Tesis: "Cohomologie des groupes condensés"

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Artusa, Marco. "Sur des théorèmes de dualité pour la cohomologie condensée du groupe de Weil d'un corps p-adique". Electronic Thesis or Diss., Bordeaux, 2024. http://www.theses.fr/2024BORD0228.

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Resumen

L’objectif de cette thèse est double. Premièrement, on construit une théorie de cohomologie topologique pour le groupe de Weil d’un corps p-adique. En second lieu, on utilise cette théorie pour prouver des théorèmes de dualité, qui se manifestent sous la forme de la dualité de Pontryagin entre groupes abéliens localement compacts. Ces résultats améliorent des théorèmes de dualité existants et leur confèrent une perspective topologique. De tels objectifs peuvent être atteints grâce aux Mathématiques Condensées, qui fournissent un cadre dans lequel il est possible de faire de l’algèbre avec des objets topologiques. On définit une théorie cohomologique pour les groupes condensés et pro-condensés et on étudie ses propriétés. Ensuite, on applique cela au groupe de Weil d’un corps p-adique, considéré comme un groupe pro-condensé. On démontre que, dans certains cas particuliers, les groupes de cohomologie correspondants sont des groupes abéliens localement compacts de rangs finis. Ceci nous permet d’étendre la dualité locale de Tate à une catégorie plus générale de coefficients non nécessairement discrets, o`u elle prend la forme d’une dualité de Pontryagin entre groupes abéliens localement compacts. Dans la dernière partie de la thèse, on utilise le même cadre pour retrouver une version “à la Weil” de la dualité de Tate avec coefficients dans les variétés abéliennes, et plus généralement dans les 1- motifs, en exprimant ces dualités comme des accouplements parfaits entre groupes abéliens condensés. Pour ce faire, on associe à chaque groupe algébrique, resp. 1-motif, un groupe abélien condensé, resp. un complexe de groupes abéliens condensés, avec une action du groupe de Weil (pro-condensé). On appelle cette association la réalisation de Weil-étale condensée. On montre l’existence d’un accouplement de Poincaré condensé pour les variétés abéliennes, et on prouve une version condensée et “à la Weil” de la dualité de Tate à coefficients dans les variétés abéliennes, qui améliore le résultat correspondant de Karpuk. Enfin, on montre l’existence d’un accouplement de Poincaré condensé pour les 1-motifs. On prouve que cet accouplement est compatible à la filtration par les poids et on démontre un théorème de dualité à coefficients dans les 1- motifs, qui améliore un résultat de Harari-Szamuely
The goal of this thesis is twofold. First, we build a topological cohomology theory for the Weil group of p-adic fields. Secondly, we use this theory to prove duality theorems for such fields, which manifest as Pontryagin duality between locally compact abelian groups. These results improve existing duality theorems and give them a topological flavour. Condensed Mathematics allow us to reach these objectives, providing a framework where it is possible to do algebra with topological objects. We define and study a cohomology theory for condensed groups and pro-condensed groups, and we apply it to the Weil group of a p-adic field, considered as a pro-condensed group. The resulting cohomology groups are proved to be locally compact abelian groups of finite ranks in some special cases. This allows us to enlarge the local Tate duality to a more general category of non-necessarily discrete coefficients, where it takes the form of a Pontryagin duality between locally compact abelian groups. In the last part of the thesis, we use the same framework to recover a Weil-version of the Tate duality with coefficients in abelian varieties and more generally in 1-motives, expressing those dualities as perfect pairings between condensed abelian groups. To do this, we associate to every algebraic group, resp. 1-motive, a condensed abelian group, resp. a complex of condensed abelian groups, with an action of the (pro-condensed) Weil group. We call this association the condensed Weil-´etale realisation. We show the existence of a condensed Poincar´e pairing for abelian varieties and we prove a condensed-Weil version of the Tate duality with coefficients in abelian varieties, which improves the correspondent result of Karpuk. Lastly, we exhibit a condensed Poincar´e pairing for 1-motives. We show that this pairing is compatible with the weight filtration and we prove a duality theorem with coefficients in 1-motives, which improves a result of Harari-Szamuely

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Basbois, Nicolas. "La naissance de la cohomologie des groupes". Phd thesis, Université de Nice Sophia-Antipolis, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00430204.

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Resumen

Cette thèse étudie d'un point de vue historique la genèse de la cohomologie des groupes, théorie qui vit le jour dans les années 1940. Il s'agit d'une théorie à la fois algébrique, au sens où elle donne des résultats sur les groupes, et topologique par les méthodes qu'elle met en œuvre . Le présent travail analyse les mécanismes par lesquels la topologie et l'algèbre se sont interpénétrées pour donner naissance à cette théorie abstraite et élaborée, en mettant notamment en perspective ce phénomène par rapport à ceux, plus globaux, de la naissance et de l'expansion de l'algèbre moderne. Y sont notamment discutées l'influence d'Emmy Noether dans l'algébrisation de la topologie et les motivations respectives de Heinz Hopf et d'Eilenberg & Mac Lane les ayant menés à l'élaboration de l'homologie des groupes. L'analyse minutieuse de plusieurs articles phares - dus aux auteurs cités précédemment mais aussi à Schur, Vietoris ou encore Eckmann - permet de mettre en lumière le fait que la volonté de répondre à des problèmes mathématiques précis fut peut-être plus motrice, dans l'émergence de cette théorie architectonique qu'est la cohomologie des groupes, que de grandes idées directrices conçues au sein de représentations structurales des mathématiques.

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Bonneau, Philippe. "Groupes quantiques". Dijon, 1993. http://www.theses.fr/1993DIJOS022.

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Resumen

Les groupes quantiques ont fait leur apparition vers 1982. Ils ont depuis constitué l'un des sujets les plus florissants de mathématiques. Jamais pourtant, mis à part les résultats partiels de Gerstenhaber, la caractéristique principale de ces structures, la déformation, n'a été étudiée selon une théorie rigoureuse. C'est ce que nous faisons dans cette thèse. Au cours de 3 articles déjà publiés et un preprint, on a adapté la théorie des déformations algébriques à la catégorie naturelle pour les groupes quantiques: les algèbres quasi-hopf. On l'a ensuite appliquée à chaque ancien modèle trouvant des propriétés différentes de trivialité et de rigidité. Devant ces différences, nous avons été amenés à considérer un nouveau modèle, adhérence topologique de celui de Drinfeld, plus rigide (nullité d'une 2-cohomologie), déformation triviale de l'adhérence de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie. Il a de plus la propriété remarquable d'unifier de façon très simple les anciens modèles (dualité topologique). On montre enfin, dans l'exemple du double quantique, comment les concepts développés antérieurement s'adaptent facilement au nouveau modèle, et sont, de plus, susceptibles d'apporter de nouveaux et intéressants résultats

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Sequeira-Manzino, Emiliano. "Cohomologie Lp et d'Orlicz relative et applications aux groupes d'Heintze". Thesis, Lille 1, 2020. https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDSPI/2020/2020LILUI053.pdf.

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Resumen

Ce texte est divisé en deux parties. Dans la première on définit la cohomologie $L^p$ de certains espaces métriques Hyperboliques d'après Gromov relativement à un point dans son bord à l'infini. Deux aspects différents sont traités. En premier on étudie une version simpliciale de la cohomologie $L^p$ adaptée aux complexes simpliciaux à géométrie bornée. On montre, de manière similaire au cas classique, qu'elle est invariante par quasi-isométries sous certaines hypothèses. Ensuite on définit une version relative de la cohomologie $L^p$ de de Rham dans le cas des variétés riemanniennes. On étudie la relation entre ces deux notions, on en déduit que la deuxième version est aussi invariante par quasi-isometries sous certaines hypothèses. Comme application on étudie la cohomologie $L^p$ relative à un point distingué dans le bord des groupes d'Heintze $\R^{n-1}\rtimes_\alpha\R$, où la dérivation $\alpha$ a toutes ses valeurs propres réelles positives $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_{n-1}$. Comme conséquence on obtient que les nombres $\frac{\lambda_1}{\mathrm{tr}(\alpha)},\ldots,\frac{\lambda_{n-1}}{\mathrm{tr}(\alpha)}$ sont invariants par quasi-isometries.Dans la deuxième partie on travaille avec la cohomologie d'Orlicz, une généralisation de la cohomologie $L^p$. On définit aussi une version relative et on adapte la preuve de l'invariance par quasi-isometries de la cohomologie d'Orlicz simpliciale. Comme résultat central de cette deuxième partie on démontre l'équivalence entre la cohomologie d'Orlicz simpliciale (relative) et la cohomologie d'Orlicz-de Rham (relative) pour les groupes de Lie. Une conséquence importante est l'invariance par quasi-isometries de la cohomologie d'Orlicz-de Rham dans le cas des groupes de Lie contractiles
This work has two parts. In the first we define the $L^p$-cohomology of certain Gromov-hyperbolic spaces relative to a point on its boundary at infinity. This is done in two different contexts. First we consider a simplicial version, defined for simplicial complexes with bounded geometry. In a similar way as in the classical case we prove the quasi-isometry invariance under a contractibility condition. Then we define a relative version of the de Rham $L^p$-cohomology in the case of Riemannian manifolds. We study the relationship between these two definitions, which allows to conclude that this second version is also invariant under certain hypothesis. As an application we study the $L^p$-cohomology relative to a special point on the boundary of Heintze groups of the form $\R^{n-1}\rtimes_\alpha\R$, where the derivation $\alpha$ has positive eigenvalues $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_{n-1}$. As a consequence the numbers $\frac{\lambda_1}{\mathrm{tr}(\alpha)},\ldots,\frac{\lambda_{n-1}}{\mathrm{tr}(\alpha)}$ are invariant by quasi-isometries. In the second part we work with Orlicz cohomology, which is a generalization of $L^p$-cohomology. We also define a relative version and adapt the proof of the quasi-isometry invariance in the simplicial case. As the main result of this part we prove the equivalence between the simplicial (relative) Orlicz cohomology and the (relative) Orlicz-de Rham cohomology for Lie groups. An important consequence of this is the quasi-isometry invariance of Orlicz-de Rham cohomology in the case of contractible Lie groups

