Littérature scientifique sur le sujet « Variétés de Grassmann »

On donne un système complet d'invariants orthogonaux permettant de déterminer la classe d'isométries d'un triplet. Ces résultats sont par la suite appliqués aux quadruplets et aux N-uples de plans. Certains cas particuliers sont étudiés, comme les quadruplets et triplets réguliers

Dans la première partie de ce travail, on a étudié les grassmanniennes d'un espace de Hilbert séparable, de dimension infinie, plus exactement le lien de la grassmannienne régulière (hilbertienne) à ses composantes connexes, au groupe général linéaire restreint, et aux ouverts de l'atlas associés à sa structure hilbertienne. On a étudié aussi les composantes connexes d'une grassmannienne dense dans la grassmannienne régulière, le lien de ses composantes connexes à sa décomposition en cellules de Schubert. A la fin de cette partie, on démontre le lien topologique qui existe entre les grassmanniennes de dimension infinie et les grassmanniennes de dimension finie. Dans la deuxième partie, on a étudié le lien des groupes de lacets aux grassmanniennes, et l'équivalent de l'action de l'opérateur vertex sur les éléments de la grassmannienne associés à la fonction tau
In the first part of this work, we studied the infinite dimensional Grassmannians of a separable Hilbert space. More exactly, the link between hilbertian grassmannians and its connected components, the restricted general linear group, and the open sets covering of this hilbertian grassmannian. We studied also the connected components of a dense grassmannian of a hilbertian grassmannian, the link between its connected components and its cellular Schubert decomposition. At the end of this part, we show the topologic relation existing between the infinite dimensional grassmannians and the finite dimensional once. In the second part of this work, we studied the link between the loop groups and the grassmannians, we studied also the operator vertex's action on the grassmannian's elements associated to the tau function

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l’analyse géométrique, l’étude des singularités et la concep-tion préliminaire de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte. Les principales contributions résident dans le développement d’une méthode systématique d’analyse de singularités des manipulateurs parallèles à mobilité restreinte à l’aide de l’algèbre de Grassmann-Cayley et la géométrie de Grassmann, et d’une approche de prise en compte des singularités au stade de la conception préliminaire de manipulateurs parallèles. Le mémoire est divisé en six chapitres. Le premier chapitre énumère les propriétés générales des manipulateurs étudiés et four-nit un état de l’art sur les types de singularités et les différentes méthodes pour les déterminer. Le deuxième chapitre rappelle les concepts et outils fondamentaux nécessaires à la compréhension des méthodes présentées dans cette thèse et de ses contributions. Le troisième chapitre développe, à travers différents cas d’études, une méthode d’analyse des contraintes appliquées à la plateforme mobile d’un manipulateur parallèle à mobilité restreinte et introduit le concept de graphe d’efforts dans l’espace projectif de dimension trois. Ce graphe d’ef-forts est essentiel pour l’étude des singularités et possède un aspect conceptuel. Le quatrième chapitre présente une méthodologie systématique d’analyse des singularités de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte ba-sée sur l’algèbre de Grassmann-Cayley. Cette méthodologie permet d’une part de déterminer les conditions de singularités parallèles du manipulateur étudié sous forme algébrique, géométrique et vectorielle et d’autre part de décrire les mouvements incontrôlés de la plateforme mobile dans ces configurations singulières. Le cinquième chapitre introduit des concepts permettant d’utiliser la géométrie de Grassmann pour étudier les singularités de manipulateurs parallèles à mobilité restreinte et met en évidence la correspondance et l’aspect complémentaire entre la géométrie de Grassmann et l’algèbre de Grassmann-Cayley à travers l’analyse de singularités de ces manipulateurs. Finalement, le sixième chapitre présente une procédure de synthèse de manipulateurs paral-lèles générateurs de mouvements dits de Schönflies en utilisant sur le concept de graphe d’efforts, l’algèbre de Grassmann-Cayley et la géométrie de Grassmann. Cette procédure permet de prendre en compte les singularités au stade de la conception préliminaire de ce type de manipulateurs
This PhD thesis report deals with the geometrical analysis, the singularities and the conceptual design of lower-mobility parallel manipulators. Its main contributions consist in the formulation of a systematic method to analyze the singularities of lower-mobility parallel manipulators based on Grassmann-Cayley algebra and Grassmann geometry and an approach for the conceptual design of such manipulators based on their singularity conditions. The report is composed of six chapters. The first chapter enumerates the general characteristics of the manipulators under study and provides a state of the art on the singularities and the different methods for their determination. The second chapter recalls the fundamental concepts and tools required for the compre-hension of the methods and contributions of this PhD thesis. The third chapter develops, through several case studies, a method for the constraint analysis of lower-mobility parallel manipulators and introduces the concept of wrench graph in the 3-dimensional projective space. This wrench graph is useful for the singularity analysis and provides a conceptual aspect. The fourth chapter presents a systematic method for the singularity analysis of lower-mobility parallel manipulators based on Grassmann-Cayley algebra. This method allows the determina-tion of the parallel singularity conditions of the studied manipulator algebraically, geometrically and in a vector form and the description of the uncontrollable motions of the moving platform in these singular configurations. The fifth chapter introduces some concepts that make it possible to use Grassmann geometry for the singularity analysis of lower-mobility parallel manipulators and highlights the correspondence and the complementarity of Grassmann-Cayley algebra and Grassmann geometry in the singularity analysis of such manipulators. Finally, the sixth chapter introduces a procedure for the type synthesis of parallel Schönflies motion generators based on the concept of wrench graph, the Grassmann-Cayley algebra and the Grassmann geometry. This procedure allows one to take into account the singularities at the conceptual design of such manipulators

