Thèses sur le sujet « Gröbner bases application »

La résolution de systèmes polynomiaux est un problème aux multiples applications, et les bases de Gröbner sont un outil important dans ce cadre. Il est connu que de nombreux systèmes issus d'applications présentent une structure supplémentaire par rapport à des systèmes arbitraires, et que ces structures peuvent souvent être exploitées pour faciliter le calcul de bases de Gröbner.Dans cette thèse, on s'intéresse à deux exemples de telles structures, pour différentes applications. Tout d'abord, on étudie les systèmes homogènes avec poids, qui sont homogènes si on calcule le degré en affectant un poids à chaque variable. Cette structure apparaît naturellement dans de nombreuses applications, dont un problème de cryptographie (logarithme discret). On montre comment les algorithmes existants, efficaces pour les polynômes homogènes, peuvent être adaptés au cas avec poids, avec des bornes de complexité générique divisées par un facteur polynomial en le produit des poids.Par ailleurs, on étudie un problème de classification de racines réelles pour des variétés définies par des déterminants. Ce problème a une application directe en théorie du contrôle, pour l'optimisation de contraste de l'imagerie à résonance magnétique. Ce système particulier s'avère insoluble avec les stratégies générales pour la classification. On montre comment ces stratégies peuvent tirer profit de la structure déterminantielle du système, et on illustre ce procédé en apportant des réponses aux questions posées par le problème d'optimisation de contraste
Polynomial system solving is a problem with numerous applications, and Gröbner bases are an important tool in this context. Previous studies have shown that systèmes arising in applications usually exhibit more structure than arbitrary systems, and that these structures can be used to make computing Gröbner bases easier.In this thesis, we consider two examples of such structures. First, we study weighted homogeneous systems, which are homogeneous if we give to each variable an arbitrary degree. This structure appears naturally in many applications, including a cryptographical problem (discrete logarithm). We show how existing algorithms, which are efficient for homogeneous systems, can be adapted to a weighted setting, and generically, we show that their complexity bounds can be divided by a factor polynomial in the product of the weights.Then we consider a real roots classification problem for varieties defined by determinants. This problem has a direct application in control theory, for contrast optimization in magnetic resonance imagery. This specific system appears to be out of reach of existing algorithms. We show how these algorithms can benefit from the determinantal structure of the system, and as an illustration, we answer the questions from the application to contrast optimization

La résolution de systèmes polynomiaux est un problème aux multiples applications, et les bases de Gröbner sont un outil important dans ce cadre. Il est connu que de nombreux systèmes issus d'applications présentent une structure supplémentaire par rapport à des systèmes arbitraires, et que ces structures peuvent souvent être exploitées pour faciliter le calcul de bases de Gröbner.Dans cette thèse, on s'intéresse à deux exemples de telles structures, pour différentes applications. Tout d'abord, on étudie les systèmes homogènes avec poids, qui sont homogènes si on calcule le degré en affectant un poids à chaque variable. Cette structure apparaît naturellement dans de nombreuses applications, dont un problème de cryptographie (logarithme discret). On montre comment les algorithmes existants, efficaces pour les polynômes homogènes, peuvent être adaptés au cas avec poids, avec des bornes de complexité générique divisées par un facteur polynomial en le produit des poids.Par ailleurs, on étudie un problème de classification de racines réelles pour des variétés définies par des déterminants. Ce problème a une application directe en théorie du contrôle, pour l'optimisation de contraste de l'imagerie à résonance magnétique. Ce système particulier s'avère insoluble avec les stratégies générales pour la classification. On montre comment ces stratégies peuvent tirer profit de la structure déterminantielle du système, et on illustre ce procédé en apportant des réponses aux questions posées par le problème d'optimisation de contraste
Polynomial system solving is a problem with numerous applications, and Gröbner bases are an important tool in this context. Previous studies have shown that systèmes arising in applications usually exhibit more structure than arbitrary systems, and that these structures can be used to make computing Gröbner bases easier.In this thesis, we consider two examples of such structures. First, we study weighted homogeneous systems, which are homogeneous if we give to each variable an arbitrary degree. This structure appears naturally in many applications, including a cryptographical problem (discrete logarithm). We show how existing algorithms, which are efficient for homogeneous systems, can be adapted to a weighted setting, and generically, we show that their complexity bounds can be divided by a factor polynomial in the product of the weights.Then we consider a real roots classification problem for varieties defined by determinants. This problem has a direct application in control theory, for contrast optimization in magnetic resonance imagery. This specific system appears to be out of reach of existing algorithms. We show how these algorithms can benefit from the determinantal structure of the system, and as an illustration, we answer the questions from the application to contrast optimization