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Louvet, Nicolas. "Phénomènes de rigidité pour un réseau dans un produit de groupes". Metz, 1998. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1998/Louvet.Nicolas.SMZ9841.pdf.

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Resumen

Une classe remarquable de groupes localement compacts a été découverte par Kazhdan en 1967. Il s'agit des groupes possédant la propriété (t)(appelés aussi groupes de Kazhdan). Ces groupes jouissent d'innombrables propriétés de rigidité et ont des applications en géométrie, théorie des graphes, algèbre d'opérateurs, un groupe g localement compact possède la propriété (t) de Kazhdan si la représentation triviale de dimension un de g est un point isolé dans le dual unitaire de g. De façon équivalente, si le groupe g est dénombrable à l'infini alors g possède la propriété (t) si et seulement si le premier espace de cohomologie de g a coefficients dans une représentation unitaire quelconque est trivial. De plus, un réseau (i. E. Un sous-groupe discret de covolume fini) dans un groupe de Kazhdan possède également la propriété (t). Dans ce travail, nous obtenons, pour un réseau irréductible dans le produit direct de deux groupes localement compacts, des résultats du type propriété (t) affaiblie : annulation du premier espace de cohomologie pour une famille de représentations ou isolation de la représentation triviale dans un sous ensemble naturel de représentations, ainsi que des résultats du type super-rigidité des représentations : telles représentations du réseau proviennent de restrictions de représentations du groupe ambiant. Nous donnons également quelques conséquences de ces résultats (absence de trace sur la c*-algèbre du réseau, rigidité des représentations de dimension finie) ainsi qu'une liste de groupes pour lesquels nos résultats s'appliquent.

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Louvet, Nicolas Bekka M. Bachir. "Phénomènes de rigidité pour un réseau dans un produit de groupes /". [S.l.] : [s.n.], 1998. ftp://ftp.scd.univ-metz.fr/pub/Theses/1998/Louvet.Nicolas.SMZ9841.pdf.

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Rousseau, Cédric. "Déformations d'actions de groupes et de certains réseaux résolubles". Valenciennes, 2006. http://ged.univ-valenciennes.fr/nuxeo/site/esupversions/9d5ce0c1-8f64-4c8e-8316-a2f3833238d9.

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Resumen

Le critère de rigidité locale donné par Weil en 1964 est à l'origine de nombreux calculs de cohomologie des groupes appliqués à l' étude des déformations de réseaux dans les groupes de Lie. En introduisant par analogie la notion de rigidité infinitésimale, Zimmer suggère le même type de calculs pour les déformations d'actions de groupes sur les variétés différentiables. On traite dans ce travail de situations peu étudiées jusqu'alors pour ces deux notions de rigidité : l'action standard sur le tore T2 d'un sous-groupe d'indice infini de SL(2,R) engendré par une matrice hyperbolique. On définira la notion de rigidité Ws-infinitésimale de Sobolev pour cette action et on montrera que cette dernière n'est Ws-infinitésimalement rigide que si s est strictement inférieur à 1, et de là, que cette action n'est pas différentiablement infinitésimalement rigide. Les déformations d'un réseau  dans un groupe de Lie G résoluble non nilpotent. On déterminera la dimension de l'espace de cohomologie H1(,g) censé " mesurer " le défaut de rigidité de ce réseau, puis, par la description précise de ses déformations, on montrera que, bien que n'étant pas localement rigide dans G, le groupe , considéré comme sous-groupe de SL(n+1,ℝ), est localement SL(n+1,ℝ)-rigide dans G dans le sens où toute déformation suffisamment petite de  dans G est conjuguée à  par un élément de SL(n+1,ℝ)
The criterion for local rigidity given by Weil in 1964 is at the beginning of many group cohomology calculations in order to study the deformations of lattices in Lie groups. By introducing by analogy the concept of infinitesimal rigidity, Zimmer suggests the same type of calculations for the deformations of group actions on differentiable manifolds. We deal in this work with situations not very studied hitherto for these two concepts of rigidity : the standard action on the torus T2 of an infinite index subgroup of SL(2,ℤ) generated by a hyperbolic matrix. We will define the concept of Sobolev Ws-infinitesimal rigidity for this action and we will show that this one is Ws-infinitesimally rigid only if s is strictly lower than 1, and from there, that this action is not differentiably infinitesimally rigid. The deformations of a certain lattice  in a non-nilpotent solvable Lie group G. We will determine the dimension of the cohomology space H1(,g) supposed “to measure” the defect of rigidity of this lattice, then, by the precise description of its deformations, we will show that, although not being locally rigid in G, the group , considered as a subgroup of SL(n+1,ℝ), is locally SL(n+1,ℝ)-rigid in G in the sense that any small enough deformation of  in G is conjugated to  by an element of SL(n+1, ℝ)

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Tchoudjem, Alexis. "Représentations d'algèbres de Lie dans des groupes de cohomologie à support". Université Joseph Fourier (Grenoble), 2002. http://www.theses.fr/2002GRE10235.

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Touzé, Antoine Franjou Vincent. "Cohomologie rationnelle du groupe linéaire et extensions de bifoncteurs". [S.l.] : [s.n.], 2008. http://castore.univ-nantes.fr/castore/GetOAIRef?idDoc=37741.

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Nguyen, Tuong-Huy. "Cohomologie des variétés de Coxeter pour le groupe linéaire : algèbre d'endomorphismes, compactification". Thesis, Montpellier, 2015. http://www.theses.fr/2015MONTS031/document.

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Resumen

Les variétés de Deligne-Lusztig associées à un élément de Coxeter, dites variétés de Coxeter et notées $YY(dot{c})$, sont des variétés candidates à réaliser l'équivalence dérivée demandée dans la conjecture de Broué. Cette conjecture implique qu'une telle variété doit avoir une cohomologie disjointe et donne également la description de l'algèbre d'endomorphismes associée. Dans le cas des groupes linéaires, nous décrivons la cohomologie des variétés de Coxeter et en déduisons que celles-ci vérifient bien les propriétés impliquées par la conjecture de Broué. Pour ce faire, nous montrons qu'il est possible d'appliquer un résultat de og transitivitéfg permettant de se ramener à des variétés de Coxeter og plus petitesfg et nous utilisons ensuite un résultat établi par Lusztig sur des variétés notées $XX(c)$, obtenues comme des quotients des variétés $YY(dot{c})$ par des groupes finis. Enfin, dans une dernière partie, la description de la cohomologie des variétés de Coxeter nous permet d'obtenir un lien entre la cohomologie de la compactification $overline{YY}(dot{c})$ et celle de la compactification $overline{XX}(c)$
Deligne-Lusztig varieties associated to Coxeter elements, or more simply Coxeter Varieties denoted by $YY(dot{c})$, are good candidates to realize the derived equivalence needed for the Broué's conjecture. The conjecture implies that the varieties should have disjoint cohomology as well as gives a description of the endomorphisms algebra.For linear groups, we describe the cohomology of the Coxeter varieties and hence show that it agrees with the conditions implied by Broué's conjecture. To do so, we prove it is possible to apply a og transitivityfg result allowing us to restrict to og smallerfg Coxeter varieties. Then, we apply a result obtained by Lusztig on varieties $XX(c)$, which are quotient varieties of $YY(dot{c})$ by some finite groups.In the last part of the thesis, we use the description of the cohomology of Coxeter varieties to connect the cohomology of the compactification $overline{YY}(dot{c})$ and the cohomology of the compactification $overline{XX}(c)$

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Masbaum, Gregor. "Sur l'algebre de cohomologie des espaces classifiants de certains groupes de jauge". Nantes, 1989. http://www.theses.fr/1989NANT2026.

