Tesis sobre el tema "Optimisation en dimension infinie"

La théorie des polynômes de chaos, étant une alternative moins onéreuse et plus efficace de la simulation de Monte Carlo, reste limitée aux polynômes de variables gaussiennes. On présente une méthode de type hilbertien qui généralise cette théorie et on établit les conditions d’existence et de convergence d’une expansion en Série de Fourier Généralisée. Ensuite, on présente la Statistique des Objets qui permet d’étudier les caractéristiques statistiques d’un ensemble d’objets aléatoires en dimension infinie. En calculant les distances entre les hypervolumes, notamment la distance de Hausdorff, cette méthode permet de déterminer l’objet médian, les objets quantiles et un intervalle de confiance à un seuil donné pour un ensemble fini d’objets aléatoires. Une méthode pour simuler un échantillon de grande taille d’un objet aléatoire à coût computationnel très réduit, et calculer sa moyenne sans faire appel à la distance entre les hypervolumes, fait l’objet de la troisième partie
The Polynomial Chaos theory, being a less expensive and more efficient alternative of the Monte Carlo Simulation, remains limited to the polynomials of Gaussian variables. We present a Hilbertian method that generalizes this theory and we establish the conditions of existence and convergence of an expansion in Generalized Fourier Series. Then, we present the Statistics of Things that allows studying the statistical characteristics of a set of random infinite-dimensional objects. By computing the distances between the hypervolumes, namely the distance of Hausdorff, this method allows determining the median object, the quantile objects and a confidence interval at a given level for a finite set of random objects. In the third section, we address a method for simulating a large size sample of a random object at a much reduced computational cost, and calculating its mean without using the distance between the hypervolumes

Ce mémoire illustre la difficile déclinaison du paradigme de l'optimalité lors de sa confrontation aux principes de réalité de systèmes toujours plus complexes. Après avoir récapitulé l'expérience de recherche acquise à travers des contributions variées, qui nous emmènent de problèmes de contrôle en dimension infinie à des applications dans les domaines du spatial, de l'énergie et de l'automobile, les développements spécifiques en matière de prospective long terme seront l'objet d'une attention particulière. Ainsi, le credo que l'optimalité est un canevas nécessaire pour envisager les enjeux d'une modélisation du long terme sera défendu, soutenant l'idée que cette approche devra rester centrale dans nos perspectives de recherche. Mais dans la tradition d'une formation "à la française", cette réflexion ne saura être menée sans revenir au préalable sur les grands principes sous jacents à l'optimalité et leur liaison naturelle avec l'étude des systèmes dynamiques.

Ce travail résume mes résultats scientifiques obtenus depuis mon arrivée à l'IECL. Le thème général est l'utilisation de méthodes géométriques pour l'étude de systèmes mécaniques complexes (non linéaires, de dimension infinie). La première partie concerne la commande de systèmes quantiques fermés, décrits par une équation de Schrödinger bilinéaire. L'utilisation de méthodes de géométrie différentielle (de dimension finie) sur des approximations de Galerkin bien choisies ont permis d'obtenir les premiers résultats génériques de contrôlabilité approchée pour l'équation de Schrödinger bilinéaire. La deuxième partie traite de la locomotion d'un nageur isolé dans un fluide parfait en écoulement potentiel. Sous l'action de forces internes, le nageur peut modifier sa forme et agir sur le fluide qui par réaction agit sur le nageur et peut modifier sa vitesse. L'utilisation de résultats classiques de dimension finie a permis de montrer qu'un nageur générique pouvait suivre (position du centre de masse et orientation) une trajectoire arbitraire, avec une précision arbitraire, en restant arbitrairement proche d'une forme de référence donnée. La troisième partie traite de l'optimisation de la stratégie de conduite d'un véhicule, dans le but de minimiser sa consommation d'énergie.

Ce travail concerne la sensibilité différentielle d'un problème de programmation paramétrique. L'étude est menée sous des conditions du second ordre afin d'aboutir à la dérivabilité directionnelle des solutions optimales des problèmes perturbés. Les problèmes d'optimisation sont formulés avec des contraintes implicites en dimension infinie. Après l'étude de certaines conditions de qualification des contraintes, on introduit une condition de régularité directionnelle et du second ordre. La plupart des résultats reposent sur cette condition de régularité mais aussi sur des conditions suffisantes du second ordre. On s'intéresse au cas où le hessien du lagrangien est défini positif sur l'ensemble des directions critiques et vérifie une propriété de type ellipticite perturbée par compacité. On étudie notamment les propriétés de stabilité (continuité) des solutions optimales des problèmes perturbés dans une direction. En particulier, le comportement holderien et lipschitzien est approfondi. En s'appuyant sur l'étude de problèmes linéarisés et sur des notions de dualité, on analyse, en fonction de la perturbation, les propriétés de la valeur optimale des problèmes d'optimisation paramètres. L'existence de dérivées directionnelles du premier et du second ordre est alors établie. Pour conclure, on obtient la dérivabilité directionnelle des solutions optimales, en utilisant une propriété de densité relative à l'ensemble linéarisé au premier ordre des directions critiques selon une direction de perturbation. Une telle condition de densité est à mettre en parallèle avec le cas des convexes polyédriques. La dérivée des solutions optimales est alors obtenue à partir d'un problème quadratique avec contraintes (affines) issu de développements limites du second ordre.

Dans un grand nombre d'applications modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Un champ d'applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problème d'identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs par tomographie thermo-acoustique peut se ramener à des problèmes de reconstruction de données initiales. D'autres méthodes nécessitent l'identification d'un terme source, qui, sous certaines hypothèses, peut également se réécrire sous la forme d'un problème de reconstruction de données initiales. On s'intéresse dans cette thèse à la reconstruction de la donnée initiale d'un système d'évolution, en travaillant autant que possible sur le système infini-dimensionnel, à l'aide du nouvel algorithme développé par Ramdani, Tucsnak et Weiss (Automatica 2010). Nous abordons en particulier l'analyse numérique de l'algorithme dans le cadre des équations de Schrödinger et des ondes avec observation interne. Nous étudions les espaces fonctionnels adéquats pour son utilisation dans les équations de Maxwell, avec observations interne et frontière. Enfin, nous tentons d'étendre le cadre d'application de cet algorithme lorsque le système initial est perturbé ou que le problème inverse n'est plus bien posé, avec application à la tomographie thermo-acoustique.

Les techniques d’optimisation non-lisse permettent de résoudre des problèmes difficiles de l’ingénieur automaticien qui étaient inaccessibles avec les techniques classiques. Il s’agit en particulier de problèmes de commande ou de filtrage impliquant de multiples modèles ou faisant intervenir des contraintes de structure pour la réduction des couts et de la complexité. Il en résulte que ces techniques sont plus à même de fournir des solutions réalistes dans des problématiques pratiques difficiles. Les industriels européens de l’aéronautique et de l’espace ont récemment porté un intérêt tout particulier à ces nouvelles techniques. Ces dernières font parfois partie du "process" industriel (THALES, AIRBUS DS Satellite, DASSAULT A) ou sont utilisées dans les bureaux d’étude: (SAGEM, AIRBUS Transport). Des études sont également en cours comme celle concernant le pilotage atmosphérique des futurs lanceurs tels d’Ariane VI. L’objectif de cette thèse concerne l'exploration, la spécialisation et le développement des techniques et outils de l'optimisation non-lisse pour des problématiques d'ingénierie non résolues de façon satisfaisante - incertitudes de différente nature - optimisation de l'observabilité et de la contrôlabilité - conception simultanée système et commande Il s’agit aussi d’évaluer le potentiel de ces techniques par rapport à l’existant avec comme domaines applicatifs l’aéronautique, le spatial ou les systèmes de puissance de grande dimension qui fournissent un cadre d’étude particulièrement exigeant
Non-smooth optimization techniques help solving difficult engineering problems that would be unsolvable otherwise. Among them, control problems with multiple models or with constraints regarding the structure of the controller. The thesis objectives consist in the exploitation, specialization and development of non smooth optmization techniques and tools for solving engineering problems that are not satisfactorily solved to the present

Ce travail permet de résoudre des problèmes d'optimisation LMI dépendant rationnellement d'un ou plusieurs paramètres. Ce résultat est fondamental car il offre une solution efficace à la classe extrêmement large des problèmes se formulant comme un problème d'optimisation LMI dépendant de paramètres. En Automatique, une telle classe de problèmes comprend celle de la conception de correcteurs dépendant de paramètres. Un cas particulier important est celui de la commande des systèmes non linéaires par séquencement de gains. Au départ, cette classe de problèmes d'Automatique a été motivé par une nouvelle application possible : la conception de correcteurs dont les gains sont une fonction explicite du cahier des charges, baptisés " correcteurs reréglables ". L'intérêt est de permettre un reréglagle aisé sur site d'exploitation par un utilisateur néophyte en Automatique, voire un reréglagle automatique. Ce travail a permis de formaliser ce problème de reréglagle, d'en proposer une solution complète et de la valider.

