Academic literature on the topic 'Метод фрактального дослідження'

У статті проаналізовані питома електро-провідність ґрунтів і урожайність сільськогосподарських культур (озимої пшениці, кукурудзи тощо) на них залежно від норм посіву, норм внесення добрив та способу обробітку, а також визначенні їх класифікаційні ознаки у відповідності до фрактальних властивостей. Крім того, виявленні основні тенденції подальшого розвитку та представлені прогнози на майбутнє в агроценозах природно-кліматичних зон України. Для досягнення мети дослідження використані методи польового експерименту, метрологічного спостереження та фрактального оцінювання статистичної інформації. Запропонована процедура якісного аналізу часових рядів, для яких не підтверджується гіпотеза щодо наявності тренда (при дослідженнях питомої електропровідності ґрунтів), із застосуванням методів нелінійної динаміки, теорії хаосу. Розглянуті реальні часові ряди, що характеризують еволюцію параметрів питомої електропровідності ґрунтів та агробіологічного стану ґрунтів України. Обґрунтуванням для подібних досліджень є теорема Такенса. Хаотичність досліджуваної динамічної системи, що задана часовими реалізаціями, встановлена за допомогою показника Ляпунова. Оцінка стійкості стану ґрунтів проведена за допомогою фрактальної розмірності Хаусдорфа й індексу фрактальності.

Розроблено модифікований алгоритм фрактального стиснення зображень, а також відповідні моделі на основі кольорових мереж Петрі, закладені в основу розробленого модифікованого методу фрактального стиснення зображень, призначеного для збільшення швидкодії фрактального методу із збереженням високого ступеня компресії та збереження оптимальної якості вихідного зображення, та спрощення його програмної реалізації з метою подальшого дослідження та практичного застосування переваг сімейства фрактальних методів компресії зображень.

Розроблено спеціалізовану комп'ютерну підсистему для компресії/декомпресії зображень – програмну реалізацію однієї з модифікацій методу фрактального стиснення зображень. Розроблено простий, лаконічний та зручний графічний інтерфейс користувача підсистеми. Досліджено запропонований модифікований метод фрактального стиснення зображень, програмною реалізацією якого є представлена комп'ютерна підсистема, на тестовій вибірці зображень, та здійснено детальний аналіз отриманих результатів.

Для захисту конфіденційних даних від комп'ютерних злочинів користувач має подбати про безпеку своєї інформації власноруч, використовуючи існуючі сучасні програмні засоби. Одним з таких засобів є реалізація шифрування повідомлень за допомогою прикріплення цифрового підпису до даних. Для роботи криптосистем шифрування з відкритим ключем необхідно три алгоритми: алгоритм шифрування, алгоритм розшифрування та алгоритм генерації ключів. Одним з перспективних шляхів розвитку шифрування з відкритими ключами є використання моделі піднесення до великої степені дискретних логарифмів для генерування ключів, так званий алгоритм Діффі-Хеллмана. Рекурентні відношення, що становлять основу множини Мандельброта, забезпечують хаотичну поведінку та суттєву залежність процесу від початкових умов. Ці властивості дозволяють створити криптографічну систему, що здатна використовувати їх для вирішення поставлених задач. Спроектована криптографічна система повінна поєднувати в собі засоби створення ключів, шифрування текстових повідомлень та генерації цифрового підпису. Протокол обміну ключами передбачає встановлення між учасниками спільного секретного ключа, який у подальшому можна використовувати для шифрування повідомлень тексту або зображень цифровим підписом. Проаналізовано інструментальні засоби, за допомогою яких можна вирішити і реалізувати систему фрактальних алгоритмів для захисту інформації. В ході дослідження реалізовано програмний продукт мовою програмування C# у середовищі Visual Studio 2010. Система спроектована у рамках об'єктно-орієнтованого підходу до розробки програмних продуктів, тому вона використовує програмні класи для розподілення функціональності. Реалізований алгоритм має більшу кількість можливих ключів у порівнянні з поширеною на сьогодні схемою обміну ключами Діффі-Хеллмана. Великий розмір простору ключів робить важкими для реалізації атаки перебором, також відомі як метод «грубої сили». Хаотичні властивості фрактального алгоритму не вимагають використання чисел великої розрядності, проте забезпечують високу якість шифрування. Економія часу на розрахунках дозволяє зменшити затрати ресурсів та підвищити продуктивність системи в цілому.