L’objectif de cette thèse doctoral est d’explorer les cas d’échec de l’asservissement visuel, d’un point de vue mathématique rigoureux et à l’aide d’outils de calcul exact issus de la géométrie algébrique et du calcul formel. Les cas d’échec possibles proviennent de deux sources : les singularités des équations cinématiques, et l’existence de multiples points d’équilibre, ce qui affecte la stabilité asymptotique globale des lois de contrôle. Dans cette thèse, nous avons atteint deux objectifs principaux. Le premier est de calculer les conditions de singularité pour le modèle d’interaction lié à l’observation de plus de trois droites 3D, en étendant les résultats des publications antérieurs pour trois droites. Le deuxième est le calcul des points critiques en IBVS dans l’observation de quatre points de référence, comme première étape vers l’analyse de la stabilité globale des méthodes d’asservissement visuel
The objective of this PhD thesis is to explore the failure cases of Image-Based Visual Servoing (IBVS), a class of Robotics controllers based on computer vision data. The failure cases arise from two sources: the singularities of the governing kinematic equations, and the existance of multiple stable points of equilibrium, which impacts the global asymptotic stability of the control laws. In this thesis, we study these two problems from a rigurous mathematical perspective and with the help of exact computational tools from algebraic geometry and computer algebra. Two main objectives were achieved. The first is to determine the conditions for singularity for the interaction model related to the observation of more than three straight lines in space, which extends the previous existing results for three lines. The second is the computation of the critical points (the equilibrium points) of IBVS in the observation of four reference points, as a first step towards an analysis of the global stability behaviour of visual servoing

Cette thèse est dédiée à la cryptanalyse algébrique par les bases de Gröbner. Nous avons justifié l'usage des bases de Gröbner par une comparaison théorique et expérimentale avec l'algorithme XL utilisé en cryptographie. Cette thèse a aussi pour objet l'étude de deux problèmes: les registres filtrés et l'AES. Pour prédire le résolution de ces systèmes, nous avons généralisé la notion d'Immunité Algébrique à tout corps fini et étudié les propriétés de cette notion (stabilité, bornes, relation avec d'autres critères cryptographiques). Pour les registres filtrés, une nouvelle représentation a explicité les relations linéaires de la mise en équations. Elle a permi d'obtenir une borne de complexité des attaques algébriques qui ont été vérifiées expérimentalement sur des registres de tailles réelles. Enfin, à travers des résolutions expérimentales d'une simplification appropriée de l'AES, nous avons déterminé des facteurs limitants (taille de la Sbox) ou non (nombre de cycles)