Dans cette thèse on détermine les fonctions sphériques définies sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients réelles, complexes ou quaternions.

Dans le chapitre 1, on rappelle quelques résultats qui sont démontres par J.Faraut et A. Koranyi et on en donne un développlement d'une certaine intégrale orbitale en série de taylor sphérique.

Le chapitre 2 est consacré pour traiter le comportement asymptotique d'une intégrale orbitale. La démonstartion repose sur un résultat qui généralise un théorème de Poincaré sur la sphère unité.


Le chapitre 3 généralise le chapitre 2. On traite un problème sur les mesures ergodiques. On généralise le résultat suivant prouver par G. Olshanski et A. Vershik: déterminer toutes les mesure ergdiques définies
sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients complexes, qui sont invariantes par l'action du groupe unitaire infini. La généralisation de ce résultat est de remplacer les matrices hermitiennes à coefficients complexes par les matrices symetriques
réelles ou les matrices hermitiennes à coefficients quaterniones.

Dans le chapitre 4 on rappelle le résultat suivant démontré par Olshanski et Borodin et qui reste valable dans notre cas:toute mesure de probabilités définies sur l'espace des matrices hermitinnes infinies qui est invariante par le groupe unitaire est se décompose en une combinaison continue et convexe des mesure ergodiques sous l'action par conjugaison du groupe unitaire, en suite on donnera quelques compléments.

Dans le chapitre 5 qui est une suite du chapitre 4, on donne une représentation de Lévy-Khinchine des fonctions de type négatif définies sur l'espaces des matrices hermitiennes Hilbert-Schmidt de dimension inifinie et qui sont invariantes par le groupe unitaire infini.

La presente these se compose de six articles. Dans les deux premiers on etablit d'abord une inegalite isoperimetrique sur l'espace de wiener; ensuite, on etend ce resultat aux fonctions regulieres quelconques: la connexite du support de la mesure image en est deduite. Dans le troisieme article, on ameliore un resultat de stroock-varadhan en donnant une estimation tres fine sur l'epaisseur de l'ensemble ou les fonctionnelles d'ito ne sont pas continues. Le quatrieme elucide la non degenerescence des pseudo-normes sur l'espace de wiener introduites par p. Malliavin et h. Airault. Dans le cinquieme article, en utilisant la methode de l'analyse quasi-sure, on donne une minoration du noyau de la chaleur en temps petit, finalement, dans le dernier, on envisage l'approximation de l'equation differentielle stochastique anticipante par des equations differentielles ordinaires

Ce mémoire présente les travaux que j'ai effectués, tout d'abord, à
l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de
1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux
Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université
d'Orsay, depuis 2001.
Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de
problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension
infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux
sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats
numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont
présentés.


Dans la première partie, on s'intéresse à
la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle
optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère
que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires
singulières minimisantes}.
Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité
de l'ensemble des solutions du système de contrôle.
Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires
singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par
opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre
classique du calcul des variations.
Pour des systèmes affines à coût quadratique,
on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière
minimisante, alors la fonction valeur associée est
\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations
plus générales).

Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi
et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que
la \textit{solution de viscosité} de certaines
classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}
est sous-analytique, ce qui implique en particulier
que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de
codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de
\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des
systèmes de contrôle affines sans dérive.

S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction
valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude
asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.
Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à
la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe
sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.

Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des
trajectoires singulières.

Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,
sous des conditions génériques, la propriété de
\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées
parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et
donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit
\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.

On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières
minimisantes.
Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre
de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne
remplissent que peu d'espace.
En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle
(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même
de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.

On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux
propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des
systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de
Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},
ce qui a des corollaires en contrôle optimal.
Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant
plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe
aucune trajectoire singulière minimisante~;
en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.



Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux
méthodes numériques en
contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les
\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation
totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes
de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}
d'autre part,
basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un
problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une
\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont
particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées
ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire
d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les
extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.
Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps
conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est
plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,
basés sur des développements théoriques récents en théorie du
contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas
anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont
implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}
(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.

Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème
de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le
but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible
donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant
le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus
soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,
accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes
rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent
une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses
optimales locales avec contraintes.
Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à
poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse
à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de
propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important
lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion
ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.
Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,
utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.





Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des
équations aux dérivées partielles.
On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de
stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le
long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée
principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle
permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi
qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement
implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet
d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation
pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en
dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que
l'existence de fonctions barrières et/ou de
phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.
Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un
contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état
stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même
composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette
condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure
consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire
instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle
sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes
de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour
l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation
des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.

On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte
sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires
particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide
incompressible entre deux cylindres
concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un
flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du
cylindre extérieur.


Dans le dernier chapitre,
on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des
équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.
La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une
méthode de Galerkin, conduit à une
famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question
de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes
semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend
vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant
d'atteindre un certain point. Pour des EDP
linéaires contrôlables, il existe de nombreuses
méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM
(\textit{Hilbert Uniqueness Method})
consiste à minimiser la norme $L^2$ du
contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes
paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions
standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la
plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle
n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de
\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles
discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour
calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent
vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une
certaine cible.
La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,
pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,
et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.

La physique quantique a révolutionné notre façon de concevoir la nature et provoque une nouvelle révolution technologique. L'utilisation de l'information quantique dans la technologie promet de supplanter les dispositifs dits classiques utilisés de nos jours. Il est essentiel de comprendre quelles caractéristiques sont intrinsèquement non classiques pour atteindre des performances supérieures à celles des dispositifs actuels. Cette thèse se concentre sur deux comportements non classiques : la contextualité quantique et la négativité de Wigner. Jusqu'à présent, la contextualité a surtout été étudiée dans des scénarios à variables discrètes, où les observables prennent des valeurs dans des ensembles discrets et généralement finis. Il a été démontré que la contextualité est nécessaire et suffisante pour les avantages dans certains cas. D'autre part, la négativité de la fonction de Wigner est une autre caractéristique non classique troublante des états quantiques qui provient de la formulation de l'espace de phase en optique quantique. La négativité de la fonction de Wigner est connue pour être une ressource nécessaire à l'accélération quantique. Nous établissons un cadre robuste pour traiter la contextualité dans les variables continues. Nous quantifions la contextualité dans de tels scénarios en utilisant des outils de la théorie de l'optimisation en dimension infinie. Nous montrons que la négativité de Wigner est équivalente à la contextualité dans les variables continues pour les mesures de Pauli. Nous introduisons ensuite des témoins expérimentaux pour la négativité de Wigner des états quantiques multimodes, basés sur les fidélités avec les états de Fock
Quantum physics has revolutionised our way of conceiving nature and is now bringing about a new technological revolution. The use of quantum information in technology promises to supersede the so-called classical devices used nowadays. Understanding what features are inherently non-classical is crucial for reaching better-than-classical performance. This thesis focuses on two nonclassical behaviours: quantum contextuality and Wigner negativity. To date, contextuality has mostly been studied in discrete-variable scenarios, where observables take values in discrete and usually finite sets. In those scenarios, contextuality has been shown to be necessary and sufficient for advantages in some cases. On the other hand, negativity of the Wigner function is another unsettling non-classical feature of quantum states that originates from phase-space formulation in quantum optics. Wigner negativity is known to be a necessary resource for quantum speedup. We set out a robust framework for properly treating contextuality in continuous variables. We quantify contextuality in such scenarios by using tools from infinite-dimensional optimisation theory. Building upon this, we show that Wigner negativity is equivalent to contextuality in continuous variables with respect to Pauli measurements. We then introduce experimentally-friendly witnesses for Wigner negativity of multimode quantum states, based on fidelities with Fock states which again uses infinite-dimensional linear programming techniques. We further extend the range of previously known discrete-variable results linking contextuality and advantage into a new territory of discrete variable information retrieval

