Tesis: "Équations aux dérivées partielles et ordinaires"

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Vilmart, Gilles. "Méthodes numériques géométriques et multi-échelles pour les équations différentielles (in English)." Habilitation à diriger des recherches, École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00840733.

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Resumen

Mes travaux de recherche portent sur l'analyse numérique des intégrateurs géométriques et multi-échelles pour les équations différentielles déterministes ou stochastiques. Les modèles d'équations différentielles issus de la physique ou la chimie possèdent souvent une structure géométrique ou multi-échelles particulière (par exemple, les structures hamiltoniennes, les intégrales premières, les structures multi-échelles en temps ou en espace, les systèmes hautement oscillatoires), mais leur complexité est souvent telle qu'une solution satisfaisante est hors de portée en utilisant seulement des méthodes numériques standards à usage général. L'objectif est donc d'identifier les propriétés géométriques ou multi-échelles pertinentes de ces problèmes, et d'en tirer avantage pour concevoir et analyser de nouveaux intégrateurs efficaces, fiables et précis, reproduisant fidèlement le comportement qualitatif de la solution exacte des modèles considérés.

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Ayed, Ibrahim. "Neural Models for Learning Real World Dynamics and the Neural Dynamics of Learning." Electronic Thesis or Diss., Sorbonne université, 2022. http://www.theses.fr/2022SORUS434.

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Resumen

Cette thèse se situe à l'intersection de deux domaines : d'une part celui des systèmes dynamiques, et notamment ceux qui peuvent être représentés par des équations différentielles d'évolution, et, d'autre part, celui des l'apprentissage profond. Son objectif est alors double : Il s'agit d'abord de chercher à modéliser, grâce aux techniques modernes de l'apprentissage profond, des phénomènes physiques complexes, dans divers cadres d'intérêt pour les praticiens. Ensuite, nous avons également tenté d'employer des outils issus des théories mathématiques permettant l'étude des équations différentielles afin de mieux comprendre certains aspects des dynamiques induites par l'apprentissage de réseaux de neurones profonds et leur fonctionnement The work presented in this thesis was initially motivated by the discrepancy between the impressive performances of modern neural networks and the lack of applications to scientific problems for which data abounds. Focusing on evolution problems which are classically modelled through ordinary or partial differential equations~(O/PDEs) naturally brought us to consider the more general problem of representing and learning such equations from raw data with neural networks. This was the inception of the first part of our work. The point of view considered in this first part has a natural counterpart: what about the dynamics induced by the trajectories of the NN's weights during training or by the trajectories of data points within them during inference? Can they be usefully modelled? This question was the core of the second part of our work and, while theoretical tools other than O/PDEs happened to be useful in our analysis, our reasoning and intuition were fundamentally driven by considerations stemming from a dynamical viewpoint

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Ouaari, Amel. "Modèles paramétriques de processus de branchement uni et multi-types." Thesis, Montpellier, 2018. http://www.theses.fr/2018MONTS109/document.

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Resumen

L'objet de cette thèse concerne la proposition de modèles paramétriques des processus de branchement uni et multi-types. Nous mettons en valeur l’intérêt de la théorie des processus de branchement et du développement nécessaire des différents outils et de concepts propres à plusieurs domaines. Pour cela, nous commençons par rappeler quelques définitions et résultats de la théorie des processus de branchement uni et multi-types, et ce en temps discret comme en temps continu. On se consacre par la suite au développement méthodologique de ces modèles.Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous étudions seulement l'évolution d’une seule population en temps continu, et présentons quelques familles de lois paramétriques, associées à des processus de branchement homogènes particuliers. Des méthodes récursives de calcul, ainsi que des propriétés pertinentes, concernant ces distributions de probabilité, sont dérivées des fonctions génératrices satisfaisant certaines équations aux dérivées partielles linéaires précisés. Les familles proposées seront utiles à la modélisation de systèmes plus cohérents en dynamique de populations, puisqu'on y montre que les hypothèses usuelles de distributions de Poisson ne peuvent être argumentées.Dans la troisième partie, nous étudions le comportement de l'évolution de plusieurs populations en interactions. Nous y présentons aussi des modèles paramétriques de lois, associés à des processus de branchement multi-types en temps continu et homogènes en temps. Nous considérons ensuite un modèle particulier, où une population ``mère donneuse" autonome alimente en individus K populations filles, qui sont, elles, en interaction. Ce modèle est bien adapté à l'étude des systèmes dynamiques des populations en interaction qui reste à la fois simple, mais riche en variétés de comportement. L'étude du système multi-types se fait via l'évolution des fonctions génératrices de la loi multidimensionnelles des effectifs. Pour cela, utilisant les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, nous établissons les équations implicites des distributions temporelles et multidimensionnelles, et discutons des méthodes analytiques ou numériques de leur résolution. Nous développons ensuite des exemples de modèles et en particulier celui concernant 3 et 4 populations.En conclusion, nous argumentons la pertinence de cette approche, et l’interprétation des paramètres, qui sont d'un grand intérêt pour le développement de méthodes d'inférence statistique, pour de nombreux domaines d'applications This thesis aims to propose parametric models for single and multi-type branching processes. The importance of the theory of branching processes is pointed out. Hence, developing various tools and specific concepts in several domains is important for applications. For those purpose, we recall some definitions and results of the single-and-multi-type branching processes theory in discrete and continuous case. Afterward, we focus on the methodological development of those models.In the second part, the evolution of a single population in the continuous case has been studied. Then, some parametric distribution families associated to particular branching mechanisms are explored. Recursive computational procedure and relevant properties concerning the associted probability distributions are derived from generating functions that satisfy specified linear partial differential equations. The suggested families are useful for the modeling of systems that are more coherent with population dynamics, contrarily to the usual hypothesis of Poisson distributions, that cannot be argued.In the third part, the evolution of different populations with interaction is explored. Similarly, some parametric models of homogeneous multi-type branching processes in continuous time are proposed. Afterwards, we consider a particular model where an autonomous donor parent population feeds in individuals, K types progeny populations that interacts. This model is well adapted to the study of dynamical systems of populations in interaction. This simple model, but has a rich variety of behaviors.The study of such systems is also done regarding the evolution of generating functions of multidimensional ndividual countrings. To achievea such study, ordinary and partial differential equations are used to establish the implicit equations of temporal and multidimensional distributions. Analytical and numerical methods for equation resolution are then discussed, and examples of particular models are developed.In conclusion, the relevancy of this approach is argumed, censidering parameters interpretation in the development of inference methods for the various applied domains

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Kurbatova, Polina. "Modélisation hybride de l'érythropoïèse et des maladies sanguines." Phd thesis, Université Claude Bernard - Lyon I, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00752835.

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La thèse est consacrée au développement de nouvelles méthodes de modélisations mathématiques en biologie et en médecine, du type "off-lattice" modèles hybrides discret-continus, et de leurs applications à l'hématopoïèse et aux maladies sanguines telles la leucémie et l'anémie. Dans cette approche, les cellules biologiques sont considérées comme des objets discrets alors que les réseaux intracellulaire et extracellulaire sont décrits avec des modèles continus régis par des équations aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires. Les cellules interagissent mécaniquement et biochimiquement entre elles et avec le milieu environnant. Elles peuvent se diviser, mourir par apoptose ou se différencier. Le comportement des cellules est déterminé par le réseau de régulation intracellulaire et influencé par le contrôle local des cellules voisines ou par la régulation globale d'autres organes. Dans la première partie de la thèse, les modèles hybrides du type "off-lattice" dynamiques sont introduits. Des exemples de modèles, spécifiques aux processus biologiques, qui décrivent au sein de chaque cellule la concurrence entre la prolifération et l'apoptose, la prolifération et la différenciation et entre le cycle cellulaire et de l'état de repos sont étudiés. L'émergence des structures biologiques est étudiée avec les modèles hybrides. L'application à la modélisation des filamente de bactéries est illustrée. Dans le chapitre suivant, les modèle hybrides sont appliqués afin de modéliser l'érythropoïèse ou production de globules rouges dans la moelle osseuse. Le modèle inclut des cellules sanguines immatures appelées progéniteurs érythroïdes, qui peuvent s'auto-renouveler, se différencier ou mourir par apoptose, des cellules plus matures appelées les réticulocytes, qui influent les progéniteurs érythroïdes par le facteur de croissance Fas-ligand, et des macrophages, qui sont présents dans les îlots érythroblastiques in vivo. Les régulations intracellulaire et extracellulaire par les protéines et les facteurs de croissance sont précisées et les rétrocontrôles par les hormones érythropoïétine et glucocorticoïdes sont pris en compte. Le rôle des macrophages pour stabiliser les îlots érythroblastiques est montré. La comparaison des résultats de modélisation avec les expériences sur l'anémie chez les souris est effectuée. Le quatrième chapitre est consacré à la modélisation et au traitement de la leucémie. L'érythroleucémie, un sous-type de leucémie myéloblastique aigüe (LAM), se développe à cause de la différenciation insuffisante des progéniteurs érythroïdes et de leur auto-renouvellement excessif. Un modèle de type "Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamic" du traitement de la leucémie par AraC et un modèle de traitement chronothérapeutique de la leucémie sont examinés. La comparaison avec les données cliniques sur le nombre de blast dans le sang est effectuée. Le dernier chapitre traite du passage d'un modèle hybride à un modèle continu dans le cas 1D. Un théorème de convergence est prouvé. Les simulations numériques confirment un bon accord entre ces deux approches.

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Vilmart, Gilles. "Étude d'intégrateurs géométriques pour des équations différentielles." Phd thesis, Université Rennes 1, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00348112.

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Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc. Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide. Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l'extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal. Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie.

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Kurbatova, Polina. "Modélisation hybride de l’érythropoïèse et des maladies sanguines." Thesis, Lyon 1, 2011. http://www.theses.fr/2011LYO10258/document.

