Littérature scientifique sur le sujet « Semiconvex functions »

For the Euclidean squared-distance functionf(·) = dist2(·, K), withK ⊂ MN×n, we show thatKis convex if and only iff(·)equals either its rank-one convex, quasiconvex or polyconvex relaxations. We also establish that if (i)Kis compact and contractible or (ii) dimC(K) = k < Nn, Kis convex if and only iffequals one of the semiconvex relaxations when dist2(P, K)is sufficiently large, and for case (i),P ∈MNxn; for case (ii),P ∈ Ek—a k-dimensional plane containingC(K). We also give some estimates of the difference between dist2(P, K)and its semiconvex relaxations. Some possible extensions to more generalp-distance functions are also considered.

In this paper, we prove some Hermite-Hadamard inequalities for the class of relative semiconvex functions. Several special cases are also discussed. Thus it is worth mentioning that our results can be viewed as a generalization of previous results. Some applications to special means are also presented. Ideas and techniques of this paper may inspire further research in various branches of pure and applied sciences.

We introduce a definition of generalised solutions of the Hessian equation Sm(D2u) = f in a convex set ω ⊂ ℝn, where Sm(D2u) denotes the m-th symmetric function of the eigenvalues of D2u, f ∈ Lp(ω), p ≥ 1, and m ∈ {1, …, n}. Such a definition is given in the class of semi-convex functions, and it extends the definition of convex generalised solutions for the Monge-Ampère equation. We prove that semiconvex weak solutions are solutions in the sense of the present paper.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une équation de Hamilton Jacobi Bellman discontinue, définie sur une stratification de R^N. Cette dernière est le résultat d'une union d'une collection finie de sous-variétés lisses et disjointes de R^N, que l'on nomme les sous-domaines. Sur chaque sous-domaine, un Hamiltonien continue y est définie. Cependant, le Hamiltonien global sur R^N présente des discontinuités lorsque l'on passe d'un sous-domaine à l'autre. On donne une interprétation commande optimale de ce problème et on utilise les techniques de l'analyse non lisse pour montrer que la fonction valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton Jacobi Bellman définie dans ce chapitre. L'unicité de la solution est garantie par un principe de comparaison fort, valable pour toute sur-solution semicontinue inférieurement et toute sous-solution semicontinue supérieurement. En ce qui concerne l’existence de la solution, on utilise le principe de la programmation dynamique vérifiée par la fonction valeur pour montrer que cette dernière est une solution de viscosité du problème considéré. De plus, on prouve quelques résultats de stabilité en présence de perturbations sur le Hamiltonien discontinu. Finalement, en vertu du principe de comparaison, on montre un résultat de convergence général pour les schémas numériques monotones qui approchent ce problème.La deuxième partie de cette thèse est consacrée au développement d'une nouvelle notion de viscosité pour les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre définies sur les espaces CAT(0) propres. Un espace métrique est dit CAT(0), s'il est un espace géodésique et si ses triangles géodésiques sont plus minces que les triangles du plan Euclidien. Les espaces CAT(0) peuvent être considérés comme une généralisation des espaces de Hilbert ou les variétés de Hadamad. Des exemples types des espaces CAT(0) sont les espaces de Hilbert, les arbres métriques et les networks obtenus en collant un nombre fini de demi-espaces selon leur frontière commune. On exploite la structure de ces espaces pour étudier les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre stationnaires et dépendantes du temps. En particulier, le but du chapitre est de retrouver les principaux résultats de la théorie de la viscosité : le principe de comparaison et la méthode de Perron. On définit la notion de viscosité en utilisant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées comme une différence de deux fonctions semiconvexes. On montre que cette notion de viscosité coïncide avec la notion classique développée sur R^N en étudiant quelques exemples d'équations classiques. De surcroît, on prouve l'existence et l'unicité de la solution de certaines équations du type Eikonal posées sur des networks qui peuvent résulter du collage de demi-espaces ayant différentes dimensions de Hausdorff.La troisième partie de la thèse se focalise sur l'étude d'un problème de commande optimale de Mayer sur l'espace des mesures Boréliennes de probabilité sur une variété compacte M. L'étude de ce problème est motivé par certaines situations où un planificateur central d'un système contrôlé n'a qu'une information imparfaite sur l'état initiale du système considéré. Le manque d'information est spécifique dans ce problème. Il est décrit par une mesure de probabilité Borélienne selon laquelle l'état initial est distribué. On définit la notion de viscosité sur cet espaces de la même manière que dans la deuxième partie de la thèse en considérant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées par une différence de deux fonctions semiconvexes. Avec ce choix de fonctions test, on étend la notion de viscosité aux équations de Hamilton Jacobi Bellman définies sur l'espace de Wasserstein et on établit que la fonction valeur associée au problème de commande optimale et l'unique solution de viscosité sur l'espace de Wasserstein sur M
The main subject of this thesis is the study first order Hamilton Jacobi equations posed in certain classes of metric spaces. Furthermore, the Hamiltonian of these equations can potentially present some structured discontinuities.In the first part of this thesis, we study a discontinuous first order Hamilton Jacobi Bellman equation defined on a stratification of R^N. The latter is a finite and disjoint union of smooth submanifolds of R^N called the the subdomains of R^N. On each subdomain, a continuous Hamiltonian is defined on it, However the global Hamiltonian in R^N presents discontinuities once one goes from one subdomain to the other. We give an optimal control interpretation of this problem and we use nonsmooth analysis techniques to prove that the value function is the unique viscosity solution to the discontinuous Hamilton Jacobi Bellman equation in this setting. The uniqueness of the solution is guaranteed by means of a strong comparison principle valid for any lower semicontinuous supersolution and any upper semicontinuous subsolution. As far as existence of the solution is concerned, we use the dynamic programming principle verified by the value function to prove that it is a viscosity solution of the discontinuous Hamilton Jacobi equation. Moreover, we prove some stability results in the presence of perturbations on the discontinuous Hamiltonian. Finally, by virtue of the comparison principle, we prove a general convergence result of monotone numerical schemes approximating this problem.The second part of this thesis is concerned with defining a novel notion of viscosity for first order Hamilton Jacobi equations defined in proper CAT(0) spaces. A metric space is said to be a CAT(0) space if, roughly speaking, it is a geodesic space and its geodesic triangles are "thinner" than the triangles of the Euclidean plane. They can be seen as a generalization of Hilbert spaces or Hadamard manifolds. Typical examples of CAT(0) spaces include Hilbert spaces, metric trees and networks obtained by gluing a finite number of half-spaces along their common boundary. We exploit the additional structure that these spaces enjoy to study stationary and time-dependent first order Hamilton-Jacobi equation in them. In particular, we want to recover the main features of viscosity theory: the comparison principle and Perron's method}.We define the notion of viscosity using test functions that are Lipschitz and can be represented as a difference of two semiconvex function. We show that this new notion of viscosity coincides with the classical one in R^N by studying the examples of Hamilton Jacobi Bellman and Hamilton Jacobi Isaacs' equations. Furthermore, we prove existence and uniqueness of the solution of Eikonal type equations posed in networks that can result from gluing half-spaces of different Hausdorff dimension.In the third part of this thesis, we study a Mayer optimal control problem on the space of Borel probability measures over a compact Riemannian manifold M. This is motivated by certain situations where a central planner of a deterministic controlled system has only imperfect information on the initial state of the system. The lack of information here is very specific. It is described by a Borel probability measure along which the initial state is distributed. We define the new notion of viscosity in this space in a similar manner as in the previous part by taking test functions that are Lipschitz and can be written as a difference of two semiconvex functions. With this choice of test functions, we extend the notion of viscosity to Hamilton Jacobi Bellman equations in Wasserstein spaces and we establish that the value function is the unique viscosity solution of a Hamilton Jacobi Bellman equation in the Wasserstein space over M

