Academic literature on the topic 'Метод граничних інтегральних рівнянь'

У роботі тривимірний напружений стан порожнистого, безмежного вздовж осі пружного циліндра, що містить множинні внутрішні тонкі податливі включення чисельно моделюється модифікованим методом граничних інтегральних рівнянь. З цією метою гіперсингулярні інтеграли на поверхнях включень подаються у формі, в якій поведінка розв’язку поблизу їх контурів враховується неявно. Ця модифікація дозволяє уніфікувати дискретизацію рівнянь методом колокацій, а також безпосередньо визначити коефіцієнти інтенсивності напружень на контурах серединних поверхонь включень. Отримано числові розв’язки задачі взаємодії двох кругових податливих включень, серединна поверхня яких лежить в одній площині з віссю порожнистого циліндра, що перебуває під дією внутрішнього тиску.

Чисельно досліджується поширення солітонної хвилі в каналі, на дні якого встановлено занурену перешкоду. Ця проблема тісно пов’язана з експлуатацією захисних споруд для розсіювання енергії хвиль у природних водоймах. Розвинена модель поєднує метод граничних інтегральних рівнянь, що застосовується для визначення деформацій вільної поверхні, і вихрову схему для розрахунку вихрового поля, яке генерується хвилею. Для її валідації залучені дані аналогічних експериментальних досліджень, що проводилися в гідравлічному лотку Інституту гідромеханіки. Збіг експериментальних та чисельних результатів щодо еволюції вільної поверхні вказує на те, що запропонована теоретична модель адекватно описує параметри як прохідної, так і відбитої хвиль, які утворюються над зануреною перешкодою. Виконані розрахунки поширення солітонної хвилі над зануреними вертикальними бар’єрами різної висоти та довжини. З їхніх результатів випливає, що тип взаємодії солітонної хвилі з бар’єром залежить від коефіцієнту, який є відношенням амплітуди падаючої хвилі до товщини стовпа води над перешкодою. Коли його значення менше за критичне, яке становить приблизно 1, падаюча хвиля м’яко поділяється на відбитий та прохідний солітони. В іншому разі вона руйнується, що викликає хаотичні коливання вільної поверхні. Детальне дослідження вихрової течії, яка генерується солітонною хвилею поблизу бар’єру, виявило в цій області два великих протилежно спрямованих вихори, що послідовно утворюються на вершині бар’єру. Взаємодіючи з перешкодою та дном каналу, вони зростають до розмірів, співставних з глибиною води, та відриваються. Один із них рухається за течією, інший – проти неї. Ці вихори визначають розвиток течій та інтенсивність турбулентних процесів поблизу перешкоди. Отримано, що вплив вихрового поля на стійкість зануреної конструкції залежить від її висоти. Коли бар’єр високий, вихори піднімаються і зносяться супутньою течією. У разі низької перешкоди вихровий потік дисипує поблизу неї, спричиняючи ерозію дна в цій області.

В статті розглянуті проблеми створення адекватної математичної моделі пошуку еволюціонуючої порожнини в заданій області на основі загального рівняння гравіметрії. Авторами запропонований метод спрощення тривимірних інтегральних рівнянь гравіметрії та зручні алгоритми для вирішення задачі.

В статті розглянуто методику розрахунку аеродинамічних характеристик елементів компонування літального апарату з урахуванням впливу стисливості повітря. Вплив стисливості здійснюється на основі рішення квазілінійного рівняння, що отримане з рівняння Ейлера для потенційних течій при введенні припущення про їх ізоентропічність і відсутність вихрової структури в потоці. Задача розв’язується методом граничних інтегральних рівнянь. Граничні умови непротікання виконуються застосуванням градієнту конормалі по нормалі до панелі на поверхні розрахункового елементу компоновки. Працездатність запропонованої методики підтверджено задовільним збігом результатів розрахунку та відомих даних експериментальних досліджень, проведених іншими авторами.

Розглядається нелінійне інтегральне рівняння (НІР) зі степеневою нелінійністю і ставиться задача побудови ізольованих обмежених за нормою розв’язків, на яких похідна Фреше оператора, визначеного лівою частиною рівняння обмежена зверху і знизу. Для наближеного розв’язування НІР застосовано елементи загальної теорії наближених методів. Для конструювання послідовності наближених рівнянь використано метод механічних квадратур. Сформульовані і доведені пряма та обернена теореми, які відповідно характеризують збіжність апроксимаційного методу переходу до наближених рівнянь і апостеріорну оцінку похибки наближеного розв’язку.

