Letteratura scientifica selezionata sul tema "Équations Vlasov-Poisson"

Les deux premiers chapitres de ce travail sont consacrés à l’étude de l’équation de Vlasov-Poisson dans le cadre de la modélisation d’un faisceau de particules chargées. Nous établissons l’existence et l’unicité de solutions stationnaires, qui sont des fonctions fixées de l’énergie et du moment angulaire. Nous recourons d’abord à une méthode variationnelle, puis à une méthode constructive de tir. Le troisième chapitre étudie, pour des solutions de l’équation de Vlasov-Poisson-Boltzmann, la propagation des singularités locales de la distribution initiale.

Le système d'équations de Vlasov-Poisson est un système très connu de la physique des plasmas et un enjeu majeur des futures simulations. Le but est de développer des schémas numériques utilisant une discrétisation par la méthode Galerkin discontinue combinée avec une résolution en temps semi-Lagrangienne et un maillage adaptatif basé sur l'utilisation des multi-ondelettes. La formulation Galerkin discontinue autorise des schémas d'ordres élevés avec des données locales. Cette formulation a fait l'objet de nombreuses publications, tant dans le cadre eulérien par Ayuso de Dios et al., Rossmanith et Seal, etc. que dans le cadre semi-lagrangien par Quo, Nair et Qiu, Qiu et Shu et Bokanowski et Simarta, etc. On utilise les multi-ondelettes pour l'adaptativité (et plus précisément pour la décomposition multi-échelle de la fonction de distribution). Les multi-ondelettes ont été largement étudiées par Alpert et al. pendant les années 1990 et au début des années 2000. Des travaux combinant la résolution multi-échelle avec les méthodes Galerkin discontinues ont fait l'objet de publications par Müller et al. en 2014 pour les lois de conservation hyperboliques dans le contexte des éléments finis. Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker et Bertrand ont présenté les avantages d'un maillage adaptatif dans le contexte de Vlasov-Poisson relativiste en utilisant des ondelettes à support large. La combinaison de la méthode Galerkin discontinue avec l'utilisation des multi-ondelettes ne requière en revanche qu'un support compact. Bien que la majorité de la thèse soit présentée dans un espace des phases 1d × 1v, nous avons obtenus quelques résultats dans l'espace des phases 2d × 2v
Many numerical experiments are performed on the Vlasov-Poisson problem since it is a well known system from plasma physics and a major issue for future simulation of large scale plasmas. Our goal is to develop adaptive numerical schemes using discontinuous Galerkin discretisation combined with semi-Lagrangian description whose mesh refinement based on multi-wavelets. The discontinuous Galerkin formulation enables high-order accuracy with local data for computation. It has recently been widely studied by Ayuso de Dioset al., Rossmanith et Seal, etc. in an Eularian framework, while Guo, Nair and Qiu or Qiu and Shu or Bokanowski and Simarta performed semi-Lagrangian time resolution. We use multi-wavelets framework for the adaptive part. Those have been heavily studied by Alpert et al. during the nineties and the two thousands. Some works merging multi-scale resolution and discontinuous Galerkin methods have been described by Müller and his colleagues in 2014 for non-linear hyperbolic conservation laws in the finite volume framework. In the framework of relativistic Vlasov equation, Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker and Bertrand presented the advantage of using adaptive meshes. While they used wavelet decomposition, which requires large data stencil, multi-wavelet decomposition coupled to discontinuous Galerkin discretisation only requires local stencil. This favours the parallelisation but, at the moment, semi-Lagrangian remains an obstacle to highly efficient distributed memory parallelisation. Although most of our work is done in a 1d × 1v phase space, we were able to obtain a few results in a 2d × 2v phase space

