalnych wydają się nie pozwalać na pełne wykorzystanie informacji eksperymentalnej, czego konsekwencją jest powszechne uznanie pewnych braków struktury i gęstości elektronowej wyznaczonej metodami krystalografii rentgenowskiej. Wśród tych niedoskonałości można wymienić niewystarczająco dokładny i precyzyjny opis pozycji i drgań termicznych atomów wodoru w kryształach oraz problem rekonstrukcji eksperymentalnej gęstości elektronowej w obszarach jąder atomów niewodorowych, wolnych par elektronowych oraz wiązań polarnych. Głównym celem mojej pracy doktorskiej była ocena nowej metody udokładnienia danych rentgenowskich, zwanej udokładnieniem eksperymentalnej funkcji falowej (ang. X-ray Wavefunction Refinement, XWR), a zwłaszcza skonfrontowanie jej z wymienionymi problemami stanowiącymi wyzwanie dla dotychczas używanych technik. Metoda XWR wykorzystuje asferyczne atomowe czynniki rozpraszania obliczone w wyniku podziału gęstości elektronowej molekuły w krysztale na udziały atomowe przy użyciu partycji Hirshfelda i składa się z dwóch podstawowych kroków: (1) udokładnienie metodą atomów Hirshfelda (ang. Hirshfeld Atom Refinement, HAR) i (2) dopasowanie eksperymentalnej funkcji falowej (ang. X ray Constrained Wavefunction fitting, XCW fitting). Istotą pierwszego etapu, HAR, jest udokładnienie pozycji i drgań termicznych atomów w strukturze krystalicznej. Kolejny krok, XCW, ma na celu wprowadzenie wkładu eksperymentalnego do gęstości elektronowej. Mimo że zarówno kompletna metoda XWR, jak i obydwa składające się na nią kroki, stanowią nową, wymagającą dalszego udoskonalenia technikę, już niezbyt liczne publikacje dostępne na początkowym etapie podjętych przeze mnie badań sugerowały, że ma ona duży potencjał. Moja praca doktorska składa się z trzech części, z których każda opisuje odmienne podejście do testowania metody XWR i które zostały przedstawione w sposób schematyczny na Rys. 1. Badania opisane w części pierwszej miały na celu wstępne sprawdzenie możliwości techniki HAR, ze szczególnym naciskiem na wyznaczenie pozycji atomu wodoru w nietypowym otoczeniu chemicznym. Wykorzystałam w nich wyniki wysokorozdzielczych pomiarów rentgenowskich dla wodoromaleinianu L fenyloalaniny - soli, którą charakteryzuje obecność silnego symetrycznego wiązania wodorowego o geometrii potwierdzonej przez dostępne wyniki eksperymentu neutronowego. Dla tego związku przeprowadziłam procedurę HAR, udokładnienie multipolowe oraz udokładnienie metodą TAAM, analizując nie tylko pozycje i parametry drgań termicznych (współczynniki ADPs) atomów wodoru, ale również własności gęstości elektronowej otrzymanej za pomocą trzech badanych metod. Zaobserwowana została przewaga metody HAR nad pozostałymi technikami pod względem możliwości udokładnienia pozycji i ruchów termicznych atomów wodoru, zgodności geometrii nietypowego symetrycznego wiązania wodorowego z wynikami z pomiarów neutronowych oraz pod względem jakości gęstości elektronowej. Wyniki te stały się podstawą do zaplanowania dalszych, bardziej wyczerpujących badań metody HAR, których celem było pełniejsze określenie możliwości tej metody przetwarzania danych dyfrakcyjnych. Rys. 1. Schematyczne przedstawienie zakresu badań przeprowadzonych w ramach mojej rozprawy doktorskiej.W ramach drugiej części pracy doktorskiej opisałam przeprowadzoną na szeroką skalę analizę pozycji i drgań termicznych atomów wodoru w kryształach małocząsteczkowych związków organicznych. Analizę rozpoczęłam, wybierając 81 wysokorozdzielczych zestawów danych rentgenowskich i poddając je udokładnieniu przy użyciu metody HAR, oraz dosyć uproszczonego, ale nadal najbardziej popularnego w analizie strukturalnej, modelu niezależnych atomów (Independent Atom Model, IAM). Następnie