Tesis sobre el tema "Intégrale de Riemann"

En tomographie par impedance electrique (eit), la densite de courant presente au bord des electrodes fixees a l'objet des pics tres pointus aux derivees infinies. Ce comportement singulier est, mathematiquement, la consequence directe du fait que on a a resoudre des equations integrales a noyau faiblement singulier (ayant des singularites logarithmiques). A defaut d'un traitement analytique adequat, l'existence de ces singularites demande un maillage extremement fin pres du bord de l'objet et cela augmente enormement les temps d'obtention d'images internes sur ordinateur. Dans ce travail, nous obtenons une parametrisation analytique simple des singularites de la solution avant meme de proceder a la resolution des equations integrales faiblement singulieres. Pour cela, nous faisons une etude complete de la structure des feuillets riemanniens des fonctions propres du noyau logarithmique, et nous etudions les conditions de convergence des series asymptotiques decrivant la solution. Cela conduit a une description des singularites seulement a l'aide d'un petit nombre de parametres. La methode mise en place est similaire a celle utilisee pour l'etude des seuils anomaux rencontres dans la physique des particules elementaires. Elle peut etre generalisee sans difficulte a d'autres noyaux faiblement singuliers.

Les développements actuels de la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles font apparaître la nécessité d'apporter des précisions aux transformations de base A et B. La première partie de cette thèse constitue une étude complète de la transformation B simple; le cas des sommes d'exponentielles avec paramètre est également étudié. Dans la deuxième partie, nous étudions un nouveau procédé de majoration pour les sommes simples d'exponentielles qui consiste à adapter la méthode de Fouvry et Iwaniec à celle de Van der Corput. Les résultats obtenus viennent compléter un tableau de Huxley. Enfin, la troisième partie reprend en détail le lemme de la phase stationnaire, le résultat obtenu donne une estimation (probablement) optimale pour les moyennes d'intégrales oscillantes en vue d'applications à la transformation B simple, double et multiple
In modern methods for analytic exponential sums theory, the A and B Van der Corput's process occur in various forms where more accuracy is needed. The' first part of this thesis achieves a complete study of B process for single exponential sums or sums with a parameter. In the second part, Fouvry and Iwaniec's method for multiple exponential sums with monomial is combined with A and B Van der Corput's process to get new bounds for single exponential sums which complete Huxley's table. The third part gives an accurate estimation for single oscillating integrals when the critical point is close to the endpoints of the integration interval which applies to mean values of oscillating integrals such as those that occur in the study of multiple B transform

Pour un feuilletage riemannien singulier, on definit une notion d'integrabilite transverse. Dans le cas singulier cette notion correspond a l'existence de sections generalisees. Cette construction s'applique en particulier au cas des actions de groupes compacts permettant de generaliser les travaux anterieurs de l. Conlon, szenthe, palais-terng. D'autre part on aboutit a un theoreme de decomposition generalisant celui donne par r. Blumenthal et j. Hebda dans le cas regulier. Enfin, on donne une methode de construction de modeles locaux satures de feuilles

Soit D un domaine de Cn , n>1, borné, convexe et de type fini m. Pour q=1,. . . ,n-1, nous construisons un opérateur T*q tel que pour toute forme ∫ de Ck0,q(D)̄, ð-̄fermée, T*q∫ soit de régularité Ck+1/m sur D ̄et satisfasse ðT̄*q∫ = ∫ et [[T*q∫]]k+1/m<_ck[[∫]]k, ck ne dépendant pas de ∫. Ce résultat étend des travaux de I. Lieb et R. M. Range sur les domaines strictement pseudoconvexe. T*q est un opérateur intégral basé sur la fonction de support de K. Diederich et J. E. Fornaess. Nous estimons les dérivées de T*q∫ avec les bases -extrémales de McNeal dont nous améliorons certaines propriétés lors de dérivations dans la direction normale au bord. Ensuite, pour q=1,. . . , n-1, nous construisons un opérateur Tbq tel que si [∫] est la classe d'équivalence d'une (0,q)-forme ∫ de régularité Ck au voisinage du bord de D, alors Tbq[∫] est de régularité Ck1/m, [[Tbq[∫]]]k+1/m<_ck[[[∫]]]k et, sous les conditions usuelles lorsque q=n-1, [∫] = ðb̄Tq[∫]+ Tbq+1ðb̄[∫]. Cette construction généralise des résultats G. M. Henkin sur les domaines strictement pseudoconvexes.