Актуальність теми дослідження. Перколяційні методи показують високу ефективність під час дослідження речовини, генезису й еволюції зв'язкових областей у матеріалах. У таких задачах вивчається і кластерна система фізичного тіла, і її вплив на об’єкт загалом. Вивчення структури та властивостей перколяційних кластерів дозволить досліджувати і прогнозувати поведінку об’єктів (твердих тіл) у різних умовах зовнішнього середовища, генезис їх утворень у часі. Постановка проблеми. Практичне дослідження кластерних систем у твердих тілах пов’язано зі складністю і трудомісткістю експериментів. Основні проблеми полягають у тому, що для отримання достовірної інформації про структуру і властивості необхідно синтезувати кластери із широким діапазоном параметрів і створити надійну систему їх діагностики. Аналіз останніх досліджень і публікацій. У статті наведено огляд останніх публікацій в українських і закордонних журналах, включаючи експериментальні й теоретичні роботи, що містять дослідження самоорганізованої критичності. Виділення недосліджених частин загальної проблеми. У наведених дослідженнях розширюються можливості опису процесів генерації та еволюції кластерних систем у твердих тілах; міститься гіпотеза, що дозволяє істотно збільшити кількість варіантів кластероутворення. Постановка завдання. Провести імітаційне моделювання кластероутворення із взаємодіючими елементами за допомогою методу Монте-Карло. Визначити залежності параметрів перколяційних систем, що самоорганізуються, від ступеня самоорганізації, довжини кореляції, швидкості генерації системи та інших параметрів. Отримати аналітичні вирази залежностей та значення відносної похибки. Виклад основного матеріалу. Для вирішення задач, пов’язаних із практичним дослідженням кластерних систем, розроблено програмний комплекс моделювання кластероутворення, у якому імітується взаємодія кластеркластер і кластер-частка. У моделі вирішується багатовимірна перколяційна задача. Як алгоритм зростання кластерів використовується шлях послідовного нарощування заданої кількості часток. Висновки відповідно до статті. Комп'ютерні розрахунки, проведені, зокрема, методом Монте-Карло, дають найбільш надійні передбачення властивостей перколяційних систем. У роботі отримані аналітичні вирази для залежностей потужності нескінченного кластера, радіус-вектора центра мас, ступеня анізотропії та фрактальної розмірності від відстані агрегації, від кількості часток, генерованих на кожній ітерації, та від кількості актів взаємодії між елементами кластерної системи.

В роботі розглянуто варіанти моделей квазіфрактальних кільцевих структур. Для їх синтезу запропонований векторний опис фрактальної трансформації окремих сегментів початкової геометричної форми. Поєднання декомпозиції геометричної форми та багатовимірного фрактального підходу дозволяє спростити синтез фрактальних 3D-структур та/або використовувати кілька видів фракталів, у тому числі, з різною кількістю ітерацій. Такий підхід дозволяє досягти широкосмуговості та багатодіапазонності антенних систем. При цьому досліджено вплив рівня сегментації та варіантів схеми живлення на просторово-частотні характеристики антени. Через складність опису взаємодії антен неевклідової геометрії з радіохвилями для їх синтезу та аналізу обрано методи чисельного моделювання. Для аналізу просторово-частотних характеристик проектованих антенних рішень використані такі показники, як зворотні втрати, діаграма спрямованості та коефіцієнт стоячої хвилі. Отримані оцінки відносної смуги пропускання δf = 0,9 свідчать про перспективність запропонованого підходу для реалізації антенних систем з високим рівнем широкосмуговості

Робота присвячена розробці ефективних методів оптимізації міських пасажирських перевезень. Аналіз літературних джерел показав, що, як правило, удосконалення транспортного обслуговування у містах здійснюється шляхом використання певних математичних моделей. Будь-яка математична модель, у тому числі і функціонування транспортної мережі, ґрунтується на великому багатокомпонентному об’ємі початкових даних, отримання яких пов’язане з проблемами статистичних досліджень, із ситуацією у місті, яка швидко і динамічно змінюється, а значить робить подібні вихідні дані з часом неактуальними і застарілими. Саме це і є основною проблемою для створення транспортних моделей великих міст. До подібних, необхідних для повноцінного моделювання, даних відносяться: диференціювання по районах міста чисельності населення, число місць для праці та їх розташування, рекреаційний потенціал, середній час пересування жителів і таке інше. На відміну від завдань організації