Le premier chapitre de cette thèse est consacré, d'une part à l'étude des quotients kaehlériens et hyperkaehlériens dans le cadre banachique et, d'autre part, à la construction par quotient hyperkaehlérien (d'une variété banachique non hilbertienne par un groupe de Lie banachique) d'une variété hilbertienne qui s'identifie (en fonction de la structure complexe distinguée) soit à l'espace cotangent d'une composante connexe de la grassmannienne restreinte définie par G. Segal et G. Wilson, soit à une complexification naturelle de cette grassmannienne. Le second chapitre comprend trois parties. La première partie est consacrée à la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques irréductibles des L*-groupes de type compact. La seconde partie est consacrée a la démonstration du théorème de Mostow pour un L*-groupe semi-simple de type compact. Dans la troisième partie, je construis une structure hyperkaehlérienne sur les orbites complexifiées des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L*-groupes semi-simples de type compact.

Une generalisation des algebres de kac moody (algebres de courant definies sur un cercle) a des algebres definies sur une supervariete compacte de dimension quelconque et possedant un nombre arbitraire de supersymetrie est proposee. Pour cela, nous calculons toutes les extensions centrales des algebres de boucle definies sur cette supervariete, c'est-a-dire toutes les classes de cohomologie de ces algebres de boucles. Considerant les algebres de derivation de ces algebres de kac-moody etendues, nous cherchons a etendre la remarquable relation (i. E. Somme semi-directe) qui existe entre l'algebre conforme a deux dimensions (dite algebre de virasoro) et les algebres de kac-moody usuelles. Dans ce cadre, nous abordons le cas des algebres superconformes (intervenant dans les theories de supercordes), celui des algebres de diffeomorphismes conservant l'aire (intervenant dans les theories des membranes et des supermembranes) et enfin le cas des algebres de krichever-novikov (intervenant dans les interactions de cordes). Ensuite, des generalisations de la construction de sugawara utilisant des algebres de kac-moody etendues ou des superalgebres de kac-moody sont etudiees. Elles conduisent a de nouvelles representations des algebres de virasoro et de ramond, neveu-schwarz

L'Organisation Européenne pour la Recherche Nucléaire ou CERN, à Genève, est sur le point de mettre en service le LHC (Large Hadron Collider). Cet accélérateur de particules et les détecteurs dont il est équipé ont été conçus pour tenter de répondre aux interrogations que posent les théories de physique des particules actuelles. Le détecteur ATLAS est l'un de ces détecteurs, construit notamment pour confirmer ou infirmer l'existence du boson de Higgs. L'exploitation du détecteur et la qualité des données dépendent de la maîtrise de ses éléments de détection mais aussi de la maîtrise des conditions environnementales de l'expérience. Dans cette optique, Les travaux présentés dans ce document portent sur des réalisations instrumentales effectuées d'une part pour le contrôle de l'infrastructure du détecteur ATLAS et d'autre part pour le détecteur ALFA (Absolute Luminosity For ATLAS) qui doit fournir une mesure de la luminosité absolue du faisceau du LHC au point d'interaction d'ATLAS. La première partie présente la réalisation de deux projets intégrés dans le Système de Contrôle du Détecteur (DCS) : FPIAA (Finding Persons Inside ATLAS Areas) a été développé pour la sécurité des personnes dans la caverne expérimentale durant les périodes de maintenance du détecteur en fournissant une application de localisation et de suivi actif des personnes dans la caverne. Une seconde application a été développée pour mesurer la dose de radiations ionisantes et la fluence de particules intégrées par les éléments du détecteur pendant son exploitation afin de pouvoir évaluer à long terme leur vieillissement en fonction de la dose reçue. Les travaux réalisés sur le détecteur ALFA portent sur la qualification du matériel de photo-détection utilisé et sur l'évaluation et l'optimisation des performances des compteurs Trigger du détecteur. Enfin des réalisations préliminaires sur le DCS du détecteur ALFA sont présentées. Une structure logicielle a été développée pour configurer à distance l'électronique front-end ainsi que pour effectuer un étalonnage automatisé du détecteur et un protocole de communication haut niveau a été mis en place pour permettre au DCS d'ALFA d'échanger des informations avec le système de contrôle du mouvement des détecteurs sur le faisceau du LHC
The European Organization for Nuclear Research or CERN, Geneva, is about to operate the Large Hadron Collider (LHC). This accelerator ring and its particles detectors have been built to try to answer to the actual questions given by the particle physics theories. One of these detectors, ATLAS, has been designed, for instance, to validate, or invalidate, the theories on the existence of the Higgs Boson. The operation of the detector and the quality of ifs data depend on the quality of the detection elements but it depends also strongly on the good monitoring of its environment. In this respect, the developments presented in this docu- ment are focused on the control of the infrastructure of the ATLAS detector and on the ALFA detector (Absolute Luminosity For ATLAS) which is designed to provide an absolute measurement of the luminosity of the LHC beam at the ATLAS interaction point. Two projects which are integrated in the Detector Control System (DCS are presented in the first part of the document: FPIAA (Finding Persons Inside ATLAS Areas) has been developed as a tool for people safety in the experimental cavern during the maintenance periods of ATLAS. It consists in an application for people localization and an active tracking of people in the cavern. A second application has been developed to measure the level of ionizing radiations and the particles fluency in the detector during its operation. These data will be used to evaluate the aging of the elements of the detector in respect with the level of integrated radiations. The work done on the ALFA detector is focused on particle detection technologies and control applications. The photo detection devices which will be used have been evaluated, the hardware of the trigger counter have been studied and optimized. Finally, preliminary developments on the DCS of the ALFA detector will be presented. Software components have been implemented to configure remotely the front-end electronics of the detector and to perform automated calibrations. A high level communication scheme has also been implemented for data exchange between the ALFA DCS and the system which controls the movements of the detector on the LHC beam

Les généralisations du théorème central limite pour des processus aléatoires solutions d'équations aux dérivées partielles font naturellement apparaître des diffusions en dimension infinie. De telles techniques permettent de mettre en évidence des régimes limites intéressants pour de nombreux phénomènes en milieu aléatoire. En particulier, nous les appliquons à l'étude de la déformation d'une impulsion traversant un milieu désordonné et à la propagation d'onde haute-fréquence dans un milieu faiblement aléatoire

