Thèses : « Defectivene »

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CASAROTTI, ALEX. « Difettività e Identificabilità : un punto di vista geometrico sull'analisi tensoriale ». Doctoral thesis, Università degli studi di Modena e Reggio Emilia, 2021. http://hdl.handle.net/11380/1237615.

Texte intégral

Résumé :

Data una varietà proiettiva $ X \subset \mathbb{P} ^ N $ possiamo definire la varietà $ h-$secante $ \mathbb{S}ec_h (X) \subset \mathbb{P} ^ N $ come la chiusura nella topologia di Zariski di tutti i punti $ p \in \mathbb{P} ^ N $ contenuti in uno spazio lineare $ \mathbb {P}^{h-1} $ $ h-$secante rispetto a $ X $. La varietà $ X $ si dice essere $ h-$identificabile se il punto generale $ p \in \mathbb{S}ec_h (X) $ può essere espresso in modo univoco come una combinazione lineare $ p = \lambda_1 p_1 + \dots + \lambda_h p_h $ con $ p_1, \dots, p_h $ punti di $ X $. Grazie al lemma di Terracini è possibile riformulare il problema delle dimensioni secanti e dell'identificabilità nel contesto della geometria birazionale. Ciò si traduce nello studio della dimensione e delle singolarità dei sistemi lineari della forma $ | \mathcal {O} _X (1) \otimes \mathcal {I} _ {p_1 ^ 2, \dots, p_h ^ 2} | $, ovvero sistemi lineari di sezioni iperpiane di $ X $ singolari in $ h $ punti generali. Nell'area dell'analisi tensoriale queste nozioni sono legate alle proprietà della decomposizione tensoriale. Per le applicazioni che vanno dalla biologia al Blind Signal Separation, algoritmi di compressione dei dati e analisi di mixture models l'unicità delle decomposizioni tensoriali consente di risolvere il problema una volta determinata la soluzione. In questa tesi si studia la relazione tra difettività e identificabilità. Viene mostrato come collegare la geometria del luogo di contatto tangenziale al difetto secante, dimostrando che sotto opportune condizioni numeriche la non $ h-$difettività implica la $ (h-1)-$identificabilità, dove $ h $ è strettamente minore del rango generico. Grazie a queste tecniche è possibile migliorare i risultati di identificabilità nel caso di molte importanti varietà tensoriali quali Veronese, Segre e Grassmanniane. Nel caso dell'identificabilità generica invece, vengono studiate le singolarità del sistema lineare tangenziale. Da questo, insieme alle classiche disuguaglianze di Noether-Fano, si ottiene un nuovo risultato sull'identificabilità generica di molti tensori parzialmente simmetrici. Successivamente viene studiata la difettività per le varietà Flag, ovvero speciali varietà tensoriali che parametrizzano particolari configurazioni di spazi vettoriali $ 0 \subset V_1 \subset \dots \subset V_k \subset \mathbb {P} ^ N $. Grazie ad un adattamento della tecnica di proiezione osculante dovuta ad Araujo, Massarenti e Rischter, si dimostrano nuovi risultati sulla difettività secante e sull'identificabilità di queste varietà. Viene in seguito introdotta e studiata la nuova nozione di $ (h, s) -$difettività tangenziale debole e applicata nel caso delle varietà di Segre-Veronese. Infine lo studio delle varietà secanti nel caso delle varietà di Veronese ha permesso anche di verificare la congettura di Comon in alcuni casi non noti precedentemente
Given a projective variety $X \subset \mathbb{P}^N$ we can define its $h-$secant variety $\mathbb{S}ec_h(X) \subset \mathbb{P}^N$, i.e. the Zariski closure of all points $p \in \mathbb{P}^N$ lying on a $\mathbb{P}^{h-1}$ which is $h-$secant to $X$. The variety $X$ is said to be $h-$identifiable if the general point $p \in \mathbb{S}ec_h(X)$ can be expressed uniquely as a linear combination $p=\lambda_1p_1+\dots+\lambda_hp_h$ with $p_1,\dots,p_h$ points of $X$. Thanks to Terracini's lemma it is possible to rephrase the problem of secant dimensions and identifiability in the birational setting. This turns out in the study of the dimension and the singularities of linear systems of the form $|\mathcal{O}_X(1)\otimes \mathcal{I}_{p_1^2,\dots,p_h^2}|$, i.e. hyperplane divisor of $X$ singular at $h$ general points. In the area of tensor analysis these notions are related to the properties of tensor decomposition. For applications ranging from biology to Blind Signal Separation, data compression algorithms and analysis of mixture models, uniqueness of decompositions allows to solve the problem once a solution is determined. The thesis studies the relation between defectiveness and identifiability. It is shown how to link the geometry of the tangential contact locus to the secant defect, proving that under mild numerical conditions the non $h-$secant defectiveness imply the $(h-1)-$identifiability, where $h$ is less than the generic rank. With our techinques it is possible to give new bounds for the identifiability in the case of many important tensor varieties such as Veronese, Segre and Grassmannians. In the case of generic identifiability it is studied the nested singularities of tangential linear system. With this, together with the classical Noether-Fano inequalities, it is proved a new statement on generic identifiability of many partially symmetric tensors. Next it is studied the defectiveness for Flag varieties, i.e. special tensor varieties parametrizing chains of vector spaces $0 \subset V_1 \subset \dots \subset V_k \subset \mathbb{P}^N$. We improve the osculating projection techinque from Araujo, Massarenti and Rischter, giving completely new bounds on secant defectiveness and identifiability. The new notion of $(h,s)-$tangential weak defectiveness is introduced and studied for the case of Segre-Veronese varieties. The study of Secant varieties of Veronese embedding allowed also to check Comon's conjecture under improved numerical bounds.