Littérature scientifique sur le sujet « Anneaux de déformations galoisiennes »

Le point de départ de cette thèse est l'étude d'une conjecture du type $R\simeq\mathbb(T)$ dans le contexte général d'un groupe réductif connexe $G$ sur $\mathbb(Q)$, admettant une variété de Shimura et non nécessairement déployé. L'hypothèse principale est la quasi-ordinarité des représentations automorphes considérées et son reflet galoisien conjectural. On obtient, sous certaines hypothèses, l'égalité des dimensions de Krull d'un anneau de déformation universelle d'une représentation galoisienne quasi-ordinaire et d'une algèbre de Hecke quasi-ordinaire localisée. La théorie des immeubles de Bruhat-Tits est utilisée pour obtenir la structure des algèbres de Hecke paraboliques en $p$. D'un théorème de contrôle général, on déduit dans certains cas que l'algèbre de Hecke quasi-ordinaire universelle est finie et sans torsion sur l'algèbre de Hida-Iwasawa du groupe $G$. Ce résultat permet de construire des familles de systèmes de valeurs propres pour les opérateurs de Hecke, quasi-ordinaires, passant par un système donné.

Cette thèse présente trois résultats principaux, tous en caractéristique p. Dans la première partie, on considère un anneau R de caractéristique non nulle noethérien, normal, intègre, de corps des fractions K. I désigne alors un idéal propre de R, Ka une clôture algébrique de K, et G le groupe de Galois de l'extension Ka/K. On considère Ra le complété pour la topologie I-adique de l'anneau des éléments de Ka entiers sur R. On montre que l'ensemble des points fixes de Ra sous l'action de G est le complété d'une clôture radicielle de R contenue dans Ra. Dans les deuxième et troisième parties on considère un corps local K de caractéristique non nulle, d'anneau des entiers R et de corps résiduel parfait k. On appelle Ks une clôture séparable de K, Rs l'anneau des entiers de Ks. On montre d'abord que le Rs-module des Rs-différentielles sur R est isomorphe au produit tensoriel du séparé complété du module des R-différentielles sur k avec le quotient de Ks par Rs. On montre ensuite que le premier groupe de cohomologie galoisienne de Rs est ispmprpje à la somme directe d'un k-espace vectoriel (dont la nature est précisée dans l'énoncé du dernier théorème) avec le quotient d'une clôture radicielle de K par une clôture radicielle de R.

Soient k un corps de nombres, Cl(k) son groupe des classes et Ok son anneau d'entiers. Soit Rm(k;Γ) e sous-ensemble de Cl(k) formé par les éléments qui sont réalisables par les classes de Steinitz d'extensions galoisiennes de k, modérées et dont le groupe de Galois est isomorphe à 􀀀. Soient M un Ok-ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ] contenant Ok[Γ], et Cl(M) le groupe des classes des M-modules localement libres. On définit l'ensemble R(M) des classes galoisiennes réalisables comme étant l'ensemble des classes c 2 Cl(M) telles qu'il existe une extension N/k modérée, à groupe de Galois isomorphe à 􀀀, avec la classe deMOk[Γ] ON est égale à c, où ON est l'anneau des entiers de N. Lorsque Γ est un groupe non abélien d'ordre 16, ou un groupe extraspécial d'ordre 32, on montre que Rm(k; Γ) = Cl(k) si le nombre des classes de k est impair, avec l'hypothèse i 2 k pour le groupe modulaire d'ordre 16. Lorsque Γ = C x H, où C (resp. H) est un groupe cyclique d'ordre l (resp. M), avec l premier et H opérant fidèlement sur C, on définit un sous-ensemble de R(M) et on montre, grâce à une description utilisant un idéal de Stickelberger, qu'il est un sous-groupe de Cl(M), sous l'hypothèse que k est linéairement disjoint du l-ième corps cyclotomique sur Q
Let k be a number field, Cl(k) its class group and Ok its ring of integers. Let Rm(k;Γ) be the subset of Cl(k) consisting of those classes which are realizable as Steinitz classes of tame Galois extensions of k with Galois group isomorphic to Γ. LetMbe a maximal Ok-order in the semi-simple algebra k[Γ ] containing Ok[Γ], and Cl(M) its locally free classgroup. We define the set R(M) of realizable Galois module classes to be the set of classes c 2 Cl(M) such that there exists a Galois extension N=k which is tame, with Galois group isomorphic to Γ, and for which [MOk[􀀀] ON] = c, where ON is the ring of integers of N. When Γ is a nonabelian group of order 16 or an extra-special group of order 32, we show that Rm(k; Γ) is the full group Cl(k) if the class number of k is odd, with the hypothesis i 2 k for the modular group of order 16. When Γ = C oH, where C (resp. H) is a cyclic group of order l (resp. M), l is prime and H acting faithfully on C, we define a subset of R(M) and prove, by means of a description using a Stickelberger ideal, that it is a subgroup of Cl(M), under the hypothesis that k and the l-th cyclotomic field over Q are linearly disjoint

