Letteratura scientifica selezionata sul tema "Geometrisk statistik"

Metode One Stop Machining memiliki keunggulan dalam hal kecepatan proses yang optimum diikuti pencapaian karakteristik geometrik yang baik. Penelitian ini bertujuan membuktikan keunggulan metode tersebut melalui pembuatan komponen aerospace berbahan Al 6082-T6511. Dengan menganalisa process plan, mengawal proses permesinan, dan melakukan analisis statistik terhadap karakteristik geometrik produk, diketahui bahwa metode one stop machining dapat dilakukan pada mesin CNC multitasking. Adapun proses-proses yang dapat dilakukan secara simultan pada mesin ini meliputi facing, drilling, counter boring, turning, dan cutting. Karakteristik geometrik produk yang dihasilkan memenuhi kategori GO. Dan secara statistik berada dalam jangkauan toleransi disain produk komponen aerospace dengan selang kepercayaan 99,8%.Kata kunci: karakteristik geometrik, CNC multitasking, one stop machining, kategori GO

Jalan MT. Haryono Kota Samarinda memiliki kondisi geometrik yang rawan terhadap kecelakaan lalu-lintas. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melihat model kecelakaan pada ruas jalan MT. Haryono Samarinda berdasarkan persepsi dari pengguna jalan (pengemudi). Data yang dikumpulkan adalah berupa data sekunder dan data primer kuisioner kepada sebanyak 52 responden pengguna jalan. Ada 5 faktor yang berpengaruh (variabel bebas) yang ditanyakan dalam penelitian ini yaitu faktor manusia/pengendara, faktor kendaraan, faktor kondisi jalan, faktor lingkungan dan faktor geometrik jalan. Analisis pemodelan menggunakan metode statistik regresi linear berganda. Hasil pemodelan adalah Y = 0,383 + 0,341X1 - 0,021X2 + 0,187X3 + 0,091X4 + 0,313X5. Model ini menunjukkan bahwa variabel faktor manusia, faktor kendaraan, faktor kondisi jalan, faktor lingkungan, dan faktor geometrik memberikan pengaruh terhadap potensi kecelakaan sebesar 72,1%, sedangkan sisanya yaitu sebesar 37,9% dipengaruhi oleh variabel yang tidak termasuk dalam peneltian ini.

Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan salah satu indikator multi dimensi penting untuk menilaikesejahteraan masyarakat secara lebih komprehensif (kesehatan, pendidikan dan standar hidup yang layak).Secara khusus untuk bidang kesehatan, Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan, KementerianKesehatan Republik Indonesia telah mengeluarkan Indeks Pembangunan Kesehatan Masyarakat (IPKM)tahun 2008 dan tahun 2014 yang meliputi 30 indikator kesehatan terpilih. Penelitian ini dilakukan dengantujuan untuk mendapatkan metode alternatif (metode geometrik) dalam menghitung IPKM berdasarkanlaporan IPKM tahun 2014 yang dikeluarkan oleh Badan Litbang Kesehatan dan data IPM tahun 2013 yangdikeluarkan oleh Badan Pusat Statistik (BPS). Analisis data dilakukan dengan cara membandingkan nilaikorelasi dan koefisien determinasi antara nilai IPKM tahun 2014 yang dihitung dengan rata-rata aritmatikdan yang dihitung dengan rata-rata geometrik terhadap nilai IPM tahun 2013. Hasil penelitianmenunjukkan adanya perbedaan hasil IPKM antara perhitungan rata-rata geometrik dan perhitungan ratarata aritmatik. Perhitungan rata-rata geometrik menunjukkan korelasi yang lebih tinggi antara nilai IPKMdan IPM dibandingkan dengan perhitungan rata-rata aritmatik. Selain itu perhitungan rata-rata geometrikdalam formulasi IPKM memiliki karakteristik yang stabil terhadap nilai ekstrim pada komponenindikatornya. Hasil perhitungan dengan rata-rata geometrik berimplikasi untuk memperoleh IPKM yangtinggi harus mempertimbangkan semua indikator yang dibangun dengan cara yang lebih setara.