Dans cette thèse, nous nous intéressons a la résolution de problèmes de contrôle optimal associés a des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps et a données incomplètes, ou les dérivées sont prises au sens de Riemann-Liouville
In this thesis, we are interested in the résolution of optimal control problems associated to fractional diffusion-wave equations in time with incomplete data, and where derivatives are understood in Riemann-Liouville sense

Nous cherchons les métriques sur le tore qui minimisent la "complexité". L'entropie topologique pouvant s'annuler, nous cherchons les minimums de l'entropie polynomiale parmi des systèmes géodésiques à entropie nulle : les métriques plates, et les métriques pour lesquelles le flot géodésique admet une intégrale première non dégénérée au sens de Bott. Dans un premier temps, nous calculons l'entropie polynomiale des systèmes hamiltonien intégrable au sens de Bott avec une condition de cohérence dynamique supplémentaire. Un tel système vit sur un niveau d'énergie compact de dimension 3 d'une variété symplectique de dimension 4. Nous montrons que l'entropie polynomiale ne peut prendre que les valeurs 0,1 ou 2. Ensuite, nous montrons que l'entropie polynomiale d'un système géodésique sur une variété riemannienne compacte M est minorée par le degré de croissance polynomiale du groupe fondamental de M moins 1. De là , nous déduisons que les métriques plates sur les tores minimisent l'entropie polynomiale. Enfin, nous montrons que, parmi les systèmes géodésiques sur le tore de dimension 2 qui sont Bott-intégrables et dynamiquement cohérents, les métriques plates sont des minimums stricts locaux de l'entropie polynomiale

Au cours de ces dernières années, les matrices de covariance ont montré leur intérêt dans de nombreuses applications en traitement du signal et de l'image.Les travaux présentés dans cette thèse se concentrent sur l'utilisation de ces matrices comme descripteurs pour la classification. Dans ce contexte, des algorithmes robustes de classification sont proposés en développant les aspects suivants.Tout d'abord, des estimateurs robustes de la matrice de covariance sont utilisés afin de réduire l'impact des observations aberrantes. Puis, les distributions Riemannienne Gaussienne et de Laplace, ainsi que leur extension au cas des modèles de mélange, sont considérés pour la modélisation des matrices de covariance.Les algorithmes de type k-moyennes et d'espérance-maximisation sont étendus au cas Riemannien pour l'estimation de paramètres de ces lois : poids, centroïdes et paramètres de dispersion. De plus, un nouvel estimateur du centroïde est proposé en s'appuyant sur la théorie des M-estimateurs : l'estimateur de Huber. En outre,des descripteurs appelés vecteurs Riemannien de Fisher sont introduits afin de modéliser les images non-stationnaires. Enfin, un test d'hypothèse basé sur la distance géodésique est introduit pour réguler la probabilité de fausse alarme du classifieur.Toutes ces contributions sont validées en classification d'images de texture, de signaux du cerveau, et d'images polarimétriques radar simulées et réelles
In the recent years, covariance matrices have demonstrated their interestin a wide variety of applications in signal and image processing. The workpresented in this thesis focuses on the use of covariance matrices as signatures forrobust classification. In this context, a robust classification workflow is proposed,resulting in the following contributions.First, robust covariance matrix estimators are used to reduce the impact of outlierobservations, during the estimation process. Second, the Riemannian Gaussianand Laplace distributions as well as their mixture model are considered to representthe observed covariance matrices. The k-means and expectation maximization algorithmsare then extended to the Riemannian case to estimate their parameters, thatare the mixture's weight, the central covariance matrix and the dispersion. Next,a new centroid estimator, called the Huber's centroid, is introduced based on thetheory of M-estimators. Further on, a new local descriptor named the RiemannianFisher vector is introduced to model non-stationary images. Moreover, a statisticalhypothesis test is introduced based on the geodesic distance to regulate the classification false alarm rate. In the end, the proposed methods are evaluated in thecontext of texture image classification, brain decoding, simulated and real PolSARimage classification

Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans la région [. . . ]. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module q fixé possèdent une région sans zéro à gauche de l'axe Rs=1 de la forme : [. . . ]. À l'exception d'au plus d'une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone. De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros proches de l'axe réel dans la région [. . . ]. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme {a+nq}.

