Tesis sobre el tema "Opérateur continu"

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes numériques probabilistes dites de Population Monte-Carlo, du point de vue du temps continu. Ces méthodes PMC se ramènent au calcul séquentiel de moyennes pondérées de trajectoires Markoviennes. Nous démontrons la convergence (vers la fonction propre principale des opérateurs de Schrödinger) en temps long de la variance et du biais de cette méthode avec la bonne vitesse en 1/N. Ensuite, nous considérons le problème de l'échantillonnage séquentiel d'un flot continu de mesures de Boltzmann. Pour cela, à partir d'une dynamique Markovienne arbitraire, nous associons une dynamique renversée dans le temps dont la loi pondérée par une moyenne trajectorielle de Feynman-Kac explicitement calculable redonne la dynamique initiale ainsi que la mesure de Boltzmann à calculer. Enfin, nous généralisons ce problème au cas où la dynamique est due à l'évolution dans le temps de contraintes rigides sur les configurations possibles du processus. Nous calculons exactement les poids associés, qui font intervenir la courbure locale des sous-variétés générées par les contraintes.
In this dissertation, we focus on stochastic numerical methods of Population Monte-Carlo type, in the continuous time setting. These PMC methods resort to the sequential computation of averages of weighted Markovian paths. The practical implementation rely then on the time evolution of the empirical distribution of a system of N interacting walkers. We prove the long time convergence (towards Schrödinger groundstates) of the variance and bias of this method with the expected 1/N rate. Next, we consider the problem of sequential sampling of a continuous flow of Boltzmann measures. For this purpose, starting with any Markovian dynamics, we associate a second dynamics in reversed time whose law (weighted by a computable Feynman-Kac path average) gives out the original dynamics as well as the target Boltzmann measure. Finally, we generalize the latter problem to the case where the dynamics is caused by evolving rigid constraints on the positions of the process. We compute exactly the associated weights, which resorts to the local curvature of the manifold defined by the constraints

La présente thèse traite de questions dynamiques et spectrales liées à des opérateurs de Schrôdinger aléatoires continus et à valeurs matricielles. Deux modèles sont étudiés, l'un est un modèle dit d'interactions ponctuelles, le second est un modèle de type Anderson. Du point de vu dynamique, il est prouvé la séparabilité des exposants de Lyapounov associés a ces deux modèles. Les méthodes employées se basent sur des résultats de théorie des groupes de Lie dus à Goldsheid et Margulis d'une part, Breuillard et Gelander d'autre part. Les résultats obtenus conduisant à l'absence de spectre absolument continu pour les deux modèles étudiés. Dans un second temps on étudie les propriétés de régularité des exposants de Lyapounov ainsi que celles de la Densité d'Etats Intégrée dont on prouve l'existence pour des modèles continus à valeurs matricielles. On y prouve que ces quantités sont Hôlder-continues en fonction du paramètre d'énergie. Pour les exposants de Lyapounov, les méthodes de preuve reposent sur l'existence de mesures invariantes pour le cocycle des matrices de transferts et sur une représentation intégrale de ces exposants contre cette mesure invariante. La continuité Hôldérienne de la Densité d'Etats Intégrée se déduit alors de celle des exposants de Lyapounov par l'intermédiaire d'une formule de Thouless adapté à notre cadre d'étude des opérateurs continus à valeurs matricielles
This Ph. D thesis deals with dynamical and spectral questions about matrix-valued continuous random Schrödinger operators. Two model: are studied, one is a point interaction model, and the second one is an Anderson-type model. From the dynamical point of view, we prove the separability of the Lyapounov exponents for both models. The methods used here are based upon Lie groups' theory results from Goldsheid and Margulis and from Breuillard and Gelander. This separability of thé Lyapounov exponents leads to the absence of absolutely continuous spectrum for both models. In a second part we study regularity properties of the Lyapounov exponents and of the Integrated Density of States whose existence is proved for matrix-valued continuous models. We prove that these two quantifies are Hölder-continuous, view as functions of the energy parameter. For the Lyapounov exponents, the proof relies on the existence of an invariant measure for the transfer matrices cocycle and on an integral representation of the exponents involving this invariant measure. The Hölder-continuity of the Integrated Density of States is then obtained from the Hölder-continuity of the Lyapounov exponents by using a Thouless formula adapted to matrix-valued continuous operators

