Academic literature on the topic 'Розбиття множини'

У роботi розглядається теорiя булевих функцiй з точки зору унiверсальних булевих алгебр. Дана робота використовує термiнологiю вiдомих авторiв Куроша, Мальцева, Поста та iнших. Крiм цього у роботi введено новi поняття такi як унiверсальна булева алгебра, l−базиснi алгебри, вiльнi та канонiчнi алгебри. Також вивчається клас унiверсальних булевих алгебр M2, у сигнатуру яких входять всi одно та двомiснi операцiї двозначної логiки. Ввiвши поняття порядку порiвняння сигнатур алгебр, отримали представлення алгебр M2 у виглядi 11-мiсного сигнатурного кубу. У роботi виконано розбиття цього кубу на чотири дев’ятимiрнi куби M1 2 , M2 2 , M3 2 , M4 2 . У класi M1 2 знайдена множина функцiонально повних алгебр η0 i побудовано сигнатурний граф даної множини, проведено дослiдження цих алгебр. Множину всiх функцiонально повних алгебр розбито на п’ятнадцять класiв η1, η2, . . . , η15, побудованi сигнатурнi графи кожного з цих класiв. Вивчена структура i типи алгебр, якi входять до складу класiв η1, η2, . . . , η15. Всi функцiонально повнi алгебри класу M1 2 зображенi у виглядi сигнатурного графа. Встановлено потужнiсть класу M1 2 , побудовано сигнатурний граф канонiчних алгебр цього класу i визначено розподiл алгебр по ярусах цього графа. Наведено розподiл 259 вiльних алгебр по ярусах Ω-кубу i побудовано сигнатурний граф класу вiльних алгебр. Отриманi результати узагальнено на класи M2 2 , M3 2 , M4 2 . На основi цих результатiв виконано розподiл 2048 алгебр класу M2 вiдносно базисностi по ярусах Ω- кубу.

В процесі функціонування комп'ютерної мережі гіперконвергентної архітектури за рахунок централізованого управління збільшується час обробки системних транзакцій. Але для деяких підсистем, особливо для тих, що повинні функціонувати у режимі, наближеному до режиму реального часу, дані показники є дуже суттєвими. Метою статті є формування такого розподілу завдань по вузлах мережі, для якого середня затримка пакету прийматиме мінімальне значення. Це забезпечить максимальну синхронізацію між інформаційною структурою мережі та обчислювальними ресурсами її вузлів. Результати дослідження. Розроблена математична модель розподілу завдань між вузлами комп’ютерної мережі на гіперконвергентній платформі. У моделі мінімізована інтенсивність обміну між вузлами мережі. Для цього вводиться поняття штрафу при розподілі завдань на вузли мережі. Розроблений метод розподілу завдань між вузлами мережі на гіперконвергентній платформі. Рішення задачі пошуку раціонального розподілу завдань множини по вузлах множини має ітераційний характер. Даний метод розвинений за рахунок мінімізації середньої затримки пакету даних в мережі при розподіленій обробці завдань. Запропонована математична модель управління розподіленою обробкою завдань в мережі на гіперконвергентній платформі дозволяє описати завдання пошуку раціонального розбиття множини завдань, що обробляються в мережі, на підмножини і їх розподілення по вузлах мережі, що мінімізує середню затримку пакету даних. при розробці моделі прийнято, що загальний сумарний доступний обчислювальний ресурс вузлів мережі є рівним загальному сумарному необхідному обчислювальному ресурсу трансакцій системи. з цією метою вводиться фіктивний вузол з доступним обчислювальним ресурсом та фіктивне завдання з відповідним штрафом. Висновок. Сформований розподіл завдань по вузлах мережі, для якого середня затримка пакету прийматиме мінімальне значення, що забезпечить максимальну синхронізацію між інформаційною структурою мережі та її обчислювальними ресурсами

Актуальність дослідження. Інфраструктура, створювана на конвергентної платформі, передбачає об'єднання пам'яті, обчислювальні-них і мережевих ресурсів в єдиний пул, а при гіперконвергентной інфраструктури обчислювальні потужності, сховища, сервери, мережі об'єднуються в одне ціле за допомогою програмних засобів. Метою статті є розробка підходу до зменшення нерівномірних розподілу ресурсів в комп'ютерних мережах гіперконвергентной архітектури. Результати дослідження. Запропоновано метод мінімізації середньої затримки транзакцій в комп'ютерних мережах гіперконвергентной архітектури, що дозволяє побудувати рівномірний розподіл виділених обчислювальних ресурсів для обробки безлічі завдань системи по квантам заданого інтервалу часу. Цільова функція завдання пошуку оптимального розбиття множини запитів, що обробляються в обчислювальної мережі, на підмножини і їх розподілу по вузлах гіперконвергентной мережі, визначається за допомогою введення функції штрафів при виділенні кожного запиту одиниці обчислювального ресурсу в поточний квант часу. Висновки. Запропоновано підхід до формування рівномірного розподілу ресурсів в комп'ютерах терни мережах гіперконвергентной архітектури. Застосування підходу дозволяє збалансувати мережевt навантаження і досягти вимог до оперативності.