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La thèse est consacrée au développement de nouvelles méthodes de modélisations mathématiques en biologie et en médecine, du type “off-lattice" modèles hybrides discret-continus, et de leurs applications à l’hématopoïèse et aux maladies sanguines telles la leucémie et l’anémie. Dans cette approche, les cellules biologiques sont considérées comme des objets discrets alors que les réseaux intracellulaire et extracellulaire sont décrits avec des modèles continus régis par des équations aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires. Les cellules interagissent mécaniquement et biochimiquement entre elles et avec le milieu environnant. Elles peuvent se diviser, mourir par apoptose ou se différencier. Le comportement des cellules est déterminé par le réseau de régulation intracellulaire et influencé par le contrôle local des cellules voisines ou par la régulation globale d’autres organes. Dans la première partie de la thèse, les modèles hybrides du type “off-lattice" dynamiques sont introduits. Des exemples de modèles, spécifiques aux processus biologiques, qui décrivent au sein de chaque cellule la concurrence entre la prolifération et l’apoptose, la prolifération et la différenciation et entre le cycle cellulaire et de l’état de repos sont étudiés. L’émergence des structures biologiques est étudiée avec les modèles hybrides. L’application à la modélisation des filamente de bactéries est illustrée. Dans le chapitre suivant, les modèle hybrides sont appliqués afin de modéliser l’érythropoïèse ou production de globules rouges dans la moelle osseuse. Le modèle inclut des cellules sanguines immatures appelées progéniteurs érythroïdes, qui peuvent s’auto-renouveler, se différencier ou mourir par apoptose, des cellules plus matures appelées les réticulocytes, qui influent les progéniteurs érythroïdes par le facteur de croissance Fas-ligand, et des macrophages, qui sont présents dans les îlots érythroblastiques in vivo. Les régulations intracellulaire et extracellulaire par les protéines et les facteurs de croissance sont précisées et les rétrocontrôles par les hormones érythropoïétine et glucocorticoïdes sont pris en compte. Le rôle des macrophages pour stabiliser les îlots érythroblastiques est montré. La comparaison des résultats de modélisation avec les expériences sur l’anémie chez les souris est effectuée. Le quatrième chapitre est consacré à la modélisation et au traitement de la leucémie. L’érythroleucémie, un sous-type de leucémie myéloblastique aigüe (LAM), se développe à cause de la différenciation insuffisante des progéniteurs érythroïdes et de leur auto-renouvellement excessif. Un modèle de type “Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamic” du traitement de la leucémie par AraC et un modèle de traitement chronothérapeutique de la leucémie sont examinés. La comparaison avec les données cliniques sur le nombre de blast dans le sang est effectuée. Le dernier chapitre traite du passage d’un modèle hybride à un modèle continu dans le cas 1D. Un théorème de convergence est prouvé. Les simulations numériques confirment un bon accord entre ces deux approches This dissertation is devoted to the development of new methods of mathematical modeling in biology and medicine, off-lattice discrete-continuous hybrid models, and their applications to modelling of hematopoiesis and blood disorders, such as leukemia and anemia. In this approach, biological cells are considered as discrete objects while intracellular and extracellular networks are described with continuous models, ordinary or partial differential equations. Cells interact mechanically and biochemically between each other and with the surrounding medium. They can divide, die by apoptosis or differentiate. Their fate is determined by intracellular regulation and influenced by local control from the surrounding cells or by global regulation from other organs. In the first part of the thesis, hybrid models with off-lattice cell dynamics are introduced. Model examples specific for biological processes and describing competition between cell proliferation and apoptosis, proliferation and differentiation and between cell cycling and quiescent state are investigated. Biological pattern formation with hybrid models is discussed. Application to bacteria filament is illustrated. In the next chapter, hybrid model are applied in order to model erythropoiesis, red blood cell production in the bone marrow. The model includes immature blood cells, erythroid progenitors, which can self-renew, differentiate or die by apoptosis, more mature cells, reticulocytes, which influence erythroid progenitors by means of growth factor Fas-ligand, and macrophages, which are present in erythroblastic islands in vivo. Intracellular and extracellular regulation by proteins and growth factors are specified and the feedback by the hormones erythropoietin and glucocorticoids is taken into account. The role of macrophages to stabilize erythroblastic islands is shown. Comparison of modelling with experiments on anemia in mice is carried out. The following chapter is devoted to leukemia modelling and treatment. Erythroleukemia, a subtype of Acute Myeloblastic Leukemia (AML), develops due to insufficient differentiation of erythroid progenitors and their excessive slef-renewal. A Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamics (PBPKPD) model of leukemia treatment with AraC drug and chronotherapeutic treatments of leukemia are examined. Comparison with clinical data on blast count in blood is carried out. The last chapter deals with the passage from a hybrid model to a continuous model in the 1D case. A convergence theorem is proved. Numerical simulations confirm a good agreement between these approaches

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Duminil, Sébastien. "Extrapolation vectorielle et applications aux équations aux dérivées partielles." Phd thesis, Université du Littoral Côte d'Opale, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00790115.

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Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes de points fixes pour des problèmes donnés. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettreune convergence quadratique. Le développement de méthodes cycliques permet, deplus, de limiter le coût de calculs et de stockage. Nous appliquons ces méthodes à la résolution des équations de Navier-Stokes stationnaires et incompressibles, à la résolution de la formulation Kohn-Sham de l'équation de Schrödinger et à la résolution d'équations elliptiques utilisant des méthodes multigrilles. Dans tous les cas, l'efficacité des méthodes d'extrapolation a été montrée.Nous montrons que lorsqu'elles sont appliquées à la résolution de systèmes linéaires, les méthodes d'extrapolation sont comparables aux méthodes de sous espaces de Krylov. En particulier, nous montrons l'équivalence entre la méthode MMPE et CMRH. Nous nous intéressons enfin, à la parallélisation de la méthode CMRH sur des processeurs à mémoire distribuée et à la recherche de préconditionneurs efficaces pour cette même méthode.

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Diop, Mamadou Abdoul. "Equations aux dérivées partielles stochastiques et homogénéisation." Aix-Marseille 1, 2003. http://www.theses.fr/2003AIX11017.

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Les travaux exposés dans cette thèse traitent de l'homogénéisation d'équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques, avec une non linéarité fortement oscillante. Dans le premier chapitre de ce travail nous exposons les résultats obtenus au cours de cette thèse, lesquels sont détaillés dans les deux chapitres suivants. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques aléatoires sous forme divergence dans le cas d'un grand potentiel et avec des coefficients rapidement oscillants en temps aussi bien qu'en espace. On suppose que le milieu possède une structure microscopique périodique alors que la dynamique temporelle est markovienne. Nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques, stationnaires avec des coefficients rapidement oscillants dans le cas d'un grand potentiel. Sous l'hypothèse que les coefficients sont périodiques en espace, aléatoires, stationnaires en temps et qu'ils possèdent certaines propriétés de mélange, nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi This thesis is devoted to some problems connected to the theory of homogenization of random parabolic operators with large potential. It is assumed that the said operators have a periodic spatial microstructure whose characteristics are rapidly oscillating stationary random process in time. Two different cases of non diffusive scaling are addressed. Namely, the case when the oscillation in time is faster than that in spatial variables and the opposite case when the time oscillation is slower than that the spatial one. It is shown that in the former case, under certain mixing conditions,the corresponding Cauchy problem admits homogenization and its solution converges in probability to a solution of a deterministic semilinear operator. In the latter case the limit equation is a stochastic partial differential equation. Here a solution of the original Cauchy problem converges in law in the energy functional space, while con vergence in probability does not takes place. The thesis consists of an introduction and three different parts. In the introduction we give an elementary presentation of the basic ideas in the homogenization theory. The first chapter, deals with the results contained in this thesis. In the second chapter the operators with Markov driving processes are considered. In the second part the operators with non Markov coefficients are investigated

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Sow, Ahmadou Bamba. "Approche probabiliste et homogénéisation d'équations aux dérivées partielles." Aix-Marseille 1, 2005. http://www.theses.fr/2005AIX11046.

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Les travaux exposés dans cette thèse entrent d'une manière générale dans l'étude des équations aux dérivées partielles aux moyens d'outils stochastiques. Dans une première partie, nous résolvons un système d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades couplé avec un processus de Poisson puis nous en déduisons une résolution d'un système d'EDP parabolique quasilinéaires non dégénéré avec un opérateur du second ordre différent d'une ligne à l'autre du système. Ce travail utilise des estimations analytiques de la norme du gradient de solution d'EDP et nécessite l'uniforme ellipticité comme hypothèse principale. Dans une seconde partie, nous établissons des résultats d'homogénéisation d'EDP semilinéaires en milieu périodique. Nous montrons essentiellement que les résultats précédemment établis avec condition d'uniforme ellipticité de la diffusion demeurent si celle-ci est substituée par une condition plus faible dite de Doeblin. A cette fin nous utilisons les solutions de l'équation de Poisson en un sens généralisé, celles-ci nous permettant au moyen d'une régularisation adéquate d'user de la formule classique d'Ito pour identifier les coefficients de l'EDP limite. Nous exploitons essentiellement des techniques de convergence faible et de théorie ergodique

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Sellami-Omrani, Sonia. "Equations aux dérivées partielles non-linéaires et ondes progressives." Paris 6, 1993. http://www.theses.fr/1993PA066641.

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Nous nous intéressons dans cette thèse à divers problèmes d'équations aux dérivées partielles elliptiques non-linéaires dans la première partie, nous construisons un contre-exemple pour montrer un résultat de non-existence de solutions d'ondes progressives pour un modèle intervenant en combustion dans un domaine cylindrique infini en dimension trois. L'objet de la deuxième partie est l'existence de solutions d'une équation semi-linéaire dans un cylindre fini, faisant intervenir le gradient dans le terme non-linéaire. Les conditions aux bords sont mixtes de type Dirichlet et Newmann. Nous utilisons la méthode de sous- et sur-solutions. La difficulté ici est le fait que le domaine possède des coins. Dans la troisième partie, nous étudions comme dans la première partie l'existence d'ondes progressives dans un domaine cylindrique infini dans le cas où le terme source change plusieurs fois de signe. Nous établissons une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une onde. Enfin la quatrième partie a pour objet l'étude de la symétrie de solutions positives d'une équation aux dérivées partielles elliptique semi-linéaire dans des domaines sectoriels avec des conditions aux bords mixtes de Dirichlet et Newmann et utilise des développements récents sur la méthode de déplacement d'hyperplans

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Grimberg, Gérard Emile. "D'Alembert et les équations aux dérivées partielles en hydrodynamique." Paris 7, 1998. http://www.theses.fr/1998PA070116.