Les problèmes abordés et les résultats obtenus dans cette thèse se divisent en deux parties. La première concerne l'étude de la valeur asymptotique de jeux dépendant de la fréquence (jeux-FD). Nous introduisons un jeu différentiel associé au jeu-FD dont la valeur se ramène à une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman-lsaacs. En affrontant un problème d'irrégularité à l'origine, nous prouvons l’existence de la valeur du jeu différentiel sur [0.1 ] et ceci nous permet de prouver que la valeur du jeu FD converge vers la valeur du jeu continu qui débute à l'état initial 0. Dans la deuxième partie, l'objectif fondamental est la décomposition de l'espace des jeux finis en sous espaces des jeux adéquats et plus faciles à étudier vu que leurs équilibres sont distingués. Cette partie est divisée en deux chapitres. Dans le premier chapitre, nous établissons une décomposition canonique de tout jeu arbitraire fini en trois composantes et nous caractérisons les équilibres approximatifs d'un jeu donné par les équilibres uniformément mixtes et en stratégies dominantes lesquels apparaissent sur ses composantes. Dans le deuxième chapitre, nous introduisons sur l'espace des jeux finis une famille de produits scalaires et nous définissons la classe des jeux harmoniques relativement au produit scalaire choisi dans cette famille. Inspiré par la décomposition de Helmholtz-Hodge appliquée aux jeux par Candogan et al. (2011), nous établissons une décomposition orthogonale de l'espace des jeux finis, par rapport au produit scalaire choisi, en les sous espaces des jeux potentiels, des jeux harmoniques et des jeux non­stratégiques c nous généralisons les résultats de Candogan et al. (2011)
The problems addressed and results obtained in this thesis are divided in two parts. The first part concerns the study of the asymptotic value of frequency-dependent games (FD-games). We introduce a differential game associated to the FD-game whose value leads to a Hamilton-Jacob-Bellman-lsaacs equation. Although an irregularity occurs at the origin, we prove existence of the value in the differential game played over [0.1 ], which allows to prove that the value of the FD-game, as the number of stages tend to infinity, converges to the value of the continuous-time game with initial state 0. ln the second part, the objective is the decomposition of the space of finite games in subspaces of suitable games which admit disguised equilibria and more tractable analysis. This part is divided in two chapters. In the first chapter, we establish a canonical decomposition of an arbitrary game into three components and we characterize the approximate equilibria of a given game in terms of the uniform equilibrium and the equilibrium in dominant strategies that appear in its components. In the second part, we introduce a family of inner products in the space of finite games and we define the class of harmonic games relatively to the chosen inner product. Inspired of the Helmholtz-Hodge decomposition applied to games by Candogan et al (2011 ), we establish an orthogonal decomposition of the space of finite games with respect to the chosen inner product, in the subspaces of potential harmonic and non-strategic games and we further generalize several results of Candogan et al (2011)

L'explosion du trafic lié aux flux de données vidéos (principalement en haute-définition) amène les opérateurs de réseaux à installer des serveurs au plus près des utilisateurs finaux. Les Telco-CDNs ont émergé comme une nouvelle approche pour diffuser du contenu. Un Telco-CDN consiste en un ensemble de serveurs qui sont gérés par l'opérateur réseau, qui contrôle donc à la fois l'infrastructure physique sous-jacente et les serveurs qui diffusent du contenu. Dans cette thèse, nous nous efforcons d'utiliser ce contrôle complet du réseau pour optimiser les ressources dans les Telco-CDNs. Nous avons tout d'abord étudié le problème du « placement de k-composants sur une architecture multi-site », qui consiste à placer les k différents éléments d'un catalogue de vidéo de telle manière que les accès d'un site à un autre soient minimisés. Nous avons abordé ce problème d'un point de vue optimisation. Nous avons développé des modèles de programmation linéaire, conçus des algorithmes approximations ainsi que des heuristiques afin de minimiser le coût global de diffusion du service. Dans la continuité de ces recherches, nous avons étendu nos premiers résultats dans le cadre d'un cas pratique de Telco-CDN. Nous avons conçu un algorithme génétique afin d'obtenir des performances quasi-optimales, puis nous avons implémenté cet algorithme sur une architecture parallèle de type MapReduce afin de traiter le ceas des catalogues de vidéos très volumineux. Notre évaluation a démontré l'intérêt de notre approche. Nous avons exploré également une approche totalement différente pour la gestion des serveurs : les réseaux orientés contenus (ICN). Il s'agit ici d'une approche révolutionnaire dans lesquels le fonctionnement sous-jacent des réseaux est transformé radicalement. Les premiers travaux autour de l'ICN proposent d'utiliser les routeurs comme des mémoires tampons (cache) avec une gestion extrêmement simplifiées du contenu dans les mémoires. Nous avons proposé une nouvelle méthode de gestion du contenu, qui demeure simple, mais qui permette néanmoins de tirer profit des caractéristiques des flux vidéos, en particulier le fait que les vidéos sont constitués de suite d'images. Nous avons ensuite proposé des outils théoriques d'analyse des mémoires-tampons dans le cadre général des réseaux. Ces études ont été soigneusement évalués grâce à une plate-forme d'expérimentations spécialement conçues pour les réseaux de type ICN
The exploding HD video streaming traffic calls for deploying content servers deeper inside network operators infrastructures. Telco-CDN are new content distribution services that are managed by Internet Service Providers (ISP). Since the network operator controls both the infrastructure and the content delivery overlay, it is in position to engineer Telco-CDN so that networking resources are optimally utilized. In this thesis, we focus on the optimal resource placement in Telco-CDN. We first investigated the placement of application components in Telco-CDN. Popular services like Facebook or Twitter, with a size in the order of hundreds of Terabytes, cannot be fully replicated on a single data-center. Instead, the idea is to partition the service into smaller components and to locate the components on distinct sites. It is the same and unique method for Telco-CDN operators. We addressed this k-Component Multi-Site Placement Problem from an optimization standpoint. We developed linear programming models, designed approximation and heuristic algorithms to minimize the overall service delivery cost. Thereafter, we extend our works to address the problem of optimal video place- ment for Telco-CDN. We modeled this problem as a k-Product Capacitated Facility Location Problem, which takes into account network conditions and users¿ prefer- ences. We designed a genetic algorithm in order to obtain near-optimal performances of such ¿push¿ approach, then we implemented it on the MapReduce framework in order to deal with very large data sets. The evaluation signifies that our optimal placement keeps align with cooperative LRU caching in term of storage efficiency although its impact on network infrastructure is less severe. We then explore the caching decision problem in the context of Information Cen- tric Network (ICN), which could be a revolutionary design of Telco-CDN. In ICN, routers are endowed with caching capabilities. So far, only a basic Least Recently Used (LRU) policy implemented on every router has been proposed. Our first contri- bution is the proposition of a cooperative caching protocol, which has been designed for the treatment of large video streams with on-demand access. We integrated our new protocol into the main router software (CCNx) and developed a platform that automatically deploys our augmented CCNx implementation on real machines. Ex- periments show that our cooperative caching significantly reduces the inter-domain traffic for an ISP with acceptable overhead. Finally, we aim at better understanding the behavior of caching policies other than LRU. We built an analytical model that approximates the performance of a set of policies ranging from LRU to Least Frequently Used (LFU) in any type of network topologies. We also designed a multi-policy in-network caching, where every router implements its own caching policy according to its location in the network. Compared to the single LRU policy, the multi-caching strategy considerably increases the hit- ratio of the in-network caching system in the context of Video-on-Demand application. All in one, this thesis explores different aspects related to the resource placement in Telco-CDN. The aim is to explore optimal and near-optimal performances of various approaches