У роботі наведена запропонована структура логі-стичної компоненти системи управління великимисільськогосподарськими підприємствами. За рахунокорганізації логістичної компоненти за модульнимпринципом оптимізується процес вбудовування її взагальну структуру ERP-системи. Всі задачі, що ви-рішуються, розбиті на класи в залежності від етапуїх реалізації. В якості математичного апарату длявирішення завдань логістичної компоненти пропону-ються: апарат нечітких множин, генетичні алгори-тми, методи оптимального послідовно-паралельногоупорядкування робіт у системах із неідентичнимиоб'єктами. The work presents the proposed structure of logistic system components control major agricultural producing enterprises. Due to the organization of the logistics components of the modular design is optimized process of embedding it into the overall structure of the ERP-system. All tasks are divided into classes depending on the stage of their implementation. As a mathematical methods to solve logistic tasks components are available apparatus of fuzzy sets, genetic algorithms, methods of optimal sequential-parallel ordering works in systems with non-identical objects.

В даній роботі розроблено інформаційну технологію передтестової компіляції та розподілу доступу в якості практичного застосування в області комп’ютерної інженерії та розробки програмних додатків. В рамках розроблюваного методу розподілу доступу при оптимізації з урахуванням передкомпіляційного профілю програми проводиться необхідний збір даних, що формуються в множині профілів користувачів. Для підвищення точності урахування профілів користувача, специфіки його діяльності та характеристик комп’ютерної системи пропонується розбиття процесу компіляції на дві фази: фаза синтезу програмного забезпечення з урахуванням можливостей сучасних компіляторів; фаза адаптації та розподілу доступу до програмного забезпечення з урахуванням профілів програми і користувача. Такий поділ передтестової компіляції на дві фази дозволить вирішити наступні задачі: розподіл доступу користувачів з урахуванням можливостей персоналізації відповідних профілів; врахування внутрішніх характеристик комп’ютерної системи користувачів (архітектури, планувальника команд, та ін.); врахування можливостей розподілу доступу при збірці та підтримці програмного забезпечення. Для вирішення задач динамічної машинно-незалежної оптимізації доцільно скористатися відомою технологією компіляції LLVM. У запропонованій інформаційній технології передтестової компіляції та розподілу доступу в першій фазі виконується процедура машинно-незалежної компіляції з використанням LLVM. Результат першої фази зберігається у файл LLVM і додатково генеруються дані про архітектуру програмного засобу та алгоритм можливої інсталяції. Виконання другої фази можливо з використанням програмних засобів віртуального моделювання (віртуальних машин), а також безпосередньо на комп’ютерних системах користувачів з урахуванням особливості їх профілів і характеристик обчислювальних засобів. Таким чином, розроблено метод передтестової компіляції та розподілу доступу, що відрізняється від відомих врахуванням профілів користувача при синтезі додатку, а також використанням ресурсів «хмарних сховищ» в процесі отримання інсталяційних версій. Це дозволить підвищити рівень безпеки розроблюваних додатків.