Pada umumnya bangunan bersejarah dan cagar budaya yang berada di permukaan bumi sebagian besar merupakan objek tiga dimensi yang belum terdokumentasi dengan baik. Oleh karena itu pembentukan data dasar 3D yang digunakan untuk melakukan pemodelan objek tiga dimensi harus memiliki tingkat ketelitian yang baik dan geometri yang baik juga. Pada penelitian ini, dipaparkan pendekatan state-of-art dari metode-metode yang digunakan didalam pembentukan dokumentasi 3D untuk konservasi dan dokumentasi bangunan yaitu melalui penerapan metode fotogrammetri jarak dekat yang menggunakan kamera digital non metrik, Terrestrial Laser Scanner (TLS) dan Unmanned Aerial Vehicle (UAV). Untuk tahapan pelaksanaan penelitian terbagi atas tahapan kalibrasi kamera, pemotretan objek dan pengolahan model 3 dimensi. Untuk konsep akuisi data dibutuhkan proses kalibrasi yang direkomendasikan memenuhi angka 80% sebagai syarat kalibrasi peralatan survey. Untuk pengambilan data foto dilapangan dilakukan sebanyak mungkin akuisisi dengan pertampalan antar obyek berkisar minimal 60%-80% dan pengolahan data pada penelitian ini menggunakan perangkat lunak 3D seperti PhotoModeler Scanner dan Summit Evolution. Untuk validasi hasil pembentukan model 3D dapat menggunkan nilai perbandingan uji statistik titik geometrik dengan peralatan survey Electronic Total Station (ETS). Tahap pemodelan bangunan terdiri dari Automated Project, proses hitungan dan pembuatan model 3D, transformasi koordinat 3D, visualisasi model 3D dan analisis statistik sebaran titik-titik geometrik. Hasil akhir dalam penelitian ini adalah model tiga dimensi bangunan yang telah melalui proses pengujian perbandingan jarak yang diikatkan dari pengukuran ETS dan dianalisis lebih lanjut untuk nilai standar deviasi dari perbandingan jaraknya.

This study aims to determine the geometric quality of lathe machining product and what causes the low geometric quality of the lathe machining practices. This research is a descriptive study using a quantitative approach. Data were obtained by documentation and direct observation of the studied object, and then were processed using descriptive statistical analysis. Results show that the average value of the geometric quality of lathe machining products was relatively low, amounted to 67.14. The aspects that caused deficiencies and low geometric quality are, among others, incorrect spindle speed, incorrect feeds, incorrect depth of cuts, improper use of measuring tools, and lack of awareness ofthe Occupational Safety and Health equipment.Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kualitas geometris produk hasil praktik pemesinan bubut dan penyebab rendahnya kualitas geometris hasil praktik pemesinan bubut. Penelitian ini merupakan jenis penelitian deskriptif dengan menggunakan pendekatan kuantitatif. Data penelitian diperoleh dengan menggunakan dokumentasi dan pengamatan langsung pada obyek yang diteliti kemudian diolah menggunakan analisis statistik deskriptif. Hasil penelitian menunjukkan bahwa rata – rata nilai kualitas geometris hasil praktik pemesinan bubut siswa tergolong rendah yakni sebesar 67,14 serta aspek-aspek yang menjadi penyebab kekurangan dan kelemahan kualitas geometris diantaranya meliputi, kesalahan dalam menentukan putaran mesin, kesalahan dalam menentukan kecepatan gerak pemakanan, tidak tepatnya pengaturan kedalaman pemakanan, kesalahan dalam menggunakan alat ukur serta kurangnya kesadaran akan pentingnya penggunaan perlengkapan K3.