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Ce travail etudie l'introduction par d'alembert des concepts du calcul differentiel partiel dans la mecanique. La premiere partie est l'etude d'un memoire manuscrit de d'alembert, redige en latin dans l'annee 1749, a l'occasion du prix de mathematique de l'academie des sciences de berlin qui porte sur la resistance des fluides. Dans ce manuscrit, d'alembert elabore une nouvelle representation du mouvement des fluides: considerant un fluide en ecoulement permanent a la rencontre d'un solide de revolution immobile, d'alembert concoit les composantes de la vitesse du fluide comme des fonctions des variables d'espace, et la differentielle de la vitesse comme un systeme de formes differentielles. L'application de son principe de mecanique ("principe de d'alembert") donne les equations aux derivees partielles qui caracterisent le mouvement du fluide. Ce memoire sert de base de reflexion aux travaux d'euler (1751-1755), ou celui-ci determine les equations generales qui servent de base a la mecanique des fluides. La deuxieme partie constitue une mise en perpective historique du manuscrit de d'alembert. Elle decrit la genese des concepts de base du calcul differentiel partiel, et leur premiere application, par clairaut, a la mecanique des fluides, dans sa theorie de la figure de la terre. L'etude historique des travaux de d'alembertmemoire sur les vents (1746), memoire sur les cordes vibrantes (1747), memoire de 1749- montre comment le savant forge les outils qui creent les conditions analytiques de l'etude des milieux continus. Les equations aux derivees partielles et la recherchede leur solution ouvrent un nouveau champ aux mathematiques: les methodes de resolution qui apparaissent dans le memoire sur les vents, sont appliquees par la suite a un autre domaine de la mecanique: l'etude de l'equation des cordes vibrantes(1747). Enfin, le principe de d'alembert joue un role essentiel dans la nouvelle representation analytique elaboree par d'alembert.

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Dhersin, Jean-Stéphane. "Super-mouvement brownien, serpent brownien et équations aux dérivées partielles." Paris 6, 1997. http://www.theses.fr/1997PA066065.

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Le super-mouvement brownien est un processus de markov a valeurs mesures. Une motivation pour l'etude de ce processus est que l'on peut exprimer de maniere simple les solutions positives de certaines equations aux deriveees partielles semilineaires, elliptiques ou parabolliques, a partir de ses fonctionnelles de laplace. Apres avoir rappele une construction du super-mouvement brownien a l'aide du serpent brownien, nous demontrons certaines proprietes trajectorielles de ce dernier. Nous donnons des conditions sur la regularite de domaines pour qu'il y ait existence, ou unicite, sur ces domaines de solutions de ces equations aux deriveees partielles, avec explosion a la frontiere. Enfin, l'etude du serpent brownien permet d'obtenir des informations sur le comportement du support du super-mouvement brownien.

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Merlet, Benoît. "Sur quelques équations aux dérivées partielles et leur analyse numérique." Paris 11, 2004. http://www.theses.fr/2004PA112162.

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Les travaux présentés dans cette thèse concernent l'étude théorique ou/et numérique de quatre Equation aux Dérivées Partielles de nature différente. Le premier chapitre traite de systèmes hyperboliques non conservatifs en dimension un d'espace. Contrairement au cas conservatif, la théorie des distributions ne donne pas de sens naturel à la notion de choc pour ces systèmes. Nous proposons et étudions ici une définition pour les courbes de chocs associées à de tels systèmes. Cette définition est très simple et implantable dans un solveur de Riemann. Le second chapitre concerne la simulation numérique du flot des applications harmoniques axisymétriques de D^2 à valeur dans S^2. Nous utilisons la notion d'énergie relaxée pour construire des solutions non standard de ce flot qui tiennent compte de l'énergie perdue par concentration. Pour simuler ces solutions, nous utilisons une méthode d'Eléments Finis Mobiles qui permet de capter efficacement les singularités. Au troisième chapitre, nous abordons le problème de Cauchy avec condition initiale et donnée au bord pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili II posée sur une bande. De plus nous traitons le cas du demi-plan et nous montrons un résultat de convergence. Le dernier chapitre concerne la vérification numérique d'une conjecture de Guy David liée à la fonctionnelle de Mumford-Shah. Nous ramenons l'étude à un problème spectral pour l'opérateur Laplacien avec conditions de Neumann sur un sous-domaine de S^2 possédant des angles rentrants. Nous utilisons la méthode du complément singulier pour calculer des approximations précises des coefficients singuliers du premier vecteur propre de l'opérateur In this thesis, four Partial Differential Equations of different nature are studied, numerically or/and theoretically. The first part deals with non-conservative hyperbolic systems in one space dimension. In the case of non-conservative hyperbolic systems, several definitions of shock waves exist in the literature, in this paper, we propose and study a new, very simple one in the case of genuinely non-linear fields. The second part is concerned with the Harmonic Map flow. We build solutions to the harmonic map flow from the unit disk into the unit sphere which have constant degree, in a co-rotational symmetric frame. First we prove the existence of such solutions, using a time semi-discrete scheme then we compute numerically these solutions by a moving-mesh method which allows us to deal with the singularities. The third part deals with the initial-and-boundary value problem for the Kadomtse-Petviashvili II equation posed on a strip with a Dirichlet left boundary condition and two kinds of conditions on the right boundary. Moreover we treat the case of the half plane and we show a result of convergence. In the last part, we investigate by numerical means a conjecture proposed by Guy David about the existence of a new Global Minimizer for the Mumford-Shah Functional in R^3. We are led to study a spectral problem for the Laplace operator with Neumann boundary conditions on a two dimensional subdomain of the sphere S^2 with reentrant corners. In particular, we have to compute the first eigenvector of this operator and accurate approximations of the singular coefficients of this eigenvector at each corner. For that we use the Singular Complement Method

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Moussaoui, Hadjer. "Contribution aux équations différentielles stochastiques rétrogrades et application aux équations aux dérivées partielles et au contrôle stochastique." Electronic Thesis or Diss., Toulon, 2018. http://www.theses.fr/2018TOUL0016.

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L'objectif de cette thèse est l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et progressives-rétrogrades (EDSPR), dont les résultats principaux sont : Le premier porte sur la solvabilité des EDSR à croissance logarithmique de type (lylllnlyll lzlJllnlzll) et application aux équations aux dérivées partielles (EDP). Le deuxième concerne l'existence d'un contrôle optimal stricte pour un système dirigé par une EDSPR fortement couplée. Des multiples applications sont établies. Un résultat d'existence et d'unicité de la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi-Belmann (HJB) est également établi The objective of this thesis is to study backward stochastic differential equations (BSDE) and forward-backward stochastic differential equations (FBSDE), the main results are:The first is about the solvability of logarithmic BSDE of type (lylllnlyll lzlJllnlzll) and application to partial differential equations (PDE). The second concems the existence of strict optimal control for a system driven by a strongly coupled FBSDE. Multiple applications are established. A result of existence and uniqueness of the solution of the Hamilton-Jacobi-Belmann equation (HJB) is also established

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Perez, Sylvie. "Identification et homogénéisation de paramètres dans des équations aux dérivées partielles." Pau, 1999. http://www.theses.fr/1999PAUU3016.

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Cette thèse est composée de deux parties. La première est consacrée à l'identification de paramètres à partir de mesures bruitées. On propose une formulation originale du problème qui contraint l'écart quadratique de la solution à la mesure à demeurer inférieur à un niveau de bruit toléré. La minimisation porte alors, sous cette contrainte et sous celle d'équilibre, sur un terme régularisant dont on discute le choix. D'une part, on introduit une norme classique pour reconstruire des paramètres réguliers. On obtient alors un résultat d'existence et des conditions d'optimalité à partir de l'expression du Lagrangien. Une discrétisation de type éléments finis est proposée et des tests numériques ainsi qu'une étude de l'erreur sont présentés. D'autre part, on utilise la variation totale pour identifier des coefficients discontinus. Au cours de l'étude théorique de l'approximation numérique, on souligne l'importance de la décomposition du domaine lorsque l'on approche des fonctions à variation bornée par des fonctions constantes par morceaux. Des tests numériques montrent une bonne localisation des discontinuités par la solution estimée. Dans la seconde partie, on s'intéresse à la résolution d'équations elliptiques comprenant des coefficients hétérogènes, sur des maillages raisonnables, non gouvernés par les variations géométriques des paramètres. En 1D, les problèmes d'homogénéisation de ce type peuvent être considérés comme des problèmes d'identification. Malheureusement en 2D ou 3D les résultats dépendent des conditions expérimentales. On présente ici une nouvelle méthode basée sur une formulation mixte primale-duale et qui consiste à imposer la continuité des flux le long des lignes de discontinuité du paramètre.

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Joukovskaïa, Tatiana. "Singularités de minimax et solutions faibles d'équations aux derivées partielles." Paris 7, 1994. http://www.theses.fr/1994PA077046.

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Resumen

La recherche des solutions d'une equation aux derivees partielles non lineaire sur une variete peut se faire en deux temps: on obtient d'abord des solutions geometriques, sous-varietes d'un espace de jets d'ordre approprie de fonctions reelles sur la variete ; ensuite, on regarde les projections de ces solutions geometriques dans l'espace des jets d'ordre zero (fronts d'onde, ou diagrammes de cerf). Il peut arriver que l'on cherche une vraie fonction reelle alors que le diagramme de cerf obtenu est le graphe d'une fonction multiforme ; m. Chaperon a remarque que, si l'equation est du premier ordre, il est souvent possible de construire une section de ce diagramme de cerf qui est une vraie fonction lipschitzienne, solution faible globale de l'equation. Cette solution etant construite comme minimax d'une famille generatrice quadratique a l'infini, l'etude des disontinuites (chocs) de sa differentielle est un probleme de theorie des singularites, qui fait l'objet de cette these. Apres des rappels sur les deformations verselles (1), le 2 contient le principal resultat theorique (theoreme 2. 11), etablissant en particulier que les singularites de ces fonctions minimax sont en general, a diffeomorphisme local pres, semi-algebriques ; son corollaire 2. 12 permet, dans le 3, de classifier ces singularites generiques en dimension au plus trois (theoreme 3. 1) ; lorsque cet espace de dimension trois est un espace-temps, le 4 etudie l'evolution generique des sections a temps constant du minimax. Toute cette premiere partie est concentree sur le probleme de theorie des singularites ; les applications aux equations aux derivees partielles figurent dans la seconde partie, qui contient par ailleurs des resultats nouveaux comme le theoreme 7. 1 et le contre-exemple 6. 3

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Baudouin, Lucie. "Problèmes inverses et commande robuste de quelques équations aux dérivées partielles." Habilitation à diriger des recherches, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2014. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01067485.