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Resumen

Dans ce travail, nous etudions l'algebre de cohomologie de l'espace classifiant du groupe de jauge d'un fibre de groupe structural su(2). Nous determinons completement cette algebre, a coefficients entiers, dans le cas ou la base du fibre est un bouquet de 2-spheres ou une surface close orientable. Ensuite nous obtenons des resultats partiels dans le cas ou le fibre est au-dessus d'une 4-variete close simplement connexe. Sont etudies particulierement les cas de la sphere de dimension 4 et du produit de deux spheres de dimension 2. Ces resultats sont appliques pour donner des renseignements sur les proprietes de divisibilite des coefficients des invariants polynomiaux de s. Donaldson

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Vidal, Isabelle. "Contributions à la cohomologie étale des schémas et des log-schémas". Paris 11, 2001. http://www.theses.fr/2001PA112246.

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Resumen

Ce travail comprend deux parties indépendantes. La première (chap. I à III) porte sur la géométrie logarithmique. Au chap. I on définit le groupe fondamental logarithmique d'un log schéma fs, et l'on prouve pour celui-ci un théorème de spécialisation à la Grothendieck dans le cas propre et log lisse sur un trait hensélien. On se place ensuite sur un point logarithmique standard s de caractèristique p. Au chap. II, on montre que, si X est un log schéma fs séparé et de type fini sur s, la cohomologie Kummer étale l-adique (l différent de p) de la fibre log géométrique de X est de type fini et munie d'une action quasi-unipotente de l'inertie logarithmique; on étudie les exposants. Au chap. III, pour s = Spec(k), k fini de cardinal q, on définit à la Rapoport la fonction zêta semi-simple Kummer étale l-adique de X. On prouve sa rationalité et son indépendance en l. Dans le cas propre log lisse vertical de Cartier, on en donne une interprétation log cristalline, et l'on décrit ses zéros et ses pôles sur les couronnes p-adiques de rayon une puissance entière de q. .
This work consists of two independent parts. The first one (chaps. I through III) deals with logarithmic geometry. In chap. I we define the logarithmic fundamental group of an fs log scheme and in the proper and log smooth case over the spectrum of a henselian dvr we prove that it satisfies a specialization theorem à la Grothendieck. We then consider a standard logarithmic point s of characteristic p. In chap. II we show that if X is an fs log scheme, separated and of finite type over s, the l-adic Kummer etale cohomology (l different from p) of the log geometric fiber of X finitely generated and endowed with a quasi-unipotent action of the logarithmic inertia, and we study the exponents. In chap. III, for k finite with q elements we define, à la Rapoport, the l-adic Kummer etale semi-simple zeta function of X. We prove it is rational and independent of l. In the proper, log smooth, vertical, Cartier type case we interpret it in terms of log crystalline cohomology and describe its zeroes and poles on the p-adic annuli of radius an integral power of q. .

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Dudas, Olivier. "Géométrie des variétés de Deligne-Lusztig : décompositions, cohomologie modulo l et représentations modulaires". Besançon, 2010. http://www.theses.fr/2010BESA2004.

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Resumen

Cette thèse porte sur la construction et l'étude des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Comme dans le cas ordinaire, l'accent est mis sur les constructions de nature géométrique, obtenues à partir de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. On commence par introduire des méthodes de décomposition du type Deodhar, permettant de déterminer en toute généralité la présence d'une classe particulière de représentations, les modules de Gelfand-Graev, ainsi que certaines de leurs versions généralisées. Des résultats plus précis sont ensuite démontrés pour des variétés associées à certains éléments réguliers de petite longueur. Le cas des éléments de Coxeter tient une place importante dans ce mémoire : pour ces éléments, on détermine un représentant explicite du complexe de cohomologie, aboutissant à une preuve de la version géométrique de la conjecture de Broué pour certains nombres premiers. On en déduit aussi la forme de l'arbre de Brauer du bloc principal dans ce cas, ce qui résout une conjecture de Hiss, Lübeck et Malle. Ces deux résultats sont conditionnés par une hypothèse assurant l'absence de torsion dans la cohomologie, dont on montre qu'elle est satisfaite pour de nombreux groupes classiques et exceptionnels
This work is a contribution to the modular representation theory of finite reductive groups. As in the ordinary setting, we are mainly interested in geometric constructions of the representations by means of the cohomology of Deligne-Lusztig varieties. We start by studying a Deodhar-type decomposition that we use to locate a certain class of representations, the so-called Gelfand-Graev modules and some of their generalizations. More precise results are obtained for varieties associated to some short-length regular elements. The case of Coxeter elements holds an important place in this work: for these specific elements we give an explicit construction of a complex representing the cohomology of the corresponding varieties, leading to a proof of the geometric version of Broue’s conjecture for some prime numbers. We also deduce the Brauer tree of the principal block in this case, which settles a conjecture of Hiss, Lubeck and Malle. Both of these results rely on the assumption that the cohomology is torsion-free, which is shown to hold for several classical and exceptional groups

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BARKATS, FREDERIQUE. "Calcul effectif de groupes de cohomologie locale a support dans des ideaux monomiaux". Nice, 1995. http://www.theses.fr/1995NICE4920.

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La cohomologie locale est un outil puissant pour demontrer des theoremes en geometrie abstraite. Cependant, en dehors du cas des intersections completes ou elle n'est concentree qu'en un seul degre, il est rare que l'on sache la determiner. L'objet de cette these est de calculer effectivement les groupes de cohomologie locale a support dans une variete algebrique definie par des equations monomiales. Nous proposons un algorithme qui utilise la suite de mayer vietoris et la decomposition en composantes irreductibles de l'ideal. Nous donnons alors une classification exhaustive de ces groupes pour des ideaux engendres par des monomes ayant trois, quatre ou cinq variables. Nous decrivons enfin la structure de d-modules de la cohomologie locale, d designant l'algebre de weyl des operateurs differentiels. Nous terminons en calculant les varietes caracteristiques de certains de ces d-modules

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Fuchs, Mathias. "K-théorie et cohomologie cyclique des produits croisés associés aux groupes de Lie". Aix-Marseille 2, 2007. http://theses.univ-amu.fr.lama.univ-amu.fr/2007AIX22050.pdf.

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TERRACINI, LEA. "Groupes de cohomologie de courbes de Shimura et algèbres de Hecke quaternioniques entières". Paris 13, 1998. http://www.theses.fr/1998PA132059.

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Nous etudions quelques proprietes de la cohomologie entiere p-adique des courbes de shimura associees a une algebre de quaternions b, indefinie sur q, de discriminant divisible par p, et d'une algebre de hecke agissant dessus fidelement. Dans le chapitre 1, pour un sous-groupe compact ouvert u de b#x#,##a, maximal aux premiers = p qui divisent et de niveau fixe en dehors, on construit l'espace des formes automorphes et une algebre d'operateurs de hecke sur cet espace. Pour un corps p-adique k assez grand, cette algebre agit fidelement sur l'espace cohomologique h#1(x(u), $$l(n,k)), ou x(u) est la courbe de shimura (adelique) associee a u. La correspondance de jacquet-langlands montre que l'algebre de hecke quaternionique est un quotient d'une algebre de hecke classique (privee de l'operateur t#p). Dans le chapitre 2, on prouve l'independance du poids de la limite projective topologique des algebres de hecke de niveau variable en p. Dans le chapitre 3, on fixe un caractere regulier de f#x#p#2 d'ordre p1, une forme quaternionique f de poids 2. Nebentypus trivial, supercuspidale de type en p et speciale aux places = p divisant le niveau. Soit t la composante locale de l'algebre de hecke de type en p associee a f. La forme f intervient dans un module de cohomologie quaternionique m sur lequel t agit fidelement. En utilisant un systeme de taylor-wiles quaternionique, nous prouvons que t est l'objet universel d'un probleme de deformation (de type en p et semi-stable en dehors) de la representation residuelle associee a f, que t est intersection complete et que le module m est libre de rang 2 sur t. On en deduit l'egalite des modules de congruence quaternionique et arithmetique de type pour f.

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Lourdeaux, Alexandre. "Sur les invariants cohomologiques des groupes algébriques linéaires". Thesis, Lyon, 2020. http://www.theses.fr/2020LYSE1044.

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Resumen

Notre thèse s'intéresse aux invariants cohomologiques des groupes algébriques linéaires, lisses et connexes sur un corps quelconque. Plus spécifiquement on étudie les invariants de degré 2 à coefficients dans le complexe de faisceaux galoisiens Q/Z(1), c'est-à-dire des invariants à valeurs dans le groupe de Brauer. Pour se faire on utilise la cohomologie étale des faisceaux sur les schéma simpliciaux. On obtient une description de ces invariants pour tous les groupes linéaires, lisses et connexes, notamment les groupes non réductifs sur un corps imparfait (par exemple les groupes pseudo-réductifs ou unipotents).On se sert de la description établie pour étudier le comportement du groupe des invariants à valeurs dans le groupe de Brauer par des opérations sur les groupes algébriques. On explicite aussi ce groupe d'invariants pour certains groupes algébriques non réductifs sur un corps imparfait
Our thesis deals with the cohomological invariants of smooth and connected linear algebraic groups over an arbitrary field. More precisely, we study degree 2 invariants with coefficients Q/Z(1), that is invariants taking values in the Brauer group. Our main tool is the étale cohomology of sheaves on simplicial schemes. We get a description of these invariants for every smooth and connected linear groups, in particular for non reductive groups over an imperfect field (as pseudo-reductive or unipotent groups for instance).We use our description to investigate how the groups of invariants with values in the Brauer group behave with respect to operations on algebraic groups. We detail this group of invariants for particular non reductive algebraic groups over an imperfect field

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Weiss, Nicolas. "Cohomologie de GL_2(Z[i,1/2]) à coefficients dans F_2". Phd thesis, Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00174888.