Nous proposons dans cette thèse de nouvelles méthodes de réduction de dimension fondées sur la géométrie différentielle. Il s'agit de trouver une représentation d'un ensemble d'observations dans un espace de dimension inférieure à l'espace d'origine des données. Les méthodes de réduction de dimension constituent la pierre angulaire des statistiques et ont donc un très large éventail d'applications. Dans les statistiques euclidiennes ordinaires, les données appartiennent à un espace vectoriel et l'espace de dimension inférieure peut être un sous-espace linéaire ou une sous-variété non linéaire approximant les observations. L'étude de telles variétés lisses, la géométrie différentielle, joue naturellement un rôle important dans ce dernier cas. Lorsque l'espace des données est lui-même une variété, l'espace approximant de dimension réduite est naturellement une sous-variété de la variété initiale. Les méthodes d'analyse de ce type de données relèvent du domaine des statistiques géométriques. Les statistiques géométriques pour des observations appartenant à une variété riemannienne sont le point de départ de cette thèse, mais une partie de notre travail apporte une contribution même dans le cas de données appartenant à l'espace euclidien, mathbb{R}^d.Les formes, dans notre cas des courbes ou des surfaces discrètes ou continues, sont un exemple important de données à valeurs dans les variétés. En biologie évolutive, les chercheurs s'intéressent aux raisons et aux implications des différences morphologiques entre les espèces. Cette application motive la première contribution principale de la thèse. Nous généralisons une méthode de réduction de dimension utilisée en biologie évolutive, l'analyse en composantes principales phylogénétiques (P-PCA), pour travailler sur des données à valeur dans une variété riemannienne - afin qu'elle puisse être appliquée à des données de forme. P-PCA est une version de PCA pour des observations qui sont les feuilles d'un arbre phylogénétique. D'un point de vue statistique, la propriété importante de ces données est que les observations ne sont pas indépendantes. Nous définissons et estimons des moyennes et des covariances intrinsèquement pondérées sur une variété qui prennent en compte cette dépendance des observations. Nous définissons ensuite l'ACP phylogénétique sur une variété comme la décomposition propre de la covariance pondérée dans l'espace tangent de la moyenne pondérée. Nous montrons que l'estimateur de moyenne actuellement utilisé en biologie évolutive pour étudier la morphologie correspond à ne prendre qu'une seule étape de notre algorithme de descente de gradient riemannien pour la moyenne intrinsèque, lorsque les observations sont représentées dans l'espace des formes de Kendall.Notre deuxième contribution principale est une méthode non paramétrique de réduction de dimension fondée sur une classe très flexible de sous-variétés qui est novatrice même dans le cas de données euclidiennes. Grâce à une PCA locale, nous construisons tout d'abord un sous-fibré du fibré tangent sur la variété des données que nous appelons le sous-fibré principal. Cette distribution (au sens géométrique) induit une structure sous riemannienne. Nous montrons que les géodésiques sous-riemanniennes correspondantes restent proches de l'ensemble des observations et que l'ensemble des géodésiques partant d'un point donné génèrent localement une sous-variété qui est radialement alignée avec le sous-fibré principal, même lorsqu'il est non intégrables, ce qui apparait lorsque les données sont bruitées. Notre méthode démontre que la géométrie sous-riemannienne est le cadre naturel pour traiter de tels problèmes. Des expériences numériques illustrent la puissance de notre cadre en montrant que nous pouvons réaliser des reconstructions d'une extension importante, même en présence de niveaux de bruit assez élevés
In this thesis, we propose new methods for dimension reduction based on differential geometry, that is, finding a representation of a set of observations in a space of lower dimension than the original data space. Methods for dimension reduction form a cornerstone of statistics, and thus have a very wide range of applications. For instance, a lower dimensional representation of a data set allows visualization and is often necessary for subsequent statistical analyses. In ordinary Euclidean statistics, the data belong to a vector space and the lower dimensional space might be a linear subspace or a non-linear submanifold approximating the observations. The study of such smooth manifolds, differential geometry, naturally plays an important role in this last case, or when the data space is itself a known manifold. Methods for analysing this type of data form the field of geometric statistics. In this setting, the approximating space found by dimension reduction is naturally a submanifold of the given manifold. The starting