Les propriétés des ensembles localement prox-réguliers ont été étudiées par R.A. Poliquin, R.T. Rockafellar et L. Thibault. Le concept de fonction ''primal lower nice'' a été introduit en dimension finie par R.A. Poliquin et étendu au cadre Hilbertien par A.B. Levy, R.A. Poliquin et L. Thibault. Dans cette thèse, la première partie est consacrée à une étude des outils et des objets géométriques de l'Analyse non lisse tels que les fonctions primal lower nice et les ensembles localement prox-réguliers. On donnera une définition quantifiée de la prox-régularité locale. La deuxième partie établit des résultats d'existence et d'unicité de solutions d'inéquations variationnelles se présentant sous forme d'inclusions différentielles associées au cône normal d'un ensemble localement prox-régulier
The properties of locally prox-regular sets have been studied by R.A. Poliquin, R.T. Rockafellar and L. Thibault. R.A. Poliquin also introduced the concept of ``primal lower nice function. This dissertation is devoted, on one hand to the study of primal lower nice functions and locally prox-regular sets and, on the other hand, to show existence and uniqueness of solutions of differential variational inequalities involwing such sets. Concerning the first part, we introduce a quantified viewpoint of local-prox-regularity and establish a series of characterizations for set satisfying this property. In the second part, we study differential variational inequalities with locally prox-regular sets and we show the relevance of our quantified viewpoint to prove existence results of solutions