Наукові дослідження стають ефективними тоді, коли природу подій чи явищ можна розглядати з єдиних позицій, виробити універсальний підхід до них, сформувати загальні закономірності. Більшість сучасних фундаментальних наукових проблем і високих технологій тісно пов’язані з явищами, які лежать на границях різних рівнів організації. Природничі та деякі з гуманітарних наук (економіка, соціологія, психологія) розробили концепції і методи для кожного із ієрархічних рівнів, але не володіють універсальними підходами для опису того, що відбувається між цими рівнями ієрархії. Неспівпадання ієрархічних рівнів різних наук – одна із головних перешкод для розвитку дійсної міждисциплінарності (синтезу різних наук) і побудови цілісної картини світу. Виникає проблема формування нового світогляду і нової мови.Теорія складних систем – це одна із вдалих спроб побудови такого синтезу на основі універсальних підходів і нової методології [1]. В російськомовній літературі частіше зустрічається термін “синергетика”, який, на наш погляд, означує більш вузьку теорію самоорганізації в системах різної природи [2].Мета роботи – привернути увагу до нових можливостей, що виникають при розв’язанні деяких задач, виходячи з уявлень нової науки.На жаль, теорія складності не має до сих пір чіткого математичного визначення і може бути охарактеризована рисами тих систем і типів динаміки, котрі являються предметом її вивчення. Серед них головними є:– Нестабільність: складні системи прагнуть мати багато можливих мод поведінки, між якими вони блукають в результаті малих змін параметрів, що управляють динамікою.– Неприводимість: складні системи виступають як єдине ціле і не можуть бути вивчені шляхом розбиття їх на частини, що розглядаються ізольовано. Тобто поведінка системи зумовлюється взаємодією складових, але редукція системи до її складових спотворює більшість аспектів, які притаманні системній індивідуальності.– Адаптивність: складні системи часто включають множину агентів, котрі приймають рішення і діють, виходячи із часткової інформації про систему в цілому і її оточення. Більш того, ці агенти можуть змінювати правила своєї поведінки на основі такої часткової інформації. Іншими словами, складні системи мають здібності черпати скриті закономірності із неповної інформації, навчатися на цих закономірностях і змінювати свою поведінку на основі нової поступаючої інформації.– Емерджентність (від існуючого до виникаючого): складні системи продукують неочікувану поведінку; фактично вони продукують патерни і властивості, котрі неможливо передбачити на основі знань властивостей їх складових, якщо розглядати їх ізольовано.Ці та деякі менш важливі характерні риси дозволяють відділити просте від складного, притаманного найбільш фундаментальним процесам, які мають місце як в природничих, так і в гуманітарних науках і створюють тим самим істинний базис міждисциплінарності. За останні 30–40 років в теорії складності було розроблено нові наукові методи, які дозволяють універсально описати складну динаміку, будь то в явищах турбулентності, або в поведінці електорату напередодні виборів.Оскільки більшість складних явищ і процесів в таких галузях як екологія, соціологія, економіка, політологія та ін. не існують в реальному світі, то лише поява сучасних ЕОМ і створення комп’ютерних моделей цих явищ дозволило вперше в історії науки проводити експерименти в цих галузях так, як це завжди робилось в природничих науках. Але комп’ютерне моделювання спричинило розвиток і нових теоретичних підходів: фрактальної геометрії і р-адичної математики, теорії хаосу і самоорганізованої критичності, нейроінформатики і квантових алгоритмів тощо. Теорія складності дозволяє переносити в нові галузі дослідження ідеї і підходи, які стали успішними в інших наукових дисциплінах, і більш рельєфно виявляти ті проблеми, з якими інші науки не стикалися. Узагальнюючому погляду з позицій теорії складності властиві більша евристична цінність при аналізі таких нетрадиційних явищ, як глобалізація, “економіка, що заснована на знаннях” (knowledge-based economy), національні і світові фінансові кризи, економічні катастрофи і ряд інших.