Thèses sur le sujet « Variétés de Grassmann »

On donne un système complet d'invariants orthogonaux permettant de déterminer la classe d'isométries d'un triplet. Ces résultats sont par la suite appliqués aux quadruplets et aux N-uples de plans. Certains cas particuliers sont étudiés, comme les quadruplets et triplets réguliers

Dans la première partie de ce travail, on a étudié les grassmanniennes d'un espace de Hilbert séparable, de dimension infinie, plus exactement le lien de la grassmannienne régulière (hilbertienne) à ses composantes connexes, au groupe général linéaire restreint, et aux ouverts de l'atlas associés à sa structure hilbertienne. On a étudié aussi les composantes connexes d'une grassmannienne dense dans la grassmannienne régulière, le lien de ses composantes connexes à sa décomposition en cellules de Schubert. A la fin de cette partie, on démontre le lien topologique qui existe entre les grassmanniennes de dimension infinie et les grassmanniennes de dimension finie. Dans la deuxième partie, on a étudié le lien des groupes de lacets aux grassmanniennes, et l'équivalent de l'action de l'opérateur vertex sur les éléments de la grassmannienne associés à la fonction tau
In the first part of this work, we studied the infinite dimensional Grassmannians of a separable Hilbert space. More exactly, the link between hilbertian grassmannians and its connected components, the restricted general linear group, and the open sets covering of this hilbertian grassmannian. We studied also the connected components of a dense grassmannian of a hilbertian grassmannian, the link between its connected components and its cellular Schubert decomposition. At the end of this part, we show the topologic relation existing between the infinite dimensional grassmannians and the finite dimensional once. In the second part of this work, we studied the link between the loop groups and the grassmannians, we studied also the operator vertex's action on the grassmannian's elements associated to the tau function

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l’analyse géométrique, l’étude des singularités et la concep-tion préliminaire de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte. Les principales contributions résident dans le développement d’une méthode systématique d’analyse de singularités des manipulateurs parallèles à mobilité restreinte à l’aide de l’algèbre de Grassmann-Cayley et la géométrie de Grassmann, et d’une approche de prise en compte des singularités au stade de la conception préliminaire de manipulateurs parallèles. Le mémoire est divisé en six chapitres. Le premier chapitre énumère les propriétés générales des manipulateurs étudiés et four-nit un état de l’art sur les types de singularités et les différentes méthodes pour les déterminer. Le deuxième chapitre rappelle les concepts et outils fondamentaux nécessaires à la compréhension des méthodes présentées dans cette thèse et de ses contributions. Le troisième chapitre développe, à travers différents cas d’études, une méthode d’analyse des contraintes appliquées à la plateforme mobile d’un manipulateur parallèle à mobilité restreinte et introduit le concept de graphe d’efforts dans l’espace projectif de dimension trois. Ce graphe d’ef-forts est essentiel pour l’étude des singularités et possède un aspect conceptuel. Le quatrième chapitre présente une méthodologie systématique d’analyse des singularités de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte ba-sée sur l’algèbre de Grassmann-Cayley. Cette méthodologie permet d’une part de déterminer les conditions de singularités parallèles du manipulateur étudié sous forme algébrique, géométrique et vectorielle et d’autre part de décrire les mouvements incontrôlés de la plateforme mobile dans ces configurations singulières. Le cinquième chapitre introduit des concepts permettant d’utiliser la géométrie de Grassmann pour étudier les singularités de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte et met en évidence la correspondance et l’aspect complémentaire entre la géométrie de Grassmann et l’algèbre de Grassmann-Cayley à travers l’analyse de singularités de ces manipulateurs. Finalement, le sixième chapitre présente une procédure de synthèse de manipulateurs paral-lèles générateurs de mouvements dits de Schönflies en utilisant sur le concept de graphe d’efforts, l’algèbre de Grassmann-Cayley et la géométrie de Grassmann. Cette procédure permet de prendre en compte les singularités au stade de la conception préliminaire de ce type de manipulateurs
This PhD thesis report deals with the geometrical analysis, the singularities and the conceptual design of lower-mobility parallel manipulators. Its main contributions consist in the formulation of a systematic method to analyze the singularities of lower-mobility parallel manipulators based on Grassmann-Cayley algebra and Grassmann geometry and an approach for the conceptual design of such manipulators based on their singularity conditions. The report is composed of six chapters. The first chapter enumerates the general characteristics of the manipulators under study and provides a state of the art on the singularities and the different methods for their determination. The second chapter recalls the fundamental concepts and tools required for the compre-hension of the methods and contributions of this PhD thesis. The third chapter develops, through several case studies, a method for the constraint analysis of lower-mobility parallel manipulators and introduces the concept of wrench graph in the 3-dimensional projective space. This wrench graph is useful for the singularity analysis and provides a conceptual aspect. The fourth chapter presents a systematic method for the singularity analysis of lower-mobility parallel manipulators based on Grassmann-Cayley algebra. This method allows the determina-tion of the parallel singularity conditions of the studied manipulator algebraically, geometrically and in a vector form and the description of the uncontrollable motions of the moving platform in these singular configurations. The fifth chapter introduces some concepts that make it possible to use Grassmann geometry for the singularity analysis of lower-mobility parallel manipulators and highlights the correspondence and the complementarity of Grassmann-Cayley algebra and Grassmann geometry in the singularity analysis of such manipulators. Finally, the sixth chapter introduces a procedure for the type synthesis of parallel Schönflies motion generators based on the concept of wrench graph, the Grassmann-Cayley algebra and the Grassmann geometry. This procedure allows one to take into account the singularities at the conceptual design of such manipulators