De nombreux systèmes polynomiaux multivariés apparaissant en Sciences de l'Ingénieur possèdent une structure algébrique spécifique. En particulier, les structures multi-homogènes, déterminantielles et les systèmes booléens apparaissent dans une variété d'applications. Une méthode classique pour résoudre des systèmes polynomiaux passe par le calcul d'une base de Gröbner de l'idéal associé au système. Cette thèse présente de nouveaux outils pour la résolution de tels systèmes structurés. D'une part, ces outils permettent d'obtenir sousdes hypothèses de généricité des bornes de complexité du calcul debase de Gröbner de plusieurs familles de systèmes polynomiauxstructurés (systèmes bilinéaires, systèmes déterminantiels, systèmesdéfinissant des points critiques, systèmes booléens). Ceci permetd'identifier des familles de systèmes pour lequels la complexité arithmétique de résolution est polynomiale en le nombre de solutions. D'autre part, cette thèse propose de nouveaux algorithmequi exploitent ces structures algébriques pour améliorer l'efficacité du calcul de base de Gröbner et de la résolution (systèmes multi-homogènes, systèmes booléens). Ces résultats sontillustrés par des applications concrètes en cryptologie (cryptanalyse des systèmes MinRank et ASC), en optimisation et en géométrie réelle effective (calcul de points critiques)
Multivariate polynomial systems arising in Engineering Science often carryalgebraic structures related to the problems they stem from. Inparticular, multi-homogeneous, determinantal structures and booleansystems can be met in a wide range of applications. A classical method to solve polynomial systems is to compute a Gröbner basis ofthe ideal associated to the system. This thesis provides new tools forsolving such structured systems in the context of Gröbner basis algorithms. On the one hand, these tools bring forth new bounds on the complexity of thecomputation of Gröbner bases of several families of structured systems(bilinear systems, determinantal systems, critical point systems,boolean systems). In particular, it allows the identification of families ofsystems for which the complexity of the computation is polynomial inthe number of solutions. On the other hand, this thesis provides new algorithms which takeprofit of these algebraic structures for improving the efficiency ofthe Gröbner basis computation and of the whole solving process(multi-homogeneous systems, boolean systems). These results areillustrated by applications in cryptology (cryptanalysis of MinRank),in optimization and in effective real geometry (critical pointsystems)

Dans cette thèse, on étudie les algèbres associatives unitaires par des méthodes de réécriture. La théorie des bases de \G\ non commutatives permet de résoudre des problèmes de décidabilité ou de calculer des invariants homologiques par de telles méthodes. Motivé par des questions d'algèbre homologique, Berger caractérise les bases de \G\ quadratiques en termes de treillis. Cette caractérisation a pour base les opérateurs de réduction. Ceux-ci sont des projecteurs particuliers d'un espace vectoriel admettant une base totalement ordonnée. Berger montre que, dans le cas où cet espace vectoriel est de dimension finie, l'ensemble des opérateurs de réduction admet une structure de treillis. Il en déduit une formulation de la confluence en termes de treillis lui permettant de caractériser les bases de \G\ quadratiques. Dans ce travail, on étend l'approche par les opérateurs de réduction en l'appliquant au cas des algèbres non nécessairement quadratiques. Pour cela, on montre qu'en dimension quelconque l'ensemble des opérateurs de réduction admet également une structure de treillis. En dimension finie, celle-ci coïncide avec celle exhibée par Berger. On en déduit une formulation de la confluence en termes de treillis généralisant celle de Berger. En outre, on donne une interprétation de la complétion en termes de treillis.La formulation algébrique de la confluence permet en particulier des caractériser les bases de \G\ non commutatives en termes de treillis. De plus, la formulation algébrique de la complétion, nous permet de montrer que celle-ci peut être obtenue via une construction dans le treillis des opérateurs de réduction. On en déduit une méthode pour construire des bases de \G\ non commutatives.On construit également une homotopie contractante du complexe de Koszul en termes d'opérateurs de réduction. La formulation de la confluence en termes de treillis nous permet de caractériser celle-ci par des équations. Ces équations induisent des représentations d'une famille d'algèbres que sont les algèbres de confluence. L'homotopie contractante est construite à partir de ces représentations
In this thesis, we study associative unitary algebras with rewriting methods. \G\ bases theory enables us to solve decision problems and to compute homological invariants with such methods. In order to study homological problems, Berger characterises quadratic \G\ bases in a lattice way. This characterisationis obtained using reduction operators. The latter ones are specific projectors of a vector space equipped with a wellfounded basis. When this vector space is finite-dimensional, Berger proves that the associated set of reduction operators admits a lattice structure. Using it, he deduces the lattice characterisation of quadratic \G\ bases. In this thesis, we extend the approach in terms of reduction operators applying it to not necessarily quadratic algebras.For that, we show that the set of reduction operators relative to a not necessarily finite-dimensional vector space admitsa lattice structure. In the finite-dimensional case, we obtain the same lattice structure than Berger's one. We provide a lattice formulation of confluence generalizing Berger's one. Moreover, we provide a lattice characterisation of completion.We use the lattice formulation of confluence to characterise non commutative \G\ bases. Moreover, we deduce from the lattice formulation of confluence a procedure to construct non commutative \G\ bases.We also construct a contracting homotopt for the Koszul complex using reduction operators. The lattice formulation of confluence enables us to characterise it with algebraic equations. These equations induce representations of a family of algebras called confluence algebras. Our contracting homotopy is built using these representations