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude du spectre essentiel d’opérateurs de Schrödinger et tout particulièrement à l’obtention d’un Principe d’Absorption Limite pour ces opérateurs. Ce Principe d’Absorption Limite consiste en l’existence d’une limite de l’opérateur résolvante lorsque le paramètre spectral se rapproche du spectre essentiel et permet de connaitre des informations sur le groupe engendré par l’Hamiltonien de Schrödinger. Une méthode pour montrer ce Principe d’Absorption Limite est d’utiliser la théorie de Mourre. Cette théorie nécessite l’utilisation d’un autre opérateur appellé opérateur conjugué. Lorsqu’on veut appliquer la théorie de Mourre aux opérateurs de Schrödinger, on utilise habituellement un opérateur conjugué nommé le générateur des dilatations. Cet opérateur implique que les dérivées du potentiel doivent avoir une certaine décroissance ce qui peut être gênant dans certains cas.Dans cette thèse, nous appliquerons le théorème de Mourre avec d’autres types d’opérateurs conjugués, dont certains n’impliquent pas de conditions de dérivabilité. Dans une première partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur l’espace euclidienpour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite à énergie strictement positive, un Principe d’Absorption Limite à énergie nulle et l’absence de valeurs propres plongées dans le spectre essentiel. Dans une seconde partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur des guides d’ondes pour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite loin des seuils et un Principe d’Absorption Limite près des seuils
In this thesis, we are interested in the study of the essential spectrum of Schrödinger operators and more particulary in the obtention of a Limiting Absorption Principle for these operators. This Limiting Absorption Principle consists on the existence of a limit for the resolvent operator when the spectral parameter is near the essential spectrum and permits to know some properties about the group generated by the Schrödinger Hamiltonian we study. A technique to prove this Limiting Absorption Principle is to use the Mourre theory. This theory needs to use an other operator called the conjugate operator. When we want to apply the Mourre theory to Schrödinger operators, we usually used a conjugate operatornamed the generator of dilations. This operator implies some conditions of decay on the derivatives of the potentials which can be a problem in certain cases. In this thesis, we will apply the Mourre theory with other types of conjugate operators wich, for some of them, does not imply any conditions on the derivatives of the potential.In a first part, we will be interested in Schrödinger operators on the euclidian space. We will show a Limiting Absorption Principle at positive energy, a Limiting Absorption principle at zero energy and the absence of eigenvalue embedded in the essential spectrum. In a second part, we will be interested in Schrödinger operators on wave guides for which we will prove a Limiting Absorption Principle far thresholds and near thresholds

Etude des problèmes théoriques et techniques liés à la réalisation des systèmes à base de connaissances pour assister en temps réel les taches décisionnelles des opérateurs en salle de contrôle des procédés continus : détection de dysfonctionnement, diagnostic et reprise.