Dans le domaine de l’ingénierie (par exemple l’aéronautique, l’automobile, la biologie, les circuits), les systèmes dynamiques sont le cadre de base utilisé pour modéliser, contrôler et analyser une grande variété de systèmes et de phénomènes. En raison de l’utilisation croissante de logiciels dédiés de modélisation par ordinateur, la simulation numérique devient de plus en plus utilisée pour simuler un système ou un phénomène complexe et raccourcir le temps de développement et le coût. Cependant, le besoin d’une précision de modèle améliorée conduit inévitablement à un nombre croissant de variables et de ressources à gérer au prix d’un coût numérique élevé. Cette contrepartie justifie la réduction du modèle. Pour les systèmes linéaires invariant dans le temps, plusieurs approches de réduction de modèle ont été effectivement développées depuis les années 60. Parmi celles-ci, les méthodes basées sur l’interpolation se distinguent par leur souplesse et leur faible coût de calcul, ce qui en fait un candidat prédestiné à la réduction de systèmes véritablement à grande échelle. Les progrès récents démontrent des façons de trouver des paramètres de réduction qui minimisent localement la norme H2 de l’erreur d’incompatibilité. En général, une approximation d’ordre réduit est considérée comme un modèle de dimension finie. Cette représentation est assez générale et une large gamme de systèmes dynamiques linéaires peut être convertie sous cette forme, du moins en principe. Cependant, dans certains cas, il peut être plus pertinent de trouver des modèles à ordre réduit ayant des structures plus complexes. A titre d’exemple, certains systèmes de phénomènes de transport ont leurs valeurs singulières Hankel qui se décomposent très lentement et ne sont pas facilement approchées par un modèle de dimension finie. En outre, pour certaines applications, il est intéressant de disposer d’un modèle structuré d’ordre réduit qui reproduit les comportements physiques. C’est pourquoi, dans cette thèse, les modèles à ordre réduit ayant des structures de retard ont été plus précisément considérés. Ce travail a consisté, d’une part, à développer de nouvelles techniques de réduction de modèle pour des modèles à ordre réduit avec des structures de retard et, d’autre part, à trouver de nouvelles applications d’approximation de modèle. La contribution majeure de cette thèse couvre les sujets d’approximation et inclut plusieurs contributions au domaine de la réduction de modèle. Une attention particulière a été accordée au problème de l’approximation du modèle optimale pour les modèles structurés retardés. À cette fin, de nouveaux résultats théoriques et méthodologiques ont été obtenus et appliqués avec succès aux repères académiques et industriels. De plus, la dernière partie de ce manuscrit est consacrée à l’analyse de la stabilité des systèmes retardés par des méthodes interpolatoires. Certaines déclarations théoriques ainsi qu’une heuristique sont développées permettant d’estimer de manière rapide et précise les diagrammes de stabilité de ces systèmes
In the engineering area (e.g. aerospace, automotive, biology, circuits), dynamical systems are the basic framework used for modeling, controlling and analyzing a large variety of systems and phenomena. Due to the increasing use of dedicated computer-based modeling design software, numerical simulation turns to be more and more used to simulate a complex system or phenomenon and shorten both development time and cost. However, the need of an enhanced model accuracy inevitably leads to an increasing number of variables and resources to manage at the price of a high numerical cost. This counterpart is the justification for model reduction. For linear time-invariant systems, several model reduction approaches have been effectively developed since the 60’s. Among these, interpolation-based methods stand out due to their flexibility and low computational cost, making them a predestined candidate in the reduction of truly large-scale systems. Recent advances demonstrate ways to find reduction parameters that locally minimize the H2 norm of the mismatch error. In general, a reduced-order approximation is considered to be a finite dimensional model. This representation is quite general and a wide range of linear dynamical systems can be converted in this form, at least in principle. However, in some cases, it may be more relevant to find reduced-order models having some more complex structures. As an example, some transport phenomena systems have their Hankel singular values which decay very slowly and are not easily approximated by a finite dimensional model. In addition, for some applications, it is valuable to have a structured reduced-order model which reproduces the physical behaviors. That is why, in this thesis, reduced-order models having delay structures have been more specifically considered. This work has focused, on the one hand, in developing new model reduction techniques for reduced order models having delay structures, and, on the other hand, in finding new applications of model approximation. The major contribution of this thesis covers approximation topics and includes several contributions to the area of model reduction. A special attention was given to the H2 optimal model approximation problem for delayed structured models. For this purpose, some new theoretical and methodological results were derived and successfully applied to both academic and industrial benchmarks. In addition, the last part of this manuscript is dedicated to the analysis of time-delayed systems stability using interpolatory methods. Some theoretical statements as well as an heuristic are developed enabling to estimate in a fast and accurate way the stability charts of those systems

On étudie l'existence des solutions à l'équation d rond f = F, où le second membre est une forme différentielle de type (0,1) sur une e. V. T. Complexe de dimension infinie, fermée. On considère les propriétés des mesures gaussiennes sur un espace de Hilbert, la description des résultats connus sur les espaces de Hilbert et les duaux d'espaces de Frechet nucléaires, la contribution nouvelle aux convexes des espaces normés complexes, où l'existence d'une solution est démontrée lorsque le second membre est une (0,1) forme fermée à décroissance suffisamment rapide au bord, de classe C(1).

L'analyse des circuits et systemes lineaires peut se faire grace aux fonctions de transfert qui les caracterisent. Ces fonctions de transfert, transformees de laplace des reponses impulsionnelles, peuvent etre d'ordre infini. Elles se rencontrent, entre autres, dans l'etude des structures distribuees, des lignes de transmission, des systemes a retard, des circuits vlsi et en thermique. Des outils sont disponibles pour l'etude des systemes rationnels, mais ils ne s'appliquent pas aux systemes d'ordre infini. Nous avons developpe des methodes systematiques permettant d'obtenir une tres bonne approximation rationnelle des systemes de dimension infinie, via une representation vectorielle. Les ensembles complets de fonctions que nous utilisons sont les fonctions de laguerre, les fonctions de laguerre generalisees et les fonctions de kautz. Pour chacun de ces ensembles de fonctions nous avons etudie la determination des coefficients, l'utilisation de fonctions poids, la determination des parametres libres afin d'obtenir les valeurs optimales ou quasi-optimales, l'introduction de contraintes ainsi que l'extraction au prealable d'une fraction rationnelle ou d'un retard. Une autre approche consiste a elaborer un modele rationnel directement a l'aide de parametres du systeme. Grace a la transformee de laguerre, nous pouvons construire une bonne approximation de la matrice de gram, en prenant des precautions lors de l'evaluation des differents elements, notamment en introduisant un facteur d'echelle permettant d'equilibrer l'energie des fonctions et signaux utilises, et ainsi aboutir a un modele rationnel quasi-optimal. Nous presentons aussi une methode permettant d'elaborer un modele rationnel directement a partir des moments temporels et des parametres de markov. La possibilite d'introduire un coefficient d'amortissement afin d'accelerer la convergence des parametres et d'ameliorer la qualite de l'approximation est examinee.

L'objet de cette thèse est l'étude de la dépendance non linéaire d'une des réalisations de l'opérateur de cauchy par rapport au graphe de la courbe correspondante. On obtient une dépendance analytique au voisinage de l'origine sur un espace fonctionnel optimal - qui n'est pas fourni par les opérateurs multilinéaires du développement en série - et on y étudie le domaine d'holomorphie

Le chapitre i de ce travail est consacre a l'etude des isometries pour la distance de caratheodory de la boule unite ouverte b de l**(1)(n). Le deuxieme chapitre est consacre a montrer un theoreme de classification de domaines de reinhardt bornes homogenes de l'espace de banach complexe c(s,c) des fonctions continues sur un espace topologique compact s, avec une hypothese supplementaire sur l'existence des sections; et on donne quelques applications dans le chapitre iii. Dans la deuxieme partie de cette these, on montre que l'ensemble des points fixes d'une application holomorphe dans un produit fini de boules-unites d'espaces de hilbert est une sous-variete banachique complexe

La dynamique des liquides, considérés comme des systèmes de particules classiques fortement couplées, reste un domaine où les descriptions théoriques sont limitées. Pour l’instant, il n’existe pas de théorie microscopique partant des premiers principes et recourant à des approximations contrôlées. Thermodynamiquement, les propriétés statiques d’équilibre sont bien comprises dans les liquides simples, à condition d’être loin du régime vitreux. Dans cette thèse, nous résolvons, en partant des équations microscopiques du mouvement, la dynamique des liquides et verres en exploitant la limite de dimension spatiale infinie, qui fournit une approximation de champ moyen bien définie. En parallèle, nous retrouvons leur thermodynamique à travers une analogie entre la dynamique et la statique. Cela donne un point de vue à la fois unificateur et cohérent du diagramme de phase de ces systèmes. Nous montrons que cette solution de champ moyen au problème de la transition vitreuse est un exemple du scénario de transition de premier ordre aléatoire (RFOT), comme conjecturé il y a maintenant trente ans, sur la base des solutions des modèles de verres de spin en champ moyen. Ces résultats nous permettent de montrer qu’une invariance d’échelle approchée du système, pertinente pour les expériences et les simulations en dimension finie, devient exacte dans cette limite
The dynamics of liquids, regarded as strongly-interacting classical particle systems, remains a field where theoretical descriptions are limited. So far, there is no microscopic theory starting from first principles and using controlled approximations. At the thermodynamic level, static equilibrium properties are well understood in simple liquids only far from glassy regimes. Here we derive, from first principles, the dynamics of liquids and glasses using the limit of large spatial dimension, which provides a well-defined mean-field approximation with a clear small parameter. In parallel, we recover their thermodynamics through an analogy between dynamics and statics. This gives a unifying and consistent view of the phase diagram of these systems. We show that this mean-field solution to the structural glass problem is an example of the Random First-Order Transition scenario, as conjectured thirty years ago, based on the solution of mean-field spin glasses. These results allow to show that an approximate scale invariance of the system, relevant to finite-dimensional experiments and simulations, becomes exact in this limit