Le système d'équations de Vlasov-Poisson est un système très connu de la physique des plasmas et un enjeu majeur des futures simulations. Le but est de développer des schémas numériques utilisant une discrétisation par la méthode Galerkin discontinue combinée avec une résolution en temps semi-Lagrangienne et un maillage adaptatif basé sur l'utilisation des multi-ondelettes. La formulation Galerkin discontinue autorise des schémas d'ordres élevés avec des données locales. Cette formulation a fait l'objet de nombreuses publications, tant dans le cadre eulérien par Ayuso de Dios et al., Rossmanith et Seal, etc. que dans le cadre semi-lagrangien par Quo, Nair et Qiu, Qiu et Shu et Bokanowski et Simarta, etc. On utilise les multi-ondelettes pour l'adaptativité (et plus précisément pour la décomposition multi-échelle de la fonction de distribution). Les multi-ondelettes ont été largement étudiées par Alpert et al. pendant les années 1990 et au début des années 2000. Des travaux combinant la résolution multi-échelle avec les méthodes Galerkin discontinues ont fait l'objet de publications par Müller et al. en 2014 pour les lois de conservation hyperboliques dans le contexte des éléments finis. Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker et Bertrand ont présenté les avantages d'un maillage adaptatif dans le contexte de Vlasov-Poisson relativiste en utilisant des ondelettes à support large. La combinaison de la méthode Galerkin discontinue avec l'utilisation des multi-ondelettes ne requière en revanche qu'un support compact. Bien que la majorité de la thèse soit présentée dans un espace des phases 1d × 1v, nous avons obtenus quelques résultats dans l'espace des phases 2d × 2v
Many numerical experiments are performed on the Vlasov-Poisson problem since it is a well known system from plasma physics and a major issue for future simulation of large scale plasmas. Our goal is to develop adaptive numerical schemes using discontinuous Galerkin discretisation combined with semi-Lagrangian description whose mesh refinement based on multi-wavelets. The discontinuous Galerkin formulation enables high-order accuracy with local data for computation. It has recently been widely studied by Ayuso de Dioset al., Rossmanith et Seal, etc. in an Eularian framework, while Guo, Nair and Qiu or Qiu and Shu or Bokanowski and Simarta performed semi-Lagrangian time resolution. We use multi-wavelets framework for the adaptive part. Those have been heavily studied by Alpert et al. during the nineties and the two thousands. Some works merging multi-scale resolution and discontinuous Galerkin methods have been described by Müller and his colleagues in 2014 for non-linear hyperbolic conservation laws in the finite volume framework. In the framework of relativistic Vlasov equation, Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker and Bertrand presented the advantage of using adaptive meshes. While they used wavelet decomposition, which requires large data stencil, multi-wavelet decomposition coupled to discontinuous Galerkin discretisation only requires local stencil. This favours the parallelisation but, at the moment, semi-Lagrangian remains an obstacle to highly efficient distributed memory parallelisation. Although most of our work is done in a 1d × 1v phase space, we were able to obtain a few results in a 2d × 2v phase space

Dans les plasmas de fusion, les parois faisant face aux plasmas sont érodées, ce qui réduit leur durée de vie, et les particules rejetées dégradent le confinement de l’énergie en rayonnant. Nous étudions ce phénomène à l’aide d’une modélisation cinétique de type Vlasov-Poisson. Celle-ci nous permet d’étudier la transition entre un plasma basse pression faiblement collisionnel à l’équilibre thermodynamique et une paroi, en présence d’un champ magnétique. Une étude détaillée de la transition a permis d’établir les mécanismes agissant dans les trois zones qui la composent (gaine de Debye, prégaine magnétique et prégaine collisionnelle). Une attention particulière apportée aux conditions d’entrée des ions dans la gaine a permis de montrer que les collisions pouvaient conduire à la non-satisfaction du critère de Bohm. Nous avons de plus mis en évidence que la présence de la paroi, combinée à celle d’un champ magnétique, induit d’importantes déformations de la distribution des ions, justifiant pleinement le traitement cinétique. L’exploitation des distributions obtenues au niveau de la paroi a permis d’estimer le taux de pulvérisation de celle-ci en fonction du champ magnétique. Nous avons pu montrer qu’un champ magnétique rasant permet non seulement d’étaler le flux ionique sur une plus grande surface, mais aussi de réduire l’énergie des ions la percutant, limitant ainsi sa pulvérisation. Les plasmas étant généralement composés de plusieurs types d’ions, notre modèle a ensuite été étendu au cas des plasmas composés d’argon et d’hélium. Notre étude s’est concentrée sur l’influence d’une seconde espèce ionique sur le critère de Bohm à l’entrée de la gaine de Debye
In fusion devices, the region of plasma directly in contact with a material surface (limiter, divertor) can erode the surface and release impurities, which mirgrate toward the bulk plasma and deteriorate its confinement. In this thesis, we studied the plasma-wall interaction using a Vlasov-Poisson model. This kinetic model allowed us to investigate the three different regions (Debye sheath, magnetic and collisional presheaths) that compose the transition between a low-pressure plasma and a wall when a tilted magnetic field is present. Particular attention was devoted to the physical properties of ions entering the Debye sheath and the role of ion-neutral collisions on the Bohm criterion. Moreover, we showed that, in the presence of a tilted magnetic field, the ion distribution function is significantly distorted from its Maxwellian shape in the bulk plasma, thus requiring a fully kinetic study. Using the computed ion distributions on the wall, we estimated the wall sputtering rate in terms of the magnetic field strength and angle of incidence. We showed in particular that, for grazing incidence, the sputtering rate is reduced because of two effects: first, the ion flux is spread over a larger area and, second, the grazing magnetic field limits the kinetic energy of ion population. As plasmas are generally composed of more than one species, we extended our model to simulate an argon-helium plasma. Our study focussed on the Bohm criterion at the Debye sheath entrance and its modifications brought by the introduction of a second ion species