Les applications de traitement et d'analyse des flux de données (TAFD) sont largement utilisées pour traiter les quantités toujours plus importantes de flux de données produites par des sources de données hautement distribuées géographiquement, telles que les dispositifs de l'internet des objets (IdO) fixes et mobiles, afin d'extraire des informations précieuses le plus rapidement possible pour une action satisfaisant une limite de temps de réponse. Les applications TAFD sont généralement déployées dans le Cloud pour bénéficier de ressources de calcul pratiquement illimitées à la demande. Cependant, ces solutions de calcul centralisées et distantes peuvent souffrir d'une bande passante réseau limitée et des retards de réseau élevé. De plus, la propagation des données dans le nuage peut compromettre la confidentialité des données sensibles. Pour traiter efficacement ce volume de flux de données, le paradigme émergent du Edge/Fog computing est utilisé comme niveau intermédiaire entre le Cloud et les dispositifs IdO pour traiter les flux de données plus près de leurs sources afin de réduire l'utilisation des ressources réseau et les retards dans le réseau pour atteindre le Cloud. Cependant, le paradigme Edge/Fog computing contient des ressources de calcul limitées, il est donc nécessaire de décider quelle partie de l'application TAFD doit être exécutée au niveau du Edge/Fog tout en satisfaisant à la contrainte de temps de réponse de l'application. De plus, les ressources de calcul et de réseau de l'architecture Edge-Fog-Cloud peuvent être partagées entre plusieurs applications de TAFD (ou autres), ce qui nécessite une utilisation efficiente de ces ressources. Dans cette thèse, nous proposons un nouveau modèle pour évaluer le coût d'utilisation des ressources à travers l'architecture Edge-Fog-Cloud. Notre modèle concerne à la fois les ressources de calcul et de réseau et permet de traiter les compromis inhérents à leur utilisation conjointe. Ce modèle caractérise précisément le coût d'utilisation des ressources en distinguant les ressources abondantes des ressources contraintes et en considérant leur disponibilité dynamique, couvrant ainsi les ressources dédiées à une seule application de TAFD et les ressources partageables. Nous complétons notre modélisation du système par un modèle de temps de réponse pour les applications TAFD qui prend en compte leurs caractéristiques de fenêtrage. En s'appuyant sur ces modèles, nous formulons le problème de l'ordonnancement d'opérateurs continus, qui constituent une application de TAFD, sur une architecture hiérarchique de ressources Edge-Fog-Cloud. Notre problème cible présente deux différentes caractéristiques. Premièrement, il vise à optimiser conjointement le coût d'utilisation des ressources de calcul et de réseau, alors que peu d'approches existantes ont pris en compte les ressources de calcul dans leurs objectifs d'optimisation. Plus précisément, notre objectif est de déployer une application de TAFD de manière à ce qu'elle utilise les ressources disponibles de la manière la plus efficace possible. Cela permet d'économiser des ressources précieuses pour les autres applications de TAFD (ou d'autre type) qui partagent la même architecture de ressources. Deuxièmement, il est soumis à une contrainte de temps réponse, alors que peu de travaux ont traité d'une telle contrainte ; la plupart des approches d'ordonnancement des applications soumises au contrainte de temps de réponse incluent le temps de réponse dans leurs objectifs d'optimisation. Nous introduisons plusieurs algorithmes basés sur des heuristiques qui traitent différentes versions du problème : l'ordonnancement statique tenant compte que des ressources de calcul et réseau, l'ordonnancement statique tenant compte à la fois des ressources et de la contrainte de temps de réponse, et l'ordonnancement dynamique qui prend en compte le déploiement actuel de l'application et des ressources disponibles. Enfin, nous évaluons de [...]
Data stream processing and analytics (DSPA) applications are widely used to process the ever increasing amounts of data streams produced by highly geographically distributed data sources, such as fixed and mobile IoT devices, in order to extract valuable information in a timely manner for actuation. DSPA applications are typically deployed in the Cloud to benefit from practically unlimited computational resources on demand. However, such centralized and distant computing solutions may suffer from limited network bandwidth and high network delay. Additionally, data propagation to the Cloud may compromise the privacy of sensitive data. To effectively handle this volume of data streams, the emerging Edge/Fog computing paradigm is used as the middle-tier between the Cloud and the IoT devices to process data streams closer to their sources and to reduce the network resource usage and network delay to reach the Cloud. However, Edge/Fog computing comes with limited computational resource capacities and requires deciding which part of the DSPA application should be performed in the Edge/Fog layers while satisfying the application response time constraint for timely actuation. Furthermore, the computational and network resources across the Edge-Fog-Cloud architecture can be shareable among multiple DSPA (and other) applications, which calls for efficient resource usage. In this PhD research, we propose a new model for assessing the usage cost of resources across the Edge-Fog-Cloud architecture. Our model addresses both computational and network resources and enables dealing with the trade-offs that are inherent to their joint usage. It precisely characterizes the usage cost of resources by distinguishing between abundant and constrained resources as well as by considering their dynamic availability, hence covering both resources dedicated to a single DSPA application and shareable resources. We complement our system modeling with a response time model for DSPA applications that takes into account their windowing characteristics. Leveraging these models, we formulate the problem of scheduling streaming operators over a hierarchical Edge-Fog-Cloud resource architecture. Our target problem presents two distinctive features. First, it aims at jointly optimizing the resource usage cost for computational and network resources, while few existing approaches have taken computational resources into account in their optimization goals. More precisely, our aim is to schedule a DSPA application in a way that it uses available resources in the most efficient manner. This enables saving valuable resources for other DSPA (and non DSPA) applications that share the same resource architecture. Second, it is subject to a response time constraint, while few works have dealt with such a constraint; most approaches for scheduling time-critical (DSPA) applications include the response time in their optimization goals. To solve our formulated problem, we introduce several heuristic algorithms that deal with different versions of the problem: static resource-aware scheduling that each time calculates a new system deployment from the outset, time-aware and resource-aware scheduling, dynamic scheduling that takes into account the current deployment. Finally, we extensively and comparatively evaluate our algorithms with realistic simulations against several baselines that either we introduce or that originate / are inspired from the existing literature. Our results demonstrate that our solutions advance the current state of the art in scheduling DSPA applications