Le but de ce travail est d'etudier des suites d'immersions conformes du disque unite a valeurs dans une variete riemannienne quelconque. Notre approche a consiste a mettre en evidence certaines proprietes des limites de suites d'applications de gauss associees aux immersions. Sous certaines hypotheses de convergence uniforme que nous avons precise, les singularites de la limite de la suite ne sont jamais isolees. Cette these est divisee en trois parties: la premiere fixe le cadre geometrique et analytique de ce travail; la deuxieme donne deux resultats sur la geometrie de la limite d'une suite d'immersions conformes du disque unite, a valeurs dans une variete riemannienne; la troisieme applique les resultats obtenus lorsque les suites d'applications considerees sont des suites d'applications de gauss associees a des immersions

Dans cette thèse nous introduisons la notion de fibré tt* (E,D,S), de fibré tt* métrique (E,D,S,g) et de fibré tt* symplectique (E,D,S,omega) sur un fibré vectoriel E au-dessus d'une variété complexe, dans le langage de la géométrie différentielle réelle. Grâce à cette notion on obtient une correspondance entre des fibrés tt* métriques et des applications pluriharmoniques admissibles de (M,J) dans l'espace symétrique pseudo-Riemannien GL(r,R)/O(p,q), avec (p,q) la signature de la métrique g. En utilisant ce résultat on obtient dans le cas, où M est compact Kählérienne, un résultat de rigidité, puis un cas particulier du théorème de Lu. De plus, nous étudions des fibrés tt* sur le fibré tangent TM et caractérisons une classe spéciale qui contient les variétés spéciales complexes et les variétés nearly Kählériennes plates, et la sous-classe qui admet un fibré tt* métrique ou symplectique. En outre on analyse les fibrés tt* qui proviennent de variations de structures de Hodge (VHS) et de fibrés harmoniques. Pour les fibrés harmoniques, la correspondance permet de généraliser un résultat de Simpson. L'application pluriharmonique associée à une variété spécialement Kählérienne est reliée à l'application de Gauss duale, et celle associée à une VHS de poid impair est l'application de périodes. Si la structure complexe n'est pas intégrable, on doit généraliser la notion de pluriharmonicité. Hors la rigidité ces résultats sont généralisés au cas para-complexe
In this work we introduce the real differential geometric notion of a tt*-bundle (E,D,S), a metric tt*-bundle (E,D,S,g) and a symplectic tt*-bundle (E,D,S,omega) on an abstract vector bundle E over an almost complex manifold (M,J). With this notion we construct, generalizing Dubrovin, a correspondence between metric tt*-bundles over complex manifolds (M,J) and admissible pluriharmonic maps from (M,J) into the pseudo-Riemannian symmetric space GL(r,R)/O(p,q) where (p,q) is the signature of the metric g. Moreover, we show a rigidity result for tt*-bundles over compact Kähler manifolds and we obtain as application a special case of Lu's theorem. In addition we study solutions of tt*-bundles (TM,D,S) on the tangent bundle TM of (M,J) and characterize an interesting class of these solutions which contains special complex manifolds and flat nearly Kähler manifolds. We analyze which elements of this class admit metric or symplectic tt*-bundles. Further we consider solutions coming from varitations of Hodge structures (VHS) and harmonic bundles. Applying our correspondence to harmonic bundles we generalize a correspondence given by Simpson. Analyzing the associated pluriharmonic maps we obtain roughly speaking for special Kähler manifolds the dual Gauss map and for VHS of odd weight the period map. In the case of non-integrable complex structures, we need to generalize the notions of pluriharmonic maps and some results. Apart from the rigidity result we generalize all above results to para-complex geometry

Le sujet principal de cette thèse est l'étude du problème d'équivalence des équations de Monge-Ampère en trois variables. Nous abordons ce problème du point de vue de la théorie géométrique des invariants scalaires différentiels en utilisant la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre ces équations et certaines formes différentielles sur une variété symplectique, les formes effectives. Nous étudions tout d'abord la géométrie des formes effectives sur un espace vectoriel symplectique. La liste exhaustive des différentes orbites de l'action du groupe symplectique Sp(3) sur l'espace des 3-formes effectives est donnée. Nous montrons que l'invariant quadratique de Lychagin-Roubtsov est un invariant caractéristique de ces orbites et nous interprétons cet invariant comme une application moment en utilisant l'approche de Hitchin sur la géométrie des 3-formes extérieures. Nous donnons ensuite une condition suffisante pour qu'une équation de Monge-Ampère sur R3 soit localement équivalente à l'une des trois équations à coefficients constants non dégénérée au sens de Hitchin. Cette condition porte sur les dérivées d'ordre 1 et 2 des coefficients de la forme effective sur T*R3 associée. Ce résultat complète et simplifie un résultat démontré par Lychagin et Roubtsov. Nous donnons toutefois un second critère d'équivalence locale qui se comprend mieux du point de vue géométrique. Nous associons pour cela à chaque équation de Monge-Ampère en trois variables une structure de type Calabi-Yau et nous interprétons ce problème d'équivalence locale en termes d'intégrabilité de cette structure et de courbure de la métrique associée. Ce résultat est l'analogue en dimension 3 de la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre équations de Monge-Ampère à coefficients constants et structures complexes ou structures produits intégrables en dimension 2. Nous étudions enfin la grassmannienne associée à une équation de Monge-Ampère non dégénérée au sens de Hitchin. Nous généralisons notamment la description de la grassmannienne des sous espaces lagrangiens spéciaux par l'espace homogène SU (3) / SO (3) et nous complétons le calcul des classes caractéristiques associées de Zilbergleit. Nous abordons aussi dans cette thèse le cas de la dimension 4. Nous introduisons en particulier un analogue complexe des opérateurs de Monge-Ampère, les opérateurs pluriharmoniques sur une variété complexe. Nous établissons une correspondance entre ces opérateurs pluriharmoniques et les formes bieffectives et nous montrons sur quelques exemples comment étudier la géométrie des solutions pluriharmoniques d'une équation de Monge-Ampère sur R4.