дорожнього руху, де використовуються, в основному, імітаційні моделі руху транспорту, в транспортному плануванні застосовуються прогнозні моделі, які ґрунтуються на макроскопічних параметрах, що описують транспортний потік. У цих моделях параметрами є: швидкість транспортного потоку, інтенсивність транспортного потоку, інтенсивність пасажиропотоків. Таким чином, основою прогнозного моделювання міських транспортних систем стає завдання оптимальної реалізації пасажирських транспортних кореспонденцій. Очевидно, що збір початкових даних складає найбільш трудомісткий і тривалий за часом етап при побудові або удосконаленні транспортних моделей. У свою чергу, запропонована у роботі ефективна методика побудови транспортних моделей за геометричними параметрами накладання маршрутних схем вирішує задачу визначення міри відповідності існуючого транспортного попиту наявній транспортній пропозиції. У роботі пропонується дієвий метод динамічного удосконалення міської пасажирської транспортної мережі, в основу якого покладено зв'язок класичного коефіцієнта накладання пасажиропотоків із способами геометричного представлення та фрактальної оцінки накладання існуючих маршрутних схем пересування ТЗ (на прикладі тролейбусної мережі м. Луцька). Проаналізовано основні особливості функціонування міських пасажирських перевезень та досліджено вплив характеристик транспортних систем на визначення ступеня накладання маршрутних схем. Розроблено метод 3-D представлення та автоматизованого зонування міських тролейбусних маршрутів. Запропоновано спосіб фрактальної оцінки ступеня накладання маршрутів для визначених зон та шляхи удосконалення транспортної роботи ТЗ на маршрутах у різні часові періоди доби. Запропоновано підходи до влаштування динамічного резервування тролейбусів на маршрутах, яке забезпечить ефективну видозміну маршрутних схем, оперативне коригування розкладу руху тролейбусів по мережі, нормативів часу на виконання рейсів, систем організації праці водіїв, комбінованого режиму руху тролейбусів. Ключові слова: оптимізація, пасажирські перевезення, маршрутна схема, 3-D представлення, автоматизоване зонування, накладання маршрутів, фрактальна оцінка, динамічне резервування.

З огляду на сучасну концепцію розвитку системи освіти України на часі є дослідження, в яких студіюється дуальна природа компетентності, науково переосмислюється двоїстість її проявів. Проблемне поле досліджень складають структура та якості особистості, що віддзеркалюють як зовнішні, так і внутрішні прояви математичної компетентності. У представленій роботі дуальну природу математичної компетентності репрезентують соціально прийняті та індивідуально-психологічні виміри особистості. ЇЇ мета полягає у визначенні структури й змістових характеристик внутрішнього прояву математичної компетентності, обґрунтуванні фрактальності структур її зовнішнього та внутрішнього проявів, побудові декартової інтерпретації досліджуваного феномену. Для цього застосовано методи структурно-системного й фрактального аналізу, абстрагування та теоретичного моделювання, ранжування та узагальнення. Обґрунтовано, що зовнішній і внутрішній прояви математичної компетентності мають три базові виміри. Тривимірна структура зовнішнього прояву математичної компетентності представляється змістово-теоретичним, процесуально-діяльним і референтно-комунікативним вимірами. Таку ж структуру її внутрішнього прояву репрезентують ціннісно-мотиваційний, рефлексивно-оцінний та особистісно-психологічний виміри з відповідною кількістю проранжованих показників. Це дозволило інтерпретувати математичну компетентність як одну з різновидів фрактала – структури, яка складається з подібної до себе підструктури. З’ясовано, що супровідний тригранник математичної компетентності динамічно визначає тривимірну структуру її внутрішнього прояву і водночас встановлює зв'язок із тривимірною структурою зовнішнього прояву. Ранжування показників на кожному вимірі дозволило констатувати, що внутрішній прояв математичної компетентності найбільшою мірою розкривають цінності математичної діяльності, її самооцінка й математичні здібності. Натомість засадничими показниками внутрішніх проявів математичної компетентності є потреби математичної діяльності, її самоаналіз й пам'ять на математичний матеріал. Установлено, що співвідношення кількості змістових характеристик як зовнішніх, так і внутрішніх вимірів математичної компетентності віддзеркалює ознаку єгипетського трикутника, сторони якого утворюють найпростішу трійку Піфагора – 3, 4, 5. Ключові слова: математична компетентність, двоїстість проявів, фрактальність, супровідний тригранник.