On étudie des opérateurs linéaires et continus sur l'espace X=l_infty/c_O et des espaces liés. On commence par examiner des opérateurs T:X → X. On s'intéresse à la possibilité de représenter ses fragments de la forme T_{B,A}:l_infty(A)/c_0(A)→, l_infty(B)/c_0(B), pour A,B C̱ N infinis, par des applications de l_infty(A) dans l_infty(B), des matrices AxB, des fonctions continues de B^*=βB\B dans A^ *, ou des bijections de B dans A. On montre plusieurs exemples. On définit et on étudie de nouvelles classes d'opérateurs. Pour certaines d'entre elles on obtient des représentations satisfactoires. Pour d'autres classes, on montre que c'est impossible. On montre des automorphismes de X qui ne se relèvent pas à des opérateurs sur l_infty et on montre que sous OCA+MA tout automorphisme sans fontaines ou sans entonnoirs est induit par une bijection localement (au sens qu'on vient de spécifier). Cet axiome supplémentaire est nécessaire, comme témoignent des contre-exemples de plusieurs types construits avec HC. Ensuite, on regarde les plongements isomorphiques de l_infty(X) dans X. On démontre que sous PFA la structure locale des opérateurs de chaque coordonnée a une grande influence sur l'opérateur original, ce qui entraîne l'impossibilité de plonger l_infty(X) dans X sous PFA par des opérateurs dans plusieurs classes bien connues. Cela contraste avec la construction de Drewnowski et Roberts d'un tel plongement sous HC comme opérateur de composition. Finalement, on présente une démonstration moderne d'une version améliorée d'un résultat de Kadec et Pelczyński sur des séquences de mesures de Radon. On montre des applications de ce résultat aux opérateurs sur X
We investigate linear bounded operators on X=l_infty/c_O and related spaces. We begin by studying operators T:X→X focusing on the possibility of representing their fragments of the form T_{B,A}:l_infty(A)/c_0(A)→, l_infty(B)/c_0(B) for A,BCN infinite by means of operators from Linfty(A) into l_infty(B), infinite AxB-matrices, continuous maps from B^*=βB\B into A^*, or bijections from B to A. We present many examples, introduce and investigate several classes of operators; for some we obtain satisfactory representations and for others we show that it is impossible. We show that there are automorphisms of X which cannot be lifted to operators on l_infty and assuming OCA+MA we show that every automorphism of X with no fountains or with no funnels is locally, i. E. , for some infinite A,B C̱N as above, induced by a bijection from B to A. This additional set-theoretic assumption is necessary as we show that the Continuum Hypothesis implies the existence of counterexamples of diverse flavours. Later, we look into isomorphic embeddings of the l_infty-sum of X into X. We show that under PFA the localstructure of the induced coordinate operators has great influence over the original operator. As an application, we show the impossibility under PFA of embedding Linfty(X) into X by means of some well-known classes of operators, contrasting with Drewnowski and Roberts' construction under CH of such an embedding as a composition operator. Finally, we present a modem proof of a slightly improved version of a result by Kadec and Pelczyński on sequences of Radon measures. We show an application of this resuit to operators from X into itself

On étudie les propriétés dynamiques et spectrales de deux types d'opérateurs de Schrödinger à valeurs matricielles. Le premier est un modèle d'Anderson, le second un modèle d'interactions ponctuelles. On prouve l'absence de spectre absolument continu pour ces deux opérateurs en prouvant la séparabilité de leurs exposants de Lyapounov, puis on étudie la régularité des exposants de Lyapounov et de la Densité d'Etats Intégrée associées à ces opérateurs. On prouve que ces deux quantités sont Hölder continues.

Cette thèse porte sur l’étude du modèle relativiste de la molécule de polyacétylène dans sa version discrète et son approximation continue. Nous appliquons des techniques introduites par Kennedy et Lieb, et par Hainzl, Lewin, Séré et Solovej pour résoudre des problèmes du même type en Electrodynamique Quantique. Dans la première partie, nous étudions le modèle continu du polyacétylène. Pour contourner le fait que l’opérateur de Dirac n’est pas borné inférieurement, nous définissons un modèle périodique sur un intervalle de taille L > 0 et nous introduisons un cut-off ultraviolet en espace de Fourier. Nous prouvons l’existence et l’unicité des états fondamentaux de ce système périodique et nous montrons que les minimiseurs sont invariants par translations. Puis, nous étudions la limite thermodynamique lorsque la période L tend vers l’infini et définissons ainsi les états fondamentaux dans le cas général ainsi que l’énergie par unité de longueur. La seconde partie est consacrée a l’étude du modèle discret introduit par Su, Schrieffer et Heeger. Nous définissons également un problème périodique pour obtenir un Hamiltonien borné inférieurement. Nous présentons une démonstration différente de celle donnée par Kennedy et Lieb du fait que la configuration dimérisée de la molécule minimise l’énergie. Notre approche est constructive et donne des formules explicites pour les minimiseurs globaux et l’énergie fondamentale. Finalement, nous prouvons l’existence des états d’équilibre de type kink pour une molécule infinie
This thesis is devoted to the study of the relativistic model of the molecule of polyacetylene in its discrete version and continuous approximation. We apply some techniques introduced by Kennedy and Lieb, and by Hainzl, Lewin, Séré and Solovej to solve similar type problems in QED. In the first part, we study the continuous model of polyacetylene. To deal with the fact that the Dirac operator is not bounded from below, we define a periodic model on an interval of size L > 0 and we introduce an ultraviolet cut-off in Fourier space. We prove the existence and uniqueness of fundamental states of this periodic system and we show that the minimizers are translation-invariant. Then we study the thermodynamic limit when the period L goes to infinity and we define the fundamental states in the general case as well as the energy per length unit. The second part is devoted to the study of the discrete model introduced by Su, Schrieffer and Heeger. We also define a periodic problem to obtain a Hamiltonian bounded from below. We present a different proof from that given by Kennedy and Lieb of the fact that the dimerized configuration of the molecule minimizes the energy. Our approach is constructive and produces explicit formulas for the global minimizers and the fundamental energy. Finally, we prove the existence of kink type equilibrium states of an infinite molecule

Une démarche pour la conception de ce type d'interfaces est proposée. Elle s'appuie sur une modélisation de la coopération entre l'opérateur et le système d'aide à la décision. Cette approche met en évidence la nécessite de résoudre les situations de conflit lorsque les démarches de résolution de problème de deux "décideurs potentiels", aboutissent à des résultats différents.

Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés. Nous considérons tout d'abord des systèmes en cascade d'équations paraboliques de la forme ∂t −(∂xγ∂x +q). La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de φ(h) contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions γ et q. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d'espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d'une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est φ(h) contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu. Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l'équation de Grushin posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L'étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d'équations paraboliques, traitée, ici encore, à l'aide de la méthode des moments
In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems. We first consider cascade systems of parabolic equations of the form ∂t −(∂xγ∂x +q). The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and φ(h) null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions γ and q. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano's procedure. In this framework, we prove φ(h) null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem. In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin's equation defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method

Les objets étudiés dans cette thèse sont des algorithmes de calcul de pgcd. Nous effectuons dans cette thèse des analyses probabilistes de plusieurs de ces algorithmes : les algorithmes alpha-euclidiens, l'algorithme LSB et l'algorithme de Lehmer-Euclide. Nous obtenons des résultats précis sur le comportement moyen de toute une gamme de paramètres, entre autres le nombre d'itérations et la complexité en bits. Les techniques employées sont celles de l'analyse dynamique d'algorithmes, et les analyses effectuées dans cette thèse permettent d'élargir le champ d'application de cette méthodologie. En particulier, nous étudions des systèmes dynamiques à branches non surjectives, des systèmes dynamiques définis sur l'ensemble des nombres p-adiques ou encore des systèmes de fonctions itérées. Ces analyses impliquent une étude très précise des opérateurs de Perron-Frobenius et des opérateurs de transfert associés à ces systèmes. En particulier, le comportement probabiliste des algorithmes est relié aux propriétés spectrales de ces opérateurs. Nous analysons également l'évolution des principaux paramètres des algorithmes au cours de leur execution, ce qui conduit à une étude précise des algorithmes d'Euclide interompus.

Les objets étudiés dans cette thèse sont des algorithmes de calcul de pgcd. Nous effectuons dans cette thèse des analyses probabilistes de plusieurs de ces algorithmes : les algorithmes alpha-euclidiens, l'algorithme LSB et l'algorithme de Lehmer-Euclide. Nous obtenons des résultats précis sur le comportement moyen de toute une gamme de paramètres, entre autres le nombre d'itérations et la complexité en bits. Les techniques employées sont celles de l'analyse dynamique d'algorithmes, et les analyses effectuées dans cette thèse permettent d'élargir le champ d'application de cette méthodologie. En particulier, nous étudions des systèmes dynamiques à branches non surjectives, des systèmes dynamiques définis sur l'ensemble des nombres p-adiques ou encore des systèmes de fonctions itérées. Ces analyses impliquent une étude très précise des opérateurs de Perron-Frobenius et des opérateurs de transfert associés à ces systèmes. En particulier, le comportement probabiliste des algorithmes est relié aux propriétés spectrales de ces opérateurs. Nous analysons également l'évolution des principaux paramètres des algorithmes au cours de leur execution.

Dans cette thèse, nous faisons l'analyse en moyenne de trois types de problèmes de l'arithmétique et de la théorie de l'information pour lesquels le mot est l'objet central. Tous ces problèmes se distinguent les uns des autres par la manière dont le mot est considéré. Le mot est étudié en tant que tel dans le premier problème où l'on étudie le nombre moyen d'occurrences d'un motif fixé dans un texte. La seconde étude concerne des structures arborescentes, les tries et les PATRICIA tries, qui sont parfaitement adaptées pour la manipulation de dictionnaires de mots. Dans la troisième catégorie de problèmes, le mot apparaît comme la trace de l'exécution d'un algorithme arithmétique du type algorithme euclidien. Le modèle probabiliste de création des mots est celui des s̀̀ources dynamiques''. C'est un cadre suffisamment général pour englober toutes les sources de mots classiques --même les sources dont les symboles sont très corrélés--, mais qui permet tout de même d'avoir une bonne expressivité des constantes qui apparaissent lors de l'étude. Les expressions obtenues font apparaître des objets caractéristiques de la source comme l'entropie ou la probabilité de coi͏̈ncidence. Tous les résultats sont dérivés des propriétés spectrales d'opérateurs de transfert du type opérateurs de Ruelle qui sont liés à la source.