Les distributions intégrables (feuilletages) totalement géodésiques ont fait, depuis le début du siècle, l'objet d'importants travaux (J. Hadamard 1901. . . Et récemment Ghys et Carriere 1982). Par contre une approche aux distributions non intégrables totalement géodésiques se cantonait dans des problèmes très spécifiques (E. Cartan s'était préoccupé de trouver des distributions totalement géodésiques de codimension 1 de l'espace projectif, Petrescu et Yano ont de leur côté regardé ce problème mais dans le cadre général des connexions). On comprend rapidement qu'une étude liée à la classification (soit-elle locale ou globale) de telles distributions soit difficile à développer. Le cas des distributions intégrables est facilité par l'existence (du moins locale) de modèles, à isomorphisme près, que l'on n'a pas dans le cas non intégrable. On se propose dans cette thèse, de décrire entièrement certaines situations particulièrement intéressantes qui doivent permettre d'aborder ces problèmes de classification: par exemple on considère le cas où la distribution non intégrable est de classe maximale

Cette thèse a pour but l’étude de deux réseaux de Toda périodiques duaux avec deux degrés de liberté, ceux qui sont associés aux algèbres de Lie affine d3(2) et c2(1). Pour chacun de ces systèmes, nous démontrons d’abord son intégralité algébrique. Ceci permet ensuite d’ utiliser de la géométrie algébrique pour décrire les surfaces invariantes génériques, leur compactification en tant que variétés abéliennes, la configuration des courbes à l’infini. Comme application, nous démontrons dans le premier cas une caractérisation des surfaces invariantes génériques comme jacobiennes de surfaces de Riemann de genre 2, un morphisme vers le système de Mumford et une nouvelle équation de Lax, qui permet d’écrire la solution explicite en termes de fonctions thêta. Pour le deuxième cas, nous démontrons que les surfaces invariantes génériques sont des variétés abéliennes polarisées de type (1,2), que nous caractérisons comme des variétés de Prym, associées à des surfaces de Riemann de genre 3, munies d’une involution
This thesis deals with the study of two periodic Toda lattices with two degrees of freedom, namely those which are associated to affine Lie algebras. For each of these systems, we first show its algebraic integrability. This allows us to use methods of algebraic geometry to describe its generic invariant surfaces, their compacification as Abelian varieties, the configuration and the singularities of the curves at infinity. As an application, we obtain in the first case a characterisation of the generic invariant surfaces as jacobians of Riemann surfaces of genus two, a morphism to Mumford system and a new Lax equation, which allows us to give the explicit solution in terms of theta functions. For the second case, we show that the invariant surfaces are (1,2) polarized Abelian varieties, that we characterize as Prym varieties associated to Riemann surfaces of genus three, admitting an involution

L'objet de la these est l'etude quantitative dans un domaine borne d strictement pseudo-convexe de 3 problemes d'analyse: la resolution avec estimations de l'equation de cauchy-riemann et le controle de la croissance au bord dans les deux problemes d'extension et de division holomorphes relatifs au couple (d, v) ou la variete v, ensemble des zeros communs a k fonctions f#1,. . . , f#k holomorphes dans d est transverse au bord de d. Dans une premiere partie sont prouvees tout d'abord des estimations en termes de mesures de carleson pour une solution de type berndtsson-andersson de l'equation de cauchy-riemann. En application, il est donne pour une fonction de l'espace de hardy h#p(d), p fini. Enfin, pour une fonction de l'ideal d'annulation de v, soit h=h#1f#1+. . . H#kf#k, les facteurs h#i, donnes par des operateurs de b. Berndtsson, sont estimes dans des classes de lipschitz. Les 3 problemes abordes possedent des solutions canoniques etudiees dans la seconde partie de la these. Un developpement asymptotique est exhibe pour les operateurs d'extension minimale d'espaces de bergman a poids sur v dans celui de bergman a#2(d) ou de hardy h#2(d). Des estimations l#p au bord (p fini) sont obtenues pour la solution canonique de l'equation de cauchy-riemann pour les (0,1) formes, via une comparaison des projecteurs de bergman et de szego pour p different de 1, a l'aide, pour p=1, d'un developpement asymptotique de an, ou n est l'operateur de neumann, a l'adjoint de celui de cauchy-riemann