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Resumen

Les travaux rassemblés dans ce manuscrit d'habilitation portent sur quelques modèles d'équations aux dérivées partielles et se développent selon deux axes, l'un orienté vers des questions d'identifiabilité de paramètres, l'autre vers la commande robuste aux perturbations extérieures. Le premier axe est introduit par une présentation de l'état de l'art concernant les problèmes inverses de détermination de coefficients dans les principales équations d'évolution. Il s'articule d'abord autour de la démonstration de la stabilité du problème inverse de détermination du potentiel dans une simple équation des ondes posée en domaine borné. Cela permet de décrire divers cas plus exotiques, où l'équation des ondes est posée avec des conditions de transmission sur une interface connue, ou posée sur un réseau de branches en dimension un d'espace, ou bien encore semi-discrétisée en la variable d'espace. Le principal outil construit et employé est une inégalité de Carleman appropriée à chaque situation. La méthode qui permet d'en déduire la stabilité du problème inverse sert ensuite à la mise en place d'un schéma numérique nouveau pour la reconstruction du potentiel. D'autres études de stabilité de problèmes inverses pour des équations paraboliques et dispersives viennent conclure cette partie. Le second axe de mes travaux s'attache à la commande robuste de systèmes de dimension infinie décrits par des équations aux dérivées partielles. La principale motivation consiste à pouvoir travailler même avec ces systèmes dans un cadre de type espace d'état et obtenir des résultats en commande robuste H-infini similaires à ceux de la dimension finie. Nous détaillons ainsi un théorème ramenant, dans le cadre de systèmes de dimension infinie, la commande robuste à la résolution d'équations de Riccati. L'idée finale est de formuler des résultats théoriques de commande garantissant une certaine robustesse de la stabilité du système en assurant le rejet des perturbations. Nous présentons dans un premier temps l'étude d'un système d'optique adaptative qu'il a été possible de formuler dans un tel cadre avant d'effectuer des simulations numériques sur le modèle tronqué. C'est ensuite un système couplé fluide/structure modélisé à base d'équations aux dérivées partielles puis réduit à la dimension finie qui est présenté. Il est finalement étudié avec les outils usuels de la commande (placement de pôles, observateurs, contrôleurs d'ordre réduit) avant de faire l'objet de test sur le banc d'essai à l'origine du modèle.

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Nouaili, Nejla. "Théorèmes de Liouville et singularités dans les équations aux dérivées partielles." Paris 6, 2008. http://www.theses.fr/2008PA066643.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de la formation de singularités en temps fini dans les équations semilinéaires de la chaleur et des ondes par l'approche des Théorèmes de Liouville. La première partie est consacrée aux équations semilinéaires de type chaleur. Le chapitre 1 est consacré à une red\'emonstration simple dans le cas positif du théorème de Liouville que Merle et Zaag ont démontré pour la nonlinéarité en puissance souscritique. Nous montrons ensuite dans le deuxième et le troisième chapitres deux Théorèmes de Liouville pour une équation de la chaleur complexe sans structure du gradient pour le chapitre 2, et pour une équation avec absorption dans le chapitre 3. Nous obtenons également une propriété de localisation de ces équations qui permet de la comparer de façon précise aux solutions des équations différentielles associées

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Rivière, Olivier. "Equations différentielles stochastiques progressives rétrogrades couplées : équations aux dérivées partielles et discrétisation." Paris 5, 2005. http://www.theses.fr/2005PA05S028.

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Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier This thesis deals with the forward backward stochastic differential equations, in particular those with a coefficient of progressive diffusion which depends on all unknowns of the problem. We propose an original way to get onto this subject, letting us to reobtain some classical results of existence and uniqueness in the spirit of Pardoux-Tang and Yong's results, and to find a probabilistic representation of a new class of parabolic PDE, in which derivation coefficient of order 2 depends on the gradient of the solution. We also propose an iterative discretization scheme. We prove its convergence and give an evaluation of the error on a particular example

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Bartier, Jean-Philippe. "Méthode d'entropie et comportement asymptotique des solutions d'équations paraboliques linéaires et non-linéaires." Paris 9, 2005. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=2005PA090070.

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Guichard, Frédéric. "Axiomatisation des analyses multi-échelles d'images et de films." Paris 9, 1994. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=1994PA090010.

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Les analyses multi échelle d'images doivent vérifier une liste de propriétés. Nous les discutons et classifions en deux catégories: les principes d'architectures comme la localité, la causalité, le principe de comparaison,. . . , et propriétés géométriques qui déterminent l'invariance des traitements vis à vis de transformation comme les rotations, changement d'échelle, changement de contraste. . . Une classification complète de toutes les analyses multi échelles, est proposée en fonction des propriétés choisies. Elle réunit les modèles classiques et quelques nouveaux, en les associant à des équations différentielles de type parabolique. Les nouveaux modèles proposés ici possèdent plus de propriétés géométriques que ceux connus auparavant. Des expériences et schémas numériques sont présentés et comparés. La même méthode est appliquée à l'analyse multi échelle de films. En introduisant la propriété d'invariance galiléenne, nous trouvons un unique modèle pour l'analyse de films

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Piozin, Lambert. "Quelques résultats sur les équations rétrogrades et équations aux dérivées partielles stochastiques avec singularités." Thesis, Le Mans, 2015. http://www.theses.fr/2015LEMA1004/document.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options

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Xia, Bo. "Equations aux dérivées partielles et aléas." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016SACLS171/document.

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Dans cette thèse, on a d’abord considéré une équation d'onde. On a premièrement montré que l’équation est bien-posée presque sûre par la méthode de décomposition de fréquence de Bourgain sous l’hypothèse de régularité que s > 2(p−3)/(p-1). Ensuite, nous avons réduit de cette exigence de régulation à (p-3)/(p−1) en appelant une estimation probabiliste a priori. Nous considérons également l’approximation des solutions obtenues ci-dessus par des solutions lisses et la stabilité de cette procédure d’approximation. Et nous avons conclu que l’équation est partout mal-posée dans le régime de super-critique. Nous avons considéré ensuite l’équation du faisceau quintique sur le tore 3D. Et nous avons montré que cette équation est presque sûr bien-posée globalement dans certain régimes de super-critique. Enfin, nous avons prouvé que la mesure de l’image de la mesure gaussienne sous l’application de flot de l’équation BBM généralisé satisfait une inégalité de type log-Sobolev avec une petit peu de perte de l’intégrabilité In this thesis, we consider a wave equation. We first showed that the equation is almost sure global well-posed via Bourgain’s high-low frequency decomposition under the regularity assumption s > 2(p−3)/(p−1). Then we lowered down this regularity requirement to be (p−3)/(p−1) by invoking a probabilistic a priori estimate. We also consider approximation of the above achieved solutions by smooth solutions and the stability of this approximating procedure. And we concluded that this equation is everywhere ill-posed in the super-critical regime. Next, we considered the quintic beam equation on 3D torus. And we showed that this equation is almost sure global well-posed in certain super-critical regime. Lastly, we proved that the image measure of the Gaussian measure under the generalized BBM flow map satisfies a log-Sobolev type inequality with a little bit loss of integrability

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Riviere, Olivier. "Equations différentielles stochastiques progressives rétrogrades couplées : équations aux dérivées partielles et discrétisation." Phd thesis, Université René Descartes - Paris V, 2005. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011231.

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Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier.

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Lissy, Pierre. "Sur la contrôlabilité et son coût pour quelques équations aux dérivées partielles." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00918763.

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Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité et son coût pour un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires issues de la physique. La première partie de la thèse concerne la contrôlabilité à zéro de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec conditions au bord de Dirichlet et contrôle interne distribué sur un sous-ouvert de domaine de définition n'agissant que sur une seule des trois équations. La preuve repose sur la méthode du retour ainsi que sur une méthode originale de résolution algébrique de systèmes différentiels inspirée de travaux de Gromov. La deuxième partie de la thèse concerne le coût du contrôle en temps petit ou en viscosité évanescente d'équations linéaires unidimensionnelles. Dans un premier temps, on montre que l'on peut, dans certains cas, faire un lien entre ces deux problèmes. Notamment il est possible d'obtenir des résultats de contrôlabilité uniforme de l'équation de transport-diffusion unidimensionnelle à coefficients constants contrôlée sur le bord gauche à l'aide de résultats déjà connus sur le contrôle de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, on s'intéresse au coût du contrôle frontière en temps petit d'un certain nombre d'équations pour lesquelles l'opérateur spatial associé est autoadjoint ou anti-autoadjoint à résolvante compacte et ayant des valeurs propres se comportant de manière polynomiale, en utilisant la méthode des moments. On en déduit des résultats pour des équations de type Korteweg-de-Vries linéarisées, diffusion fractionnaire et Schrödinger fractionnaire.

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Xu, Mingyu. "Contributions à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades fléchies et applications aux équations et dérivées partielles." Le Mans, 2005. http://cyberdoc.univ-lemans.fr/theses/2005/2005LEMA1004.pdf.