Dans cette thèse, nous étudions le concept d’algèbre pré-Lie libre engendrée par un ensemble (non-vide). Nous rappelons la construction par A. Agrachev et R. Gamkrelidze des bases de monômes dans les algèbres pré-Lie libres. Nous décrivons la matrice des vecteurs d’une base de monômes en termes de la base d’arbres enracinés exposée par F. Chapoton et M. Livernet. Nous montrons que cette matrice est unipotente et trouvons une expression explicite pour les coefficients de cette matrice, en adaptant une procédure suggérée par K. Ebrahimi-Fard et D. Manchon pour l’algèbre magmatique libre. Nous construisons une structure d’algèbre pré-Lie sur l’algèbre de Lie libre $\mathcal{L}$(E) engendrée par un ensemble E, donnant une présentation explicite de $\mathcal{L}$(E) comme quotient de l’algèbre pré-Lie libre $\mathcal{T}$^E, engendrée par les arbres enracinés (non-planaires) E-décorés, par un certain idéal I. Nous étudions les bases de Gröbner pour les algèbres de Lie libres dans une présentation à l’aide d’arbres. Nous décomposons la base d’arbres enracinés planaires E-décorés en deux parties O(J) et $\mathcal{T}$(J), où J est l’idéal définissant $\mathcal{L}$(E) comme quotient de l’algèbre magmatique libre engendrée par E. Ici, $\mathcal{T}$(J) est l’ensemble des termes maximaux des éléments de J, et son complément O(J) définit alors une base de $\mathcal{L}$(E). Nous obtenons un des résultats importants de cette thèse (Théorème 3.12) sur la description de l’ensemble O(J) en termes d’arbres. Nous décrivons des bases de monômes pour l’algèbre pré-Lie (respectivement l’algèbre de Lie libre) $\mathcal{L}$(E), en utilisant les procédures de bases de Gröbner et la base de monômes pour l’algèbre pré-Lie libre obtenue dans le Chapitre 2. Enfin, nous étudions les développements de Magnus classique et pré-Lie, discutant comment nous pouvons trouver une formule de récurrence pour le cas pré-Lie qui intègre déjà l’identité pré-Lie. Nous donnons une vision combinatoire d’une méthode numérique proposée par S. Blanes, F. Casas, et J. Ros, sur une écriture du développement de Magnus classique, utilisant la structure pré-Lie de $\mathcal{L}$(E)
In this thesis, we study the concept of free pre-Lie algebra generated by a (non-empty) set. We review the construction by A. Agrachev and R. Gamkrelidze of monomial bases in free pre-Lie algebras. We describe the matrix of the monomial basis vectors in terms of the rooted trees basis exhibited by F. Chapoton and M. Livernet. Also, we show that this matrix is unipotent and we find an explicit expression for its coefficients, adapting a procedure implemented for the free magmatic algebra by K. Ebrahimi-Fard and D. Manchon. We construct a pre-Lie structure on the free Lie algebra $\mathcal{L}$(E) generated by a set E, giving an explicit presentation of $\mathcal{L}$(E) as the quotient of the free pre-Lie algebra $\mathcal{T}$^E, generated by the (non-planar) E-decorated rooted trees, by some ideal I. We study the Gröbner bases for free Lie algebras in tree version. We split the basis of E- decorated planar rooted trees into two parts O(J) and $\mathcal{T}$(J), where J is the ideal defining $\mathcal{L}$(E) as a quotient of the free magmatic algebra generated by E. Here $\mathcal{T}$(J) is the set of maximal terms of elements of J, and its complement O(J) then defines a basis of $\mathcal{L}$(E). We get one of the important results in this thesis (Theorem 3.12), on the description of the set O(J) in terms of trees. We describe monomial bases for the pre-Lie (respectively free Lie) algebra $\mathcal{L}$(E), using the procedure of Gröbner bases and the monomial basis for the free pre-Lie algebra obtained in Chapter 2. Finally, we study the so-called classical and pre-Lie Magnus expansions, discussing how we can find a recursion for the pre-Lie case which already incorporates the pre-Lie identity. We give a combinatorial vision of a numerical method proposed by S. Blanes, F. Casas, and J. Ros, on a writing of the classical Magnus expansion in $\mathcal{L}$(E), using the pre-Lie structure