Le but de ce travail est d'etudier des suites d'immersions conformes du disque unite a valeurs dans une variete riemannienne quelconque. Notre approche a consiste a mettre en evidence certaines proprietes des limites de suites d'applications de gauss associees aux immersions. Sous certaines hypotheses de convergence uniforme que nous avons precise, les singularites de la limite de la suite ne sont jamais isolees. Cette these est divisee en trois parties: la premiere fixe le cadre geometrique et analytique de ce travail; la deuxieme donne deux resultats sur la geometrie de la limite d'une suite d'immersions conformes du disque unite, a valeurs dans une variete riemannienne; la troisieme applique les resultats obtenus lorsque les suites d'applications considerees sont des suites d'applications de gauss associees a des immersions

Dans cette thèse nous introduisons la notion de fibré tt* (E,D,S), de fibré tt* métrique (E,D,S,g) et de fibré tt* symplectique (E,D,S,omega) sur un fibré vectoriel E au-dessus d'une variété complexe, dans le langage de la géométrie différentielle réelle. Grâce à cette notion on obtient une correspondance entre des fibrés tt* métriques et des applications pluriharmoniques admissibles de (M,J) dans l'espace symétrique pseudo-Riemannien GL(r,R)/O(p,q), avec (p,q) la signature de la métrique g. En utilisant ce résultat on obtient dans le cas, où M est compact Kählérienne, un résultat de rigidité, puis un cas particulier du théorème de Lu. De plus, nous étudions des fibrés tt* sur le fibré tangent TM et caractérisons une classe spéciale qui contient les variétés spéciales complexes et les variétés nearly Kählériennes plates, et la sous-classe qui admet un fibré tt* métrique ou symplectique. En outre on analyse les fibrés tt* qui proviennent de variations de structures de Hodge (VHS) et de fibrés harmoniques. Pour les fibrés harmoniques, la correspondance permet de généraliser un résultat de Simpson. L'application pluriharmonique associée à une variété spécialement Kählérienne est reliée à l'application de Gauss duale, et celle associée à une VHS de poid impair est l'application de périodes. Si la structure complexe n'est pas intégrable, on doit généraliser la notion de pluriharmonicité. Hors la rigidité ces résultats sont généralisés au cas para-complexe
In this work we introduce the real differential geometric notion of a tt*-bundle (E,D,S), a metric tt*-bundle (E,D,S,g) and a symplectic tt*-bundle (E,D,S,omega) on an abstract vector bundle E over an almost complex manifold (M,J). With this notion we construct, generalizing Dubrovin, a correspondence between metric tt*-bundles over complex manifolds (M,J) and admissible pluriharmonic maps from (M,J) into the pseudo-Riemannian symmetric space GL(r,R)/O(p,q) where (p,q) is the signature of the metric g. Moreover, we show a rigidity result for tt*-bundles over compact Kähler manifolds and we obtain as application a special case of Lu's theorem. In addition we study solutions of tt*-bundles (TM,D,S) on the tangent bundle TM of (M,J) and characterize an interesting class of these solutions which contains special complex manifolds and flat nearly Kähler manifolds. We analyze which elements of this class admit metric or symplectic tt*-bundles. Further we consider solutions coming from varitations of Hodge structures (VHS) and harmonic bundles. Applying our correspondence to harmonic bundles we generalize a correspondence given by Simpson. Analyzing the associated pluriharmonic maps we obtain roughly speaking for special Kähler manifolds the dual Gauss map and for VHS of odd weight the period map. In the case of non-integrable complex structures, we need to generalize the notions of pluriharmonic maps and some results. Apart from the rigidity result we generalize all above results to para-complex geometry