On definit des "classes caracteristiques de maslov" pour un couple de sous-fibres lagrangiens d'un fibre vectoriel symplectique possedant un sous-fibre lagrangien trivial. Ces classes de maslov sont des obstructions cohomologiques a la transversalite. Une formule explicite est donnee pour le calcul de ces classes. En dimension impaire, le role d'obstruction a la transversalite de la classe de maslov de degre le plus eleve s'exerce dans un cadre plus general que le cadre symplectique dans lequel cette classe est definie. En dimension paire, si les fibres sont orientes, la classe d'euler joue le meme role. Dans chaque cas l'obstruction cohomologique est construite a partir de pfaffien du groupe special orthogonal, par des procedes qui sont decrits en detail. On etudie ensuite un plongement larangien particulierement interessant de la grassmanienne lagrangienne dans un espace vectoriel symplectique. Les formules de calcul precedemment etablies sont utilisees pour prouver que les classes caracteristiques de ce plongement ne sont pas nulles. Une contribution a l'etude de la geometrie de la grassmannienne lagrangienne au moyen de ce plongement termine ce travail (calcul de la courbure, de la seconde forme fondamentale; minimalite dans une sphere; majoration de la premiere valeur propre des surfaces compactes minimales en dimension 3)

Ce mémoire de thèse concerne l'interpolation sur les variétés de Grassmann et ses applications à la réduction de modèles en mécanique et plus généralement aux systèmes d'équations aux dérivées partielles d'évolution. Après une description de la méthode POD, nous introduisons les fondements théoriques en géométrie des variétés de Grassmann, qui seront utilisés dans le reste de la thèse. Ce chapitre donne à ce mémoire à la fois une rigueur mathématique au niveau des algorithmes mis au point, leur domaine de validité ainsi qu'une estimation de l'erreur en distance grassmannienne, mais également un caractère auto-contenu "self-contained" du manuscrit. Ensuite, on présente la méthode d'interpolation sur les variétés de Grassmann introduite par David Amsallem et Charbel Farhat. Cette méthode sera le point de départ des méthodes d'interpolation que nous développerons dans les chapitres suivants. La méthode de Amsallem-Farhat consiste à choisir un point d'interpolation de référence, envoyer l'ensemble des points d'interpolation sur l'espace tangent en ce point de référence via l'application logarithme géodésique, effectuer une interpolation classique sur cet espace tangent, puis revenir à la variété de Grassmann via l'application exponentielle géodésique. On met en évidence par des essais numériques l'influence du point de référence sur la qualité des résultats. Dans notre premier travail, nous présentons une version grassmannienne d'un algorithme connu dans la littérature sous le nom de Pondération par Distance Inverse (IDW). Dans cette méthode, l'interpolé en un point donné est considéré comme le barycentre des points d'interpolation où les coefficients de pondération utilisés sont inversement "proportionnels" à la distance entre le point considéré et les points d'interpolation. Dans notre méthode, notée IDW-G, la distance géodésique sur la variété de Grassmann remplace la distance euclidienne dans le cadre standard des espaces euclidiens. L'avantage de notre algorithme, dont on a montré la convergence sous certaines conditions assez générales, est qu'il ne requiert pas de point de référence contrairement à la méthode de Amsallem-Farhat. Pour remédier au caractère itératif (point fixe) de notre première méthode, nous proposons une version directe via la notion de barycentre généralisé. Notons enfin que notre algorithme IDW-G dépend nécessairement du choix des coefficients de pondération utilisés. Dans notre second travail, nous proposons une méthode qui permet un choix optimal des coefficients de pondération, tenant compte de l'auto-corrélation spatiale de l'ensemble des points d'interpolation. Ainsi, chaque coefficient de pondération dépend de tous les points d'interpolation et non pas seulement de la distance entre le point considéré et un point d'interpolation. Il s'agit d'une version grassmannienne de la méthode de Krigeage, très utilisée en géostatique. La méthode de Krigeage grassmannienne utilise également le point de référence. Dans notre dernier travail, nous proposons une version grassmannienne de l'algorithme de Neville qui permet de calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de manière récursive via l'interpolation linéaire entre deux points. La généralisation de cet algorithme sur une variété grassmannienne est basée sur l'extension de l'interpolation entre deux points (géodésique/droite) que l'on sait faire de manière explicite. Cet algorithme ne requiert pas le choix d'un point de référence, il est facile d'implémentation et très rapide. De plus, les résultats numériques obtenus sont remarquables et nettement meilleurs que tous les algorithmes décrits dans ce mémoire
This dissertation deals with interpolation on Grassmann manifolds and its applications to reduced order methods in mechanics and more generally for systems of evolution partial differential systems. After a description of the POD method, we introduce the theoretical tools of grassmannian geometry which will be used in the rest of the thesis. This chapter gives this dissertation a mathematical rigor in the performed algorithms, their validity domain, the error estimate with respect to the grassmannian distance on one hand and also a self-contained character to the manuscript. The interpolation on Grassmann manifolds method introduced by David Amsallem and Charbel Farhat is afterward presented. This method is the starting point of the interpolation methods that we will develop in this thesis. The method of Amsallem-Farhat consists in chosing a reference interpolation point, mapping forward all interpolation points on the tangent space of this reference point via the geodesic logarithm, performing a classical interpolation on this tangent space and mapping backward the interpolated point to the Grassmann manifold by the geodesic exponential function. We carry out the influence of the reference point on the quality of the results through numerical simulations. In our first work, we present a grassmannian version of the well-known Inverse Distance Weighting (IDW) algorithm. In this method, the interpolation on a point can be considered as the barycenter of the interpolation points where the used weights are inversely proportional to the distance between the considered point and the given interpolation points. In our method, denoted by IDW-G, the geodesic distance on the Grassmann manifold replaces the euclidean distance in the standard framework of euclidean spaces. The advantage of our algorithm that we show the convergence undersome general assumptions, does not require a reference point unlike the method of Amsallem-Farhat. Moreover, to carry out this, we finally proposed a direct method, thanks to the notion of generalized barycenter instead of an earlier iterative method. However, our IDW-G algorithm depends on the choice of the used weighting coefficients. The second work deals with an optimal choice of the weighting coefficients, which take into account of the spatial autocorrelation of all interpolation points. Thus, each weighting coefficient depends of all interpolation points an not only on the distance between the considered point and the interpolation point. It is a grassmannian version of the Kriging method, widely used in Geographic Information System (GIS). Our grassmannian Kriging method require also the choice of a reference point. In our last work, we develop a grassmannian version of Neville's method which allow the computation of the Lagrange interpolation polynomial in a recursive way via the linear interpolation of two points. The generalization of this algorithm to grassmannian manifolds is based on the extension of interpolation of two points (geodesic/straightline) that we can do explicitly. This algorithm does not require the choice of a reference point, it is easy to implement and very quick. Furthermore, the obtained numerical results are notable and better than all the algorithms described in this dissertation

