Letteratura scientifica selezionata sul tema "EDP dégénérée"

Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2.

Nous étudions des équations de type Cahn-Hilliard, équation qui fut introduite pour décrire la séparation de phases dans les systèmes multi-composants. Les résultats obtenus dans ce travail ont été motivés par des applications biologiques, notamment la formation de tissus et la croissance de tumeurs, ainsi que par des applications physiques, tels que les écoulements de fluides impliquant des phénomènes de tension de surface. La première partie de cette thèse est une analyse de la relation entre l'équation de Cahn-Hilliard et les modèles Hele-Shaw, qui sont fréquemment utilisés pour modéliser l'écoulement des fluides ou l'évolution de tumeurs cancéreuses dans des espaces confinés. Nous examinons en particulier comment obtenir les modèles Hele-Shaw dans la limite dite incompressible de l'équation de Cahn-Hilliard. La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard non-locale (et ses variations) et sa convergence vers l'équation locale. Cette équation, qui peut être dérivée rigoureusement à partir d'un système de particules en interaction, est obtenue en remplaçant le laplacien, qui est un terme local, par une approximation non-locale prenant en compte les interactions à longue distance entre les composants. Nous montrons que la solution de l'équation non-locale converge vers la solution de l'équation locale dans la limite d'interaction à courte distance. La troisième partie de la thèse se penche sur l'étude des modèles de fluides plus classiques, tels que les équations d'Euler et de Navier-Stokes, qui intègrent des phénomènes de tension de surface. Ces modèles sont utilisés pour décrire les écoulements de fluides ou les mouvements de cellules dans lesquels les forces interfaciales jouent un rôle important. La quatrième partie juxtapose la théorie cinétique, traditionnellement employée pour la représentation de phénomènes physiques à une échelle mésoscopique, avec l'équation de Cahn-Hilliard. Notre étude se concentre spécifiquement sur l'équation de Vlasov-Cahn-Hilliard, qui décrit les processus de transition de phase
We study Cahn-Hilliard type equations, an equation that was introduced to describe phase separation in multi-component systems. The results obtained in this work have been motivated by biological applications, such as tissue formation and tumor growth, as well as physical applications, such as fluid flows involving surface tension phenomena. The first part of this thesis is an analysis of the relationship between the Cahn-Hilliard equation and the Hele-Shaw models, which are frequently used to model fluid flow or the evolution of cancerous tumors in confined spaces. In particular, we examine how to obtain Hele-Shaw models in the so-called incompressible limit of the Cahn-Hilliard equation. The second part of the thesis focuses on the study of the non-local Cahn-Hilliard equation (and its variations) and its convergence to the local equation. This equation, which can be derived rigorously from a system of interacting particles, is obtained by replacing the Laplacian, which is a local term, by a non-local approximation taking into account the long range interactions between the components. We show that the solution of the non-local equation converges to the solution of the local equation in the short range interaction limit. The third part of the thesis focuses on the study of more classical fluid models, such as the Euler and Navier-Stokes equations, which incorporate surface tension phenomena. These models are used to describe fluid flows or cell motions in which interfacial forces play an important role. The fourth part juxtaposes kinetic theory, traditionally used to represent physical phenomena on a mesoscopic scale, with the Cahn-Hilliard equation. Our study focuses specifically on the Vlasov-Cahn-Hilliard equation, which describes phase transition processes