La direction principale de mes recherches est la théorie des algèbres de Lie de dimension infinie d'un point de vue homologique. Une idée clé en manipulant des algèbres de Lie de dimension infinie est de les munir d'une topologie naturelle afin d'apprivoiser la théorie. Par exemple, soit g une algèbre de Lie topologique et m une algèbre de Lie topologique abélienne, et considérons les classes d'équivalence de suites exactes 0 -> m -> e -> g -> 0. Ici, l'exactitude de la suite est entendue comme exactitude d'une suite d'algèbres de Lie discrètes. Du point de vue des algèbres de Lie topologiques, il y a donc des extensions non triviales qui ne sont que des extensions d'espaces vectoriels topologiques (au cas où g et m sont effectivement de dimension infinie), il y a des extensions d'algèbres de Lie topologiques qui sont scindées en tant que suite d'espaces vectoriels topologiques, et il y a des extensions qui mélangent les deux phénomènes. Afin d'exclure le premier type d'extensions et de se concentrer sur le deuxième, on se restreint à des extensions qui sont topologiquement scindées. Cette restriction se reflète au niveau des cochaînes en ne considérant que des cochaînes continues. En effet, en prenant un scindage de la suite, on peut écrire e = g + m en tant qu'espaces vectoriels topologiques, et le crochet devient alors [(x,a),(y,b)] = ([x,y],-x b + y a + alpha(x,y)). La continuité du crochet et de la section sigma : g -> e impliquent que alpha : g x g -> m est un 2-cocycle continu sur g à valeurs dans m. Comme illustré dans le paragraphe précédent, l'analyse fonctionnelle entre dans notre étude d'une façon assez algébrique. En fait, nous sommes amenés à travailler avec des espaces vectoriels topologiques de Fréchet, puisque beaucoup d'algèbres de Lie de dimension infinie apparaissent comme espaces de sections d'un fibré vectoriel sur une variété. Les algèbres de Lie auxquelles nous nous intéressons sont des algèbres de Lie de champs de vecteurs sur une variété ou des produits tensoriels A x k d'une algèbre de Lie k par une algèbre associative commutative unitaire A; le produit tensoriel est ensuite regardé comme algèbre de Lie sur le corps de base. On appellera ces algèbres de Lie algèbres de courants. Pendant ma thèse et directement après celle-ci, j'ai travaillé sur la cohomologie continue des algèbres de Lie de champs de vecteurs, qu'on appelle aussi cohomologie de Gelfand-Fuks. La différence avec la cohomologie discrète ou algébrique est que les cochaînes sont supposées être continues par rapport à une topologie fixée sur l'algèbre de Lie et sur le module. Je crois que malgré le fait que ce sujet existe depuis plus de trente ans et que la question fondamentale, à savoir la conjecture de Bott, a été résolue il y a trente ans, il reste des questions ouvertes. Par exemple, celles sur des critères clairs pour la dégénérescence des suites spectrales de Gelfand-Fuks, le calcul explicite d'exemples, des formules explicites pour les cocycles, ou des résultats analogues pour des cohomologies différentes comme par exemple la cohomologie de Leibniz. De plus, je pense que le sujet n'est pas bien illustré dans des livres; par exemple, aucun livre sur le sujet n'explique comment l'annulation des classes de Pontryagin de la variété facilite la calcul, bien que ceci soit bien connu des experts du sujet. Des modèles, au sens de la théorie d'homotopie rationnelle, existent pour la cohomologie de Gelfand-Fuks, mais dans aucun livre, on n'explique comment les calculer explicitement, à partir d'exemples concrets comme dans un article de Félix et Thomas. Dans mes recherches, j'applique des méthodes et outils connus en théorie de Gelfand-Fuks aussi à d'autres algèbres de Lie ou à d'autres cohomologies, et cela pour illustrer l'universalité des outils en vue d'obtenir de nouveaux résultats. Il est important d'être conscient des limites de la théorie de Gelfand-Fuks pour des algèbres de Lie de dimension infinie purement algébriques. En effet, toute topologie sur l'algèbre de Lie des dérivations de l'algèbre des polynômes de Laurent K[X,X^{-1}] semble artificielle, mais nous ne connaissons pas de calcul de la cohomologie algébrique de cette algèbre de Lie. Or, sa cohomologie continue munie de la topologie de sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs différentiables sur le cercle est bien connue. Suite à une question de la part de Jean-Louis Loday pendant ma thèse, je me suis intéressé à l'interprétation de la 3-cohomologie d'une algèbre de Lie en tant que (classes d'équivalence) de modules croisés. Un module croisé est un homomorphisme d'algèbres de Lie mu : m -> n avec une action compatible de n sur m par dérivations. Mon point de vue est qu'on peut assez facilement construire de tels modules croisés pour des classes de cohomologie données. Cette construction permet de mieux comprendre leur lien avec d'autres classes. Le point de vue plus traditionnel est de voir des modules croisés comme obstructions contre l'existence d'extensions. La géométrie entre en scène quand ce cadre algébrique est appliqué à des algébroides de Lie et des groupoides de Lie. C'est à travers ces objets que les classes d'obstruction de Neeb sont liées à des gerbes sur la variété. La compréhension approfondie de la relation entre des modules croisés de groupoides de Lie et des gerbes est encore en chantier. Ensemble avec Karl-Hermann Neeb, nous étudions l'algèbre homologique et la théorie de Lie des algèbres de courants holomorphes, i.e. des algèbres de Lie qui sont espaces de sections holomorphes de fibrés triviaux en algèbres de Lie sur des variétés complexes. Plus précisément, nous déterminons leurs extensions centrales universelles dans le cas où l'algèbre de Lie fibre est simple, nous calculons la deuxième cohomologie continue pour une algèbre fibre quelconque, et nous adressons la question de savoir si le groupe topologique des applications holomorphes d'une variété complexe à valeurs dans un groupe de Lie porte une structure de groupe de Lie Fréchet. Plus récemment, je me suis intéressé aux déformations d'algèbres de Lie de dimension infinie. D'abord, j'établie un lien entre déformations d'algèbres de Krichever-Novikov et le champs algébrique des modules des courbes. Notre point de vue est que ce lien se comprend facilement en introduisant un champ des déformations d'algèbres de Lie. Nous montrons que le champ des modules admet un morphisme naturel dans la champ des déformations. Il s'avère que ce morphisme est presque un monomorphisme, grâce à la théorie de Pursell-Shanks qui caractérise une variété par son algèbre de Lie des champs de vecteurs. Ensemble avec Alice Fialowski, nous étudions les déformations des algèbres de Lie filiformes de dimension infinie m_0 et m_2. Le phénomène nouveau intéressant est que, malgré que la cohomologie adjointe est de dimension infinie, il n'y a qu'un nombre finie de vraies déformations, i.e. de déformations non obstruites, en chaque poids l <= 1 fixé.

Suivant les applications considérées et le nombre de degrés de liberté à envisager, il est étudié deux grandes classes de systèmes. La première classe de systèmes est décrite par des équations non-linéaires aux dérivées ordinaires. Les contrôles correspondants ont été envisagés avec une dynamique mixte discrète/continue, dites hybrides. Ils permettent de stabiliser des systèmes non-linéaires avec une robustesse, et une certaine optimalité. La seconde classe de systèmes concerne ceux à paramètres distribués. Des résultats ont concerné plus particulièrement le contrôle ou la stabilisation de structures flexibles, ainsi que la stabilisation robuste de l'écoulement de l'eau dans un réseau de canaux.