Із застосуванням рівнянь теорії пружності кусково-однорідних тіл та кількісного критерію згасання крайового ефекту досліджено крайовий ефект у околі поверхневого навантаження шаруватого композитного матеріалу. Розглянуто випадок недосконалого контакту між шарами, який моделюється періодичною системою міжшарових тріщин у вигляді математичного розрізу. Використана розрахункова модель для граничних умов на бічних сторонах багатошарового зразка з композитного матеріалу, які відповідають умовам симетрії. Досліджено вплив розміру тріщин на довжину згасання крайового ефекту. Для числового розв’язування задачі використано метод сіток на основі модифікованого варіаційно-різницевого підходу. В рамках обчислювального експерименту застосовані послідовний і паралельний алгоритм методу Холецького для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглядаються процеси конвективно-дифузійного переносу повітряної суміші у циклонних камерах, що використовуються у якості сеператорів повітря від твердих домішків (пилу). Досліджується розподіл компонент швидкості руху потоку у циклонній камері, математична модель якого описується системою диференціальних рівнянь Нав’є—Стокса. На відміну від загальноприйнятих методів пошуку розв’язань цієї системи, що грунтуються на різницевих схемах, запропоновано числово-аналітичний ітераційний метод розв’язання відповідної крайової задачі. Викладено відповідний алгоритм розв’язання, що грунтується на використанні інтегральних перетворень, із його реалізацією шляхом розробки відповідного програмного забезпечення. Отримані результати є підгрунття для дослідження процесів турбулентного руху суміші та відкремлення твердих домішків із повітряної суміші.

У статті представлено новий підхід до розв’язання квазістатичної просторової контактної задачі про фрикційну взаємодію жорсткого циліндричного штампа із плоскою основою та пружного півпростору, за умови послідовної дії на штамп монотонно зростаючих нормального та дотичного навантажень. Для врахування тертя ми використовували закон Кулона в класичній неспрощеній формі. Зони зчеплення і проковзування вважали заздалегідь невідомими і такими, що потрібно знайти. Процес навантажування моделювався скінченним числом станів рівноваги – кроків навантажування. Контактну задачу зведено до послідовного розв’язання однотипних систем нелінійних граничних інтегральних рівнянь на кожному кроці дискретного процесу навантажування. Отримані інтегральні рівняння характеризуються тим, що їхній вигляд не залежить від конфігурації зон зчеплення і проковзування. Для складання таких рівнянь необхідно лише вказати канонічну обмежену плоску область, яка містить у собі невідомі ділянки контакту на усіх етапах процесу навантажування тіл. Для отримання наближених розв’язків цих систем виконано їх дискретизацію. Побудовано збіжні ітераційні процеси для числового розв’язання отриманих в результаті цієї дискретизації систем нелінійних скалярних рівнянь. За допомогою числових розрахунків, виконаних при різних значеннях дотичного переміщення штампа, дослідили процес зміни розподілів діючих на його основу питомих контактних зусиль. Також досліджено відносні переміщення контактуючих поверхонь та еволюцію форм і розмірів зон зчеплення і проковзування при поступовому збільшенні дотичного навантажування. Встановили, що з появою дотичної сили зона зчеплення втрачає симетрію і зміщується до переднього, відносно напрямку руху, краю штампа. При збільшенні зовнішнього дотичного зусилля площа зони зчеплення зменшується і стає нульовою за умови початку повного проковзування штампа по поверхні півпростору. Найбільші значення питомих дотичних контактних зусиль та відносних переміщень контактуючих поверхонь досягаються біля заднього, відносно напрямку руху, краю штампа.

Актуальність теми дослідження. Охолодження полімерних листів, як і більшість процесів переробки пласт-мас, належить до неізотермічних процесів, тобто необхідно розв’язувати теплову задачу. Від точного розрахунку теплового балансу дуже залежить кінцевий результат екструзійного процесу. Тому запропонована математична модель та програмний блок для її реалізації допоможуть значно покращити технологічні та економічні показники екструзійних ліній із випуску полімерних листів. Постановка проблеми. Виготовленню полімерних листів присвячено багато наукових праць. При цьому такому процесу, як охолодження кінцевого продукту після екструзії приділено не багато уваги. Аналіз останніх досліджень і публікацій. Створено декілька математичних моделей теплових процесів для теплоенергетичного обладнання. Наприклад: для одночерв’ячних, двочерв’ячних, черв’ячно-дискових екструдерів тощо. При цьому запропоновано різні розрахункові схеми, методи та рівняння для їх вирішення.Виділення недосліджених частин загальної проблеми. Математичну модель для відображення процесів охолодження полімерних листів після їх екструзії можна вважати розширенням цих досліджень. Постановка завдання. Основна мета цієї статті полягає в розробці математичної моделі для аналізу температурного поля при охолодженні полімерних листів на екструзійних лініях, що дозволить оптимізувати не тільки технологічні параметри, а й конструктивні характеристики лінії. Виклад основного матеріалу. При виборі граничних умов треба враховувати реальні конструктивні особливості системи охолодження полімерних листів, що одержують на екструзійних лініях. Представлено розрахункову схему та рівняння теплового балансу. Одержання математичної моделі здійснювалось за допомогою операційного методу, використовуючи інтегральне перетворення Лапласа. Розроблено програму розрахунку параметрів для конкретних умов виробництва. Висновки відповідно до статті.Приведено сучасний літературний огляд теплових задач. Розроблено математичну модель для моделювання процесів охолодження полімерних листів після їх екструзії. Побудовано програмний блок на базі математичного пакета MathCAD для реалізації розробленої математичної моделі