L'objet de cette thèse est l'étude de l'équation d'un filament de vorticité dans ses diverses formes, l'équation d'Euler d'un fluide parfait incompressible G-invariant pour l'action d'un groupe de Lie ainsi que l'étude de la grassmannienne non-linéaire. Le corps de la thèse se découpe en trois chapitres : dans le premier chapitre, nous donnons la forme locale de l'équation d'un filament de vorticité et montrons que l'astuce d'Hasimoto s'étend aux cas des filaments plongés dans une variété riemannienne tridimensionnelle quelconque. Dans le deuxièeme chapitre, nous étudions le groupe des automorphismes unimodulaires de l'espace total d'un fibré principal. Nous déterminons les équations d'Euler associées et exhibons certaines suites exactes de groupes de Lie fréchétiques. Le troisièeme chapitre étudie en détail la grassmannienne non-linéaire, les diverses structures que l'on peut lui adjoindre et quelques équations hamiltoniennes associées. Un premier appendice traite de la notion de calcul différentiel sur un espace fréchétique et un deuxième appendice montre qu'il existe une structure de groupe de Lie sur le groupe des difféomorphismes unimodulaires d'une variété compacte
In this thesis, we study the vortex filament equation, the Euler equation of an incompressible fluid which is G-invariant with respect to a Lie group action and we also study the non-linear grassmanniann. Our study is organized in three chapter and two appendices : in the first chapter, we study the local form of the vortex filament equation and we show that Hasimoto's trisk extends to the the case of a filament embedded in a general three-dimensional riemannian manifold. In the second chapter, we study the group of unimodular automorphisms of the total space of a principal bundle. We compute the Euler equations associated to this group and derive some short exact sequences. In the third chapter, we study the non-linear grassmannian, some geometrical structures on it and we consider also some hamiltonian equations associated. The first appendix treats the notion of differentiable calculus on a frechet space and the second is devoted to the group of unimodular diffeomorphisms of a compact manifold

Le but de ce travail est d'étudier la structure globale de la catégorie de foncteurs F entre espaces vectoriels sur F2, notamment la conjecture artinienne, qui équivaut au caractère localement, noethérien de cette catégorie. Nous démontrons que le produit tensoriel entre un foncteur fini et le foncteur projectif standard P82 associé à un espace vectoriel de dimension 2 est noethérien. Nous introduisons à cet effet d'autres catégories de foncteurs, nommées catégories de foncteurs en grassmaniennes. Elles permettent d'énoncer une forme très forte de la conjecture artinienne, décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Notre théorème de simplicité généralisé établit une version faible de cette conjecture. Il permet de démontrer le résultat précédent sur la structure de P2 F(avec F fini), que nous avons également obtenu par l'usage conjoint de foncteurs hom internes et de considérations issues de la théorie des représentations modulaires. Nous décrivons la riche structure algébrique des catégories de foncteurs en grassmaniennes, équivalentes à des catégories de comodules dans F. Notre théorème d'annulation cohomologique fondamental généralise un grand nombre de résultats antérieurs en cohomologie des foncteurs. Il permet également de généraliser une étape essentielle de la démonstration de Suslin de l'isomorphisme entre K-théorie stable et homologie de Mac Lane pour des systèmes de coefficients polynomiaux.