Le sujet principal de cette thèse est l'étude du problème d'équivalence des équations de Monge-Ampère en trois variables. Nous abordons ce problème du point de vue de la théorie géométrique des invariants scalaires différentiels en utilisant la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre ces équations et certaines formes différentielles sur une variété symplectique, les formes effectives. Nous étudions tout d'abord la géométrie des formes effectives sur un espace vectoriel symplectique. La liste exhaustive des différentes orbites de l'action du groupe symplectique Sp(3) sur l'espace des 3-formes effectives est donnée. Nous montrons que l'invariant quadratique de Lychagin-Roubtsov est un invariant caractéristique de ces orbites et nous interprétons cet invariant comme une application moment en utilisant l'approche de Hitchin sur la géométrie des 3-formes extérieures. Nous donnons ensuite une condition suffisante pour qu'une équation de Monge-Ampère sur R3 soit localement équivalente à l'une des trois équations à coefficients constants non dégénérée au sens de Hitchin. Cette condition porte sur les dérivées d'ordre 1 et 2 des coefficients de la forme effective sur T*R3 associée. Ce résultat complète et simplifie un résultat démontré par Lychagin et Roubtsov. Nous donnons toutefois un second critère d'équivalence locale qui se comprend mieux du point de vue géométrique. Nous associons pour cela à chaque équation de Monge-Ampère en trois variables une structure de type Calabi-Yau et nous interprétons ce problème d'équivalence locale en termes d'intégrabilité de cette structure et de courbure de la métrique associée. Ce résultat est l'analogue en dimension 3 de la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre équations de Monge-Ampère à coefficients constants et structures complexes ou structures produits intégrables en dimension 2. Nous étudions enfin la grassmannienne associée à une équation de Monge-Ampère non dégénérée au sens de Hitchin. Nous généralisons notamment la description de la grassmannienne des sous espaces lagrangiens spéciaux par l'espace homogène SU (3) / SO (3) et nous complétons le calcul des classes caractéristiques associées de Zilbergleit. Nous abordons aussi dans cette thèse le cas de la dimension 4. Nous introduisons en particulier un analogue complexe des opérateurs de Monge-Ampère, les opérateurs pluriharmoniques sur une variété complexe. Nous établissons une correspondance entre ces opérateurs pluriharmoniques et les formes bieffectives et nous montrons sur quelques exemples comment étudier la géométrie des solutions pluriharmoniques d'une équation de Monge-Ampère sur R4.

On definit des "classes caracteristiques de maslov" pour un couple de sous-fibres lagrangiens d'un fibre vectoriel symplectique possedant un sous-fibre lagrangien trivial. Ces classes de maslov sont des obstructions cohomologiques a la transversalite. Une formule explicite est donnee pour le calcul de ces classes. En dimension impaire, le role d'obstruction a la transversalite de la classe de maslov de degre le plus eleve s'exerce dans un cadre plus general que le cadre symplectique dans lequel cette classe est definie. En dimension paire, si les fibres sont orientes, la classe d'euler joue le meme role. Dans chaque cas l'obstruction cohomologique est construite a partir de pfaffien du groupe special orthogonal, par des procedes qui sont decrits en detail. On etudie ensuite un plongement larangien particulierement interessant de la grassmanienne lagrangienne dans un espace vectoriel symplectique. Les formules de calcul precedemment etablies sont utilisees pour prouver que les classes caracteristiques de ce plongement ne sont pas nulles. Une contribution a l'etude de la geometrie de la grassmannienne lagrangienne au moyen de ce plongement termine ce travail (calcul de la courbure, de la seconde forme fondamentale; minimalite dans une sphere; majoration de la premiere valeur propre des surfaces compactes minimales en dimension 3)

