Littérature scientifique sur le sujet « Equazioni degeneri »

L'obiettivo del presente elaborato è quello di illustrare le equazioni di stato della materia, in particolare inserendole in un contesto astrofisico. Dopo una breve introduzione di carattere storico-scientifico, si procede con la presentazione delle principali funzioni ed equazioni di stato della meccanica statistica. In seguito, si enunciano le maggiori differenze fra sistemi degeneri e non degeneri e le rispettive statistiche da cui sono governati. Nella successiva sezione, si prosegue addentrandosi nell'ambito più specificatamente astrofisico in cui la trattazione si inserisce, con preciso riferimento al mondo delle stelle, interpretabili come sistemi in cui la materia si comporta come un gas perfetto o degenere. Per concludere, vengono riportati alcuni esempi di applicazione delle formule presentate nei paragrafi precedenti, facendo riferimento anche a semplici esercizi, con l'intento di giungere ad importanti conclusioni astrofisiche.

Le equazioni di stato (EdS) descrivono un sistema fisico mettendo in relazione le sue quantità termodinamiche, come pressione, energia, densità, entropia, calore, ecc..., e sono legate sia alla fisica fondamentale, sia alle scienze applicate. Importanti branche della fsica si sono sviluppate dalle equazioni di stato e, viceversa, formulazioni più complesse delle EdS sono dovute agli sviluppi della fsica moderna. Allo stesso modo in cui la Meccanica Newtoniana può essere vista come il fondamento della fisica, le EdS possono essere viste come il fondamento della Termodinamica, dell'Idrodinamica e della Fluidodinamica. Inoltre, come la meccanica si è estesa per comprendere la relatività e la quantizzazione, le EdS sono state ulteriormente sviluppate, per descrivere gli stati della materia in condizioni di estrema densità o temperatura. In astrofisica, ad esempio, si osservano oggetti in condizioni di pressione e temperatura molto più estreme di quelli ottenibili in laboratorio. Questi sistemi astrofsici sono campi di ricerca importanti per gli studi più vari. In questa trattazione verranno illustrate le principali funzioni ed equazioni di stato della materia, accennando al "Metodo di Boltzmann" per ricavarle, e vedendo, nella seconda parte, alcune loro applicazioni astrofisiche.

Dopo un'introduzione generale sul fenomeno della regolarizzazione attraverso rumore in un contesto degenere, la prima parte di questa tesi si concentra nello stabilire le stime di Schauder, un strumento analitico utile per dimostrare anche il carattere ben posto di equazioni differenziali stocastiche (EDS), per due classi di equazioni di Kolmogorov sotto una condizione di tipo Hörmander debole, i cui coefficienti giacciono in opportuni spazi di Hölder anisotropi con multi-indici di regolarità. La prima classe considera un sistema non lineare controllato da un operatore simmetrico ⍺-stabile che agisce solo su alcune componenti. Il nostro metodo di dimostrazione si basa su un approccio perturbativo basato su espansioni della parametrice progressiva tramite formule di tipo Duhamel. A causa delle scarse proprietà regolarizzanti date dal contesto degenere, sfruttiamo anche alcuni controlli sulle norme di Besov, per trattare la perturbazione non lineare. Come estensione del primo modello, presentiamo anche delle stime di Schauder associate a un operatore di Ornstein-Uhlenbeck degenere guidato da una classe più ampia di operatori di tipo quasi-stabile, come quello stabile relativistico o quello di Lamperti. La dimostrazione di questo risultato si basa invece su un'analisi precisa del comportamento del semigruppo di Markov corrispondente tra spazi di Hölder anisotropici e alcune tecniche di interpolazione. Sfruttando un approccio della parametrice retrograda, la seconda parte di questa tesi cerca di stabilire il carattere ben posto in senso debole per una catena degenere di EDS guidate dalla stessa classe di processi quasi-stabili, sotto le assunzioni di regolarità di Hölder minime per i coefficienti. Come corollario del nostro metodo, presentiamo anche stime di tipo Krylov di interesse indipendente per il processo canonico sottostante. Infine, sottolineiamo attraverso opportuni controesempi che esiste effettivamente una soglia (quasi) ottimale sugli esponenti di regolarità che garantiscono il carattere ben posto debole per l'EDS. In relazione ad alcune applicazioni meccaniche per delle dinamiche cinetiche con attrito, concludiamo studiando la stabilità delle perturbazioni del secondo ordine per operatori degeneri di Kolmogorov nelle norme Lp e Hölder.
After a general introduction about the regularization by noise phenomenon in the degenerate setting, the first part of this thesis focuses at establishing the Schauder estimates, a useful analytical tool to prove also the well-posedness of stochastic differential equations (SDEs), for two different classes of Kolmogorov equations under a weak Hörmander-like condition, whose coefficients lie in suitable anisotropic Hölder spaces with multi-indices of regularity. The first class considers a nonlinear system controlled by a symmetric ⍺-stable operator acting only on some components. Our method of proof relies on a perturbative approach based on forward parametrix expansions through Duhamel-type formulas. Due to the low regularizing properties given by the degenerate setting, we also exploit some controls on Besov norms, in order to deal with the non-linear perturbation. As an extension of the first one, we also present Schauder estimates associated with a degenerate Ornstein-Uhlenbeck operator driven by a larger class of ⍺-stable-like operators, like the relativistic or the Lamperti stable one. The proof of this result relies instead on a precise analysis of the behaviour of the associated Markov semigroup between anisotropic Hölder spaces and some interpolation techniques. Exploiting a backward parametrix approach, the second part of this thesis aims at establishing the well-posedness in a weak sense of a degenerate chain of SDEs driven by the same class of ⍺-stable-like processes, under the assumptions of the minimal Hölder regularity on the coefficients. As a by-product of our method, we also present Krylov-type estimates of independent interest for the associated canonical process. Finally, we emphasize through suitable counter-examples that there exists indeed an (almost) sharp threshold on the regularity exponents ensuring the weak well-posedness for the SDE. In connection with some mechanical applications for kinetic dynamics with friction, we conclude by investigating the stability of second-order perturbations for degenerate Kolmogorov operators in Lp and Hölder norms.

In questo elaborato verranno introdotte le equazioni di stato con il formalismo della meccanica statistica. Verrà successivamente mostrato come queste equazioni possano essere applicate allo studio di sistemi stellari, e le varie forme che esse assumono in astrofisica, al variare dello stato della materia che si sta descrivendo (degenere o non, relativistico, ...). L'equazione di stato rappresenta una delle sette equazioni fondamentali necessarie alla descrizione degli interni stellari. Per poter studiare una struttura stellare tipicamente è necessario considerare tutte queste equazioni, ma esistono modelli particolari, chiamati politropici, in cui è possibile considerare meno equazioni. Vedremo cosa si intende per "modello politropico" e come sia possibile ricavare alcune proprietà della stella nell'ambito di questo modello.