Littérature scientifique sur le sujet « Prezzi di opzioni »

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

In questa tesi consideriamo tre diversi problemi finanziari la cui soluzione è correlata alla media aritmetica di alcuni processi stocastici “mean-reverting”, la cui distribuzione è sconosciuta, impedendo calcoli espliciti ed esatti. Proponiamo approssimazioni basate sui momenti ed esaminiamo le applicazioni nell’ambito del pricing di derivati esotici, rischio di credito e simulazione Monte Carlo e dimostriamo che questo tipo di soluzione può essere molto utile in quanto in grado di ridurre il costo computazionale rispetto a metodi numerici alternativi, che sono usati come benchmark in questo lavoro. Il primo capitolo di questa tesi è dedicato a fornire un background teorico sulle approssimazioni basate sui momenti, inclusi alcuni fatti di base sul cosiddetto moment-problem, tecniche di approssimazioni comuni, insieme a una revisione della letteratura sull'uso dei momenti in finanza e illustrazioni numeriche. Nel secondo capitolo, proponiamo formule di approssimazione precise basate sui momenti per il prezzo delle opzioni asiatiche nel caso in cui il prezzo del sottostante sia un processo stocastico mean-reverting (con salti). Nel terzo capitolo introduciamo una metodologia efficiente, basata su moment matching, per la calibrazione dell'intensità di default, che è modellata attraverso un processo esponenziale di Ornstein-Uhlenbeck e applichiamo questo risultato al calcolo del Credit Value Adjustment (CVA) in presenza di Wrong Way Risk, nell’ambito di derivati sui tassi di interesse. Nel quarto capitolo, consideriamo il problema della simulazione dei modelli di volatilità stocastica. In letteratura sono stati proposti schemi di simulazione esatta per vari modelli, ma sono inefficienti dal punto di vista computazionale a causa della loro dipendenza dall'integrale del processo della varianza, che si presume generalmente sia mean reverting e la cui distribuzione è sconosciuta. In questo caso, mostriamo come calcolare i momenti di tale distribuzione sconosciuta e sviluppiamo una nuova metodologia di simulazione che risulta essere molto più veloce, dal punto di vista computazionale, rispetto agli schemi esatti, per un livello di precisione simile. Il capitolo finale è diverso dagli altri poiché i momenti trovano solo un'applicazione marginale. Consideriamo un modello “double exponential jump-diffusion” in cui l'intensità dei salti è un processo stocastico di tipo Hawkes. Questo tipo di dinamica è stata introdotta in letteratura al fine di modellare il fenomeno del “jump clustering”, ampiamente osservato nei mercati finanziari e delle materie prime. Deriviamo la funzione caratteristica dell'integrale dei log-rendimenti e troviamo formula per il pricing di opzioni asiatiche geometriche sotto tale modello.
In this thesis we consider three different financial problems whose solution is related to the arithmetic average of some mean reverting stochastic process, whose distribution is unknown, precluding explicit and exact computations. We propose moment based approximations and examine applications in exotic derivatives pricing, credit risk and Monte Carlo simulation and show that this kind of solution can be very useful as able to reduce the computational cost with respect to alternative numerical methods, which are used as benchmark throughout this work. The first chapter of this thesis is devoted to provide some theoretical background on moment based approximations, including some basic facts on the so-called \textit{moment problem}, common approximations techniques, together with a literature review on the usage of moments in finance and numerical illustrations. In the second chapter, we propose accurate moment based approximation formulas for the price of Asian options in the case where the underlying's price is a mean reverting (with jumps) stochastic process. In the third chapter we introduce an efficient methodology, based on moment matching, for the calibration of the default intensity, which is modeled through an exponential Ornstein-Uhlenbeck process and apply this result to the calculation of Credit Value Adjustment (CVA) in presence of wrong way risk for interest rates derivatives. In the fourth chapter, we consider the problem of simulating stochastic volatility models. Exact simulation schemes have been proposed in literature for various models, but are computationally inefficient due to their dependence on the integral of the variance process, which is generally assumed to be mean reverting and whose distribution is unknown. In this case, we show how to compute the moments of such unknown distribution and develop a new simulation methodology which turns out to be much faster, from a computational point of view, than exact schemes, for a similar level of accuracy. The final chapter is different from the others as moments find only marginal application. We consider a double exponential jump diffusion model where the jump intensity is a stochastic process of Hawkes type. This kind of dynamics has been introduced in literature in order to model jump clustering phenomenon, widely observed in financial and commodity markets. We derive the characteristic function of the integral of log-returns and price geometric Asian options under such model.