skoncentrowałam się na ocenie jakości wyników oraz ich związku z jakością wykorzystanych danych, ich rozdzielczością oraz sposobem modelownia ruchów termicznych atomów wodoru (izotropowo/anizotropowo). Przeprowadziłam również ocenę jakości struktury krystalicznej przy użyciu narzędzia checkCIF oraz analizę reziduów gęstości elektronowej. W opisie wyników zawarłam przeprowadzone przy użyciu odpowiednich metod analizy statystycznej porównanie długości wiązań X-H otrzymanych za pomocą metody HAR uśrednionych w obrębie rozpatrywanych typów wiązań do odpowiadających im średnich długości neutronowych. Przedstawiłam również bardziej problematyczne przypadki, związane z udokładnieniem struktury krystalicznej substancji zawierających atomy wodoru związane z metalami przejściowymi. Bardzo ograniczona dostępność danych rentgenowskich dla tego typu związków, jeszcze mniejsza osiągalność danych neutronowych, ich niska jakość i problemy techniczne związane z zastosowaniem metody HAR pozwoliły jedynie na analizę pojedynczych przypadków. Wykazała ona, że HAR, w porównaniu z IAM, przyczynił się do znaczącej poprawy pozycji atomów wodoru w tej klasie związków, jednak z uwagi na niewielką ilość przebadanych przypadków przeprowadzenie analizy statystycznej nie było możliwe. W przypadku bardziej typowych rodzajów wiązań X-H występujących w 81 strukturach kryształów małocząsteczkowych związków organicznych, HAR przyczynił się do znaczącej poprawy dokładności i precyzji otrzymanych wyników w stosunku do IAM, jednakże niewielkie rozbieżności ze średnimi neutronowymi okazały się statystycznie istotne. HAR umożliwił również udokładnienie anizotropowych ruchów termicznych atomów wodoru, jednak jakość otrzymanych elipsoid drgań była zależna od jakości danych i ulegała pogorszeniu wraz z obcięciem danych do niższej rozdzielczości. Natomiast średnie długości wiązań nie ulegały istotnym zmianom zarówno w wyniku obniżenia rozdzielczości, jaki i przy przejściu od udokładnienia anizotropowego do izotropowego.Trzecie i ostatnie zagadnienie badane w ramach mojej pracy doktorskiej jest związane z rekonstrukcją eksperymentalnej gęstości elektronowej w kryształach oraz oceną korzyści wynikających z zastosowania metody XWR w porównaniu z bardziej popularnym udokładnieniem multipolowym. Grupa związków wybranych do badań składała się z 4 aminokwasów i 6 tripeptydów, dla których dostępne były wysokorozdzielcze dane rentgenowskie. Dane te poddałam udokładnieniu za pomocą metody XWR oraz udokładnieniu multipolowemu. Przeprowadziłam też optymalizację geometrii rozważanych struktur krystalicznych przy użyciu metody DFT z periodycznymi warunkami brzegowymi, której wyniki posłużyły mi jako punkt odniesienia dla eksperymentalnej geometrii i gęstości elektronowej. Wykorzystałam analizę QTAIM (Quantum Theory of Atoms in Molecules) jako narzędzie służące do uzyskania zintegrowanych własności atomowych (ładunek, moment dipolowy, objętość) oraz własności gęstości elektronowej w punktach krytycznych wiązań, których znajomość umożliwiła szczegółową weryfikację jakości gęstości elektronowej. Porównanie eksperymentalnych i teoretycznych wartości dla konkretnych typów wiązań i atomów, oraz parametrów opisujących jakość poszczególnych struktur krystalicznych zaowocowało otrzymaniem dużej ilości danych, których szczegółowe omówienie zawarłam w pracy jedynie w przypadku ważniejszych problemów, takich jak opis gęstości elektronowej w pobliżu wiązań polarnych lub polaryzacja elektronów rdzenia atomowego. Kolejnym istotnym zagadnieniem była analiza wpływu różniącej się jakości wykorzystanych danych eksperymentalnych na uzyskane wyniki, oraz ocena wrażliwości badanych metod na błędy eksperymentalne. Opisane