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur la stabilisation d'une classe d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Il s'agit d'un modèle discrétisé de l'équation de Vlasov-Poisson décrivant l'évolution spatio-temporelle, dans un plasma, d'une fonction de distribution de particules chargées. Dans une première étape, nous avons abordé la stabilisation des systèmes dynamiques en temps fixe (i.e. la stabilisation en temps fini avec un temps d'établissement uniformément borné). Des critères relaxant des résultats existants dans la littérature ont été établis. En effet, nous avons montré que, pour un système dynamique, la combinaison de la stabilité lente (au sens polynomiale) et de la stabilité rapide (au sens temps fini) conduit à une stabilité en temps fixe. Diverses applications sur le système de Vlasov-Poisson discrétisé concernent aussi le système double intégrateur avec observateur et les systèmes bilinéaires de dimension infinie où pour chacun de ces systèmes, le retour stabilisant et /ou les observateursen temps fixe sont construits et testés numériquement. Dans une seconde étape, nous nous sommes intéressés à la stabilisation en temps petit des systèmes dynamiques variants dans le temps. En fait, la notion de temps petit est couramment utilisée dans la théorie de la commandabilité. Pour la stabilisation, ce temps petit est situé entre le temps fini et le temps fixe. Nous avons élaboré des résultats théoriques basés sur la méthode énergétique garantissant la convergence de la solution, vers zéro, en temps petit. Cela, est obtenu moyennant une excitation temporelle d'une fonction positive non intégrable au sens de Lebesgue. Puis, nous avons appliqué nos résultats sur des exemples modèles comme l'équation de transport avec contrôle frontière, l'équation d'onde soumis à un contrôle frontière du type Wentzell. Également, pour les systèmes bilinéaires en dimension finie et infinie qui sont, en outre, des modèles types de Vlasov-Poisson discrétisé. Pour chaque système, nous avons élaboré son retour d'état dont la construction est basée sur l'intégration des excitations temporelles et uniformes
The work presented in this thesis concerns the stabilization of a class of nonlinear partialdifferential equations. It is a discretized model of the Vlasov-Poisson equation describing the spatial and temporal evolution, in a plasma, of a distribution function of charged particles. In a first step, we addressed the stabilization of the dynamical systems in fixed time (i.e. stabilization in finite time with a uniformly bounded). Criteria relaxing existing results in the literature have been established. Indeed, we have shown that, for a dynamical system, the combination of slow stability (in the polynomial sense) and fast stability (in the finite time sense) leads to a stability in fixed time. Various applications on the discretized Vlasov-Poisson system also concern the double integrator system with observer and the bilinear systems in infinite dimension where for each of these systems, the stabilizing feedback and/or observers in fixed time are constructed and numerically tested. In a second step, we are interested in the small time stabilization of time varying dynamical systems. In fact, the notion of small time is commonly used in theory of controllability. For stabilization, this small time is located between finite time and the fixed time. We have developed theoretical results based on the energy method guaranteeing the disappearance of the solution in small time. This is obtainedby means of a time excitation of a positive function not integrable in the sense of Lebesgue. Then, we have applied our results on model examples such as the transport equation with boundary control, the wave equation subject to a boundary control of the Wentzell type. Also, for finite and infinite dimensional bilinear systems which are, in addition, typical discretized Vlasov-Poisson models. For each system, we have elaborated its feedback whose construction is based on the integration of temporal and uniform excitations

