Littérature scientifique sur le sujet « Risolubile »

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Tesi in algebra che propone uno studio parallelo di risolubilità e nilpotenza nei gruppi e nelle algebre di Lie. Vengono descritte dapprima le algebre di Lie in modo da fornire una conoscenza preliminare riguardo a questa struttura algebrica. In seguito esse vengono messe a confronto con i gruppi sotto l'aspetto appunto di risolubilità e nilpotenza.

Lo scopo di questa tesi è di esporre il cuore centrale della teoria di Galois, la risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali nel caso in cui il campo di partenza abbia caratteristica 0. L’operato è articolato in tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotte le nozioni fondamentali della teoria dei campi e della teoria di Galois. Nel secondo capitolo, si sviluppa il problema della risolubilità per radicali. Vengono prima introdotti i gruppi risolubili e alcune loro particolarità. Poi vengono introdotte le nozioni di estensioni radicali e risolubili e relativi teoremi. Nel paragrafo 2.3 viene dimostrato il teorema principale della teoria, il teorema di Galois, che identifica la risolubilità del gruppo di Galois con la risolubilità dell’estensione. Infine l’ultimo paragrafo si occupa della risolubilità dei polinomi, sfruttando il loro campo di spezzamento. Nel terzo ed ultimo capitolo, viene discussa la risolubilita` dell’equazione polinomiale generale di grado n. Vengono inoltre riportati diversi esempi ed infine viene presentato un esempio di estensione di Galois di grado primo p non risolubile in caratteristica p.

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

L'obiettivo della tesi è mostrare come la teoria di Galois ci prova l'impossibilità di trovare una formula risolutiva per la generica equazione polinomiale di grado superiore al quarto che coinvolga solo le quattro operazioni algebriche e le radici sui coefficienti del polinomio. Una volta definiti i primi concetti di base e richiamati alcuni risultati della teoria dei campi, gruppi e di Galois, si introducono i concetti di gruppo risolubile ed estensione di campi risolubile. Nell'ultimo capitolo, dopo aver enunciato e dimostrato il Teorema di Galois (che mette in relazione i concetti di gruppo ed estensione risolubili), si mostra come le equazioni polinomiali di grado inferiore al quinto siano tutte risolubili per radicali; infine si esibisce, per ogni n > 4, un polinomio generale non risolubile per radicali.

Scopo di questo elaborato è studiare la risolubilità per radicali di un polinomio a coefficienti in un campo di caratteristica zero attraverso lo studio del gruppo di Galois del suo campo di spezzamento. Dopo aver analizzato alcuni risultati su gruppi risolubili e gruppi semplici, vengono studiate le estensioni radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato su un campo K di caratteristica zero il Teorema di Galois, che caratterizza i polinomi risolubili per radicali f a coefficienti in K attraverso la risolubilità del gruppo di Galois G(L/K), dove L è il campo di spezzamento di f. La tesi contiene anche un'esposizione sintetica del metodo introdotto da Lagrange per la risoluzione di equazioni polinomiali di cui si conosca il gruppo di Galois.

Questa tesi è dedicata allo studio della dimostrazione del Teorema di Ado per algebre di Lie di dimensione finita su un campo K algebricamente chiuso e di caratteristica 0. Il teorema afferma che per ogni algebra di Lie siffatta esiste una rappresentazione fedele e di dimensione finita. In altre parole, il Teorema di Ado ci consente di vedere ogni algebra di Lie di dimensione finita come una sottoalgebra di un’algebra di Lie fatta di endomorfismi (equivalentemente di matrici). Nel primo capitolo vengono dati risultati e definizioni basilari sulle algebre di Lie. Il secondo capitolo presenta l'algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie e la dimostrazione del Teorema di Ado nei casi semisemplice e abeliano. Nel terzo capitolo viene dimostrato il teorema per algebre nilpotenti e vengono illustrate ulteriori proprietà delle algebre di Lie di questo tipo, mentre nel quarto capitolo si dimostra il teorema nel caso di algebre risolubili. Infine, nel quinto capitolo viene data la dimostrazione per una qualsiasi algebra di Lie di dimensione finita su K, usando la decomposizione di Levi.

Let C be a class of groups, let G be a group and A, B two subgroups of G. We will say that A and B are C-connected if for all element a and b belonging respectively to A and B, the group < a, b > is in the class C. In particular we will focus on N-connection, where N is the class of nilpotent groups. Moreover, G is said to be the product of A and B, i.e. G=AB, if and only if for all element g in G, there exists a in A and b in B such that g=ab. In this thesis, given G=AB where A and B are N-connected subgroups, we discuss how some properties of the subgroups A and B can influence the structure of the whole group G.