Soit $X$ le produit direct de deux grassmanniennes des sous-espaces de dimensions $k$, $l$ d'un espace vectoriel $V$. Nous étudions les orbites d'un sous-groupe de Borel $B$ de GL($V$) opérant diagonalement dans $X$, et les adhérences de Zariski de ces orbites, en analogie avec les cellules et les variétés de Schubert dans les grassmanniennes. On vérifie sans pein que ces orbites sont en nombre fini. Elles ont été décrites de façon combinatoire par P. Magyar, J. Weyman et A. Zelevinsky. Nous obtenons un critère pour l'inclusion d'une orbite dans l'adhérence d'une autre orbite, et nous construisons une résolution de ces adhérences d'orbites, analogue aux désingularisations de Bott-Samelson des variétés de Schubert.

Les formules de Pieri sont des formules qui permettent de comprendre la structure d'algèbre de cohomologie de la Grassmannienne (affine) ou même celle des variété de Drapeaux. Plusieurs sont déjà établies dans quelques types et cas particuliers. Cependant ce problème reste encore ouvert pour la plupart des cas affines, en particulier pour trouver des formules de Pieri dans "H^*(\mathcal{G}r_G)" en types "B", "C" et "D".Dans cette thèse, même si on généralise quelques résultats pour un groupe de Weyl affine non-tordu général, on explore principalement les types A et C.Dans la variété de drapeaux de type A affine, on trouve une formule pour la multiplication, dans l'algèbre de cohomologie d'une variété de drapeaux, d'un élément de la base "\xi^w" par un autre (spécial) qu'on appellera ''crochet''. On montre ce résultat en utilisant la formule de Pieri donnée par Lam et al dans \cite{insertion}.En type C affine, on propose une conjecture pour une formule de Pieri en Cohomologie, en montrant qu'elle est valide en degré 1 et ''presque'' tous les cas du degré 2. On la vérifie aussi, en testant de nombreux exemples à l'aide de l'ordinateur.En Homologie, on redémontre, en utilisant une nouvelle stratégie simplifiée, la formule de Pieri en type C \cite{lam2010schubert}. Cette nouvelle approche pourrait éventuellement être utilisée dans le but d'établir des formules en types exceptionnels.Dans les variétés de drapeaux de dimension finie, on trouve aussi une majoration des coefficients de Littlewood-Richardson et on la généralise, en tout type, pour des classes particulières qu'on appellera ''petites classes de Schubert''
Pieri's formulas are a gateway to understanding the algebra structure of the (affine) Grassmannian or even that of Flag varieties. Several are already established in a few particular types and cases. However, this problem remains open for most affine cases, especially to find Pieri formulas in "H (\mathcal{G}r_G)" in types "B", "C" and "D".In this thesis, even if some results are generalized for non-twisted affine Weyl groups, we mainly explore types A and C. In the flag variete of affine type A, we find a formula for multiplying, in the cohomology algebra of a flag variety, one element of the base "\xi^w" by another (special) element that will be called ''crochet''. This result is shown using the Pieri formula given by Lam et al in \cite{insertion}. In the affine Type "C", we propose a conjecture for a Pieri formula in Cohomology, showing that it is valid in degree "1" and "almost" all cases of degree "2". It is also checked, by testing many examples using the computer.In Homology, the Pieri formula in type C \cite{lam2010schubert}, is re-demonstrated, using a new simplified strategy. This new approach could eventually be used to establish formulas of exceptional types.In the finite dimensional flag varieties, we find an upper bound for the littlewood-Richardson's coefficients and generalize it, in all types, to particular classes that will be called ''small Schubert classes''

Dans cette thèse nous étudions d’un point de vue topologique deux espaces dont l’utilité et l’importance dépassent le cadre de la topologie algébrique. Le premier espace est constitué de toutes les fonctions holomorphes de la sphère de Riemann dans une variété de Grassmann complexe. Cet espace se scinde en composantes connexes et nous identifions entièrement le type d’homotopie de la composante des applications de degré un. Nous en déduisons des calculs homologiques explicites. Dans le cas des applications pointées, nous explicitons une action de l’opérade des deux petits disques sur l’espace des fonctions rationnelles, simplifiant ainsi quelques travaux de Mann et Milgram. Nous étudions également les espaces de fonctions continues et dans le cas de la Grassmannienne des deux plans complexes dans C4, nous obtenons une décomposition homotopique de son espace de lacet. Finalement le second espace que nous étudions est l'espace des lacets libres sur les configurations de points distincts dans Rn. Dans le cas de 3 points, nous obtenons de façon simple et élégante un résultat de scindement homologique dû à Fadell et Husseini
In this thesis we study a topological point of view two spaces whose usefulness and importance beyond the scope of algebraic topology. The first space consists of all holomorphic maps of the Riemann sphere in a complex Grassmannian manifold. This space is divided into connected components and we identify the entire homotopy type of the component of degree one. We deduce explicit homological calculations. In the case of based map, we explain an action of the operad of two little disks on the space of rational functions, simplifying some work of Mann and Milgram. We also study the spaces of continuous maps and in the case of the Grassmannian of two planes complex C4, we obtain a homotopy decomposition of the space of loops. Finally the second space that we study is the free loop space of configurations of distinct points in Rn. In the case of three points, we obtain a simple and elegant result of homological splitting belonging to Fadell and Husseini