Ce mémoire de thèse concerne l'interpolation sur les variétés de Grassmann et ses applications à la réduction de modèles en mécanique et plus généralement aux systèmes d'équations aux dérivées partielles d'évolution. Après une description de la méthode POD, nous introduisons les fondements théoriques en géométrie des variétés de Grassmann, qui seront utilisés dans le reste de la thèse. Ce chapitre donne à ce mémoire à la fois une rigueur mathématique au niveau des algorithmes mis au point, leur domaine de validité ainsi qu'une estimation de l'erreur en distance grassmannienne, mais également un caractère auto-contenu "self-contained" du manuscrit. Ensuite, on présente la méthode d'interpolation sur les variétés de Grassmann introduite par David Amsallem et Charbel Farhat. Cette méthode sera le point de départ des méthodes d'interpolation que nous développerons dans les chapitres suivants. La méthode de Amsallem-Farhat consiste à choisir un point d'interpolation de référence, envoyer l'ensemble des points d'interpolation sur l'espace tangent en ce point de référence via l'application logarithme géodésique, effectuer une interpolation classique sur cet espace tangent, puis revenir à la variété de Grassmann via l'application exponentielle géodésique. On met en évidence par des essais numériques l'influence du point de référence sur la qualité des résultats. Dans notre premier travail, nous présentons une version grassmannienne d'un algorithme connu dans la littérature sous le nom de Pondération par Distance Inverse (IDW). Dans cette méthode, l'interpolé en un point donné est considéré comme le barycentre des points d'interpolation où les coefficients de pondération utilisés sont inversement "proportionnels" à la distance entre le point considéré et les points d'interpolation. Dans notre méthode, notée IDW-G, la distance géodésique sur la variété de Grassmann remplace la distance euclidienne dans le cadre standard des espaces euclidiens. L'avantage de notre algorithme, dont on a montré la convergence sous certaines conditions assez générales, est qu'il ne requiert pas de point de référence contrairement à la méthode de Amsallem-Farhat. Pour remédier au caractère itératif (point fixe) de notre première méthode, nous proposons une version directe via la notion de barycentre généralisé. Notons enfin que notre algorithme IDW-G dépend nécessairement du choix des coefficients de pondération utilisés. Dans notre second travail, nous proposons une méthode qui permet un choix optimal des coefficients de pondération, tenant compte de l'auto-corrélation spatiale de l'ensemble des points d'interpolation. Ainsi, chaque coefficient de pondération dépend de tous les points d'interpolation et non pas seulement de la distance entre le point considéré et un point d'interpolation. Il s'agit d'une version grassmannienne de la méthode de Krigeage, très utilisée en géostatique. La méthode de Krigeage grassmannienne utilise également le point de référence. Dans notre dernier travail, nous proposons une version grassmannienne de l'algorithme de Neville qui permet de calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de manière récursive via l'interpolation linéaire entre deux points. La généralisation de cet algorithme sur une variété grassmannienne est basée sur l'extension de l'interpolation entre deux points (géodésique/droite) que l'on sait faire de manière explicite. Cet algorithme ne requiert pas le choix d'un point de référence, il est facile d'implémentation et très rapide. De plus, les résultats numériques obtenus sont remarquables et nettement meilleurs que tous les algorithmes décrits dans ce mémoire
This dissertation deals with interpolation on Grassmann manifolds and its applications to reduced order methods in mechanics and more generally for systems of evolution partial differential systems. After a description of the POD method, we introduce the theoretical tools of grassmannian geometry which will be used in the rest of the thesis. This chapter gives this dissertation a mathematical rigor in the performed algorithms, their validity domain, the error estimate with respect to the grassmannian distance on one hand and also a self-contained character to the manuscript. The interpolation on Grassmann manifolds method introduced by David Amsallem and Charbel Farhat is afterward presented. This method is the starting point of the interpolation methods that we will develop in this thesis. The method of Amsallem-Farhat consists in chosing a reference interpolation point, mapping forward all interpolation points on the tangent space of this reference point via the geodesic logarithm, performing a classical interpolation on this tangent space and mapping backward the interpolated point to the Grassmann manifold by the geodesic exponential function. We carry out the influence of the reference point on the quality of the results through numerical simulations. In our first work, we present a grassmannian version of the well-known Inverse Distance Weighting (IDW) algorithm. In this method, the interpolation on a point can be considered as the barycenter of the interpolation points where the used weights are inversely proportional to the distance between the considered point and the given interpolation points. In our method, denoted by IDW-G, the geodesic distance on the Grassmann manifold replaces the euclidean distance in the standard framework of euclidean spaces. The advantage of our algorithm that we show the convergence undersome general assumptions, does not require a reference point unlike the method of Amsallem-Farhat. Moreover, to carry out this, we finally proposed a direct method, thanks to the notion of generalized barycenter instead of an earlier iterative method. However, our IDW-G algorithm depends on the choice of the used weighting coefficients. The second work deals with an optimal choice of the weighting coefficients, which take into account of the spatial autocorrelation of all interpolation points. Thus, each weighting coefficient depends of all interpolation points an not only on the distance between the considered point and the interpolation point. It is a grassmannian version of the Kriging method, widely used in Geographic Information System (GIS). Our grassmannian Kriging method require also the choice of a reference point. In our last work, we develop a grassmannian version of Neville's method which allow the computation of the Lagrange interpolation polynomial in a recursive way via the linear interpolation of two points. The generalization of this algorithm to grassmannian manifolds is based on the extension of interpolation of two points (geodesic/straightline) that we can do explicitly. This algorithm does not require the choice of a reference point, it is easy to implement and very quick. Furthermore, the obtained numerical results are notable and better than all the algorithms described in this dissertation