point of this thesis is geometric statistics for observations belonging to a known Riemannian manifold, but parts of our work form a contribution even in the case of data belonging to Euclidean space, mathbb{R}^d.An important example of manifold valued data is shapes, in our case discrete or continuous curves or surfaces. In evolutionary biology, researchers are interested in studying reasons for and implications of morphological differences between species. Shape is one way to formalize morphology. This application motivates the first main contribution of the thesis. We generalize a dimension reduction method used in evolutionary biology, phylogenetic principal component analysis (P-PCA), to work for data on a Riemannian manifold - so that it can be applied to shape data. P-PCA is a version of PCA for observations that are assumed to be leaf nodes of a phylogenetic tree. From a statistical point of view, the important property of such data is that the observations (leaf node values) are not necessarily independent. We define and estimate intrinsic weighted means and covariances on a manifold which takes the dependency of the observations into account. We then define phylogenetic PCA on a manifold to be the eigendecomposition of the weighted covariance in the tangent space of the weighted mean. We show that the mean estimator that is currently used in evolutionary biology for studying morphology corresponds to taking only a single step of our Riemannian gradient descent algorithm for the intrinsic mean, when the observations are represented in Kendall's shape space. Our second main contribution is a non-parametric method for dimension reduction that can be used for approximating a set of observations based on a very flexible class of submanifolds. This method is novel even in the case of Euclidean data. The method works by constructing a subbundle of the tangent bundle on the data manifold via local PCA. We call this subbundle the principal subbundle. We then observe that this subbundle induces a sub-Riemannian structure and we show that the resulting sub-Riemannian geodesics with respect to this structure stay close to the set of observations. Moreover, we show that sub-Riemannian geodesics starting from a given point locally generate a submanifold which is radially aligned with the estimated subbundle, even for non-integrable subbundles. Non-integrability is likely to occur when the subbundle is estimated from noisy data, and our method demonstrates that sub-Riemannian geometry is a natural framework for dealing which such problems. Numerical experiments illustrate the power of our framework by showing that we can achieve impressively large range reconstructions even in the presence of quite high levels of noise
I denne afhandling præsenteres nye metoder til dimensionsreduktion, baseret p˚adifferential geometri. Det vil sige metoder til at finde en repræsentation af et datasæti et rum af lavere dimension end det opringelige rum. S˚adanne metoder spiller enhelt central rolle i statistik, og har et meget bredt anvendelsesomr˚ade. En laveredimensionalrepræsentation af et datasæt tillader visualisering og er ofte nødvendigtfor efterfølgende statistisk analyse. I traditionel, Euklidisk statistik ligger observationernei et vektor rum, og det lavere-dimensionale rum kan være et lineært underrumeller en ikke-lineær undermangfoldighed som approksimerer observationerne.Studiet af s˚adanne glatte mangfoldigheder, differential geometri, spiller en vigtig rollei sidstnævnte tilfælde, eller hvis rummet hvori observationerne ligger i sig selv er enmangfoldighed. Metoder til at analysere observationer p˚a en mangfoldighed udgørfeltet geometrisk statistik. I denne kontekst er det approksimerende rum, fundetvia dimensionsreduktion, naturligt en submangfoldighed af den givne mangfoldighed.Udgangspunktet for denne afhandling er geometrisk statistik for observationer p˚a ena priori kendt Riemannsk mangfoldighed, men dele af vores arbejde udgør et bidragselv i tilfældet med observationer i Euklidisk rum, Rd.Et vigtigt eksempel p˚a data p˚a en mangfoldighed er former, i vores tilfældediskrete kurver eller overflader. I evolutionsbiologi er forskere interesseret i at studeregrunde til og implikationer af morfologiske forskelle mellem arter. Former er ´en m˚adeat formalisere morfologi p˚a. Denne anvendelse motiverer det første hovedbidrag idenne afhandling. We generaliserer en metode til dimensionsreduktion brugt i evolutionsbiologi,phylogenetisk principal component analysis (P-PCA), til at virke for datap˚a en Riemannsk mangfoldighed - s˚a den kan anvendes til observationer af former. PPCAer en version af PCA for observationer som antages at være de yderste knuder iet phylogenetisk træ. Fra et statistisk synspunkt er den vigtige egenskab ved s˚adanneobservationer at de ikke nødvendigvis er uafhængige. We definerer og estimerer intrinsiskevægtede middelværdier