L'analyse dynamique intègre des outils propres aux systèmes dynamiques (comme l'opérateur de transfert) au cadre de la combinatoire analytique, et permet ainsi l'analyse d'un grand nombre d'algorithmes et objets qu'on peut associer naturellement à un système dynamique. Dans ce manuscrit de thèse, nous présentons, dans la perspective de l'analyse dynamique, l'étude probabiliste de plusieurs problèmes qui semblent à priori bien différents : l'analyse probabiliste de la fonction de récurrence des mots de Sturm, et l'étude probabiliste de l'algorithme du “logarithme continu”. Les mots de Sturm constituent une famille omniprésente en combinatoire des mots. Ce sont, dans un sens précis, les mots les plus simples qui ne sont pas ultimement périodiques. Les mots de Sturm ont déjà été beaucoup étudiés, notamment par Morse et Hedlund (1940) qui en ont exhibé une caractérisation fondamentale comme des codages discrets de droites à pente irrationnelle. Ce résultat relie ainsi les mots de Sturm au système dynamique d'Euclide. Les mots de Sturm n'avaient jamais été étudiés d'un point de vue probabiliste. Ici nous introduisons deux modèles probabilistes naturels (et bien complémentaires) et y analysons le comportement probabiliste (et asymptotique) de la “fonction de récurrence” ; nous quantifions sa valeur moyenne et décrivons sa distribution sous chacun de ces deux modèles : l'un est naturel du point de vue algorithmique (mais original du point de vue de l'analyse dynamique), et l'autre permet naturellement de quantifier des classes de plus mauvais cas. Nous discutons la relation entre ces deux modèles et leurs méthodes respectives, en exhibant un lien potentiel qui utilise la transformée de Mellin. Nous avons aussi considéré (et c'est un travail en cours qui vise à unifier les approches) les mots associés à deux familles particulières de pentes : les pentes irrationnelles quadratiques, et les pentes rationnelles (qui donnent lieu aux mots de Christoffel). L'algorithme du logarithme continu est introduit par Gosper dans Hakmem (1978) comme une mutation de l'algorithme classique des fractions continues. Il calcule le plus grand commun diviseur de deux nombres naturels en utilisant uniquement des shifts binaires et des soustractions. Le pire des cas a été étudié récemment par Shallit (2016), qui a donné des bornes précises pour le nombre d'étapes et a exhibé une famille d'entrées sur laquelle l'algorithme atteint cette borne. Dans cette thèse, nous étudions le nombre moyen d'étapes, tout comme d'autres paramètres importants de l'algorithme. Grâce à des méthodes d'analyse dynamique, nous exhibons des constantes mathématiques précises. Le système dynamique ressemble à première vue à celui d'Euclide, et a été étudié d'abord par Chan (2005) avec des méthodes ergodiques. Cependant, la présence des puissances de 2 dans les quotients change la nature de l'algorithme et donne une nature dyadique aux principaux paramètres de l'algorithme, qui ne peuvent donc pas être simplement caractérisés dans le monde réel.C'est pourquoi nous introduisons un nouveau système dynamique, avec une nouvelle composante dyadique, et travaillons dans ce système à deux composantes, l'une réelle, et l'autre dyadique. Grâce à ce nouveau système mixte, nous obtenons l'analyse en moyenne de l'algorithme
Dynamical Analysis incorporates tools from dynamical systems, namely theTransfer Operator, into the framework of Analytic Combinatorics, permitting the analysis of numerous algorithms and objects naturally associated with an underlying dynamical system.This dissertation presents, in the integrated framework of Dynamical Analysis, the probabilistic analysis of seemingly distinct problems in a unified way: the probabilistic study of the recurrence function of Sturmian words, and the probabilistic study of the Continued Logarithm algorithm.Sturmian words are a fundamental family of words in Word Combinatorics. They are in a precise sense the simplest infinite words that are not eventually periodic. Sturmian words have been well studied over the years, notably by Morse and Hedlund (1940) who demonstrated that they present a notable number theoretical characterization as discrete codings of lines with irrationalslope, relating them naturally to dynamical systems, in particular the Euclidean dynamical system. These words have never been studied from a probabilistic perspective. Here, we quantify the recurrence properties of a ``random'' Sturmian word, which are dictated by the so-called ``recurrence function''; we perform a complete asymptotic probabilistic study of this function, quantifying its mean and describing its distribution under two different probabilistic models, which present different virtues: one is a naturaly choice from an algorithmic point of view (but is innovative from the point of view of dynamical analysis), while the other allows a natural quantification of the worst-case growth of the recurrence function. We discuss the relation between these two distinct models and their respective techniques, explaining also how the two seemingly different techniques employed could be linked through the use of the Mellin transform. In this dissertation we also discuss our ongoing work regarding two special families of Sturmian words: those associated with a quadratic irrational slope, and those with a rational slope (not properly Sturmian). Our work seems to show the possibility of a unified study.The Continued Logarithm Algorithm, introduced by Gosper in Hakmem (1978) as a mutation of classical continued fractions, computes the greatest common divisor of two natural numbers by performing division-like steps involving only binary shifts and substractions. Its worst-case performance was studied recently by Shallit (2016), who showed a precise upper-bound for the number of steps and gave a family of inputs attaining this bound. In this dissertation we employ dynamical analysis to study the average running time of the algorithm, giving precise mathematical constants for the asymptotics, as well as other parameters of interest. The underlying dynamical system is akin to the Euclidean one, and was first studied by Chan (around 2005) from an ergodic, but the presence of powers of 2 in the quotients ingrains into the central parameters a dyadic flavour that cannot be grasped solely by studying this system. We thus introduce a dyadic component and deal with a two-component system. With this new mixed system at hand, we then provide a complete average-case analysis of the algorithm by Dynamical Analysis