В робочих вузлах машин і механізмів харчових виробництв часто зустрічаються неоднорідні металево-скляні спаї, які під час експлуатації зазнають значних зовнішніх температурних і силових навантажень. Тому досить актуальними являються питання вивчення і аналізу термонапруженого стану таких вузлів з метою зменшення виникнення максимальних напружень і попередження руйнувань спаїв. В роботах був проведений аналітичний розрахунок термонапруженого стану таких неоднорідних структур на основі застосування апарату узагальнених функцій в математичній фізиці, використання властивостей їх алгебри, а також теорії інтегральних перетворень. При цьому спочатку розглядалось скінчене циліндричне тіло, яке містить не наскрізне включення типу порожнистого циліндра. Через торцеві і циліндричну поверхні тіла здійснюється теплообмін із навколишнім середовищем за законом Ньютона. Розглядувана система представляє собою кусково-однорідне тіло, фізико-механічні характеристики якого постійні в межах кожного елемента і описуються за допомогою асиметричних одиничних функцій циліндричних координат. Відомо, що представляти фізико-механічні характеристики можна як з допомогою асиметричних функцій так і за допомогою симетричних функцій, що приводить до одного і того ж розв’язку. Проте, враховуючи що при представленні фізико-механічних характеристик кусково-однорідного тіла за допомогою асиметричних одиничних функцій в тому самому вигляді представляється і будь-яка їх комбінація, зроблено висновок про те, що зручніше представляти фізико-механічниі характеристик кусково-однорідного тіла за допомогою асиметричних одиничних функцій. Представляючи таким чином коефіцієнт теплопровідності, питому теплоємність і густину розглядуваного кусково-однорідного тіла через асиметричні одиничні функції циліндричних координат та використовуючи конструкцію множення асиметричних одиничних і дельта-функцій Дірака, виведено диференціальне рівняння теплопровідності із коефіцієнтами типу ступеневих функцій і дельта-функцій Дірака. Далі виводяться рівняння в переміщеннях квазістатичної задачі термопружності для тіла, що містить ненаскрізне порожнисте циліндричне включення. При цьому враховується, що коефіцієнт Ляме, а також температурний коефіцієнт лінійного розширення-функції радіальної і осьової координат. В ці рівняння, у вигляді постійних цих невідомих, входять граничні значення температури, а також об’ємної деформації. Як частковий, відмічається випадок, коли система розглядається як тіло одномірної кусково- однорідної структури, тобто, коли характеристики матеріалу залежать лише від радіальної координати. Відмічено також випадок, коли коефіцієнт Пуасона постійний, а температурний коефіцієнт лінійного розширення і модуль пружності – функції циліндричних координат. В результаті записані диференціальні рівняння для циліндричного тіла для двовимірної та одновимірної неоднорідної структури. Відмічається випадок тонкостінного включення (товщина стінок порожнистого циліндра набагато менша його серединного радіуса). В цьому випадку фізико-механічні характеристики представлені за допомогою дельта-функції Дірака. Використовуючи її властивості, отримані рівняння теплопровідності і термопружності для тіла двовимірної неоднорідної структури з коефіцієнтами у вигляді дельта-функцій Дірака. Далі отримані рівняння неоднорідної теплопровідності і квазістатичної задачі термопружності із ненаскрізними односторонніми включеннями типу порожнистого циліндра. При цьому розглядається безмежна пластина, одна із поверхонь якої теплоізольована, а через іншу здійснюється конвективний теплообмін із зовнішнім середовищем, температура якого - деяка функція часу.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.02.09 – динаміка та міцність машин. Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", Міністерство освіти і науки України, Харків, 2016. Дисертація присвячена розробці підходів, методів і моделей для дослідження напружено-деформованого стану складнопрофільних тіл з урахуванням їхнього контакту по шорстких поверхнях. У роботі розв'язана задача аналізу контактної взаємодії складнопрофільних елементів машинобудівних конструкцій за наявності локальної податливості поверхневого шару. Для цього запропоновано варіант методу граничних рівнянь, в який додана модель пружного проміжного шару за Вінклером. Отриманий метод дослідження контактної взаємодії об'єднує в рамках єдиних співвідношень "локальні" та "глобальні" характеристики податливості контактуючих шорстких тіл. Числова реалізація методу граничних елементів здійснена в спеціалізованому програмно-модельному комплексі для дослідження контактної взаємодії складнопрофільних тіл. Розв'язано низку прикладних задач аналізу контактної взаємодії, а саме проведено дослідження впливу форми зазору і податливості шорсткого шару на характер розподілів контактного тиску у наступних випадках: контакту прямокутного в плані штампа з округленнями з плоскою поверхнею, спряження підшипника кочення з модифікованим дворадіусним роликом, передачі зусиль між кульовими поршнями та біговими доріжками в гідрооб'ємній передачі танкової трансмісії. Проведене порівняння отриманих числових результатів досліджень з експериментальними даними. Підтверджено точність і достовірність запропонованих методів та моделей, а також створеного програмно-модельного комплексу.
The thesis in qualification for a scientific degree of Candidate of Technical Science in speciality 05.02.09 - dynamics and strength of machines, National Technical University "Kharkiv Polytechnical Institute", Kharkiv, 2016. The thesis is devoted to development of approaches, methods and models for analysis of stress-strain state of complex-shaped bodies with account for their contact over rough surfaces. In the present work the contact problem is solved for complex-shaped elements of engineering structures with local compliance of the surface layer. For this purpose a variation to the boundary integral equations method extended with a Winkler-type model of elastic layer is proposed. The resulting approach combines in a unified formulation the "local" and "global" compliance characteristics of the contacting rough bodies. The numerical implementation of the boundary element method is included in a software-and-model complex for analysis of contact interaction of complex-shaped bodies. A number of applied contact problems is solved. Namely, the influence of the gap and rough layer compliance on the contact pressure distribution is studied for the following cases: contact of a rectangular round-end stamp with a flat surface, junction of a rolling bearing and a modified double-radius roller, normal traction between spherical pistons and treadmills of a tank transmission. Numerical results of the research are compared to experimental data. Accuracy and reliability of the proposed methods and models, as well as special-purpose software-andmodel complex are confirmed.

