Littérature scientifique sur le sujet « Régularisation en espaces de Banach »

Les métropoles brésiliennes connaissent un niveau de fragmentation socio-spatiale très élevé. Les politiques urbaines y sont soumises à des contradictions permanentes entre le souci de promouvoir des espaces attractifs à l’échelle internationale, et la volonté de réduire la fragmentation urbaine. Partant de cette contradiction, et en nous appuyant sur le cas de Recife, nous analysons le Programme de Régularisation des Zones Spéciales d’Intérêt Social – Prezeis – comme une innovation politico-sociale paradoxale conduisant à figer, au moins temporairement, la fragmentation socio-spatiale, pour permettre aux populations des favelas d’accéder sur les lieux mêmes de leur vie, à des conditions de vie plus conformes aux normes de logement et d’utilisation de l’espace urbain. Classifications JEL : I32, I38, O54, R21, R52

Soient B un espace de Banach et ℒ(B) l'algèbre des opérateurs bornés sur B. On dit qu'un sous-espace fermé E de B est invariant pour l'opérateur T ∈ ℒ(B) lorsque TE ⊂ E et qu'il est non trivial si {0} EB. Le sous-espace E est dit hyper-invariant pour T s'il est invariant pour tout opérateur qui commute avec T.

Cette thèse porte sur la modélisation, l'analyse théorique et l'implémentation numérique d'algorithmes d'optimisation pour la résolution de problèmes inverses d'imagerie (par exemple, la reconstruction d'images en tomographie et la déconvolution d'images en microscopie) dans des espaces de Banach non standard. Elle est divisée en deux parties: dans la première, nous considérons le cadre des espaces de Lebesgue à exposant variable L^{p(cdot)} afin d'améliorer l'adaptabilité de la solution par rapport aux reconstructions obtenues dans le cas standard d'espaces d'Hilbert; dans la deuxième partie, nous considérons une modélisation dans l'espace des mesures de Radon pour éviter les biais dus à la discrétisation observés dans les méthodes de régularisation parcimonieuse. Plus en détail, la première partie explore à la fois des algorithmes d'optimisation lisse et non lisse dans les espaces L^{p(cdot)} réflexifs, qui sont des espaces de Banach dotés de la norme dite de Luxemburg. Comme premier résultat, nous fournissons une expression des cartes de dualité dans ces espaces, qui sont un ingrédient essentiel pour la conception d'algorithmes itératifs efficaces. Pour surmonter la non-séparabilité de la norme sous-jacente et les temps de calcul conséquents, nous étudions ensuite la classe des fonctions modulaires qui étendent directement la puissance (non homogène) p > 1 des normes L^p au cadre L^{p(cdot)}. En termes de fonctions modulaires, nous formulons des analogues des cartes duales qui sont plus adaptées aux algorithmes d'optimisation lisse et non lisse en raison de leur séparabilité. Nous étudions alors des algorithmes de descente de gradient (à la fois déterministes et stochastiques) basés sur les fonctions modulaires, ainsi que des algorithmes modulaires de gradient proximal dans L^{p(cdot)}, dont nous prouvons la convergence en termes des valeurs de la fonctionnelle. La flexibilité de ces espaces s'avère particulièrement avantageuse pour la modélisation de la parcimonie et les statistiques hétérogènes du signal/bruit, tout en restant efficace et stable d'un point de vue de l'optimisation. Nous validons cela numériquement de manière approfondie sur des problèmes inverses exemplaires en une/deux dimension(s) (déconvolution, débruitage mixte, tomographie). La deuxième partie de la thèse se concentre sur la formulation des problèmes inverses avec un bruit de Poisson formulés dans l'espace des mesures de Radon. Notre contribution consiste en la modélisation d'un modèle variationnel qui couple un terme de données de divergence de Kullback-Leibler avec la régularisation de la Variation Totale de la mesure souhaitée (une somme pondérée de Diracs) et une contrainte de non-négativité. Nous proposons une étude détaillée des conditions d'optimalité et du problème dual correspondant. Nous considérons une version améliorée de l'algorithme de Sliding Franke-Wolfe pour calculer la solution numérique du problème de manière efficace. Pour limiter la dépendance des résultats du choix du paramètre de régularisation, nous considérons une stratégie d'homotopie pour son ajustement automatique où à chaque itération algorithmique, on vérifie si un critère d'arrêt défini en termes du niveau de bruit est vérifié et on met à jour le paramètre de régularisation en conséquence. Plusieurs expériences numériques sont rapportées à la fois sur des données de microscopie de fluorescence simulées en 1D/2D et réelles en 3D
This thesis focuses on the modelling, the theoretical analysis and the numerical implementation of advanced optimisation algorithms for imaging inverse problems (e.g,., image reconstruction in computed tomography, image deconvolution in microscopy imaging) in non-standard Banach spaces. It is divided into two parts: in the former, the setting of Lebesgue spaces with a variable exponent map L^{p(cdot)} is considered to improve adaptivity of the solution with respect to standard Hilbert reconstructions; in the latter a modelling in the space of Radon measures is used to avoid the biases observed in sparse regularisation methods due to discretisation.In more detail, the first part explores both smooth and non-smooth optimisation algorithms in reflexive L^{p(cdot)} spaces, which are Banach spaces endowed with the so-called Luxemburg norm. As a first result, we provide an expression of the duality maps in those spaces, which are an essential ingredient for the design of effective iterative algorithms.To overcome the non-separability of the underlying norm and the consequent heavy computation times, we then study the class of modular functionals which directly extend the (non-homogeneous) p-power of L^p-norms to the general L^{p(cdot)}. In terms of the modular functions, we formulate handy analogues of duality maps, which are amenable for both smooth and non-smooth optimisation algorithms due to their separability. We thus study modular-based gradient descent (both in deterministic and in a stochastic setting) and modular-based proximal gradient algorithms in L^{p(cdot)}, and prove their convergence in function values. The spatial flexibility of such spaces proves to be particularly advantageous in addressing sparsity, edge-preserving and heterogeneous signal/noise statistics, while remaining efficient and stable from an optimisation perspective. We numerically validate this extensively on 1D/2D exemplar inverse problems (deconvolution, mixed denoising, CT reconstruction). The second part of the thesis focuses on off-the-grid Poisson inverse problems formulated within the space of Radon measures. Our contribution consists in the modelling of a variational model which couples a Kullback-Leibler data term with the Total Variation regularisation of the desired measure (that is, a weighted sum of Diracs) together with a non-negativity constraint. A detailed study of the optimality conditions and of the corresponding dual problem is carried out and an improved version of the Sliding Franke-Wolfe algorithm is used for computing the numerical solution efficiently. To mitigate the dependence of the results on the choice of the regularisation parameter, an homotopy strategy is proposed for its automatic tuning, where, at each algorithmic iteration checks whether an informed stopping criterion defined in terms of the noise level is verified and update the regularisation parameter accordingly. Several numerical experiments are reported on both simulated 2D and real 3D fluorescence microscopy data