On montre que la variété de Hecke associée aux formes de Hilbert sur un corps totalement réel F est lisse aux points correspondant à certaines séries thêta de poids 1 et on donne aussi un critère pour que le morphisme de poids soit étale en ces points. Lorsque les séries thêta sont à multiplication réelle, on construit des formes surconvergentes propres généralisée qui ne sont pas classiques et l'on exprime leurs coefficients de Fourier à l'aide de logarithmes p-adiques de nombres algébriques. Si F = Q, on complète les résultats de Bellaïche-Dimitrov aux points où la courbe de Coleman-Mazur est lisse mais pas étale au-dessus de l'espace des poids en donnant un critère précis pour que l'indice de ramification soit égale à 2. Notre approche utilise la théorie des déformations et pseudo-déformations galoisiennes
We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field F is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficient in terms of p-adic logarithms of algebraic numbers. When F = Q, we complete the work of Bellaïche-Dimitrov at the points where the Eigencurve is smooth but not etale over the weight space by giving a precise criterion for the ramication index to be 2. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations

Nous nous intéressons aux aspects algorithmiques de la théorie des représentations modulo p de groupes de Galois p-adiques. À cet effet, l'un des outils introduits par Fontaine est la théorie de ϕ-modules : un ϕ-module sur un corps K de caractéristique p est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur K muni d'un endomorphisme ϕ, semi-linéaire par rapport au morphisme de Frobenius sur K. Les représentations à coefficients dans un corps fini du groupe de Galois absolu de K forment une catégorie équivalente à la catégorie des ϕ-modules dits " étales " sur K. Le but des travaux rassemblés ici est donner des algorithmes pour décrire le plus complètement possible la représentation associée à un ϕ-module donné. Nous étudions en préambule les ϕ-modules sur les corps finis, ce qui nous permet d'obtenir de nouveaux résultats décrivant les polynômes tordus sur un corps fini, qui sont des ob jets utilisés notamment en théorie des codes correcteurs. Cela nous permet d'améliorer en partie l'algorithme dû à Giesbrecht pour la factorisation de ces polynômes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorie des ϕ-modules sur un corps de séries formelles de caractéristique p. Nous donnons une classification des ob jets simples de cette catégorie lorsque le corps résiduel est algébrique- ment clos, et décrivons un algorithme efficace pour décomposer un ϕ-module en ϕ-modules " isoclines ". Nous donnons des applications à l'étude algorithmique des représentations de p-torsion de groupes de Galois p-adiques.

Les résultats présentés dans cette habilitation concernent les réseaux dans les représentations semi-stables, ainsi que les quotients de ceux-ci. Plus précisément, les plus manquants d'entre eux sont 1) une étude de certaines catégories de Breuil en torsion 2) une étude des variétés de Kisin, et plus exactement une estimation de la dimension de certaines d'entre elles 3) l'obtention de bornes (dépendant des " poids de Hodge-Tate ") sur l'action de l'inertie modérée et de l'inertie sauvage sur les représentations semi-stables de torsion 4) le développement de la théorie des (phi,tau)-modules, avec pour application une caractérisation et une classification des réseaux dans les représentations semi-stables