Бобко В. О. Розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду із застосуванням алгоритму Ромберга : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник С. М. Гребенюк. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 53 с.
UA : Робота викладена на 53 сторінках друкованого тексту, містить 5 рисунків, 9 таблиць, 14 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження: інтегральні рівняння Фредгольма другого роду. Предмет дослідження: квадратурний спосіб розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Мета роботи: застосувати алгоритм Ромберга чисельного інтегрування для розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду Метод дослідження: чисельний. У роботі наведено основні теоретичні відомості про квадратурний метод розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Для його реалізації вивчено квадратурні формули лівих і правих прямокутників, формулу трапецій, формула Сімпсона. Розроблено чисельний підхід до розвязання інтегрального рівняння із застосуванням ітераційного алгоритма Ромберга, який дає можливість підвищити точність розв’язків. Отримано розв’язки ряда інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду із застосуванням квадратурних формул лівих і правих прямокутників, формулу трапецій, формула Сімпсона. Проведено порівняння отриманих розв’язків інтегрального рівняння з відомими точним аналітичними розв’язками.
EN : The work is presented on 53 pages of printed text, 5 figures, 9 tables, 9 references, 1 supplements. The object of the study is the integral Fredholm equations of the second kind. The aim of the study is to apply the Romberg algorithm of numerical integration to solve the integral Fredholm equation of the second kind. The method of research is numerical. The paper presents the basic theoretical information about the quadrature method for solving the integral Fredholm equation of the second kind. For its realization the quadrature formulas of the left and right rectangles, the formula of trapezoids, the Simpson’s formula are studied. A numerical approach to solving an integral equation using an iterative Romberg algorithm has been developed, which makes it possible to increase the accuracy of solutions. Solutions of a number of Fredholm integral equations of the second kind are obtained using the quadrature formulas of the left and right rectangles, the trapezoid formula, and the Simpson formula. The obtained solutions of the integral equation are compared with the known exact analytical solutions.