De nos jours, les plasmas sont principalement utilisés à des fins industrielles. L'un des exemples les plus fréquemment cités d'utilisation industrielle est la production d'énergie électrique via des réacteurs nucléaires à fusion. Pour contenir le plasma correctement à l'intérieur du réacteur, un champ magnétique est imposé en arrière-plan, et la densité et la température du plasma doivent être précisément contrôlées. Cela est effectué en envoyant des ondes électromagnétiques à des fréquences et dans des directions spécifiques en fonction des caractéristiques du plasma.La première partie de cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude du modèle du plasma avec un fort champ magnétique en arrière-plan, ce qui correspond à un métamatériau hyperbolique. L'objectif est d'étendre les résultats existant en 2D au cas 3D et de dériver une condition de radiation. Nous introduisons une séparation des champs électriques et magnétiques ressemblant à la décomposition TE et TM habituelle, puis nous présentons quelques résultats sur les deux problèmes résultants. Les résultats sont dans un état très partiel et constituent un brouillon approximatif sur le sujet.La deuxième partie étudie l'EDP dégénérée associée aux ondes résonantes « lower-hybrid » dans le plasma. Le problème aux limites associé est bien posé dans un cadre variationnel « naturel ». Cependant, ce cadre n'inclut pas le comportement singulier présenté par les solutions physiques obtenues via le principe d'absorption limite. Ce comportement singulier est important du point de vue physique car il induit le chauffage du plasma mentionné précédemment. Un des résultats clés de cette deuxième partie est la définition d'une notion de saut à travers l'interface à l'intérieur du domaine, ce qui permet de caractériser la décomposition de la solution d'absorption limite en parties régulière et singulière
Nowadays, plasmas are mainly used for industrial purpose. One of the most frequently cited examples of industrial use is electric energy production via fusion nuclear reactors. Then, in order to contain plasma properly inside the reactor, a background magnetic field is imposed, and the density and temperature of the plasma must be precisely controlled. This is done by sending electromagnetic waves at specific frequencies and directions depending on the characteristics of the plasma.The first part of this PhD thesis consists in the study of the model of plasma in a strong background magnetic field, which corresponds to a hyperbolic metamaterial. The objective is to extend the existing results in 2D to the 3D-case and to derive a radiation condition. We introduce a splitting of the electric and magnetic fields resembling the usual TE and TM decomposition, then, it gives some results on the two resulting problems. The results are in a very partial state, and constitute a rough draft on the subject.The second part consists in the study of the degenerate PDE associated to the lower-hybrid resonant waves in plasma. The associated boundary-value problem is well-posed within a ``natural'' variational framework. However, this framework does not include the singular behavior presented by the physical solutions obtained via the limiting absorption principle. Notice that this singular behavior is important from the physical point of view since it induces the plasma heating mentioned before. One of the key results of this second part is the definition of a notion of weak jump through the interface inside the domain, which allows to characterize the decomposition of the limiting absorption solution into a regular and a singular parts

Cette thèse a pour but d'étudier des problèmes inverses pour des équations paraboliques semi-linéaires issues du modèle de climat de Budyko-Sellers, représentant l'évolution de la température à la surface terrestre pendant une longue période. Une première étape a consisté à étudier un problème inverse pour un modèle méridien, unidimensionnel, dégénéré au bord du domaine, obtenu à partir du modèle général. Dans le but de mieux cerner les phénomènes liés à la dégénérescence de l'opérateur, nous nous sommes d'abord intéressés à une équation linéaire dégénérée plus simple, pour laquelle nous démontrons plusieurs résultats de stabilité Lipschitzienne dans la détermination d'un terme source et d'une constante dans le terme de diffusion. Nous résolvons également un problème de contrôlabilité approchée avec un contrôle placé au point frontière dégénéré. Ensuite, nous démontrons deux théorèmes de stabilité Lipschitzienne dans la détermination d'un coefficient, appelé coefficient d'ensoleillement. Le premier résultat concerne le modèle méridien non linéaire, tandis que le second est obtenu pour l'équation générale non linéaire, posée sur la surface terrestre
This work aims at solving inverse issues in semilinear parabolic equations derived from the Budyko-Sellers climate model, which represents the evolution of the Earth's surface temperature during a long time period. A first step consists in studying an inverse problem in a one dimensional degenerate model on a meridian. In order to understand the consequences of boundary degeneracies, we have first investigated a one dimensional linear degenerate equation. We prove various Lipschitz stability results in the determination of a source term and a diffusive constant. We also solve an approximate controllability issue, putting a control at the degenerate boundary point. Eventually, we prove two Lipschitz stability results in the determination of the so-called insolation function, in both cases of the semilinear model on a meridian and the general semilinear equation posed on the Earth's surface

La thèse se compose de deux parties.

Première partie :
thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous
apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute
dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires
générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de
l'équation géométrique.

Deuxième partie :
thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.
Nous obtenons le résultat suivant.
Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique
hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$
et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.
Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour
tout tenseur symétrique $R$ voisin
de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$
dont la courbure de Ricci vaut $R$.
Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image
de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété
au voisinage de ${\cal R}_0$.
Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante
en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,
et de quelques obstructions.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié le cas de grilles cartésiennes dans $\RR^2$ de plus en plus denses, dans le cadre de la théorie de $\Gamma$-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans $\RR^d$. Des difficultés nouvelles surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner, nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence. Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre et de demande. Comme montré dans \cite{brasco2013congested}, le problème de l'équilibre de Wardrop est équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique, anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien augmenté présentée dans \cite{benamou2013augmented} pour proposer des exemples de simulation. Enfin, le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement, encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté
This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional cartesian networks that become very dense in the framework of $\Gamma$-convergence theory. Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems.In Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense. New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence. Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We then have similar results to those in the cartesian case.In Chapter 3 we study the continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's theorem, as in \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. To use it we consider a relaxed version of the limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case, that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in \cite{brasco2013congested} the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented Lagrangian scheme presented in \cite{benamou2013augmented} to show a few numerical simulation examples. Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance. It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian algorithm