Dans un article récent, S. Solecki a prouvé un théorème de Ramsey fini auto-dual qui donne d'une façon naturelle simultanément le théorème de Ramsey fini classique et le théorème de Graham-Rothschild. Dans le premier chapitre de cette thèse nous prouvons le théorème de Ramsey infini auto-dual correspondant, qui a similairement pour conséquence le théorème de de Ramsey infini classique et le théorème de Carlson-Simpson. Cela est réalise par une approche différente de celle de Solecki. Dans le second chapitre de cette thèse, nous étendons un résultat de K. Miliken. Étant donné un arbre U qui a un branchement fini uniforme mais une longueur infinie, une notion de famille uniforme de sous-arbre finis forts est introduite. Ensuite nous prouvons un résultat de classification de Ramsey pour les relations d'équivalence définies sur ces familles uniformes. Dans le troisème et dernier chapitre de cette thèse, nous complétons une tentative de H. Lefmann de montrer que les relations d'équivalence de Borel sur les sous-ensembles à n éléments de 2A{\omega}, qui respectent un type d'ordre, ont une base de Ramsey finie
In a recent paper S. Solecki proves a finite self dual Ramsey theorem that in a natural way gives simultaneously the classical finite Ramsey theorem and the Graham-Rothschild theorem. In the first chapter of this thesis we prove the corresponding infinite dimensional self dual theorem, giving similarly as a consequence the infinite classical Ramsey theorem and the Carlson-Simpson theorem. This is done by a different approach than that of Solecki. In the second chapter of the present thesis we extend a result of K. Milliken. Given a fixed tree U that has some finite uniform branching but is of infinite length, a notion of uniform family of finite strong subtrees is introduced. Then we prove a Ramsey classification result for equivalence relations defined on these uniform families. In the third and final chapter of the thesis, we complete the attempt of H. Lefmann to show that Borel equivalence relations on the n-element subsets of 2A{\omega}, that respect an order type, have a finite Ramsey basis

Dans cette thèse, on commence par démontrer une version généralisée du théorèmede Bochner. Ce résultat concerne les paires sphériques d'Olshanski qui sont définies comme des limites inductives de suites croissantes de paires de Guelfand . En utilisant la théorie de la représentation intégrale de Choquet dans les cônes convexes, on établit une représentation de type Bochner pour toute fonction de l'ensemble des fonctions continues, -biinvariantes et de type positif sur Cette représentation est donnée via une unique mesure positive et bornée par : Ici désigne l'ensemble des fonctions sphériques de type positif sur Ensuite, on considère la paire sphérique où est l'espace des matrices complexes carrées de dimension infinie n'ayant qu'un nombre fini de coefficients non nuls, et est le groupe unitaire de dimension infinie. En utilisant un résultat dû à G. Olshanski et A. Vershik, on détermine l'ensemble pour la paire sphérique considérée. Ce qui nous permet de trouver une version paramétrée du théorème de Bochner généralisé qu'on utilise pour établir une représentation intégrale des fonctions continues de type négatif dans le cas de cette paire
In this Thesis, we first prove a generalisation of Bochner theorem. This result deals with Olshanski spherical pairs which are defined as inductive limits of increasing sequences of Gelfand pairs. By using Choquet's theorem, we establish a Bochner type representation of any element in the set of -biinvariant continuous functions of positive type on Such representation is given via a unique, positive and bounded measure by : Here is the set of spherical functions of positive type on Then we consider the spherical pair where is the infinite dimensional space of square complex matrices with only finite non zero coefficients, and is the infinite dimensional unitary group. By using a result of G. Olshanski and A. Vershik, we determine the set of spherical functions of positive type for the considered spherical pair. This enables us to find a parameterized version of the generalized Bochner theorem which we use to establish an integral representation of continuous functions of negative type in this case

Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

Cette thèse est consacrée au développement et à l'utilisation d'outils catégoriques pour l'étude des algèbres amassées de S. Fomin et A. Zelevinsky. La catégorie amassée généralisée de C. Amiot est une catégorie triangulée ayant été utilisée, dans le cas où elle est Hom-finie, pour catégorifier certaines algèbres amassées au moyen de caractères amassés au sens de Y. Palu. Dans cette thèse, nous généralisons les méthodes connues au cas où la catégorie amassée n'est pas Hom-finie, obtenant ainsi une catégorification de toute algèbre amassée antisymétrique. Pour ce faire, nous nous restreignons à une sous-catégorie de la catégorie amassée qui est stable par mutation et possède une propriété analogue à la condition 2-Calabi-Yau. Nous prouvons l'existence d'un caractère amassé sur cette sous-catégorie. Nous utilisons ensuite ces outils pour interpréter la combinatoire des algèbres amassées au moyen de la catégorie amassée. Notamment, nous démontrons une correspondance entre les g-vecteurs et les indices, donnons une interprétation des F-polynômes, et prouvons que les définitions de mutation dans l'algèbre et dans la catégorie sont cohérentes entre elles. Ces propriétés nous permettent de donner une nouvelle démonstration à de nombreuses conjectures pour les algèbres amassées antisymétriques. Finalement, en nous inspirant d'un travail récent de C. Geiss, B. Leclerc et J. Schrôer, nous montrons comment l'ensemble des indices, en bijection avec l'ensemble des g-vecteurs, permet la construction d'une base de certaines algèbres amassées. Nous expliquons pourquoi cette construction fournit un bon candidat pour l'obtention d'une base de l'algèbre amassée supérieure en général
This thesis is concerned with the development and application of categorical tools in the study of the cluster algebras of S. Fomin and À. Zelevinsky. C. Amiot's generalized cluster category is a triangulated category which has been used, in the case where it is Hom-finite, to categorify a certain class of cluster algebras, using cluster characters in the sense of Y. Palu. In this thesis, we generalize these results to the case where the cluster category is not Hom-finite, thus obtaining a categorification of any skew-symmetric cluster algebra. In order to do so, we restrict ourselves to a subcategory of the cluster category which is stable under mutation and satisfies an analogue of the 2-Calabi-Yau condition. We prove the existence of a cluster character on this subcategory. We then use these tools to interpret the combinatorics of cluster algebras inside the cluster category. In particular, we prove a correspondence between g-vectors and indices, provide an interpretation of F-polynomials, and show that the definition of mutation in the algebra and in the category are consistent with each other. These properties allow us to give new proofs of numerous conjectures for skew-symmetric cluster algebras. Finally, starting from recent work by C. Geiss, B. Leclerc and J. Schrôer, we show how the set of indices parametrizes a basis for a class of cluster algebras. We then show that this construction provides us with a good candidate for a basis of the upper cluster algebra in general

Dans la première partie de ce travail, on a étudié les grassmanniennes d'un espace de Hilbert séparable, de dimension infinie, plus exactement le lien de la grassmannienne régulière (hilbertienne) à ses composantes connexes, au groupe général linéaire restreint, et aux ouverts de l'atlas associés à sa structure hilbertienne. On a étudié aussi les composantes connexes d'une grassmannienne dense dans la grassmannienne régulière, le lien de ses composantes connexes à sa décomposition en cellules de Schubert. A la fin de cette partie, on démontre le lien topologique qui existe entre les grassmanniennes de dimension infinie et les grassmanniennes de dimension finie. Dans la deuxième partie, on a étudié le lien des groupes de lacets aux grassmanniennes, et l'équivalent de l'action de l'opérateur vertex sur les éléments de la grassmannienne associés à la fonction tau
In the first part of this work, we studied the infinite dimensional Grassmannians of a separable Hilbert space. More exactly, the link between hilbertian grassmannians and its connected components, the restricted general linear group, and the open sets covering of this hilbertian grassmannian. We studied also the connected components of a dense grassmannian of a hilbertian grassmannian, the link between its connected components and its cellular Schubert decomposition. At the end of this part, we show the topologic relation existing between the infinite dimensional grassmannians and the finite dimensional once. In the second part of this work, we studied the link between the loop groups and the grassmannians, we studied also the operator vertex's action on the grassmannian's elements associated to the tau function

On considère des systèmes linéaires anti-adjoints de dimension infinie sur un espace de Hibert x. L'espace d'observation est supposé être un autre espace de Hilbert 0. L'opérateur de sortie est non borné puisque les mesures sont prises au bord du domaine spatial. On suppose l'exacte observabilité vérifiée. Il est alors possible de construire des observateurs de type luenberger qui guarantissent la stabilité exponentielle du système de l'erreur si une certaine hypothèse de régularité est satisfaite pour les systèmes considérés. La situation en dimension infinie présente une certaine complexité par rapport à la dimension finie, puisque le gain trop grand pet faire diverger l'observateur, on présente aussi une application basée sur le modèle "corps-poutre" pour illustrer ces résultats, en particulier, on montre que pour toute vitesse angulaire constante et suffisamment petite, le taux de croissance du semi-groupe pour le système est déterminé par la borne spectrale de son générateur.