L'objet de cette thèse est l'étude de l'équation d'un filament de vorticité dans ses diverses formes, l'équation d'Euler d'un fluide parfait incompressible G-invariant pour l'action d'un groupe de Lie ainsi que l'étude de la grassmannienne non-linéaire. Le corps de la thèse se découpe en trois chapitres : dans le premier chapitre, nous donnons la forme locale de l'équation d'un filament de vorticité et montrons que l'astuce d'Hasimoto s'étend aux cas des filaments plongés dans une variété riemannienne tridimensionnelle quelconque. Dans le deuxièeme chapitre, nous étudions le groupe des automorphismes unimodulaires de l'espace total d'un fibré principal. Nous déterminons les équations d'Euler associées et exhibons certaines suites exactes de groupes de Lie fréchétiques. Le troisièeme chapitre étudie en détail la grassmannienne non-linéaire, les diverses structures que l'on peut lui adjoindre et quelques équations hamiltoniennes associées. Un premier appendice traite de la notion de calcul différentiel sur un espace fréchétique et un deuxième appendice montre qu'il existe une structure de groupe de Lie sur le groupe des difféomorphismes unimodulaires d'une variété compacte
In this thesis, we study the vortex filament equation, the Euler equation of an incompressible fluid which is G-invariant with respect to a Lie group action and we also study the non-linear grassmanniann. Our study is organized in three chapter and two appendices : in the first chapter, we study the local form of the vortex filament equation and we show that Hasimoto's trisk extends to the the case of a filament embedded in a general three-dimensional riemannian manifold. In the second chapter, we study the group of unimodular automorphisms of the total space of a principal bundle. We compute the Euler equations associated to this group and derive some short exact sequences. In the third chapter, we study the non-linear grassmannian, some geometrical structures on it and we consider also some hamiltonian equations associated. The first appendix treats the notion of differentiable calculus on a frechet space and the second is devoted to the group of unimodular diffeomorphisms of a compact manifold

Le but de ce travail est d'étudier la structure globale de la catégorie de foncteurs F entre espaces vectoriels sur F2, notamment la conjecture artinienne, qui équivaut au caractère localement, noethérien de cette catégorie. Nous démontrons que le produit tensoriel entre un foncteur fini et le foncteur projectif standard P82 associé à un espace vectoriel de dimension 2 est noethérien. Nous introduisons à cet effet d'autres catégories de foncteurs, nommées catégories de foncteurs en grassmaniennes. Elles permettent d'énoncer une forme très forte de la conjecture artinienne, décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Notre théorème de simplicité généralisé établit une version faible de cette conjecture. Il permet de démontrer le résultat précédent sur la structure de P2 F(avec F fini), que nous avons également obtenu par l'usage conjoint de foncteurs hom internes et de considérations issues de la théorie des représentations modulaires. Nous décrivons la riche structure algébrique des catégories de foncteurs en grassmaniennes, équivalentes à des catégories de comodules dans F. Notre théorème d'annulation cohomologique fondamental généralise un grand nombre de résultats antérieurs en cohomologie des foncteurs. Il permet également de généraliser une étape essentielle de la démonstration de Suslin de l'isomorphisme entre K-théorie stable et homologie de Mac Lane pour des systèmes de coefficients polynomiaux.