Un espace de Banach spectral p-adique est un espace de~Banach p-adique muni d'une algèbre de fonctions analytiques à valeurs dans un corps complet et algébriquement clos C. Un espace de Banach-Colmez est un espace de Banach spectral qui s'obtient par extensions et quotients à partir de C et Qp. Ces espaces forment une catégorie abélienne, qui est naturellement munie de fonctions additives « dimension » et « hauteur » ; on retrouve ainsi une démonstration du théorème « faiblement admissible implique admissible » (Colmez-Fontaine, 2000). De plus, il existe une sous-catégorie pleine qui admet une filtration canonique par les pentes de l'action du Frobenius, décroissante et indexée par les rationnels positifs.

Le thème central de cette thèse est le plongement des espaces métriques dans les espaces de Banach. Les principaux plongements étudiés sont les plongements grossiers, uniformes ou Lipschitziens. On considère des questions concernant le plongement Lipschitzien de certaines classes d'espaces métriques, notamment les espaces métriques localement finis ou plus généralement les sous-ensembles localement finis des espaces de Banach Lp, avec 1<= p <= [infini]. Ces questions sont étroitement liées à la classification Lipschitzienne des espaces de Banach. Les plongements grossiers sont un outil clé pour l'étude de plusieurs conjectures célèbres (conjecture de Baum-Connes grossière, conjecture de Novikov grossière...). On mène alors une étude détaillée du plongement grossier, mais aussi uniforme, des espaces métriques propres dans les espaces de Banach sans cotype. Un troisième thème concerne ce qui est appelé le “programme de Ribe” par Manor Mendel et Assaf Naor. Cela consiste en la recherche d'invariants métriques qui caractérisent des propriétés locales des espaces de Banach. Dans cette optique on étudie le plongement de certains arbres.

Cette thèse traite quatre sujets différents de la théorie des espaces de Banach: Le premier est une caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym en utilisant la notion du jeu des points et tranches: Le deuxième est une évaluation de l'indice de dentabilité préfaible des espaces C(K) où K est un compact du hauteur dénombrable: Le troisième est un renormage des espaces non séparables qui est simultanément LUC, lisse et approximable par des normes d'une lissité plus élevée. Le quatrième est une approche par le théorème de Baire aux principes variationnels paramétriques. La thèse commence par une introduction qui examine le contexte de ces résultats
The thesis deals with four topics in the theory of Banach spaces. The first of them is a characterization of the Radon-Nikodym property using the notion of point-slice games. The second is a computation of the w* dentability index of the spaces C(K), where K is a compact of countable height. The third is a renorming result in nonseparable spaces, producing norms which are differentiable, LUR and approximated by norms of higher smoothness. The fourth topic is a Baire cathegory approach to parametric smooth variational principles. The thesis features an introduction which surveys the background of these results