Questa tesi si compone di quattro saggi sui modelli stocastici di volatilità in asset e option pricing. Più precisamente, questa tesi si concentra sul tasso di interesse stocastico e sui modelli di volatilità stocastica multiscala, con applicazioni in vari prodotti finanziari. Nel primo saggio viene presentato un modello ibrido Heston-CIR (HCIR) con un tasso di interesse stocastico. In questo saggio, sono state dedotte formule elementari esplicite per i momenti relativi alle distribuzioni dei prezzi delle azioni, nonché formule efficaci per approssimare i prezzi delle opzioni. Utilizzando i prezzi di call e put options europei sul l'indice S&P 500 americano, questo studio empirico dimostra che il modello HCIR è migliore del modello di Heston nell'interpretazione e nella previsione dei prezzi di call e put options. Il secondo saggio è un ulteriore estensione del modello HCIR con due diverse applicazioni. La prima applicazione utilizza il modello HCIR per interpretare la struttura a termine dei rendimenti e per prevedere la loro tendenza al rialzo /ribasso. La seconda analisi è basata sui valori della “long-term health endowment policy”. L'analisi empirica mostra che il tasso di interesse stocastico gioca un ruolo cruciale come fattore di volatilità e fornisce un modello multi-fattore che supera il modello di Heston nel predire prezzo della polizza assicurativa sanitaria. Nel terzo saggio è stato proposto un modello ibrido di tipo Heston Hull-White (HHW) per descrivere le dinamiche di un prezzo di asset con volatilità e tasso di interesse stocastici che tiene conto di valori negativi. Nel lavoro sono state dedotte sia formule elementari esplicite per la funzione di densità di probabilità di transizione della variabile prezzi degli asset che formule in forma chiusa per stimare il prezzo delle opzioni. Nella prima analisi empirica è stato calibrato il modello HHW utilizzando la cosiddetta implied volatility. La seconda analisi empirica si concentra sui prezzi di futures Eurodollar e i corrispondenti prezzi delle opzioni europee con una generalizzazione del modello di Heston con tassi di interesse stocastici. I risultati relativi all’approssimazione e alla previsione sono molto interessanti. Ciò conferma l'efficienza del modello di HHW e la necessità di considerare possibili valori negativi di tasso di interesse. Il quarto saggio descrive un modello di Heston ibrido e multiscala per il tasso di cambio a pronti FX per poter considerare tassi di interesse stocastici. Il trattamento analitico del modello è descritto in dettaglio sia considerando delle misure legate alla fisica che misura di neutralità al rischio. In particolare, è stata derivata una formula per la funzione di densità di transizione di probabilità usando un integrale a una dimensione di una funzione integrale elementare che viene utilizzato per il prezzaggio delle opzioni call e put European Vanilla.
This dissertation consists of four related essays on stochastic volatility models in asset and option pricing. More precisely, this dissertation focuses on stochastic interest rate and multiscale stochastic volatility models, with applications in various financial products. In first essay, a hybrid Heston-CIR (HCIR) model with a stochastic interest rate process is presented. In this essay, explicit elementary formulas for the moments of the asset price variables as well as efficient formulas to approximate the option prices are deduced. Using European call and put option prices on U.S. S&P 500 index, empirical study shows that the HCIR model outperforms Heston model in interpreting and predicting both call and put option prices. The second essay is a further extension of the HCIR model with two different applications. The first application is using HCIR model to interpret bond yield term structure and to forecast their upward/downward trend. The second analysis is based on the values of the long-term health endowment policy. The empirical analysis shows that the stochastic interest rate plays a crucial role as a volatility factor and provides a multi-factor model that outperforms the Heston model in predicting health endowment policy price. In the third essay, a hybrid Heston Hull-White (HHW) model is designed to describe the dynamics of an asset price under stochastic volatility and interest rate that allows negative values. Explicit elementary formulas for the transition probability density function of the asset price variable and closed-form formulas to approximate the option prices are deduced. In first empirical analysis, the HHW model is calibrated by using implied volatility. The second empirical analysis focuses on the Eurodollar futures prices and the corresponding European options prices with a generalization of the Heston model in the stochastic interest rate framework. Both the results are impressive for approximation and prediction. This confirms the efficiency of HHW model and the necessary to allow for negative values of interest rate. The fourth essay describes a multiscale hybrid Heston model of the spot FX rate which is an extension of the model De Col, Gnoatto and Grasselli 2013 in order to allow stochastic interest rate. The analytical treatment of the model is described in detail both under physical measure and risk neutral measure. In particular, a formula for the transition probability density function is derived as a one dimensional integral of an elementary integral function which is used to price European Vanilla call and put options.

Questa tesi, che si articola in tre parti, in un primo momento propone la specificazione, lo sviluppo e il coordinamento di metodiche e di strumenti alternativi a quelli impiegati nell'approccio classico per l'analisi dell'evoluzione dei prezzi speculativi; in particolare, considera le distribuzioni di probabilità Pareto-Lévy stabili, i moti Browniani frazionari e le dinamiche deterministiche non lineari complesse. In un secondo momento, la tesi propone l'utilizzo di tali metodiche e di tali strumenti al fine di analizzare empiricamente il mercato finanziario italiano. In un terzo e ultimo momento propone degli strumenti e dei modelli economico-finanziari "coerenti" con i risultati empirici empirici ottenuti; in particolare, propone un approccio alla valutazione del valore di equilibrio in una opzione call di tipo europeo nell'ipotesi in cui la legge degli incrementi dei logaritmi dei prezzi sia descrivibile da una dinamica deterministica non lineare complessa.