Nous présentons les bases de Grobner, leur utilisation et la parallélisation des algorithmes qui les calculent dans le cas de polynômes booléens. Une première partie est consacrée à la présentation théorique des bases de Grobner dans le cas général. Cette présentation se veut accessible a des non-spécialistes. Une étude bibliographique de la complexité est faite. Une deuxième partie concerne les applications des bases de Grobner booléennes en calcul propositionnel et en preuve de circuits combinatoires. Nous proposons un algorithme de preuve formelle de circuits combinatoires hiérarchisés. Dans la troisième partie nous adaptons l'algorithme séquentiel au cas booléen et nous étudions plus en détail la normalisation. Nous proposons deux méthodes de parallélisation a granularité différentes. Nous analysons et comparons plusieurs implantations parallèles et présentons des résultats expérimentaux. Les algorithmes sont généralisables au cas des polynômes a coefficients rationnels. Nous soulignons l'influence de la répartition des données sur le temps d'exécution. Nous présentons une methode de répartition des polynômes basée sur la recherche de chemins de longueur donnée dans un graphe oriente. Cette répartition nous permet d'obtenir des résultats interpretables et de conclure sur les différents algorithmes

Résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis est d’un intérêt particulier en raison de ses applications en Cryptographie, Théorie du Codage, et d’autres domaines de la science de l’information. Dans cette thèse, nous étudions plusieurs aspects importants théoriques et informatiques pour résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis, en particulier sur les deux outils largement utiliss: bases de Gröbner et ensembles triangulaires. Nous proposons des algorithmes efficaces pour le changement de l’ordre des bases de Gröbner d’idéaux de dimension zéro en utilisant le faible densité des matrices de multiplication et d’évaluer telle faible densité pour les systèmes de polynômes génériques. Algorithmes originaux sont présentés pour la décomposition des ensembles de polynômes en ensembles triangulaires simples sur les corps finis. Nous définissons également décomposition sans carré et factorisation des polynômes sur produits non mélangés d’extensions des corps et proposons des lgorithmes pour les calculer. L’efficacité et l’efficience de ces algorithmes ont été vérifiées par des expériences avec nos implémentations. Méthodes de résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis sont également appliquées pour résoudre les problèmes pratiques posés par la Biologie et la Théorie du Codage
Polynomial system solving over finite fields is of particular interest because of its applications in Cryptography, Coding Theory, and other areas of information science and technologies. In this thesis we study several important theoretical and computational aspects for solving polynomial systems over finite fields, in particular on the two widely used tools Gröbner bases and triangular sets. We propose efficient algorithms for change of ordering of Gröbner bases of zero-dimensional ideals by using the sparsity of multiplication matrices and evaluate such sparsity for generic polynomial systems. Original algorithms are presented for decomposing polynomial sets into simple triangular sets over finite fields. We also define squarefree decomposition and factorization of polynomials over unmixed products of field extensions and propose algorithms for computing them. The effectiveness and efficiency of these algorithms have been verified by experiments with our implementations. Methods for polynomial system solving over finite fields are also applied to solve practical problems arising from Biology and Coding Theory

Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométrique assistée par ordinateur : les problèmes d’intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d’appartenance d’une point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d’un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d’une courbe rationnelle. L’approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, une première étape symbolique consiste à transformer le problème considéré en un réseau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l’aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d’extraction de la partie régulière d’un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est consacré » à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés ∱₁,…∱s construit un ensemble de polynômes U₁,…, Us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd (∱₁ + U₁,…, ∱s + Us) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité
In this thesis, we introduce and study a new implicit representation of rational curves of arbitrary dimensions and propose an implicit representation of rational hypersurfaces. The, we illustrate the advantages of this matrix representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design (CAGD) : the curve/curve, curve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities of rational curves. We also develop some symbolic/numeric algorithms to manipulate these new representations for example : the algorithm for extracting the regular part of a non square pencil of univariate polynomial matrices and bivariate polynomial matrices. In the appendix of this thesis work we present an implementation of these methods in the computeur algebra systems Mathemagix and Maple. In th last chapter, we describe an algorithm which, given a set of univariate polynomials ∱₁,…∱s returns a set of polynomials U₁,…, Us with prescribed degree-bounds such that the degree of gcd (∱₁ + U₁,…, ∱s + Us) is bounded below by a given degree assuming some genericity hypothesis

Dans cette thèse, nous étudions des algorithmes pour un problème de recherche de relations à une ou plusieurs variables. Il généralise celui de calculer une solution à un système d’équations linéaires modulaires sur un anneau de polynômes, et inclut par exemple le calcul d’approximants de Hermite-Padé ou d’interpolants bivariés. Plutôt qu’une seule solution, nous nous attacherons à calculer un ensemble de générateurs possédant de bonnes propriétés. Précisément, l’entrée de notre problème consiste en un module de dimension finie spécifié par l’action des variables sur ses éléments, et en un certain nombre d’éléments de ce module ; il s’agit de calculer une base de Gröbner du modules des relations entre ces éléments. En termes d’algèbre linéaire, l’entrée décrit une matrice avec une structure de type Krylov, et il s’agit de calculer sous forme compacte une base du noyau de cette matrice. Nous proposons plusieurs algorithmes en fonction de la forme des matrices de multiplication qui représentent l’action des variables. Dans le cas d’une matrice de Jordan,nous accélérons le calcul d’interpolants multivariés sous certaines contraintes de degré ; nos résultats pour une forme de Frobenius permettent d’accélérer le calcul de formes normales de matrices polynomiales univariées. Enfin, dans le cas de plusieurs matrices denses, nous accélérons le changement d’ordre pour des bases de Gröbner d’idéaux multivariés zéro-dimensionnels
In this thesis, we study algorithms for a problem of finding relations in one or several variables. It generalizes that of computing a solution to a system of linear modular equations over a polynomial ring, including in particular the computation of Hermite- Padéapproximants and bivariate interpolants. Rather than a single solution, we aim at computing generators of the solution set which have good properties. Precisely, the input of our problem consists of a finite-dimensional module given by the action of the variables on its elements, and of some elements of this module; the goal is to compute a Gröbner basis of the module of syzygies between these elements. In terms of linear algebra, the input describes a matrix with a type of Krylov structure, and the goal is to compute a compact representation of a basis of the nullspace of this matrix. We propose several algorithms in accordance with the structure of the multiplication matrices which specify the action of the variables. In the case of a Jordan matrix, we accelerate the computation of multivariate interpolants under degree constraints; our result for a Frobenius matrix leads to a faster algorithm for computing normal forms of univariate polynomial matrices. In the case of several dense matrices, we accelerate the change of monomial order for Gröbner bases of multivariate zero-dimensional ideals

Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues). Dans le cas générique (”aléatoire”), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous étendons ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m > n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m = 2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (J-C. Faugère) de calcul de base de Gröbner. Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précédemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.