Однією з інтригуючих проблем теорії є дослідження властивостей комплексних мережеподібних високотехнологічних і інтелектуально важливих систем [3]. Окрім суто наукових і технологічних причин підвищеної уваги до них є і суто прагматична. Справа в тому, що такі системи мають системоутворюючу компоненту, тобто їх структура і динаміка активно впливають на ті процеси, які ними контролюються. В [4] наводиться приклад, коли відмова двох силових ліній системи електромережі в штаті Орегон (США) 10 серпня 1996 року через каскад стимульованих відмов призвели до виходу із ладу електромережі в 11 американських штатах і 2 канадських провінціях і залишили без струму 7 млн. споживачів протягом 16 годин. Вірус Love Bug worm, яких атакував Інтернет 4 травня 2000 року і до сих пір блукає по мережі, приніс збитків на мільярди доларів.До таких систем відносяться Інтернет, як складна мережа роутерів і комп’ютерів, об’єднаних фізичними та радіозв’язками, WWW, як віртуальна мережа Web-сторінок, об’єднаних гіперпосиланнями (рис. 1). Розповсюдження епідемій, чуток та ідей в соціальних мережах, вірусів – в комп’ютерних, живі клітини, мережі супермаркетів, актори Голівуду – ось далеко не повний перелік мережеподібних структур. Більш того, останнє десятиліття розвитку економіки знань привело до зміни парадигми структурного, функціонального і стратегічного позиціонування сучасних підприємств. Вертикально інтегровані корпорації повсюдно витісняються розподіленими мережними структурами (так званими бізнес-мережами) [5]. Багато хто з них замість прямого виробництва сьогодні займаються системною інтеграцією. Тому дослідження структури та динаміки мережеподібних систем дозволить оптимізувати бізнес-процеси та створити умови для їх ефективного розвитку і захисту.Для побудови і дослідження моделей складних мережеподібних систем введені нові поняття і означення. Коротко опишемо тільки головні з них. Хай вузол i має ki кінців (зв’язків) і може приєднати (бути зв’язаним) з іншими вузлами ki. Відношення між числом Ei зв’язків, які реально існують, та їх повним числом ki(ki–1)/2 для найближчих сусідів називається коефіцієнтом кластеризації для вузла i:. Рис. 1. Структури мереж World-Wide Web (WWW) і Інтернету. На верхній панелі WWW представлена у вигляді направлених гіперпосилань (URL). На нижній зображено Інтернет, як систему фізично з’єднаних вузлів (роутерів та комп’ютерів). Загальний коефіцієнт кластеризації знаходиться шляхом осереднення його локальних значень для всієї мережі. Дослідження показують, що він суттєво відрізняється від одержаних для випадкових графів Ердаша-Рені [4]. Ймовірність П того, що новий вузол буде приєднано до вузла i, залежить від ki вузла i. Величина називається переважним приєднанням (preferential attachment). Оскільки не всі вузли мають однакову кількість зв’язків, останні характеризуються функцією розподілу P(k), яка дає ймовірність того, що випадково вибраний вузол має k зв’язків. Для складних мереж функція P(k) відрізняється від розподілу Пуассона, який мав би місце для випадкових графів. Для переважної більшості складних мереж спостерігається степенева залежність , де γ=1–3 і зумовлено природою мережі. Такі мережі виявляють властивості направленого графа (рис. 2). Рис. 2. Розподіл Web-сторінок в Інтернеті [4]. Pout – ймовірність того, що документ має k вихідних гіперпосилань, а Pin – відповідно вхідних, і γout=2,45, γin=2,1. Крім цього, складні системи виявляють процеси самоорганізації, змінюються з часом, виявляють неабияку стійкість відносно помилок та зовнішніх втручань.В складних системах мають місце колективні емерджентні процеси, наприклад синхронізації, які схожі на подібні в квантовій оптиці. На мові системи зв’язаних осциляторів це означає, що при деякій критичній силі взаємодії осциляторів невелика їх купка (кластер) мають однакові фази і амплітуди.В економіці, фінансовій діяльності, підприємництві здійснювати вибір, приймати рішення доводиться в умовах невизначеності, конфлікту та зумовленого ними ризику. З огляду на це управління ризиками є однією з найважливіших технологій сьогодення [2, 6].До недавніх часів вважалось, що в основі розрахунків, які так чи інакше мають відношення до оцінки ризиків лежить нормальний розподіл. Йому підпорядкована сума незалежних, однаково розподілених випадкових величин. З огляду на це ймовірність помітних відхилень від середнього значення мала. Статистика ж багатьох складних систем – аварій і катастроф, розломів земної кори, фондових ринків, трафіка Інтернету тощо – зумовлена довгим ланцюгом причинно-наслідкових зв’язків. Вона описується, як показано вище, степеневим розподілом, “хвіст” якого спадає значно повільніше від нормального (так званий “розподіл з тяжкими хвостами”). У випадку степеневої статистики великими відхиленнями знехтувати вже не можна. З рисунку 3 видно, наскільки добре описуються степеневою статистикою торнадо (1), повені (2), шквали (3) і землетруси (4) за кількістю жертв в них в США в ХХ столітті [2]. Рис. 3. Системи, які демонструють самоорганізовану критичність (а саме такі ми і розглядаємо), самі по собі прагнуть до критичного стану, в якому можливі зміни будь-якого масштабу.