En anatomie computationnelle, on suppose que les formes d'organes sont issues des déformations d'un template commun. Les données peuvent être des images ou des surfaces d'organes, les déformations peuvent être des difféomorphismes. Pour estimer le template, on utilise souvent un algorithme appelé «max-max» qui minimise parmi tous les candidats, la somme des carrées des distances après recalage entre les données et le template candidat. Le recalage est l'étape de l'algorithme qui trouve la meilleure déformation pour passer d'une forme à une autre. Le but de cette thèse est d'étudier cet algorithme max-max d'un point de vue mathématique. En particulier, on prouve que cet algorithme est inconsistant à cause du bruit. Cela signifie que même avec un nombre infini de données et avec un algorithme de minimisation parfait, on estime le template original avec une erreur non nulle. Pour prouver l'inconsistance, on formalise l'estimation du template. On suppose que les déformations sont des éléments aléatoires d'un groupe qui agit sur l'espace des observations. L'algorithme étudié est interprété comme le calcul de la moyenne de Fréchet dans l'espace des observations quotienté par le groupe des déformations. Dans cette thèse, on prouve que l'inconsistance est dû à la contraction de la distance quotient par rapport à la distance dans l'espace des observations. De plus, on obtient un équivalent de biais de consistance en fonction du niveau de bruit. Ainsi, l'inconsistance est inévitable quand le niveau de bruit est suffisamment grand
In computational anatomy, organ shapes are assumed to be deformation of a common template. The data can be organ images but also organ surfaces, and the deformations are often assumed to be diffeomorphisms. In order to estimate the template, one often uses the max-max algorithm which minimizes, among all the prospective templates, the sum of the squared distance after registration between the data and a prospective template. Registration is here the step of the algorithm which finds the best deformation between two shapes. The goal of this thesis is to study this template estimation method from a mathematically point of view. We prove in particular that this algorithm is inconsistent due to the noise. This means that even with an infinite number of data, and with a perfect minimization algorithm, one estimates the original template with an error. In order to prove inconsistency, we formalize the template estimation: deformations are assumed to be random elements of a group which acts on the space of observations. Besides, the studied algorithm is interpreted as the computation of the Fréchet mean in the space of observations quotiented by the group of deformations. In this thesis, we prove that the inconsistency comes from the contraction of the distance in the quotient space with respect to the distance in the space of observations. Besides, we obtained a Taylor expansion of the consistency bias with respect to the noise level. As a consequence, the inconsistency is unavoidable when the noise level is high

L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularité au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion.

In a large class of modern applications, we have to estimate the initial (or final) state of an infinite-dimensional system (typically a system governed by a Partial Differential Equation) from its partial measurement over some finite time interval. This kind of identification problems arises in medical imaging. For instance, the detection of sick cells (tumor) by thermo-acoustic tomography can be viewed as an initial data reconstruction problem. Some other methods need the identification of a source term, which can be rewritten, under some assumptions, under the form of an initial data reconstruction problem. In this thesis, we are dealing with the reconstruction of the initial state of a system of evolution, working as much as possible on the infinite-dimensional system, using the new algorithm developed by Ramdani, Tucsnak and Weiss (Automatica 2010). We perform in particular the numerical analysis of the algorithm in the case of Schrödinger and wave equations, with internal observation. We study the suitable functional spaces for its use in Maxwell’s equations, with internal and boundary observation. In the last chapter, we try to extend the framework of this algorithm when the initial system is perturbed or when the inverse problem is ill-posed, with application to thermoacoustic tomography.

L'objectif de cette thèse est d'étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L'étude de ces classes d'exemples s'est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l'étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l'une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l'étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L'approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d'existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l'utilisation de cette méthode.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro et soit R l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k. La motivation principale de ce travail est l’étude d’une classe d’algèbres de Lie de dimension infinie sur k, appelées extended affine Lie algebras (EALAs). Ces algèbres correspondent à des torseurs sous des groupes algébriques linéaires sur R. On établit dans ce travail une classification de R–torseurs sous des groupes de type classique de rang assez grand (sous une hypothèse plus forte pour les groupes de type A intérieur) et on obtient ainsi des résultats sur les EALAs mentionnées ci-dessus. On obtient également une variante de la conjecture de Serre II pour l’anneau R : tout torseur lisse sur R sous un groupe semi-simple simplement connexe de type classique B, C ou D de rang assez grand est trivial. La stratégie pour démontrer les résultats principaux est la suivante : les torseurs sous les groupes classiques correspondent à des algèbres d’Azumaya à involutions et à des formes hermitiennes et quadratiques. On calcule les groupes de Witt et les K-groupes correspondants à l’aide de suites spectrales dues à Panin, Suslin et S. Gille. Ensuite on utilise des résultats de simplification pour obtenir une classification des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de rang assez grand sur R et ainsi une classification de certains torseurs sur R
Let k be an algebraically closed field of characteristic zero and let R be the Laurent polynomial ring in two variables over k. The main motivation behind this work is a class of infinite dimensional Lie algebras over k, called extended affine Lie algebras (EALAs). These algebras correspond to torsors under linear algebraic groups over R. In this work we classify R–torsors under classical groups of large enough rank (and under stronger hypotheses for groups of interior type A) and obtain this way results on the above mentioned EALAs. We also obtain a variant of Serre’s Conjecture II for the ring R: every smooth R–torsor under a semi-simple simply connected R–group of large enough rank of classical type B, C or D is trivial. We use the following strategy to prove our main results: torsors under classical groups correspond to Azumaya algebras with involution and to hermitian and quadratic forms. We calculate the corresponding Witt and K-groups using spectral sequences due to Panin, Suslin and S. Gille. Finally we use simplification results to obtain a classification of hermitian and skew-hermitian forms of large enough rank over R and thus a classification of certain R–torsors

On etudie des questions de dentabilite pour les ensembles convexes dans les espaces de banach de dimension finie et infinie. Dans les espaces de banach resp. Les banach reticules qui n'ont pas la propriete de radon-nikodym, on construit des ensembles convexes resp. Des ensembles convexes solides qui sont optimaux par rapport a la non-dentabilite. On applique ces resultats pour obtenir des renormages anguleux presque optimaux dans les espaces de banach reticules. Egalement par des methodes de renormage on obtient une nouvelle demonstration d'un theoreme de odell/rosenthal/haydon. A l'aide de la dentabilite, on caracterise l'unicite du predual d'un espace de banach dans la classe des quasi-banach. On donne une nouvelle definition de la surface affine d'un corps convexe en dimension finie qui nous permet de generaliser une formule de blaschke

Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.

La thèse est consacrée au problème de modélisation d'un type de roue avec pneus comme système mécanique à degré de liberté infini et à son étude par les méthodes de la dynamique analytique. On étudiera en particulier les régimes stationnaires de roulement de la roue sur un plan avec et sans glissement. Le système mécanique comprend une partie déformable et une partie rigide. La partie rigide est la jante (disque) représentée par un corps solide ayant six degrés de liberté. La partie déformable est le pneu, qu'on peut fractionner en trois parties le bandage, par lequel la roue est en contact avec le plan, et deux surfaces latérales joignant le bandage à la jante. Dans l'état non déformé le bandage est une partie de cylindre circulaire, les surfaces latérales sont des parties de surfaces de tores. La structure des pneus modernes est telle que par chaque point du bandage passent trois familles de fils inextensibles et par chaque point des surfaces latérales du pneu passe une famille. Le pneu est rempli par un gaz sous pression, et le gaz est supposé parfait et son évolution isotherme. La force extérieure F et le moment extérieur M sont appliqués à la jante de la roue. La roue roule sur un plan avec lequel elle est en contact par une certaine partie du bandage a priori inconnue. Le roulement peut avoir lieu avec ou sans glissement dans la zone de contact. Dans ce travail on modélise ce système mécanique et on étudie ses mouvements par les méthodes de la mécanique analytique.