L'objectif de cette thèse est, d'une part, de fournir des méthodes de planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes, et d'autre part, d'étudier la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées. Nous avons apporté une double contribution au problème de la planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes. Fondé sur la géométrie sous-riemannienne, nous avons conçu un nouvel algorithme qui résout complètement le problème dans un cadre général. Nous avons également proposé une implémentation numérique de la méthode de continuation qui fournit des solutions satisfaisantes au problème de la planification du roulement sur le plan, un exemple classique de systèmes non-holonomes à deux entrées. Nous avons donné des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité spectrale en temps fini des équations de Schrödinger linéarisées en dimension 2 et 3. Leur généricité par rapport au domaine a été étudiée par une technique originale basée sur les équations intégrales.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes : le changement de signe des sommes de Kloosterman Kl(1,1;n) pour n entier ayant peu de facteurs premiers, et les petits écarts entre nombres premiers non consécutifs. Dans le premier chapitre, on améliore un résultat de Fouvry-Michel en itérant une fois le crible étrange qu'ils ont introduit, afin d'obtenir une minoration. Ceci permet de démontrer que Kl(1,1;n) change une infinité de fois de signe sur l'ensemble des n dont tous les facteurs premiers sont supérieurs à n^(1/22. 29) (au lieu de 23. 9). Dans le deuxième chapitre, on introduit la loi de Sato-Tate verticale dans le crible asymptotique. Ceci entraîne de nouvelles difficultés pour traiter les termes d'erreur ; on les résout grâce au théorème de Barban-Davenport-Halberstam. On démontre le résultat suivant : Kl(1,1;n) change une infinité de fois de signe sur l'ensemble des n sans facteur carré ayant au plus 18 facteurs premiers (au lieu de 23 pour F-M). Pour cela, on calcule (à l'aide de la méthode des résidus) des intégrales quintuples de fractions rationnelles en la fonction zeta de Riemann. On a mené ce calcul de manière très générale dans un lemme technique, qui fait l'objet du troisième chapitre. Le quatrième chapitre concerne aussi le calcul de telles intégrales n'entrant pas dans le cadre précédent. Ces intégrales apparaissent dans les travaux de Goldston et Yildirim sur les corrélations multiples de la fonction de Von Mangoldt tronquée. En combinant cette approche avec celle de Maier, on améliore la meilleure majoration connue (due à Maier) de liminf (p_(n+r)-p_n)/(log p_n) quand r ≥2 (où p_n désigne le n-ième nombre premier)
In this thesis, we deal with two problems : sign changes of Kloosterman's sums Kl(1,1;n) for n with few prime factors, and small gaps between non-consecutive primes. In the first chapter, we improve on a result of Fouvry-Michel by iterating once the strange sieve they have introduced, in order to get a lower bound. This allows us to prove that Kl(1,1;n) changes sign infinitely often on the set of all n whose prime factors are greater that n^(1/22. 29) (instead of 23. 9). In the second chapter, we introduce Sato-Tate's vertical law into the asymptotic sieve. This implies new problems to deal with error terms ; we solve them using Barban-Davenport-Halberstam's theorem. We prove the following result : Kl(1,1;n) changes sign infinitely often on the set of all square-free n with at most 18 prime factors (instead of 23 for Fouvry-Michel). In this aim, we compute (thanks to the residue theorem) 5-fold integrals of rational fractions in Riemann zeta function. This computation is worked out in a very general setting through a technical lemma, to which Chapter 3 is devoted. The fourth chapter deals with such integrals, too, but which don't fit into that setting. These integrals appear in Goldston-Yildirim's works on multiple correlations of the truncated Von Mangoldt function. By combining this approach with Maier's, we improve on the best known upper bound (due to Maier) of liminf (p_(n+r)-p_n)/(log p_n) for r ≥2 (where p_n stands for the n-th prime number)

