Tesis sobre el tema "Teoria dei gruppi finiti"

Questa tesi introduce alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Il primo capitolo mostra che lo studio delle rappresentazioni di un dato gruppo può essere ridotto a quello delle rappresentazioni irriducibili. Il secondo capitolo, utilizzando la teoria del carattere, determina il numero di rappresentazioni irriducibili del gruppo. Il terzo capitolo, attraverso l'algebra di gruppo, individua alcune proprietà della dimensione delle rappresentazioni irriducibili. Infine, nell'ultimo capitolo, vengono trattate le rappresentazioni irriducibili dei gruppi simmetrici S_3 e S_4.

Given a finite non-cyclic group $G$, a "cover" of $G$ is a family $\mathcal{H}$ of proper subgroups of $G$ such that $\bigcup_{H \in \mathcal{H}} H = G$. A "normal cover" of $G$ is a cover $\mathcal{H}$ of $G$ with the property that $gHg^{-1} \in \mathcal{H}$ for every $H \in \mathcal{H}$, $g \in G$. Define the "covering number" $\sigma(G)$ of $G$ to be the smallest size of a cover of $G$, and the "normal covering number" $\gamma(G)$ of $G$ to be the smallest number of conjugacy classes of a normal cover of $G$. If $G$ is cyclic we pose $\sigma(G) = \gamma(G) = \infty$, with the convention that $n < \infty$ for every integer $n$. In this Ph.D. thesis we study these two invariants. Andrea Lucchini and Eloisa Detomi conjectured that if $G$ is a finite non-abelian group such that $\sigma(G) < \sigma(G/N)$ for every non-trivial normal subgroup $N$ of $G$ then $G$ is "monolithic", i.e. admits a unique minimal normal subgroup. In this thesis we deal with this conjecture and give a partial reduction to the almost-simple case. This requires good lower and upper bounds for the covering number of monolithic groups, which we prove along the way. We give an asymptotic estimate for the number of covering numbers of monolithic groups $G$ with non-abelian minimal normal subgroup $N$ such that $G/N$ is cyclic. We also compute the covering number of a direct product of groups, and also its normal covering number in case the factors do not admit isomorphic abelian quotients. We prove several upper bounds for $\gamma(G)$ and deal with the following conjecture, formulated by me and Attila Maroti: if $G$ is any non-cyclic finite group and $p$ is the largest prime divisor of $|G|$ then $\gamma(G) \leq p+1$. We reduce the conjecture to the almost-simple case and deal with alternating groups, sporadic groups and some linear groups
Dato un gruppo finito non ciclico $G$, un "ricoprimento" di $G$ è una famiglia $\mathcal{H}$ di sottogruppi propri di $G$ tale che $\bigcup_{H \in \mathcal{H}} H = G$. Un "ricoprimento normale" di $G$ è un ricoprimento $\mathcal{H}$ di $G$ tale che $gHg^{-1} \in \mathcal{H}$ per ogni $H \in \mathcal{H}$, $g \in G$. Definiamo "numero di ricoprimento" $\sigma(G)$ di $G$ come la più piccola cardinalità di un ricoprimento di $G$, e definiamo "numero di ricoprimento normale" $\gamma(G)$ di $G$ come il più piccolo numero di classi di coniugio di un ricoprimento normale di $G$. Se $G$ è ciclico poniamo $\sigma(G) = \gamma(G) = \infty$, con la convenzione che $n < \infty$ per ogni intero $n$. In questa tesi di dottorato studiamo questi due invarianti. Andrea Lucchini ed Eloisa Detomi hanno congetturato che se $G$ è un gruppo finito non abeliano tale che $\sigma(G) < \sigma(G/N)$ per ogni sottogruppo normale non banale $N$ di $G$ allora $G$ è "monolitico", cioè ammette un unico sottogruppo normale minimale. In questa tesi affrontiamo questa congettura e diamo una riduzione parziale al caso almost-simple. Questo richiede buone stime da sopra e da sotto per il numero di ricoprimento dei gruppi monolitici, che trattiamo strada facendo. Diamo una stima asintotica del numero di numeri di ricoprimento di gruppi monolitici $G$ con sottogruppo normale minimale $N$ non abeliano tale che $G/N$ è ciclico. Calcoliamo inoltre il numero di ricoprimento di un prodotto diretto di gruppi, e il suo numero di ricoprimento normale nel caso i fattori non ammettano quozienti abeliani isomorfi. Dimostriamo varie stime dall'alto per $\gamma(G)$ e affrontiamo la seguente congettura, formulata da me e Attila Maroti: se $G$ è un qualsiasi gruppo finito non ciclico e $p$ è il più grande divisore primo di $|G|$ allora $\gamma(G) \leq p+1$. Riduciamo la congettura al caso almost-simple e trattiamo i gruppi alterni, i gruppi sporadici e alcuni tra i gruppi lineari