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Dans un premier chapitre, nous avons considéré les équation différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) réfléchies avec une ou deux barrières continues à droite et limitées à gauche (càdlàg). En utilisant une méthode d'itération de Picard nous avons obtenu l'existence et l'unicité de lasolution de l'EDSR à deux barrières. Nous avons ensuite utilisé une méthode de pénalisation dans le cas d'une barrière. En considérant les solutions (Y n,Zn,Kn) des équations pénalisées comme solutions d'EDSRs réfléchies, on montre que la limite (Y,Z,K) est la solution du problème, parles propriétés de l'enveloppe de Snell et le théorème ”limit monotonic” de Peng (Peng, S. , 1999). Dans le cas de l'équation avec deux barrières càdlàgs, de manière analogue, une généralisation du”limit monotonic” théorème permet de passer à la limite dans les équations pénalisées. Ensuite, la représentation des solutions via les Jeux de Dynkin nous permet d'obtenir que la limite (Y,Z,K)est alors la solution du problème. Dans un second travail, nous avons généralisé ce type de résultat au cas o`u les barrières sont seulement L2, en utilisant toujours une méthode de pénalisation avec la théorie des g-sur-solutions. Dans un second chapitre, nous considérons les EDSRs réfléchies avec une barrière continue,associées à (_, f,L), lorsque _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) est continue, satisfait des conditions de mono-tonie, de croissance générale en y, et la condition lipschitzienne en z, et lorsque la barrière (Lt)0_t_Test un processus continu progressivement mesurable, qui vérifie certaines conditions d'intégrabilité. Nous avons notamment montré l'existence et l'unicité de la solution dans L2, pour cette équation réfléchie avec temps terminal déterministe. La preuve de l'existence s'effectue en quatre étapes. La première étape consiste à montrer le résultat sous des hypothèses de bornitude pour _, f(t, 0) etL+. La seconde étape (la plus délicate) consiste à relaxer l'hypothèse de bornitude sur L+ ; enfin les deux dernières étapes nous permettent d'obtenir le résultat général, en relaxant les hypothèses de bornitude sur _ et f(t, 0). Les théorèmes de comparaison jouent un rôle important, en nous permettant de passer à la limite dans les équations. Nous avons ensuite étudié le cas o`u le temps terminal est aléatoire. L'existence et l'unicité de la solution sont montrées. Dans un troisième chapitre, nous étudions les EDSRs réfléchies à une barrière dont le générateur satisfait des conditions de monotonie, de croissance générale en y, et une condition de croissance quadratique ou linéaire en z, et lorsque la barrière L est uniformément bornée. Nous montrons l'existence d'une solution par approximation, sous ces conditions. Nous trouvons également une condition nécessaire et suffisante pour le cas f(t, !, y, z) = |z|2 , et construisons sa solution expli-citement. Pour le cas f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), nous montrons une condition suffisante. Dans un quatrième chapitre, nous traitons des EDSRs réfléchies avec deux barrières, lorsque satisfait des conditions de monotonie, continuité, croissance générale en y, et de Lipschiz en z,comme dans le second chapitre. Pour les barrières, nous exigeons que L et U soient continues, L < Usur [0, T], et l'hypothèse de Mokobodski. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution pour cette équation. Dans un cinquième chapitre, nous étudions les applications des ESDRs. Une application importante des EDSRs consiste à donner une interprétation probabiliste (Formule de Feynman-Kacnonlinéaire) pour les solutions des équations aux dérivées partielles (EDPs) semi linéaires parabo-liques. Nous appliquons la méthode d'approximation et les résultats de l'EDSR dans (Pardoux,1999), pour l'EDP semi linéaire, dans le sens Sobolev, par la solution de l'EDSR correspondante. Ensuite, nous utilisons la notion de l'EDP avec obstacle (Bally et al. , 2004). Par la même approximation que dans le second chapitre, nous montrons l'interprétation probabiliste de la solution(u, _) de l'EDP par la solution (Y,Z,K) de l'EDSR réfléchie. Ici, nous supposons que l'obstacle hest à croissance polynômiale. Nous prouvons un théorème qui permet de remplacer la fonction test régulière par la fonction test aléatoire sous les conditions de monotonie et de croissance générale,et par ce théorème nous obtenons l'unicité de la solution de l'EDP via l'unicité de la solution del'EDSR ou l'EDSR réfléchie. Enfin dans un dernier chapitre, nous étudions les solutions numériques des EDSRs et présentons des résultats de simulation, et nous appliquons notamment cette technique au calcul des options américaines In the first chapter, we consider the reflected backward stochastic differential equation (BSDEsin short) with one or two right continuous and left limited (RCLL in short) barriers. Using the Picarditeration method, we obtained the existence and uniqueness of the solution of the reflected BSDEwith two RCLL barriers. Then we use the penalization method to the case of one RCLL barrier. Considering the solutions (Y n,Zn,Kn) of penalized equations as solutions of reflected BSDEs,we prove that the limit (Y,Z,K) is the solution of equation, by properties of Snell envelope andmonotonic limit theorem (Peng S. , 1999). In the case of equation with two RCLL barriers, by theanalogue method, we prove the limit (Y,Z,K) of penalized equation is the solution of problem,by the representation of solutions via Dynkin game. Here we need a generalized monotonic limittheorem, which permit us to pass the limit for penalized equations. In a second work, we have generalized this type of result to the case where barriers are just inL2, by the method of penalization and the theory of g-supersolution. In the second chapter, we consider the reflected BSDEs with one continuous barrier, associatedto (_, f,L), when _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) is continuous, satisfies monotonic and general increasingconditions on y, and Lipschitz condition on z, and when the barrier (Lt)0_t_T is a progressivelymeasurable continuous process, which verifies certain integrability condition. We have also notable prove the existence and uniqueness of solution in L2, for this reflectedequation with determinist terminal time. The proof of existence is effected by four steps. The firststep consists to prove the result under the boundness condition of _, f(t, 0) et L+. The second step(the most delicate) consists to relax the boundness condition of L+ ; the following two step permitus to obtain the general result, relaxing the boundness condition on _ and f(t, 0). The comparisontheorems play important roles, which help us to pass the limit in the equations. Then we study thecase when the terminal time is a stopping time. The existence and uniqueness of the solution arealso proved. In the third chapter, we have studied the reflected BSDEs with one barrier, whose generator fsatisfies the monotonic and general increasing condition on y, and quadratic and linear condition onz, when the barrier L is uniformly bounded. We prove the existence of a solution by approximation,under these conditions. We also find a necessary and sufficient condition for the case f(t, !, y, z) =|z|2, and construct its solution explicitly. For the case f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), we prove asufficient condition. In the forth chapter, we treat the reflected BSDE with two barrier, when f satisfies the mono-tonic, continuous and general increasing conditions on y, and Lipschitz condition on z, like in thesecond chapter. For the barriers, we suppose that L and U are continuous, L < U on [0, T], andMokoboski condition. We prove the existence and uniqueness of the solution for this equation. In the fifth chapter, we study the applications of BSDE. A important application of BSDEconsists to give a probabilistic interpretation (nonlinear Feynman-Kac formula) pour solutions ofsemilinear parabolic partial differential equations. We apply the approximation method and resultsof BSDE in (Pardoux, 1999) for semiliear PDE in Sobolev sense, by the solution of correspondingBSDEs. In following, we use the notion of PDE with obstacle (Bally et al. , 2004). By the sameapproximation in second chapter, we prove the probabilistic interpretation of the solution (u, _) ofPDE by the solution (Y,Z,K) of reflected BSDE. Here, we suppose that the obstacle h is polynomialincreasing. We prove a theorem which permits us to replace the regular test function by the randomtest function under monotonic and general increasing conditions, and by this theorem we obtainthe uniqueness of the solution of PDE from the solution of BSDE or reflected BSDE. Finally, in the last chapter, we study the numerical solutions of BSDEs and present somesimulation results, and we apply this technique to the calculation of American option

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Debbi, Latifa. "Equations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques avec opérateurs fractionnaires." Nancy 1, 2006. http://www.theses.fr/2006NAN10046.

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Dans cette thèse, on s'intéresse à l'application du calcul fractionnaire en analyse stochastique. Dans la première partie, on donne une extension de la définition de l'opérateur différentiel fractionnaire multidimensionnel de Riesz-Feller. Cet opérateur généralise certains opérateurs fractionnaires et certains opérateurs pseudodifférentiels connus. Des équations fractionnaires de type Fokker-Plank sont étudiées selon l'approche probabiliste et l'approche quasi probabiliste. En particulier, les solutions sont représentées via des processus de Lévy stables et des fonctions généralisant de la fonction d'Airy. Dans la deuxième partie, on étudie des équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnaires unidimensionnelles perturbées par un bruit blanc en temps et en espace. On démontre l'existence et l'unicité des solutions champs et des solutions L2 sous différentes conditions de Lipschtz. Les exposants de Hölder spatial et temporel des solutions champs sont obtenus. De plus, on démontre l'équivalence entre différentes définitions de solutions L2. En particulier, on applique la transformée de Fourier pour donner un sens à certaines équations stochastiques aux dérivées partielles fractionnaires This thesis treats application of fractional calculus in stochastic analysis. In the first part, the definition of the the multidimensional Riesz-Feller fractional differential operator is extended to higher order. The operator obtained generalizes several known fractional differential and pseudodifferential operators. High order fractional Fokker-Plank equations are studied in both the probabilistic and the quasiprobabilistic approaches. In particular, the solutions are represented via stable Lévy processes and generalization of Airy's function. In the second part, onedimensional stochastic fractional partial differential equations perturbed by space-time white noise are considered. The existence and the uniqueness of field solutions and of L2solutions are proved under different Lipschtz conditions. Spatial and temporal Hölder exponents of the field solutions are obtained. Further, equivalence between several definitions of L2solutions is proven. In particular, Fourier transform is used to give meaning to some stochastic fractional partial differential equations

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Gueye, Mamadou. "Contrôlabilité pour quelques équations aux dérivées partielles : contrôles insensibilisants et contrôle d'équations dégénérées." Paris 6, 2013. http://www.theses.fr/2013PA066410.

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Ce travail est une contribution à l’étude théorique de quelques problèmes de contrôla-bilité issus pour la plupart de la mécanique des fluides. L’accent est mis plus particuliè-rement sur la contrôlabilité de systèmes du type Navier-Stokes avec un nombre réduit decomposantes et des équations dégénérées en une dimension d’espace. Dans le Chapitre 2, on s’intéresse à l’existence de contrôles insensibilisants pour le sys-tème de Navier-Stokes. On prouve la contrôlabilité à zéro d’un système linéaire, utilisantdes inégalités de Carleman connues. On travail alors dans des espaces à poids appropriéspour appliquer un théorème d’inversion locale. Dans le Chapitre 3, on complète les résul-tats du Chapitre 2 en prouvant l’existence de contrôles insensibilisant ayant au plus deuxcomposantes non nulles. A cet effet on démontre une nouvelle inégalité de Carleman adap-tée. Dans le Chapitre 4, on étend ces résultats au système plus complexe de Boussinesq. Deux composantes sont maintenant absentes dans la variable de contrôle des équations dufluide. Le Chapitre 5 est consacré à des problèmes de contrôlabilité pour des équations li-néaires paraboliques et hyperboliques, qui dégénèrent sur le bord de l’intervalle sur lequelelles sont posées. Dans un premier temps on s’intéresse aux équations hyperboliques pourlesquelles on démontre des inégalités d’observabilité optimales en utilisant la méthode desmoments. Puis nous obtenons la contrôlabilité des équations paraboliques via une méthodede transmutation Our work is a contribution to the theoretical study of some controllability problemsarising in fluid mechanics and various applied mathematics fields. We mainly focus on thecontrollability of Navier-Stokes type systems with fewer scalar controls. In Chapter 2, weinvestigate the existence of insensitizing controls for the Navier-Stokes system. We firstprove the null controllability for a linearized problem, using known Carleman estimates. Then, we work in special weighted functional classes to apply an inverse mapping theorem. In Chapter 3, we have managed to prove the same insensitivity results with a controlhaving at most two non zero components. We proved new Carleman estimates withparticular observation terms for this purpose. In Chapter 4, the results are extended tothe Boussinesq system with two vanishing components. The idea is to transpose the resultsof Chapter 3 to a more complex example. In Chapter 5, we investigate the exact controllability of linear parabolic and hyperbolicequations which degenerate at one end of the interval on which they are posed. First, weconsider the corresponding class of degenerate hyperbolic equations. Then, we prove sharpobservability estimates for these equations using non-harmonic Fourier series. We get thecontrollability of the degenerate parabolic equations using a transmutation method

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Mauffrey, Karine. "Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles." Phd thesis, Université de Franche-Comté, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00864091.