La géométrie complexe est un outil puissant pour étudier les systèmes intégrables classiques, la physique statistique sur réseau aléatoire, les problèmes de matrices aléatoires, la théorie topologique des cordes, ...Tous ces problèmes ont en commun la présence de relations, appelées équations de boucle ou contraintes de Virasoro. Dans le cas le plus simple, leur solution complète a été trouvée récemment, et se formule naturellement en termes de géométrie différentielle sur une surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dépend du problème. Cette thèse est une contribution au développement de ces techniques et de leurs applications.Pour commencer, nous abordons les questions de développement asymptotique à tous les ordres lorsque N tend vers l'infini, des intégrales N-dimensionnelles venant de la théorie des matrices aléatoires de taille N par N, ou plus généralement des gaz de Coulomb. Nous expliquons comment établir, dans les modèles de matrice beta et dans un régime à une coupure, le développement asymptotique à tous les ordres en puissances de N. Nous appliquons ces résultats à l'étude des grandes déviations du maximum des valeurs propres dans les modèles beta, et en déduisons de façon heuristique des informations sur l'asymptotique à tous les ordres de la loi de Tracy-Widom beta, pour tout beta positif. Ensuite, nous examinons le lien entre intégrabilité et équations de boucle. En corolaire, nous pouvons démontrer l'heuristique précédente concernant l'asymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices hermitiennes.Nous terminons avec la résolution de problèmes combinatoires en toute topologie. En théorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm, Mariño et Pasquetti affirme que des séries génératrices bien choisies d'invariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont solution d'équations de boucle. Nous l'avons démontré dans le cas le plus simple, où ces invariants coïncident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les progrès récents vers la conjecture générale, en relation avec nos travaux. En physique statistique sur réseau aléatoire, nous avons résolu le modèle O(n) trivalent sur réseau aléatoire introduit par Kostov, et expliquons la démarche à suivre pour résoudre des modèles plus généraux.Tous ces travaux soulignent l'importance de certaines "intégrales de matrices généralisées" pour les applications futures. Nous indiquons quelques éléments appelant à une théorie générale, encore basée sur des "équations de boucles", pour les calculer

La géométrie complexe est un outil puissant pour étudier les systèmes intégrables classiques, la physique statistique sur réseau aléatoire, les problèmes de matrices aléatoires, la théorie topologique des cordes, …Tous ces problèmes ont en commun la présence de relations, appelées équations de boucle ou contraintes de Virasoro. Dans le cas le plus simple, leur solution complète a été trouvée récemment, et se formule naturellement en termes de géométrie différentielle sur une surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dépend du problème. Cette thèse est une contribution au développement de ces techniques et de leurs applications.Pour commencer, nous abordons les questions de développement asymptotique à tous les ordres lorsque N tend vers l’infini, des intégrales N-dimensionnelles venant de la théorie des matrices aléatoires de taille N par N, ou plus généralement des gaz de Coulomb. Nous expliquons comment établir, dans les modèles de matrice beta et dans un régime à une coupure, le développement asymptotique à tous les ordres en puissances de N. Nous appliquons ces résultats à l'étude des grandes déviations du maximum des valeurs propres dans les modèles beta, et en déduisons de façon heuristique des informations sur l'asymptotique à tous les ordres de la loi de Tracy-Widom beta, pour tout beta positif. Ensuite, nous examinons le lien entre intégrabilité et équations de boucle. En corolaire, nous pouvons démontrer l'heuristique précédente concernant l'asymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices hermitiennes.Nous terminons avec la résolution de problèmes combinatoires en toute topologie. En théorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm, Mariño et Pasquetti affirme que des séries génératrices bien choisies d'invariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont solution d'équations de boucle. Nous l'avons démontré dans le cas le plus simple, où ces invariants coïncident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les progrès récents vers la conjecture générale, en relation avec nos travaux. En physique statistique sur réseau aléatoire, nous avons résolu le modèle O(n) trivalent sur réseau aléatoire introduit par Kostov, et expliquons la démarche à suivre pour résoudre des modèles plus généraux.Tous ces travaux soulignent l'importance de certaines "intégrales de matrices généralisées" pour les applications futures. Nous indiquons quelques éléments appelant à une théorie générale, encore basée sur des "équations de boucles", pour les calculer
Complex analysis is a powerful tool to study classical integrable systems, statistical physics on the random lattice, random matrix theory, topological string theory, … All these topics share certain relations, called "loop equations" or "Virasoro constraints". In the simplest case, the complete solution of those equations was found recently : it can be expressed in the framework of differential geometry over a certain Riemann surface which depends on the problem : the "spectral curve". This thesis is a contribution to the development of these techniques, and to their applications.First, we consider all order large N asymptotics in some N-dimensional integrals coming from random matrix theory, or more generally from "log gases" problems. We shall explain how to use loop equations to establish those asymptotics in beta matrix models within a one cut regime. This can be applied in the study of large fluctuations of the maximum eigenvalue in beta matrix models, and lead us to heuristic predictions about the asymptotics of Tracy-Widom beta law to all order, and for all positive beta. Second, we study the interplay between integrability and loop equations. As a corollary, we are able to prove the previous prediction about the asymptotics to all order of Tracy-Widom law for hermitian matrices.We move on with the solution of some combinatorial problems in all topologies. In topological string theory, a conjecture from Bouchard, Klemm, Mariño and Pasquetti states that certain generating series of Gromov-Witten invariants in toric Calabi-Yau threefolds, are solutions of loop equations. We have proved this conjecture in the simplest case, where those invariants coincide with the "simple Hurwitz numbers". We also explain recent progress towards the general conjecture, in relation with our work. In statistical physics on the random lattice, we have solved the trivalent O(n) model introduced by Kostov, and we explain the method to solve more general statistical models.Throughout the thesis, the computation of some "generalized matrices integrals" appears to be increasingly important for future applications, and this appeals for a general theory of loop equations