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Resumen

Le point de départ de cette thèse est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes linéaires définis sur Z[1/2] serait détectée par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes linéaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu'elle est fausse à partir de n=14.

On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F_2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.

Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.
La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d'être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus délicate qu'on aurait pu l'espérer.

Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont été la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) où Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la décomposition en somme amalgamée PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en étudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.

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Weiss, Nicolas. "Cohomologie de Gl2(Z[i,1/2]) à coefficients dans F2". Strasbourg 1, 2007. https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2007/WEISS_Nicolas_2007.pdf.

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Resumen

Le but de cette thèse était le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2). Cet anneau de cohomologie apparaît dans une version de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen, qui affirme que la cohomologie modulo 2 du classifiant d'un groupe linéaire à coefficients dans Z[1/2] devrait être détectée par la cohomologie de son sous-groupe des matrices diagonales. L'idée originale était de montrer que cette conjecture est fausse dans le cas de GL_4(Z[1/2]) et la cohomologie de BGL_2(Z[i,1/2]) aurait dû être l'argument principal. En calculant H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), nous avons prouvé que la conjecture est vraie dans le cas de GL_2(Z[i,1/2]). Le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) dépend de l'analyse d'un certain espace Z sur lequel agit PSL_2(Z[i]), et du calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) oGo est un sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel que PSL_2(Z[i,1/2]) est isomorphe à la somme amalgamée PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient le résultat en étudiant plusieurs suites spectrales
The aim of this Phd thesis was to compute H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2). This cohomology ring appears in a certain version of the conjecture of Lichtenbaum and Quillen, asserting that the cohomology modulo 2 of the classifying space of a general linear group over Z[1/2] should be detected by the cohomology of its subgroup of diagonal matrices. The original idea was to show that this conjecture fails in the special case of the general linear group of rank 4 over Z[1/2], and the cohomology of BGL_2(Z[i,1/2]) should have been the main argument. By computing H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), we proved that the conjecture is true in the case of GL_2(Z[i,1/2]). The calculation of H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) depends on the analysis of a certain space Z on which PSL_2(Z[i]) acts in a good way, and the as well as on calculation of H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) and H*(BGo,F_2) where Go is a suitable subgroup of PSL_2(Z[i]) such that PSL_2(Z[i,1/2]) is isomorphic to the amalgamated sum PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i])

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Weiss, Nicolas Henn Hans-Werner. "Cohomologie de GL2(Z[i,1/2]) à coefficients dans F2". Strasbourg : Université Louis Pasteur, 2008. http://eprints-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/863/01/WEISS_Nicolas_2007.pdf.

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Arrigoni, Maurice. "Théorie d'Iwasawa et groupes de Galois nilpotents ou résolubles". Besançon, 1993. http://www.theses.fr/1993BESA2043.

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Resumen

Le but de cette thèse est d'étudier, en terme de présentation par générateurs et relations, certains quotients nilpotents ou résolubles du groupe de Galois de la pro p extension maximale d'un corps de nombres, non ramifiée en dehors d'un ensemble fini de places contenant celles divisant un nombre premier p fixe. L'étude procède par approximations successives, en partant de la théorie d'Iwasawa, pour décrire les premiers gradués de l'algèbre de Lie associée à ce groupe, et parfois même la structure complète de cette algèbre. Enfin, en appliquant le même type de méthode à la suite dérivée associée au sous-groupe correspondant à l'extension cyclotomique du corps de base, Il est mis en évidence une série entière dont les coefficients sont reliés aux présentations nilpotentes du groupe initial

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Barrat, Pierre. "Sur la dimension de la cohomologie parabolique de sous-groupes arithmetiques de sl(3)". Paris 6, 1987. http://www.theses.fr/1987PA066250.

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Resumen

On utilise la correspondance de gelbart-jacquet entre representations de gl(2) et de gl(3) pour minorer la dimension de la cohomologie parabolique de certains sous-groupes arithmetiques de sl(3) explicitement decrits, en examinant les conducteurs des representations admissibles irreductibles generiques de gl(n)

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Barrat, Pierre. "Sur la dimension de la cohomologie parabolique de sous-groupes arithmétiques de SL (3)". Grenoble 2 : ANRT, 1987. http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37602667s.

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Delacroix, Frédéric. "Courants invariants et formes automorphes d'un groupe kleinéen élémentaire". Valenciennes, 2001. https://ged.uphf.fr/nuxeo/site/esupversions/eec105a9-7817-4db3-b224-32c0dc021ef6.

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Resumen

La cohomologie d'un groupe discret à coefficients réels (ou complexes) peut être vue comme la cohomologie de de Rham du quotient d'une variété contractile par une action libre et propre de ce groupe. Il est alors naturel d'envisager l'existence de sous-complexes du complexe des formes différentielles invariantes induisant la même cohomologie, c'est-à-dire pour lesquels l'inclusion est un quasi-isomorphisme. Cette question est étudiée dans le cadre du quotient de l'espace hyperbolique réel par un groupe kleinéen, le sous-complexe considéré étant celui des formes automorphes. Ce problème est alors connu sous le nom de conjecture de Borel, et admet une variante, parfois nommée conjecture de Borel-Harder. Cette conjecture est résolue par la théorie de Hodge classique dans le cas où le quotient est compact et a été prouvée par Franke dans le cas où le quotient est de volume fini. Nous étudions dans ce travail des cas simples où le quotient est de volume infini : celui des groupes élémentaires. Pour cela, nous utilisons la transformation de Poisson pour déplacer le problème sur la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique. On calcule alors explicitement la cohomologie des courants invariants sur cette sphère grâce à la décomposition en une partie régulière sur le domaine de discontinuité et une partie irrégulière sur l'ensemble limite. Ce calcul est mené dans le cas de groupes d'abord monogènes de type hyperbolique (engendré par une loxodromie) puis parabolique (engendré par une translation en dimension 2). Un argument de moyenne permet alors d'étendre ces calculs à des classes plus grandes de groupes élémentaires. On en déduit explicitement la cohomologie des formes automorphes harmoniques cofermées via la transformation de Poisson, et la confrontation de ces résultats à la cohomologie de de Rham du quotient en dimension paire permet alors de répondre positivement à la conjecture de Borel-Harder dans les cas envisagés.

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Rozensztajn, Sandra. "Compactifications toroïdales et cohomologie de De Rham et cristalline de certaines variétés de Shimura". Paris 13, 2005. http://www.theses.fr/2005PA132040.

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L'objectif de cette thèse est de développer pour les groupes unitaires, et particulièrement le groupe GU(2,1), un équivalent du travail de Chai et Faltings sur les intégrales d'Eichler pour les groupes symplectiques. On abordera aussi l'aspect entier de cette théorie. La première étape consiste à construire de bonnes compactifications des modèles entiers de la variété de Shimura asssociée, et de son schéma abélien universel. Nous définissons ensuite des faisceaux cohérents automorphes sur la variété de Shimura associés à certaines représentations du groupe, et leur prolongement à la compactification, et nous étudions la cohomologie de ces faisceaux à laide du complexe BGG. Enfin on associe aux représentations du groupe des systèmes locaux dont on compare la cohomologie étale avec la cohomologie de De Rham et cristalline des faisceaux cohérents automorphes définis précédemment.

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Florence, Mathieu. "Points rationnels sur les espaces homogènes". Paris 11, 2005. http://www.theses.fr/2005PA112101.