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Jouannelle, Olivier. "Une étude comparative entre des schémas numériques 2D et splitting pour des e. D. P hyperboliques non linéaires bidimensionnelles dans le cadre des fonctions généralisées." Antilles-Guyane, 2010. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01487366.

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Resumen

Nous nous intéressons à la recherche et au calcul numérique de solutions faibles (au sens des fonctions généralisées) de l'équation de transport non liné̕̕̕̕aire~ ~M&t (x,y,t) +a(x,y,t)-ax(x,y,t) +b(x,y,t)fiij(x,y,t) °pour t > 0 complétée de la condition initiale: u(x,y,O) = Uo(x,y) où les fonctions {(x,y,t) --;. A(x,y,tn et {(x, y, t) --;. B(x, y, tn appartiennent a Loo(R2 x R+) (mais peuvent etre discontinues), les fonctions f et g sont lisses et monotones, la fonction ((x,y) --;. Uo(x,yn appartient a Loo(R2). Des rappels sur les fonctions generalisees nous permettent d'introduire leur produit tensoriel. Un des resultats des (pour determiner ulterieurement les solutions faibles cherchees) donne des conditions suffisantes pour que, lorsqu'une somme de fonctions generalisees (de type produit d'Heaviside ou de Dirac) est assocille a 0, chacun des termes de la somme est nul. Grace a ces resultats theoriques, on rllsout Ie probleme de Riemann 2D a Paide d'un solveur s'llcrivant comme produit tensoriel de fonctions type Heaviside (ou comme somme de produit tensoriel de fonctions type Heaviside) afin d'obtenir les solutions faibles. Ces solutions faibles permettent la construction des schemas numeriques de type Godunov 2D. Nous les validons par des test numeriques comparant les resultats obtenus par ces schemas 2D et ceux de la methode du splitting. Ces tests montrent que les scMmas numeriques 2D sont aussi fiables que ceux par splitting, alors qu'ils sont plus simples dans leur ecriture. Une etude comparative plus complete entre les deux types de schemas numeriques montre de plus que les schemas 2D sont nettement moins collteux a la fois dans les cas lineaire et non lineaire et qu'ils sont stables pour la norme Loo, contrairement aux schemas par splitting This work is devoted to the theoritical research and to the numerical calculus of weak solutions (in the sens of generalized functions) for the non linear transport equation8u 8f(u) 8g(u)8t (x,y,t) +a(x,y,t)-ax(x,y,t) +b(x,y,t)fiij(x,y,t) = °pour t > 0with the initial condition u(x, y, 0) = uo(x, y) where the functions {(x, y, t) --;. A(x, y, tn and {(x, y, t) --;. B(x, y, tn belong to L00 (R2 X R+) (but can be discontinuous), the functions f and g are smooth and monotonous, the function ((x,y) --;. Uo(x,yn belongs to Loo(JR2). We recall the necessary notions on nonlinear generalized functions for introducing their tensorial product. The main results (to determine the weak solutions) are sufficient conditions so that, when a sum of generalized functions (like Heaviside or Dirac products) is associated with zero, each terms of the sum is equal to zero. Thanks to these theoretical results, we can solve the Riemann problem with the help of a solver written like tensorial product of Heaviside functions (or like a sum of tensorial product of Heaviside functions) in order to obtain the weak solutions. These weak solutions allow to develop two dimensional numerical Godunov type schemes. Then, numerical tests are performed which give a comparison between the results obtained by these 2D schemes and the ones of the splitting method. These tests prove that the 2D numerical schemes are as reliable as the ones obtained by splitting. They are also more simple in their expression. Moreover, a more detailed comparative study of the two types of numerical schemes show that the 2D schemes are far less expensive in the linear case as well as in the non linear case. They are stable for the LOO norm, unlike the splitting schemes

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Salazar, Wilfredo. "Contribution aux équations aux dérivées partielles non linéaires et non locales et application au trafic routier." Thesis, Rouen, INSA, 2016. http://www.theses.fr/2016ISAM0016/document.

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Resumen

Cette thèse porte sur la modélisation, l’analyse et l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires et non-locales avec des applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modélisé à des différentes échelles. En particulier, on peut considérer l’échelle microscopique qui décrit la dynamique de chaque véhicule individuellement et l’échelle macroscopique qui voit le trafic comme un fluide et qui décrit le trafic en utilisant des quantités macroscopiques comme la densité des véhicules et la vitesse moyenne. Dans cette thèse, en utilisant la théorie des solutions de viscosité, on fait le passage entre les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques. L’intérêt de ce passage est que les modèles microscopiques sont plus intuitifs et faciles à manipuler pour simuler des situations particulières (bifurcations, feux tricolores,...) mais ils ne sont pas adaptés à des grosses simulations (pour simuler le trafic dans toute une ville par exemple). Au contraire, les modèles macroscopiques sont moins évidents à modifier (pour simuler une situation particulière) mais ils peuvent être utilisés pour des simulations à grande échelle. L’idée est donc de trouver le modèle macroscopique équivalent à un modèle microscopique qui décrit un scénario précis (une jonction, une bifurcation, des différents types de conducteurs, une zone scolaire,...). La première partie de cette thèse contient un résultat d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour un modèle microscopique avec différents types de conducteurs. Dans une seconde partie, on obtient des résultats d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour des modèles microscopiques con- tenant une perturbation locale (ralentisseur, zone scolaire,...). Finalement, on présente un résultat d’homogénéisation dans le cadre d’une bifurcation This work deals with the modelling, analysis and numerical analysis of non- linear and non-local partial differential equations and their application to traffic flow. Traffic can be simulated at different scales. Mainly, we have the microscopic scale which describes the dynamics of each of the vehicles individually and the macroscopic scale which describes the traffic as a fluid using macroscopic quantities such as the density of vehicles and the average speed. In this PhD thesis, using the theory of viscosity solutions, we derive macroscopic models from microscopic models. The interest of these results is that microscopic models are very intuitive and easy to manipulate to describe a particular situation (bifurcation, a traffic light,...), however, they are not adapted for big simulations (to simulate the traffic in an entire city for example). Conversely, macroscopic models are less easy to modify (to simulate a particular situation) but they can be used for big simulations. The idea is then to find the macroscopic model equivalent to a microscopic model describing a particular scenario (a junction, a bifurcation, different types of drivers, a school zone,...). The first part of this work contains an homogenization result and a numerical homogenization result for a microscopic model with different types of drivers. The second part contains an homogenization and numerical homogenization result for microscopic models with a local perturbation (a moderator, a school zone,...). Finally, we present an homogenization result for a bifurcation

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Laurent, Camille. "Contrôle d'équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00536082.

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Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. Dans le cas d'un intervalle, on raisonne à la régularité L^2, permettant ainsi de traiter une non-linéarité focalisante ou défocalisante. On obtient aussi des résultats de régularité supplémentaire pour le contrôle. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. Pour cette équation, on donne aussi un terme d'amortissement dépendant du temps permettant d'avoir un taux de décroissance exponentielle arbitraire. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une nonlinéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en prols sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations : les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.

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Deaconu, Madalina. "Processus stochastiques et équations aux dérivées partielles : applications des espaces de Besov aux processus stochastiques." Nancy 1, 1997. http://www.theses.fr/1997NAN10046.

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La première partie de cette thèse étudie certains processus stochastiques et leur lien avec les équations aux dérivées partielles via les équations différentielles stochastiques. Nous montrons tout d'abord la convergence en loi vers la mesure stationnaire pour un processus stochastique non-linéaire et réfléchi dans l'intervalle [-1,1]. Nous calculons explicitement la mesure stationnaire et nous présentons des approximations numériques pour deux cas particuliers. Ensuite, nous décrivons le comportement des temps d'atteinte pour une diffusion réelle fortement rentrante. Puis, nous considérons certains mouvements browniens réfléchis dans le disque unité et nous cherchons à maximiser l'espérance de leur temps de séjour dans ce disque. Dans la deuxième partie de ce travail, nous présentons quelques applications des espaces de Besov aux processus stochastiques. Nous nous intéressons au départ à l'appartenance du mouvement brownien itéré aux espaces de Besov et aux espaces de Besov-Orlicz. Nous examinons ensuite la régularité dans ces espaces d'un processus à deux indices, solution de l'équation de Walsh. La dernière application présente l'approximation d'une fonction sur le cube d-dimensionnel par le produit tensoriel des réseaux de neurones The first part of this thesis contains topics relating stochastic processes to partial differential equations via the stochastic differential equation. We prove first the convergence in law to the stationary distribution for a non-linear process, reflected in [-1, 1]. Two such stationary densities are computed and numerical results are presented. Further, we describe the behaviour of the hitting times for a strongly inward real diffusion. We consider next sorne reflected Brownian motions in the unit disk and we compute the maximum of the expectation of the time spent by this process in the disk. The second part of this work is devoted to sorne applications of Besov spaces to stochastic processes. We treat at the beginning the membership of the iterated Brownian motion to Besov and Besov-Orlicz spaces. We examine next the Besov regularity for a two indexed stochastic process, solution of the Walsh equation. The last application presents the approximation of a function in the d-dimensional cube by tensor product neural networks

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Moisan, Lionel. "Traitement numérique d'images et de films : équations aux dérivées partielles préservant forme et relief." Paris 9, 1997. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=1997PA090055.