Cette thèse traite de quelques problèmes classiques en géométrie complexe. La première partie est consacrée à la géométrie Finslérienne complexe. Étant donnés deux fibrés vectoriels holomorphes E1 et E2, munis respectivement de deux structures Finslériennes F1 et F2, on construit une métrique Finslérienne F sur le fibré E 1 ⊗ E 2 faisant intervenir les structures Finslériennes initiales. Moyennant une hypothèse sur les sections globales de E1* et E2*, on donne une condition optimale sous laquelle F est strictement pseudo convexe à courbure négative. Ce résultat est présenté après un chapitre constituant un background Finslérien témoignant de la recherche bibliographique en amont de cette thèse et de quelques initiatives et essais personnels. La seconde partie de ce travail traite d'un problème en géométrie Kählerienne. On prouve l'existence d'une fonction "extrémale" minorant toutes les fonctions admissibles (c'est à dire strictement pseudo convexe à la métrique initiale près) à sup nul sur des variétés de Fano non toriques, à savoir la grassmannienne complexe G m,nm ( C ). Les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'automorphismes convenablement choisi. Cette minoration est faite dans le but de calculer l'invariant de Tian sur de telles variétés, les initiatives dans le cas non torique restant très rares, même sur les variétés les plus simples
This thesis deals with some classical problems in complex geometry. The first part is devoted to a problem in complex Finsler Geometry. Giving two holomorphic vector bundles E1 and E2, respectively endowed with two Finsler structures F1 and F2, we build a Finsler metric F on E 1 ⊗ E 2 involving the two initial Finsler structures. This is done under some assumptions on global sections of E1* and E2*. We give an optimal condition under which F is strictly pseudo convex with negative curvature. This result is preceded by a chapter containing a background material in complex Finsler geometry and some personal attempts. The second part of this thesis deals with a problem in Kähler Geometry. We prove the existence of an "extremal" function lower bounding all admissible functions (ie plurisubharmonic functions modulo a metric) with sup equal to zero on the complex Grassmann manifold G m,nm ( C ). The functions considered are invariant under a suitable automorphisms group. This gives a conceptually simple method to compute Tian's invariant in the case of a non toric manifold

L’étude menée dans le cadre de cette thèse vise l’étude du rôle de la dynamique de formes faciales 3D à révéler l’identité des personnes et leurs états émotionnels. Pour se faire, nous avons proposé un cadre géométrique pour l’étude des formes faciales 3D et leurs dynamiques dans le temps. Une séquence 3D est d’abord divisée en courtes sous-séquences, puis chacune des sous-séquences obtenues est représentée dans une variété de Grassmann (ensemble des sous-espaces linéaires de dimension fixe). Nous avons exploité la géométrie de ces variétés pour comparer des sous-séquences 3D, calculer des statistiques (telles que des moyennes) et quantifier la divergence entre des éléments d’une même variété Grassmannienne. Nous avons aussi proposé deux représentations possibles pour les deux applications cibles – (1) la première est basée sur les dictionnaires (de sous-espaces) associée à des techniques de Dictionary Learning Sparse Coding pour la reconnaissance d’identité et (2) le représentation par des trajectoires paramétrées par le temps sur les Grassmanniennes couplée avec une variante de l’algorithme de classification SVM, permettant un apprentissage avec des données partielles, pour la détection précoce des émotions spontanée. Les expérimentations réalisées sur les bases publiques BU-4DFE, Cam3D et BP4D-Spontaneous montrent à la fois l’intérêt du cadre géométrique proposé (en terme de temps de calcul et de robustesse au bruit et aux données manquantes) et les représentations adoptées (dictionnaires pour la reconnaissance d’identité et trajectoires pour la détection précoce des émotions spontanées)
In this thesis, we have investigated the problems of identity recognition and emotion detection from facial 3D shapes animations (called 4D faces). In particular, we have studied the role of facial (shapes) dynamics in revealing the human identity and their exhibited spontaneous emotion. To this end, we have adopted a comprehensive geometric framework for the purpose of analyzing 3D faces and their dynamics across time. That is, a sequence of 3D faces is first split to an indexed collection of short-term sub-sequences that are represented as matrix (subspace) which define a special matrix manifold called, Grassmann manifold (set of k-dimensional linear subspaces). The geometry of the underlying space is used to effectively compare the 3D sub-sequences, compute statistical summaries (e.g. sample mean, etc.) and quantify densely the divergence between subspaces. Two different representations have been proposed to address the problems of face recognition and emotion detection. They are respectively (1) a dictionary (of subspaces) representation associated to Dictionary Learning and Sparse Coding techniques and (2) a time-parameterized curve (trajectory) representation on the underlying space associated with the Structured-Output SVM classifier for early emotion detection. Experimental evaluations conducted on publicly available BU-4DFE, BU4D-Spontaneous and Cam3D Kinect datasets illustrate the effectiveness of these representations and the algorithmic solutions for identity recognition and emotion detection proposed in this thesis