Наукові дослідження стають ефективними тоді, коли природу подій чи явищ можна розглядати з єдиних позицій, виробити універсальний підхід до них, сформувати загальні закономірності. Більшість сучасних фундаментальних наукових проблем і високих технологій тісно пов’язані з явищами, які лежать на границях різних рівнів організації. Природничі та деякі з гуманітарних наук (економіка, соціологія, психологія) розробили концепції і методи для кожного із ієрархічних рівнів, але не володіють універсальними підходами для опису того, що відбувається між цими рівнями ієрархії. Неспівпадання ієрархічних рівнів різних наук – одна із головних перешкод для розвитку дійсної міждисциплінарності (синтезу різних наук) і побудови цілісної картини світу. Виникає проблема формування нового світогляду і нової мови.Теорія складних систем – це одна із вдалих спроб побудови такого синтезу на основі універсальних підходів і нової методології [1]. В російськомовній літературі частіше зустрічається термін “синергетика”, який, на наш погляд, означує більш вузьку теорію самоорганізації в системах різної природи [2].Мета роботи – привернути увагу до нових можливостей, що виникають при розв’язанні деяких задач, виходячи з уявлень нової науки.На жаль, теорія складності не має до сих пір чіткого математичного визначення і може бути охарактеризована рисами тих систем і типів динаміки, котрі являються предметом її вивчення. Серед них головними є:– Нестабільність: складні системи прагнуть мати багато можливих мод поведінки, між якими вони блукають в результаті малих змін параметрів, що управляють динамікою.– Неприводимість: складні системи виступають як єдине ціле і не можуть бути вивчені шляхом розбиття їх на частини, що розглядаються ізольовано. Тобто поведінка системи зумовлюється взаємодією складових, але редукція системи до її складових спотворює більшість аспектів, які притаманні системній індивідуальності.– Адаптивність: складні системи часто включають множину агентів, котрі приймають рішення і діють, виходячи із часткової інформації про систему в цілому і її оточення. Більш того, ці агенти можуть змінювати правила своєї поведінки на основі такої часткової інформації. Іншими словами, складні системи мають здібності черпати скриті закономірності із неповної інформації, навчатися на цих закономірностях і змінювати свою поведінку на основі нової поступаючої інформації.– Емерджентність (від існуючого до виникаючого): складні системи продукують неочікувану поведінку; фактично вони продукують патерни і властивості, котрі неможливо передбачити на основі знань властивостей їх складових, якщо розглядати їх ізольовано.Ці та деякі менш важливі характерні риси дозволяють відділити просте від складного, притаманного найбільш фундаментальним процесам, які мають місце як в природничих, так і в гуманітарних науках і створюють тим самим істинний базис міждисциплінарності. За останні 30–40 років в теорії складності було розроблено нові наукові методи, які дозволяють універсально описати складну динаміку, будь то в явищах турбулентності, або в поведінці електорату напередодні виборів.Оскільки більшість складних явищ і процесів в таких галузях як екологія, соціологія, економіка, політологія та ін. не існують в реальному світі, то лише поява сучасних ЕОМ і створення комп’ютерних моделей цих явищ дозволило вперше в історії науки проводити експерименти в цих галузях так, як це завжди робилось в природничих науках. Але комп’ютерне моделювання спричинило розвиток і нових теоретичних підходів: фрактальної геометрії і р-адичної математики, теорії хаосу і самоорганізованої критичності, нейроінформатики і квантових алгоритмів тощо. Теорія складності дозволяє переносити в нові галузі дослідження ідеї і підходи, які стали успішними в інших наукових дисциплінах, і більш рельєфно виявляти ті проблеми, з якими інші науки не стикалися. Узагальнюючому погляду з позицій теорії складності властиві більша евристична цінність при аналізі таких нетрадиційних явищ, як глобалізація, “економіка, що заснована на знаннях” (knowledge-based economy), національні і світові фінансові кризи, економічні катастрофи і ряд інших.