Ce sujet de recherche, aborde la problématique de l'observation et la commande d'une classe d'Equations aux Dérivées Partielles (EDPs) non linéaire en dimension finie et infinie. Une des motivations principales concerne l'application de ces approches à l'équation de Vlasov-Poisson (VP) en dimension 1Dx1D. Cette dernière décrit l'évolution de la fonction de distribution de particules chargées dans un plasma de fusion. La majeure partie des travaux dans la littérature sur les équations de Vlasov-Poisson concerne l'analyse et la discrétisation de ces équations, mais très peu de résultats existent sur le contrôle encore moins sur l'observation. Il traite d'une part la synthèse d'observateur, la stabilisation par retour d'état de la commande et celle basée observateur sous les conditions d'LMIs du système discrétisé obtenu par la méthode Galerkin discontinue. Et d'autre par la conception d'observateur d'état en dimension infinie par la technique du backstepping
This subject of research, addresses the problem of the observation and control of a class of nonlinear Partial Differential Equations (PDEs) in finite and infinite dimension. One of the main motivations concerns the application of these approaches to the Vlasov-Poisson equation (VP) in dimension 1Dx1D. The latter describes the evolution of the distribution function of charged particles in a fusion plasma.Most of the work in the literature on the Vlasov-Poisson equations concerns the analysis and discretisation of these equations, but very few results exist on the control and even fewer on the observation. It deals on the one hand with the observer synthesis, the stabilization by state feedback of the control and the observer-based stabilization under LMI conditions of the discretized system obtained by the discontinuous Galerkin method. And on the other hand by the design of state observer in infinite dimension by the technique of backstepping

Les satellites artificiels baignent dans un environnement radiatif hostile qui conditionne en partie leur fiabilité et leur durée de vie en opération : les ceintures de Van Allen. Afin de les protéger, il est nécessaire de caractériser la dynamique des électrons énergétiques piégés dans les ceintures radiatives. Elle est déterminée essentiellement par les interactions entre les électrons énergétiques et les ondes électromagnétiques existantes.

Le travail de cette thèse a consisté à concevoir un schéma numérique original pour la résolution du système d'équations modélisant ces interactions : les équations de Vlasov-Maxwell relativistes. Notre choix s'est orienté vers des méthodes d'intégration directe. Nous proposons trois nouvelles méthodes spectrales pour discrétiser en impulsion les équations : une méthode de Galerkin et deux méthodes de type collocation. Ces approches sont basées sur des fonctions de Hermite qui ont la particularité de dépendre d'un facteur d'échelle permettant d'obtenir une bonne résolution en vitesse.

Nous présentons dans ce manuscript les calculs conduisant à la discrétisation et à la résolution du problème de Vlasov-Poisson monodimensionnel ainsi que les résultats numériques obtenus. Puis nous étudions les extensions possibles des méthodes au problème complet relativiste. Afin de réduire les temps de calcul, une parallélisation et une optimisation des algorithmes ont été mises en \oe uvre. Enfin, les calculs de validation du code 1Dx-3Dv, à partir d'instabilités de types Weibel et whistlers, à une ou deux espèces d'électrons, sont détaillés.

Cette thèse porte sur l'étude de quelques modèles cinétiques utilisés en physique des plasmas.Le premier modèle considéré est un système de Vlasov-Poisson 1D à deux espèces de particules (ions et électrons), dans un domaine d'espace borné, x∈(0,1), avec condition de réflexion directe au bord. Dans le cas linéaire, des caractéristiques généralisées sont définies, en s'assurant qu'on atteint le temps s=0 en un nombre fini de rebonds, le cas problématique étant celui où le champ électrique est sortant du domaine. Puis, pour des données initiales paires en vitesse, une solution globale continue est construite à l'aide des caractéristiques généralisées et d'un argument de point fixe. L'unicité locale d'une solution continue est démontrée, dans un cadre où il ne peut arriver deux rebonds successifs sur le même bord. Le second modèle étudié a été obtenu comme limite d'un système de Vlasov-Poisson à une espèce de particules en régime de rayon de Larmor fini. Pour des solutions vérifiant une condition de décroissance, une estimation de stabilité au sens de Wasserstein est prouvée, et une nouvelle preuve de l'existence de telles solutions est donnée. Le champ d'advection est alors lipschitzien. Enfin, des simulations numériques pour un système de Vlasov-Poisson à une dimension d'espace et de vitesse soumis à une onde extérieure sont réalisées pour étudier la réponse électronique. Un phénomène de battement entre deux ondes, l'une à la fréquence extérieure, l'autre à la fréquence de Landau, est mis en évidence
This thesis deals with the study of some kinetic models encountered in plasma physics.The first model considered is a 1D Vlasov-Poisson system representing the dynamics of two species of particles (ions and electrons) in a bounded set, x ∈ (0,1), with direct reflection boundary conditions. In the linear case, generalized characteristics are defined, ensuring the time s=0 to be reached after a finite number of bounces, the problematic case being when the electric field points outward of the boundary. Then, for initial conditions even in the velocity variable, a global continuous solution is built by means of generalized characteristics and a fixed point argument. Local uniqueness of a continuous solution is shown, in a frame where two successive bounces at the same boundary cannot occur. The second model was obtained as the limit of a Vlasov-Poisson system in the finite Larmor radius regime.For solutions satisfying a decay assumption, a Wasserstein stability estimate is proven, and a new proof of the existence of such solutions is given. The advection field is then Lipschitz continuous. Finally, numerical simulations are performed to investigate the kinetic response of electrons to an external drive. A beating between two waves, one at the external frequency, the other at the Landau frequency, is revealed