La thèse consiste de deux parties. Dans la première partie, on montre la pureté des fibres de Springer affines pour $\gl_{4}$ dans le cas non-ramifié. Plus précisément, on construit une famille de pavages non standard en espaces affines de la grassmannienne affine, qui induisent des pavages en espaces affines de la fibre de Springer affine. Dans la deuxième partie, on introduit une notion de $\xi$-stabilité sur la grassmannienne affine $\xx$ pour le groupe $\gl_{d}$, et on calcule le polynôme de Poincaré du quotient $\xx^{\xi}/T$ de la partie $\xi$-stable $\xxs$ par le tore maximal $T$ par une processus analogue de la réduction de Harder-Narasimhan
This thesis consists of two parts. In the first part, we prove the purity of affine Springer fibers for $\gl_{4}$ in the unramified case. More precisely, we have constructed a family of non standard affine pavings for the affine grassmannian, which induce an affine paving for the affine Springer fiber. In the second part, we introduce a notion of $\xi$-stability on the affine grassmannian $\xx$ for the group $G=\gl_{d}$, and we calculate the Poincaré polynomial of the quotient $\xx^{\xi}/T$ of the stable part $\xxs$ by the maximal torus $T$ by a process analogue to the Harder-Narasimhan reduction

Dans les communications sans fil sur des canaux à évanouissement, en particulier à antennes multiples, la connaissance instantanée des coefficients de canal, appelés informations d’état de canal (CSI), est essentielle car elle permet d’adapter la transmission et la réception aux conditions actuelles du canal. La communication avec CSI a priori au niveau du récepteur est dite cohérente. En pratique, cependant, le CSI n’est pas disponible avant la communication et doit être estimé à un coût qui ne doit pas être ignoré, en particulier dans un environnement hautement mobile. Ainsi, la communication sans CSI a priori, également appelée communication noncohérente, est un cadre plus pratique et général. Cette thèse contribue à la compréhension des limites théoriques des communications noncohérentes, ainsi qu’à la conception d’un système de communication pratique noncohérent à évanouissement par bloc. Nous considérons trois scénarios: le canal point à point (P2P), le canal à accès multiple (MAC) et le canal de diffusion (BC).Dans la première partie, nous étudions les limites fondamentales des communications noncohérentes en termes de débit de données et de degrés de liberté (DoF) réalisables. Nous considérons un évanouissement par bloc générique dans lequel le canal a une entropie différentielle finie et un second moment fini. Nous établissons d’abord le DoF optimal pour le canal P2P noncohérent à entrées multiples et sorties multiples (MIMO) en utilisant l’approche de la dualité pour borner les informations mutuelles. Deuxièmement, en utilisant une approche de dualité similaire, nous dérivons la région de DoF optimale pour le MAC SIMO à deux utilisateurs, qui peut être obtenue par partage de temps entre des schémas à pilotes simples. Troisième, nous dérivons les régions débit et DoF réalisable pour le BC MIMO noncohérent avec un évanouissement spatialement corrélé en exploitant la diversité de corrélation de transmission, qui est la différence entre la corrélation subie par différents utilisateurs. Ce faisant, nous concevons soigneusement des schémas de transmission basés sur des pilotes et sur le partage de débit, la superposition de produits et une combinaison de ceux-ci pour transmettre efficacement des signaux dans les parties communes et mutuellement exclusives des sous-espaces de corrélation. Dans la deuxième partie, nous concevons la constellation et les schémas de détection efficaces pour les communications noncohérentes sur le canal d’évanouissement de type Rayleigh par bloc. Premièrement, nous proposons une constellation Grassmannienne structurée pour le canal P2P SIMO qui est simple à générer, a une efficacité d’empilement élevée, admet un étiquetage binaire simple mais efficace et permet une détection efficace douce et dure. Deuxièmement, nous étudions la conception de constellation conjointe pour le MAC MIMO. Nous introduisons des critères de conception simples et efficaces afin de minimiser l’erreur de détection conjointe et proposons quelques constructions de constellation simples. Troisièmement, nous proposons un schéma de détection souple multi-utilisateurs noncohérent pour le MAC SIMO à l’évanouissement de Rayleigh corrélé spatialement basé sur l’inférence approximative par propagation d’espérance. Ce schéma présente une complexité polynomiale dans la dimension du canal tout en produisant des marginaux postérieurs approximatifs par utilisateur précis conduisant à des performances d’erreur quasi-optimales
In wireless communication over fading channels, especially multiple-antenna communication, the instantaneous knowledge of channel coefficients, so-called channel state information (CSI), is critical because it enables to adapt the transmission and reception to current channel conditions. The communication with a priori CSI at the receiver is said to be coherent. In practice, however, CSI is not granted for free prior to communication and needs to be estimated at a cost that should not be ignored, especially in a highly mobile environment. Thus, communication without a priori CSI, also known as noncoherent communication, is a more practical and general framework. This thesis contributes to the understanding of the theoretical limits of noncoherent communications, as well as the design of a practical noncoherent communication system in block fading. We consider three scenarios: the point-topoint (P2P) channel, the multiple-access channel (MAC), and the broadcast channel (BC).In the first part, we study the fundamental limits of noncoherent communications in terms of achievable data rate and degrees of freedom (DoF). We consider generic block fading in which the channel has finite differential entropy and finite second moment. First, we derive the optimal DoF for the noncoherent multiple-input multiple-output (MIMO) P2P channel by using the duality approach to bound the input-output mutual information. Second, using a similar duality approach, we derive the optimal DoF region for the two-user noncoherent single-input multiple-output (SIMO) MAC, which can be achieved by time sharing between simple pilot-based schemes. Third, we derive achievable rate and DoF regions for the noncoherent MIMO BC with spatially correlated fading by exploiting the transmit correlation diversity, which is the difference between the correlation experienced by different users. In doing so, we carefully design pilot-based transmission schemes based on rate splitting, product superposition, and a combination of them to effectively transmit signals in both the common and mutually exclusive parts of the correlation subspaces. In the second part, we design the constellation and efficient detection schemes for noncoherent communications over Rayleigh block fading channel. First, we propose a structured Grassmannian constellation for the SIMO P2P channel that is simple to generate, has high packing efficiency, admits a simple yet effective binary labeling, and allows for efficient soft and hard detection. Second, we investigate joint constellation design for the MIMO MAC. We introduce some simple and effective design criteria so as to minimize the joint detection error, and propose some simple constellation constructions. Third, we propose a noncoherent multi-user soft detection scheme for the SIMO MAC in spatially correlated Rayleigh fading based on expectation propagation approximate inference. This scheme has polynomial complexity in the channel dimension while producing accurate approximate per-user posterior marginals leading to near-optimal error performance