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Cette thèse présente deux résultats portant sur les espaces homogènes des groupes algébriques. Dans une première partie, on considère la question suivante, récemment posée par Burt Totaro:Soit k un corps, G un k-groupe algébrique linéaire et X une variété quasi-projective, munie d'une structure de G-espace homogène. Supposons qu'il existe sur X un zéro-cycle de degré d>0; autrement dit, une famille de points fermés de X, dont le pgcd des degrés (sur k) des corps résiduels divise d. Peut-on alors dire que X possède un point rationnel dans une extension de corps séparable de k, de degré divisant d ?Nous répondons négativement à cette question. En particulier, nous produisons un contre-exemple X lorsque k est un corps de nombres. L'espace X en question est géométriquement rationnel, et une k-compactification lisse de X ne peut pas posséder de point k-rationnel. Cela soulève naturellement la question générale suivante: soit X un espace homogène d'un groupe algébrique (sur un corps k ), tel que X admette une k-compactification possédant un point k-rationnel. Peut-on dire que X lui-même possède un point rationnel ? Dans une deuxième partie, nous considérons cette question, pour y apporter une réponse positive en toute généralité. Tout le travail consiste, à l'aide d'outils cohomologiques, à se ramener au cas d'un torseur sous un groupe semi-simple, qui est résolu par la théorie de Bruhat et Tits
This thesis presents two results concerning homogeneous spaces of algebraic groups. In the first part, we consider the following question, recently asked by Burt Totaro:Let k be a field, G a linear algebraic k-group, and X a quasi-projective variety, endowed with the structure of a homogeneous space of G. ﷡Assume there exists a zero-cycle of degree d>0 on X; that is to say, there exists a family of closed points of X, having the property that the gcd of thedegrees (over k) of their residue fields divides d. Can we say that X has a rational point in a separable field extension of k, of degree dividing d ?We show that, in general, the answer is negative. In particular, we produce a counter-example X when k is a number field. ﷡The space X is geometrically rational, and a smooth k-compactification of X cannot have a k-rational point. This suggests to consider﷡the following general question: let X be a homogeneous space of an algebraic group (over a field k), such that X admits a k-compactification having a k-rational point. Then, does X itself possess a rational point ? In the second part of this thesis, we show the answer is positive,in full generality. Roughly speaking, we use cohomological tools to reduce the problem to the case of torsors under semi-simple groups, which is settled by the theory of Bruhat and Tits

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Ducoat, Jerôme. "Invariants cohomologiques des groupes de Coxeter finis". Phd thesis, Université de Grenoble, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00859840.

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Cette thèse traite des invariants cohomologiques en cohomologie galoisienne des groupes de Coxeter finis en caractéristique nulle. On établit d'abord un principe général d'annulation vérifié par tout invariant cohomologique d'un groupe de Coxeter fini sur un corps de caractéristique nulle suffisamment grand. On utilise ensuite ce principe pour déterminer tous les invariants cohomologiques des groupes de Weyl de type classique à coefficients modulo 2 sur un corps de caractéristique nulle.

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Fang, Xin. "Autour des algèbres de battages quantiques : idéaux de définition, spécialisation et cohomologie". Paris 7, 2012. http://www.theses.fr/2012PA077131.

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La partie principale de cette thèse est consacrée à l'étude de certaines constructions et de structures liées aux algèbres de battages quantiques: algèbres differentielles et les opérateurs de Kashiwara; idéaux de définitions et le problème de spécialisation; homologie de coHochschild et théorème de type Borel-Weil-Bott. Dans le dernier chapitre, on obtient une famille d'identités entre les puissances de la fonction η de Dedekind et la trace de l'élément de Coxeter du groupe de tresses d'Artin agissant sur les algèbres de coordonnées quantiques
The main part of this thesis is devoted to study some constructions and structures around quantum shuffle algebras: differential algebras and Kashiwara operators; defining ideals and specialization problem ; coHochschild homology and an analogue of Borel-Weil-Bott theorem. In the last chapter we prove a family of identities relating powers of Dedekind η-function and the trace of the Coxeter element in the Artin braid groups acting on quantum coordinate algebras

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Vasserot, Eric. "Formule asymptotique de la torsion analytique de Ray-Singer d'un fibré vectoriel positif, classe de Segre équivariante et représentation de groupes quantiques dans l'espace de cohomologie de la variété des drapeaux non complets". Paris 7, 1992. http://www.theses.fr/1992PA077203.

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Donnons-nous sur une variété compacte complexe un fibre en droites holomorphe hermitien positif E muni d'une métrique dont la courbure est positive. J'établis, dans un travail commun avec J. -M. Bismut, une formule asymptotique qui donne le logarithme de la torsion analytique de Ray-Singer du complexe de Dolbeault A coefficients dans le fibré et tensorisé un grand nombre à la fois. La démonstration repose sur la méthode du noyau de la chaleur. La formule est ensuite généralisée au cas où E est un fibre vectoriel de rang quelconque en substituant aux puissances tensorielles de E des puissances symétriques. Dans la seconde partie de la thèse, je définis la classe de Segre équivariante d'un fibre en cones muni de l'action d'un groupe de Lie compact connexe et j'établis une formule multiplicative pour les classes de Segre équivariantes. Soit U la déformation quantique définie par V. G. Drinfeld et M. Jimbo de l'algèbre enveloppante du groupe spécial linéaire complexe. En s'inspirant d'une construction de A. Beilinson, G. Lusztig et R. Mac Pherson, V. Ginzburg a construit une représentation de U dans l'espace de cohomologie de la variété des drapeaux non complets du groupe spécial linéaire. Dans la troisième partie de la thèse, je donne une expression simple de cette représentation en termes d'action de permutations sur des polynomes harmoniques.

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Fargues, Laurent. "Correspondances de Langlands locales dans la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink". Paris 7, 2001. http://www.theses.fr/2001PA077192.

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Hoang, Duc Auguste. "Relèvements de représentations galoisiennes à valeurs dans des groupes algébriques". Thesis, Strasbourg, 2015. http://www.theses.fr/2015STRAD039/document.

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Soient 1 -> N -> H -> H' -> 1 une suite exacte centrale de groupes algébriques sur Q_p^alg et F un corps de nombres. Etant donnée une représentation Galoisienne r' : Gal_F -> H', on s'intéresse à ses relèvements à valeurs dans H à travers le morphisme H -> H'. Un relèvement r : Gal_F -> H sera dit minimal, s'il est non-ramifié aux places où r' est non-ramifiée et est de Rham/semi-stable/cristalline aux places divisant p si r' l'est. Dans cette thèse, nous montrons l'existence de relèvements minimaux dans certains cas
Let 1 -> N -> H -> H' -> 1 be an exact sequence of algebraic groups over Q_p^alg and F be a number field. Given a Galois representation r' : Gal_F -> H', we are interested in its lifts with values in H through the morphism H -> H'. We say a lift r : Gal_F -> H is minimal, if it is unramied at places where r' is unramified and is de Rham/semi-stable/crystalline at p-adic places if r' is so. In this thesis, we prove the existence of such minimal lifts in some cases

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Zhao, Tiehong. "Géométries des réseaux hyperboliques complexes". Paris 6, 2011. http://www.theses.fr/2011PA066613.

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Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des géométries des réseaux dans PU(2, 1), en d'autres termes, construction des domaines fondamentaux de ces réseaux pour leur action dans l'espace hyperbolique complexe. Dans le troisième chapitre, nous construisons un domaine fondamental pour la soeur du groupe modulaire d'Eisenstein-Picard et calculatons le volume de son orbifold de quotient par la fomula de Gauss-Bonnet. Dans le quatrième chapitre nous donnons les generateurs des groupes modulaires de Picard Euclidiens PU(2, 1;O_d) où d = 2, 7, 11. De plus, domaines fondamentaux des stabilisateurs de l'infini sont obtenu ainsi que de leurs présentations. Dans le cinquième chapitre nous donnons une nouvelle construction des domaines fondamentaux pour certains groupes de Mostow, qui sont engendrés par trois réflexions complexe d'ordre 3. Ces domaines sont une généralisation naturelle du domaine de la soeur du groupe modulaire d'Eisenstein-Picard. Comme application, nous calculons la cohomologie de la surface d'Eisenstein-Picard et sa soeur à coefficients locaux dans le dernier chapitre.

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Jebali, Hajer. "Espace des représentations du groupe d'un noeud dans les groupes de Lie résolubles". Clermont-Ferrand 2, 2008. http://www.theses.fr/2008CLF21861.

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Nous nous intéressons à l'étude des représentations du groupe d'un noeud dans un groupe de Lie résoluble algébrique connexe. Comme généralisation d'un résultat classique de Burde et de Rham, nous montrons que l'étude de l'existence de certaines représentations métabéliennes permet de retrouver la décomposition complète du module d'Alexander à coefficients complexes. En second lieu, nous étudions les déformations d'une représentation réductible métabélienne du groupe d'un noeud dans SL(3,C). Nous montrons que cette représentation est limite de représentations irréductibles non métabéliennes et qu'elle est un point lisse de la variété des représentations

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Essafi, Louafi. "Construction d'une nouvelle théorie de cohomologie équivariante via la catégorie orbite". Paris 13, 2000. http://www.theses.fr/2000PA132005.

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Wang, Haoran. "Géométrie et cohomologie de l’espace de Drinfeld et correspondance de Langlands locale". Paris 6, 2013. http://www.theses.fr/2013PA066371.

