Academic literature on the topic 'Слабкі розв'язки'

Багато прикладних задач, наприклад для проектування радіоелектронних схем, автоматичних систем управління, розрахунку динаміки механічних систем, задачі хімічної кінетики загалом зводяться до розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь і їх систем. Точні розв'язки досліджуваних задач можна отримати лише в окремих випадках. Тому потрібно використовувати наближені методи. Під час дослідження математичних моделей виникає потреба знаходити не тільки наближений розв'язок, але й гарантовану оцінку похибки результату. Використання традиційних двосторонніх методів Рунге-Кутта призводить до істотного збільшення обсягу обчислень. Ланцюгові (неперервні) дроби набули широкого застосування у прикладній математиці, оскільки вони за відповідних умов дають високу швидкість збіжності, монотонні та двосторонні наближення, мають слабку чутливість до похибки заокруглення. У роботі виведено методи типу Рунге-Кутта третього порядку точності для розв'язування початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь, що базуються на неперервних дробах. Характерною особливістю таких алгоритмів є те, що за певних значень відповідних параметрів можна отримати як нові, так і традиційні однокрокові методи розв'язання задачі Коші. Запропоновано розрахункові формули другого порядку точності, які на кожному кроці інтегрування дають змогу без додаткових звертань до правої частини диференціального рівняння отримати не тільки верхні та нижні наближення до точного розв'язку, а також дають інформацію про величину головного члена локальної похибки. Для практичної оцінки похибки на кожному кроці інтегрування у разі використання односторонніх формул типу Рунге-Кутта порядку p застосовують двосторонні обчислювальні формули порядку (p–1). Зауважимо, що використовуючи запропоновані розрахункові формули в кожному вузлі сітки будуть отримані декілька наближень до точного розв'язку, порівняння яких дає корисну інформацію, зокрема в питанні вибору кроку інтегрування, або в оцінці точності результату.

Розглянуто обернену задачу з інтегральною умовою перевизначення для слабко нелінійного ультрапараболічного рівняння з невідомим, залежним від часу, множником правої частини цього рівняння. Знайдено умови, за яких узагальнений розв'язок задачі прямує до нуля при зростанні часової змінної.

Викладено спрощений спосіб наближеного обчислення розмахів вільних затухаючих коливань осцилятора зі слабкою степеневою нелінійністю у виразі сили пружності. В основу запропонованого способу покладено припущення, що нелінійний доданок у виразі сили пружності мало впливає на рівняння обвідної графіка вільних коливань. Використане тут рівняння обвідної, за прийнятим припущенням, відповідає першому наближенню асимптотичного методу теорії нелінійних коливань і було одержане при дослідженні вільних коливань дисипативного осцилятора Дуффінга в роботах інших авторів. Але тут додатково враховано залежність тривалостей напівциклів від змінної амплітуди коливань, що властиво нелінійним системам. За виведеними формулами проведено розрахунки розмахів коливань в умовах дії різних сил опору, а саме: сухого тертя Кулона, лінійного в’язкого тертя та квадратичного в’язкого опору. Розглянуто різні варіанти степеневих нелінійностей, що доповнюють лінійну складову в виразі сили пружності. З метою з’ясування похибок наближеного способу, проведено чисельне комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння руху при різних видах опору. За підсумком порівняння числових результатів, одержаних різними способами, встановлено такі обмеження на нелінійність сили пружності, коли похибки наближених компактних формул становить декілька відсотків. Основною перевагою запропонованого способу є простота реалізації та відсутність потреби будувати аналітичний розв'язок нелінійного диференціального рівняння руху осцилятора, спричиненого початковим відхиленням його від положення статичної рівноваги. Крім того запропонований наближений спосіб розрахунку дає можливість враховувати дію різних сил опору, тобто в’язке або сухе тертя.