In questo studio viene analizzata la struttura algebrica della sottoalgebra dei polinomi invarianti sotto l'azione di un gruppo finito. In particolare, si ripercorrono le basi della teoria delle rappresentazioni per dimostrare che la suddetta sottoalgebra è un'algebra di Cohen-Macauley. Si enunciano alcuni teoremi fondamentali dell'algebra commutativa e si danno alcuni esempi e applicazioni del risultato sopra detto.

L'elaborato parte volutamente da nozioni di base sulla Teoria dei Gruppi per poi spingersi verso argomenti poco approfonditi se non omessi in un normale corso di Fisica del triennio che tratta dell'argomento. Dopo aver quindi preparato l'indispensabile anche per chi si affacci per la prima volta alla materia in questione, viene dato spazio alla classificazione delle algebre di Lie ed in particolar modo ai diagrammi di Dynkin. La tesi si chiude con un ultimo capitolo dove sono approfonditi due gruppi di grande interesse fisico, SU(2) ed SU(3), a cui vengono applicate le analisi fatte in precedenza sulle algebre e sulle loro classificazioni, ponendo, però, anche particolare attenzione sulle applicazioni che questi due gruppi trovano nella fisica del '900.

In questa tesi si discutono i principali risultati della teoria dei gruppi per lo studio delle simmetrie e se ne presentano alcuni successi nel contesto della fisica fondamentale. Vengono studiate la teoria di Lie per i gruppi continui, la teoria delle rappresentazioni e la teoria delle algebre di Lie semisemplici, sottolineando gli aspetti più rilevanti di tali teorie in funzione della loro applicazione in fisica. Si studiano due simmetrie approssimate agenti a livello fondamentale: la simmetria di isospin, associata al gruppo SU(2), e la sua naturale generalizzazione in una simmetria associata al gruppo SU(3), accompagnando la trattazione con esempi e illustrazioni grafiche. Concentrando, infine, l'attenzione sul modello a quark, si mostra come sia possibile ricostruire la struttura a quark degli adroni leggeri studiando le simmetrie dell'interazione forte con i soli strumenti forniti dalla teoria dei gruppi.