Soit $\mathcal D$ un domaine borné symétrique réalisé comme boule unité d'un système triple de Jordan hermitien $E$. On suppose $\mathcal D$ de type tube, simple et de rang $r$. La frontière de Shilov $\Sigma$ de $\mathcal D$ est l'ensemble des tripotents inversibles de $E$. La composante neutre $G$ du groupe des automorphismes de $\mathcal D$ agit (transitivement) sur $\Sigma$, et son action sur $\Sigma\times\Sigma$ se compose de $r$ orbites, dont une seule ouverte, constituée des couples dits transverses. L'indice de transversalité d'un couple de tripotents inversibles mesure son défaut de transversalité et donne une paramétriation de ces orbites (il varie entre $0$, lorsque le couple est transverse, et $r$). Le groupe fondamental de $\Sigma$ est cyclique infini. L'indice de Maslov d'un chemin continu dans $\Sigma$ (relativement à un tripotent inversible $e$) caractérise sa classe d'homotopie à extémités fixées. Il peut se définir comme l'indice d'intersection du chemin avec le cycle de Maslov $\Sigma(e)=\bigsqcup_{k=1\dots r}\Sigma_k(e)$, où $\Sigma_k(e)$ est l'ensemble des tripotents inversibles dont l'indice de tranversalité avec $e$ est $k$. Cet indice généralise l'indice de Malov des chemins dans la Lagrangienne d'espace vectoriel symplectique réel. On considère désormais un domaine borné symétrique d'un espace de Banach réalisé comme boule unité d'un $JB^*$-triple $E$, et supposé de type tube. Nous construisons, dans notre thèse, l'indice de Maslov d'un chemins continu dans $\Sigma$ relativement à un tripotent inversible $e$. Un tel chemin doit vérifier une condition de type Fredholm relativement à $e$. Nous définissons une telle condition puis nous définissons l'indice de transversalité d'une paire de Fredholm. Nous établissons alors un lemme de perturbation pour cet indice qui nous permet de construire l'indice de Maslov, non plus comme un indice d'intersection mais comme un flot specral, et de montrer qu'il est invariant par homotopies à extrémités fixées.

Résumé : L’objectif principal de cette thèse est d’approfondir l’étude des modules de dimension projective infinie sur les algèbres inclinées-amassées. Dans un premier temps, nous bornerons la fonction [o barré] d’Igusa-Todorov dans le cadre des algèbres inclinées-amassées de type An et ~ An. Subséquemment, nous donnerons une preuve combinatoire de la périodicité des premiers syzygies des modules de corde et de bande sur de telles algèbres. Grâce à cette périodicité, nous serons en mesure de borner supérieurement la [o barré]-dimension d’Igusa-Todorov. Nous caractériserons, dans une deuxième partie, les modules de dimension projective infinie de l’algèbre d’endomorphismes End C (T), où C’est une catégorie triangulée possédant un objet T maximal 1-orthogonal. Nous montrerons qu’un End C(T)-module M est de dimension projective infinie si et seulement si son idéal de factorisation IM End C(T[1]) est non nul. De plus, inspirés par les travaux sur les hamacs de Brenner, Ringel et Vos- sieck ([7], [26]), nous décrirons et regrouperons les modules de dimension projective infinie en un nouvel ensemble, appelé balançoire, particulièrement localisable dans le carquois d’Auslander-Reiten de End C(T). // Abstract : The writing of this thesis was guided by a single main idea; to go deeper in the study of infinite projective dimension modules on cluster-tilted algebras. At first, we will find an upper bound for the function [o barré] of Igusa-Todorov in the framework of the cluster-tilted algebras of type An and ~ An. Subsequently, we will give a combinatorial proof of the periodicity of the first syzygy of a string and a band module on such algebras. With this periodicity, we will be able to bound the [o barré]-dimension of Igusa-Todorov. In the second part, we will characterize infinite projective dimension modules by explaining their exact positions in the Auslander-Reiten quiver of the algebra End C(T), where C is any triangulated category and T a 1-maximal orthogonal object of C. We show that an End C(T) -module M is of infinite projective dimension if and only if its factorization ideal IM End C(T [1]) is nonzero. In addition, inspired by the works on hammocks by Brenner, Ringel and Vossieck ([7], [26]), we will describe and regroup in a new set, called a swing, the modules of infinite projective dimension especially localizable in the quiver of Auslander-Reiten of End C(T). [Symboles non conformes].

Cette thèse traite de la géométrie des domaines bornés symétriques (et de leur frontière) dans les espaces de Banach. Dans la première partie, nous démontrons deux résultats connus dus à W. Kaup : la boule unité d'un JB*-triple est un domaine borné symétrique, et tout domaine borné symétrique est biholomorphe à la boule unité d'un JB*-triple. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'ensemble des tripotents inversibles d'un JB*-triple, qui est une réunion de composantes connexes de la frontière extrémale du domaine associé. Lorsque le JB*-triple admet un predual (ie. est un JBW*-triple), nous introduisons l`indice de transversalité abstrait de deux tripotents inversibles, et nous montrons qu'il est invariant sous l'action du groupe des biholomorphismes du domaine. Dans la suite nous construisons l'indice de Maslov d'un chemin continu dans la variété des tripotents inversibles d'un JB*-triple. Un tel chemin doit vérifier une condition de type Fredholm relativement à un tripotent fixé (par rapport auquel est calculé l'indice). Le point délicat est ici d'introduire la notion de paire de Fredholm. Nous définissons alors l'indice de transversalité d'une paire de Fredholm, et nous établissons un lemme de perturbation pour cet indice, qui nous permet de construire l'indice de Maslov et de montrer qu'il est invariant par homotopies à extrémités fixées. Cette construction généralise celle de Booss-Bavnbek et Furutani dans le cas de la Fredholm-Lagrangienne d'un espace de Hilbert symplectique. Nous faisons enfin le lien, en dimension finie, avec l'indice triple généralisé de J.-L. Clerc et B. Oersted
This thesis deals with the geometry of bounded symmetric domains (and their boundaries) in Banach spaces. In the first part, we prove two known results due to W. Kaup : the unit ball of a JB*-triple is a bounded symmetric domain, and every bounded symmetric domain is biholomorphic to the unit ball of a JB*-triple. The second part deals with the set of invertible tripotents in a JB*-triple, wich is a union of connected components of the extremal boundary of the associated domain. When the JB*-triple admits a predual (ie. is a JBW*-triple), we introduce the abstract index of transversality and prove that it is invariant under the action of the group of biholomorphisms of the domain. After that we turn to the main topic of our thesis, wich consists in constructing the Malov index of a continuous path in the manifold of invertible tripotents of a JB*-triple. The path must satisfy a Fredholm-type condition with respect to a fixed invertible tripotent (with respect to wich the index is calculated). The difficulty is here to define a efficient notion of Fredholm pair. Then we define the index of transversality of a Fredholm-pair, and prove a perturbation lemma for this index, which enables us to construct the Maslov index and to prove that it is invariant under homotopies with fixed endpoints. This construction generalises the construction by Booss-Bavnbek and Furutani in the case of the Fredholm-Lagrangian of a symplectic Hilbert space. At the end we provide a link, in the finite dimensional case, with the generalised triple index of J.-L. Clerc and B. Oersted

Dans la présente thèse, on s’intéresse à la résolution de problèmes algébriques et d’évolution en dimension finie et infinie. Dans le premier chapitre, on a étudié l’existence globale et la régularité maximale d’un système gradient abstrait avec des applications à des problèmes de diffusion non-linéaires et à une équation de la chaleur avec des coefficients non-locaux. La méthode utilisée est la méthode d’approximation de Galerkin. Dans le deuxième chapitre, on a étudié l’existence locale, l’unicité et la régularité maximale des solutions de l’équation de raccourcissement des courbes en utilisant le théorème d’inversion locale. Finalement, dans le dernier chapitre, on a résolu une équation algébrique entre deux espaces de Banach en utilisant la méthode de Newton continue avec une application à une équation différentielle avec des conditions aux limites périodiques
In this work, we solve algebraic and evolution equations in finite and infinite-dimensional sapces. In the first chapter, we use the Galerkin method to study existence and maximal regularity of solutions of a gradient abstract system with applications to non-linear diffusion equations and to non-degenerate quasilinear parabolic equations with nonlocal coefficients. In the second chapter, we Study local existence, uniqueness and maximal regularity of solutions of the curve shortening flow equation by using the local inverse theorem. Finally, in the third chapter, we solve an algebraic equation between two Banach spaces by using the continuous Newton’s method and we apply this result to solve a non-linear ordinary differential equation with periodic boundary conditions