Ma thèse généralise la notion de criticité pour le modèle d'Ising en dimension 2. J'y définis une nouvelle notion d'holomorphie discrète sur une décomposition cellulaire d'une surface de Riemann. Le modèle d'Ising converge, à la limite thermodynamique vers une théorie conforme continue, quand la limite est prise sur un réseau (carré, triangulaire), près de la température critique. J'étends cette criticité à des décompositions cellulaires générales et je décompose le spineur en parties holomorphes et antiholomorphes discrètes, analogues discrets des blocs conformes. On définit une équation de Cauchy-Riemann discrète sur le double d'une décomposition cellulaire. Des théorèmes classiques sont encore transposables: harmonicité, base des différentielles, pôle, théorème des résidus. Il y a des différences, le produit point par point ne préserve pas l'holomorphie, les pôles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. On définit une carte comme étant semi-critique si d'une fonction holomorphe discrète $f$ et d'une carte locale plate $Z$ on peut faire une $1$-forme fermée $fdZ$ et critique si $fdZ$ est holomorphe. Cette classe contient les réseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discrètes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de Riemann. Dans le cas des réseaux triangulaires et carrés, on démontre que la criticité statistique d'Ising équivaut à notre criticité pour une structure conforme reliée aux constantes d'intéraction. On définit une équation de Dirac sans masse, l'existence d'une solution équivaut à la criticité. Le spineur de Dirac permet alors de décomposer le fermion d'Ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe.

Ma contribution principale porte sur la géométrie différentielle discrète, spécialement la géométrie conforme discrète. Les champs d'application principaux que j'étudie sont l'imagerie par ordinateur et les systèmes intégrables, tant les systèmes intégrables discrets que les systèmes statistiques intégrables. Ma thèse sur le modèle d'Ising a identifié la criticité dans le modèle de taille fini comme un point où le fermion, une observable particulière, devient holomorphe pour une structure conforme discrète sous-jacente. À l'université de Melbourne, je me suis intéressé avec Paul Pearce aux modèles ADE qui sont une généralisation du modèle d'Ising, dans le but (inachevé mais en bonne voie) d'y identifier un analogue discret de l'algèbre des opérateurs vertex (les conditions de bord conformes et intégrables) et des blocs conformes, en particulier dans l'espoir de comprendre la criticité comme une compatibilité à l'holomorphie discrète. À l'université technique de Berlin, avec Alexander Bobenko et son équipe, j'ai compris la nature intégrable du modèle associé à l'holomorphie discrète (linéaire et quadratique) et utilisé les outils très puissants de cette théorie (isomonodromie, transformations de Darboux-Bäcklund, finite-gap) pour mettre à jour la position centrale de l'analyse complexe discrète dans la hiérarchie des systèmes intégrables discrets. À Montpellier, dans l'équipe Arith dirigée par Valérie Berthé, j'ai appliqué cette théorie dans le cadre de la géométrie différentielle discrète, particulièrement dans le cadre voxellique de la géométrie digitale.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps
In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term