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de quelques modèles d'équations aux dérivées partielles issues de la physique des plasmas. On s'intéresse principalement à l'analyse théorique de différents régimes asymptotiques de systèmes d'équations cinétiques de type Vlasov-Poisson-Fokker-Planck. Dans un premier temps, en présence d'un champ magnétique extérieur on se concentre sur l'approximation des électrons sans masse fournissant des modèles réduits lorsque le rapport me{mi entre la masse me d'un électron et la masse mi d'un ion tend vers 0 dans les modèles. Suivant le régime considéré, on montre qu'à la limite les solutions vérifient des modèles hydrodynamiques de type convection-diffusion ou sont données par des densités de type Maxwell-Boltzmann-Gibbs, suivant l'intensité des collisions dans la mise à l'échelle. En utilisant les propriétés hypocoercives et hypoelliptiques des équations, on est capable d'obtenir des taux de convergence en fonction du rapport de masse. Dans un second temps, par des méthodes similaires, on montre la convergence exponentielle en temps long vers l'équilibre des solutions du système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck sans champ magnétique avec des taux explicites en les paramètres du modèles. Enfin, on conçoit un nouveau type de schéma volumes finis pour des équations de convection-diffusion non-linéaires assurant le bon comportement en temps long des solutions discrètes. Ces propriétés sont vérifiées numériquement sur plusieurs modèles dont l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique
This thesis is devoted to the mathematical study of some models of partial differential equations from plasma physics. We are mainly interested in the theoretical study of various asymptotic regimes of Vlasov-Poisson-Fokker-Planck systems. First, in the presence of an external magnetic field, we focus on the approximation of massless electrons providing reduced models when the ratio me{mi between the mass me of an electron and the mass mi of an ion tends to 0 in the equations. Depending on the scaling, it is shown that, at the limit, solutions satisfy hydrodynamic models of convection-diffusion type or are given by Maxwell-Boltzmann-Gibbs densities depending on the intensity of collisions. Using hypocoercive and hypoelliptic properties of the equations, we are able to obtain convergence rates as a function of the mass ratio. In a second step, by similar methods, we show exponential convergence of solutions of the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system without magnetic field towards the steady state, with explicit rates depending on the parameters of the model. Finally, we design a new type of finite volume scheme for a class of nonlinear convection-diffusion equations ensuring the satisfying long-time behavior of discrete solutions. These properties are verified numerically on several models including the Fokker-Planck equation with magnetic field

Ce travail est consacré à l'étude de quelques problèmes de la physique des plasmas: le transport de particules chargées et l'étude des collisions. Dans un premier temps, plusieurs méthodes eulériennes pour la discrétisation de l'équation de Vlasov, modélisant le transport des particules, sont proposées. L'originalité de ces méthodes est l'utilisation d'un maillage ou d'une grille de l'espace des phases pouvant aller jusqu'à six dimensions. Une démonstration rigoureuse de la convergence et des estimations d'erreurs sont d'abord présentées pour un schéma simplifié. Puis des schémas d'ordre plus élevé sont proposés et appliqués à la physiques des faisceaux. Leur précision permet de mettre en évidence des phénomènes très fins comme la formation de halos. Ensuite, des schémas déterministes appliquées à l'opérateur de Landau, qui décrit les collisions binaires dans un plasma, sont proposés. Des tests numériques permettent de comparer les différentes méthodes et mettent en évidence l'effet des collisions dans l'évolution du plasma. Dans la dernière partie, le problème d'existence de solutions pour le modèle de Vlasov-Darwinen dimension trois est traité. Pour cela, des méthodes classiques sur les équations cinétiques et des résultats surles problèmes elliptiques sont utilisés. Enfin, la convergence du système de Vlasov-Darwin vers Vlasov-Poisson est prouvée.