З точки зору передбачення цікавим є той факт, що різні катастрофічні явища можуть розвиватися за однаковими законами. Незадовго до катастрофи вони демонструють швидкий катастрофічний ріст, на який накладені коливання з прискоренням. Асимптотикою таких процесів перед катастрофою є так званий режим з загостренням, коли одна або декілька величин, що характеризують систему, за скінчений час зростають до нескінченності. Згладжена крива добре описується формулою,тобто для таких різних катастрофічних явищ ми маємо один і той же розв’язок рівнянь, котрих, на жаль, поки що не знаємо. Теорія складності дозволяє переглянути деякі з основних положень ризикології та вказати алгоритми прогнозування катастрофічних явищ [7].Ключові концепції традиційних моделей та аналітичних методів аналізу і управління капіталом все частіше натикаються на проблеми, які не мають ефективних розв’язків в рамках загальноприйнятих парадигм. Причина криється в тому, що класичні підходи розроблені для опису відносно стабільних систем, які знаходяться в положенні відносно стійкої рівноваги. За своєю суттю ці методи і підходи непридатні для опису і моделювання швидких змін, не передбачуваних стрибків і складних взаємодій окремих складових сучасного світового ринкового процесу. Стало ясно, що зміни у фінансовому світі протікають настільки інтенсивно, а їх якісні прояви бувають настільки неочікуваними, що для аналізу і прогнозування фінансових ринків вкрай необхідним став синтез нових аналітичних підходів [8].Теорія складних систем вводить нові для фінансових аналітиків поняття, такі як фазовий простір, атрактор, експонента Ляпунова, горизонт передбачення, фрактальний розмір тощо. Крім того, все частіше для передбачення складних динамічних рядів використовуються алгоритми нейрокомп’ютинга [9]. Нейронні мережі – це системи штучного інтелекту, які здатні до самонавчання в процесі розв’язку задач. Навчання зводиться до обробки мережею множини прикладів, які подаються на вхід. Для максимізації виходів нейронна мережа модифікує інтенсивність зв’язків між нейронами, з яких вона побудована, і таким чином самонавчається. Сучасні багатошарові нейронні мережі формують своє внутрішнє зображення задачі в так званих внутрішніх шарах. При цьому останні відіграють роль “детекторів вивчених властивостей”, оскільки активність патернів в них є кодування того, що мережа “думає” про властивості, які містяться на вході. Використання нейромереж і генетичних алгоритмів стає конкурентноздібним підходом при розв’язанні задач передбачення, класифікації, моделювання фінансових часових рядів, задач оптимізації в галузі фінансового аналізу та управляння ризиком. Детермінований хаос пропонує пояснення нерегулярної поведінки і аномалій в системах, котрі не є стохастичними за природою. Ця теорія має широкий вибір потужних методів, включаючи відтворення атрактора в лаговому фазовому просторі, обчислення показників Ляпунова, узагальнених розмірностей і ентропій, статистичні тести на нелінійність.Головна ідея застосування методів хаотичної динаміки до аналізу часових рядів полягає в тому, що основна структура хаотичної системи (атрактор динамічної системи) може бути відтворена через вимірювання тільки однієї змінної системи, фіксованої як динамічний ряд. В цьому випадку процедура реконструкції фазового простору і відтворення хаотичного атрактора системи при динамічному аналізі часового ряду зводиться до побудови так званого лагового простору. Реальний атрактор динамічної системи і атрактор, відтворений в лаговому просторі по часовому ряду при деяких умовах мають еквівалентні характеристики [8].На завершення звернемо увагу на дидактичні можливості теорії складності. Розвиток сучасного суспільства і поява нових проблем вказує на те, що треба мати не тільки (і навіть не стільки) експертів по деяким аспектам окремих стадій складних процесів (професіоналів в старому розумінні цього терміну), знадобляться спеціалісти “по розв’язуванню проблем”. А це означає, що істинна міждисциплінарність, яка заснована на теорії складності, набуває особливого значення. З огляду на сказане треба вчити не “предметам”, а “стилям мислення”. Тобто, міждисциплінарність можна розглядати як основу освіти 21-го століття.