og kovarianser p˚a en mangfoldighed, som tager højde fors˚adanne observationers afhængighed. Vi definerer derefter phylogenetisk PCA p˚a enmangfoldighed som egendekomposition af den vægtede kovarians i tanget-rummet tilden vægtede middelværdi. Vi viser at estimatoren af middelværdien som pt. bruges ievolutionsbiologi til at studere morfologi svarer til at tage kun et enkelt skridt af voresRiemannske gradient descent algoritme for den intrinsiske middelværdi, n˚ar formernerepræsenteres i Kendall´s form-mangfoldighed.Vores andet hovedbidrag er en ikke-parametrisk metode til dimensionsreduktionsom kan bruges til at approksimere et data sæt baseret p˚a en meget flexibel klasse afsubmangfoldigheder. Denne metode er ny ogs˚a i tilfældet med Euklidisk data. Metodenvirker ved at konstruere et under-bundt af tangentbundet p˚a datamangfoldighedenM via lokale PCA´er. Vi kalder dette underbundt principal underbundtet. Viobserverer at dette underbundt inducerer en sub-Riemannsk struktur p˚a M og vi viserat sub-Riemannske geodæter fra et givent punkt lokalt genererer en submangfoldighedsom radialt flugter med det estimerede subbundt, selv for ikke-integrable subbundter.Ved støjfyldt data forekommer ikke-integrabilitet med stor sandsynlighed, og voresmetode demonstrerer at sub-Riemannsk geometri er en naturlig tilgang til at h˚andteredette. Numeriske eksperimenter illustrerer styrkerne ved metoden ved at vise at denopn˚ar rekonstruktioner over store afstande, selv under høje niveauer af støj

Recently geometric deep learning introduced a new way for machine learning algorithms to tackle point cloud data in its raw form. Pioneers like PointNet and many architectures building on top of its success realize the importance of invariance to initial data transformations. These include shifting, scaling and rotating the point cloud in 3D space. Similarly to our desire for image classifying machine learning models to classify an upside down dog as a dog, we wish geometric deep learning models to succeed on transformed data. As such, many models employ an initial data transform in their models which is learned as part of a neural network, to transform the point cloud into a global canonical space. I see weaknesses in this approach as they are not guaranteed to perform completely invariant to input data transformations, but rather approximately. To combat this I propose to use local deterministic transformations which do not need to be learned. The novelty layer of this project builds upon Edge Convolutions and is thus dubbed DirEdgeConv, with the directional invariance in mind. This layer is slightly altered to introduce another layer by the name of DirSplineConv. These layers are assembled in a variety of models which are then benchmarked against the same tasks as its predecessor to invite a fair comparison. The results are not quite as good as state of the art results, however are still respectable. It is also my belief that the results can be improved by improving the learning rate and its scheduling. Another experiment in which ablation is performed on the novel layers shows that the layers  main concept indeed improves the overall results.
Nyligen har ämnet geometrisk deep learning presenterat ett nytt sätt för maskininlärningsalgoritmer att arbeta med punktmolnsdata i dess råa form.Banbrytande arkitekturer som PointNet och många andra som byggt på dennes framgång framhåller vikten av invarians under inledande datatransformationer. Sådana transformationer inkluderar skiftning, skalning och rotation av punktmoln i ett tredimensionellt rum. Precis som vi önskar att klassifierande maskininlärningsalgoritmer lyckas identifiera en uppochnedvänd hund som en hund vill vi att våra geometriska deep learning-modeller framgångsrikt ska kunna hantera transformerade punktmoln. Därför använder många modeller en inledande datatransformation som tränas som en del av ett neuralt nätverk för att transformera punktmoln till ett globalt kanoniskt rum. Jag ser tillkortakommanden i detta tillgångavägssätt eftersom invariansen är inte fullständigt garanterad, den är snarare approximativ. För att motverka detta föreslår jag en lokal deterministisk transformation som inte måste läras från datan. Det nya lagret i det här projektet bygger på Edge Convolutions och döps därför till DirEdgeConv, namnet tar den riktningsmässiga invariansen i åtanke. Lagret ändras en aning för att introducera ett nytt lager vid namn DirSplineConv. Dessa lager sätts ihop i olika modeller som sedan jämförs med sina efterföljare på samma uppgifter för att ge en rättvis grund för att jämföra dem. Resultaten är inte lika bra som toppmoderna resultat men de är ändå tillfredsställande. Jag tror även resultaten kan förbättas genom att förbättra inlärningshastigheten och dess schemaläggning. I ett experiment där ablation genomförs på de nya lagren ser vi att lagrens huvudkoncept förbättrar resultaten överlag.