Scopo di questa tesi è stato quello di partire dalla teoria classica dei campi per arrivare a quella quantistica,nel modo più semplice e lineare possibile.Dopodichè,si è voluto prestare attenzione al ruolo delle simmetrie,estendendo la teoria di campo quantizzato agli spazi interni di cariche.Nel primo capitolo è stata esposta una sintetica introduzione ai campi classici,elencando gli assiomi e le principali strutture matematiche come premessa per i successivi campi quantistici e le simmetrie.Nel secondo capitolo si è trattata la quantizzazione dei campi;per spiegare i fenomeni del mondo microscopico è necessario introdurre i campi quantistici.Si è studiata la quantizzazione di campo classico,elettromagnetico ed infine si è introdotto il campo di Dirac.Proseguendo nel terzo capitolo si è affrontato il tema delle simmetrie e la teoria dei gruppi.Per studiare i gruppi si è passato attraverso le rappresentazioni e ci si è concentrati sugli operatori lineari su spazi di Hilbert, utilizzati in meccanica quantistica.Si è posta attenzione ai gruppi di Lie,realizzati tramite alcuni operatori lineari detti generatori.Si è passati all’algebra di Lie e la si è definita come l’insieme dei generatori muniti di una relazione di commutazione.È stato infine presentato il Teorema di Noether.Nel quarto ed ultimo capitolo è sta analizzata la simmetria di isospin. Per spiegare la stabilità del nucleo, Heisemberg ipotizzò che neutrone e protone fossero due stati della stessa particella, il nucleone.Alla fine si è studiando il caso specifico di rottura di simmetria SU(2).Il percorso intrapreso nella tesi ha avuto l’obbiettivo di analizzare solo le basi teoriche ben consolidate nel mondo della fisica,tuttavia, se si volesse entrare nel dettaglio, si noterebbero alcune avversità irrisolte.La teoria quantistica di Young Mills è un problema fisico e matematico che tuttora,ad esempio,non trova soluzione.

2009 - 2010
A finiteness condition is a group-theoretical property which is possessed by all finite groups: thus it is a generalization of finiteness. This embraces an immensely wide collection of properties like, for example, finiteness, finitely generated, the maximal condition and so on. There are also numerous finiteness conditions which restrict, in some way, a set of conjugates or a set of commutators in a group. Sometimes these restrictions are strong enough to impose a recognizable structure on the group. R. Baer and B.H. Neumann were the first authors to discuss groups in which there is a limitation on the number of conjugates which an element may have. An element x of a group G is called FC-element of G if x has only a finite number of conjugates in G, that is to say, if |G : CG(x)| is finite or, equivalently, if the factor group G/CG(⟨x⟩G) is finite. It is a basic fact that the FC-elements always form a characteristic subgroup. An FC-element may be thought as a generalization of an element of the center of the group, because the elements of the latter type have just one conjugate. For this reason the subgroup of all FC-elements is called the FC-center and, clearly, always contains the center. A group G is called an FC-group if it equals its FC-center, in other words, every conjugacy class of G is finite. Prominent among the FC-groups are groups with center of finite index: in such a group each centralizer must be of finite index, because it contains the center. Of course in particular all abelian groups and all finite groups are FC-groups. Further examples of FC-groups can be obtained by noting that the class of FC-groups is closed with respect to forming subgroups, images and direct products. The theory of FC-groups had a strong development in the second half of the last century and relevant contributions have been given by several important authors including R. Baer, B.H. Neumann, Y.M. Gorcakov, Chernikov,L.A. Kurdachenko, and many others. We shall use the monographs , as a general reference for results on FC-groups. The study of FC-groups can be considered as a natural investigation on the properties common to both finite groups and abelian groups. A particular interest has been devoted to groups having many FC-subgroups or many FC-elements. [edited by the author]
IX n.s.

Da un punto di vista fisico le leggi di conservazione sono tra gli strumenti più utili per lo studio delle proprietà e dell'evoluzione di un sistema. Potrebbe sembrare che tali leggi siano fondamentali cioè inderivabili ma non è così. Esse possono essere applicate solo a quei sistemi che mostrano particolari simmetrie, cioè che non cambiano proprietà a seguito di una trasformazione globale delle coordinate o dei momenti generalizzati. Questa grande conquista teoretica, che trova la sua realizzazione teorica nel teorema di Noether, ha aperto le porte ad un nuovo modo di approcciare lo studio di un sistema che passa attraverso lo studio delle simmetrie, già ampiamente e indipendentemente sviluppato in ambito matematico all'interno della teoria dei gruppi. Fu proprio questa rivoluzione che catalizzò il fiorire delle teorie di campo quantizzato dove le proprietà dinamiche sono ricavate dalle simmetrie di gauge del sistema. L'elettrodinamica quantistica è una teoria di gauge in grado di descrivere le proprietà elementari dell'interazione elettromagnetica ed è senza dubbio uno dei modelli più precisi della storia della fisica, in grado di fare previsioni teoriche estremamente accurate. Stupefacente è il modo in cui è stata scoperta: insistendo su una simmetria di gauge locale, che estende il concetto di simmetria "à la Noether" a trasformazioni di simmetria che agiscono sui gradi di libertà interni del sistema e che più in generale agisce in modo diverso su punti diversi del sistema.