Киба В. Г. Чисельне розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь дотичного контакту пружних куль з урахуванням тертя і зчеплення : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник Ю. М. Стрєляєв. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 46 с.
UA : Кваліфікаційна робота магістра «Чисельне розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь дотичного контакту пружних куль з урахуванням тертя і зчеплення»: 46 с., 4 рис., 19 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження – нелінійні інтегральні рівняння квазістатичної контактної задачі теорії пружності з урахуванням тертя. Мета роботи: розробка алгоритму чисельного розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь контактної задачі про фрикційну взаємодію пружних тіл, що перебувають під дією нормальних і дотичних сил. Методи дослідження – аналітичний, числовий. У даній роботі розглянуто математичну модель контактної задачі про взаємодію лінійно-пружних тіл, що перебувають під дією нормального і дотичного навантаження та сили тертя. Задачу зведено до сукупності систем нелінійних інтегральних рівнянь. Викладено алгоритм чисельного розв’язання отриманих систем інтегральних рівнянь. За допомогою цього алгоритму були знайдені наближені розв’язки квазістатичної задачі про фрикційну контактну взаємодію пружних куль, виготовлених з однакових матеріалів. Отримані чисельні результати порівнювалися з відомими розв’язками задач, а також з чисельними розв’язками цих задач в статичній постановці.
EN : Master’s Qualification Thesis «Numerical solution of nonlinear integral equations of the tangential contact of elastic balls taking into account friction and adhesion»: 46 pages, 4 figures, 19 references, 1 supplement. The object of research is nonlinear integral equations of the quasi-static contact problem of the theory of elasticity taking into account friction. Purpose: to develop an algorithm for numerical solution of nonlinear integral equations of the contact problem on the frictional interaction of elastic bodies under the action of normal and tangential forces. Research methods – analytical, numerical. In this paper, we consider a mathematical model of the contact problem on the interaction of linear-elastic bodies under the action of normal and tangential loads and friction forces. The problem is reduced to a set of systems of nonlinear integral equations. An algorithm for numerical solution of the obtained systems of integral equations is presented. Using this algorithm, approximate solutions of the quasi-static problem on the frictional contact interaction of elastic spheres made of the same materials were found. The obtained numerical results were compared with the known solutions of the problems, as well as with the numerical solutions of these problems in the static formulation.

Дмітрова К. М. Наближено аналітичний розв’язок системи інтегральних рівнянь однієї плоскої контактної задачі про нелінійне зношування : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник Н. М. Д’яченко. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 40 с.
UA : Робота викладена на 40 сторінках друкованого тексту, містить 3 рисунки, 17 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження: система інтегральних рівнянь задачі про нелінійне зношування пружного шару при контакті. Мета роботи: знайти аналітичний і наближений розв’язки задачі про нелінійне зношування пружного шару при контакті за допомогою покрокового за часом методу, довести існування і єдиність такого розв’язку на кожному часовому кроці. Методи дослідження: аналітичний: вивчення та аналіз системи інтегральних рівнянь даної задачі, практичний: розв’язання конкретної контактної задачі; порівняльний: порівняння отриманих розв’язків з результатами І.Г. Горячевої. У кваліфікаційній роботі розглянуто задачу про нелінійне зношування пружної тонкої смуги при ковзанні по ній штампа з плоскою основою, що зводиться до розв’язання системи інтегральних рівнянь на кожному часовому кроці. Досліджено питання існування і єдиності розв’язку даної системи. Проведено аналіз розподілу тиску і товщини зношуваної смуги в різні моменти часу, зокрема на стадії припрацювання та на стадії сталого зносу.
EN : The work is presented on 40 pages of printed text,3figures, 17references, 1 supplement. The object of the study isa system of integral equations of the problem of nonlinear attrition of an elastic strip at contact. The aim of the study isto analyze the problem of nonlinear attrition of an elastic layer given contact, to prove the existence of the unique decision of the system of the integral equation, which this problem is reducedto, at each step to time, and to find an analytic and approximate solution in these steps. The methods of research areanalytical: to learn and to analyze the system of the integral equation, practical: to solve the specific flat contact problem, and comparative: to compare the gotten solution to I.H. Goryacheva’s result. In the qualifying paper, the problem of the nonlinear attrition of a thin elastic strip is considered at sliding on it a stamp with a flat basis. The problem is reduced to solving the system of integral equations in each step to time. The existence of the unique decision of the system is proved. The analysis of the distribution of pressure and thickness of a worn outstrip in different time intervals is carried out: at a stage of the run-in and at a stage of the steady-state wear.