Les systèmes de communications sans fil à antennes multiples à l'émission et à la réception permettent d'offrir des services nécessitant des débits très élevés sur des canaux à évanouissements. La majorité des schémas proposés qui permettent d'atteindre ces débits élevés supposent une connaissance parfaite du canal au niveau du récepteur. En pratique, la connaissance du canal est obtenue via des séquences d'apprentissage, ce qui induit une baisse significative de l'efficacité spectrale du système. Nous proposons un algorithme, bloc par bloc, d'estimation au sens du maximum a posteriori qui permet d'effectuer une estimation itérative semi-aveugle du canal. Le schéma de codage considéré à l'émission est le schéma de codage spatio-temporel d'Alamouti. Néanmoins, il est parfois impossible ou non avantageux d'estimer le canal. Ce schéma est désigné par non cohérent. Dans ce sens, nous nous sommes proposés de concevoir de nouvelles techniques de codage/décodage adaptées au cas non cohérent. Nous avons commencé par montrer que le problème de conception des mots de code peut être remplacé par un problème d'empilement de sous-espaces dans la variété de Grassmann avec une distance déduite de l'étude de la probabilité d'erreur asymptotique par paire. En étudiant les paramétrisations existantes de la variété de Grassmann, nous avons conclu qu'il faut définir une nouvelle paramétrisation plus générale. Ainsi, nous avons proposé une paramétrisation exponentielle de cette variété. Nous avons proposé une méthode pour simplifier le critère de conception des mots de code dans la variété de Grassmann. Ceci nous a permis de définir une nouvelle famille de codes pour le cas non cohérent. Les avantages de ces codes sont multiples. Le nombre de symboles d'information est maximisé. Un ordre maximal de diversité est atteint en utilisant des moyens similaires au cas cohérent. Ils permettent d'atteindre une efficacité spectrale plus importante que les codes non cohérents existants pour des performances similaires ou meilleures. Nous avons proposé également une procédure de décodage simplifiée de la métrique GLRT (Generalized Likelihood Ratio Test) qui nous permet de nous affranchir d'une recherche exhaustive
Wireless communications multiple input multiple output systems promise very high data rates on scattering-rich wireless channels. Most of the proposed schemes that achieve these high rates require the channel to be known to the receiver. In practice, knowledge of the channel is often obtained via training, which can decrease significantly the spectral efficiency. We propose an EM-based maximum a posteriori semi-blind receiver which. This iterative receiver uses pilots as well as unknown data symbols in order to improve the channel estimation quality. The space-time scheme considered for the transmission is the Alamouti's two-branch scheme. However, it is not always feasible or advantageous to use training-based schemes. Hence, we propose to use a space-time transmission scheme that do not require channel state information either at the transmitter or at the receiver end. This scheme is referenced as non coherent one. In this context, we proposed to design new schemes that lead to efficient encoding/decoding for the noncoherent MIMO communication. First, we proved that the design of a good non coherent code is equivalent to the design of codes on the Grassmann manifold with a distance criterion deduced from the expression of the pairwise error probability. By the study of the existant parameterizations of the Grassmann manifold, we concluded that a new one must be introduced. Hence, we proposed an exponential parameterization of this manifold. We proposed a simplification of the code conception criterion in the Grassmann manifold. We have introduced a new family of space-time codes suited for non coherent MIMO systems. These codes have a lot of advantages. The number of conveyed information symbols is maximized, maximum order of diversity is reached by using similar tools as in the coherent case. They permit a larger spectral efficiency than existing non coherent codes for similar or better performance. We also proposed how to simplify the GLRT (Generalized Likelihood Ratio Test) decoding process

Les travaux présentés dans cette thèse concernent la dynamique d'opérateurs pour des sous-espaces. Nous étudions principalement deux notions de dynamique pour des sous-espaces qui sont la n-supercyclicité et la forte n-supercyclicité. Dans une première partie, nous étudions l'existence de tels opérateurs dans le cadre des espaces de dimension finie et nous exhibons les indices de supercyclicité admissibles pour des espaces réels de dimension finie. Dans une deuxième partie, nous étudions en détail les opérateurs fortement n-supercycliques en exhibant leurs propriétés spectrales et en donnant des caractérisations pour certaines classes d'opérateurs. Nous détaillons ensuite une nouvelle notion de dynamique pour des sous-espaces de codimension finie et nous étudions les propriétés de tels opérateurs, en particulier le lien "dual" avec les opérateurs fortement n-supercycliques. Enfin, nous terminons avec une caractérisation des opérateurs chaotiques sur certains types d'espaces de suites sans base inconditionnelle, un critère de supercyclicité pour des opérateurs non-bornés et une condition suffisante pour obtenir un opérateur multiple mélangeant de tout degré.