Застосування комп’ютерних тестів для поточного та підсумкового оцінювання знань студентів дає змогу якісно і об’єктивно оцінити знання студентів за умови наявності великої та добре перевіреної бази тестових завдань. Дієвість тестування істотно залежить від вибраних автором (або авторами) типів завдань [1]:1) завдання з вибором відповіді (правильної або неправильної);2) завдання з встановленням відповідності;3) завдання з вибором кількох правильних відповідей;4) завдання з вводом відповіді (текстової або числової).Завдання перших трьох типів погано захищені від вгадування відповіді студентом, однак вони найбільш широко використовуються у практиці комп’ютерного тестування. Завдання четвертого типу добре захищені від вгадування відповіді, однак текстові відповіді доведеться перевіряти людині. Для перевірки числової відповіді система тестування повинна мати блок перевірки чисел з цілою і дробовою частиною. На факультеті електроніки Львівського національного університету імені Івана Франка створена база тестових завдань з курсів «Обчислювальна техніка і програмування» (для перевірки знань мов програмування Паскаль та Сі) та «Теорія коливань», в яких майже 90 відсотків завдань складають завдання з вводом числової відповіді. База тестових завдань з мови програмування Паскаль розбита на розділи:1. Лінійна програма (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);2. Програма з синтаксичною помилкою (відповідь є цілим числом);3. Програма з розгалуженням (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);4. Встановлення відповідності програма-алгоритм (тип 2);5. Програма з циклом for (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);6. Програма з циклом while (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);7. Програма з циклом repeat-until (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);8. Програма з процедурою-функцією (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);9. Програма з процедурою (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);10. Завдання на написання програми для розв’язання певної задачі (текстова відповідь).Розглянемо приклади тестових завдань деяких розділів.1. Якого числового значення набуде змінна w після виконання цієї програми?Program test1;Varx,q,z,w:real;Beginx:=6;z:=4;w:=x*z;q:=x/z;WriteLn('w=',w);WriteLn('q=',q );end.2. В якому рядку програми є синтаксична помилка?Program test 2;Varx,y,z:real;i,n:integer;Begini:=20;x:=32;y:=34;z:=-9;n:=30*i;WriteLn( ' x=',x );end.6. Якого числового значення набуде змінна s після виконання цієї програми?Program test3;Vars,d,r:real;i:integer;Begins:=100;d:=2;r:=10;i:=0;While s>r doBegins:=s/d;i:=i+1;end;WriteLn('s=',s );WriteLn('i=',i );end.Успішне виконання студентом завдань із перших дев’яти розділів свідчить лише про вміння студента читати чужі програми. Для перевірки здатності студенти писати свої програми введено десятий розділ. Відповіддю студента є текст програми і, за потреби, текстові файли з результатами роботи програми. Очевидно, що під час виконання десятого завдання студент повинен мати можливість скористатись оболонкою для програмування мовою Паскаль (і тільки під час виконання цього завдання!). Якщо на виконання завдань із перших дев’яти розділів можна відводити по кілька хвилин (за умови невеликого обсягу наведених програм), то для написання програми потрібно відвести у кілька раз більше часу (залежить від складності поставленої задачі).База тестових завдань з «Теорії коливань» розбита на розділи:1. Обчислення постійної складової ряду Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);2. Обчислення косинусної гармоніки Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);3. Обчислення синусної гармоніки Фур’є (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);4. Визначення стійкості стану рівноваги лінійної коливної системи (ручна перевірка – текстова відповідь);5. Вільні коливання лінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);6. Вимушені коливання лінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);7. Стани рівноваги нелінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);8. Особливі точки коливних систем (тип 2);9. Вимушені коливання нелінійних коливних систем (числова відповідь з цілою і дробовою частиною);10. Визначення амплітуди коливань автогенератора (числова відповідь з цілою і дробовою частиною).