This Master Thesis is a product development project that has been carried out in cooperation with Scania CV AB. The purpose has been to find the relationship between geometric parameters and the swirl number for an XPI- cylinder head in order to improve the design specification. The increased focus on environmental issues from society leads to tighter emission legislations for the truck manufactures. In order to drive the development forward considerable resources are spent on research and development on diesel engines and its combustion process. The inlet air has a significant impact on the formation of emissions and the flow that is desired is called swirl. Swirl is achieved by making the air rotate around the vertical axis of the cylinder. Earlier cylinder heads that has been developed at Scania CV AB have shown clear relationships between geometric parameters of the cylinder head and the swirl number. With the new XPI- cylinder head observations have been made that other parameters also affect the swirl. By experience many parameters that affect the swirl and the airflow down the cylinder are known. Based on this knowledge and interviews with experts at Scania CV AB the parameters for the study have been developed and specified. After defining the geometric parameters, 33 in total, 120 cylinder heads were measured and swirl tested. The statistical investigation was carried out by Ekaterina Fetisova as a part of her bachelor degree project for the Department of Mathematical Statistics at the University of Stockholm. The investigation used multiple linear regression to develop six models that describes the relationships between the geometric parameters and the swirl number. The developed models provides an explanation rate between 54-60 % between the variance of the geometrical parameters and the variance of the swirl. A few parameters stand out as more important than others, some parameters more expected than others. Conclusions that are drawn are that the investigation probably is missing important parameters and that there is a great complexity between the geometric parameters and the swirl number. To get a better understanding of the impact that each channel has on the swirl number recommendations are made to swirl test one channel at a time and to find the relationship between the geometric parameters for each channel and the swirl number.
Detta examensarbete är ett produktutvecklingsarbete som har genomförts i samarbete med Scania CV AB. Syftet med arbetet har varit att finna ett samband mellan XPI- cylinderhuvudets geometriska parametrar och dess snurrtal för att förbättra konstruktionsunderlaget för cylinderhuvudet. Samhällets ökade fokus kring miljöfrågorna för med sig allt hårdare emissionslagstiftningar för lastbilstillverkarna. För att driva utvecklingen framåt läggs stora resurser på forskning och utveckling av dieselmotorn och dess förbränningsförlopp. Insugningsluftens strömning in i cylindern har en stor påverkan vid bildandet av emissioner och den typ av strömningen som söks kallas för snurr. Snurr fås då luften strömmar runt cylinderns vertikala axel inne i förbränningsrummet. På tidigare cylinderhuvuden som Scania CV AB tagit fram har klara samband setts mellan snurren och geometriska parametrar hos cylinderhuvudet men med det nya XPI- cylinderhuvudet ses att även andra parametrar är med och påverkar snurren. Av erfarenhet är det känt att flertalet geometrier påverkar snurren och flödet som fås ner i cylindern. Utifrån dessa kunskaper och intervjuer med sakkunniga på Scania CV AB har de parametrar som ska ingå i studien tagits fram. Efter definiering av de geometriska parametrarna, 33 stycken, har 120 cylinderhuvuden mätts upp och snurrtestats. Den statistiska undersökningen har genomförts av Ekaterina Fetisova som en del av hennes kandidatexamensprojekt för institutionen Matematisk Statistik på Stockholms Universitet. Undersökningen ledde till att sex modeller togs fram, med hjälp av multipel linjär regression, som representerar de geometriska parametrarnas påverkan på snurrtalet. De framtagna modellerna förklarar mellan 54-60 % av variationen hos snurren och ett fåtal geometriska parametrar sticker ut som viktigare än andra, vissa mer förväntade än andra. Slutsatser som dras är att viktiga parametrar troligtvis saknas i undersökningen och att det finns en stor komplexitet mellan de geometriska parametrarna och snurrtalet. För att få en bättre förståelse för kanalernas individuella påverkan på snurren rekommenderas att varje kanal snurrtestas var och en för sig och kopplas mot de geometriska parametrarna för respektive kanal.