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Resumen

La reconnaissance de formes planes partiellement masquées ne peut se faire que localement en calculant des points caractéristiques (extrema de courbure, points d'inflexions,), et ce calcul requiert un procédé de lissage des formes. Si l'on veut effectuer cette reconnaissance modulo toutes les déformations affines du plan, alors ce procédé est unique : c'est le scale space affiné, découvert en 1993, qui peut être décrit par une équation d'évolution. Dans la première partie de cette thèse, nous montrons comment résoudre cette équation numériquement avec précision, en itérant un opérateur continu, géométrique, global et exactement calculable. Des propriétés de consistance forte et de convergence sont établies et validées par de nombreuses expériences numériques. Ce procédé surpasse largement les schémas classiques aux différences finies, qui ne peuvent vérifier rigoureusement l'invariance affine et le principe d'inclusion. Dans une deuxième partie, nous étudions l'un des problèmes fondamentaux de la robotique, la reconstruction du relief à partir d'une séquence d'images. Il s'avère que lorsque le mouvement de l'observateur peut être déterminé, il n'existe fondamentalement qu'une seule manière de filtrer la séquence d'images tout en préservant le relief sous-jacent. Ce filtrage, obtenu grâce à une démarche axiomatique, se formule par une équation aux dérivées partielles non linéaire du second ordre, parabolique dégénérée, qui présente une singularité très forte inhérente au problème de reconstruction. Nous établissons des resultats d'existence et d'unicité pour cette équation, puis mettons en évidence certaines propriétés mathématiques qui se prêtent facilement à une interprétation physique. Enfin, nous décrivons un schéma numérique adapté, et réalisons des expériences qui montrent que ce filtrage, par la cohérence qu'il induit, ramène le procédé de reconstruction à un calcul élémentaire et fiable.

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Collion, Stephane. "Fonctions critiques et équations aux dérivées partielles elliptiques sur les variétés riemanniennes compactes." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007685.

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Cette thèse s'intéresse à la résolution d'EDP non linéaire sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n 3 de la forme : . Ces équations ont une structure variationnelle et on cherche des solutions qui minimisent l'énergie : parmi les fonctions u de W1,2 qui vérifient Cf(u)= . Th. Aubin a montré qu'on a toujours : , où cn est une constante qui ne dépend que de la dimension, et que de plus si l'inégalité est stricte, alors l'équation a des solutions minimisantes. Je montre dans mon travail des théorèmes d'existence dans le cas limite où cette inégalité est une égalité en utilisant une notion de « fonction critique » introduite par E. Hebey et M. Vaugon, et je montre différents résultats concernant ces fonctions critiques.

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Boudin, Laurent. "Etude mathématique des équations aux dérivées partielles cinétiques et hyperboliques de la physique." Orléans, 2000. http://www.theses.fr/2000ORLE2031.

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Dans ce travail, nous étudions des problèmes issus de la mécanique des fluides modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous les abordons de deux points de vue différents. Dans le premier, le fluide est considéré comme un milieu continu et vérifie un système d'EDP tel que les équations de Navier-Stokes ou les équations d'Euler. Ces dernières sont obtenues en écrivant les lois de conservation de grandeurs comme la densité de masse, la quantité de mouvement ou l'énergie du fluide. Nous nous penchons sur une version simplifiée des équations de Navier-Stokes : le système des gaz sans pression unidimensionnel (avec viscosité). Plus pr'écisément, nous prouvons l'existence de solutions à ce problème, puis nous étudions le comportement de ces solutions à viscosité évanescente. Le second point de vue est celui de la théorie cinétique. Le milieu ambiant est constistué de multiples particules de matière soumises à divers phénomènes physiques (collisions, réactions chimiques. . . ). Ces particules sont décrites par une fonction de distribution qui est solution d'une équation cinétique comme l'équation de boltzmann. Nous nous intéressons plus spécifiquement à un résultat propre à des solutions globalBes de l'équation de Boltzmann à donnée initiale petite concernant la propagation des singularités In this work, we investigate some problems coming from fluid mechanics which are modelled by partial differential equations (PDE)

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Colin, Thierry. "Problème de Cauchy et effets régularisants pour des équations aux dérivées partielles dispersives." Cachan, Ecole normale supérieure, 1993. http://www.theses.fr/1993DENS0003.

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Dans la première partie, on traite une équation de Schrödinger non linéaire et non locale qui intervient en physique des plasmas: problème de Cauchy local et global, ondes stationnaires et leur stabilité. Dans la deuxième partie, on étudie le problème de Cauchy local pour une classe d'équations dispersives en utilisant des effets régularisant globaux. Dans la troisième partie, on démontre des effets régularisant pour des équations dispersives grâce a une transformée de Wigner généralisée. Ceci fournit de nouvelles estimations

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Collion, Stéphane. "Fonctions critiques et équations aux dérivées partielles elliptiques sur les variétés riemanniennes compactes." Paris 6, 2004. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007685.

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Gao, Yueyuan. "Méthodes de volumes finis pour des équations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2015. http://www.theses.fr/2015SACLS187/document.

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Le but de cette thèse est de faire l'étude de méthodes de volumes finis pour des équations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques; nous effectuons des simulations numériques et démontrons des résultats de convergence d'algorithmes.Au Chapitre 1, nous appliquons un schéma semi-implicite en temps combiné avec la méthode de volumes finis généralisés SUSHI pour la simulation d'écoulements à densité variable en milieu poreux; il vient à résoudre une équation de convection-diffusion parabolique pour la concentration couplée à une équation elliptique en pression. Nous présentons ensuite une méthode de simulation numérique pour un problème d'écoulements à densité variable couplé à un transfert de chaleur.Au Chapitre 2, nous effectuons une étude numérique de l'équation de Burgers non visqueuse en dimension un d'espace, avec des conditions aux limites périodiques, un terme source stochastique de moyenne spatiale nulle et une condition initiale déterministe. Nous utilisons un schéma de volumes finis combinant une intégration en temps de type Euler-Maruyama avec le flux numérique de Godunov. Nous effectuons des simulations par la méthode de Monte-Carlo et analysons les résultats pour différentes régularités du terme source. Il apparaît que la moyenne empirique des réalisations converge vers la moyenne en espace de la condition initiale déterministe quand t → ∞. Par ailleurs, la variance empirique converge elle aussi en temps long, vers une valeur qui dépend de la régularité et de l'amplitude du terme stochastique.Au Chapitre 3, nous démontrons la convergence d'une méthode de volumes finis pour une loi de conservation du premier ordre avec une fonction de flux monotone et un terme source multiplicatif faisant intervenir un processus Q-Wiener. Le terme de convection est discrétisé à l'aide d'un schéma amont. Nous présentons des estimations a priori pour la solution discrète dont en particulier une estimation de type BV faible. A l'aide d'une interpolation en temps, nous démontrons deux inégalité entropiques vérifiées par la solution discrète, ce qui nous permet de prouver que la solution discrète converge selon une sous-suite vers une solution stochastique faible entropique à valeurs mesures de la loi de conservation.Au Chapitre 4, nous obtenons des résultats similaires à ceux du Chapitre 3 dans le cas où la fonction flux n'est pas monotone; le terme de convection est discrétisé à l'aide d'un schéma monotone This thesis bears on numerical methods for deterministic and stochastic partial differential equations; we perform numerical simulations by means of finite volume methods and prove convergence results.In Chapter 1, we apply a semi-implicit time scheme together with the generalized finite volume method SUSHI for the numerical simulation of density driven flows in porous media; it amounts to solve a nonlinear convection-diffusion parabolic equation for the concentration coupled with an elliptic equation for the pressure. We then propose a numerical scheme to simulate density driven flows in porous media coupled to heat transfer. We use adaptive meshes, based upon square or cubic volume elements.In Chapter 2, We perform Monte-Carlo simulations in the one-dimensional torus for the first order Burgers equation forced by a stochastic source term with zero spatial integral. We suppose that this source term is a white noise in time, and consider various regularities in space. We apply a finite volume scheme combining the Godunov numerical flux with the Euler-Maruyama integrator in time. It turns out that the empirical mean converges to the space-average of the deterministic initial condition as t → ∞. The empirical variance also stabilizes for large time, towards a limit which depends on the space regularity and on the intensity of the noise.In Chapter 3, we study a time explicit finite volume method with an upwind scheme for a first order conservation law with a monotone flux function and a multiplicative source term involving a Q-Wiener process. We present some a priori estimates including a weak BV estimate. After performing a time interpolation, we prove two entropy inequalities for the discrete solution and show that it converges up to a subsequence to a stochastic measure-valued entropy solution of the conservation law in the sense of Young measures.In Chapter 4, we obtain similar results as in Chapter 3, in the case that the flux function is non-monotone, and that the convection term is discretized by means of a monotone scheme

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Grillot, Philippe. "Singularités isolées dans des équations et des systèmes elliptiques semi-linéaires." Tours, 1997. http://www.theses.fr/1997TOUR4007.

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Dans cette thèse, nous nous intéressons d'abord aux comportements asymptotiques au voisinage d'un point des solutions positives d'une équation de type Emden-Fowler avec un terme non-linéaire non-lipschitzien et en dimension supérieure ou égale à 2. Dans une deuxième partie, nous perturbons l'équation en ajoutant un potentiel qui n'assure plus la sous-harmonicité des solutions. La troisième partie est la plus importante de notre travail ; on y étudie les comportements au voisinage de l'origine d'un couple de solutions positives d'un système de type hamiltonien fortement couplé. Le principal résultat dans cette étude est l'obtention d'estimation à priori des solutions basées sur une méthode de Bootstrapp. Nous donnons également des résultats de convergences dans des cas précis et nous mettons en évidence des comportements anisotropes des solutions.

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Prevost, Céline. "Applications des équations aux dérivés partielles aux problèmes de dynamique des populations et traitement numérique." Orléans, 2004. http://www.theses.fr/2004ORLE2072.

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Nous étudions des équations aux dérivées partielles qui décrivent l'évolution d'une population structurée à la fois en position, et à la fois par rapport à un trait quantitatif continu. Cette population est soumise à trois forces évolutives : la sélection naturelle, les migrations et les mutations. Dans une première partie, nous étudions un modèle décrivant une population asexuée. Nous démontrons un théorème d'existence et d'unicité de solutions fortes, puis un théorème d'existence de solutions faibles avec des coefficients moins réguliers. Enfin, nous faisons un traitement numérique du modèle. Dans la deuxième partie, nous étudions le problème stationnaire du modèle précédent. Nous démontrons l'existence de solutions faibles, puis de solutions mesures, et nous terminons par un traitement numérique. Enfin, dans la troisième partie, nous démontrons l'existence d'une solution au problème décrivant une population à reproduction sexuée.