Gli aumenti di capitale iperdiluitivi causano rilevanti anomalie di mercato, soprattutto con riferimento ai diritti d’opzione, che sono spesso scambiati a un prezzo notevolmente inferiore rispetto al loro valore teorico. Come evidenziato nel Capitolo I, tali anomalie possono comportare un significativo annacquamento del valore dell’investimento, inducendo così gli azionisti a sottoscrivere le azioni offerte loro nonostante le prospettive reddituali dell’impresa avrebbero consigliato altrimenti (c.d. coazione a sottoscrivere). Al fine di trovare un adeguato equilibrio tra le esigenze di finanziamento dell’impresa e la necessità di tutelare adeguatamente gli investitori, l’ordinamento giuridico offre una pluralità di soluzioni. In quest’angolo visuale, il Capitolo II esamina il divieto di emettere nuove azioni al di sotto della parità contabile (art. 47, Direttiva (EU) 2017/1132) quale limite ex ante alla diluizione massima del valore della partecipazione azionaria, così di ridurre il rischio di comportamenti opportunistici. Similmente, nel Capitolo III si discute della funzione assolta in tali operazioni dalla responsabilità degli amministratori ex art. 2395 c.c. e ci si interroga se - nelle società quotate - l’illiquidità del mercato dei diritti di opzione costituisca un’ipotesi rilevante ai sensi dell'art. 2441, comma 5, c.c., così che tutte le nuove azioni debbano essere emesse al loro valore “reale” (co. 6).
In publicly traded companies, highly dilutive rights issues create market anomalies throughout the whole offer period, especially with respect to rights prices, which quote considerably below their fair value. As pointed out in Chapter I, these anomalies could cause severe losses to non-subscribing shareholders, inducing them to take part in the operation even if financial perspectives of the company would have suggested otherwise (= enforced subscription mechanism). In order to strike a proper balance of enabling companies to raise new capital while simultaneously protecting investors, company law provides an array of regulatory strategies. In this respect, Chapter II analyzes the prohibition on issuing new shares below par value (art. 47, Directive (EU) 2017/1132) as a means to limit the dilution that can be imposed on non-subscribing shareholders, thus hindering opportunistic behaviors. Similarly, Chapter III examines the function and the contents of managers’ liability to investors (art. 2395 Italian c.c.) and discusses whether, in these operations, the illiquidity of rights’ market can be regarded as a restriction of their pre-emption right, imposing that new shares are always issued at their “real” value (art. 2441, par. 5 - 6, Italian c.c.).

Gli aumenti di capitale iperdiluitivi causano rilevanti anomalie di mercato, soprattutto con riferimento ai diritti d’opzione, che sono spesso scambiati a un prezzo notevolmente inferiore rispetto al loro valore teorico. Come evidenziato nel Capitolo I, tali anomalie possono comportare un significativo annacquamento del valore dell’investimento, inducendo così gli azionisti a sottoscrivere le azioni offerte loro nonostante le prospettive reddituali dell’impresa avrebbero consigliato altrimenti (c.d. coazione a sottoscrivere). Al fine di trovare un adeguato equilibrio tra le esigenze di finanziamento dell’impresa e la necessità di tutelare adeguatamente gli investitori, l’ordinamento giuridico offre una pluralità di soluzioni. In quest’angolo visuale, il Capitolo II esamina il divieto di emettere nuove azioni al di sotto della parità contabile (art. 47, Direttiva (EU) 2017/1132) quale limite ex ante alla diluizione massima del valore della partecipazione azionaria, così di ridurre il rischio di comportamenti opportunistici. Similmente, nel Capitolo III si discute della funzione assolta in tali operazioni dalla responsabilità degli amministratori ex art. 2395 c.c. e ci si interroga se - nelle società quotate - l’illiquidità del mercato dei diritti di opzione costituisca un’ipotesi rilevante ai sensi dell'art. 2441, comma 5, c.c., così che tutte le nuove azioni debbano essere emesse al loro valore “reale” (co. 6).
In publicly traded companies, highly dilutive rights issues create market anomalies throughout the whole offer period, especially with respect to rights prices, which quote considerably below their fair value. As pointed out in Chapter I, these anomalies could cause severe losses to non-subscribing shareholders, inducing them to take part in the operation even if financial perspectives of the company would have suggested otherwise (= enforced subscription mechanism). In order to strike a proper balance of enabling companies to raise new capital while simultaneously protecting investors, company law provides an array of regulatory strategies. In this respect, Chapter II analyzes the prohibition on issuing new shares below par value (art. 47, Directive (EU) 2017/1132) as a means to limit the dilution that can be imposed on non-subscribing shareholders, thus hindering opportunistic behaviors. Similarly, Chapter III examines the function and the contents of managers’ liability to investors (art. 2395 Italian c.c.) and discusses whether, in these operations, the illiquidity of rights’ market can be regarded as a restriction of their pre-emption right, imposing that new shares are always issued at their “real” value (art. 2441, par. 5 - 6, Italian c.c.).