Ce travail comporte deux parties, l'une théorique et l'autre pratique, et porte sur l'utilisation combinée d'outils combinatoires et algébriques pour la construction et l'analyse de plans d'expérience. Nous nous intéressons en particulier à des caractérisations polynomiales des propriétés d'invariance faible d'un plan expérimental et proposons une définition ainsi qu'un cadre de résolution d'un problème de construction de type polynomial à l'aide de la géométrie algébrique réelle et du lien entre l'optimisation semi-définie positive et le théorème des zéros réels. Nous nous intéresserons ici également à la méthodologie des surfaces de réponse et plus particulièrement à la propriété d'isovariance statistique, ce qui nous amène à étudier plus particulièrement des plans dont le support est inclus dans une sphère. Les principaux avantages de l'approche développée dans ce travail sont sa grande généralité, son automatisation et l'obtention des coordonnées exactes des points support du plan ce qui permet une détermination complète des confusions d'effets contrairement à la construction numérique de plans d'expérience euclidiens qui ne permet pas l'analyse exacte des confusions d'effets qui apparaissent nécessairement lorsque nous nous intéressons à des plans euclidiens de petite taille. Or une connaissance précise des confusions d'effets est nécessaire pour rendre possible l'utilisation de modèles polynomiaux qui ne seront plus limités au degré 2 comme c'est trop souvent le cas dans la théorie et dans la pratique. De nombreux exemples de construction de plans isovariants, l'étude de leurs caractéristiques ainsi que les programmes ayant permis d'obtenir ces résultats sont également présentés.

Les robots parallèles sont apparus sur les simulateurs de vol en raison de leurs dynamiques élevées. On cherche à les appliquer maintenant comme machine-outil. Les exigences de précision sont très sévères. Le 1er objectif est de trouver une méthode de résolution des problèmes géométriques. Peu d'implantations ont réussi à résoudre le cas général de la plateforme de Gough. On répertorie 8 formulations algébriques du modèle géométrique. La méthode exacte proposée est fondée sur le calcul de la base de Gröbner et la représentation univariée rationnelle. Cette méthode est trop lente pour la poursuite de trajet. Le 2e objectif est la mise en œuvre d'une méthode itérative numérique (Newton) rapide et certifiée en s'appuyant sur le théorème de Kantorovich et l'arithmétique par intervalle. Le 3e objectif est la faisabilité d'une tache d'usinage. Un simulateur de trajectoire inclut des calculs de précision de l'outil en fonction de la vitesse d'avance. On détermine ainsi l'impact d'une architecture donnée, d'une configuration donnée, des capteurs choisis et de la stratégie de commande. On termine avec une méthode de certification de trajectoire en vérifiant si l'outil peut suivre une trajectoire dans une zone autour de la trajectoire nominale. Un théorème de convergence certifie que l'on peut résoudre le modèle géométrique direct en tout point du tube
Parallel robots have been introduced in flight simulators because of their high dynamics. Research is now focused on their application as machine tools. The requirements on accuracy are more stringent. The first objective is to find a resolution method to kinematics problems. Only a few implementations have succeeded to solve the general case (Gough platform). We have cataloged 8 algebraic formulations for the geometric model. The selected exact method is based the computation of Gröbner bases and the Rational Univariate Representation. The method is too slow for trajectory pursuit. The 2nd objective is the realization of a certified numeric iterative method (Newton) based on the Kantorovich theorem and interval arithmetic. The 3rd objective is milling task feasibility. A trajectory simulator includes tool accuracy estimations with given federate. One can determine the impact of a given architecture, selected sensors and the controller. This thesis terminates by a trajectory certification method, verifying if the tool can follow a trajectory included in a zone around the nominal trajectory. A convergence theorem is applied to insure that the forward kinematics model can be solved everywhere in the tube

Generalising the divisibility relation of terms we introduce the lattice of so-called involutive divisions and define the admissibility of such an involutive division for a given set of terms. Based on this theory we present a new approach for building up a general theory of involutive bases of polynomial ideals. In particular, we give algorithms for checking the involutive basis property and for completing an arbitrary basis to an involutive one. It turns out that our theory is more constructive and more exible than the axiomatic approach to general involutive bases due to Gerdt and Blinkov. Finally, we show that an involutive basis contains more structural information about the ideal of leading terms than a Gröbner basis and that it is straight forward to compute the (affine) Hilbert function of an ideal I from an arbitrary involutive basis of I.

This paper covers basic theory of Grobner Bases and an algebraic analysis of the linear constant coefficient partial differential operators, specifically the Cauchy-Fueter operator. We will review examples and theory of regular and biregular functions in several quaternionic variables.
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