L'obiettivo della tesi è mostrare come la teoria di Galois ci prova l'impossibilità di trovare una formula risolutiva per la generica equazione polinomiale di grado superiore al quarto che coinvolga solo le quattro operazioni algebriche e le radici sui coefficienti del polinomio. Una volta definiti i primi concetti di base e richiamati alcuni risultati della teoria dei campi, gruppi e di Galois, si introducono i concetti di gruppo risolubile ed estensione di campi risolubile. Nell'ultimo capitolo, dopo aver enunciato e dimostrato il Teorema di Galois (che mette in relazione i concetti di gruppo ed estensione risolubili), si mostra come le equazioni polinomiali di grado inferiore al quinto siano tutte risolubili per radicali; infine si esibisce, per ogni n > 4, un polinomio generale non risolubile per radicali.

Molti problemi rimangono aperti riguardo il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato, primo fra tutti il problema del coniugio e la sua decidibilità. Un ottimo modo per studiare un gruppo è trovare uno spazio con buone proprietà su cui questo agisca e realizzarlo quindi come gruppo di simmetrie di tale spazio. Su quest’onda l’Outer Space nasce dall’esigenza di studiare il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato. Questo spazio ha molte analogie con lo spazio di Teichmuller di una superficie, che parametrizza le strutture complesse su di essa. Un punto dell'Outer space relativo al gruppo libero su n elementi è sostanzialmente dato da un grafo metrico con gruppo fondamentale isomorfo a quest'ultimo e un fissato isomorfismo. Il gruppo degli automorfismi del gruppo libero su n elementi agisce sull'Outer space modificando questo isomorfismo. Per poter studiare il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato mediante l'Outer space è utile conoscere alcune basilari proprietà geometriche di quest'ultimo. In questo elaborato ne dimostriamo la contraibilità.

L'elaborato in analisi si compone di tre capitoli: i primi due hanno lo scopo di introdurre nozioni relative alla teoria di rappresentazione dei gruppi; l'ultimo invece utilizza quanto definito e dimostrato precedentemente per dimostrare il teorema di Hurwitz. Il teorema di Hurwitz è un interessante risultato riguardante la composizione di forme quadratiche, e quindi non riguarda la teoria di rappresentazione dei gruppi, ma questa è ampliamente utilizzata nella sua dimostrazione.

Vengono analizzate le principali nozioni e conseguenze simmetrie in fisica, in particolare di quelle introdotte dai princìpi di relatività. Partendo dal princìpio di relatività Galileiano (capitolo 1) si introducono i gruppi in riferimento alle trasformazioni tra sistemi equivalenti. Vengono quindi sviluppate le principali conseguenze matematiche e fisiche della teoria dei gruppi e delle rappresentazioni (capitolo 2). Si procede, quindi, con l'enunciazione del princìpio di relatività ristretta, delle sue conseguenze fisiche, e delle principali nozioni di meccanica quantistica; si pone l'attenzione in particolare su cosa si debba richiedere a livello formale affinchè le due teorie siano coerenti tra loro (capitolo 3). Infine si è sviluppata la teoria delle rappresentazioni per il gruppo Euclideo (capitolo 4) e i gruppi di Poincaré e Lorentz, concludendo con un analisi sugli usi e principali differenze degli ultimi due in relazione alla fisica particellare (capitolo 5).