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Soient K un corps local de caractéristique inégale et d > 1 un entier. On étudie la géométrie et la cohomologie du revêtement modéré de l’espace symétrique deDrinfeld de dimension d − 1 sur K. On réalise, d’une manière purement locale, lacorrespondance de Langlands locale classique de niveau zéro et la correspondancede Jacquet-Langlands locale de niveau zéro pour les représentations supercuspdiales de GLd(K) dans ses groupes de cohomologie, et on redémontre dans ce cas (à une petite ambiguité près) une conjecture d’Harris concernant la cohomologie de la tour de Drinfeld. Au cours de cette étude, on analyse le lien avec les variétés de Deligne-Lusztig et leurs compactifications, et la théorie de systèmes de coefficients sur l’immeuble de Bruhat-Tits
Let K be a local field of mixed characteristic and d >1 an integer. We studythe geometry and cohomology of the tamely ramified cover of Drinfeld’s symmetricspace of dimension d − 1 over K. We realise, in a purely local way, the level zeroclassical local Langlands correspondence and the level zero local Jacquet-Langlandscorrespondence for the supercuspidal representations of GLd(K) in its cohomological groups, and we reprove in this case (up to a little ambiguity) a conjecture of Harris concerning the cohomology of the Drinfeld tower. During this study, we analyse the relation with the Deligne-Lusztig varieties and their compactifications, and the theory of coefficient systems over the Bruhat-Tits building

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Ben, Charrada Rochdi. "Cohomologie de Dolbeault feuilletée de certaines laminations complexes". Phd thesis, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00871710.

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Dans cette thèse, nous nous s'intéressons au calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault feuilletée H0∗L (M) de certaines laminations complexes. Ceci revient à résoudre le problème du ∂ le long des feuilles ∂Lα = ω. (Ici M est un espace métrique ou une variété dans le cas où L est un feuilletage F.) Trois situations ont été étudiées de manière explicite.1. Soit M = Ω un ouvert de C × R muni du feuilletage F dont les feuilles sont les sections Ωt = {z ∈ C : (z, t) ∈ Ω} ; on dira que F est le feuilletage canonique de Ω. Sous certaines conditions sur Ω et de croissance sur la forme feuilletée ω, nous montrons que l''équation ∂Fα = ω a une solution.2. On se donne une suite (αn)n≥1 strictement croissante avec α1 = −1 et convergeant vers 1. Dans C × R on considère les points A = (0, 1) et An = (0, αn) pour n ≥ 1. Pour tout n ≥ 1, soient Sn la sphère de C × R de diamètre le segment [AnA] et E la réunion de toutes ces sphères. Alors E est un sous-espace métrique compact et connexe de C × R. Soit γ : E −→ E l'homéomorphisme déﬁni par γ(w,u) = (ρn(w),u) lorsque (w, u) ∈ Sn où ρn est la rotation dans C d'angle 2πn. La suspension de γ donne une lamination complexe L dont les feuilles sont des surfaces de Riemann toutes équivalentes à C*. Pour cet exemple, nous montrons que l'espace vectoriel H01(L) est nul.3. On considère la variété M = C × Rn \ {(0, 0)} (les coordonnées d'un point seront notées (z,t)) qu'on munit du feuilletage complexe F déﬁni par le système diﬀérentiel dt1 = * * * = dn = 0. Le diﬀéomorphisme γ : (z, t) ∈ Mf7−→ (λz, λt) ∈ M (avec 0 < λ < 1) agit sur M de façon libre et propre ; en plus, c'est un automorphisme de F ; F induit alors sur le quotient M = M/γ (qui est diﬀéomorphe 'à Sn+1 × S1) un feuilletage complexe F par surfaces de Riemann. Nous montrons que les espaces vectoriels de cohomologie de Dolbeault feuilletée H00 F (M) et H01F (M) sont isomorphes à C.

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Zhykhovich, Maskim. "Décompositions motiviques des variétés de Severi-Brauer généralisées et isotropie des involutions unitaires". Paris 6, 2012. http://www.theses.fr/2012PA066306.

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Cette thèse contient deux parties principales. La première partie est dédiée à l'étude des motifs de Chow des variétés de Severi-Brauer. D'après un résultat de Chernousov et Merkurjev, le motif d'une variété de Severi-Brauer généralisée à coefficients finis se décompose de manière unique en une somme directe de motifs indécomposables. Nous exprimons le nombre de motifs d'une variété de Severi-Brauer classique présents dans cette décomposition en fonction de la dimension de certains sous-groupes de cycles rationnels. Comme conséquence, nous montrons que le motif d'une variété de Severi-Brauer généralisée est décomposable, à l'exception de deux cas où la decomposabilité motivique été démontrée par N. Karpenko. La deuxième partie est un travail commun avec N. Karpenko. Nous démontrons un résultat sur l'isotropie d'une involution unitaire, le Théorème d'Isotropie Unitaire. Les résultats analogues déjà connus sur l'isotropie des involutions orthogonales et symplectiques, ainsi que sur l'hyperbolicité des involutions orthogonales, symplectiques et unitaires sont des conséquences formelles de ce théorème. Une composante de la preuve est l'etude des grassmanniennes unitaires quasi-déployée et des opérations de Steenrod sur ces variétés
This thesis consists of two main parts. The first one is devoted to the study of Chow motives of generalized Severi-Brauer varieties. According to a result of Chernousov and Merkurjev, the Chow motive with coefficients in a finite field of any generalized Severi-Brauervariety decomposes in an essentially unique way into a sum of indecomposable motives. We relate a number of motives of usual Severi-Brauer varieties in this decomposition with the dimension of a certain subgroup of rational cycles. In particular, we prove that the motive of a generalized Severi-Brauer variety is decomposable, except the cases, where motivic indecomposability was proven by N. Karpenko. The second part of the thesis is the joint work with N. Karpenko. We prove the so-called Unitary Isotropy Theorem, a result on isotropy of a unitary involution. The analogous previously known results on isotropy of orthogonal and symplectic involutions as well as on hyperbolicity of orthogonal, symplectic, and unitary involutions are formal consequences of this theorem. A component of the proof is a study of the quasi-split unitary grassmannians and the Steenrod operations on them

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Rahm, Alexander Daniel. "(Co)homologies et K-théorie de groupes de Bianchi par des modèles géométriques calculatoires". Grenoble 1, 2010. http://www.theses.fr/2010GRENM069.

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Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan
This thesis consists of the study of the geometry of a certain class of arithmetic groups, by means of a proper action on a contractible space. We will explicitly compute their group homology, and their equivariant K-homology. More precisely, consider an imaginary quadratic number field, and its ring of integers R. The Bianchi groups are the groups SL_2(R) and PSL_2(R). These groups act in a natural way on hyperbolic three-space. The Bianchi groups are a key to the study of a larger class of groups, the Kleinian groups, which dates back to works of Poincaré. In fact, each non-cocompact arithmetic Kleinian group is commensurable with some Bianchi group. The author has implemented the computation of a fundamental domain for the Bianchi groups. By computing the stabilisers and identifications on this fundamental domain, we obtain an explicit orbifold structure. We use it to study different aspects of the geometry of our groups. Firstly, we compute group homology with integer coefficients, using the equivariant Leray/Serre spectral sequence. Secondly, we compute the Bredon homology of the Bianchi groups, from which we deduce their equivariant K-homology. By the Baum/Connes conjecture, which is verified by the Bianchi groups, we obtain the K-theory of the reduced C*-algebras of the Bianchi groups, as isomorphic images. Finally, we complexify our orbifolds, by complexifying the real hyperbolic three-space. We obtain orbifolds given by the induced action of the Bianchi groups on complex hyperbolic three-space. Then we compute the Chen/Ruan orbifold cohomology for these complex orbifolds. This is one side of Ruan's cohomological crepant resolution conjecture

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Derrien, Jean-Marc. "Propriétés ergodiques d'extensions isométriques : théorème ergodique polynôminal ponctuel : régularisation de cocycles par cohomologie". Tours, 1994. http://www.theses.fr/1994TOUR4023.

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Cette thèse est consacrée a la théorie des systèmes dynamiques probabilisés. Elle comprend quatre parties indépendantes. Dans les deux premières parties, nous étudions le comportement de marches aléatoires à pas stationnaires sur des groupes compacts métrisables lorsque la stationnarité est gouvernée par une rotation irrationnelle sur le tore ou par un processus markovien. Dans la troisième partie, nous établissons un théorème ergodique polynomial ponctuel pour les endomorphismes exacts et les k-systèmes. Enfin, dans la dernière partie, nous donnons des preuves détaillées de résultats de A. V. Kocergin concernant la régularisation par cohomologie de cocycles définis sur un système dynamique ergodique.

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Bujard, Cédric. "Sous-groupes finis des groupes de stabilisateur étendus de Morava". Phd thesis, Université de Strasbourg, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00699844.

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Resumen

L'objet de la thèse est la classification à conjugaison près des sous-groupes finis du groupe de stabilisateur (classique) de Morava S_n et du groupe de stabilisateur étendu G_n(u) associé à une loi de groupe formel F de hauteur n définie sur le corps F_p à p éléments. Une classification complète dans S_n est établie pour tout entier positif n et premier p. De plus, on montre que la classification dans le groupe étendu dépend aussi de F et son unité associée u dans l'anneau des entiers p-adiques. On établit un cadre théorique pour la classification dans G_n(u), on donne des conditions nécessaires et suffisantes sur n, p et u pour l'existence dans G_n(u) d'extensions de sous-groupes finis maximaux de S_n par le groupe de Galois de F_{p^n} sur F_p, et lorsque de telles extensions existent on dénombre leurs classes de conjugaisons. On illustre nos méthodes en fournissant une classification complète et explicite dans le cas n=2.