La geometria differenziale è un insieme di strumenti che permette di compiere le tipiche operazioni di algebra e calcolo anche in spazi che non seguono le normali regole Euclidee degli spazi vettoriali, ad esempio come i punti di una superficie curva. Questo campo della matematica sta assumendo sempre maggiore rilevanza in vari ambiti, fra cui statistica e machine learning, a causa dell’enorme disponibilità di dati che appartengono a domini sempre più complessi. Un esempio di dominio di questo tipo è l’insieme delle matrici simmetriche e definite positive, ovvero le matrici di covarianza, che compaiono frequentemente nella diagnostica medica per immagini e sono spesso usate come spazio parametrico nei modelli statistici. Lo scopo di questa tesi è quello di raccogliere e organizzare la conoscenza sparsa sulla geometria Riemanniana delle matrici simmetriche e definite positive e di costruire delle tecniche pratiche, usando gli strumenti della geometria differenziale, che possano essere applicate direttamente in contesti di analisi statistica. Questo obiettivo è stato perseguito attraverso lo sviluppo di due metodi: il primo è un algoritmo di tipo quasi-Newton per l’ottimizzazione Riemanniana che può essere utilizzato in qualsiasi situazione in cui sia necessaria la massimizzazione di funzioni di matrici simmetriche e definite positive, come quelle che emergono nel contesto della inferenza di verosimiglianza e nella approssimazione variazionale. Il secondo è un algoritmo di registrazione Riemanniana per eseguire il pre-processamento di dati simmetrici e definiti positivi come quelli che si ottengono nella diagnostica medica per immagini o nelle interfacce cervello-computer. Questo algoritmo, fra le altre sue proprietà, fornisce una struttura teorica che consente di concentrare l’analisi sugli autovalori delle matrici analizzate, permettendo l’utilizzo di metodi Euclidei per l’inferenza statistica anche in un contesto Riemanniano.
Differential geometry is the set of tools that allows to perform the usual mathematical tasks of algebra and calculus on spaces that do not behave like Euclidean vector spaces, for instance points on a curved surface. This field of mathematics is becoming more and more relevant in multiple fields, statistics and machine learning among those, due to the enormous availability of data belonging to increasingly complex domains. An example among many of such complex domains is the set of Symmetric and Positive Definite matrices, i.e. the set of covariance matrices, that appears frequently in medical imaging but is also used often as parameter space in statistical modeling scenarios. The aim of this thesis is to collect and organize the scattered knowledge on the Riemannian geometry of the symmetric and positive definite matrices, and to build practical techniques using the tools of differential geometry that can be readily applied within a pipeline of statistical analysis. This has been achieved with two different methods: the first is a quasi-Newton algorithm for Riemannian optimization that can be plugged in any situation in which maximization of a function of symmetric and positive definite matrices is required, such as those that arise in the context of likelihood inference and variational approximation. The second is a Riemannian registration algorithm to perform a pre-processing of symmetric and positive definite data such as those arising from medical imaging or brain computer interface. This algorithm, among other properties, provides a theoretical framework to focus the analysis on the eigenvalues of the analyzed matrices, allowing the employment of Euclidean methods for statistical inference also in a Riemannian context.

All the results of the present thesis have been obtained facing problems related to the study of the so called birth-and-growth stochastic processes, relevant in several real applications, like crystallization processes, tumour growth, angiogenesis, etc. We have introduced a Delta formalism, à la Dirac-Schwartz, for the description of random measures associated with random closed sets in R^d of lower dimensions, such that the usual Dirac delta at a point follows as particular case, in order to provide a natural framework for deriving evolution equations for mean densities at integer Hausdorff dimensions in terms of the relevant kinetic parameters associated to a given birth-and-growth process. In this context connections with the concepts of hazard functions and spherical contact distribution functions, together with local Steiner formulas at first order have been studied and, under suitable general conditions on the resulting random growing set, we may write evolution equations of the mean volume density in terms of the growing rate and of the mean surface density. To this end we have introduced definitions of discrete, continuous and absolutely continuous random closed set, which extend the standard well known definitions for random variables. Further, since in many real applications such as fibre processes, n-facets of random tessellations several problems are related to the estimation of such mean densities, in order to face such problems in the general setting of spatially inhomogeneous processes, we have analyzed an approximation of mean densities for sufficiently regular random closed sets, such that some known results in literature follow as particular cases.

Molecular dynamics (MD) simulations have been extensively used for analysis of thermophysical properties of a variety of nanoscale systems. The majority of MD codes are developed for a specific system or application type, and thus their use in a wide variety of systems is limited. In addition, these codes can contain a steep learning curve for new users. Therefore, we have developed the Molecular Dynamics in Arbitrary Geometries (MDAG) code package for the explicit purposes of adaptability and ease of use. We describe various standard programming techniques we employed to allow for these goals to be achieved. We also discuss the approaches used for problem initialization based on arbitrary zone placement, and for statistics collection based on the mapping of Cartesian grid-based results onto arbitrary zones. We finally provide example applications of this code on nanoscale thermophysical systems.