La these est divisee en sept chapitres. Dans le premier chapitre on s'interesse aux operateurs quasi-convexes. On construit un operateur non quasi-convexe sur tout espace contenant une copie de l**(1). Dans le cas contraire on demontre que tout operateur compact est quasi-convexe. Les chapitres deux et trois sont consacres au probleme dit des operateurs non triviaux. Dans le deuxieme chapitre on montre que ce probleme est lie a la propriete (u) de pelczynski, et on demontre qu'un reflexif separable x avec la propriete d'approximation est sous-espace d'un espace a base inconditionnelle si et seulement si k(x) possede la propriete (u). Dans le troisieme chapitre on etudie l'espace k::(d)(x) des operateurs compacts et diagonaux dans le cas ou x est un espace a base. On etudie la base naturelle de k::(d)(x), et on demontre que si k::(d)(x) est un sous-espace de c::(0), alors la base de x possede une sous-suite inconditionnelle. Les chapitres quatre et cinq sont consacres a des problemes de renormages. Dans le quatrieme chapitre on construit des normes localement uniformement convexes (l. U. C. ) su k(x,y) si x** et y* sont des espaces wcg, et sur tout produit tensoriel de x et y si x est un espace wcg avec la propriete d'approximation bornee et y un espace avec une norme l. U. C. Dans le cinquieme chapitre on donne la caracterisation duale de la propriete (ci) : tout convexe compact est intersection de boules. On demontre un theoreme de transfert pour (ci) et la stabilite par decomposition de shauder de la famille des espaces avec une norme equivalente (ci). Un resultat analogue est obtenu pour la propriete (i) de mazur. Dans le sixieme chapitre on demontre des resultats de dichotomie relatifs a la propriete de radon nikidym (rn). Dans tout espace non rn on construit des ensembles de stegall optimaux. Ceci nous permet de consstruire des convexes dont toutes les tranches sont de "grands diametres". Le septieme chapitre est consacre a l'etude de la structure geometrique des espaces e qui sont isometriques a e* et de codimension 1 dans e**. On demontre qu'un tel espace est somme directe d'un espace reflexif h, et d'un espace a base g dont les proprietes sont identiques a l'espace de james. On demontre egalement que toute isometrie surjective de e respecte h et vaut**(+)::(-)id sur g

L'objet de cette these est l'etude du point de vue de la geometrie des espaces de banach d'espaces de hardy abstraits qui sont aux algebres de fonctions ce que les espaces de hardy classiques sont a l'algebre du disque. Dans la premiere partie nous etudions les espaces de hardy definis a partir d'une algebre prefaiblement de dirichlet. Nous etendons a ces espaces un theoreme de bourgain. Puis grace a un lemme de sous-harmonicite, nous trouvons sur la distribution de leurs fonctions integrables une condition analogue a celle du theoreme de davis. Nous montrons aussi sur ces espaces un principe de borne uniforme concernant des fonctions interieures abstraites. Enfin nous mentionnons un resultat d'interpolation reelle entre les espaces de hardy abstraits. Dans la deuxieme partie nous nous interessons aux espaces de hardy ergodiques. Nous etablissons la transference des inegalites a poids pour les fonctions maximales provenant de suites d'operateurs de convolution. Puis nous en deduisons pour la transformee de hilbert ergodique des inegalites a poids de type fort et faible. Ceci permet d'etendre au cadre ergodique des resultats sur l'interpolation des espaces de hardy a poids. Enfin dans la troisieme partie nous montrons l'existence de bases dans les espaces de fonctions continues ou integrables sur un multitore qui sont analytiques au sens de l'ordre lexicographique sur le dual. Pour cela nous construisons sur ces espaces des operateurs par croisements successifs de multiplicateurs de de la vallee-poussin

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la géométrie non linéaire des espaces de Banach. Elle se divise en deux parties. Dans la première, nous nous intéressons aux espaces d'Orlicz séquentiels ainsi qu'à une estimation de leur indice de Szlenk. Nous appliquons les résultats obtenus à l'étude des homéomorphismes uniformes entre deux espaces d'Orlicz séquentiels. En particulier, nous montrons que deux espaces d'Orlicz séquentiels uniformément homéomorphes contiennent les mêmes espaces S\ell_ps. La seconde partie est consacrée à l'existence de projections quasiadditives sur des sous-espaces linéaires. Nous y donnons une nouvelle caractérisation de la propriété d'approximation bornée qui permet d'établir une preuve alternative de l'équivalence entre cette propriété et sa version Lipschitzienne. Une attention toute particulière est donnée aux espaces Lipschitz-libres : nous montrons que les espaces Lipschitz-libres sur des espaces normés de dimension finie possèdent une décomposition finie dimensionnelle.