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Rajhi, Anis. "Cohomologie d'espaces fibrés au-dessus de l'immeuble affine de GL(N)". Thesis, Poitiers, 2014. http://www.theses.fr/2014POIT2266/document.

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Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W
This thesis consists of two parts: the first one gives a generalization of fiber spaces constructed above the Bruhat-Tits tree of the group GL(2) over a p-adic field. More precisely we construct a projective tower of spaces over the 1-skeleton of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. We show that any cuspidal representation π of GL(n) embeds with multiplicity 1 in the first cohomology space with compact support of k-th floor of the tower, where k is the conductor of π. In the second part we constructed a space W above the barycentric subdivision of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. To study the cohomology spaces with compact support of a proper G-simplicial complex X with a rather special equivariant covering, where G is a totally disconnected locally compact group, we show the existence of a spactrale sequence in the category of smooth representations of G that converges to the cohomology with compact support of X. Based on the latter results, we calculate the cohomology with compact support of W as smooth representation of GL(n), and then we show that the level zero cuspidal types of GL(n) appear with finite multiplicity in the cohomology of some finite simplicial complexes constructed in residual level. As a consequence, we show that the cuspidal representations of level 0 of GL(n) appear in the cohomology of W

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Touzé, Antoine. "Cohomologie rationnelle du groupe linéaire et extensions de bifoncteurs". Phd thesis, Université de Nantes, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00289942.

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Le but de cette thèse est d'obtenir des résultats sur la cohomologie rationnelle du groupe linéaire. Nous attaquons ce problème en le transposant dans la catégorie des bifoncteurs polynomiaux, dans laquelle les calculs sont plus aisés.

Nous rappelons dans un premier temps la structure de la catégorie des bifoncteurs polynomiaux sur un anneau commutatif quelconque. Nous démontrons que la cohomologie des bifoncteurs calcule la cohomologie rationnelle du groupe linéaire sur un anneau quelconque (ce résultat n'était auparavant connu que sur un corps). Puis nous développons des techniques générales pour le calcul de la cohomologie des bifoncteurs. Nous introduisons notamment de nouveaux outils efficaces pour étudier la torsion de Frobenius en caractéristique p. Enfin, nous appliquons ces méthodes à des familles explicites de bifoncteurs. Nous obtenons ainsi de nouveaux résultats (par exemple des séries de Poincaré) sur la cohomologie rationnelle à valeur dans des représentations classiques, telles que les puissances symétriques et divisées des twists de l'algèbre de Lie du groupe linéaire.

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Morel, Sophie. "Complexes d'intersection des compactifications de Baily-Borel : le cas des groupes unitaires sur Q". Paris 11, 2005. http://www.theses.fr/2005PA112250.

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Dans cette thèse, nous calculons la trace d'une puissance de l'endomorphisme de Frobenius sur les fibres du complexe d'intersection de la compactification de Baily-Borel d'une variété de Shimura associée à un groupe unitaire sur Q. Note outil principal est le théorème de Pink sur la restriction aux strates de la compactification de Baily-Borel d'un système de coefficients sur la variété de Shimura. Pour pouvoir utiliser ce théorème, nous donnons une nouvelle construction du prolongement intermédiaire d'un faisceau pervers pur comme un tronqué par le poids de l'image directe ordinaire. Plus généralement, nous définissons des analogues en caractéristique strictement positive des complexes pondérés introduits par Goresky, Harder et MacPherson
In this work, we calculate the trace of a power of the Frobenius endomorphism on the fibers of the intersection complex of the Baily-Borel compactification of a Shimura variety associated to a unitary group over Q. Our main tool is Pink's theorem about the restriction to the strata of the Baily-Borel compactification of a local system on the Shimura variety. To use this theorem, we give a new construction of the intermediate extension of a pure perverse sheaf as a weight truncated of the full direct image. More generally, we are able to define analogs in positive characteristic of the weighted cohomology complexes introduced by Goresky, Harder and MacPherson

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Pirutka, Alena. "Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée". Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00769925.

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Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l'action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à "borner" la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k.

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Djamaï, Bénaouda. "Sur la 2-cohomologie non abélienne : corps des modules". Thesis, Lille 1, 2008. http://www.theses.fr/2008LIL10020/document.

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Soit f : X ? Y un morphisme de schémas et G un Y -schéma en groupes. Lorsque G est abélien, la suite spectrale de Leray associée à f, Ep,q= Hp(Y,Rq,f.Gx)=> Hp+q(X,Gx), nous donne une suite exacte en basses dimensions : 0 ?H1(Y,f*G_x)? H1(X,Gx)?H0(Y,R1f*Gx)? H2(Y,f*Gx)?H2(X, Gx)tr?H1(Y,R1f*Gx)?H3(Y,f*Gx). Le but de ce travail est d'étudier l'analogue de cette situation lorsque G n'est plus abélien. La notion de gerbe introduite par Grothendieck permet de construire un substitut au cobord d0,1H0(Y,R1f*Gx)? H2(Y,f*Gx). Ici nous étudions plus particulièrement l'obstruction à descendre une Gx-gerbe sur X en une f*Gx-gerbe sur Y. Pour cela, à partir de l'interprétation de Giraud du R1f*Gx, nous construisons un substitut non abélien du H1(Y,R1f*Gx) et du cobord d1.1 :H1(Y,R1f*GX)?H3(Y, f*Gx), en termes de condition de corps des modules et de 2-gerbes. Nous donnerons ensuite deux exemples de descente de gerbes dans le cas non abélien: le premier, considéré par Grothendieck, est celui des surface fibrées sur des droites, le deuxième, de nature arithmétique, concerne l'extension maximale abélienne d'un corps des fractions d'un anneau local, excellent, henselien de dimension 2
Let f: X-Y be a morphism of schemes and G a group scheme over Y. If G is abelian, the Leray spectral sequence associated to f, Epq=HP(Y, Rqf*Gx)==>Hp+q(X,Gx), gives rise to an exact sequence in low dimensions: 0- H1(y ,f*Gx)- H1 (X,Gx)- W(Y,R If*GX)_ H2(y ,f*Gx)- H2(X, Gx)tr_ H1(Y,R1f*GX)_ H3(Y,f*Gx). ln this thesis, we consider the case of a non abelian group G. The notion of a gerb, due to Grothendieck allows us to get an equivalent morphism to d0,1:H0(Y,R1f*Gx)-H2(Y,f*Gx). Here we study the obstruction to a Gx-gerb on X to be the image of an f*Gx-gerb on Y. For this aim, we use the Giraud's iterpretation ofR1f*Gx, to build an equivalent object to H1(Y,R1f*Gx) and an equivalent morphism to d1,1: H1(Y,R1f*Gx)_H3(Y,f*GX), in terms of field of moduli condition and 2-gerbs. We will then give two results in the non abelian case: a cohomological one, wich is the case of a surface fibred on a curve, studied by Grothendieck, and a arithrnetical one wich deals with the maximal abelian extension of the fractions field of a local, heselian, excellent ring of dimension 2

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Menet, Grégoire. "Cohomologie entière et fibrations lagrangiennes sur certaines variétés holomorphiquement symplectiques singulières". Thesis, Lille 1, 2014. http://www.theses.fr/2014LIL10050/document.

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Le point de départ de la thèse fut l'étude d'une variété holomorphiquement symplectique irréductible (VHSI) à singularités orbifold, de dimension 4, construite en 2007 par Markushevich—Tikhomirov comme une compactification d'une famille lagrangienne de surfaces de Prym de polarisation (1,2). La famille des surfaces de Prym en question est associée au système linéaire de courbes de genre 3 sur une surface K3 quartique, munie d'une involution anti-symplectique. Dans la première partie de la thèse, on calcule la forme de Beauville—Bogomolov (BB) sur la seconde cohomologie entière de cette VHSI. L'existence d'une forme BB sur les VHSI singulières aux singularités en codimension 4 était démontrée par Namikawa, mais aucun exemple explicite d'une telle forme n'était connu, et la thèse présente les premiers exemples explicites de formes BB de VHSI singulières. Le calcul de ces formes BB a nécessité de développer des outils permettant de déterminer la cohomologie entière de variétés quotientées par un groupe d'automorphismes d'ordre premier. Dans la deuxième partie de la thèse, la famille miroir de la VHSI de Markushevich—Tikhomirov, formée des surfaces abéliennes duales, est déterminée. Il se trouve qu'elle est aussi une famille de prymiennes, associée à une quartique K3 avec involution anti-symplectique, donc admet une compactification qui est la symétrique miroir de la VHSI d'origine. Une description géométrique très précise de cette correspondance est donnée, basée sur la construction bigonale de Pantazis. De plus, on montre que la symétrie miroir ainsi construite représente une involution birationnelle non-triviale sur l'espace de modules de VHSI de ce type
The starting point of the thesis was the study of a singular irreducible holomorphically symplectic variety (IHSV) of dimension 4 with orbifold singularities which was constructed by Markushevich—Tikhomirov in 2007 as a compactification of a Lagrangian family of (1,2)-polarized Prym surfaces. This family of Prym surfaces is associated to a linear system of genus-3 curves on a quartic K3 surface endowed with an anti-symplectic involution. In the fist part of the thesis, the Beauville—Bogomolov form (BB) on the second integer cohomology group of this IHSV is computed. The existence of the BB form for an IHSV with singular locus of codimension 4 was proved by Namikawa, but no explicit example of such a form was known. The thesis provides the first concrete examples of BB forms on singular IHSV. The calculation of these BB forms required the development of some tools for computing the integer cohomology of varieties quotiented by automorphism groups of prime order. In the second part of the thesis, the mirror family of dual abelian surfaces for the Markushevich—Tikhomirov IHSV is determined. As it turns out, it is also a family of Prym surfaces associated to a quartic K3 surface with an anti-symplectic involution and hence admits a compactification, which is the mirror of the original IHSV. A very precise geometric description of this duality is given, using Pantazis's bigonal construction. Moreover, it is proved that the mirror symmetry constructed in this way represents a non-trivial birational involution on the moduli space of Markushevich—Tikhomirov IHSV