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Talbi, Mouloud. "Résolution stochastique d'équations aux dérivées partielles paraboliques à coefficients discontinus et applications physiques." Paris 6, 1987. http://www.theses.fr/1987PA066638.

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Dans cette these, on fait la jonction entre les etudes relatives aux problemes de reflexion et les problemes a coefficients discontinus. On considere que le domaine d = r**(d), s'ecrit comme reunion de deux sous-domaines v et w et d'une surface s de dimension (d-1), de classe c**(2) et a courbure bornee. On etudie alors un probleme d'equations aux derivees partielles associe a un operateur de "classe c**(2) par morceaux". Pour cela, on construit dans un premier temps un processus appele "mouvement brownien asymetrique" correspondant a un drift generalise sur la surface mais ne faisant par intervenir la discontinuite des coefficients. On donne ses densites de probabilites de transition ainsi que son generateur infinitesimal generalise (g. I. G. ). Dans un deuxieme temps, a partir du mouvement brownien asymetrique precedent, on construit un processus stochastique modifie dont le g. I. G. Admet alors un coefficient de diffusion discontinu, via un changement de temps aleatoire. On etudie les proprietes de regularites de ses densites de probabilites de transition et on donne son g. I. G. On s'interesse ensuite, a un systeme d'e. D. P. Parabolique, diagonal dans son symbole principal que l'on resout par la methode de "mixage". Cette methode nous ramene a une etude d'un operateur pour lequel on utilise la formule de taylor stochastique en dimension un et trois. Finalement, on applique cette methode a un probleme de la physique des reacteurs : le probleme de la cinetique spatiale des neutrons en theorie de diffusion multigroupe

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Schorsch, Julien. "Contributions à l’estimation paramétrique des modèles décrits par les équations aux dérivées partielles." Doctoral thesis, Université de Lorraine, Nancy, France, 2013. http://hdl.handle.net/2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/245203.

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Wang, Hao. "Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies et applications au problème d'investissement réversible et aux équations aux dérivées partielles." Le Mans, 2009. http://cyberdoc.univ-lemans.fr/theses/2009/2009LEMA1013.pdf.

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L'objet de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solutions des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies puis de lier cette notion à des problèmes tels que l'investissement réversible ou bien le problème d'arrête et de reprise, le jeu stochastique différentiel de somme nulle (mixte type ou Dynkin type), ou alors l'interprétation probabiliste de solutions faibles des équations intégrales aux dérivées partielles, au sens de viscosité ou au sens Sobolev dans les cadres différents The main objective of the thesis is to study the existence and uniqueness of solutions of reflected backward stochastic differential equations and to relate this notion to the study of the problems such as the reversible investment or so-called optimal switching problem, the mixed zero-sum stochastic differential games and the probabilistic interpretation of the weak solution of partial differential equations, either in viscosity sense or in Sobolev space under different framework

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Plazanet, Philippe. "Contributions à l'analyse des fonctions convexes et des différences de fonctions convexes : application à l'optimisation et à la théorie des E.D.P." Toulouse 3, 1990. http://www.theses.fr/1990TOU30202.

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Les travaux exposes sont constitues de quatre articles independants et consacres a l'etude des proprietes des fonctions convexes et des differences de fonctions convexes (i. E. Des fonctions d. C. ) sur un espace de banach reflexif. Dans le premier article, on etablit une reciproque d'un theoreme de j. -j. Moreau, qui permet, une factorisation inf-convolutive de deux fonctions convexes s. C. I. Sur un espace de hilbert, si leur somme est egale au demi-carre de la norme. On en deduit des applications a la caracterisation des fonctions fortement convexes. Le deuxieme article generalise, dans le cas des espaces de banach reflexifs, un critere de positivite pour les formes quadratiques. Dans les deux derniers articles, on etudie des proprietes des fonctions d. C. Sur un espace de banach reflexif. On compare les points critiques d'une fonction d. C. Et ceux de sa regularisation par inf-convolution. On etudie la regularite obtenue par l'usage d'une famille particuliere de noyaux d'inf-convolution. Les resultats generalisent, dans le cas convexe, des proprietes connues de la regularisation de moreau-yosida, indiquent le lien de ces regularisations avec les equations de hamilton-jacobi et mettent en evidence un nouvel aspect de l'analogie entre la transformation de fourier et celle de legendre. Enfin, on se pose le probleme de l'existence, de la localisation et du calcul des points critiques d'une fonction d. C. Et on applique les resultats aux fonctionnelles du calcul des variations

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Garnier, Jimmy. "Analyse mathématique de modèles de dynamique des populations : équations aux dérivées partielles paraboliques et équations intégro-différentielles." Phd thesis, Aix-Marseille Université, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00755296.

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Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion. L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction, de l'opérateur de dispersion, et de la donnée initiale sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est le laplacien et les équations intégro-différentielles pour lesquelles l'opérateur de dispersion est de type convolution. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion $J$ modifie totalement la vitesse de propagation. Plus précisément, la présence de noyaux de dispersion à queue lourde ou à décroissance sous-exponentielle entraîne l'accélération des lignes de niveaux de la solution.

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Filipe, Margarida. "Étude mathématique et numérique d'un problème d'interaction fluide-structure dépendant du temps par la méthode de couplage éléments finis-équations intégrales." Palaiseau, Ecole polytechnique, 1994. http://www.theses.fr/1994EPXX0035.

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Samson, Christophe. "Contribution à la classification d'images satellitaires par approche variationnelle et équations aux dérivées partielles." Phd thesis, Université de Nice Sophia-Antipolis, 2000. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00319709.

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Ce travail est consacré au développement ainsi qu'à l'implantation de deux modèles variationnels pour la classification d'images. La classification d'images, consistant à attribuer une étiquette à chaque pixel d'une image, concerne de nombreuses applications à partir du moment où cette opération intervient très souvent à la base des chaînes de traitement et d'interprétation d'images. De nombreux modèles de classification ont déjà été développés dans un cadre stochastique ou à travers des approches structurales, mais rarement dans un contexte variationnel qui a déjà montré son efficacité dans divers domaines tels que la reconstruction ou la restauration d'images. Le premier modèle que nous proposons repose sur la minimisation d'une famille de critères dont la suite de solutions converge vers une partition des données composée de classes homogènes séparées par des contours réguliers. Cette approche entre dans le cadre des problèmes à discontinuité libre (free discontinuity problems) et fait appel à des notions de convergence variationnelle telle que la théorie de la ì-convergence. La famille de fonctionnelles que nous proposons de minimiser contient un terme de régularisation, ainsi qu'un terme de classification. Lors de la convergence de cette suite de critères, le modèle change progressivement de comportement en commençant par restaurer l'image avant d'entamer le processus d'étiquetage des pixels. Parallèlement à cette approche, nous avons développé un second modèle de classification mettant en jeu un ensemble de régions et contours actifs. Nous utilisons une approche par ensembles de niveaux pour définir le critère à minimiser, cette approche ayant déjà suscité de nombreux travaux dans le cadre de la segmentation d'images. Chaque classe, et son ensemble de régions et contours associé, est défini à travers une fonction d'ensemble de niveaux. Le critère contient des termes reliés à l'information sur les régions ainsi qu'à l'information sur les contours. Nous aboutissons à la résolution d'un système d'équations aux dérivées partielles couplées et plongées dans un schéma dynamique. L'évolution de chaque région est guidée par un jeu de forces permettant d'obtenir une partition de l'image composée de classes homogènes et dont les frontières sont lisses. Nous avons mené des expériences sur de nombreuses données synthétiques ainsi que sur des images satellitaires SPOT. Nous avons également étendu ces deux modèles au cas de données multispectrales et obtenu des résultats sur des données SPOT XS que nous avons comparé à ceux obtenus par différents modèles.

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Macherey, Arthur. "Approximation et réduction de modèle pour les équations aux dérivées partielles avec interprétation probabiliste." Thesis, Ecole centrale de Nantes, 2021. http://www.theses.fr/2021ECDN0026.

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Nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution numérique de modèles régis par des équations aux dérivées partielles admettant une interprétation probabiliste. Dans un premier temps, nous considérons des équations aux dérivées partielles en grande dimension. En nous basant sur une interprétation probabiliste de la solution qui permet d’obtenir des évaluations ponctuelles de celle-ci via des méthodes de Monte-Carlo, nous proposons un algorithme combinant une méthode d’interpolation adaptative et une méthode de réduction de variance pour approcher la solution sur tout son domaine de définition. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux méthodes de bases réduites pour les équations aux dérivées partielles paramétrées. Nous proposons deux algorithmes gloutons reposant sur une interprétation probabiliste de l’erreur. Nous proposons également un algorithme d’optimisation discrète probably approximately correct en précision relative qui nous permet, pour ces deux algorithmes gloutons, de sélectionner judicieusement un snapshot à ajouter à la base réduite en se basant sur la représentation probabiliste de l’erreur d’approximation In this thesis, we are interested in the numerical solution of models governed by partial differential equations that admit a probabilistic interpretation. In a first part, we consider partial differential equations in high dimension. Based on a probabilistic interpretation of the solution which allows to obtain pointwise evaluations of the solution using Monte-Carlo methods, we propose an algorithm combining an adaptive interpolation method and a variance reduction method to approximate the global solution. In a second part, we focus on reduced basis methods for parametric partial differential equations. We propose two greedy algorithms based on a probabilistic interpretation of the error. We also propose a discrete optimization algorithm probably approximately correct in relative precision which allows us, for these two greedy algorithms, to judiciously select a snapshot to add to the reduced basis based on the probabilistic representation of the approximation error

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Pacard, Frank. "Existence et compacité de solutions de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques non-linéaires." Paris 11, 1991. http://www.theses.fr/1991PA112151.

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Cette these apporte une contribution a l'etude de certaines equations aux derivees partielles elliptiques non-lineaires. Elle est composee de deux parties distinctes. Dans une premiere partie, nous etudions la convergence de suites de surfaces dont la courbure moyenne est prescrite. La deuxieme partie concerne l'etude d'equations aux derivees partielles elliptiques non lineaires scalaires. Dans un premier temps nous obtenons des resultats d'existence de solutions definies sur des anneaux, puis un resultat d'existence de solutions dont les singularites ponctuelles sont fixees et enfin un resultat relatif a la regularite de solutions faibles de certaines de ces equations

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Tesis sobre el tema "Équations aux dérivées partielles et ordinaires"

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