Le calcul approximé est une technique de calcul efficace en énergie et reposant sur l'exploitation de la tolérance à l'imprécision d'une application. Développé pour faire face à la fin de la loi de Moore, il répond à une demande croissante en capacité de calcul. Les techniques d'approximation ont été proposées à différents niveaux d'abstraction, du circuit au système. Cette thèse porte sur le développement de méthodes et outils permettant d'évaluer rapidement l'impact des différentes techniques d’approximation sur la qualité du résultat en sortie d'une application. L'étude des erreurs induites est essentielle pour utiliser ces approximations dans l'industrie. Deux niveaux d’approximation ont été considérés, le niveau matériel avec l'étude des opérateurs arithmétiques inexacts et le niveau des données avec l'étude de l'arithmétique virgule fixe. Premièrement, des méthodes efficaces de caractérisation basées simulation ont été proposées pour obtenir des statistiques sur les erreurs induites par l'approximation considérée. Les statistiques inférentielles ont été utilisées pour quantifier le nombre d’observations nécessaires pour estimer le statistiques de l’erreur et ainsi réduire le temps d’évaluation. Les méthodes de caractérisation proposées sont basées sur des simulations adaptatives et caractérisent l'erreur d'approximation de façon statistique selon les exigences de confiance définies par l'utilisateur. Ensuite, les métriques d'erreur obtenues ont été reliées à la métrique de qualité de l'application. Pour les opérateurs inexacts, un simulateur a été conçu pour le processus d’exploration de l’espace d’approximation pour sélectionner la meilleure pour l’application considérée. Pour la virgule fixe, le modèle d’erreur a été intégré à un algorithme de raffinage pour déterminer la largeur optimisée des variables de l’application. Les résultats de cette thèse proposent des méthodes concrètes pour faciliter la mise en œuvre du calcul approximé dans les applications industrielles, accélérant les méthodes proposées dans l’état de l’art de un à trois ordres de grandeur
Approximate Computing is an energy- aware computing technique that relies on the exploitation of the tolerance to imprecision of an application. Developed to face the end of Moore’s law, it answers the growing demand in computing capacity. Approximation techniques have been proposed at different abstraction levels, from circuit to system level. This thesis focuses on the development of methods and tools to quickly evaluate the impact of different Approximate Computing techniques on the application quality metric. The study of the induced errors is critical to use approximations in the industry. Approximate Computing techniques have been considered at two different levels, the hardware level with the study of inexact arithmetic operators and the data level with the study of fixed-point arithmetic. First, efficient simulation-based characterization methods have been proposed to derive statistics on the errors induced by the considered approximation. Inferential statistics have been proposed to reduce the time for error characterization. The proposed characterization methods are based on adaptive simulations and statistically characterizes the approximation error according to user-defined confidence requirements. Then, the obtained error metrics are linked with the application quality metric. For inexact operators, a simulator has been proposed for the approximation design space exploration process to select the best approximation for the considered application. For fixed-point arithmetic, the proposed error model has been implemented in a fixed-point refinement algorithm to determine the optimized word-lengths of the internal variables in an application. The results of this thesis are proposing concrete methods to ease the implementation of Approximate Computing in industrial applications, speeding up state-of-the-art methods from one to three orders of magnitude

Cette thèse est dédiée à l'analyse probabiliste d'algorithmes de réduction des réseaux euclidiens. Un réseau euclidien est l'ensemble de combinaisons linéaires à coefficients entiers d'une base (b_1,..., b_n ) \subset R^n. La réduction d'un réseau consiste a en trouver une base formée de vecteurs assez courts et assez orthogonaux, à partir d'une base donnée en entrée. Le célèbre algorithme LLL résout ce problème de manière efficace en dimension arbitraire. Il est très utilisé, mais mal compris. Nous nous concentrons sur son analyse dans le cas n = 2, où LLL devient l'algorithme de Gauss, car cette instance est une brique de base pour le cas n>= 3. Nous analysons précisément l'algorithme de Gauss, tant du point de vue de son exécution (nombre d'itérations, complexité binaire, coûts "additifs") que de la géométrie de la base de sortie (défaut d'Hermite, premier minimum et deuxième minimum orthogonalisé). Nous travaillons dans un modèle probabiliste très général, qui permet d'étudier aussi bien les instances faciles que les instances difficiles. Ce modèle nous a permis d'étudier la transition vers l'algorithme d'Euclide, qui correspond au cas où les vecteurs de la base d'entrée sont colinéaires. Nous utilisons des méthodes dynamiques : les algorithmes sont vus comme des systèmes dynamiques, et les séries génératrices concernées s'expriment en fonction de l'opérateur de transfert. Ces résultats très précis en dimension 2 sont une première étape pour l'analyse de l'algorithme LLL dans le cas général.

L'étude et l'introduction de nouveaux systèmes dynamiques
de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le
caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de
nombreux domaines en mathématiques : optimisation,
mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.

Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels
de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières.
La motivation essentielle est d'obtenir
des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser
une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre
d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses
méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,
méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de
la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des
résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours
dans cette
perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:
elles permettent d'une part de donner lieu à des structures
riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une
propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part,
elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant
pour l'étude de certaines équations d'évolution de type
parabolique.

La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes
dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique
de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation
et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes
sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains
phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,
il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent
d'obtenir à la limite des dynamiques
satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les
perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche
alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type
hyperbolique.


L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question
de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le
cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux
résultats sont proposés : convergence globale, ,
vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des
minima sous contraintes en dimension infinie.