Для виконання завдань з дев’ятого і десятого розділів студент повинен мати можливість скористатись оболонкою для числового інтегрування алгебро-диференційних рівнянь із простою вхідною мовою.Розглянемо шаблони тестових завдань деяких розділів.1. Для заданого сигналу ... обчислити постійну складову ряду Фур’є a0.4. Для лінійної коливної системи ... складіть характеристичне рівняння та визначить його корені (відповідь вводьте за схемою: дійсна частина, уявна частина, дійсна частина, уявна частина).5. Для початкових умов: x(0)=1, dx(0)/dt=0 знайдіть вільні коливання лінійної коливної системи, заданої диференціальним рівнянням ... та вкажіть значення x(t) в момент часу t=5.7. Для коливної системи, диференціальним рівнянням ... , вкажіть координати стійкого стану рівноваги x=..., dx/dt=...9.Користуючись програмою DS0, визначить амплітуду вимушених коливань нелінійної коливної системи, заданої диференціальним рівнянням ...Завдяки уведенню числової відповіді з цілою і дробовою частиною виключається вгадування відповіді студентом, адже множина можливих відповідей практично нескінченна.Такий підхід легко поширити на природничі і технічні науки, в яких для проведення практичних занять використовують задачі з числовими розв’язками.

Викладено структуру та основні напрями математичної теорії оптимального розбиття множин, наведено приклади застосування результатів цієї теорії до розв’язання широкого спектру різних за своєю природою теоретичних і практичних оптимізаційних задач, які зводяться до неперервних моделей оптимального розбиття множин. Показано можливість та переваги застосування теорії оптимального розбиття множин до побудови діаграми Вороного та її узагальнень.

Метою роботи було дослідження способів доведення та узагальнення Теореми про ідеальні розбиття множин на підмножини, кількість елементів в якій кратна пяти та степеням п'ятірки. Розглянуто та описано деякі частинні випадки теореми, розроблено явні схеми ідеальних розбиттів, які утворюють повне покриття множини та не перетинаються між собою. Підраховано кількість етапів розбиттів та кількості ітерацій на кожному етапі. Виведено формул для пошуку загальної кількості етапів методом комбінування елементів в множинах. Підраховано кількість ітерацій користуючись методами комбінаторики. Створено схемі з вершинами та графами, щоб проілюструвати часткові випадки. За основу взято спосіб доведення для часткового випадку кратності 3 був показаний та використаний у моїй бакалаврській роботі. Об’єктом дослідження є теорема про ідеальні розбиття підмножин та її доведення в явному вигляді для випадку, коли кількість елементів множини є будь-яким числом. Предметом дослідження є доведення теореми в явному вигляді для множини з кількістю елементів різної кратності та виведення узагальнених формул.
The aim of the work was to study the methods of proving and generalizing the theorem on ideal divisions of subsets into sets, the number of elements in which is a multiple of five and powers of five, consideration and description of some partial cases of the theorem, development of explicit schemes of ideal partitions. among ourselves. Counting the number of stages of partitions and the number of iterations at each stage. Derivation of formulas for finding the total number of stages by combining elements in sets. Counting the number of iterations using combinatorics methods. Create diagrams with vertices and graphs to illustrate partial cases. The method of proof for the partial case of multiplicity 3 was shown and used in my bachelor's thesis. The object of research is the theorem on ideal partitioning of subsets and its explicit proof for the case when the number of elements of the set is any number. The subject of the research is to prove the theorem explicitly for a set with the number of elements of different multiplicity and to derive generalized formulas.