До дистанційної форми навчання звертаються в основному люди які, на жаль, мають або слабку шкільну підготовку або ж давно закінчили середній учбовий заклад. При цьому слід відмітити в цих людях певне бажання вчитися, а не тільки одержати диплом з вищої освіти. До того ж дистанційна форма навчання наближує викладачів вузу до студентів, створює більш комфортні умови для роботи студентів, дозволяє раціональніше використовувати час для навчання. Така ситуація призводить до певних особливостей в організації та методичному забезпеченні учбового процесу.Мені довелось викладати вищу математику студентам дистанційної форми навчання в смт Калинівка Вінницької області. Хочу розповісти про основні труднощі в цьому процесі. Перша і важлива складність – відсутність необхідної літератури як в бібліотеках міста, так і в самих студентів. Тому я вважаю, що забезпечення учбового процесу треба починати з підготовки довідника чи то посібника з елементарної математики. Матеріал доцільно починати з дій над дробами, розкриття дужок, формул скороченого множення. Далі потрібно навести формули для знаходження коренів квадратного рівняння, властивостей логарифмів, різних функцій. І обов’язково до кожної формули, або ж до декількох навести приклад (розв'язати квадратне рівняння, обчислити логарифм і т.д.). Вважаю, що методичні посібники для дистанційної форми навчання повинні бути іншими ніж для студентів стаціонару або заочників. До того ж, в зв’язку з великою кількістю спеціальностей по яким ведеться навчання, доцільно робити такі посібники не за семестрами, а за темами. В цих виданнях теоретичний матеріал слід давати в конспективному викладі, а прикладів повинно бути значно більше ніж звичайно (причому підібрати їх потрібно таким чином, щоб студент міг більшу частину контрольної роботи виконати самостійно, за аналогією з прикладами). Це додасть трохи впевненості в своїх силах людям, що навчаються.Спілкуючись з колегами, що їздили у відрядження до “дистанційників”, та виходячи з власного досвіду, хочу зазначити таку особливість: серед студентів є певна кількість людей, які бажають отримати на екзаменах оцінки “добре” та “відмінно”. Тому було б добре в кінці кожного методичного посібника навести питання та завдання, які відповідають більш високому рівню знань з вищої математики. Важливо переконати кожного студента в тому, що він не тільки хоче, але й зможе вивчити курс вищої математики та успішно скласти екзамен.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню асимптотичної поведінки розв’язків загальних дивергентних нелінійних анізотропних параболічних рівнянь в околі сингулярної точки та отриманню для них умов усувності особливостей. Дана задача ускладнюється тим, що загальна якісна теорія для анізотропних еліптичних і параболічних рівнянь не побудована. Крім того, точний вигляд фундаментального розв'язку для таких рівнянь невідомий. Але не зважаючи на це, було встановлено достатні умови усувності особливостей для анізотропних параболічних рівнянь і для таких рівнянь з абсорбцією та градієнтною абсорбцією, які були отримані за допомогою метода І.В. Скрипніка точних поточкових оцінок розв'язків типу "нелінійного потенціалу", запропонованого ним для еліптичних дивергентних квазілінійних рівнянь та адаптованого в поданій роботі для анізотропних параболічних рівнянь. Окремої уваги заслуговують встановлені оцінки типу Келлера-Оссермана. Вони мають багато застосувань, у даній роботі використані для отримання умов усувності особливостей для рівнянь з абсорбцією та градієнтною абсорбцією, а також для отримання нерівності типу Гарнака. Модельними випадками рівнянь, які досліджені, є анізотропне рівняння пористого середовища та це ж рівняння з абсорбцією та градієнтною абсорбцією. Основна складність полягає в тому, що ми розглядаємо випадок, коли частина показників анізотропії менше 1 (сингулярний випадок), а інша частина більше 1 (вироджений випадок). Зазвичай у літературі ці два випадки розглядаються окремо, для кожного випадку вводяться свої означення розв'язку і проводяться окремі доведення при дослідженні якісних властивостей розв'язків, навіть в ізотропному випадку. В дисертаційній роботі вдалося знайти універсальний підхід в дослідженнях властивостей розв'язків анізотропного рівняння пористого середовища, який не залежить від значень показників анізотропії.