Littérature scientifique sur le sujet « Profondeur de Tukey »

Dans ce mémoire nous définissons la fonction de profondeur de Tukey d’une mesure positive et finie sur Rd. Par la suite nous étudions les propriétés de cette fonction, notamment les propriétés de continuité et de convexité. Notre objectif est d’établir une caractérisation d’une mesure par sa fonction de profondeur. Plus précisément, étant donné μ et v deux mesures de Borel positives et finies sur Rd, a-t-on μ = v si μ et v ont la même fonction de profondeur? En utilisant des propriétés de la fonction de profondeur, nous établissons une caractérisation lorsque la mesure satisfait certaines propriétés géométriques. Par la suite, nous présentons quelques approches afin de calculer la fonction de profondeur d’une mesure. Enfin nous prouvons le théorème de caractérisation d’une mesure discrète par sa fonction de profondeur de Tukey.
In this memoir we define the Tukey depth function of a positive finite measure on Rd. Then we study the properties of this function, in particular the properties of continuity and convexity. We seek to establish a characterization of a measure by its depth function. That is, given μ, v finite positive measures on Rd, do we have μ = v if μ and v have the same Tukey depth function? We use the properties of the depth function to establish such a characterization when the measure satisfies certain geometric properties. Then we exhibit some approaches for computing the Tukey depth function. Finally we prove the theorem of characterisation of a discrete measure by its Tukey depth function.

Cette thèse est décomposée en trois parties disjointes. Les deux premières parties se concentrent sur des modèles de graphes aléatoires croissants de manière dynamique. Dans la première partie, nous inférons des informations sur le passé d'un graphe à partir d'une unique observation dudit graphe. Nous commençons par le problème de la recherche de racine, où l'objectif est de trouver un ensemble de confiance pour la racine. Nous proposons une méthode pour les L-dags uniformes et analysons ses performances. À notre connaissance, il s'agit de la première méthode réalisant une archéologie du graphe dans des graphes généraux. Nous étendons ensuite naturellement la question de la recherche de racine à celle de la sériation. Étant donné un instantané d'un graphe, est-il possible de récupérer son ordre complet ? Nous présentons une méthode et une garantie statistique sur sa qualité dans le cas des arbres récursifs uniformes et des arbres d'attachement préférentiel linéaire. Pour conclure la section sur l'archéologie de graphe, nous étudions un problème de broadcasting, où l'on ne tente pas de retrouver la racine du graphe mais son état. Dans de tels problèmes, la racine se voit attribuer un bit, qui est ensuite propagé de manière bruité lors de la croissance du réseau. Dans les L-dags, nous étudions un vote par majorité pour estimer le bit de la racine et identifions trois régimes, dépendants du niveau de bruit. Dans la deuxième partie, nous étudions l'arbre d'amitié aléatoire, qui est un modèle d'arbre récursif aléatoire avec redirection complète. Dans ce modèle apparaît un phénomène de rich-get-richer, mais à la différence du modèle d'attachement préférentiel celui ci découle d'un processus d'attachement local. Nous prouvons des conjectures sur la distribution des degrés, le diamètre et la structure locale. Enfin, nous plongeons dans le monde de l'apprentissage automatique théorique et de l'analyse de données. Nous étudions une approximation aléatoire de la profondeur de Tukey. La profondeur de Tukey est un outil puissant pour la visualisation des données et peut être considérée comme une extension des quantiles en dimension plus élevée (ils coïncident en dimension 1). Son calcul exact est NP-difficile, et nous étudions les performances d'une approximation aléatoire dans le cas de données échantillonnées à partir d'une distribution log-concave
This thesis is decomposed in three disjoint parts. The first two parts delve into dynamically growing networks. In the first part, we infer information about the past from a snapshot of the graph. We start by the problem of root finding, where the goal is to find confidence set for the root. We propose a method for uniform L-dags and analyse its performance. It is, to the best of our knowledge, the first method achieving network archaeology in general graphs. Then, we naturally extend the question of root finding to the one of seriation. Given a snapshot of a graph, is it possible to retrieve its whole ordering? We present a method and statistical guarantee of its quality in the case of uniform random recursive trees and linear preferential attachment tree. To conclude the network archaeology section, we study the root bit finding problem, where one does not try to infer the position of the root but its state. In such problems, the root is assigned a bit and is then propagated through a noisy channel during network growth. In the L-dag, we study majority voting to infer the bit of the root and we identify three different regimes depending on the noise level. In the second part of this thesis, we study the so called friendship tree, which is a random recursive tree model with complete redirection. This model display emerging properties, but unlike in the preferential attachment model they stem from a local attachment rule. We prove conjectures about degree distribution, diameter and local structure. Finally, we delve into the world of theoretical machine learning and data analysis. We study a random approximation of the Tukey depth. The Tukey depth is a powerful tool for data visualization and can be thought of as an extension of quantiles in higher dimension (they coincide in dimension 1). Its exact computation is NP-hard, and we study the performances of a classical random approximation in the case of data sets sampled from log-concave distribution