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Richard, Lionel. "Equivalence rationnelle et homologie de Hochschild pour certaines algèbres polynomiales classiques et quantiques". Clermont-Ferrand 2, 2002. http://www.theses.fr/2002CLF21389.

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L'objet de cette thèse est d'obtenir, pour certaines familles d'algèbres polynomiales non commutatives à la fois classiques et quantiques, des résultats de classification et de séparation par l'équivalence rationnelle et l'homologie de Hochschild. Les résultats concernant l'équivalence rationnelle relèvent à la fois du problème de Gelfand et Kirillov en théorie de Lie et de son analogue quantique. On introduit certaines algèbres de référence, dites mixtes croisées, et on montre que des familles d'algèbres de polynômes apparaissant dans divers contextes non commutatifs leur sont rationnellement équivalentes. En vue de classer les corps de fractions de ces algèbres à isomorphisme près, on définit deux nouveaux invariants. Le premier, de nature purement quantique, est le sous-tore quantique simple maximal contenu dans une algèbre donnée. Pour établir son unicité à isomorphisme près, on démontre que tout endomorphisme d'un tore quantique simple est un automorphisme. Le second, le w-degré supérieur, est un entier mesurant le caractère classique des corps gauches considérés. Son calcul repose sur le "détressage" des relations entre générateurs par plongement dans le corps de fractions du produit tensoriel de plans quantiques et d'une algèbre de Weyl de dimension minimale sur un centre polynomial. La détermination des dérivations des algèbres de Weyl quantiques multiparamétrées (rationnellement équivalentes aux algèbres polynomiales mixtes croisées de référence) montre que la dimension du module de degré 1 en cohomologie de Hochschild de ces algèbres esr directement liée au w-degré supérieur de leur corps de fractions. Pour les algèbres polynomiales mixtes croisées elles-mêmes, on calcule leur homologie de Hochschild en tout degré dans certains cas assez généraux. Dans le cas pariculier de l'algèbre des opérateurs différentiels tordus sur un espace affine quantique on établit l'existence d'une dualité entre l'homologie et la cohomologie

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Brunerie, Guillaume. "Sur les groupes d’homotopie des sphères en théorie des types homotopiques". Thesis, Nice, 2016. http://www.theses.fr/2016NICE4029/document.

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L’objectif de cette thèse est de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z en théorie des types homotopiques. En particulier, c’est une démonstration constructive et purement homotopique. On commence par rappeler les concepts de base de la théorie des types homotopiques et on démontre quelques résultats bien connus sur les groupes d’homotopie des sphères : le calcul des groupes d’homotopie du cercle, le fait que ceux de la forme πk(Sn) avec k < n sont triviaux et la construction de la fibration de Hopf. On passe ensuite à des outils plus avancés. En particulier, on définit la construction de James, ce qui nous permetde démontrer le théorème de suspension de Freudenthal et le fait qu’il existe un entier naturel n tel que π4(S3) ≃ Z/2Z. On étudie ensuite le produit smash des sphères, on construit l’anneau de cohomologie des espaces et on introduit l’invariant de Hopf, ce qui nous permet de montrer que n est égal soit à 1, soit à 2. L’invariant de Hopf nous permet également de montrer que tous les groupes de la forme π4n−1(S2n) sont infinis. Finalement, on construit la suite exacte de Gysin, ce qui nous permet de calculer la cohomologie de CP2 et de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z, et que plus généralement on a πn+1(Sn) ≃ Z/2Z pour tout n ≥ 3
The goal of this thesis is to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z in homotopy type theory. In particular it is a constructive and purely homotopy-theoretic proof. We first recall the basic concepts of homotopy type theory, and we prove some well-known results about the homotopy groups of spheres: the computation of the homotopy groups of the circle, the triviality of those of the form πk(Sn) with k < n, and the construction of the Hopf fibration. We then move to more advanced tools. In particular, we define the James construction which allows us to prove the Freudenthal suspension theorem and the fact that there exists a natural number n such that π4(S3) ≃ Z/nZ. Then we study the smash product of spheres, we construct the cohomology ring of a space, and we introduce the Hopf invariant, allowing us to narrow down the n to either 1 or 2. The Hopf invariant also allows us to prove that all the groups of the form π4n−1(S2n) are infinite. Finally we construct the Gysin exact sequence, allowing us to compute the cohomology of CP2 and to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z and that more generally πn+1(Sn) ≃ Z/2Z for every n ≥ 3

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Reynaud, Eric. "Le groupe fondamental algébrique". Phd thesis, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2002. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00202368.

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Dans l'optique d'étudier les modules de génération finie sur des algèbres de dimension finie, il a été développé ces dernières années une méthode diagramatique, essentiellement due à P. Gabriel, basée sur des carquois, c'est-à-dire sur des graphes orientées finis. Plus précisément, il a été démontré que pour toute algèbre A sobre de dimension finie sur un corps k algébriquement clos, il existe un carquois unique Q et au moins un idéal I admissible de l'algèbre kQ, l'algèbre des chemins de Q, tels que A soit isomorphe à kQ=I. Un tel couple (Q; I) est nommé une présentation de A par carquois et relations. Pour chaque paire (Q; I), nous pouvons définir un groupe fondamental Pi1(Q; I). En général, cependant, différentes présentations d'une même algèbre peuvent conduire à des groupes fondamentaux difféerents. Ainsi, une algèbre dont toutes les présentations donnent un groupe fondamental trivial est appelée simplement connexe. L'importance des algèbres simplement connexes dans la théorie des représentations d'algèbres réside dans le fait que souvent il est possible de réduire, avec l'aide des recouvrements, l'étude des modules indécomposables d'une algèbre à ceux d'une algèbre simplement connexe bien choisie. Le premier résultat consiste à donner une vision géométrique du groupe fondamental pour une certaine classe d'algèbre : les algèbres d'incidence. Ces algèbres ont une particularité : leur groupe fondamental ne dépend pas du choix de la présentation. Ainsi, à chaque algèbre d'incidence, il est possible d'associer un groupe fondamental algébrique. Par ailleurs, à partir de ce poset, est possible de construire un complexe simplicial qui possède quant à lui un groupe fondamental topologique. Nous prouvons, ici, que ces groupes sont isomorphes. Ce lien permet non seulement d'adapter certains théorèmes de topologie tel que le théorème de Van Kampen, mais également de faire le lien entre des résultats déjà établis en topologie et d'autres en théorie des représentations. Dans un deuxième temps, afn de donner une vision géométrique de tout groupe fondamen- tal algébrique, nous avons associé à toute présentation (Q; I) d'algèbre une algèbre d'incidence A dont le groupe fondamental a la particularité, d'après le résultat précédent, de se réaliser géométriquement. Nous montrons ensuite que les groupes fondamentaux précédents s'insèrent dans la suite exacte : 1 --> H --> Pi1(Q; I) --> Pi1(A) --> 1 où H est un sous-groupe décrit par générateur et relations. Nous donnons également de nom- breux cas où le sous groupe H est trivial. Enfin, nous donnons un algorithme de calcul du groupe fondamental, qui permet de présenter rapidement le groupe fondamental par générateurs et relations. Pour calculer le groupe fondamental d'un couple (Q; I), nous montrons qu'il est isomorphe au groupe fondamental d'un couple (Q0; I0) où Q0 contient un sommet de moins que Q. Ainsi en réitérant le processus, le groupe fondamental Pi1(Q; I) est isomorphe au groupe fondamental d'un carquois ne contenant qu'un seul sommet, ce qui donne une présentation par générateurs et relations.

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Virrion, Anne. "Théorèmes de dualité locale et globale dans la théorie arithmétique des D-modules". Rennes 1, 1995. http://www.theses.fr/1995REN1A002.

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Tesis sobre el tema "Cohomologie des groupes condensés"

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