badania posłużyły również do ponownego zbadania zagadnienia wyznaczania pozycji atomów wodoru, tym razem w odniesieniu do wartości uzyskanych w wyniku obliczeń teoretycznych. Metoda XWR okazała się być techniką mniej podatną na wpływ błędów eksperymentalnych oraz pozwoliła wyeliminować lub złagodzić pewne problemy typowe dla udokładnienia multipolowego, np. nieprawidłowy opis gęstości w okolicach wiązań polarnych oraz wolnych par elektronowych, a także problem uwzględnienia polaryzacji elektronów rdzenia atomowego. W ostatecznym rozrachunku, badania nad metodą XWR przeprowadzone w ramach mojej pracy doktorskiej wykazały, że jest to technika pozwalająca na znaczącą poprawę wyników udokładnienia danych rentgenowskich w porównaniu z pozostałymi metodami. Jednocześnie, XWR na obecnym etapie rozwoju jest metodą wymagającą dopracowania pewnych aspektów technicznych, dzięki czemu zakres jej stosowalności może ulec znacznemu poszerzeniu zarówno pod względem typu udokładnianych struktur, jak i typu rozważanych problemów naukowych.Rozprawa napisana jest w języku angielskim. Wyniki badań zostały przedstawione w trzech oryginalnych publikacjach, z których dwie ukazały się w czasopismach Acta Crystallographica Section A i Science Advances, zaś trzecia zostanie opublikowana w wydaniu 23. czasopisma ChemPhysChem.

In partitioning space in the analysis of a continuous charge distribution, the requirement of locality, formulated by Kurki-Suonio (Kurki-Suonio 1968, 1971; Kurki-Suonio and Salmo 1971), should be preserved. It states that density at a point should be assigned to a center in the proximity of that point. In discrete boundary partitioning schemes, the density at each point is assigned to a specific basin, while in fuzzy boundary partitioning, the density at the point may be assigned to overlapping functions centered at different locations. The least-squares formalisms described in chapter 3 implicitly define a space partitioning scheme, based on the density functions used in the refinement that are each centered on a specific nucleus. Since the density functions are continuous, they overlap, so the fragments interpenetrate rather than meet at a discrete boundary. Such fuzzy boundaries correspond to smoothly varying functions, both in real and reciprocal space, and therefore to well-behaved fragment scattering factors, and reasonable fragment electrostatic moments. The interpenetratingfragment partitioning schemes are related to the Mulliken and Løwdin population analyses of theoretical chemistry. The topological analysis of the total density, developed by Bader and coworkers, leads to a scheme of natural partitioning into atomic basins which each obey the virial theorem. The sum of the energies of the individual atoms defined in this way equals the total energy of the system. While the Bader partitioning was initially developed for the analysis of theoretical densities, it is equally applicable to model densities based on the experimental data. The density obtained from the Fourier transform of the structure factors is generally not suitable for this purpose, because of experimental noise, truncation effects, and thermal smearing. The topological analysis of the density leads to a powerful classification of bonding based on the electron density. It is discussed in the final sections of this chapter. The stockholder partitioning concept is one of the important contributions to charge density analysis made by Hirshfeld (1977b). It defines a continuous sampling function wi(r), which assigns the density among the constituent atoms. The sampling function is based on the spherical-atom promolecule density—the sum of the spherically averaged ground-state atom densities.