Однією з інтригуючих проблем теорії є дослідження властивостей комплексних мережеподібних високотехнологічних і інтелектуально важливих систем [3]. Окрім суто наукових і технологічних причин підвищеної уваги до них є і суто прагматична. Справа в тому, що такі системи мають системоутворюючу компоненту, тобто їх структура і динаміка активно впливають на ті процеси, які ними контролюються. В [4] наводиться приклад, коли відмова двох силових ліній системи електромережі в штаті Орегон (США) 10 серпня 1996 року через каскад стимульованих відмов призвели до виходу із ладу електромережі в 11 американських штатах і 2 канадських провінціях і залишили без струму 7 млн. споживачів протягом 16 годин. Вірус Love Bug worm, яких атакував Інтернет 4 травня 2000 року і до сих пір блукає по мережі, приніс збитків на мільярди доларів.До таких систем відносяться Інтернет, як складна мережа роутерів і комп’ютерів, об’єднаних фізичними та радіозв’язками, WWW, як віртуальна мережа Web-сторінок, об’єднаних гіперпосиланнями (рис. 1). Розповсюдження епідемій, чуток та ідей в соціальних мережах, вірусів – в комп’ютерних, живі клітини, мережі супермаркетів, актори Голівуду – ось далеко не повний перелік мережеподібних структур. Більш того, останнє десятиліття розвитку економіки знань привело до зміни парадигми структурного, функціонального і стратегічного позиціонування сучасних підприємств. Вертикально інтегровані корпорації повсюдно витісняються розподіленими мережними структурами (так званими бізнес-мережами) [5]. Багато хто з них замість прямого виробництва сьогодні займаються системною інтеграцією. Тому дослідження структури та динаміки мережеподібних систем дозволить оптимізувати бізнес-процеси та створити умови для їх ефективного розвитку і захисту.Для побудови і дослідження моделей складних мережеподібних систем введені нові поняття і означення. Коротко опишемо тільки головні з них. Хай вузол i має ki кінців (зв’язків) і може приєднати (бути зв’язаним) з іншими вузлами ki. Відношення між числом Ei зв’язків, які реально існують, та їх повним числом ki(ki–1)/2 для найближчих сусідів називається коефіцієнтом кластеризації для вузла i:. Рис. 1. Структури мереж World-Wide Web (WWW) і Інтернету. На верхній панелі WWW представлена у вигляді направлених гіперпосилань (URL). На нижній зображено Інтернет, як систему фізично з’єднаних вузлів (роутерів та комп’ютерів). Загальний коефіцієнт кластеризації знаходиться шляхом осереднення його локальних значень для всієї мережі. Дослідження показують, що він суттєво відрізняється від одержаних для випадкових графів Ердаша-Рені [4]. Ймовірність П того, що новий вузол буде приєднано до вузла i, залежить від ki вузла i. Величина називається переважним приєднанням (preferential attachment). Оскільки не всі вузли мають однакову кількість зв’язків, останні характеризуються функцією розподілу P(k), яка дає ймовірність того, що випадково вибраний вузол має k зв’язків. Для складних мереж функція P(k) відрізняється від розподілу Пуассона, який мав би місце для випадкових графів. Для переважної більшості складних мереж спостерігається степенева залежність , де γ=1–3 і зумовлено природою мережі. Такі мережі виявляють властивості направленого графа (рис. 2). Рис. 2. Розподіл Web-сторінок в Інтернеті [4]. Pout – ймовірність того, що документ має k вихідних гіперпосилань, а Pin – відповідно вхідних, і γout=2,45, γin=2,1. Крім цього, складні системи виявляють процеси самоорганізації, змінюються з часом, виявляють неабияку стійкість відносно помилок та зовнішніх втручань.В складних системах мають місце колективні емерджентні процеси, наприклад синхронізації, які схожі на подібні в квантовій оптиці. На мові системи зв’язаних осциляторів це означає, що при деякій критичній силі взаємодії осциляторів невелика їх купка (кластер) мають однакові фази і амплітуди.В економіці, фінансовій діяльності, підприємництві здійснювати вибір, приймати рішення доводиться в умовах невизначеності, конфлікту та зумовленого ними ризику. З огляду на це управління ризиками є однією з найважливіших технологій сьогодення [2, 6].До недавніх часів вважалось, що в основі розрахунків, які так чи інакше мають відношення до оцінки ризиків лежить нормальний розподіл. Йому підпорядкована сума незалежних, однаково розподілених випадкових величин. З огляду на це ймовірність помітних відхилень від середнього значення мала. Статистика ж багатьох складних систем – аварій і катастроф, розломів земної кори, фондових ринків, трафіка Інтернету тощо – зумовлена довгим ланцюгом причинно-наслідкових зв’язків. Вона описується, як показано вище, степеневим розподілом, “хвіст” якого спадає значно повільніше від нормального (так званий “розподіл з тяжкими хвостами”). У випадку степеневої статистики великими відхиленнями знехтувати вже не можна. З рисунку 3 видно, наскільки добре описуються степеневою статистикою торнадо (1), повені (2), шквали (3) і землетруси (4) за кількістю жертв в них в США в ХХ столітті [2]. Рис. 3. Системи, які демонструють самоорганізовану критичність (а саме такі ми і розглядаємо), самі по собі прагнуть до критичного стану, в якому можливі зміни будь-якого масштабу.З точки зору передбачення цікавим є той факт, що різні катастрофічні явища можуть розвиватися за однаковими законами. Незадовго до катастрофи вони демонструють швидкий катастрофічний ріст, на який накладені коливання з прискоренням. Асимптотикою таких процесів перед катастрофою є так званий режим з загостренням, коли одна або декілька величин, що характеризують систему, за скінчений час зростають до нескінченності. Згладжена крива добре описується формулою,тобто для таких різних катастрофічних явищ ми маємо один і той же розв’язок рівнянь, котрих, на жаль, поки що не знаємо. Теорія складності дозволяє переглянути деякі з основних положень ризикології та вказати алгоритми прогнозування катастрофічних явищ [7].Ключові концепції традиційних моделей та аналітичних методів аналізу і управління капіталом все частіше натикаються на проблеми, які не мають ефективних розв’язків в рамках загальноприйнятих парадигм. Причина криється в тому, що класичні підходи розроблені для опису відносно стабільних систем, які знаходяться в положенні відносно стійкої рівноваги. За своєю суттю ці методи і підходи непридатні для опису і моделювання швидких змін, не передбачуваних стрибків і складних взаємодій окремих складових сучасного світового ринкового процесу. Стало ясно, що зміни у фінансовому світі протікають настільки інтенсивно, а їх якісні прояви бувають настільки неочікуваними, що для аналізу і прогнозування фінансових ринків вкрай необхідним став синтез нових аналітичних підходів [8].Теорія складних систем вводить нові для фінансових аналітиків поняття, такі як фазовий простір, атрактор, експонента Ляпунова, горизонт передбачення, фрактальний розмір тощо. Крім того, все частіше для передбачення складних динамічних рядів використовуються алгоритми нейрокомп’ютинга [9]. Нейронні мережі – це системи штучного інтелекту, які здатні до самонавчання в процесі розв’язку задач. Навчання зводиться до обробки мережею множини прикладів, які подаються на вхід. Для максимізації виходів нейронна мережа модифікує інтенсивність зв’язків між нейронами, з яких вона побудована, і таким чином самонавчається. Сучасні багатошарові нейронні мережі формують своє внутрішнє зображення задачі в так званих внутрішніх шарах. При цьому останні відіграють роль “детекторів вивчених властивостей”, оскільки активність патернів в них є кодування того, що мережа “думає” про властивості, які містяться на вході. Використання нейромереж і генетичних алгоритмів стає конкурентноздібним підходом при розв’язанні задач передбачення, класифікації, моделювання фінансових часових рядів, задач оптимізації в галузі фінансового аналізу та управляння ризиком. Детермінований хаос пропонує пояснення нерегулярної поведінки і аномалій в системах, котрі не є стохастичними за природою. Ця теорія має широкий вибір потужних методів, включаючи відтворення атрактора в лаговому фазовому просторі, обчислення показників Ляпунова, узагальнених розмірностей і ентропій, статистичні тести на нелінійність.Головна ідея застосування методів хаотичної динаміки до аналізу часових рядів полягає в тому, що основна структура хаотичної системи (атрактор динамічної системи) може бути відтворена через вимірювання тільки однієї змінної системи, фіксованої як динамічний ряд. В цьому випадку процедура реконструкції фазового простору і відтворення хаотичного атрактора системи при динамічному аналізі часового ряду зводиться до побудови так званого лагового простору. Реальний атрактор динамічної системи і атрактор, відтворений в лаговому просторі по часовому ряду при деяких умовах мають еквівалентні характеристики [8].На завершення звернемо увагу на дидактичні можливості теорії складності. Розвиток сучасного суспільства і поява нових проблем вказує на те, що треба мати не тільки (і навіть не стільки) експертів по деяким аспектам окремих стадій складних процесів (професіоналів в старому розумінні цього терміну), знадобляться спеціалісти “по розв’язуванню проблем”. А це означає, що істинна міждисциплінарність, яка заснована на теорії складності, набуває особливого значення. З огляду на сказане треба вчити не “предметам”, а “стилям мислення”. Тобто, міждисциплінарність можна розглядати як основу освіти 21-го століття.

Розроблено метод дилатації пікселів для розрахунку фрактального індексу мозочка людини за даними магнітно-резонансної томографії. Для дослідження використовують фрагмент цифрового зображення (томограми) мозочка. Зображення калібрують, його фрагмент копіюють у програму Adobe Photoshop CS5, де створюють окреме цифрове зображення з розмірами та роздільною здатністю 2n пікселів на дюйм, де n – кількість етапів підрахунку фрактального індексу. Зображення контрастують і поетапно підраховують фонові, «порожні» та «заповнені» пікселі, що містять фрагменти досліджуваної структури. На кожному етапі вчетверо збільшують розмір одного пікселя і, таким чином, удвічі зменшують роздільну здатність зображення (із 64 пікселів на дюйм до 32, 16, 8, 4 та 2 пікселів на дюйм). За кількістю пікселів, що містять фрагменти досліджуваної структури, і розмірами пікселя відносно загальної площі зображення (box size) обчислюють фрактальний індекс мозочка.

Протягом останніх десяти, п’ятнадцяти років відбулися відчутні зміни в розумінні фундаментальних закономірностей економічних систем. Зокрема, при дослідженні поведінки економічних об’єктів використовуються потужні методи аналізу нестаціо-нарних часових рядів: кореляційний та автокореляційний аналіз, R/S-аналіз та його модифікації, аналіз детрендованих флуктуацій тощо. У роботі проведено порівняльну характеристику динаміки флуктуацій композитних індексів S&P 500 та ПФТС, скейлінгового коефіцієнта для окремих компаній, що входять до списку S&P 500, та деяких організацій ПФТС. На основі отриманих даних зроблено спробу інтерпретації точок кросоверу, які проявляються для більшості індексів. Обговорюються можливості мультифрактального аналізу детрендованих флуктуацій.

Передумовою забезпечення фундаменталізації професійного навчання є створення нових навчальних дисциплін (або перебудова існуючих), якісно відмінних від традиційних за структурою та змістом своєю спрямованістю на узагальнені, універсальні знання, формування фахівця нової формації, загальної культури і розвиток наукового мислення. В структурі економічної освіти курс «Моделювання економіки» забезпечує формування системи теоретичних знань та практичних навичок щодо моделювання структурних і динамічних властивостей економічних систем як засобу дослідження та управління складними явищами у макро-, мезо- й мікроекономічних системах. Компетентності, що формуються в процесі навчання курсу «Моделювання економіки», необхідні майбутньому фахівцю з економіки для створення та застосування моделей ринкової динаміки. Фундаментальні науки (зокрема, фізика) надають математичній економіці ефективні методи аналізу економічних даних та прогнозування економічних показників, що наприкінці ХХ ст. породило новий напрям досліджень – еконофізику. На нашу думку, зміст фундаменталізованого курсу «Моделювання економіки» повинен базуватися на поняттях еконофізики: складних динамічних систем (як неперервних, так і дискретних), теорії хаосу та фрактальної динаміки, тому що саме ці поняття створюють фундаментальне ядро сучасної математичної економіки. При вивченні фундаменталізованого курсу «Моделювання економіки» доцільно використовувати такі кросплатформенні системи комп’ютерної математики, як Matlab, Maxima та SAGE. Застосування SAGE дозволяє об’єднати можливості Matlab та Maxima в єдиному діяльнісному Web-середовищі та створює умови для активного застосування інноваційних технологій електронного, дистанційного та мобільного навчання.